5 Practica Calificada Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

“5ª PRÁCTICA CALIFICADA”

CURSO:

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

TEMA: FLEXIÓN

ALUMNO:

Anampa Vargas Anthony Vicente 20091101D

SECCION:

MC 1516 - D

PROFESOR:

Ing. Ronald Cueva Pacheco

Lima, 20 de Noviembre del 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS MC 516D

ÍNDICE

Enunciado del Problema............................................................................3

Solución (Modelado de la viga).................................................................4

Matriz de Rigidez de los Elementos...........................................................5

Matriz de Rigidez Local………………….................................................7

Fuerza Total Sometida a la viga................................................................9

Esfuerzos Longitudinales.........................................................................10

Diagrama de Flujo.....................................................................................12

Uso de Matlab...........................................................................................13

Ejecución del Programa.............................................................................17

Conclusiones............................................................................................. 23

Flexión Página 2


QUINTA PRACTICA CALIFICADA

(FLEXIÓN)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por

lo menos), y calcular en ellos los esfuerzos debido a la flexión de la misma.

Material:

Acero estructural A-36

E=2.1x10^5 N/mm2

ρ =7.8 gr-f/cm3

Flexión Página 3


-Esfuerzos.- En cada elemento finito de la viga; en un punto genérico (ξ , y):

σ e=−(E yℓe2 ) [6 ξ q1+(3 ξ−1)ℓeq2−6ξ q3+(3ξ+1 )ℓeq4 ]

τmaxe =α V

A=α( 6 EI

A ℓe3) [2q1+ℓeq2−2q3+ℓeq4 ]

Donde “y” es la distancia del punto genérico a la fibra neutra.

1. MODELADO DE LA VIGA

Hacemos el modelado de la viga, en 4 elementos finitos:

Flexión Página 4


2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

Para el elemento finito 1:

I 1=100 x 133

12+

25 x (200−13−13 )3

12+100 x 133

12+2x (200

2−13

2)2x 100 x13

I 1=101224550

3 mm4

Matriz de Rigidez Local:

k 1=(2 .1 x105 )x (101224550

3)

750 [12 4500 −12 45004500 2250000 −4500 1125000−12 −4500 12 −45004500 1125000 −4500 2250000

]Para el elemento finito 2:

I 2=100 x 133

12+

25x ( 400−13−13)3

12+100 x133

12+2 x (400

2−13

2)2 x 100 x13

I 2=619119550

3 mm4


k 2=(2 .1 x105 )x (619119550

3)

750 [12 4500 −12 45004500 2250000 −4500 1125000−12 −4500 12 −45004500 1125000 −4500 2250000

]Flexión Página 5


Para el elemento finito 3:

I 3=100 x 133

12+

25x ( 400−13−13)3

12+100 x133

12+2 x (400

2−13

2)2 x100 x13

I 3=619119550

3 mm4


k 3=(2 .1x 105 )x (619119550

3)

750 [12 4500 −12 45004500 2250000 −4500 1125000−12 −4500 12 −45004500 1125000 −4500 2250000

]Para el elemento finito 4:

I 4=100 x133

12+

25 x (200−13−13 )3

12+100 x133

12+2 x (200

2−13

2)2 x 100 x 13

I 4=101224550

3 mm4

Flexión Página 6


3. MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL:

k 4=(2 .1 x105 ) x (101224550

3)

750 [12 4500 −12 45004500 2250000 −4500 1125000−12 −4500 12 −45004500 1125000 −4500 2250000

]Hallamos las fuerzas que es sometida la viga debido al peso del material:

ρ=7 .8 gr−f /cm3=76 .518 x10−6N /mm3

p1=p4=ρA1= ρA4=−76 .518 x (100x 13 x2+25 x (200−26 ))=−0 . 5318001N/mm

p2=p3=ρA2=ρA3=−76 .518 x (100x 13 x2+25 x (400−26 ))=−0. 9143901 N/mm

W 1=[−0 . 5318001x 7502

−0 .5318001x 7502

12−0.5318001 x750

20.5318001 x7502

12 ]W 2=[−0 . 9143901 x750

2−0.9143901 x7502

12−0 . 9143901 x750

20. 9143901 x7502

12 ]W 3=[−0 .9143901 x750

2−0.9143901 x7502

12−0 .9143901 x750

20.9143901 x7502

12 ]W 4=[−0 .5318001 x750

2−0 .5318001 x7502

12−0 . 5318001x 750

20 . 5318001x 7502

12 ]

Flexión Página 7


W=[−199 .4250375

−24928 . 1296875−542 .321325−17933 . 90625−685 .792575

0−542 .321325

17933 . 90625−199 .4250375

24928 .1296875

]Hallamos las fuerzas debido a la carga distribuida:

P2=[−5 x7502

−5 x 7502

12−5x 750

25 x7502

12 ]P3=[−5 x750

2−5x 7502

12−5x 750

25 x7502

12 ]

P=[00

−1875−234375−3750

0−1875

23437500

]Flexión Página 8


4. LA FUERZA TOTAL A LA QUE ES SOMETIDA LA VIGA ES :

F=[−199 . 4250375

−24928.1296875−2417 .321325−252308 . 90625−4435 .792575

0−2417 .321325

252308 .90625−199 . 4250375

24928 . 1296875

]Como los desplazamientos Q1, Q2, Q9 y Q10, quedan restringidos a cero, necesitamos encontrar Q3, Q4, Q5, Q6, Q7 y Q8.

KQ=F

[8067853 .92 2175159000 −6934138 . 96 2600302110 0 02175159000 1512722610000 −2600302110 650075527500 0 0−6934138 . 96 −2600302110 13868277 .92 0 −6934138 .96 26003021102600302110 650075527500 0 26003021100000 −2600302110 650075527500

0 0 −6934138 . 96 −2600302110 8067853 .92 −21751590000 0 2600302110 650075527500 −2175159000 1512722610000

][Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

]=[

−2417 .321325−252308 . 90625−4435 .792575

0−2417 .321325252308. 90625

]

Flexión Página 9


Obtenemos:

Q=[00

−6 .88701171757 x10−8

−7 . 46264146538 x10−11

−1. 00053539892 x10−7

0−6 .88701171757 x10−8

−7 . 46264146538 x10−11

00

]5. LOS ESFUERZOS LONGITUDINALES:

Para un punto genérico (z,y), donde zє[-1,1]

σ e=−( Eyle2

)[ 6 zq1+(3 z−1) leq2−6 zq3+(3 z+1) leq4 ]

Para y=50 mm

Para z=-1

σ=[ 5 . 62391351347 x10−6

−6 . 8665358764 x10−7

−1 . 40300373388 x10−6

−3 . 53437390307x 10−6 ]Flexión Página 10


Para z=1

σ=[−3 . 53437390307 x10−6

−1 . 40300373388 x10−6

−6 . 8665358764 x10−7

5 .62391351347 x 10−6 ]Para z=0

σ=[ 1 . 04476980515x 10−6

−1 . 04476980515x 10−6

−1 . 04476980515x 10−6

1 .04476980515 x 10−6 ]

Flexión Página 11

INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1:4

Calcula la matriz de rigidez de cada elemento y también la

global.

Calcula desplazamientos, reacciones

Imprime esfuerzos y reacciones.

Para i=1:4

Calcula esfuerzos para e=-1,1

Si ES1<=ES2

Emax=ES2 Emax=ES1


6. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA:

Flexión Página 12


7. USANDO MATLAB

PROGRAMA EN MATLAB

clc;

format long;

n=input('Ingrese Numero de Elementos Finitos:');

e1=input('Espesor de las alas(mm):');

e2=input('Espesor del alma(mm):');

l1=input('Longitud de las alas(mm):');

L=input('Ingrese Longitud de la Viga(mm):');

E=input('Modulo de Elasticidad(N/mm2):');

yp=input('Ingrese Peso Especifico(N/mm3):');

pe=input('Carga Distribuida Externa(N/mm):');

disp('MOMENTOS DE INERCIA')

for i=1:(n/2)

d(i)=(4*(L*(i-1)/n)/15+100+4*(L*i/n)/15+100)/2;

I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1;

end

for i=((n/2)+1):n

d(i)=(900-4*(L*(i-1)/n)/15+900-4*(L*i/n)/15)/2;

I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1;

end

disp(I)

disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K')

k=zeros(2*(n+1),2*(n+1));

for i=1:n

Flexión Página 13


l=L/n;

ke(:,:,i)=E*I(i)/l*[12 6*l -12 6*l;

6*l 4*l*l -6*l 2*l*l;

-12 -6*l 12 -6*l;

6*l 2*l*l -6*l 4*l*l];

gl1=2*i-1;

gl2=gl1+1;

gl3=2*(i+1)-1;

gl4=gl3+1;

gl=[gl1 gl2 gl3 gl4];

k(gl,gl)=k(gl,gl)+ke(:,:,i);

end

disp(k)

disp('FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL')

for i=1:n

A(i)=l1*e1*2+e2*(d(i)-2*e1);

p(i)=-yp*A(i);

end

w=zeros(1,2*(n+1));

for i=1:n

l=L/n;

we(:,:,i)=[p(i)*l/2 p(i)*l^2/12 p(i)*l/2 -p(i)*l^2/12];

gl1=2*i-1;

gl2=gl1+1;

gl3=2*(i+1)-1;

gl4=gl3+1;


Flexión Página 14


w(1,gl)=w(1,gl)+we(:,:,i);

end

wt=w';

disp(wt)

disp('FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA')

c=zeros(1,2*(n+1));

for i=2:3

l=L/n;

ce(:,:,i)=[pe*l/2 pe*l^2/12 pe*l/2 -pe*l^2/12];

gl1=2*i-1;

gl2=gl1+1;

gl3=2*(i+1)-1;

gl4=gl3+1;


c(1,gl)=c(1,gl)+ce(:,:,i);

end

ct=c';

disp(ct)

disp('FUERZA TOTAL')

f=ct+wt;

disp(f)

disp('DESPLAZAMIENTOS')

disp('Q=')

kf=k(3:8,3:8);

ff=f(3:8,1);

qf=inv(kf)*ff;

Q=[0;0;qf;0;0];

Flexión Página 15


disp(Q)

disp('ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)')

y=input('Ingrese punto generico a analizar:');

z=-1;

es1=zeros(n,1);

for i=1:n

gl1=i*2-1;

gl2=gl1+1;

gl3=(i+1)*2-1;

gl4=gl3+1;


q=Q(gl);

es1(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;

end

disp('z=-1')

disp(es1)

z=1;

es2=zeros(n,1);

for i=1:n

gl1=i*2-1;

gl2=gl1+1;

gl3=(i+1)*2-1;

gl4=gl3+1;


q=Q(gl);

es2(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;

end

Flexión Página 16


disp('z=1')

disp(es2)

z=0;

es0=zeros(n,1);

for i=1:n

gl1=i*2-1;

gl2=gl1+1;

gl3=(i+1)*2-1;

gl4=gl3+1;


q=Q(gl);

es0(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;

end

disp('z=0')

disp(es0)

EJECUCIÓN DEL PROGRAMA

Ingrese Número de Elementos Finitos: 4

Espesor de las alas (mm):13

Espesor del alma (mm):25

Longitud de las alas (mm):100

Ingrese Longitud de la Viga (mm):3000

Modulo de Elasticidad(N/mm2):2.1e5

Flexión Página 17


Ingrese Peso Especifico(N/mm3):76.518e-6

Carga Distribuida Externa(N/mm):-5

MOMENTOS DE INERCIA

1.0e+008 *

0.33741516666667 2.06373183333333 2.06373183333333

0.33741516666667

MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K

1.0e+017 *

Columns 1 through 4

0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00000113371496 0.00042514311000

0.00042514311000 0.21257155500000 -0.00042514311000 0.10628577750000

-0.00000113371496 -0.00042514311000 0.00000806785392 0.00217515900000

0.00042514311000 0.10628577750000 0.00217515900000 1.51272261000000

0 0 -0.00000693413896 -0.00260030211000

0 0 0.00260030211000 0.65007552750000

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Flexión Página 18


Columns 5 through 8

0 0 0 0

0 0 0 0

-0.00000693413896 0.00260030211000 0 0

-0.00260030211000 0.65007552750000 0 0

0.00001386827792 0 -0.00000693413896 0.00260030211000

0 2.60030211000000 -0.00260030211000 0.65007552750000

-0.00000693413896 -0.00260030211000 0.00000806785392 -0.00217515900000

0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00217515900000 1.51272261000000

0 0 -0.00000113371496 -0.00042514311000

0 0 0.00042514311000 0.10628577750000

Columns 9 through 10

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

-0.00000113371496 0.00042514311000

-0.00042514311000 0.10628577750000

0.00000113371496 -0.00042514311000

-0.00042514311000 0.21257155500000

Flexión Página 19


FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL

1.0e+004 *

-0.01994250375000

-2.49281296875000

-0.05423213250000

-1.79339062500000

-0.06857925750000

0

-0.05423213250000

1.79339062500000

-0.01994250375000

2.49281296875000

FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA

0

0

-1875

-234375

-3750

0

-1875

234375

0

0

Flexión Página 20


FUERZA TOTAL

1.0e+005 *

-0.00199425037500

-0.24928129687500

-0.02417321325000

-2.52308906250000

-0.04435792575000

0

-0.02417321325000

2.52308906250000

-0.00199425037500

0.24928129687500

DESPLAZAMIENTOS

Q=

1.0e-006 *

0

0

-0.06887011717571

-0.00007462641465

-0.10005353989168

-0.00000000000000

-0.06887011717571

0.00007462641465

0

0

Flexión Página 21


ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)

Ingrese punto generico a analizar: 50

z=-1

1.0e-005 *

0.56239135133738

-0.06865358764229

-0.14030037338828

-0.35343739030681

z=1

1.0e-005 *

-0.35343739030681

-0.14030037338828

-0.06865358764229

0.56239135133738

z=0

1.0e-005 *

0.10447698051528

-0.10447698051528

-0.10447698051528

0.10447698051528

Flexión Página 22


8. CONCLUSIONES :

Las matrices que se analizan en estos sistemas son de orden muy elevado, por

tal razón es necesario utilizar un lenguaje de programación que nos permita

manejar las variables con mayor flexibilidad y poder generalizar el método de

análisis.

El análisis de viga de sección variable es la generalización del análisis de una

viga se sección constante.

El vector desplazamiento es desarrollado en base a la conectividad de los

elementos, por ello es importante manejar una tabla de conectividad ordenada y

secuencial.

En este caso de viga se sección variable era de esperarse que cada elemento

tuviera 4 grados de libertad.

Cada elemento de la viga está sujeto a fuerzas y un momento; las fuerzas que

pueden ser de compresión o tensión directa mientras los momentos son de

flexión.

Como es propio de la viga, en este caso todas las cargas son aplicadas en los

nodos, además los cálculos se realizan despreciando la fricción en los nodos.

Flexión Página 23

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