07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 1
AljabarAljabar Linear Linear ElementerElementerMA1223 MA1223
3 SKS3 SKS
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 2
JadwalJadwal KuliahKuliahHariHari I I jamjamHariHari IIII jamjam
SistemSistem PenilaianPenilaianUTSUTS 40%40%UASUAS 40%40%QuisQuis 20%20%
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 3
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 4
REFERENSI :• Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear
Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York
• Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung
• Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore
• Kreyszig E., , 1993, Advanced EnginereengMathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto
• Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 5
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan– Matriks dan Jenisnya– Operasi Matriks– Operasi Baris Elementer– Matriks Invers (Balikan)
Beberapa Aplikasi MatriksRepresentasi image (citra) Chanel/Frequency assignmentOperation Researchdan lain-lain.
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 6
1. Matriks dan Jenisnya
Notasi Matriks
Matriks A berukuran (Ordo) mxn
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
L
MOMM
L
L
11
21111
11111 Baris pertama
Kolom kedua
Unsur / entri /elemen ke-mn(baris m kolom n)
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 7
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran samaA dan B dikatakan sama (notasi A = B)
jika
aij = bij untuk setiap i dan j
Jenis-jenis Matriks• Matriks bujur sangkar (persegi)
Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
210121012
B Unsur diagonal
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 8
Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.
• Matriks segi tiga atasMatriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal
pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
• Matriks segi tiga bawahMatriks yang semua unsur diatas unsur diagonal
pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
8 0 0 7 1 0
3 9 5 E
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2 0 3 0 1 5 0 0 2
F
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 9
• Matriks DiagonalMatriks bujur sangkar dimana setiap unsuryang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
• Matriks satuan (Identitas)Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnyaadalah satu.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
D
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
I
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 10
• Transpos MatriksMatriks transpos diperoleh dengan menukarbaris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi At (hasil transpos matriks A)
Contoh :
maka
Jika matriks A = At maka matriks A dinamakanmatriks Simetri.Contoh :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
0 1- 2- 3 1 2
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0 2- 1 1- 3 2 tA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3112
A
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 11
2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :
1. Penjumlahan Matriks
2. Perkalian Matriks
• Perkalian skalar dengan matriks
• Perkalian matriks dengan matriks
3. Operasi Baris Elementer (OBE)
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 12
• Penjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkanContoha.
+
b.
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
hgfe
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=hdgcfbea
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ 4 3 2 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡8 7 6 5
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
106 8
12
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 13
Perkalian Matriks• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
=
• Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m
hasil perkalian AB berordo pxn
B X A haruslah n = phasil perkalian BA berordo mxq
Contoh :Diketahui
dan
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡srqp
k ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡skrkqkpk
32
xfedcba
A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
23
xurtqsp
B⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 14
Maka hasil kali A dan B adalah :
Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran samadan α, β merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :1. A + B = B + A2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C3. α ( A + B ) = αA + αB4. (α + β ) ( A ) = αA + βA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2332
xx ur
tqsp
fedcba
ABap+bq+crdp+eq+fr
as+bt+cuds+et+fu 2x2
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 15
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
0 1- 2- 3 1 2
A
Contoh :Diketahui matriks :
Tentukana. A At
b. At A
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 16
Jawab :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0 2- 1 1- 3 2 tA
maka
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
0 1- 2- 3 1 2
tAA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0 2- 1 1- 3 2
sedangkan
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0 1- 2- 3 1 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0 2- 1 1- 3 2
AAt
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
5-2
-213
-2-31-3
4
-4
-4 5
14
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 17
• Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan barisyang lain.
Contoh : OBE 1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
4 2 0 3 2 1 1- 2- 3-
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡↔
4 2 0 1- 2- 3- 3 2 1
~21 bb
Baris pertama (b1) ditukardengan baris ke-2 (b2)
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 18
OBE ke-2
¼ b1 ~
OBE ke-3
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3 1 1- 2 7 1 2 0
4- 0 4- 4 A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1
Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+−
7 1 2 0 1- 0 1- 1
~2 31 bb
Perkalian (–2) dengan b1 lalutambahkan pada baris ke-3 (b3)
0 1 1 5
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 19
• Beberapa definisi yang perlu diketahui :
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
000013003111
B
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 20
Sifat matriks hasil OBE :1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1
(dinamakan satu utama).2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur
yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jikadipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jikadipenuhi semua sifat
(Proses Eliminasi Gauss)
(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 21
Contoh :Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari
Jawab :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1
A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−
7 1 2 0 1- 0 1- 1
2~ 31 bbA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛↔
1- 0 1- 1 ~ 32 bb
0 1 1 5
0 1 1 5 0 2 1 7
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 22
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−
5 1 1 0 1- 0 1- 1
2~ 32 bbA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
5 1 1 0 1- 0 1- 1
~3b
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−
3 1 0 0
1- 0 1- 1 ~23 bb
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
3 1 0 0 2 0 1 0
12 bb
0 0 -1 -3
00 1 3
0 2
0
1
1 0 1
0
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 23
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlahbaris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 24
Invers MatriksMisalkan A adalah matriks bujur sangkar.B dinamakan invers dari A jika dipenuhi
A B = I dan B A = ISebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.Notasi A = B-1
Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
( )1| −AI( )IA |OBE
~
Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriksidentitas maka A dikatakan tidak punya invers
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 25
Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :
Jawab :
b1↔b2
~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
122011123
A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
100010001
122011123
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
100001010
122123
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ 010011-3b1+b2
2b1+b3
0 -1 100 21 1
0
0
-1 -3
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 26
-b2
-b3+ b2
-b2+ b1
Jadi Invers Matriks A adalah
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
120
010
100
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
120
010
100
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−120111
100010
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
120031010
100110
011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=−
120111
1011A
1 1 -1 3 00
10 0 1-1 -1
111 0 0 0
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 27
• Perhatikan bahwa :
dan
maka
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=−
120111
1011A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
122011123
A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−
120111
101
210121012
1AA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
100010001
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 28
11 −Ak
Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :
i. (A-1)-1 = A
ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers
maka (A . B)-1 = B-1 . A-1
iii. Misal k ∈ Riil maka (kA)-1 =
iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 29
Latihan
Diketahui
, dan
Tentukan (untuk no 1 – 5) matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C 4. (4B)C + 2C
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
112103
A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2014
B ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
513241
C
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 30
Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :
dan
5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A,
B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
2 1 0 1 2 1 0 1 2
D⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
144010023
E
Top Related