UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN
REGIMEN NO LINEAL CON DEFORMACION POR
CORTANTE
Tesis Doctoral
Elvira Mercedes Lopez Salinas
Ingeniera Civil
Directores:
Olga Isabel Rıo Suarez
Jose Luis Romero Martın
Doctores Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Madrid, Abril de 2015
ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN REGIMEN NOLINEAL CON DEFORMACION POR CORTANTE
Tesis doctoral
Universidad Politecnica de Madrid
Madrid, Abril 2015
Palabras clave: Pieza lineal equivalente, viga-columna de Timoshenko, deformacionpor cortante, solucion nodal exacta, accion repartida equivalente, carga de pandeo,carga lımite.
Autor:Lopez Salinas Elvira MercedesIngeniera Civil
Directores de la tesis:Olga Isabel Rıo SuarezDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y PuertosInstituto de Ciencias de la Construccion Eduardo Torroja, CSIC
Jose Luis Romero MartınDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y PuertosETS Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, UPM
Escuela de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politecnica de Madrid
Instituto de Ciencias de la Construccion Eduardo TorrojaAgencia Estatal Consejo Superior de Investigaciones Cientıficas, CSIC
IMPRESO EN MADRID, ESPANA
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politecnica
de Madrid, el dıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Presidente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Secretario D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suplente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suplente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el dıa . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . de 2015
en la E.T.S. de Ingenieros Industriales de la U.P.M.
Calificacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EL PRESIDENTE LOS VOCALES
EL SECRETARIO
A ti que no has vacilado nunca en apostar tu felicidad a cambio de mi futuro,
a ti que con tu ejemplo me ensenaste a luchar por lo que quiero
y a salir adelante a pesar de las adversidades,
A TI MAMA
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Agradecimientos
Aprovecho esta oportunidad para expresar mi mas profundo y sincero agradecimiento amis directores, Dra. Olga Rıo Suarez y Dr. Jose Luis Romero Martın, por su orientacion,ideas y consejos en todos estos anos. A los dos, muchas gracias por su paciencia ydedicacion, este trabajo no hubiera sido posible sin vuestra ayuda.
Quisiera tambien expresar mi gratitud al Dr. Miguel Angel Ortega por sus acertadoscomentarios y puntos de vista sobre esta investigacion, que da continuidad a las lıneasde trabajo iniciadas en su tesis doctoral ”Analisis del Pandeo de Pilares en regimen nolineal mediante splines generalizados”.
Agradezco profundamente al Departamento de Postgrado del Consejo Superior de In-vestigaciones Cientıficas, CSIC, por la concesion de la beca JAE-Predoc de la ”Juntapara la Ampliacion de Estudios”, cofinanciada por el Fondo Social Europeo y a losServicios Administrativos del Instituto de Ciencias de la Construccion Eduardo To-rroja, de manera especial a Asuncion Casanova por su ayuda en todos los tramitesadministrativos.
Quiero tambien agradecer a los miembros del Departamento de Construccion del IETcc-CSIC, especialmente al Grupo de Gestion de Riesgo y Seguridad. Al Departamento deMatematica e Informatica Aplicadas a la Ingenierıa Civil, de la ETSI de Caminos,Canales y Puertos de la UPM por los medios y facilidades prestadas para la realizacionde este trabajo.
Agradezco tambien al Dr. Sergio Blanco Ibanez, quien dirigiera mi tesina de Master,al Dr. Gia Khanh Nguyen por su amistad y ayuda en la preparacion del presentedocumento. A mi companero de oficina, Viet Duc Nguyen, con quien compartı gratosmomentos.
Un agradecimiento especial a Anayansi, Cristina, Govi, Luis, Marıa, Montse, Raquely Rafa, por su amistad y por hacer mi estancia en Espana mas llevadera. Asimismo,agradezco a Andrea, Blanca, Fio, Naty y Karla, por apoyarme en la distancia.
”Muchas cosas cambian en la vida, pero uno comienza y acaba en la familia” A. B
Por ultimo, y no por ello menos importante, un agradecimiento especial a toda mifamilia. De manera especial a mi madre Zoila y mis hermanos Danny, Jessica, Karen,Diana y Anabel, por apoyarme y motivarme, no solo en el perıodo que ha conllevado larealizacion de este trabajo, sino toda la vida. El estar separados tanto tiempo valio lapena. GRACIAS!
v
Resumen
El hormigon estructural sigue siendo sin duda uno de los materiales mas utilizadosen construccion debido a su resistencia, rigidez y flexibilidad para disenar estructuras.El calculo de estructuras de hormigon, utilizando vigas y vigas-columna, es complejodebido a los fenomenos de acoplamiento entre esfuerzos y al comportamiento no linealdel material. Los modelos mas empleados para su analisis son el de Bernoulli-Euler y elde Timoshenko, indicandose en la literatura la conveniencia de usar el segundo cuandola relacion canto/luz no es pequena o los elementos estan fuertemente armados.
El objetivo fundamental de esta tesis es el analisis de elementos viga y viga-columna enregimen no lineal con deformacion por cortante, aplicando el concepto de Pieza LinealEquivalente (PLE). Concepto este que consiste basicamente en resolver el problema deuna pieza en regimen no lineal, transformandolo en uno lineal equivalente, de modoque ambas piezas tengan la misma deformada y los mismos esfuerzos.
Para ello, se hizo en primer lugar un estudio comparado de: las distintas propuestas queaplican la deformacion por cortante, de los distintos modelos constitutivos y seccionalesdel hormigon estructural y de los metodos de calculo no lineal aplicando el metodode elementos finitos (MEF). Teniendo en cuenta que la resolucion del problema nolineal se basa en la resolucion de sucesivos problemas lineales empleando un procesode homotopıa, los problemas lineales de la viga y viga-columna de Timoshenko, seresuelven mediante MEF, utilizando soluciones nodalmente exactas (SNE) y accionrepartida equivalente de cualquier orden. Se obtiene ası, con muy pocos elementosfinitos, una excelente aproximacion de la solucion, no solo en los nodos sino en elinterior de los elementos.
Se introduce el concepto PLE para el analisis de una barra, de material no lineal,sometida a acciones axiales, y se extiende el mismo para el analisis no lineal de vigas yvigas-columna con deformacion por cortante. Cabe senalar que para estos ultimos, lasolucion de una pieza en regimen no lineal es igual a la de una en regimen lineal, cuyasrigideces son constantes a trozos, y donde ademas hay que anadir momentos y cargaspuntuales ficticias en los nodos, ası como, un momento distribuido ficticio en toda lapieza.
Se han desarrollado dos metodos para el analisis: uno para problemas isostaticos yotro general, aplicable tanto a problemas isostaticos como hiperestaticos. El primerodetermina de entrada la PLE, realizandose a continuacion el calculo por MEF-SNE dedicha pieza, que ahora esta en regimen lineal. El general utiliza una homotopıa que
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transforma de manera iterativa, unas leyes constitutivas lineales en las leyes no linealesdel material. Cuando se combina con el MEF, la pieza lineal equivalente y la soluciondel problema original quedan determinadas al final de todo el proceso.
Si bien el metodo general es un procedimiento proximo al de Newton- Raphson, presentasobre este la ventaja de permitir visualizar las deformaciones de la pieza en regimenno lineal, de manera tanto cualitativa como cuantitativa, ya que es posible observar encada paso del proceso la modificacion de rigideces (a flexion y cortante) y asimismo laevolucion de las acciones ficticias.
Por otra parte, los resultados obtenidos comparados con los publicados en la literatura,indican que el concepto PLE ofrece una forma directa y eficiente para analizar conmuy buena precision los problemas asociados a vigas y vigas-columna en las que porsu tipologıa los efectos del cortante no pueden ser despreciados.
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Abstract
The structural concrete clearly remains the most used material in construction dueto its strength, rigidity and structural design flexibility. The calculation of concretestructures using beams and beam-column is complex as consequence of the couplingphenomena between stresses and of its nonlinear behaviour. The models most com-monly used for analysis are the Bernoulli-Euler and Timoshenko. The second model isstrongly recommended when the relationship thickness/span is not small or in case theelements are heavily reinforced.
The main objective of this thesis is to analyse the beam and beam-column elementswith shear deformation in nonlinear regime, applying the concept of Equivalent LinearStructural Element (ELSE). This concept is basically to solve the problem of a struc-tural element in nonlinear regime, transforming it into an equivalent linear structuralelement, so that both elements have the same deformations and the same stresses.
Firstly, a comparative study of the various proposals of applying shear deformation, ofvarious constitutive and sectional models of structural concrete, and of the nonlinearcalculation methods (using finite element methods) was carried out. Considering thatthe resolution of nonlinear problem is based on solving the successive linear problem,using homotopy process, the linear problem of Timoshenko beam and beam-columnsis resolved by FEM, using the exact nodal solutions (ENS) and equivalent distributedload of any order. Thus, the accurate solution approximation can be obtained withvery few finite elements for not only nodes, but also for inside of elements.
The concept ELSE is introduced to analyse a bar of nonlinear material, subjected toaxial forces. The same bar is then used for other nonlinear beam and beam-columnanalysis with shear deformation. It is noted that, for the last analyses, the solution ofa structural element in nonlinear regime is equal to that of linear regime, in which thepiecewise-stiffness is constant, the moments and fictitious point loads need to be addedat nodes of each element, as well as the fictitious distributed moment on element.
Two methods have been developed for analysis: one for isostatic problem and othermore general, applicable for both isostatic and hiperstatic problem. The first methoddetermines the ELSE, and then the calculation of this piece is performed by FEM-ENSthat now is in linear regime. The general method uses the homotopy that transformsiteratively linear constitutive laws into nonlinear laws of material. When combined withFEM, the ELSE and the solution of the original problem are determined at the end ofthe whole process.
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The general method is well known as a procedure closed to Newton-Raphson procedurebut presents an advantage that allows displaying deformations of the piece in nonli-near regime, in both qualitative and quantitative way. Since it is possible to observethe modification of stiffness (flexural and shear) in each step of process and also theevolution of the fictitious actions.
Moreover, the results compared with those published in the literature indicate that theELSE concept offers a direct and efficient way to analyze with very good accuracy theproblems associated with beams and beams columns in which, by typology, the effectsof shear cannot be neglected.
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Lista de sımbolos
Los sımbolos empleados a lo largo de la tesis se definen en la siguiente lista, la mismano es exhaustiva. En algunos casos, el mismo sımbolo tiene diferentes significados endiferentes partes de la tesis, lo que quedara claro dentro de dicho contexto.
Letras Romanas en Mayusculas
A: Area de la seccion transversal
Ag: Area bruta de la seccion de hormigon
Aw: Area del refuerzo transversal
E: Modulo de Young
Ec: Modulo de deformacion longitudinal del hormigon
Ep: Modulo de deformacion longitudinal del acero
F (s): Carga distribuida que actua perpendicular a la directriz de la pieza sin deformar
Fx, Fy, Fz: Fuerzas por unidad de volumen actuando en una viga en las direcciones x,y y z
G: Modulo de rigidez cortante
H: Rigidez a flexion; funcion Escalon de Heaviside
H1(Ω): Espacio de Sobolev
I: Momento de inercia de la seccion transversal respecto al eje x
I1: Momento de inercia de la seccion transversal respecto al eje z
K: Rigidez a cortante
Ke: Matriz de rigidez del elemento
KG: Matriz de global del elemento
Ks: Coeficiente de correccion por cortante
xi
M : Momento flector
M : Momento puntual ficticio
P : Carga axial de compresion
P : Carga puntual ficticia
Q: Esfuerzo cortante
Tx, Ty, Tz: Fuerzas por unidad de area en el contorno actuando en una viga en lasdirecciones x, y y z
U : Promedio del desplazamiento de la seccion en la direccion x
V : Cortante modificado o pseudo-cortante
Vcr: Cortante crıtico de la seccion de hormigon
Vu: Resistencia ultima a cortante de la seccion de hormigon
We: Trabajo externo
W : Promedio del desplazamiento vertical de una seccion
Letras Romanas en Minusculas
ai: Rigidez axial del elemento i, rigidez a flexion del elemento i
b: Ancho de la seccion transversal
ci: Rigidez a cortante del elemento i
ds: Diferencial longitud de arco
fcd: Resistencia de calculo del hormigon en compresion
fctd: Resistencia de calculo del hormigon en traccion
fck: Resistencia caracterıstica del hormigon en compresion
fpd: Resistencia de calculo del acero para armadura activa
fyd: Resistencia de calculo del acero para armadura pasiva
fyw: Resistencia de fluencia del acero transversal
f : Accion repartida equivalente
fk: Accion repartida equivalente de orden k ≥ 4 fyk: Lımite elastico caracterıstico delacero
f : Carga distribuida ficticia
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Capıtulo 0. Lista de sımbolos
h: Canto de la seccion transversal; longitud de un elemento finito
ks: Factor de correccion por cortante
p: Carga transversal total por unidad de longitud
s: Longitud de arco
u,w: Componentes del desplazamiento en las direcciones x y z
v: Funcion de ponderacion y de forma para el desplazamiento w
vx, vz: Desplazamientos residuales en las direcciones x y z
Letras Griegas en Mayusculas
Γ: Contorno de Ω
Ω: Dominio del problema
Φ: Promedio de la rotacion respecto al eje y
Letras Griegas en Minusculas
δ: Operador variacional; delta de Dirac
γ: Deformacion por cortante
ν: Coeficiente de Poisson
φ: Giro en la fibra neutra de la viga; funcion de ponderacion y de forma para el giro ψ
ψ: Giro en la fibra neutra de la viga
σc: Tension de compresion
σx, σy, σz: Tensiones normales en las direcciones x, y y z
τxz: Tension tangencial en el plano xz
εc: Deformacion del hormigon
εc0: Deformacion de rotura del hormigon a compresion simple
εcu Deformacion de rotura del hormigon en flexion
xiii
Indice general
III
Agradecimientos V
Resumen VII
Abstract IX
Lista de sımbolos XI
Indice general XV
Indice de figuras XXI
Indice de tablas XXIX
1. Introduccion 1
1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Estado del Arte 7
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacionpor cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
xv
INDICE GENERAL
2.2.1. Teorıa de viga de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1.1. Ecuaciones de la viga de Timoshenko . . . . . . . . . . 10
2.2.1.2. Ecuaciones de la viga-columna de Timoshenko . . . . . 20
2.2.2. Teorıas de vigas de alto orden o refinadas . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2.1. Teorıa de viga de Levinson . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2.2. Teorıa de viga Reddy-Bickfford . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2.3. Teorıa de viga Shi y Voyiadjis . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2.4. Teorıas trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2.5. Teorıas hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3. Eleccion de la teorıa de vigas y viga-columna con deformacionpor cortante para esta investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estruc-tural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Metodo de Elementos Finitos en problemas no lineales . . . . . 32
2.3.2. No linealidad del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2.1. Hormigon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2.2. Acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2.3. Diagrama momento-curvatura de una seccion . . . . . 40
2.3.2.4. Diagrama cortante-deformacion por cortante de unaseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3. Eleccion de los modelos para el hormigon estructural para estainvestigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente 51
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Solucion Nodal Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1. Elementos finitos y solucion nodal exacta en la viga de Timoshenko 52
3.3. Accion Repartida Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1. Accion Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
xvi
INDICE GENERAL
3.3.2. Propiedades de la accion equivalente: ortogonalidad e interpolacion 57
3.3.3. Accion repartida equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4. Orden de la accion repartida equivalente . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.5. Aplicacion de los polinomios ortogonales de Legendre a la accionrepartida equivalente de cualquier orden . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.5.1. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad para lassoluciones incrementales relativas a los sumandos de lacarga g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.6. Determinacion de los movimientos y esfuerzos para una accionrepartida equivalente de cualquier orden k ≥ 4 . . . . . . . . . . 64
3.3.6.1. Para una accion repartida equivalente de orden 4. Meto-do de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.6.2. Para una accion repartida equivalente de cualquier or-den k ≥ 4. Metodo de proyeccion ortogonal . . . . . . 65
3.3.7. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.7.1. Viga empotrada-apoyada con carga repartida y puntual 67
3.3.7.2. Viga empotrada-apoyada con cargas repartidas de dis-tinto signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.7.3. Viga biempotrada con carga puntual . . . . . . . . . . 75
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columnade Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.1. Elementos finitos con solucion nodal exacta . . . . . . . . . . . 78
3.4.2. Cargas de pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4.3. Aplicacion del concepto de accion repartida equivalente a la viga-columna de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.4. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.4.1. Viga-columna empotrada-apoyada con carga repartiday carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.4.2. Viga-columna empotrada en la base y apoyada en elcentro, con carga repartida y cargas puntuales . . . . . 93
3.5. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente 99
xvii
INDICE GENERAL
4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales enregimen no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2. Pieza Lineal Equivalente empleando la teorıa de distribuciones . 108
4.2.3. Carga distribuida ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.4. Metodo para Problemas Isostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.5. Metodo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.1. Solucion exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2. Solucion aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.2.1. Metodo diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.2.2. Metodo de iteracion directa . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.2.3. Metodo Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.2.4. Pieza Lineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2.5. Comparacion de resultados obtenidos por las diferentesmetodologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.2.6. Calculo de la carga distribuida ficticia . . . . . . . . . 129
4.4. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko 135
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko . . . . . . . . . . 136
5.2.1. Formulacion del problema de la viga de Timoshenko en regimenno lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2.2. Metodo para Problemas Isostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.3. Metodo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.4. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko . . . . . . 160
5.3.1. Formulacion del problema en regimen no lineal . . . . . . . . . . 160
xviii
INDICE GENERAL
5.3.2. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6. Validacion y alcance de la metodologıa 173
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5. Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.6. Ejemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.7. Resumen y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7. Conclusiones y trabajos futuros 201
7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Bibliografıa 203
xix
Indice de figuras
2.1. Desplazamientos y giros en la viga de Timoshenko . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Acciones en un elemento diferencial viga . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Viga de seccion constante. Adaptado de [Cowper, 1966] . . . . . . . . . 13
2.4. Desplazamiento residual vx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5. Acciones en un elemento diferencial viga-columna . . . . . . . . . . . . 20
2.6. Notacion y convenio de signos: (a) definicion positiva de momentos, cor-tantes y cargas y (b) definicion positiva de desplazamientos y giros.Adaptada de [Levinson, 1981] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7. Viga en flexion en el plano x-z. Adaptado de [Dahake y Ghugal, 2013] . 27
2.8. Esquema de iteracion del metodo de Newton-Raphson: (a) en terminosde Ψ(U) y (b) en terminos del residuo R(U) . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9. Curvas tension-deformacion del hormigon a compresion: 1) conven-cional, 2) de alta resistencia –HAR-, 3) ultra alta resistencia con fi-bras –HFRUAR-, 4) HFRUAR confinado, 5) HFRUAR pretensado, 6)HFRUAR confinado pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10. Comportamiento de un elemento sometido a traccion: (a) hormigon re-forzado con fibras y (b) con barra de acero embebida en el hormigon.Adaptada de [Coto, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11. Comportamiento a traccion uniaxial de HRFUAR. Adaptado de [Mayaet al., 2010; Spasojevic, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.12. Diagramas constitutivos del hormigon: (a) parabola-rectangulo [EHE,2010], (b) hiperbola [MC, 2010], (c) [Kent y Park, 1971], (d) [Sargin,1971], (e) [AFGC-Setra, 2004] y (f) [Attard y Setunge, 1996] . . . . . . 39
2.13. Diagramas constitutivos para el acero [EHE, 2010]: (a) armaduras pasi-vas y (b) aramaduras activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
xxi
INDICE DE FIGURAS
2.14. Esquema de un elemento con secciones discretizadas por el metodo defibras (superior) y consideracion de esfuerzos internos deformaciones deuna seccion (inferior) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.15. Dominios de deformacion para una seccion de: (a) con armadura pasiva,(b) de hormigon reforzado con fibras (HRFA), y (c) HRFA con armadurapasiva. Tomado de [Coto, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.16. Diagrama general momento-curvatura [Rıo, 1986] . . . . . . . . . . . . 44
2.17. Diagramas momento-curvatura bilineal y trilineal. Adaptado de [Rıo,1986] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.18. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos,2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.19. Contribucion de la carga axial a la resistencia a cortante del pilar oviga-columna: (a) flexion invertida y (b) flexion simple. Adaptada de[Priestley et al., 1994] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.20. Factor k [Mergos y Kappos, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.21. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos,2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1. Viga empotrada-apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obte-nidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . 68
3.4. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . 69
3.7. Viga empotrada-apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Comparacion de desplazamientos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler 71
3.9. Comparacion de giros: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler . . . . . . 71
xxii
INDICE DE FIGURAS
3.10. Comparacion de momentos flectores: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11. Comparacion de esfuerzos cortantes: (a) Timoshenko y b) Bernoulli -Euler 72
3.12. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler . 73
3.13. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) desplazamientos y (b)giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.14. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) momentos flectores y(b) esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.15. Representacion de las sucesivas cargas repartidas equivalentes . . . . . 74
3.16. Viga biempotrada, carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.17. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.18. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obte-nidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . 76
3.19. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.20. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.21. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler . 77
3.22. Carga normalizada de pandeo PcrT/PcrE-relacion adimensional b/L, paradiferentes condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.23. Viga-columna empotrada-articulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.24. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproxima-da obtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 90
3.25. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenidacon un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . 90
3.26. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 91
3.27. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 91
3.28. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . 92
xxiii
INDICE DE FIGURAS
3.29. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) des-plazamientos y (b) giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.30. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) mo-mentos flectores y (b) esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.31. Viga-columna empotrada en la base y apoyada en el centro . . . . . . . 94
3.32. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 94
3.33. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenidacon dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . 95
3.34. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la apro-ximada obtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 95
3.35. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 96
3.36. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . 96
3.37. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) des-plazamientos y (b) giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.38. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) mo-mentos flectores y (b) esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1. Equilibrio de un elemento diferencial barra . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2. Diagrama tension-deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4. Barra fija: (a) Esquema de carga y (b) Ley de esfuerzos en la barra . . 105
4.5. (a) Ley de esfuerzo en la barra y (b) relacion esfuerzo-deformacion delmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6. Barra en estado deformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.7. Equivalencia entre el problema lineal y no lineal: (a) barra en regimenno lineal y (b) barra lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.8. Variacion de la rigidez en funcion de la deformacion para la barra enregimen no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.9. Variacion continua de la rigidez en toda la barra . . . . . . . . . . . . . 108
4.10. Discretizacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
xxiv
INDICE DE FIGURAS
4.11. Correspondencia entre los esfuerzos en la barra y el diagrama esfuerzo-deformacion del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.12. Barra fija. Caracterısticas geometricas y estado de carga . . . . . . . . 114
4.13. Diagrama tension deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.14. Correspondencia entre la tension en la barra y la tension del material:(a) tension en la barra y (b) tension-deformacion . . . . . . . . . . . . 117
4.15. Esquema de iteracion del metodo de Picard . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.16. Ley de esfuerzos en toda la barra y su correspondencia con el diagramaesfuerzo-deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.17. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.18. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico . . . . . . . . . . . 123
4.19. Proceso de homotopıa λ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.20. Pieza lineal para λ = 0, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.21. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general . . . . . . . . . . . 126
4.22. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos . . . . . . . . . . . 128
4.23. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos . . . . . . . . . . 128
4.24. Desplazamientos en la barra empleando la Pieza Lineal Equivalente ydiscretizando la barra en diferente numero de elementos . . . . . . . . . 129
4.25. Carga distribuida ficticia en toda la barra . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.26. Variacion del area de la seccion transversal, S(x), en toda la barra . . . 131
4.27. Problema lineal equivalente en el continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1. Comportamiento no lineal del material: (a) momento-derivada de giro y(b) cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2. Leyes del material y aproximacion poligonal: (a) momento-derivada degiro y (b) cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3. Viga en voladizo: (a) esquema de carga, (b) ley de momentos flectores y(c) ley de esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4. Ley de momentos flectores en la viga y su correspondencia con el dia-grama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5. Ley de esfuerzos cortantes en la viga y su correspondencia con el dia-grama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
xxv
INDICE DE FIGURAS
5.6. Viga en estado deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.7. Equivalencia entre el problema no lineal y lineal: (a) viga en regimen nolineal y (b) viga lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.8. Viga en voladizo. Caracterısticas geometricas y estado de carga . . . . 149
5.9. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.10. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.11. Discretizacion de la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.12. Correspondencia entre los momentos flectores en la viga y el diagramamomento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.13. Correspondencia entre los esfuerzos cortantes en la viga y el diagramacortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.14. Aproximacion del diagrama momento-derivada de giro con una ley po-ligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.15. Aproximacion del diagrama cortante-deformacion por cortante con unaley poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.16. Diagramas originales y aproximacion poligonal de: (a) momento-derivada de giro y (b) cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . 153
5.17. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico . . . . . . . . . . . 154
5.18. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general . . . . . . . . . . . 156
5.19. Variacion de la rigidez de cada elemento: (a) rigidez a flexion y (b) rigideza cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.20. Desplazamientos en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . . . 159
5.21. Giros en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.22. Momentos flectores en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . 160
5.23. Esfuerzos cortantes en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . 160
5.24. Viga-columna en voladizo. Estado de carga, caracterısticas geometricasy discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.25. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.26. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.27. Rigidez a flexion de cada elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.28. Rigidez a cortante de cada elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
xxvi
INDICE DE FIGURAS
5.29. Pieza Lineal Equivalente para la viga-columna . . . . . . . . . . . . . . 169
5.30. Resultados obtenidos: (a) desplazamientos, (b) giros, (c) momentos flec-tores y (d) esfuerzos cortantes, en toda la viga-columna . . . . . . . . . 170
6.1. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Vecchio, 2000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4. Discretizacion de la viga. Dimensiones en mm . . . . . . . . . . . . . . 176
6.5. Pieza Lineal Equivalente para Pu = 474 kN . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.6. Variacion de la rigidez a flexion para Pu = 474 kN . . . . . . . . . . . . 177
6.7. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga . . . . . . . . . . . 178
6.8. Desplazamientos en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.9. Giros en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.10. Momentos flectores en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.11. Esfuerzos cortantes en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.12. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Vecchio y Shim, 2004] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.13. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.14. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.15. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga . . . . . . . . . . . 182
6.16. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Lee et al., 2011] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.17. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.18. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.19. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga . . . . . . . . . . . 185
6.20. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Yang et al., 2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.21. Diagrama tension-deformacion del HRFUAR: (a) compresion y (b) trac-cion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.22. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
xxvii
INDICE DE FIGURAS
6.23. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.24. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga . . . . . . . . . . . 187
6.25. Caracterısticas geometricas, estado de carga y discretizacion del pilar . 188
6.26. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.27. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.28. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite . . . . . . . 191
6.29. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite . . . . . . 191
6.30. Diagrama carga axil-desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.31. Desplazamientos y giros en el pilar al alcanzar la carga lımite . . . . . . 195
6.32. Momentos flectores y esfuerzos cortantes en el pilar al alcanzar la cargalımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.33. Diagrama carga axil-desplazamiento para distintos valores de carga ho-rizontal f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.34. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite para diferentesvalores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m, (c)f = 2, 5 kN/m, (d) f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10 kN/m,(g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.35. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite para dife-rentes valores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m,(c) f = 2, 5 kN/m, (d) f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10kN/m, (g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m . . . . . . . . . . . . . . 198
xxviii
Indice de tablas
2.1. Resumen de las ecuaciones de equilibrio y constitutivas . . . . . . . . . 18
2.2. Calculo estructural. Origen de la no linealidad [Murcia, 1987] . . . . . . 31
3.1. Carga crıtica de Euler para diferentes condiciones de contorno . . . . . 83
3.2. Carga normalizada para diferentes condiciones de contorno y para unaseccion rectangular con ks = 5/6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la PiezaLineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2. Valores de esfuerzo axial y deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3. Deformaciones en los nodos internos de la barra, para un valor de λ = 0, 5124
4.4. Resultados del proceso de homotopıa para la barra a traccion empleando5 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5. Desplazamientos en la barra empleando la metodologıa de Pieza LinealEquivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6. Rigideces de cada elemento de la barra empleando la metodologıa dePieza Lineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos . . . . . . . . . . . 127
4.8. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos . . . . . . . . . . 129
5.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la PiezaLineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2. Caracterısticas del material (tomado de [Mohr et al., 2010]) . . . . . . . 150
5.3. Resultados del proceso de homotopıa, rigidez a flexion (ai) y momentopuntual ficticio (Mi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
xxix
INDICE DE TABLAS
5.4. Resultados del proceso de homotopıa, rigidez a cortante (ci)y carga pun-tual ficticia (Pi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5. Desplazamientos y giros en la viga empleando 6 elementos . . . . . . . 156
5.6. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) enla viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.7. Desplazamientos y giros en la viga empleando 8 elementos . . . . . . . 158
5.8. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) enla viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a fle-xion y momento puntual ficticio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.10. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a cor-tante y carga puntual ficticia, P (kN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1. Caracterısticas del material. Tomado de [Stramandinoli, 2007] . . . . . 174
6.2. Valores empleados para calcular del diagrama cortante-deformacion porcortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3. Valores caracterısticos del diagrama cortante- deformacion por cortante 175
6.4. Comparacion de resultados experimentales con los calculados . . . . . . 178
6.5. Caracterısticas del material. Tomado de [Vecchio y Shim, 2004] . . . . . 180
6.6. Comparacion de resultados experimentales con los calculados . . . . . . 182
6.7. Caracterısticas del material. Tomado de [Lee et al., 2011] . . . . . . . . 183
6.8. Caracterısticas del material. Tomado de [Yang et al., 2012] . . . . . . . 185
6.9. Comparacion de resultados experimentales con los calculados . . . . . . 188
6.10. Caracterısticas del material.Tomado de [Mohr et al., 2010] . . . . . . . 189
6.11. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a flexion y mo-mento puntual ficticio. P = 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.12. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a cortante y cargapuntual ficticia. P = 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.13. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a flexion y mo-mento puntual ficticio. P = 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.14. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a cortante y cargapuntual ficticia. P = 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
xxx
INDICE DE TABLAS
6.15. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a flexion y mo-mento puntual ficticio. P = 6435.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.16. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a cortante y cargapuntual ficticia. P = 6435.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
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CAPITULO 1
Introduccion
1.1 Motivacion
El hormigon estructural sigue siendo sin duda uno de los materiales mas utilizados eningenierıa civil y edificacion debido a su resistencia, rigidez y flexibilidad a la hora dedisenar los distintos elementos. Los desarrollos experimentados en las ultimas decadasen este tipo de materiales compuestos (motivado por la especial preocupacion de lasdistintas industrias, entre ellas la de la construccion, por el medio ambiente y porreducir el peso de cualquier estructura) ha permitido elevar su resistencia y su rigidez,lo que ha dado lugar a la adaptacion o desarrollo de nuevos modelos para representarsu comportamiento [AFGC-Setra, 2004; Spasojevic, 2008; EHE, 2010].
Sea cual sea el modelo de hormigon estructural utilizado, lo que si sigue siendo un he-cho es que, muchos de los componentes estructurales usados en construccion estanformados por elementos sometidos a cargas estaticas que originan principal-mente: i) esfuerzos de flexion (vigas) o, ii) esfuerzos axiales (barras) o iii) en los queambos esfuerzos se combinan (por lo que se suelen denominar elementos viga-columna).Es tambien un hecho, que estos elementos se disenan para que cumplan ciertos crite-rios, entre los que se encuentran fundamentalmente los de resistencia y estabilidad, yque de manera general este tipo de elementos se analizan siguiendo la teorıa clasica deBernoulli-Euler [Rıo, 1986; EHE, 2010].
Cabe asimismo indicar que si bien un elemento viga de hormigon con condiciones decontorno sencillas se puede resolver exactamente al considerarlo como un problema deelasticidad, el calculo involucrado no resulta sencillo. Esto se debe no solo a la existenciade fenomenos de acoplamiento entre esfuerzos (traccion-flexion, compresion-flexion,etc.), sino tambien al propio comportamiento no lineal del material. La anisotropıa,la fisuracion ası como otros efectos obligan al uso de modelos mas complejos que losutilizados en el caso de materiales isotropos [Reddy, 2003].
Como es sabido, el analisis no lineal implica la resolucion de sistemas de ecuacionesdiferenciales no lineales que en la mayorıa de los casos requieren el uso de metodosnumericos. La metodologıa habitual para el tratamiento de los problemas no lineales,consiste en una discretizacion del dominio en un numero relativamente alto de ele-
1
1.1. Motivacion
mentos finitos, combinados con algoritmos iterativos y de integracion, que implican engeneral un alto coste computacional, en especial cuando se quiere conocer el estado ten-sional en puntos senalados del elemento y no solo su comportamiento global [Santiuste,2007; Romero et al., 2014].
En la teorıa de vigas, como se ha mencionado, el modelo mas simple y por tanto masutilizado en general ha sido el modelo de viga de Bernoulli-Euler. Este modelo, como esbien sabido, es mas adecuado para piezas esbeltas que para vigas en las que la relacioncanto/luz no es pequena (vigas cortas), debido a la menor rigidez al esfuerzo cortanteque presentan las segundas. Para este tipo de vigas cortas o las fuertemente armadas,resulta mucho mas adecuado otro modelo tambien simplificado como es el desarrolladopor Timoshenko, quien propone la aplicacion de un giro medio a fin de tener en cuentalos giros causados por la deformacion por cortante [Timoshenko, 1921].
Con el fin de mejorar la precision en los ultimos tiempos se han desarrollado modelosbasados en las denominadas teorıas de vigas de alto orden o refinadas [Levinson, 1981;Reddy, 1984], pero no es menos cierto que, debido a la complejidad algebraica y alelevado coste computacional, estas teorıas normalmente no superan el tercer orden. Espreciso, por tanto, indicar que si bien las teorıas de alto orden proporcionan resultadosmas precisos que la teorıa de primer orden de Timoshenko, el coste computacional delas primeras, frente a la segunda hace que esta siga siendo mas empleada. Sobre todo,porque incluso cuando el comportamiento del material es no lineal, como en el caso delhormigon, pueden obtenerse resultados bastante aproximados siempre que se empleenmodelos del material apropiados como los que se utilizan para la viga de Bernoulli Euler[Rıo, 1986; EHE, 2010]. Otro aspecto adicional a tener en cuenta cuando se empleanalgunos modelos computacionales mas complejos y no los modelos simplificados es ladificultad para interpretar de manera inmediata el sentido fısico de algunos algoritmos.
Desde este punto de vista, un modelo que podrıa resultar adecuado, tanto por su pre-cision como por su sentido fısico, es el basado en el concepto de pieza lineal equivalente[Ortega, 2004; Romero et al., 2005, 2007]. La simplificacion que plantea dicho concep-to, consiste en resolver el problema de una pieza en regimen no lineal transformandolosucesivamente en uno lineal equivalente mediante una homotopıa, de modo que ambaspiezas tengan la misma deformada y los mismos esfuerzos.
Cabe indicar no obstante, que a pesar de la demostrada eficacia (menor tiempo compu-tacional) y adecuada precision, para resolver con exito problemas de pandeo de pilares,considerando la no linealidad del material con la teorıa de clasica de Bernoulli- Euler[Ortega, 2004; Romero et al., 2005], o problemas de vigas cortas considerando una rela-cion lineal entre el cortante y la deformacion por cortante [Romero et al., 2007], hastala fecha no se habıa planteado la generalizacion del problema considerando la deforma-cion por cortante conjuntamente con la no linealidad del material. Dicha generalizacion,requiere no solo la consideracion de momentos puntuales ficticios como se habıa venidohaciendo [Ortega, 2004; Romero et al., 2005], sino ademas, la consideracion de accionespuntuales ficticias y momentos distribuidos ficticios.
Es claro pues, que el tema de los modelos de vigas sigue siendo no solo un tema deactualidad sino un tema que requiere la consideracion de nuevas propuestas a fin de
2
Capıtulo 1. Introduccion
desarrollar modelos simplificados capaces de captar la naturaleza del comportamientomecanico de los materiales, por complejos que estos sean, y de producir resultadossuficientemente precisos sin que ello conlleve un alto coste computacional.
1.2 Objetivos
Teniendo en cuenta lo descrito anteriormente, en este trabajo se lleva a cabo el analisisde elementos viga y viga-columna en regimen no lineal con deformacion por cortante(donde la no linealidad viene dada por el comportamiento del material) aplicando elconcepto de Pieza Lineal Equivalente. Los estudios se centran en el analisis de piezasde hormigon estructural sometidas a flexion o a flexion y compresion.
Por tanto, el objetivo principal de la presente investigacion es:
Analizar, sistematizar y generalizar la idea del concepto de Pieza Lineal Equivalente,aplicandolo a la resolucion de modelos de viga y viga-columna en regimen no lineal condeformacion por cortante, centrado fundamentalmente al calculo de piezas caracteriza-das por un comportamiento altamente no lineal, como es el caso de las de hormigon.
Dentro del marco del objetivo general se persiguen los siguientes objetivos particulares:
Resolucion de vigas y vigas-columna en regimen lineal con deformacion por cor-tante mediante elementos finitos con solucion nodal exacta y accion repartidaequivalente de cualquier orden.
Analisis del concepto de pieza lineal equivalente aplicado a la resolucion de unproblema de contorno de segundo orden, considerando como caso representativoel de una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal, con el fin depormenorizar la metodologıa y destacar sus aspectos mas relevantes.
Comprobacion de la metodologıa propuesta para el analisis de la viga y viga-columna en regimen no lineal y con deformacion por cortante, considerando di-ferentes condiciones de carga, de vınculo, geometrıa y propiedades mecanicas delos materiales.
1.3 Contenido
Esta tesis doctoral esta compuesta de siete capıtulos, de los cuales el primero corres-ponde a la presente introduccion.
En el segundo capıtulo que trata sobre el estado del arte, se hace una revision de lasteorıas de vigas que tienen en cuenta la deformacion por cortante. Posteriormente sedestacan los diferentes metodos de calculo aparecidos en la literatura, para la resolu-cion de problemas de vigas y vigas-columna tanto en regimen lineal como no lineal.Finalmente se lleva a cabo un analisis de los modelos que incluyen la deformacionpor cortante para el estudio de elementos de hormigon estructural, haciendo tambienhincapie en los modelos del material utilizados para la obtencion de los diagramasmomento-curvatura y cortante-deformacion por cortante.
3
1.4. Publicaciones
En el capıtulo tres se muestra el analisis en regimen lineal de la viga y viga colum-na de Timoshenko aplicando el concepto de solucion nodal exacta y accion repartidaequivalente. En un primer apartado se analiza la viga, y se introduce tambien el con-cepto de orden de la accion repartida equivalente, ademas se desarrolla una serie deejemplos para diferentes estados de carga y vınculo. En un segundo apartado se ana-liza la viga-columna de Timoshenko, obteniendose la matriz de rigidez exacta, con unprocedimiento diferente al utilizado por otros autores. Finalmente se hace un analisissobre las cargas de pandeo y tambien se desarrollan varios ejemplos ilustrativos de lametodologıa propuesta para los casos lineales.
En el capıtulo cuatro se analiza el concepto de pieza lineal equivalente para la resolu-cion de problemas no lineales. Desarrollandose dos metodologıas, una para problemasisostaticos y otra que denominamos general, para problemas tanto isostaticos comohiperestaticos. Se aborda en primer lugar el analisis de una barra sometida a accionesaxiales con comportamiento no lineal del material. A continuacion se destaca el concep-to de carga ficticia tanto discreta, resultado de la aplicacion del metodo de elementosfinitos, como continua, cuando el numero de elementos tiende a infinito y el tamano detodos ellos tiende a cero, poniendose de manifiesto, en este ultimo caso, la equivalenciade dos problemas continuos con la misma solucion, uno en regimen no lineal y el otroen regimen lineal.
En el capıtulo quinto se aplica el concepto de pieza lineal equivalente en el analisisno lineal de la de viga y viga-columna con deformacion por cortante. Se describe lametodologıa para la resolucion de vigas y se desarrolla un ejemplo de aplicacion de lamisma con el fin de ilustrar detalladamente todos los pasos y conceptos que conllevael procedimiento. Posteriormente, se extiende dicha metodologıa a la resolucion de laviga-columna, con la inclusion de la carga P de compresion, ilustrandose del mismomodo que en el caso anterior la aplicacion del procedimiento.
En el capıtulo seis se muestra el alcance de la metodologıa propuesta a traves deuna serie de casos. Para tal fin se han elegido o desarrollado una serie de ejemplosrepresentativos aplicados al calculo de vigas y vigas-columna, considerando distintassituaciones de carga, geometrıa y condiciones de vınculo. Los resultados obtenidos sehan comparado con los hallados tanto experimentalmente como numericamente porotros autores.
Finalmente, en el capıtulo septimo se recogen las principales conclusiones obtenidasen esta investigacion y se proponen otros trabajos futuros en relacion con los temastratados en la presente memoria.
1.4 Publicaciones
El presente trabajo se ha realizado dentro del Grupo de Gestion de Riesgo y Seguridad,del Departamento de Construccion del Instituto de Ciencias de la Construccion Eduar-do Torrroja, CSIC, en colaboracion con el Departamento de Matematica e InformaticaAplicadas a la Ingenierıa Civil, de la ETSI de Caminos, Canales y Puertos de la UPM,contando con las siguientes ayudas para su realizacion:
4
Capıtulo 1. Introduccion
Analisis de elementos viga-columna en regimen no lineal con deformacion porcortante. Programa ”Junta para la Ampliacion de Estudios”, JAE, (2010-2014).
Proyecto coordinado Plan Nacional, Programa Retos de la Sociedad. (2014-2016):BIA 2013-48480-C2-1-R y BIA2013-48480-C2-2-R. .
El presente trabajo ha dado lugar a las siguientes publicaciones indexadas en Scopus:
Romero, J., Ortega, M., Lopez, E., & Rıo, O. (2014). Elementos finitos conacciones repartidas equivalentes de cualquier orden. Aplicacion a los modelos devigas de Timoshenko y Bernoulli-Euler. Informes de la Construccion, 66(535):e029 doi: 10.3989/ic.12.124.
E.M. Lopez, J.L. Romero, M.A. Ortega, O. Rıo, Simplified Finite Element As-sessment of Beams With and Without Shear Deformation, in B.H.V. Topping,P. Ivanyi, (Editors), Proceedings of the Fourteenth International Conference onCivil, Structural and Environmental Engineering Computing, Civil-Comp Press,Stirlingshire, UK, Paper 209, 2013. doi:10.4203/ccp.102.209.
5
CAPITULO 2
Estado del Arte
2.1 Introduccion
La formulacion no lineal de los problemas de piezas prismaticas surge principalmentepor dos motivos. El primero se debe a la consideracion de relaciones no lineales entredeformaciones y desplazamientos, conocido como no linealidad geometrica. El segundose origina debido a las relaciones constitutivas no lineales del material, lo que habi-tualmente se denomina no linealidad del material. Un tercer motivo de no linealidadaparece cuando las condiciones de contorno se modifican en el proceso de deformacion[Reddy, 2005].
Es habitual llamar no linealidad geometrica a la que resulta de formular las ecuacionesde equilibrio en la posicion deformada, sin embargo, en casos de pequenas deforma-ciones, como por ejemplo el pandeo de pilares, cuando se linealiza la expresion de lacurvatura y considerando un material con comportamiento lineal, el sistema de ecua-ciones diferenciales resultante es lineal, lo que da lugar a que la denominacion de nolinealidad geometrica sea un tanto contradictoria.
En el presente trabajo se aborda el analisis de elementos viga y viga-columna en regi-men no lineal con deformacion por cortante, donde la no linealidad viene dada porel comportamiento del material. Este tipo de no linealidad surge cuando el materialpresenta una relacion tension-deformacion no lineal. Asimismo, la no linealidad delmaterial se puede deber a otros aspectos, como en el caso del hormigon, por la inca-pacidad de resistir tracciones, lo que da lugar a la aparicion de fisuras que alteran elcomportamiento de la seccion.
En este capıtulo se hace una revision historica y en cierto modo sintetica de la literatura,sobre piezas prismaticas. En el siguiente apartado de este capıtulo se incluyen lasdiferentes teorıas de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion porcortante. Se desarrolla el modelo clasico de Timoshenko, ası como otras teorıas en lamisma lınea, que han aparecido en las ultimas decadas.
En el tercer apartado se realiza un analisis de los metodos de calculo no lineal de vigasy vigas-columna de hormigon estructural. Se examinan las aportaciones realizadas anivel normativo y pre-normativo sobre modelos de comportamiento para hormigon
7
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
estructural. Asimismo, se exponen los fundamentos para la obtencion de los diagramasmomento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante.
Finalmente, en el cuarto y ultimo apartado se expone un resumen de este capıtulo.
2.2 Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la defor-macion por cortante
El estudio de vigas y vigas-columna, y piezas prismaticas en general, ha constituidouna rama muy consolidada de la resistencia de materiales, fundamentalmente a partirde los trabajos de Kirchhoff en 1859 [Villaggio, 1997]. Dicho estudio puede ser conside-rado, admitiendo algunas hipotesis simplificadoras e inconsistencias sobre los camposde tensiones y deformaciones, como una teorıa unidimensional derivada de la teorıa dela elasticidad tridimensional.
Una de estas hipotesis simplificadora introducida por Jacob Bernoulli, mucho tiempoantes de quedaran bien establecidas las ecuaciones de la elasticidad por Cauchy en 1829[Villaggio, 1997], es la que indica que las secciones planas normales al eje de la viga per-manecen planas y normales a la viga durante la deformacion. Esta hipotesis constituyela base de la teorıa clasica de vigas y vigas-columna denominada de Bernoulli-Euler.Los resultados de esta teorıa de vigas se consideran adecuados para elementos linealesen los que la longitud es muy superior al canto de la pieza.
Sin embargo, en los casos donde la relacion canto luz no es pequena, o en miembros conpoca rigidez frente a cortante, se han desarrollado modelos mas realistas que tienenen cuenta las deformaciones debidas a este esfuerzo. La primera teorıa de vigas queincorpora estos efectos es conocida como teorıa de primer orden con deformacion porcortante o Teorıa de viga de Timoshenko. La misma fue propuesta por Engesser en1891 y Timoshenko en 1921 [Wang et al., 2005]. Ella considera que las secciones no semantienen perpendiculares a la directriz del elemento, aunque siguen manteniendoseplanas. Es decir, considera un giro adicional de la seccion debido a la deformacion porel esfuerzo indicado, y para ello emplea una distribucion uniforme de tensiones tan-genciales en el canto, introduciendo un factor de correccion por cortante [Timoshenko,1921; Cowper, 1966].
Con el fin de reproducir de una manera mas realista la distribucion de tensiones tangen-ciales y de este modo evitar el uso del factor de correccion por cortante, han aparecidoen las ultimas tres decadas varias teorıas denominadas de alto orden o refinadas quetienen en cuenta este tipo de deformacion. Estas teorıas lo que hacen es mejorar el cam-po de desplazamiento, con respecto a lo que plantea la teorıa de Timoshenko, por loque no es necesario introducir ningun factor de correccion para dicho esfuerzo [Ghugaly Shimpi, 2001; Karama et al., 2003; Ghugal y Sharma, 2009; Shi y Voyiadjis, 2011].
De acuerdo con lo anterior, las teorıas de vigas que tienen en cuenta esta deformacionse pueden clasificar en dos grupos: Teorıa de viga de Timoshenko [Timoshenko, 1921;Cowper, 1966; Timoshenko y Goodier, 1970] y teorıas de alto orden con deformacion porcortante. Estas ultimas emplean diferentes funciones como campo de desplazamiento,como pueden ser: polinomicas [Levinson, 1981; Reddy, 1984, 1997; Shi, 2007; Shi y
8
Capıtulo 2. Estado del Arte
Voyiadjis, 2011], trigonometricas [Stein, 1989; Touratier, 1991; Ghugal y Shimpi, 2001;Dahake y Ghugal, 2013], hiperbolicas [Ghugal y Sharma, 2009, 2011], exponenciales[Karama et al., 2003].
En el caso de las teorıas de vigas-columna, la mayorıa de autores introducen el efectode la carga P de compresion, haciendo una simple modificacion en los modelos devigas, tal y como se puede ver en [Timoshenko y Goodier, 1970; Bazant y Cedolin,1991; Wang et al., 2000, 2005], para el caso de la teorıa de Timoshenko, y en [Wanget al., 2000, 2005; Challamel, 2011; Challamel et al., 2014], tanto para la teorıa deTimoshenko como para las teorıas de orden superior.
2.2.1 Teorıa de viga de Timoshenko
La teorıa de primer orden, tambien denominada teorıa de viga de Timoshenko, [Timos-henko, 1921] (o de Engesser-Timoshenko segun algunos autores [Wang et al., 2005]),tal y como se ha indicado, considera un giro adicional del eje de la seccion debidoa la deformacion tangencial o deslizamiento, γ, que no se contempla en el modeloBernoulli-Euler, ver Figura 2.1.
Figura 2.1. Desplazamientos y giros en la viga de Timoshenko
En la Figura 2.1, como puede verse, el giro del eje de la viga viene dado por dw/dx,ya que al ser el angulo pequeno puede identificarse dicho angulo con su tangente.Asimismo, el citado giro es la suma de ψ y γ.
Siguiendo la notacion empleada en [Romero et al., 2002], el campo de desplazamientos
9
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
(hipotesis cinematica), u y w, se puede expresar del siguiente modo:
u(x, z) = −zψ(x)
w(x, z) = w(x)(2.1)
donde w(x) y ψ(x) son respectivamente, en cada punto de abscisa x, el desplazamientovertical y el giro de la seccion. Las deformaciones para este campo de desplazamientosson:
εx =∂u
∂x= −zdψ
dx
γxz =∂u
∂z+∂w
∂x=dw
dx− ψ
(2.2)
Considerando ahora para las tensiones la ley de Hooke unidimensional, se tiene:
σx = Eεx, τxz = Gγxz (2.3)
donde, E y G = E/[2(1+ν)] son el modulo de Young y el modulo de rigidez a cortante,respectivamente. Integrando sobre el area de la seccion transversal, A, se obtiene elmomento flector y el esfuerzo cortante, como:
M = −x
A
zσx dA = EIdψ
dx
Q =x
A
τ ∗xz dA = ksGA
(dw
dx− ψ
) (2.4)
donde, I es el momento de inercia de la seccion, ks es el llamado factor de correccionpor cortante y τ ∗xz es la distribucion rectangular de tensiones tangenciales equivalente.[Timoshenko, 1921] adopto para secciones rectangulares el valor ks = 2/3.
La eleccion del factor de correccion no es un proceso simple, ya que por ejemplo, paramateriales homogeneos e isotropos, el mismo depende de la geometrıa de la seccion yde las propiedades del material tal y como se indica mas adelante.
Se han calculado coeficientes de correccion en funcion de la geometrıa de la seccion ydel coeficiente de Poisson [Cowper, 1966; Hutchinson, 2001]. Tal y como indican al-gunos autores [Santiuste, 2007], la metodologıa de Cowper fue aplicado a materialeshomogeneos con propiedades ortotropas y la de Hutchinson se ha aplicado a materia-les homogeneos con propiedades anisotropas. Finalmente se indica que el valor masempleado hoy, para el factor de correccion y secciones rectangulares es ks = 5/6.
2.2.1.1 Ecuaciones de la viga de Timoshenko
Las ecuaciones de la viga de Timoshenko se pueden obtener por diferentes vıas: por unaparte planteando el equilibrio de la pieza [Timoshenko, 1921; Timoshenko y Goodier,1970], y por otra mediante integracion de las ecuaciones de la elasticidad tridimensional[Cowper, 1966; Villaggio, 1997] y asimismo, mediante el principio de Hamilton.
10
Capıtulo 2. Estado del Arte
Ecuaciones de la viga de Timoshenko planteando el equilibrio de un ele-mento de viga
El sistema de ecuaciones diferenciales de la viga de Timoshenko se puede obtener plan-teando las ecuaciones de equilibrio, para ello consideramos una pieza recta inextensible,sometida a una carga distribuida F (s) actuando perpendicularmente a la directriz dela pieza sin deformar, no modificando su direccion en el proceso de deformacion. Seplantea el equilibrio en la posicion deformada, tal y como se indica en la Figura 2.2,donde el cortante modificado o pseudo-cortante V (perpendicular a la directriz inicial)y el momento flector M , dependen de la longitud de arco s.
Figura 2.2. Acciones en un elemento diferencial viga
El equilibrio de fuerzas verticales conduce a la siguiente expresion:
V + dV − V + F (s)ds = 0
es decir a la relacion:
−dVds
= F (s) (2.5)
Planteando el equilibrio de momentos respecto del punto A, se tiene la siguiente rela-cion:
M + dM −M + F (s)ds(αdx) + (V + dV )dx = 0
donde αdx es un valor intermedio entre 0 y dx. Prescindiendo del momento producidopor la carga F (s), al ser un infinitesimo de orden superior respecto a ds, y dado quedw = ds sen θ, dx = ds cos θ resulta:
dM
ds+ V cos θ = 0 (2.6)
Despejando V de (2.6) se tiene:
V = − 1
cos θ
dM
ds(2.7)
11
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
derivando la expresion anterior y sustituyendo el resultado en (2.5) se tiene:
d
ds
(1
cos θ
dM
ds
)= F (s) (2.8)
Por otra parte Q y V estan relacionados de la siguiente manera:
Q = V cos θ (2.9)
Por lo tanto la expresion (2.6) puede ponerse tambien como dM/ds + Q = 0, o equi-valentemente como:
cos θdM
dx+Q = 0 (2.10)
La expresion (2.8) se puede poner como:
cos θd
dx
(dM
dx
)= F (s) (2.11)
Teniendo en cuenta que F (s) depende de la deformada w, pero se tiene F (s)ds =f(x)dx, es decir que:
f(x) =F (s)ds
dx=F (s)
cos θ(2.12)
De la expresion (2.10) se tiene que:
dM
dx+
Q
cos θ= 0 (2.13)
Y sustituyendo (2.12) en (2.11) resulta entonces:
d2M
dx2= f(x) (2.14)
Las expresiones (2.13) y (2.14) representan las ecuaciones de equilibrio de una viga.Sustituyendo las relaciones constitutivas, (2.4), en las ecuaciones de equilibrio, resultael siguiente sistema de ecuaciones diferenciales. Por conveniencia (posterior formulaciondebil) (2.13) y (2.14) se expresan con el signo (-) en las dos ecuaciones: −
[√1 + w′2ksGA(w′ − ψ)
]′= f(x)
− (EIψ′)′ −√
1 + w′2ksGA(w′ − ψ) = 0
(2.15)
teniendo en cuenta que: cos θ = 1/√
1 + w′2.
Pero con la hipotesis habitual de w′2 1, el sistema no lineal anterior se transformaen el siguiente, que es el denominado sistema lineal de ecuaciones diferenciales para laviga de Timoshenko:
− [ksGA(w′ − ψ)]′ = f(x)− (EIψ′)′ − ksGA(w′ − ψ) = 0
(2.16)
12
Capıtulo 2. Estado del Arte
Llamando EI = H a la rigidez a flexion y ksGA = K a la rigidez a cortante, el sistemade Timoshenko puede expresarse en la forma:
− [K(w′ − ψ)]′ = f(x)− (Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0
(2.17)
Por otra parte, cuando las rigideces a flexion y cortante, H y K, son constantes, laexpresion (2.17) puede escribirse como sigue:
−K(w′ − ψ)′ = f(x)−Hψ′′ −K(w′ − ψ) = 0
Deduccion de las ecuaciones de la viga de Timoshenko siguiendo el enfoquede Cowper, 1966 y Villaggio, 1997
El sistema de ecuaciones diferenciales para la viga de Timoshenko, para el caso estatico,expresion (2.16), se puede obtener tambien, siguiendo el enfoque de [Cowper, 1966], quededuce dichas ecuaciones por integracion de las ecuaciones de la elasticidad tridimen-sional. Un enfoque analogo, pero con ligeras diferencias que se indican mas adelante,es el seguido por [Villaggio, 1997]. En el desarrollo que sigue se mantiene la notacionutilizada en Cowper.
Se considera una viga como se muestra en la Figura 2.3. El eje x coincide con la lıneade baricentros de la seccion. Se supone ademas simetrıa respecto al plano x − z, quees el plano de desplazamiento de la viga. Sobre la viga actuan las fuerzas por unidadde volumen, Fz y Fy, ası como, las fuerzas por unidad de area en el contorno, Tz y Ty.Suponemos por simplificacion que Fx = 0 , Tx = 0.
Figura 2.3. Viga de seccion constante. Adaptado de [Cowper, 1966]
Cowper en su artıculo emplea una magnitud basica, W , y la define como el promediodel desplazamiento vertical de la seccion, por tanto:
W =1
A
x
Ω
uz dy dz (2.18)
Donde A es el area de la seccion transversal, uz es el desplazamiento vertical, y laintegracion se extiende sobre toda la seccion Ω. La ecuacion de equilibrio de un elemento
13
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
viga con respecto a las fuerzas que actuan en la direccion z es:
∂σxz∂x
+∂σyz∂y
+∂σzz∂z
+ Fz = 0 (2.19)
donde σxz, σyz y σzz son las componentes de las tensiones. Integrando sobre el area laexpresion (2.19) se tiene:
x
Ω
(∂σyz∂y
+∂σzz∂z
+ Fz
)dy dz +
x
Ω
∂σxz∂x
dy dz (2.20)
Se tiene ademas que:
x
Ω
∂σxz∂x
dy dz =∂
∂x
x
Ω
σxz dy dz
Siguiendo el enfoque de Cowper se tiene que:
Q =x
Ω
σxz dy dz (2.21)
donde Q representa el esfuerzo cortante que actua en la seccion transversal. De igualmanera se define p como:
p =x
Ω
(∂σyz∂y
+∂σzz∂z
+ Fz
)dy dz (2.22)
Aplicando el teorema de la divergencia a los dos primeros sumandos de (2.22) se tiene:
x
Ω
(∂σyz∂y
+∂σzz∂z
)dy dz =
˛Γ
(nyσyz + nzσzz) dS
quedando definida p en la forma:
p =
˛Γ
Tz dS +x
Ω
Fz dy dz (2.23)
donde:
Tz = nyσyz + nzσzz
donde, p, representa la carga transversal total por unidad de longitud. Teniendo encuenta (2.21) y (2.23), la expresion (2.20), se puede escribir tambien como:
−∂Q∂x
= p (2.24)
que representa la primera ecuacion de la viga de Timoshenko.
El sistema de ecuaciones de Timoshenko tambien contiene otra magnitud, Φ, que sedefine como:
Φ = −1
I
x
Ω
zux dy dz (2.25)
14
Capıtulo 2. Estado del Arte
donde:
I : momento de inercia de la seccion respecto al eje yux : componente en x del desplazamiento de un elemento de la viga
Se puede decir que Φ representa, en cierto modo, un promedio de la rotacion respectoal eje y.
Para obtener la ecuacion del momento se emplea la ecuacion de equilibrio de un ele-mento viga con respecto a las fuerzas que actuan en la direccion x, se tiene por tanto:
∂σxx∂x
+∂σxy∂y
+∂σxz∂z
+ Fx = 0 (2.26)
Pero Fx = 0 por hipotesis. Multiplicando la expresion anterior por z, e integrando sobreel area Ω, se tiene:
x
Ω
z
(∂σxy∂y
+∂σxz∂z
)dy dz +
x
Ω
z∂σxx∂x
dy dz = 0 (2.27)
teniendo en cuenta que:
x
Ω
z∂σxx∂x
dy dz =∂
∂x
x
Ω
zσxx dy dz
ademas se sabe que:
M = −x
Ω
zσxx dy dz (2.28)
De manera que M representa el momento flector actuando en la viga. Integrando porpartes y aplicando el teorema de la divergencia al primer sumando de la expresion(2.27), se tiene:
x
Ω
z
(∂σxy∂y
+∂σxz∂z
)dy dz =
x
Ω
(∂(zσxy)
∂y+∂(zσxz)
∂z− σxz
)dy dz
=
˛Γ
z (nzσxz + nyσxy) dS −x
Ω
σxz dy dz
=
˛Γ
zTx dS −x
Ω
σxz dy dz
= −Q (2.29)
ya que por hipotesis Tx = 0. Por lo tanto la expresion (2.27) se puede escribir como:
−∂M∂x−Q = 0 (2.30)
La cual representa la segunda ecuacion de la viga de Timoshenko.
15
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
Con el fin de obtener la relacion entre W , Φ y la deformacion debida al esfuerzocortante, se definen los siguientes desplazamientos residuales, vx y vz, como:
uz = W + vz
ux = U − zΦ− vx (2.31)
donde U se define como:
U =1
A
x
Ω
ux dy dz (2.32)
y representa el promedio del desplazamiento de la seccion en la direccion x. Se deducede la expresion (2.31) lo siguiente:
x
Ω
vz dy dz = 0
x
Ω
vx dy dz = 0
x
Ω
zvx dy dz = 0 (2.33)
ya que:
x
Ω
vz dy dz =x
Ω
(uz −W ) dy dz
=x
Ω
uz dy dz −Wx
Ω
dy dz
= AW −WA
= 0
x
Ω
vx dy dz = −x
Ω
(ux − U + zΦ) dy dz
= −AU + UA− Φx
Ω
z dy dz
= 0
x
Ω
zvx dy dz = −x
Ω
z(ux − U + zΦ) dy dz
= −x
Ω
zux dy dz + Ux
Ω
z dy dz − Φx
Ω
z2 dy dz
= IΦ− 0− ΦI
= 0
El desplazamiento residual, vx, representa el alabeo de la seccion transversal, (veaseFigura 2.4).
16
Capıtulo 2. Estado del Arte
Figura 2.4. Desplazamiento residual vx
Haciendo uso de las relaciones constitutivas, es decir de la relacion tension-deformacion,se tiene:
∂ux∂z
+∂uz∂x
=σxzG
(2.34)
Sustituyendo (2.31) en (2.34), se tiene:
∂(U − zΦ− vx)∂z
+∂(W + vz)
∂x=σxzG
∂W
∂x− Φ =
σxzG− ∂vz∂x
+∂vx∂z
(2.35)
Integrando (2.35) sobre el area Ω y teniendo en cuenta la expresion(2.33) resulta:(∂W
∂x− Φ
)x
Ω
dy dz =x
Ω
(σxzG− ∂vz∂x
+∂vx∂z
)dy dz
∂W
∂x− Φ =
1
AG
x
Ω
(σxz +G
∂vx∂z
)dy dz (2.36)
A continuacion se obtiene la relacion momento-curvatura. Partiendo de la relaciontension-deformacion:
E∂ux∂x
= σxx − ν(σyy + σzz) (2.37)
donde E es el modulo de elasticidad y ν es el coeficiente de Poisson. Multiplicando laexpresion anterior por z e integrando sobre el area Ω queda:
E∂
∂x
x
Ω
zux dy dz =x
Ω
zσxx dy dz − νx
Ω
z(σyy + σzz) dy dz
o equivalentemente:
EI∂Φ
∂x= M + ν
x
Ω
z(σyy + σzz) dy dz (2.38)
Se han obtenido las dos ecuaciones de equilibrio de la viga de Timoshenko, (2.24) y(2.30), ası como, las dos relaciones constitutivas (2.36) y (2.38), que se muestran acontinuacion (Tabla 2.1).
17
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
−∂Q∂x = p
−∂M∂x −Q = 0
EI ∂Φ∂x = M + ν
sΩ z(σyy + σzz) dy dz
∂W∂x − Φ = 1
AG
sΩ
(σxz +G∂vx
∂z
)dy dz
Tabla 2.1. Resumen de las ecuaciones de equilibrio y constitutivas
Hasta ahora no se ha introducido ninguna aproximacion mas alla de la hipotesis habi-tual de la teorıa de la elasticidad lineal. Sin embargo, con el fin de resolver las ecua-ciones, es necesario introducir dos hipotesis acerca de la distribucion de las tensionesy deformaciones en la viga.
La primera hipotesis es que la contribucion de las tensiones σyy y σzz son pequenasen comparacion con σxx, y por tanto son despreciables, por lo cual la expresion (2.38)pasa a ser:
EI∂Φ
∂x= M (2.39)
La segunda hipotesis tiene que ver con la distribucion de las tensiones tangencialesen la viga, empleando soluciones exactas, en la distribucion de tensiones tangencialesen una viga uniforme, las cuales son conocidas en dos casos particulares de carga:una viga en voladizo con una sola carga transversal en el extremo y una viga cargadauniformemente. En ambos casos las tensiones tangenciales σxy, σxz y el desplazamientoux estan dados por [Love, 1944], y son:
σxz =Q
2(1 + ν)I
[∂χ
∂z+νz2
2+
(1− 1
2ν
)y2
]σxy =
Q
2(1 + ν)I
[∂χ
∂y+ (2 + ν)zy2
]ux = zf(x)− Q
EI(χ+ zy2)
(2.40)
donde χ(y, z) es una funcion armonica que satisface la siguiente condicion de contorno:
∂χ
∂n= −nz
[νz2
2+
(1− 1
2ν
)y2
]− ny(2 + ν)zy (2.41)
La funcion f(x) en la expresion (2.40) es un polinomio cuya forma exacta dependede las condiciones en el extremo de la viga, pero para este caso no es necesario conocerla.
18
Capıtulo 2. Estado del Arte
Asumiendo que las tensiones tangenciales y el desplazamiento vienen dadas por (2.40),se tiene para vx la siguiente expresion:
vx =Q
EI
[−χ− zy2 +
1
A
x
Ω
(χ+ zy2) dy dz +z
I
x
Ω
z(χ+ zy2) dy dz
](2.42)
Evaluando ahora la integral en (2.36) se obtiene:
x
Ω
(σxz +G
∂vx∂z
)dy dz =
Q2(1+ν)I/
[ν(I1−I)
2−AI
sΩ z(χ+zy2) dy dz
] (2.43)
donde:
I1 =x
Ω
y2 dy dz (2.44)
I1 es el momento de inercia de la seccion respecto al eje z. Sustituyendo (2.43) en (2.36)se tiene entonces:
∂W
∂x− Φ =
Q
KsAG(2.45)
donde Ks es una cantidad dada por:
Ks =2(1 + ν)I
ν(I1−I)2−
sΩz(χ+ zy2) dy dz
(2.46)
Esta expresion 2.46 es la formula presentada por [Cowper, 1966] como el coeficientede correccion por cortante Ks. De acuerdo con lo anterior se obtienen finalmente lasecuaciones constitutivas de la viga de Timoshenko:
EI∂Φ
∂x= M
KsAG
(∂W
∂x− Φ
)= Q
(2.47)
Sustituyendo (2.47) en (2.24) y (2.30), resulta por ultimo el sistema de ecuacionesdiferenciales de la viga de Timoshenko:
−[KsAG
(∂W∂x− Φ
)]′= p
−(EI ∂Φ
∂x
)′ −KsAG(∂W∂x− Φ
)= 0
(2.48)
que tiene la misma estructura que la expresion (2.16), teniendo en cuenta que:
w = W, ψ = Φ, Ks = ks, p = f(x)
La expresion (2.48) es la misma presentada por [Villaggio, 1997], sin embargo elautor va mas alla y trata de mejorar el valor del coeficiente Ks, considerando que lastensiones σyy y σzz no son pequenas, y de esta manera trata de obtener una relacionmas precisa entre el momento y la curvatura.
19
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
2.2.1.2 Ecuaciones de la viga-columna de Timoshenko
Dicho sistema de ecuaciones diferenciales se obtiene de las ecuaciones de equilibrio, demanera analoga a las de la viga, considerando el efecto de la carga P , que origina unacompresion en la pieza [Timoshenko y Gere, 1963]. Para ello se plantea el equilibrio enla posicion deformada, tal y como se indica en la Figura 2.5.
Figura 2.5. Acciones en un elemento diferencial viga-columna
El equilibrio de fuerzas verticales conduce a la siguiente expresion:
V + dV − V + F (s)ds = 0
es decir a la relacion
−dVds
= F (s) (2.49)
Planteando el equilibrio de momentos respecto del punto A, se tiene la siguiente rela-cion:
M + dM −M + F (s)ds(αdx) + (V + dV )dx+ Pdw = 0
donde αdx es un valor intermedio entre 0 y dx. Prescindiendo del momento producidopor la carga F (s), al ser un infinitesimo de orden superior respecto a ds, y dado quedw = ds sen θ, dx = ds cos θ resulta:
dM
ds+ V cos θ + P sen θ = 0 (2.50)
Despejando V de la expresion anterior se tiene:
V = − 1
cos θ
dM
ds− P tan θ (2.51)
Derivando (2.51) y sustituyendo el resultado en (2.49) se tiene:
d
ds
(1
cos θ
dM
ds
)+ P
d
ds(tan θ) = F (s) (2.52)
20
Capıtulo 2. Estado del Arte
Por otra parte Q, P y V , P estan relacionados de la siguiente manera:[Q
P
]=
[cos θ sen θ− sen θ cos θ
] [VP
],
[VP
]=
[cos θ − sen θsen θ cos θ
] [Q
P
](2.53)
Ası, la expresion (2.50) puede ponerse tambien como dM/ds + Q = 0, o equivalente-mente:
cos θdM
dx+Q = 0 (2.54)
Asimismo (2.52) se puede expresar en la forma:
cos θ
[d
dx
(dM
dx
)+
d
dx
(Pdw
dx
)]= F (s) (2.55)
Considerando la relacion que existe entre F (s) y f(x), (vease expresion (2.12)), ysustituyendo la misma en (2.55) queda:
d2M
dx2+
d
dx
(Pdw
dx
)= f(x) (2.56)
Las ecuaciones de equilibrio para la viga-columna de Timoshenko son por tanto lasexpresiones (2.54) y (2.56). Sustituyendo las relaciones constitutivas del modelo deTimoshenko, M = EIψ′ y Q = ksGA(w′ − ψ), en las ecuaciones de equilibrio, ysabiendo que cos θ = 1/
√1 + w′2, resulta el siguiente sistema no lineal de ecuaciones
diferenciales: −[√
1 + w′2ksGA(w′ − ψ)]′
+ (Pw′)′ = f(x)
− (EIψ′)′ −√
1 + w′2ksAS(w′ − ψ) = 0
(2.57)
Similarmente al caso de la viga, w′2 1, y el sistema lineal de ecuaciones diferenciales,para la viga-columna de Timoshenko, es:
− [ksGA(w′ − ψ)]′ + (Pw′)′ = f(x)− (EIψ′)′ − ksGA(w′ − ψ) = 0
(2.58)
La expresion anterior es la empleada habitualmente en el analisis de la viga-columna deTimoshenko (denominada tambien de Engesser-Timoshenko) [Wang et al., 2005]. Lla-mando EI = H y ksGS = K y considerando P es constante, el sistema de Timoshenkopuede expresarse en la forma:
− [K(w′ − ψ)]′ + Pw′′ = f(x)− (Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0
(2.59)
Por ultimo, cuando las rigideces a flexion y cortante,H yK, son constantes, la expresion(2.59) puede escribirse como sigue:
−K(w′ − ψ)′ + Pw′′ = f(x)−Hψ′′ −K(w′ − ψ) = 0
(2.60)
21
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
2.2.2 Teorıas de vigas de alto orden o refinadas
Las teorıas de orden superior o refinadas, tal y como se ha indicado, se caracterizanpor mejorar, en cierto modo, el campo de desplazamientos, respecto a los que da elmodelo de Timoshenko. No introducen el factor de correccion por cortante, pues noconsideran una tension tangencial constante equivalente. Para los desplazamientos pue-den emplearse funciones polinomicas, en su mayorıa polinomios cubicos, de ahı que sedenominen tambien, teorıas de tercer orden [Levinson, 1981; Reddy, 1984, 1997; Shi,2007; Shi y Voyiadjis, 2011] .
Las teorıas que emplean funciones trigonometricas e hiperbolicas, como campo de des-plazamiento, se denominan habitualmente teorıas refinadas [Ghugal y Sharma, 2011].Entre ellas tenemos las presentadas por [Stein, 1989; Touratier, 1991; Ghugal y Shim-pi, 2001], en el caso de funciones trigonometricas y las desarrolladas por [Ghugal ySharma, 2009, 2011], con funciones hiperbolicas.
Hay que destacar en estas teorıas, que la deformacion tangencial y consecuentemente lastensiones cortantes, se anulan en los bordes superior e inferior de la viga. A continuacionse expone de manera breve la deduccion de las ecuaciones diferenciales de aquellasteorıas mas citadas en la literatura.
Se indica que las diferentes teorıas que se describen a continuacion, extraıdas de distin-tos artıculos, se exponen respetando la notacion empleada en ellos, el criterio de signos,ası como, el proceso de deduccion, pero limitadas todas ellas al caso estatico.
2.2.2.1 Teorıa de viga de Levinson
Levinson, 1981 desarrolla una teorıa de vigas, para una seccion rectangular, que tiene encuenta la deformacion por cortante, pero que no requiere el uso del factor de correccion,ks, del modelo de Timoshenko. La notacion y el convenio de signos utilizado se muestranen la Figura 2.6.
Figura 2.6. Notacion y convenio de signos: (a) definicion positiva de momentos, cortantes ycargas y (b) definicion positiva de desplazamientos y giros. Adaptada de [Levinson, 1981]
22
Capıtulo 2. Estado del Arte
El campo de desplazamientos para Levinson, u y w, es:
u = zψ(x)− 4z3
3h2
(ψ +
dw
dx
)w = w(x)
(2.61)
donde w(x) es el desplazamiento vertical, h es el canto de la viga y ψ(x) representael giro, en la fibra neutra de la viga. El campo de desplazamiento anterior satisface lacondicion de que las tensiones tangenciales se anulan en los bordes superior e inferiorde la viga.
Empleando la ley de Hooke unidimensional, para las tensiones normales y tangenciales,e integrando sobre el area de la seccion A, se tiene que el momento flector es:
M =
ˆA
Ezdu
dxdA =
EI
5
(4dψ
dx− d2w
dx2
)(2.62)
y el esfuerzo cortante es:
Q =
ˆA
G
(du
dz+dw
dx
)dA =
2
3GA
(ψ +
dw
dx
)(2.63)
donde:
I : momento de inerciaA : area de la seccion transversalE : modulo de rigidez a flexionG : modulo de rigidez a cortante
Cabe destacar que Levinson en su artıculo, deduce el sistema de ecuaciones diferencialesmediante las ecuaciones de equilibrio, que no son variacionalmente consistentes con elcampo de desplazamientos de la expresion (2.61) [Reddy, 1984]. Es decir utiliza lasmismas ecuaciones de equilibrio que se emplean habitualmente en la teorıa de vigade Timoshenko y no las ecuaciones de Hamilton para el correspondiente funcional deenergıa potencial total. Las ecuaciones de equilibrio empleadas son:
dQ
∂x= −p
Q− dM
dx= 0
(2.64)
Sustituyendo (2.62) y (2.63) en la expresion anterior se obtiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales que rige el modelo de viga de Levinson.
23
(ddx
) [AG
(ψ + dw
dx
)]= −p
23AG
(ψ + dw
dx
)− 1
5
(ddx
) [EI(d2wdx2 − 4dψ
dx
)]= 0
(2.65)
Las condiciones de contorno de Dirichlet son las mismas que la de Timoshenko. Lascondiciones de contorno relativas a los esfuerzos, momento y cortante, difieren de lasde Timoshenko, como se puede ver en las expresiones (2.62) y (2.63).
23
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
2.2.2.2 Teorıa de viga Reddy-Bickfford
Reddy desarrolla a partir de la teorıa de tercer orden de placas, [Reddy, 1984], unateorıa de vigas empleando el mismo campo de desplazamientos que Levinson [Heyligery Reddy, 1988; Reddy, 1997]. Sin embargo, cabe destacar que llega a un sistema deecuaciones diferenciales que es variacionalmente consistente, por lo tanto ambos siste-mas son diferentes. El sistema de ecuaciones de la teorıa de Reddy-Bickfford se obtienemediante formulacion variacional, considerando solo el caso estatico y pequenas defor-maciones [Heyliger y Reddy, 1988]. El esquema de la viga, ası como el convenio designos es el mismo que el utilizado por Levinson, (vease Figura 2.6).
A partir del campo de desplazamientos para u y w, expresion (2.61) se obtienen lassiguientes deformaciones:
εx =∂u
∂x= z
dψ
dx− 4z3
3h2
(dψ
dx+d2w
dx2
)γxz =
∂u
∂z+∂w
∂x=
(1− 4z2
h2
)(ψ +
dw
dx
) (2.66)
Se emplea el principio de los trabajos virtuales para obtener el sistema de ecuacionesdiferenciales, es decir:
−ˆ h/2
−h/2
ˆ b
0
ˆ L
0
(σxδεx + τxzδγxz) dx dy dz +
ˆ L
0
q(x)δw dx = 0 (2.67)
donde b, h y L son el espesor, el canto y la longitud de la viga respectivamente, y q(x)es la accion repartida que actua en la viga (vease Figura 2.6). Teniendo en cuenta lasecuaciones constitutivas (2.3), y las deformaciones (2.66), y realizando la integracionsobre el area de la seccion se tiene:
−ˆ L
0
EI
dψ
dx
dδψ
dx− 16
105EI
[(dψ
dx+d2w
dx2
)dδψ
dx+
(dδψ
dx+d2δw
dx2
)dψ
dx
]+EI
21
(dψ
dx+d2w
dx2
)(dδψ
dx+d2δw
dx2
)+
8
15GA
(ψ +
dw
dx
)(δψ +
dδw
dx
)− qδw
dx = 0
(2.68)
Integrando por partes los terminos de la expresion anterior y agrupando los correspon-dientes a δw y δψ, se tiene el sistema de ecuaciones diferenciales que rige el modelo deviga de Reddy-Bickfford:
815
ddx
[GA
(ψ + dw
dx
)]− d2
dx2
[EI(
121d2wdx2 − 16
105dψdx
)]+ q = 0
− ddx
[EI(
68105
dψdx− 16
105d2wdx2
)]+ 8
15GA
(ψ + dw
dx
)= 0
(2.69)
Las condiciones de contorno asociadas a la expresion del sistema, (2.69), son:
EI
(68
105
dψ
dx− 16
105
d2w
dx2
)o ψx prescrito
8
15GA
(ψ +
dw
dx
)+ EI
(16
105
dψ
dx− 1
21
d2w
dx2
)o w prescrito
EI
(1
21
d2w
dx2− 16
105
dψ
dx
)o
dw
dxprescrito
24
Capıtulo 2. Estado del Arte
El sistema de ecuaciones diferenciales, dado por (2.69), es variacionalmente consistentecon el campo de desplazamiento definido en (2.62). El mismo representa correctamen-te la distribucion parabolica de las tensiones tangenciales, cumpliendose la condicionrequerida de anularse en los bordes superior e inferior de la viga.
2.2.2.3 Teorıa de viga Shi y Voyiadjis
Shi desarrolla en 2007 una teorıa de tercer orden con deformacion por cortante para pla-cas, [Shi, 2007], a partir de esta, posteriormente en 2011 presenta una teorıa de viga dealto orden con deformacion por cortante, con condiciones de contorno variacionalmenteconsistentes [Shi y Voyiadjis, 2011].
El campo de desplazamientos empleado es el siguiente:
u(x, z) = u0(x) +5
4
(z − 4z3
3h2
)φx +
(1
4z − 5z3
3h2
)dw0
dx
w(x, z) = w0(x)
(2.70)
donde:
w(x) : desplazamiento verticalφx : giro de la seccionh : canto de la viga
A partir del campo de desplazamientos anterior, (2.70), se obtienen las deformacionesde la siguiente manera:
εx =∂u
∂x=
5
4
(z − α1z
3) ∂φ∂x−(z
4− α2z
3) ∂2w
∂x2
γxz = 2εxz =∂u
∂z+∂w
∂x=
5
4
(1− 3α1z
2)(
φ+∂w
∂x
) (2.71)
donde: α1 = 4/3h2 y α2 = 5/3h2
Las tensiones no nulas sobre la seccion transversal de la viga son la tension normal,σx,y la tension tangencial, τxz, que para un material ortotropico le corresponden las ecua-ciones constitutivas siguientes:
σx = C11εx, τxz = C55γxz (2.72)
donde:
C11 : modulo elastico de traccion en la direccion axial de la viga ortotropicaC55 : modulo de rigidez a cortante de la viga ortotropica
La energıa de deformacion de una viga de longitud L y un area de seccion la transversalA, se puede definir en terminos de φx y w como:
Π(ψ,w) =1
2
ˆ L
0
ˆ h/2
−h/2
(C11ε
2x + C55γ
2xz
)dAdx
=1
2
ˆ L
0
D11
[β1
(∂φ
∂x
)2
+5
2β2∂φ
∂x
∂2w
∂x2+ β3
(∂2w
∂x2
)2]
+ T55
(φ+
∂w
∂x
)dx
(2.73)
25
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
donde dA es el elemento de area de la seccion transversal, β1 = 85/84, β2 = 1/105 yβ3 = 1/84 son las constantes de integracion, y D11 y T55 vienen dados por:
D11 =
ˆ h/2
−h/2C11z
2 dA, T55 =25
16
ˆ h/2
−h/2C55
(1− 3α1z
2)2dA (2.74)
En el caso de una viga rectangular con material isotropico y modulos Young y modulode rigidez cortante, E y G, la expresion (2.74) da lugar a D = D11 = EI y T55 =T = (5/6)GA, correspondiendo a un coeficiente de correccion por cortante, ks = 5/6en relacion con la viga de Timoshenko.
El trabajo externo realizado por una carga distribuida q(x) por unidad de longitudactuando en la superficie de la viga es:
We(w) = −ˆ L
0
q(x)w(x) dx (2.75)
Consecuentemente, para una viga con deformacion por cortante y con la carga externadefinida anteriormente, el correspondiente principio variacional es:
δ [Π(ψ,w) +We(w)] = 0 (2.76)
Sustituyendo (2.73) y (2.75) en la expresion (2.76) y realizando la integracion porpartes, se obtiene la siguiente expresion:ˆ L
0
∂
∂x
[β1
(D∂φ
∂x
)+
5
4β2
(D∂2w
∂x2
)]− T
(φ+
∂w
∂x
)δφx +
∂
∂x
[T
(φ+
∂w
∂x
)]+q − ∂2
∂x2
[5
4β2D
∂φ
∂x+ β3D
∂2w
∂x2
]δw
dx+
[D
(β1∂φ
∂x+ β3
∂2w
∂x2
)]δφx
+
[T
(φ+
∂w
∂x
)− β3
∂2
∂x2D
(φ+
∂w
∂x
)]δw + β3D
[∂φ
∂x+∂2w
∂x2
]∂δw
∂x
∣∣∣∣L0
= 0
(2.77)
Agrupando los terminos correspondientes a δw y δφ se tiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales que rigen el modelo de viga de Shi y Voyiadjis
∂∂x
[T(φ+ ∂w
∂x
)]− 1
84∂2
∂x2
[D(∂φ∂x
+ ∂2w∂x2
)]+ q = 0
∂∂x
[D(
8584∂φ∂x
+ 184∂2w∂x2
)]− T
(φ+ ∂w
∂x
)= 0
(2.78)
Aunque la expresion anterior esta escrita en terminos de derivadas parciales, se debeindicar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con x comovariable independiente y w y φ funciones de la misma.
Las condiciones de contorno asociadas a la expresion variacional (2.78), en los extremosde la viga, x = 0 y x = L, son:
M∗x =
[D
(85
84
∂φ
∂x+
1
84
∂2w
∂x2
)]o φx prescrito
Q∗x =
[T
(φ+
∂w
∂x
)− D
84
∂2
∂x2
(φ+
∂w
∂x
)]o w prescrito
MSx =
D
84
[∂φ
∂x+∂2w
∂x2
]o
∂w
∂xprescrito
26
Capıtulo 2. Estado del Arte
donde:
M∗x : momento flector generalizado actuando en las seccion transversal de la viga
correspondiente a φxQ∗x : esfuerzo cortante generalizado actuando en las seccion transversal de la viga
relativo al desplazamiento wMS
x : momento flector suplementario asociado a ∂w/∂x
El sistema de ecuaciones diferenciales, (2.78) es variacionalmente consistente con elcampo de desplazamiento definido en (2.70).
2.2.2.4 Teorıas trigonometricas
Estas teorıas usan una funcion trigonometrica para formular el campo de desplaza-mientos. Stein desarrolla una teorıa de vigas refinada, empleando como campo de des-plazamiento una funcion sinusoidal, sin embargo, dicho campo no satisface la condicionde anulacion de las tensiones tangenciales en los bordes superior e inferior de la viga[Stein, 1989].
Posteriormente [Touratier, 1991] presenta un nuevo campo de desplazamiento sinusoi-dal empleandolo en placas. Luego [Ghugal y Shimpi, 2001] emplean el mismo campo dedesplazamiento que Touratier y desarrollan una teorıa trigonometrica variacionalmenteconsistente aplicada a vigas. Este mismo campo de desplazamientos ha sido empleadoposteriormente por otros autores [Thai y Vo, 2012; Dahake y Ghugal, 2013].
A continuacion se expone la deduccion del correspondiente sistema de ecuaciones dife-renciales desarrollada por [Dahake y Ghugal, 2013].
El dominio que define la viga es el siguiente (vease Figura 2.7):
0 ≤ x ≤ L, −b/2 ≤ y ≤ b/2, −h/2 ≤ z ≤ h/2
donde x, y, z son las coordenadas cartesianas, L y b la longitud y el espesor de la vigaen la direccion x e y respectivamente, y h es el canto de la viga en la direccion z. Laviga esta sometida a una accion repartida q(x).
Figura 2.7. Viga en flexion en el plano x-z. Adaptado de [Dahake y Ghugal, 2013]
27
2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante
El campo de desplazamientos, u y w, empleado es el siguiente:
u(x, z) = −zdwdx
+h
πsen(πzh
)φ(x)
w(x, z) = w(x)(2.79)
donde φ(x) es una funcion que representa el giro, en el fibra neutra de la viga. A partirdel campo citado se obtienen las deformaciones siguientes:
εx =∂u
∂x= −zd
2w
dx2+h
πsen(πzh
) dφdx
γxz =∂u
∂z+∂w
∂x= cos
(πzh
)φ
(2.80)
Considerando las ecuaciones constitutivas (2.3), y las deformaciones anteriores, y em-pleando del principio de los trabajos virtuales se obtiene el sistema ecuaciones diferen-ciales y las condiciones de contorno naturales que son variacionalmente consistentes.Aplicando el principio de los trabajos virtuales resulta:
b
ˆ L
0
ˆ h/2
−h/2(σxδεx + τxzδγxz) dx dz −
ˆ L
0
q(x)δw dx = 0 (2.81)
Finalmente el sistema de ecuaciones diferenciales es:EI d
4wdx4 − 24
π3EId3φdx3 = q(x)
24π3EI
d3wdx3 − 6
π2EId2φdx2 + GA
2φ = 0
(2.82)
Las condiciones de contorno asociadas, en x = 0 y x = L, son:
Ma = EI24
π3
d2w
dx2− 6
π2EI
dφ
dxo φx prescrito
Vx = EId3w
dx3− 24
π3EI
d2φ
dx2o w prescrito
Mx = EId2w
dx2− 24
π3EI
dφ
dxo
dw
dxprescrito
El sistema de ecuaciones diferenciales, (2.82) es variacionalmente consistente con elcampo de desplazamiento (2.79).
2.2.2.5 Teorıas hiperbolicas
Estas teorıas emplean una funcion hiperbolica para formular el campo de desplazamien-tos. Fueron introducidas por [Soldatos, 1992] para placas, y posteriormente utilizadasen vigas por [Ghugal y Sharma, 2009, 2011]. El esquema de la viga se puede ver en laFigura 2.7.
El campo de desplazamiento propuesto es el siguiente:
u(x, z) = −zdwdx
+
[z cosh
(1
2
)− h senh
(zh
)]φ(x)
w(x, z) = w(x)
(2.83)
28
Capıtulo 2. Estado del Arte
donde h es el canto de la viga y φ es una funcion desconocida que representa el giro dela fibra neutra de la viga. A partir del campo de desplazamientos anterior se obtienenlas deformaciones de la siguiente manera:
εx =∂u
∂x= −zd
2w
dx2+
[z cosh
(1
2
)− h senh
(zh
)] dφdx
γxz =∂u
∂z+∂w
∂x=
[cosh
(1
2
)− cosh
(zh
)]φ
(2.84)
Considerado las ecuaciones constitutivas (2.3), y las deformaciones anteriores, y em-pleando del principio de los trabajos virtuales se obtiene el sistema ecuaciones diferen-ciales y las condiciones de contorno naturales que son variacionalmente consistentes.Aplicando el principio citado resulta:
b
ˆ L
0
ˆ h/2
−h/2(σxδεx + τxzδγxz) dx dz −
ˆ L
0
q(x)δw dx = 0 (2.85)
Procediendo del mismo que en los casos anteriores se obtiene el sistema de ecuacionesdiferenciales que rige este modelo de viga:
EI d4wdx4 − EIA0
d3φdx3 = q
EIA0d3wdx3 − EIB0
d2φdx2 +GAC0φ = 0
(2.86)
donde las constantes A0, B0 y C0 son las siguientes:
A0 = cosh
(1
2
)− 12
[cosh
(1
2
)− 2 senh
(1
2
)]B0 = cosh2
(1
2
)+ 6 [senh(1)− 1]− 24 cosh
(1
2
)[cosh
(1
2
)− 2 senh
(1
2
)]C0 = cosh2
(1
2
)+
1
2[senh(1) + 1]− 4 cosh
(1
2
)senh
(1
2
) (2.87)
Las condiciones de contorno asociadas, en x = 0 y x = L, son:
EIA0d2w
dx2− EIB0
dφ
dxo φx prescrito
EId3w
dx3− EIA0
d2φ
dx2o w prescrito
EId2w
dx2− EIA0
dφ
dxo
dw
dxprescrito
Finalmente, se indica que hay autores que expresan el campo de desplazamiento tam-bien mediante funciones exponenciales [Karama et al., 2003], lo que nos permite con-cluir que se esta tratando de barrer todas las posibilidades, para expresar la funcionde desplazamiento en el canto.
29
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
2.2.3 Eleccion de la teorıa de vigas y viga-columna con deformacion por cortantepara esta investigacion
De la revision realizada sobre vigas de alto orden o refinadas se pueden establecer lassiguientes conclusiones:
Los modelos desarrollados han intentado ampliar las teorıas ya bien establecidas deBernoulli-Euler y Timoshenko sin que ninguna de las aportaciones haya logrado, hastala fecha, desplazar desde el punto de vista practico a estas ultimas. Quedando susaplicaciones limitadas esencialmente a problemas academicos y a casos de caracterlineal.
Ademas, introducen en su desarrollo elementos que requieren informacion adicionalpara asignar los datos necesarios para las condiciones de contorno. Pues las que sonvariacionalmente consistentes requieren el valor de dw/dx. Por otra parte, las que norequieren dicha informacion adicional no son variacionalmente consistentes, como es elcaso del modelo de Levinson [Reddy, 1984]. No obstante hay que indicar la relevanciadicho modelo desde el punto de vista teorico, como primera aportacion dentro de losmodelos de alto orden.
De lo expuesto en las lıneas anteriores y especialmente en relacion con las aplicacionesde los modelos de vigas y pilares desde el punto de vista practico, y en problemas conno linealidad del material, se ha optado en esta investigacion partir de la teorıa de vigasde Timoshenko. La misma, ademas de incluir a la de Bernoulli-Euler, permite abordarsistematicamente distintos casos de no linealidad y particularmente la del material,que es la que se trata en esta investigacion, orientada al estudio de piezas de hormigonestructural.
2.3 Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hor-migon estructural
El comportamiento de estructuras hiperestaticas (porticos, vigas, vigas-columna. . . ) dehormigon estructural1, ha sido analizado y estudiado mas que cualquier otro material.Esto es debido, por una parte, a que, por su versatilidad y economıa, dichas estructurasson las preferidas por los proyectistas y por otra, debido a la dificultad de dotarlasde una cierta ductilidad o de evaluar de forma eficiente (simple y rapida) y precisa(proxima a la realidad) la relacion causa-efecto.
Es un hecho que la rigidez (EI) de los elementos puede ayudar a minimizar grandesdeformaciones y desplazamientos, incluso las causadas por fenomenos dinamicos o deinestabilidad. Tambien es un hecho que, esta consideracion de rigidez elastica (que per-mite aplicar el principio de superposicion) conlleva mayores consumos de recursos y adimensionamientos antieconomicos, factores estos que, no concuerdan con los principiosde sostenibilidad en la industria del hormigon [Aıtcin y Mindess, 2011].
Como es sabido, para una mejor concordancia, entre la respuesta calculada y el verda-dero comportamiento de las estructuras de hormigon hiperestaticas, se requiere tener
1armado y/o pretensado: convencional, de alta y ultra alta resistencia con o sin fibras
30
Capıtulo 2. Estado del Arte
en cuenta el comportamiento inelastico del material, las deformaciones y los efectos desegundo orden [Aguado, 1980; Marı, 1981; Rıo, 1986; Gutierrez, 1986; Bendito, 2006;Ceresa et al., 2007; Hellesland et al., 2013]. Sin embargo, el calculo no lineal, si biencomplica el analisis y aumenta de forma significativa el coste computacional, conllevaun importante ahorro en material y permite hacer una prediccion mas precisa de lascargas de colapso o fallo de las estructuras [Moller et al., 1997].
Cabe mencionar por tanto que la consideracion de la no linealidad en el analisis deestructuras de hormigon sirve para todos los casos sin restricciones mientras que lalinealidad facilita de forma significativa el problema. Por ello es practica comun ha-cer distintas simplificaciones (Tabla 2.2) en cualquiera de las ecuaciones que condi-cionan el analisis (equilibrio, material o adicionales de compatibilidad –estructurashiperestaticas-), sobre todo cuando se trata de modelos desarrollados para su uso habi-tual en la practica, donde se requiere un compromiso entre eficiencia y precision [Molleret al., 1997; Coceres et al., 2003].
Equilibrio (condiciones mecanicas)
Primer orden Segundo Orden
MaterialLineal Lineal No lineal
No lineal No lineal No lineal
Tabla 2.2. Calculo estructural. Origen de la no linealidad [Murcia, 1987]
Un estudio mas profundo sobre la consideracion o no de las no linealidades, ası como,sobre la incidencia en el analisis que puede tener el emplear distintas tecnicas mas omenos refinadas, cuando se considera la no linealidad, puede verse en el trabajo de[Murcia, 1987], quien asimismo refiere que, a la no linealidad propia de segundo ordense la suele llamar no linealidad geometrica [Reddy, 2005], debido a la influencia de lageometrıa deformada en el equilibrio de la pieza, aunque como el propio Murcia refiere,esta ”no linealidad” no es estrictamente geometrica, sino de tipo mecanico o comomucho mecanico-geometrica, porque afecta al equilibrio.
Por otra parte, y en relacion con los distintos metodos que consideran el comporta-miento de la estructura con unas caracterısticas no lineales del material, cabe indicarque los mismos abordan el problema segun un analisis compacto (variando las carac-terısticas fısicas de la seccion: area, inercia. . . ) o bien siguiendo un analisis separativo(introduciendolo como una accion: deformacion, rotacion impuesta) utilizando hastahace unos anos metodos manuales de resolucion directa (poco precisos y limitados)[Aguado, 1980] ademas de los metodos computacionales iterativos (Newton-Raphson yvariantes) [Aguado, 1980; Gutierrez, 1986; Reddy, 2005; Wriggers, 2008].
En cualquiera de los casos, lo que si es habitual, a fin de introducir de forma precisa elcomportamiento no lineal del material, es discretizar la pieza en un numero suficientede elementos, ya que la consideracion de la no linealidad del material a nivel de pieza,se calibra con respecto a relaciones esfuerzo-deformacion de las secciones. Las cuales seconstruyen, teniendo en cuenta relaciones realistas tension-deformacion para el aceroy el hormigon [Park y Paulay, 1975; Kwak y Kim, 2002, 2010].
31
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
Para estos casos, el uso del metodo de los elementos finitos o, el de las las diferenciasfinitas son los mas empleados para discretizar los elementos viga-columna a nivel depieza [Reddy, 2005; Lopez et al., 2013], o incluso a nivel de seccion [Ceresa et al., 2007].Lo que sı es un hecho es que cuando se considera, como en el caso de esta tesis, el modelode Timoshenko u otros modelos que tengan en cuenta la deformacion por cortante, laconsideracion de la relacion cortante-deformacion por cortante, debe introducirse comoparte del analisis de la seccion [Bonett, 2003; Marini y Spacone, 2006; Romero et al.,2007; Mergos y Kappos, 2008; Pham, 2009].
Asimismo, cuando se utiliza este modelo (Timoshenko) deberıan utilizarse diagramasmomento-derivada del giro (ψ′) o como la denomina [Challamel et al., 2014] momento-pseudocurvatura y no en terminos de la derivada segunda del desplazamiento (w′′),como es habitual cuando se utiliza la hipotesis de Bernoulli-Euler. En general, la lite-ratura consultada en relacion con el modelo de Timoshenko [Mergos y Kappos, 2008,2012; Pham, 2009; Pham et al., 2013], considera la deformacion por cortante y utilizadiagramas momento-curvatura adaptados a este modelo.
En los siguientes apartados, y tras describir de forma sucinta el Metodo de ElementosFinitos en problemas no lineales, se expone el comportamiento mecanico del hormigonestructural. Posteriormente se analiza el comportamiento de la seccion frente a car-gas monotonas crecientes a traves de los diagramas momento-curvatura y cortante-deformacion por cortante.
2.3.1 Metodo de Elementos Finitos en problemas no lineales
A continuacion se describe de manera un tanto esquematica la resolucion de un pro-blema no lineal aplicando el MEF en combinacion con el metodo de Newton Rhapson.
La formulacion por elementos finitos de un problema de contorno relativo a una ecua-cion o sistema no lineal de ecuaciones diferenciales conduce a un sistema de ecuacionesalgebraicas no lineales. Una vez ensambladas las ecuaciones locales y despues de impo-ner las condiciones de contorno, resulta la ecuacion de equilibrio global no lineal, quees de la forma siguiente (sistema de ecuaciones algebraicas no lineales):
[K (U)] U = F o R (U) = 0 (2.88)
siendo:
[K] : matriz de rigidez global, que depende del vector solucion UU : vector de desplazamientos nodales
F : vector de cargas nodales
R (U) : es el denominado vector residual
R (U) = [K (U)] U − F (2.89)
El objetivo es por lo tanto resolver la ecuacion no lineal (2.89). Dado que una soluciondirecta del sistema no lineal, R (U) = 0, en general no es posible de forma analıtica,
32
Capıtulo 2. Estado del Arte
es necesario optar por procedimientos de calculo iterativo. Estos metodos permitendiferentes maneras de resolver el problema, y el procedimiento general y mas robusto,es proceder por linealizacion.
Por ejemplo, si queremos encontrar una aproximacion al vector solucion U, se partepor ejemplo de la aproximacion por U1, y entonces es posible evaluar la matriz derigidez
[K(U1)]. Esto equivale a linealizar la ecuacion (2.88). Entonces, la siguiente
aproximacion a la solucion se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones:[K(U1)] U = F (2.90)
La solucion U del sistema anterior se denominara U2, a partir de la cual se formarıaun nuevo sistema cuya matriz de coeficientes seria
[K(U2)] y ası sucesivamente. El
procedimiento se repite hasta que la solucion aproximada verifique ciertas condicionesusuales de parada de los algoritmos iterativos [Reddy, 2005].
Se desea destacar que la no linealidad puede deberse, tal y como se viene indicando,a diversas causas (no linealidad geometrica, no linealidad del material, etc.), lo cualno facilita la construccion de algoritmos iterativos robustos y eficientes de propositogeneral [Wriggers, 2008]. Por este motivo, se han desarrollado diferentes metodos ite-rativos especializados para resolver la ecuacion no lineal R (U) = 0, entre los cualesdestacan el metodo de Newton-Rhapson y sus distintas variantes. Dicho metodo sedescribe esquematicamente a continuacion.
El objetivo de la iteracion es reducir el vector residual, (2.89), a un valor mınimoprefijado (criterio de parada), de acuerdo con alguna de las normas vectoriales usuales||.||1, ||.||2 y ||.||∞. Realizando un desarrollo de Taylor respecto a la iteracion Up, yomitiendo terminos de orden superior se tiene:
R Up +
(∂ R∂ U
)pδ U = 0 (2.91)
donde(∂R∂U
)prepresenta la matriz Jacobiana particularizada en la solucion Up, que
en la terminologıa de elementos finitos es conocida como matriz de rigidez tangenteT (Up). Resolviendo el sistema lineal, (2.91), en la incognita δ U, se tiene:
Up+1 = Up + δU (2.92)
Una interpretacion grafica del metodo se puede ver en la Figura 2.8. El proceso iterativocontinua hasta que dos soluciones consecutivas alcanzan alguno de los criterios deparada.
Como se puede ver el metodo de Newton-Raphson requiere la evaluacion de la matriztangente, T (Up), en cada iteracion. En algunos casos puede ser preferible no volvera calcular dicha matriz, o como maximo volver a calcularla cada cierto numero q fijode iteraciones, ya que conlleva grandes costos computacionales. A este procedimientoes lo que se denomina metodo de Newton-Raphson modificado [Wriggers, 2008]. Sinembargo este ultimo metodo puede requerir un incremento considerable de iteracionespara alcanzar la convergencia.
33
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
U
R(U)=K(U)U-F
(U)
(U)
0 U1 U2
T(U )0 T(U )1F
UU1 U2
Uc
T(U )2
T(U )0
T(U )1
U
U1
U2
T(U )2
R
U0 U1 U2
R(U)
(a) (b)
Figura 2.8. Esquema de iteracion del metodo de Newton-Raphson: (a) en terminos de Ψ(U)y (b) en terminos del residuo R(U)
Existe otro tipo de metodos denominados cuasi-Newton que aproximan la inversa dela matriz de rigidez tangente en cada etapa, reduciendo ası en gran medida el tiempode calculo. Por otra parte el proceso se mejora ademas con algoritmos adicionales queactualizan la inversa de la matriz durante el proceso iterativo, siendo el metodo BFGS(Broyden, Fletcher, Goldfarb y Shanno) uno de los mas empleados [Wriggers, 2008].
2.3.2 No linealidad del material
Hasta la actualidad, se han desarrollado diferentes ecuaciones constitutivas que ca-racterizan el comportamiento de materiales friccionales, como es el caso del hormigonestructural, ante diversos estados de carga [ASCE, 1982; Rilem TC-162 TDF, 2002;Coto, 2007]. La mayorıa de estos modelos, intentan simular el comportamiento de unmaterial ideal que resulta de considerar ciertas hipotesis simplificativas en el solido realpor lo que solo reproducen el comportamiento del hormigon dentro de ciertos rangosmas o menos limitados [Oller et al., 1990].
Cabe indicar, para una mejor comprension de algunos de los aspectos que se tratan acontinuacion, el cambio significativo experimentado por el hormigon estructural, desdelos 70 del pasado siglo, en terminos de resistencia y/o ductilidad (por adicion de fibrasde acero) lo que ha derivado en una actualizacion de los modelos constitutivos delhormigon considerados por las actuales normativas [EC2, 2004; EHE, 2010; ACI 318,2010; MC, 2010] con el fin de tener en cuenta esta nueva situacion.
Cabe indicar, sin embargo, que si bien se ha producido una evolucion del concepto, lassecciones de hormigon estructural, siguen teniendo un comportamiento, que antes odespues, se aleja de la linealidad entre esfuerzos y deformaciones. Tal comportamientoglobal no es si no la suma de los comportamientos parciales de sus componentes, aspectoeste que analizaremos a continuacion.
34
Capıtulo 2. Estado del Arte
2.3.2.1 Hormigon
El hormigon estructural es un material heterogeneo. Su comportamiento deformacional,que ha sido investigado principalmente con la ayuda de la experimentacion, es complejoy depende de numerosos parametros entre los cuales pueden citarse: i) las diferentescaracterısticas deformacionales de sus componentes (pasta, aridos, fibras, etc.), ii) tipode solicitacion actuante, iii) edad del hormigon, iv) nivel de compactacion, v) gradode confinamiento debido a las armaduras longitudinal y transversal.
Por lo general, la resistencia a la compresion del hormigon (fck), ası como el modulo deElasticidad (E), se obtiene a partir del ensayo de cilindros estandar al cabo de 28 dıasde su preparacion [Park y Paulay, 1994] mientras que para determinar la resistenciade traccion (fct) se han utilizado distintos ensayos [Barragan, 2002; Coto, 2007; ACI544.2, 2009].
La Figura 2.9 adaptada de distintas referencias bibliograficas [Park y Paulay, 1994;Aıtcin, 1998; Sparowitz et al., 2011; Rıo, 2014] muestra las curvas tıpicas tension-deformacion para distintas tipologıas de hormigon.
Figura 2.9. Curvas tension-deformacion del hormigon a compresion: 1) convencional, 2) dealta resistencia –HAR-, 3) ultra alta resistencia con fibras –HFRUAR-, 4) HFRUAR
confinado, 5) HFRUAR pretensado, 6) HFRUAR confinado pretensado
Como puede verse las curvas son casi lineales hasta aproximadamente la mitad de laresistencia maxima a compresion en la mayorıa de los casos variando su forma a medidaque: i) aumenta la resistencia (curvas 1, 2 o 3), ii) existe un mejor alineamiento delas fibras (curvas 3 en lınea continua y de trazo) o iii) se incrementa su confinamiento(curvas 4, 5 y 6).
En el caso de un hormigon convencional, la rigidez de la pasta de cemento no es muyelevada por lo que la rotura se produce en la pasta de cemento. En este caso la roturaes mas ductil, lo que a su vez conlleva una curva tension-deformacion mas suave en
35
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
su zona plastica. Es tambien importante notar que a medida que aumenta el valor dela tension, la deformacion asociada disminuye lo que se traduce en una importantedisminucion de las zonas de endurecimiento (de su nombre en ingles strain-hardening)y por tanto en un aumento de la fragilidad en el caso de los hormigones de alta yultra-alta resistencia (HAR y HUAR). Este comportamiento debe tenerse en cuentacuando los requerimientos de ductilidad exigen desarrollar grandes deformaciones decompresion en el hormigon.
Las pruebas realizadas por muchos investigadores, han demostrado que el confinamien-to, que depende del tipo de refuerzo transversal y su espaciado, puede mejorar con-siderablemente las caracterısticas esfuerzo-deformacion del hormigon a deformacioneselevadas, modificando tanto la zona de endurecimiento como la plastica, post-pico o deablandamiento (de su nombre en ingles strain-softening), haciendolo un material concomportamiento mas ductil [Bonett, 2003]. Las fibras de acero tambien contribuyen aincrementar la resistencia a flexotracion y permiten ademas tener un mejor control dela fisuracion [Coto, 2007].
Por otra parte las pruebas realizadas por algunos investigadores [Coto, 2007; Mayaet al., 2010; Rıo et al., 2013] sobre probetas de hormigon, con y sin fibras, permitenconfirmar el cambio de comportamiento en traccion que experimenta el hormigon cuan-do se le introduce fibras. La Figura 2.10(a) muestra que cuando se inicia el procesode carga, el que toma dicha carga es el hormigon, por lo tanto el trabajo de fibra du-rante esa fase es mınimo o nulo. Luego cuando la matriz de hormigon se empieza afisurar entonces empieza a transmitirle carga a las fibras, hasta que finalmente son lasfibras las que practicamente absorben toda la carga hasta su fallo que se produce poradherencia.
Si bien el mecanismo de transferencia de la carga se produce igual entre hormigon ybarra que entre hormigon y fibras tras la aparicion de la fisura, en el caso de la probetacon armadura embebida, Figura 2.10(b), la eficiencia es mayor y una vez transferido elesfuerzo a la barra el esfuerzo maximo es el asociado al de cedencia del acero (fy). Cabeindicar que las fibras no necesariamente trabajan todas a un 100 % de su capacidad yno todas estan ubicadas espacialmente en el sector donde las solicitaciones a tracciono flexotraccion son mas fuertes de ahı que su eficiencia sea menor [Coto, 2007].
Por ultimo, y en relacion con los hormigones con fibras cabe indicar el comporta-miento diferenciado de los HFRUAR debido a la mayor compacidad de la matriz yaltos contenidos de fibras. Como puede verse en la (Figura 2.11) los mismos presentanun comportamiento a traccion mas ductil con una rama de endurecimiento (strain-hardening) y una fisuracion multiple no localizada en correspondencia con este area[Maya et al., 2010; Spasojevic, 2008].
Teniendo en cuenta la variabilidad en el comportamiento tanto a compresion comoa traccion del hormigon estructural, resulta natural que se hayan propuesto distintosdiagramas tension-deformacion, o distintos modelos discretos (estos ultimos para elanalisis de las discontinuidades), basados algunos de ellos en resultados experimentalesy otros en las teorıas de la plasticidad, linealidad y no linealidad o de la fractura[Popovics, 1970; Sargin, 1971; Bazant y Kim, 1979; Damjanic y Owen, 1984; Bazant
36
Capıtulo 2. Estado del Arte
y Oh, 1984; Kent y Park, 1971; Oller et al., 1990; Luccioni, 1994; Pulido, 2003; Lee yBarr, 2004].
Figura 2.10. Comportamiento de un elemento sometido a traccion: (a) hormigon reforzadocon fibras y (b) con barra de acero embebida en el hormigon. Adaptada de [Coto, 2007]
deformación abertura de fisuraεu εu w
Ec
f ct,mf ct
localización dela deformaciónstrain hardening
múltiples microfisuras
Figura 2.11. Comportamiento a traccion uniaxial de HRFUAR. Adaptado de [Maya et al.,2010; Spasojevic, 2008]
Estas diferencias tambien se recogen tanto en la normativa actual como en las pro-puestas normativas mas recientes. Por ejemplo, la EHE-08 o el MC-10, proponen eluso de dos diagramas: el diagrama parabola-rectangulo y el hiperbolico, para el dimen-sionamiento y/o comprobacion de soportes sometidos a esfuerzo de flexo-compresion,indicando que se debe usar aquel que se corresponda con el caso de estudio (servicio–ELS-, ultimo –ULS-. . . ) [EHE, 2010; MC, 2010].
A diferencia de las versiones anteriores de estas normativas, en la actualidad se especi-fican diferentes valores de los parametros de la ecuaciones, con el fin de incorporar los
37
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
hormigones de alta resistencia. En referencia con este tema, otras normativas, proponendiagramas similares al diagrama parabola-trapecio propuesto por Kent y Park [Kenty Park, 1971] o al de Sargin [Sargin, 1971], con el fin de considerar ademas distintosniveles de confinamiento. Cabe indicar, asimismo, que el rango de valores de resistenciade los HAR difiere entre las distintas normativas. La Figura 2.12(a)-(d), recoge algunosde los diagramas anteriormente mencionados.
Tambien, es preciso indicar que debido a la baja resistencia a traccion del hormigon,generalmente se ha venido despreciando en los calculos este parametro. Sin embargo,cuando se tiene en cuenta, el esfuerzo-deformacion por traccion para hormigones arma-dos, el mismo se puede idealizar como una lınea recta hasta el valor de la resistenciamaxima fct. Dentro de este rango, se puede suponer que el modulo de elasticidad entraccion es el mismo que a compresion.
Sin embargo, en las normativas que incluyen hormigones reforzados con fibras, comoes el caso de la EHE, se incluyen diagramas para el analisis de elementos sometidosa flexotraccion, siendo uno de ellos similar al incluido en la Figura 2.12(e) (parte iz-quierda -zona de traccion-). Para obtener los parametros deformacionales del mismo, laEHE emplea el modelo de ensayo propuesto por [Rilem TC-162 TDF, 2002]. Por ultimoalgunas propuestas mas recientes [Attard y Setunge, 1996; AFGC-Setra, 2004; JSCE,2006] incluyen diagramas tension-deformacion con zonas de compresion y de traccionpara el calculo de secciones de hormigon de ultra alta resistencia con fibras o para sec-ciones sandwich (acero-hormigon-acero) con confinamiento del hormigon. Las Figuras2.12(e) y 2.12(f) muestran alguno de estos ultimos diagramas y sus correspondientesecuaciones.
2.3.2.2 Acero
La principal fuente de ductilidad de las estructuras de hormigon estructural reside enla gran capacidad del acero. Se trata de un material mucho mas homogeneo que elhormigon, y sus propiedades no estan sujetas a tan amplia dispersion, no obstante lasnormativas indican que, a falta de datos experimentales precisos, puede suponerse undiagrama elastoplastico con endurecimiento que no es igual en todas las mormativas[EC2, 2004; EHE, 2010; ACI 318, 2010; MC, 2010]. Por otra parte las normativascuando mencionan propiedades del acero describen las propiedades de las armadurasdiscretas (acero para armaduras pasivas o activas) colocadas en el elemento estructural.
A titulo de ejemplo la Figura 2.13 muestra los diagramas recogidos en la InstruccionEHE, para armaduras pasivas y activas respectivamente. Para las armaduras pasivasse adopta un diagrama birrectilineo compuesto de dos ramas.Una primera rama quecorresponde a un periodo de carga elastica (E=200.000N/mm2). Una vez que el acerollega a su lımite elastico (fyd), se puede considerar una segunda rama con pendientepositiva, obtenida mediante afinidad oblicua a partir del diagrama caracterıstico ouna totalmente horizontal hasta llegar a la deformacion lımite. Dicha deformacion selimita a las deformaciones del hormigon, en el caso de la compresion, y a traccion selimitan al 10.
38
Capıtulo 2. Estado del Arte
2.3. Metodos de calculo no lineal de vigas y vigas-columna
2.3.2.1 Diagrama momento-curvatura de una seccion
2.3.2.2 Diagrama cortante-deformacion por cortante de una seccion
2.3.3 Resumen......
σc = fcd[1 −
(1 − εc
εc0
)n]si 0 ≤ εc ≤ εc0
σc = fcd si εc0 ≤ εc ≤ εcu
εc0 = 0.002 si fck ≤ 50N/mm2
εc0 = 0.002 + 0.000085 (fck − 50)0.50 si fck > 50N/mm2
εcu = 0.0035 si fck ≤ 50N/mm2
εcu = 0.0026 + 0.0144[(100−fck)
100
]4si fck > 50N/mm2
Tabla 2.1. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a flexion ymomento puntual ficticio. P = 6300
36
(a)
Capıtulo 2. Estado del Arte
σc = fcd[1−
(1− εc
εc0
)n]si 0 ≤ εc ≤ εc0
σc = fcd si εc0 ≤ εc ≤ εcuεc0 = 0.002 si fck ≤ 50N/mm2
εc0 = 0.002 + 0.000085 (fck − 50)0.50 si fck > 50N/mm2
εcu = 0.0035 si fck ≤ 50N/mm2
εcu = 0.0026 + 0.0144[(100−fck)
100
]4si fck > 50N/mm2
σcfcm
= −(
kη−η21+(k−2)η
)para |εc| < |εc,lim|
η = εcεc1
, k =EciEc1
fcm ≤ 120N/mm2
εc0.003
σ
εeε0.3ε1%εlimεbc
fctσbtσ1%
0.85fck/γb
Ec
fck > 150N/mm2, εbc = 0.85fck/γbEc, εe =fctγbEc
ε03 =w0.3lc
+fctγbEc
, ε1% =w1%lc
+fctγbEc
εlim =lf4lc
, σbt =σ(w0.3)Kγc
, σ1% =σ(w1%)
Kγb
Tabla 2.2. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a flexion ymomento puntual ficticio. P = 6300
37
(b)
(c) (d)
Capıtulo 2. Estado del Arte
σc = fcd[1−
(1− εc
εc0
)n]si 0 ≤ εc ≤ εc0
σc = fcd si εc0 ≤ εc ≤ εcuεc0 = 0.002 si fck ≤ 50N/mm2
εc0 = 0.002 + 0.000085 (fck − 50)0.50 si fck > 50N/mm2
εcu = 0.0035 si fck ≤ 50N/mm2
εcu = 0.0026 + 0.0144[(100−fck)
100
]4si fck > 50N/mm2
σcfcm
= −(
kη−η21+(k−2)η
)para |εc| < |εc,lim|
η = εcεc1
, k =EciEc1
fcm ≤ 120N/mm2
εc0.003
σ
εeε0.3ε1%εlimεbc
fctσbtσ1%
0.85fck/γb
Ec
fck > 150N/mm2, εbc = 0.85fck/γbEc, εe =fctγbEc
ε03 =w0.3lc
+fctγbEc
, ε1% =w1%lc
+fctγbEc
εlim =lf4lc
, σbt =σ(w0.3)Kγc
, σ1% =σ(w1%)
Kγb
Tabla 2.2. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a flexion ymomento puntual ficticio. P = 6300
37
(e) (f)
Figura 2.12. Diagramas constitutivos del hormigon: (a) parabola-rectangulo [EHE, 2010], (b)hiperbola [MC, 2010], (c) [Kent y Park, 1971], (d) [Sargin, 1971], (e) [AFGC-Setra, 2004] y
(f) [Attard y Setunge, 1996]
La norma tambien refiere que si no se dispone de un diagrama garantizado puedeutilizarse para la armadura activa el diagrama de la Figura 2.13(b). Este diagrama
39
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
consta de un primer tramo recto de pendiente Ep y un segundo tramo curvo a partirde 0, 7fpk, definido por una expresion de quinto grado que es funcion de la tension (σ)y fpk. Otras normativas refieren diagramas similares, aunque adoptando otros valorespara los parametros.
(a) (b)
Figura 2.13. Diagramas constitutivos para el acero [EHE, 2010]: (a) armaduras pasivas y (b)aramaduras activas
2.3.2.3 Diagrama momento-curvatura de una seccion
Como ya se ha mencionado, para el analisis de elementos viga o viga-columna dehormigon usando MEF, se deben cumplir las condiciones de equilibrio, compatibilidady del material, tanto a nivel de seccion como de pieza o estructura general. Por otraparte es habitual plantear para estudiar la seccion una de las siguientes alternativas:i) las relaciones constitutivas no lineales de los materiales se introducen a nivel desecciones con esfuerzos internos y deformaciones generalizadas [Rıo, 1986; Gutierrez,1986; Moran, 1989; Moller et al., 1997; Coto, 2007; EHE, 2010] o ii) a nivel de seccionesdiscretizadas en fibras con relaciones tension-deformacion de los propios materiales[Taucer et al., 1991; Moller et al., 1997; Vecchio, 2000].
Ambos metodos (Figura 2.14), como refieren algunos de los autores antes mencionados,tienen un buen balance entre simplicidad y precision en el estudio de la respuesta nolineal.
Como ası mismo indican estos autores, para el primero de los metodos se requiere la defi-nicion de unos diagramas de interaccion a nivel de seccion, ademas de las caracterısticastenso-deformacionales del material. Para el segundo, si bien solo se requiere conocerlas caracterısticas tenso-deformacionales del material, se deben considerar ademas delos vectores de esfuerzos internos y deformaciones de la seccion, la definicion de dosvectores mas: un vector de deformaciones de las fibras y un vector de tensiones en lasfibras cuya simplicidad o complejidad de obtencion dependera de las hipotesis que seconsideren (secciones planas, consideracion de efectos de corte, . . . ).
40
Capıtulo 2. Estado del Arte
Figura 2.14. Esquema de un elemento con secciones discretizadas por el metodo de fibras(superior) y consideracion de esfuerzos internos deformaciones de una seccion (inferior)
Un estudio mas profundo sobre los distintos modelos adoptados para el analisis dela seccion, ası como las posibles ventajas e inconvenientes que plantea el uso de losmodelos de fibras puede encontrarse en los trabajos de [Ceresa et al., 2007].
En lo que sigue, nos centraremos en los diagramas de interaccion a nivel de seccion,atendiendo a la metodologıa propuesta en esta tesis. Para la obtencion de estos diagra-mas se combinan los tres tipos de condiciones a fin de obtener las relaciones esfuerzo-deformacion de la seccion. Estas relaciones esfuerzo-deformacion se representan habi-tualmente mediante los diagramas momento-axil-curvatura [Gutierrez, 1986; Moran,1989; Moller et al., 1997].
Se tienen en cuenta por lo general las siguientes hipotesis:
Se admite la hipotesis de Bernoulli en la que las secciones se mantienen planasantes y despues de la deformacion y asimismo normales al eje de la pieza. Si bienpueden incluirse otras hipotesis en las que las secciones no permanecen normalesal eje de la pieza.
41
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
Que existe adherencia perfecta entre hormigon y acero, es decir, bajo la accionde las solicitaciones las armaduras tienen la misma deformacion que el hormigonque las envuelve.
Se admiten diagramas tension-deformacion del hormigon y del acero como losincluidos en los apartados 2.3.2.1 y 2.3.2.2.
Consideracion o no de resistencia a traccion y de rigidizacion a traccion del hor-migon.
Consideracion o no de efectos causados por cargas de larga duracion.
El agotamiento se caracteriza por el valor de la deformacion en determinadascapas de la seccion, definidas por los dominios de deformacion que pueden variarsegun se considere o no la fluencia del hormigon [Rıo, 1986] o la tipologıa delhormigon (vease Figura 2.15 tomada de [Coto, 2007]). Cabe indicar que para eltercero de los casos la contribucion de las fibras de la zona externa a la arma-dura no contribuyen significativamente y que los dominios considerados son: 1 )traccion simple o compuesta en donde toda la seccion esta en traccion. 2 ) flexionsimple o compuesta en la que el hormigon no alcanza la rotura. 3 ) flexion simpleo compuesta en donde las rectas giran alrededor del punto correspondiente a lamaxima deformacion a compresion del hormigon 3.5 y 4 ) compresion simpleo compuesta en la que los materiales trabajan a compresion.
La deformacion de una seccion debida a unos esfuerzos actuantes M , N , quedadefinida por la curvatura (o pseudo-curvatura) y la profundidad de la fibra neutra(Figura parte inferior). La relacion entre solicitacion y deformacion se obtieneutilizando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos:
Ni =
ˆ xn
0
σc(εc)b(y) dy +n∑i=1
Asiσsi(εsi)
Mi =
ˆ xn
0
σc(εc)b(y)y dy +n∑i=1
σsi(εsi)yAsi
donde las tensiones del hormigon con o sin fibras y del acero son funcion de ladeformacion existente en la capa correspondiente.
En la Figura 2.16 se muestra el aspecto de un diagrama generico obtenido teniendo encuenta las hipotesis anteriores y un procedimiento iterativo para la resolucion de lasecuaciones. En el diagrama que se obtiene por puntos existen unos puntos significativos,correspondientes a las siguientes curvaturas: i) para la que se produce la deformacionnula en la fibra de hormigon mas profunda. Esta curvatura indica el inicio de la fisu-racion del hormigon ya que segun las hipotesis adoptadas se desprecia la resistencia atraccion del mismo, ii) para la que alanza la deformacion del lımite elastico de la fibrade acero mas profunda de la seccion, es decir, la mas traccionada, iii) para la que sealcanza la deformacion del limite elastico de la fibra de acero menos profunda, es decir,la mas comprimida y iv) de agotamiento.
42
Capıtulo 2. Estado del Arte
(a)
(b)
(c)
Figura 2.15. Dominios de deformacion para una seccion de: (a) con armadura pasiva, (b) dehormigon reforzado con fibras (HRFA), y (c) HRFA con armadura pasiva. Tomado de
[Coto, 2007]
La obtencion de dicho diagrama por metodos numericos punto a punto, puede resultarpoco practica para adoptarlo como hipotesis de base en un metodo de calculo no lineal.Por ello existe una tendencia a sustituir esta curva por formas geometricas sencillas(como son las rectas), intentando buscar una solucion que simplifique el proceso (veaseFigura 2.17). Normalmente se sustituye, el diagrama general momento-curvatura pordiagramas multilineales y basicamente los mas utilizados son el bilineal [Baker y Ama-rakone, 1965] y el trilineal [Macchi y Siviero, 1973].
Tal como se indica [Aguado, 1980], esta hipotesis introduce, en general, errores inferioresa los que implican otras hipotesis simplificativas normalmente admitidas. No obstantehay que tener presente que se exige distinta precision si se utiliza estos diagramas para
43
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
dimensionamiento o para analisis. Otra simplificacion aceptada cuando se considera ladeformacion por cortante es establecer la curvatura igual a la derivada del giro (pseudo-curvatura) lo que no suele conducir a errores significativos [Mergos y Kappos, 2008;Pham, 2009; Mergos y Kappos, 2012; Pham et al., 2013].
En cualquier caso si se usa una discretizacion que considera solo los nodos extremos delelemento y un diagrama bilineal el modelo puede resultar insuficiente para capturarbien los mecanismos de fallo [Moller y Rubinstein, 1995].
Figura 2.16. Diagrama general momento-curvatura [Rıo, 1986]
Figura 2.17. Diagramas momento-curvatura bilineal y trilineal. Adaptado de [Rıo, 1986]
2.3.2.4 Diagrama cortante-deformacion por cortante de una seccion
La mayorıa de los autores emplean modelos de fibras para tener en cuenta el efecto dela deformacion por cortante [Ceresa et al., 2007; Gregori, 2009; Cardinetti, 2011], utili-zando el modelo de bielas y tirantes o la teorıa modificada de los campos de compresion,etc.
44
Capıtulo 2. Estado del Arte
Recientemente algunos autores comienzan a introducir las relaciones no lineales delmaterial a nivel de seccion empleando diagramas cortante-deformacion por cortante[Mergos y Kappos, 2008; Pham, 2009; Mergos y Kappos, 2012; Pham et al., 2013].
Dado que en el presente trabajo de investigacion, se emplean diagramas constitutivos anivel de seccion, para la obtencion del diagrama cortante-deformacion por cortante seseguira la propuesta de [Mergos y Kappos, 2008, 2012] que se describe a continuacion.
La curva cortante-deformacion por cortante esta formada por tres ramas, pero solo condos pendientes diferentes (Figura 2.18.). La primera rama conecta el origen y el puntodel cortante de fisuracion, que se define como el punto donde la tension a traccionprincipal excede la resistencia media a traccion del hormigon.
Figura 2.18. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos, 2008]
Para calcular esta primera rama adoptan el procedimiento propuesto por [Sezen yMoehle, 2004] y el esfuerzo cortante de fisuracion se calcula como:
Vcr =fctmLs/h
√1 +
N
fctmAgA0 (2.93)
donde:
fctm : resistencia media a traccion del hormigonN : carga axial de compresionLs/h : relacion vano de cortante-canto (shear span ratio)Ag : area bruta de las seccion de hormigonA0 : area efectiva que tiene en cuenta la distribucion parabolica de tensiones
tangenciales en el canto de la seccion transversal de la viga, toma el valorde 0.8Ag
45
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
La deformacion por cortante se calcula como:
γcr =VcrGA0
(2.94)
donde G representa el modulo de rigidez a cortante, tal y como se ha indicado enapartados anteriores.
La segunda y la tercera rama de la curva primaria cortante-deformacion por cortantetienen la misma pendiente y conecta el punto del cortante de fisuracion en el puntocorrespondiente donde el acero de refuerzo transversal alcanza su lımite elastico o defluencia (Vu0, γu). La segunda y tercera rama se encuentran separadas por un puntoque corresponde a la fluencia a flexion (Vy, γy).
La resistencia ultima a cortante, Vu, esta dada segun el enfoque de [Priestley et al.,1994], el cual ha sido desarrollado para pilares de secciones circulares y rectangulares.De acuerdo a este enfoque, Vu esta dado por:
Vu = k√fcA0 +
Vp︷ ︸︸ ︷N tanα+
Awfyw(d− d′) cot θ
s(2.95)
donde:
fc : resistencia a compresion del hormigonAw : area del refuerzo transversalfyw : resistencia de fluencia del acero transversalθ : angulo definido por el eje de la columna y la direccion de la biela de
compresion diagonald− d′ : distancia medida paralela a la aplicacion del cortante de los centros del
refuerzo longitudinals : espaciamiento del refuerzo transversalα : angulo entre el eje de la columna y la lınea que une los centros de las zonas
a compresion por flexion en la parte superior e inferior de la columna (verFigura 2.19)
k : parametro que depende de la demanda de la ductilidad de curvatura (µϕ)como se muestra en la Figura 2.20
Para calcular Vu0 se emplea la expresion (2.95) y el valor de k correspondiente a lademanda de ductilidad de curvatura µϕ ≤ 3.
La deformacion por cortante ultima se calcula usando un mecanismo de celosıa pro-puesto por [Park y Paulay, 1975] y [Kowalsky et al., 1995] y se calcula de la siguientemanera:
γu0 =VcrGA0
+Awfyw cot θ
s
(s
EsAw cot θ2+
1
Ecb sen θ3 cos θ cot θ
)(2.96)
donde Es es el modulo de elasticidad del acero, Ec el modulo de elasticidad del hormigony b es el ancho de la seccion trasversal. Aunque la expresion anterior estaba basada enun enfoque racional, estudios hechos por [Mergos y Kappos, 2008] demuestra que no setienen en cuenta con suficiente precision la influencia de la carga axial y la proporcion
46
Capıtulo 2. Estado del Arte
del elemento (Ls/h). Es ası que [Mergos y Kappos, 2008], proponen para calcular ladeformacion por cortante ultima dos factores de modificacion.
Figura 2.19. Contribucion de la carga axial a la resistencia a cortante del pilar oviga-columna: (a) flexion invertida y (b) flexion simple. Adaptada de [Priestley et al., 1994]
Figura 2.20. Factor k [Mergos y Kappos, 2008]
El primer factor de modificacion, κ, tiene en cuenta la influencia de la carga axial yviene dado por:
κ = 1− 1.03v, v =N
Agfc(2.97)
47
2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural
El segundo factor de modificacion, λ, representa la influencia la relacion Lsh
del elementoy esta dado por la siguiente expresion
λ = 5.41− 1.13
(Lsh
)≥ 1 (2.98)
Por lo tanto, la deformacion por cortante ultima esta dada por
γu = κλγu0 (2.99)
En 2012, Mergos y Kaposs [Mergos y Kappos, 2012], proponen la curva que se mues-tra en la Figura 2.21. Los valores de Vcr, Vu0,γcr, se calculan de la manera descritaanteriormente, es decir, empleando las expresiones (2.93), (2.94), (2.95).
Figura 2.21. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos, 2012]
El valor de la deformacion por cortante, γst, en la que se alcanza el cortante maximo,Vu0, se calcula de la siguiente manera:
γst = κλγu0 (2.100)
donde γu0 se calcula empleando la expresion (2.96) y los factores de modificacion κ yλ tienen el mismo significado descrito anteriormente, solo que en esta ocasion tomanlos siguientes valores:
κ = 1− 1.07v, v =N
Agfc, λ = 5.37− 1.59.min
(2.5,
Lsh
)(2.101)
El valor de la deformacion por cortante ultima, γu, se obtiene como:
γu = λ1λ2λ3γst ≥ γst (2.102)
donde:
λ1 = 1.0− 2.5.min(0.4, v), λ2 = min(2.5, Ls/h)
λ2 = 10.31− 17.8.min(ωk, 0.008), ωk =Awfywbsfc
(2.103)
Las formulas empıricas propuestas para γst y γu, debe satisfacer los siguientes criterios:
1.11 ≤ (Ls/h) ≤ 3.91, 0 ≤ v ≤ 0.61, 0.47 % ≤ ωk ≤ 8.13 %
48
Capıtulo 2. Estado del Arte
2.3.3 Eleccion de los modelos para el hormigon estructural para esta investiga-cion
De la revision realizada en el apartado 2.3.2 sobre el comportamiento del hormigonestructural para su aplicacion en este trabajo de investigacion se puede establecer losiguiente:
Los nuevos modelos constitutivos del hormigon (incluyendo tanto el comportamien-to a compresion como a traccion en un unico diagrama) utilizados para obtener losdiagramas momento-curvatura (por ejemplo el de la [AFGC-Setra, 2004]) si bien sonmas refinados siguen siendo solo eficientes para el tratamiento de algunos problemasparticulares.
Por otra parte existen solo algunos modelos que emplean diagramas cortante-deformacion por cortante, para introducir estos efectos a nivel de seccion, ya que ha-bitualmente hasta la fecha las metodologıas utilizadas han sido otras.
De lo expuesto en las lıneas anteriores se adoptan en esta tesis, centrada en aplicarel concepto de Pieza Lineal Equivalente, los modelos constitutivos del material paraobtener los diagramas momento-curvatura, propuestos por cada uno de los autoresque se citan en los capıtulos 5 y 6. Asimismo se emplea el procedimiento propuestopor [Mergos y Kappos, 2008, 2012] descrito en el apartado 2.3.2.4, para obtener losdiagramas cortante-deformacion por cortante.
2.4 Resumen y conclusiones
En el presente capıtulo se ha hecho un analisis de los distintos tipos de teorıas de vigasque tienen en cuenta la deformacion por cortante. Se han determinado las ecuaciones dela viga y viga-columna de Timoshenko planteando el equilibrio de la pieza y tambienmediante integracion de las ecuaciones de la elasticidad tridimensional siguiendo elenfoque de [Cowper, 1966].
Asimismo se ha efectuado una revision de las teorıas de vigas de alto orden o refinadasdesarrolladas por [Levinson, 1981; Reddy, 1984; Touratier, 1991; Ghugal y Sharma,2011; Shi y Voyiadjis, 2011]. Tras dicha revision se ha optado por emplear en la in-vestigacion el modelo de Timohenko, por su alcance, caracter practico y bajo costocomputacional en comparacion con los modelos de alto orden.
Asimismo se ha realizado una analisis del comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural. Se han expuesto brevemente las leyes constitutivasmas usuales de los materiales, ası como, los fundamentos para la obtencion de losdiagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante.
49
CAPITULO 3
Solucion Nodal Exacta y AccionRepartida Equivalente
3.1 Introduccion
Como se ha indicado en los capıtulos 1 y 2, el presente trabajo tiene como uno desus objetivos la resolucion de problemas no lineales mediante el concepto pieza linealequivalente, que consiste basicamente en resolver el problema de una pieza en regimenno lineal, transformandolo en otro lineal, de modo que ambas piezas tengan la mismasolucion (desplazamientos y esfuerzos).
Para ello se introduce la resolucion del problema lineal utilizando la idea de solucionnodal exacta y accion repartida equivalente de cualquier orden [Romero y Ortega, 1998,1999; Romero et al., 2002; Ortega, 2004; Lopez et al., 2013; Romero et al., 2014].
En el siguiente apartado se aborda el problema de solucion nodal exacta en el meto-do de elementos finitos, se nombran los principales autores que han tratado el tema,las ventajas que esto conlleva y se muestra paso a paso su aplicacion en la viga deTimoshenko.
En el tercer apartado se analiza el concepto de accion repartida equivalente, sus pro-piedades, ası como, el concepto de orden de la misma, todo ello aplicado a la vigade Timoshenko. Tambien se desarrolla una serie de ejemplos con el fin de mostrar lasventajas que conlleva la resolucion de problemas lineales empleando el metodo de ele-mentos finitos con solucion nodal exacta y accion repartida equivalente de cualquierorden.
En el cuarto apartado se aplica todo lo expuesto anteriormente a la resolucion de la viga-columna de Timoshenko. Se obtiene la matriz de rigidez exacta y se hace un analisissobre las cargas de pandeo. Asimismo, se desarrollan varios ejemplos ilustrativos de lametodologıa propuesta.
Finalmente, en el quinto y ultimo apartado se recoge un resumen y las conclusiones delpresente capıtulo.
51
3.2. Solucion Nodal Exacta
3.2 Solucion Nodal Exacta
El problema de exactitud nodal en el metodo de los elementos finitos ha sido tratadopor muchos autores, uno de los primeros en hacerlo fue P. Tong desde un enfoquevariacional [Tong, 1969]. La idea consiste en emplear en el metodo de elementos finitosde Galerkin funciones de prueba y funciones test o de ponderacion, que son solucion delsistema de ecuaciones homogeneo del problema analizado y de esta manera se obtienenresultados exactos para desplazamientos y giros en los nodos de los elementos, en elcaso de vigas [Stricklin, 1966; Filho, 1968; Tong, 1969] y localizaciones optimas para ladeterminacion de los esfuerzos dentro del elemento, que dan resultados exactos cuandola carga es constante [Barlow, 1976].
Otro de los autores que han tratado este tipo de problema aplicado a la Teorıa de vigade Timoshenko es [Reddy, 1997], el cual introduce unas funciones de forma para eldesplazamiento w y el giro ψ que son interdependientes. Cabe destacar que [Ortuzary Samartın, 1998] en su artıculo tambien abordan el problema de la solucion nodalexacta, en la que se realizan aplicaciones a la viga de Bernoulli-Euler, asi como a laviga-columna con y sin deformacion por cortante. Asimismo en [Romero y Ortega,1998, 1999; Romero et al., 2002] se aborda la resolucion de la viga de Bernoulli-Eulery Timoshenko empleando solucion nodal exacta y en [Ortega, 2004] se estudia la viga-columna de Bernoulli-Euler. En la misma lınea [Mazars et al., 2006] y [Stramandinoliy La Rovere, 2012] han empleado funciones de forma que son solucion del problemahomogeneo, para el analisis de un elemento viga que tiene en cuenta la deformacionpor cortante, aplicada a elementos de hormigon estructural. Por otra parte, [Li et al.,2013] analiza el problema de la viga de Timoshenko empleando las mismas funcionesde interpolacion que Reddy [Reddy, 1997].
Cabe destacar que el resultado exacto en los nodos se mantiene aunque se tome unespacio arbitrario para las funciones de prueba [Romero y Ortega, 1998, 1999]. Estacuestion de la exactitud nodal esta tambien relacionada con la propiedad de supercon-vergencia en elementos finitos sobre la que hay gran numero de referencias, entre otras[Wahlbin, 1995]. El hecho de emplear funciones de forma que son solucion exacta delproblema homogeneo, permite evitar el fenomeno de bloqueo, que se produce cuandose analiza el problema de la viga y viga-columna de Timoshenko, si las funciones deaproximacion de desplazamiento, w, y de giro, ψ, no cumplen ciertas condiciones tal ycomo se indica en la literatura [Reddy, 1997; Romero et al., 2002; Mazars et al., 2006;Triantafyllou y Koumousis, 2011; Stramandinoli y La Rovere, 2012; Li et al., 2013;Lopez et al., 2013; Romero et al., 2014].
3.2.1 Elementos finitos y solucion nodal exacta en la viga de Timoshenko
Partiendo del sistema de ecuaciones diferenciales que rigen el modelo de viga de Ti-moshenko, expresion (2.16), deducida en el capıtulo 2 seccion 2 se puede poner como:
L(U) = F, L(U) =[−(ksAG(w′ − ψ))′ −(EIψ′)′ − ksAG(w′ − ψ)
]T(3.1)
con U =[w ψ
]Ty F =
[f 0
]T52
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
El sistema de Timoshenko puede tambien ponerse, de acuerdo a la expresion (2.17), dela siguiente manera:
(Hψ′)′′ = f
Kw′ = Kψ − (Hψ′)′(3.2)
La formulacion variacional se obtiene, realizando la ponderacion usual en el sistema
original, con V =[v φ
]Ty tras el correspondiente proceso de integracion por partes
en el intervalo generico [α, β], resulta:
a(U, V ) = l(V ) +4∑i=1
li(V )li(U) (3.3)
donde las formas, bilineal y lineales, son respectivamente:
a(U, V ) =
ˆ β
α
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx
l(V ) =
ˆ β
α
vf dx
l1(V ) = v(α), l2(V ) = φ(α), l3(V ) = v(β), l4(V ) = φ(β)
l1(U) = [−K(w′ − ψ)]x=α , l2(U) = [−Hψ′]x=α
l3(U) = [K(w′ − ψ)]x=β , l4(U) = [Hψ′]x=β
(3.4)
representando las cuatro ultimas, las acciones nodales de equilibrio o de contorno, quese corresponden en el extremo derecho x = β con los valores del esfuerzo cortante ymomento flector respectivamente, y con los valores opuestos de dichos esfuerzos, en elextremo izquierdo x = α.
A partir de la expresion variacional (3.3), para el intervalo Ω = [a, b], y por ejemplo,para condiciones de contorno esenciales de tipo homogeneo (pieza biempotrada), puedeformularse el siguiente problema, obtener (w,ψ) ∈ H1
0 (Ω)×H10 (Ω) tal que:
ˆ b
a
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =
ˆ b
a
vf dx, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)×H1
0 (Ω) (3.5)
donde H1(Ω) es el espacio de Sobolev definido como:
H1(Ω) =g/g, g′ ∈ L2(Ω)
H1
0 (Ω) =g ∈ H1(Ω)/g(a) = g(b) = 0
(3.6)
Cuando las condiciones esenciales son no homogeneas, el problema se formula en loscorrespondientes trasladados de los espacios vectoriales de las funciones de ponderacion.Por otra parte, la formulacion variacional (3.3) se puede poner integrando nuevamentepor partes, como:
4∑i=1
li(V )li(U) = l(V ) +4∑i=1
li(V )li(U)−ˆ b
a
U tLV dx (3.7)
53
3.2. Solucion Nodal Exacta
desapareciendo el ultimo sumando de (3.7) si se toma V en el espacio de soluciones delproblema homogeneo, y en dicho caso no dependiendo el primer miembro de los valoresde U en el interior del intervalo. Para dicha situacion L(V ) = [0, 0]T los metodos deGalerkin: Bunov-Galerkin y Petrov-Galerkin generan las mismas ecuaciones discretastal y como se indica en [Romero y Ortega, 1999; Romero et al., 2002].
La ecuacion de equilibrio para el elemento generico [α, β] es: Keue = f e + qe, donde losdesplazamientos nodales son:
ue =[ue1 ue2 ue3 ue4
]T=[w(α) ψ(α) w(β) ψ(β)
]T(3.8)
las cargas nodales equivalentes:
f e =[f e1 f e2 f e3 f e4
]T, f ei =
ˆ β
α
fN1i dx, i = 1, ..., 4 (3.9)
las nodales de equilibrio:
qe =[qe1 qe2 qe3 qe4
]T, qei = li(U), i = 1, ..., 4 (3.10)
Los elementos de la matriz de rigidez local Ke =[keij]
son keij = a(Ni, Nj) = li(Nj),requiriendo su calculo ciertas operaciones de derivacion de las funciones de forma.Tambien se calculan en la forma usual mediante integracion:
keij = a(N1, Nj) =
ˆ β
α
HN ′2iN
′2j +K(N ′1i −N2i)(N
′1j −N2j)
dx (3.11)
Las funciones de forma Ni = [N1i N2i]T , i = 1, ..., 4, verifican que li(Nj) = δij, j =
1, ..., 4 al constituir la mismas una base de Lagrange para la interpolacion.
La aproximacion de los desplazamientos y giros en cada elemento, viene dada por lassoluciones del sistema homogeneo de Timoshenko, expresadas mediante las funcionesde forma en funcion de los movimientos en los extremos por:
[vφ
]=
[N11 N12 N13 N14
N21 N22 N23 N24
]w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
(3.12)
Para el caso particular donde las rigideces H = EI y K = ksAG son constantes en cadaelemento, se deducen las funciones de forma N1i, N2i, i = 1, ..., 4, siendo las mismas:
N11 =−12mz + 2z3 − 3z2h+ 12mh+ h3
h(12m+ h2), N21 =
6z(z − h)
h(12m+ h2)
N12 =z(6mh+ z2h− 6mz − 2zh2 + h3)
h(12m+ h2), N22 =
3z2h− 12mz − 4zh2 + 12mh+ h3
h(12m+ h2)
N13 =z(12m− 2z2 + 3zh)
h(12m+ h2), N23 =
6z(−z + h)
h(12m+ h2)
N14 =z(−6mh+ z2h+ 6mz − zh2)
h(12m+ h2), N24 =
z(3zh+ 12m− 2h2)
h(12m+ h2)(3.13)
54
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
donde m = H/K, z = x− α y h = β − α. En [Romero et al., 2002] se dan tambien lasexpresiones para los casos de rigidez variable. La matriz de rigidez Ke deducida porderivacion es:
Ke =2H
h3(1 + 12m
h2
)
6 3h −6 3h2h2λ −3h h2γ
6 −3hSIM 2h2λ
(3.14)
donde λ = 1+3m/h2, γ = 1−6m/h2, expresada con la misma notacion que en [Reddy,1997] aunque se ha deducido de forma diferente.
Las ecuaciones de equilibrio local Keue = f e + qe y global KGuG = FG + QG, deter-minada esta ultima mediante el correspondiente ensamblado de las ecuaciones locales,son exactas en el sentido de que son verificadas por cualquier solucion del sistemaL(U) = F , tal y como se expone en [Romero et al., 2002].
Para cualquier problema, con el numero necesario de coacciones (que impiden que seaun mecanismo), una vez considerados los desplazamientos y acciones conocidas (a partirde las condiciones esenciales y naturales dadas), resolviendo el correspondiente sistema,se determinan los desplazamientos y giros desconocidos y despues las acciones nodalesde equilibrio globales desconocidas. Entrando luego en cada ecuacion de equilibrio localse determina para cada elemento, el vector qe = Keue−f e, es decir, los valores exactosde los esfuerzos en los extremos. Finalmente, de estos ultimos se deducen los valoresexactos de w′ y ψ′ en α+ y β− para cada elemento [α, β]. Tambien de la relacionK(w′ − ψ) = −(Hψ′)′, al ser conocidos w′ y ψ, quedan determinados asimismo losvalores ψ′′(α+) y ψ′′(β−).
Observacion: Para m = 0 y tomando ψ = w′ puede considerarse en el desarrollo, elcaso de Bernoulli-Euler dentro del de Timoshenko, con las cargas nodales de equilibrio,como se expone en [Romero y Ortega, 1998], dadas por:
l1(w) = (EIw′′)′|x=α , l2(w) = −(EIw′′)|x=α
l3(w) = −(EIw′′)′|x=β , l4(w) = (EIw′′)|x=β
(3.15)
3.3 Accion Repartida Equivalente
El concepto de accion repartida equivalente, se introdujo por primera vez en [Romeroy Ortega, 1998, 1999], con el proposito de optimizar los resultados derivados de laaplicacion de los elementos finitos al modelo de Bernoulli-Euler. Posteriormente en[Romero et al., 2002; Ortega, 2004], tambien se han realizado aplicaciones siguiendo estamisma lınea. En el primero aplicado al modelo de viga de Timoshenko y en el segundoal analisis de pilares con comportamiento lineal o no lineal del material, empleando elmodelo de Bernoulli-Euler.
En lo que sigue, y con el fin de una mejor comprension del concepto, se describe enprimer lugar lo que es una accion equivalente y sus propiedades, para pasar a explicarluego el concepto de accion repartida equivalente y el orden de la misma.
55
3.3. Accion Repartida Equivalente
3.3.1 Accion Equivalente
Se considera que un estado de carga definido por f en el dominio [a, b] del problema,viene dado en general como la accion conjunta de cargas repartidas definidas por fun-ciones continuas a trozos, y deltas de Dirac y dipolos para acciones puntuales [Romeroy Ortega, 1998, 1999].
Considerando la descomposicion del dominio en la forma [a, b] = ∪n−1i=1 [xi, xi+1], se
dice que dos acciones f y f son equivalentes respecto de dicha descomposicion, si encada subintervalo [α, β] de la descomposicion, f y f generan las mismas cargas nodalesequivalentes. O sea, si se verifica la igualdad de los siguientes productos escalares:
(f,N1i)w = (f , N1i)w, i = 1, ..., 4 (3.16)
definidos en el espacio L2w ([α, β]) de funciones de cuadrado integrable Lebesgue [Funa-
ro, 1992], con funcion peso w(x) = 1, donde:
(u, v)w =
ˆ β
α
w(x)u(x)v(x) dx (3.17)
Si f y f son equivalentes, las cargas nodales equivalentes globales tambien son lasmismas, y ambas generan los mismos desplazamientos y giros en los nodos. Asimismoambas cargas, f y f , generan los mismos esfuerzos en los extremos de cada elemento.Observese que una vez determinados los valores nodales ue como:
ue =[ue1 ue2 ue3 ue4
]T=[w(α) ψ(α) w(β) ψ(β)
]Tque son exactos, se tiene que:
[Ke] w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
=
´ βαfN11 dx´ β
αfN12 dx´ β
αfN13 dx´ β
αfN14 dx
+
[−K(w′ − ψ)]x=α
[−Hψ′]x=α
[K(w′ − ψ)]x=β
[Hψ′]x=β
(3.18)
y la expresion analoga para las f equivalentes. Ambas determinan por tanto los mismosesfuerzos en los extremos de cada elemento y consecuentemente los mismos valores dew′ y ψ′, en α+ y β− en [α, β], como se ha indicado. Recıprocamente, dada la cargaf y determinados los valores de w y ψ en α y β y asimismo w′ y ψ′, en α+ y β− encada subintervalo, pueden determinarse las funciones w, ψ y f interpolando w y ψ losvalores indicados, y verificando al tiempo, el sistema de ecuaciones diferenciales (3.1) o(3.2) . Como consecuencia la accion f hallada es equivalente a la original f . Para H yK constantes las tres funciones anteriores quedan determinadas mas adelante mediantela expresion (3.28).
Observacion: En la ecuacion (3.18), el vector de cargas nodales de equilibrio, tambiense puede expresar en la forma:
qe =[(Hψ′)′
∣∣x=α
(−Hψ′)∣∣x=α
−(Hψ′)′∣∣x=β
(Hψ′)∣∣x=β
]T(3.19)
56
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
3.3.2 Propiedades de la accion equivalente: ortogonalidad e interpolacion
De las (3.16) teniendo en cuenta que:
(Hψ′)′′ = f, Q(x) = −(Hψ′)′, M(x) = Hψ′
(Hψ′)′′ = f , Q(x) = −(Hψ′)′, M(x) = Hψ′ (3.20)
integrando por partes y considerando la igualdad de cortantes y momentos en losextremos de cada elemento, resulta:
ˆ β
α
(Q(x)− Q(x)
)N ′1i(x) dx = 0,
ˆ β
α
(M(x)− M(x)
)N ′′1i(x) dx = 0, i = 1, ..., 4 (3.21)
Es decir, la funcion diferencia entre el cortante para la accion original f y el cortantepara la accion equivalente f , es ortogonal al espacio de funciones engendrado por lasN ′1i, i = 1, ..., 4. Se puede demostrar facilmente que engendran un espacio de dimensiontres.
De manera analoga, la diferencia, entre el momento flector para f y el momento flectorpara la accion equivalente f , es ortogonal al espacio de funciones engendrado por lasN ′′1i, i = 1, ..., 4. Estas engendran un espacio de dimension dos. Ademas los cortantes enlos extremos para ambas acciones coinciden como se ha indicado, luego se tiene juntocon la ortogonalidad citada, la propiedad de interpolacion en el sentido de Lagrange:
Q(α+) = Q(α+), Q(β−) = Q(β−) (3.22)
Para los momentos, se verifican junto con la ortogonalidad, los siguientes resultados deinterpolacion en el sentido de Hermite, pues Q = −M ′
M(α+) = M(α+), M(β−) = M(β−)
M ′(α+) = M ′(α+), M ′(β−) = M ′(β−) (3.23)
Estas propiedades de ortogonalidad e interpolacion, en cada elemento, para los momen-tos y esfuerzos cortantes, para una accion equivalente a la accion original, son la basedel buen comportamiento del metodo expuesto, para la aproximacion de los esfuerzosy tambien para los desplazamientos y giros.
3.3.3 Accion repartida equivalente
De las infinitas acciones equivalentes a una accion dada f se puede elegir una f con granregularidad y muy sencilla de calcular ası como los desplazamientos, giros y esfuerzosasociados a ella. Dicha accion fue denominada en [Romero y Ortega, 1998, 1999; Romeroet al., 2002] como accion repartida equivalente y es la definida como la proyeccionortogonal de f en el espacio de funciones engendrado por las N1i, i = 1, ..., 4 en cadasubintervalo [α, β], siendo la misma:
f =[N11 N12 N13 N14
]G−1
[f1 f2 f3 f4
]T(3.24)
Expresion que resulta del sistema de ecuaciones normales G λi = fi, donde G =(gij) (para distinguirla del modulo de rigidez de cortante G = E/[2(1 + ν)]) es la
57
3.3. Accion Repartida Equivalente
matriz de Gram relativa a la base constituida por las N1i, i = 1, ..., 4, la cual tiene porelementos los productos escalares, para el peso w(x) = 1:
gij = (N1i, N1j)w =
ˆ β
α
N1iN1j dx, i, j = 1, ..., 4 con f =4∑i=1
λiN1i (3.25)
Un hecho importante es que se puede calcular la solucion U =[w ψ
]Ty los esfuerzos
derivados de ella Q(x), M(x) relativos a f , sin necesidad de calcular previamente dichaaccion repartida equivalente, tal como se indica posteriormente.
Propiedad de solucion exacta I : Cuando la accion original f , en el elemento [α, β], es
del espacio engendrado por las N1i, i = 1, ..., 4, entonces la solucion U =[w ψ
]Tcoincide con la exacta en todo el elemento.
Esta propiedad es utilizada para la determinacion de la solucion exacta en [Romero yOrtega, 1998, 1999; Romero et al., 2002] y tambien en este trabajo (donde se incluyeademas la propiedad II). Dicha solucion exacta se ha determinado por esta vıa pararealizar las comparaciones con las soluciones aproximadas del nuevo procedimientopropuesto.
En [Romero et al., 2002] se desarrollo para H y K constantes, la determinacion me-diante interpolacion, de la solucion aproximada Ucorrespondiente a la accion repartidaf .
A partir de Hψ′′′ = f , w′ = ψ−mψ′′ se deduce que la solucion equivalente U(z = x−α)es:
U =
w
ψ
=
1 z z2
2z3−6mz
3z4−12mz2
4z5−20mz3
5z6−30mz4
6z7−30mz5
7
0 1 z z2 z3 z4 z5 z6
Bs (3.26)
donde:
s =[w(α) w′(α+) ψ(α) ψ′(α+) w(β) w′(β−) ψ(β) ψ′(β−)
]T(3.27)
Los desplazamientos, giros, momentos y esfuerzos cortantes equivalentes y asimismola accion repartida equivalente, f en cadas subintervalo [α, β] recogidos en una unicaexpresion, son:
U =
w
ψ
M
Q
f
=
1 z z2
2z3−6mz
3z4−12mz2
4z5−20mz3
5z6−30mz4
6z7−42mz5
7
0 1 z z2 z3 z4 z5 z6
0 0 H 2zH 3z2H 4z3H 5z4H 6z5H
0 0 0 −2H −6zH −12z2H −20z3H −30z4H
0 0 0 0 6H 24zH 60z2H 120z3H
Bs (3.28)
58
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
siendo la matriz B la siguiente:
B =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 −12m
12m 0 0 0 0 0
140h4
83mh 8h
2+30m−3mh3 20h
2+7m−h4
140h4
23mh 2h
2+90m−3mh3 10h
2+14mh4
420h5 − 5
mh2 5h2+45mmh4 105h2+42m
h5−420h5
−52mh2 5h
2+78m2mh4 35h
2+12m−h5
−420h6
4mh3 4h
2+54m−mh5 153h2+28m
−h6420h6
3mh3 3h
2+68m−mh5 313h2+140m
h6
140h7
−76mh4 7h
2+60m6mh6 14h
2+10mh7
−140h7
−76mh4 7h
2+60m6mh6 14h
2+10m−h7
(3.29)
Las expresiones del momento flector equivalente, el esfuerzo cortante equivalente y laaccion repartida equivalente, se han deducido considerando que:
M = Hψ′, Q = −Hψ′′, f = Hψ′′′ (3.30)
3.3.4 Orden de la accion repartida equivalente
De acuerdo con la definicion preliminar de accion repartida equivalente, la misma es unafuncion formada por una combinacion lineal de soluciones del problema homogeneo y elorden mınimo de la misma por lo tanto coincide con el orden del operador diferencial dela ecuacion. Por ello, el orden de las acciones consideradas en las aplicaciones anteriores,por ejemplo a los problemas de Timoshenko y Bernoulli-Euler, era cuatro.
Considerando lo anterior, el orden de la accion repartida equivalente se define como ladimension k ≥ 4 del espacio Wk en el que se toma la accion repartida equivalente f .Siempre puede elegirse un conjunto arbitrario de funciones linealmente independientes
B = ϕ1, ϕ2, ..., ϕk (3.31)
ampliando el espacio engendrado por las funciones N1i, i = 1, ..., 4 de soluciones delproblema homogeneo, de forma que ϕi, i = 1, ..., 4 generen el mismo espacio que lasN1i. La base del espacio Wk con k ≥ 4 puede construirse, para facilitar el procesoalgorıtmico, de modo que sea una base ortogonal respecto del producto escalar definidoen L2
w ([α, β]) para w(x) = 1:
(ϕi, ϕj)w =
ˆ β
α
ϕi(x)ϕj(x) dx = 0, si i 6= j
f =k∑i=1
λiϕi con (f − f , ϕj)w = 0, j = 1, ..., k
es decir, se toma f de modo que sea la proyeccion ortogonal de f sobre Wk.
59
3.3. Accion Repartida Equivalente
Los coeficientes de Fourier de f respecto de la base ortogonal B son:
λi = (f, ϕi)w/ ‖ ϕi ‖2w, i = 1, ..., k (3.32)
La carga f se puede poner en la forma fk (haciendo referencia explıcita al orden) donde:
fk = f4 + g con f4 =4∑i=1
λiϕi, g =k∑i=5
λiϕi (3.33)
Luego (g, N1i)w = 0, i = 1, ..., 4. Vease que la informacion relevante de fk, respecto alos esfuerzos, esta en f4 =
∑4i=1 λiϕi y no en g, al generar la primera las mismas cargas
nodales equivalentes que la f original, pues la carga adicional g =∑k
i=5 λiϕi da, porla construccion realizada, cargas nodales equivalentes nulas y por tanto esfuerzos nulosen los nodos. Por lo anterior g es una carga equivalente a la nula.
Observese que fk =∑k
i=1 λiϕi para k ≥ 4 no es un elemento del espacio engendradopor las funciones N1i, i = 1, ..., 4, soluciones de la homogenea, mientras que f4 =∑4
i=1 λiϕi =∑4
i=1 µiN1i, sı lo es.
En las aplicaciones practicas la aproximacion a la solucion se realiza, en la mayorparte de los casos, empleando la carga f4 cuando la accion f tiene cierta regularidad.Por otra parte, en otros casos menos frecuentes, donde la accion repartida tiene pocaregularidad, si se desea mantener, al tiempo, un numero reducido de elementos finitos,se emplearıan entonces acciones repartidas equivalentes de orden creciente f4, f5, f6, ...pertenecientes respectivamente a los espacios W4 ⊂ W5 ⊂ W6 ⊂ ... Las solucionesrelativas a dichas acciones van mejorando progresivamente en el interior del intervalo,de manera acorde con la construccion sucesiva de los espacios Wk. Se tiene en cuentapara ello el resultado basico de ortogonalidad: teorema de Pitagoras para las funcionesde L2
w = ([α, β]) con w(x) = 1, dado por:
‖ f − fk ‖2w=‖ f ‖2
w −k∑i=1
λ2i ‖ ϕi ‖2
w (3.34)
Se deduce de lo anterior que el error mınimo cuadratico, ‖ f − fk ‖2w, disminuye al
hacer crecer k con tal de que las funciones ϕi que se van anadiendo, sucesivamente,no sean ortogonales a f , es decir, que (f, ϕi)w 6= 0. Como se expone en los resultadosnumericos, en los casos mas singulares donde la aproximacion con f4 no es la deseada,se ha comprobado que con valores de k poco superiores a 4, por ejemplo k = 5, k = 6, opoco mas, se consiguen ya excelentes aproximaciones a los valores de la solucion exactaen el interior de los intervalos. Ademas si f ∈ Wn, n ≤ k entonces fk = f y se tiene:
Propiedad de solucion exacta II: Cuando la accion original f , en el elemento [α, β], es
de alguno de los espacios Wn, 4 ≤ n ≤ k entonces la solucion Uk =[wk ψk
]Tcoincide
con la exacta en dicho elemento. Cuando n = 4 resulta la propiedad de solucion exactaI.
Se puede resumir, lo anterior indicando que, dada f , la accion repartida equivalentefk se descompone en la suma de la carga f4 que es la repartida equivalente a f y de
60
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
orden mınimo, y de la carga g que es una carga repartida equivalente a la carga nula.Y que g mejora ligeramente los resultados dados por f4, solamente en el interior de loselementos, pues la informacion significativa sobre movimientos y esfuerzos en los nodosy en el interior la da ya f4.
3.3.5 Aplicacion de los polinomios ortogonales de Legendre a la accion repartidaequivalente de cualquier orden
De acuerdo con lo anteriormente expuesto, cuando H = EI y K = ksAG son constan-tes, los espacios Wk, para cualquier k > 4, engendrados por las funciones ϕ1, ϕ2, ..., ϕkse toman por simplicidad y por las ventajas que conlleva la eleccion, como Wk = Pk−1,pues ya W4 = P3 al constituir los polinomios de grado menor o igual que tres, el es-pacio de soluciones del problema homogeneo (en relacion con los desplazamientos w).Como a su vez se eligen, por sencillez algorıtmica, las funciones de manera que seanmutuamente ortogonales respecto al producto escalar ya definido, resulta que con di-cha eleccion las funciones son precisamente los elementos de la sucesion de polinomiosortogonales de Legendre pi(x)∞i=0 en [α, β]. Esta sucesion, como es conocido, formaun sistema completo de funciones en el intervalo [Davis, 1975], es decir se verifica:
lımk→∞‖ f − fk ‖2
w = 0 (3.35)
para cualquier funcion f de L2w ([α, β]) con w(x) = 1.
En resumen:
ϕ1 = p0, ϕ2 = p1, ..., ϕk = pk−1, fk =k−1∑i=0
αipi, αi = (f, pi)w/ ‖ pi ‖2w, i = 0, ..., k − 1
siendo fk = f4 + g.
En el desarrollo se toma, para el elemento generico [α, β], la sucesion de polinomiosortogonales pn(x), n = 0, 1, 2, ... que resultan al transformar, los polinomios de Legendreclasicos Pn(t) definidos en [−1, 1], con el cambio de variable, t = 2[x−(α+β)/2]/(α−β).Dichos polinomios de Legendre verifican la relacion de recurrencia [Funaro, 1992]:
Pn+1(t) =[(2n+ 1)tPn(t)− nPn−1(t)]
(n+ 1)con P0(t) = 1, P1(t) = t (3.36)
que permite generarlos con gran facilidad hasta el grado deseado. Hay multiples formaspara construir esta sucesion de polinomios [Freud, 1971; Davis, 1975; Szego, 1975]. Elcambio citado mantiene la condicion de estandarizacion de los de Legendre clasicos,pues pn(β) = 1 y pn(α) = (−1)n. Ademas se verifica [Davis, 1975]:
ˆ 1
−1
(Pn(t))2 dt = 2/(2n+ 1), ‖ pn ‖2w=
ˆ β
α
(pn(x))2 dx =h
2n+ 1, h = β − α (3.37)
Como f4 =∑4
i=1 αipi =∑4
i=1 µiN1i pues las bases p0, p1, p2, p3 y N11, N12, N13, N14generan el mismo espacio de los polinomios cubicos W4 = P3, siendo indiferente em-plear una u otra base. Como se ha expuesto en [Romero y Ortega, 1998, 1999; Romero
61
3.3. Accion Repartida Equivalente
et al., 2002], no es necesario su calculo para la determinacion de la solucion corres-pondiente, cuando se emplea el metodo interpolatorio que se expone mas adelante deforma esquematica.
Con la notacion usual de teorıa de la aproximacion [Funaro, 1992] fk = Πw,k−1f ∈ Pk−1,con w(x) = 1, donde Πw,k−1 es el operador proyeccion ortogonal sobre el espacio depolinomios Pk−1.
Por otra parte g = α4p4 + ... + αk−1pk−1 =∑k−1
i=4 αipi y puede ponerse cada fn, n ≥ 5en la forma:
f 5 = f 4 + α4p4, f 6 = f 5 + α5p5, ...., fk = fk−1 + αk−1pk−1 (3.38)
para k tan grande como sea necesario.
De lo anterior resulta que dada f con norma finita ‖ f ‖w, es claro que ‖ αnpn ‖w→ 0para n → ∞. En la mayorıa de las aplicaciones, es suficiente con emplear accionesrepartidas equivalentes de orden relativamente bajo, como f 4, f 5, f 6..., para obtenermuy buena aproximaciones a la solucion teorica.
Las funciones wk, ψk,Mk, Qk correspondientes a la accion repartida fk, se pueden de-terminar de manera progresiva a partir de las w4, ψ4,M4, Q4, correspondientes a laaccion repartida f 4 anadiendo sucesivamente las soluciones incrementales:
∆wn, ∆ψn, ∆Mn = H∆ψ′n, ∆Qn = −H∆ψ
′′n
relativas a las cargas incrementales αnpn con n ≥ 4. Ası para f 5 = f 4 + α4p4 se tiene:
w5 = w4 + ∆w4, ψ5 = ψ4 + ∆ψ4, M5 = M4 + ∆M4, Q5 = Q4 + ∆Q4
Para f 6 = f 5 + α5p5 de manera analoga:
w6 = w5 + ∆w5, ψ6 = ψ5 + ∆ψ5, M6 = M5 + ∆M5, Q6 = Q5 + ∆Q5
y ası sucesivamente, pudiendose poner tambien fk como:
fk = f 4 + g = f 4 +k−1∑n=4
∆fn, con ∆fn = αnpn
wk = w4 +k−1∑n=4
∆wn, ψk = ψ4 +k−1∑n=4
∆ψn, Mk = M4 +k−1∑n=4
∆Mn, Qk = Q4 +k−1∑n=4
∆Qn
3.3.5.1 Propiedades osculadoras y de ortogonalidad para las soluciones incre-mentales relativas a los sumandos de la carga g
La solucion incremental en [α, β] es la correspondiente al polinomio de grado n, ∆fn =αnpn con n ≥ 4. Dado que la carga αnpn es una funcion ortogonal a las N1i, i = 1, ..., 4,es decir al espacio P3 = W4, entonces genera cargas nodales equivalentes nulas. Como
62
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
la correspondiente solucion incremental ∆wn,∆ψn verifica que ∆wn(α) = ∆ψn(α) =0 y ∆wn(β) = ∆ψn(β) = 0, la pieza sometida a dicha carga incremental, al tenermovimientos nulos, equivale al caso biempotrado, y de la ecuacion de equilibrio (3.30)se deduce que los cortantes y momentos son tambien nulos en los extremos. Observeseque la solucion incremental tiene movimientos y esfuerzos no nulos en el interior de loselementos.
Ahora se deducen propiedades en cada elemento mediante la integracion por partes.
La solucion ∆wn,∆ψn del sistema de Timoshenko relativa a dicha carga ∆fn = αnpnverifica:
(H∆ψ′n)′′ = αnpn, K∆w′n = K∆ψn − (H∆ψ
′n)′ (3.39)
de donde se deduce que ∆ψn ∈ Pn+3, ∆wn ∈ Pn+4. La accion ∆fn = αnpn como seha indicado para g es tambien una carga repartida equivalente a la carga nula, pues secumple la igualdad siguiente de productos escalares:
(αnpn, N1i)w = (0, N1i)w = 0, i = 1, ..., 4 (3.40)
Pero tambien, por la propiedad de los polinomios ortogonales, de ser ortogonal a cual-quier polinomio de grado inferior [Funaro, 1992], resulta:
(αnpn, q)w = 0, ∀q ∈ Pn−1 (3.41)
Teniendose ademas las propiedades osculadoras o de interpolacion que se deducen delas ecuaciones (3.18) y (3.19), para los giros. Resultando un contacto de la grafica de∆ψn con el eje x de orden 2 en los extremos del intervalo, es decir:
∆ψn(α) = ∆ψ′n(α) = ∆ψ
′′n(α) = 0, ∆ψn(β) = ∆ψ
′n(β) = ∆ψ
′′n(β) = 0 (3.42)
Se tiene del proceso de integracion por partes de (3.41), que los siguientes productosescalares son nulos
((H∆ψ′n)′′, q)w = 0, ((H∆ψ
′n)′, q′)w = 0
(H∆ψ′n, q′′)w = 0, (∆ψn, (Hq
′′)′)w = 0 (3.43)
Dado que H es constante, las relaciones anteriores conducen a que ∆ψ′′′n es ortogonal,
en el dominio [α, β], al espacio de polinomios Pn−1, del mismo modo ∆ψ′′n a Pn−2, ∆ψ
′n a
Pn−3 y finalmente ∆ψn es ortogonal a Pn−4. Si, por ejemplo n = 4, entonces la solucion
en giros ∆ψn ∈ Pn+3 = P7 y las funciones ∆ψn,∆ψ′n,∆ψ
′′n,∆ψ
′′′n o mas ampliamente:
∆ψn, ∆ψ′n, ∆ψ
′nx, ∆ψ
′′n, ∆ψ
′′nx, ∆ψ
′′nx
2, ∆ψ′′′n , ∆ψ
′′′n x, ∆ψ
′′′n x
2, ∆ψ′′′n x
3 (3.44)
tienen integral nula en [α, β], es decir, compensan areas en dicho intervalo y las fun-
ciones ∆ψn,∆ψ′n,∆ψ
′′n y ∆ψ
′′′n se comportan, en este sentido, como los polinomios or-
togonales de grados 1, 2, 3 y 4, no olvidando, que a su vez, se cumplen las propiedadesde interpolacion mencionadas.
63
3.3. Accion Repartida Equivalente
De K∆w′n = K∆ψn − (H∆ψ′n)′ se deducen de la expresion (3.18), para los desplaza-
mientos incrementales ∆wn, propiedades osculadoras analogas, con un contacto con eleje x de orden 1 en los extremos del intervalo, pues:
∆wn(α) = ∆w′n(α) = 0, ∆wn(β) = ∆w′n(β) = 0 (3.45)
Por otra parte de (∆w′n, r)w = (∆ψn − HK
∆ψ′′n, r)w = 0,∀r ∈ Pn−4 e integrando por
partes queda:
(∆wn, r′)w = 0,∀r′ ∈ Pn−5 (3.46)
En resumen ∆w′n es ortogonal en el intervalo a Pn−4 y ∆wn es ortogonal a Pn−5. Sipor ejemplo, n = 4, entonces ∆w′n tiene integral nula en [α, β] y si n = 5, las funciones∆wn,∆w
′n,∆w
′nx tienen integral nula en el intervalo y sus graficas por tanto compensan
areas en el citado intervalo.
Para la viga de Bernoulli-Euler se deducen propiedades analogas, observese que eneste caso ψ = w′ y la ecuacion (H∆w′′n)′′ = αnpn se puede expresar en la forma de
Timoshenko (H∆ψ′n)′′ = αnpn.
Estas propiedades de interpolacion u osculadoras y de ortogonalidad para los sumandosde g se ilustran graficamente en el apartado posterior de ejemplos. En ellos puede verseque la contribucion de dichos sumandos a la solucion es en general muy pequena enrelacion con la correspondiente a la carga f 4. De ahı que en la mayorıa de los casos,como se viene indicando, se obtenga con esta ultima una buena aproximacion a lasolucion exacta.
3.3.6 Determinacion de los movimientos y esfuerzos para una accion repartidaequivalente de cualquier orden k ≥ 4
La resolucion del problema de contorno definido por el sistema Timoshenko, con con-diciones de contorno esenciales y naturales dadas en los nodos relativos a la particiondel dominio [a, b], se realiza dando los pasos que se indican para las dos vıas posibles:interpolacion, para la accion f 4 y proyeccion ortogonal, para la accion fk, con k ≥ 4.
3.3.6.1 Para una accion repartida equivalente de orden 4. Metodo de interpo-lacion
A continuacion se describe el metodo de interpolacion para la accion repartida equiva-lente de orden 4:
1. Se determinara, empleando el metodo de elementos finitos, el vector de despla-zamientos nodales globales.
2. Para cada uno de los elementos, teniendo en cuenta las ecuaciones de equilibriolocales dadas por (3.18) y siendo conocidos del paso anterior los desplazamien-tos nodales (desplazamientos verticales y giros), se calculara el vector de cargasnodales de equilibrio.
64
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
3. De dichas cargas nodales de equilibrio y de los desplazamientos nodales ya de-terminados en el paso primero, se hallaran los valores de las derivadas primerasde los desplazamientos y giros en los extremos de cada elemento, y mediante laexpresion interpolatoria (3.28), se determinan los movimientos y esfuerzos en elinterior de cada elemento para la accion repartida equivalente f 4. Observese quedicha carga se calcula, por este metodo, en caso necesario, al final del proceso.
3.3.6.2 Para una accion repartida equivalente de cualquier orden k ≥ 4. Metodode proyeccion ortogonal
A continuacion se describe el metodo de proyeccion ortogonal para acciones repartidasequivalentes de cualquier orden, que incluye el caso de la carga f 4, siendo por tantouna vıa alternativa para el mismo.
1. Se procede como en el caso anterior determinando el vector de desplazamientosnodales globales.
2. Para cada elemento [α, β] se proyecta la carga f sobre el espacio Wk = Pk−1
aplicando (3.32), es decir αi = (f, pi)w/ ‖ pi ‖2w, para i = 0, ..., k, quedando
ası hallada, fk, accion repartida equivalente de orden k ≥ 4. Esto puede hacersetambien de manera incremental como se indica despues.
3. Se resuelve ahora el sistema de Timoshenko, expresion (3.2)para la carga fken cada elemento. Sean, wk(x) y ψk(x), una solucion arbitraria de Hψ′′′ = fk,Kw′ = Kψ −Hψ′′, dada por las expresiones:
ψk(x) =(y
fk
)/H
wk(x) =
ˆψ dx−mψ′ =
(yfk
)/H −
(xfk
)/K
(3.47)
La solucion que en los extremos del intervalo toma los valoresw(α), ψ(α), w(β), ψ(β) es:
[wk(x)
ψk(x)
]=
[wk(x)
ψk(x)
]+
[N11 N12 N13 N14
N21 N22 N23 N24
]w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
−wk(α)
ψk(α)wk(β)
ψk(β)
(3.48)
Observese que se esta sumando a la solucion de la homogenea una particular dela completa con valores nulos en los extremos.
4. Los esfuerzos en el interior del intervalo quedan determinados por Mk = Hψ′k,
Qk = −Hψ′′k o igualmente por:
[Mk(x)Qk(x)
]= H
[ψ′k(x)
−ψ′′k (x)
]+
[N ′21 N ′22 N ′23 N ′24−N ′′21 −N ′′22 −N ′′23 −N ′′24
]w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
−wk(α)
ψk(α)wk(β)
ψk(β)
(3.49)
65
3.3. Accion Repartida Equivalente
Resumiendo, dada f y fijado el orden k ≥ 4 de la accion repartida equivalente, quedandeterminadas en cada intervalo [α, β], por el procedimiento indicado, las siguientesfunciones:
wk(x), ψk(x), Mk(x), Qk(x), fk(x)
que aproximan, respectivamente, los desplazamientos, giros, momentos, esfuerzoscortantes y carga repartida, de la solucion exacta del problema de Timoshenko(tambien de Bernoulli-Euler, con m = 0 y w′ = ψ).
Procedimiento incremental
En la practica tambien pueden hallarse las funciones wk(x), ψk(x), Mk(x), Qk(x), fk(x)de manera progresiva a partir de w4(x), ψ4(x), M4(x), Q4(x), f 4(x), pues:
fn+1 = fn + αnpn
con:
wn+1 = wn + ∆wn, ψn+1 = ψn + ∆ψn, Mn+1 = Mn + ∆Mn, Qn+1 = Qn + ∆Qn
siendo:
∆ψn(x) =1
H
yαnpn
∆wn(x) =
ˆ∆ψn dx−m∆ψ′n =
(1
H
yαnpn
)−(
1
K
xαnpn
) (3.50)
No es necesaria la correccion de valores en los extremos como en la expresion (3.48), sipara el calculo de las primitivas se emplean:
∆ψn =
[ˆ x
α
(x− s)2αnpn(s)ds
]/(2H)
∆wn =
ˆ x
α
[(x− s)3
6H− (x− s)
K
]αnpn(s)ds
(3.51)
pues para n ≥ 4, resulta ∆wn(α) = ∆ψn(α) = 0 por construccion y ∆wn(β) =∆ψn(β) = 0, por la ortogonalidad de pn con los polinomios de grado inferior a n.
3.3.7 Ejemplos de aplicacion
Se han desarrollado tres ejemplos, en los que se aborda el calculo en regimen lineal dela deformada y de las leyes de esfuerzos de una viga de rigidez y seccion rectangularconstante en toda su longitud. Las dimensiones de la pieza son 9m de largo, 0, 2m deancho y 1m de canto. Se han considerado para el coeficiente de Poisson, modulo de elas-ticidad y factor de correccion por cortante, los valores: ν = 2x10−1, E = 3x107kN/m2
y ks = 5/6, respectivamente.
En los ejemplos, las dimensiones de la viga y caracterısticas del material son las mismasen todos los casos, variando unicamente el estado de carga y las condiciones de vınculo.Se han realizado tanto para el modelo de Timoshenko como para el de Bernoulli-Euler,siendo el segundo un caso particular del primero cuando m = 0 con ψ = w′.
66
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
3.3.7.1 Viga empotrada-apoyada con carga repartida y puntual
Se analiza en este caso la viga descrita anteriormente (apartado 3.3.7), con las condi-ciones de vınculo y estado de carga que se muestra en la Figura 3.1, obteniendose tantola solucion exacta como la aproximada para diferentes ordenes de la accion repartidaequivalente.
Figura 3.1. Viga empotrada-apoyada
Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga en 3 elementos finitos, acordes conla definicion de la carga en el dominio:
elem1 = [0, 3], elem2 = [3, 6], elem3 = [6, 9]
Como las cargas distribuidas son constantes y lineales, por lo ya comentado en elapartado 3.3.3, si se resuelve el problema aplicando el concepto de accion repartidaequivalente y solucion nodal exacta, la solucion que se obtiene coincide con la exactaen toda la pieza.
Las soluciones aproximadas se obtienen discretizando la pieza en un solo elementode longitud l = 9m y utilizando el procedimiento de proyeccion ortogonal (apartado3.3.6.2). Para este caso en particular se han empleado dos ordenes para la accionrepartida equivalente f 4 y f 5.
Los resultados obtenidos (exacto y aproximados) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.2 a 3.5respectivamente.
En las Figuras 3.2 y 3.3 se puede apreciar que tanto para el desplazamiento comopara el giro, los resultados obtenidos con las acciones equivalentes de orden 4 y 5 sonpracticamente iguales a los de la solucion exacta.
En las Figuras 3.4 y 3.5 se puede apreciar que los errores maximos obtenidos para elmomento y cortante son del 2 % y del 10 % respectivamente.
67
3.3. Accion Repartida Equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
−2
−4
−6
−8
−10
−12
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
wexac. w4 w5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
−2
−4
−6
−8
−10
−12
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(b)
wexac. w4 w5
Figura 3.2. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4
−2
0
2
4
6·10−3
L (m)
Giro(rad
)
(a)
ψexac.
ψ4
ψ5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4
−2
0
2
4
6·10−3
L (m)
Giro(rad
)
(b)
w′exac.
w′4
w′5
Figura 3.3. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obtenidas conun solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1500
−1200
−900
−600
−300
0
300
600
900
1200
L (m)
Mom
ento
Flector
(kN.m
)
(a)
Mexac.
M4
M5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1500
−1200
−900
−600
−300
0
300
600
900
1200
L (m)
Mom
ento
Flector
(kN.m
)
(b)
Mexac.
M4
M5
Figura 3.4. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
68
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−600
−450
−300
−150
0
150
300
450
L (m)
Cortante
(kN)
(a)
Qexac.
Q4
Q5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−600
−450
−300
−150
0
150
300
450
L (m)
Cortante
(kN)
(b)
Qexac.
Q4
Q5
Figura 3.5. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
En la Figura 3.6 se puede ver el comportamiento de las acciones repartidas equivalentesf 4 y f 5 y como estas recogen el efecto de la carga puntual.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−250
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(a)
fact.f 4
f 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−250
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(b)
fact.f 4
f 5
Figura 3.6. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
Estos ultimos graficos sobre las acciones repartidas equivalentes, tienen un propositoilustrativo en relacion con la teorıa desarrollada en este trabajo.
3.3.7.2 Viga empotrada-apoyada con cargas repartidas de distinto signo
Se analiza en este caso la viga descrita en el apartado 3.3.7, con las condiciones devınculo y estado de carga que se muestra en la Figura 3.7. Al igual que en el ejemploanterior, se obtiene tanto la solucion exacta como la aproximada para diferentes ordenesde la accion repartida equivalente.
69
3.3. Accion Repartida Equivalente
Figura 3.7. Viga empotrada-apoyada
Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga en 3 elementos finitos, de acuerdocon la definicion de la carga en el dominio:
elem1 = [0, 3], elem2 = [3, 6], elem3 = [6, 9]
esto permite, por las propiedades indicadas en el apartado 3.3.3, obtener la solucionexacta en toda la longitud de la pieza.
Las soluciones aproximadas se obtienen para dos situaciones:
i) Discretizando la pieza en un solo elemento de longitud l = 9m y utilizandoel procedimiento de proyeccion ortogonal (apartado 3.3.6.2). Para este caso enparticular se han empleando tres ordenes para la accion repartida equivalente f 4,f 5 y f 7 (f 6 = f 5, ya que α5 = 0).
ii) Discretizando la pieza en dos elementos finitos:
elem1 = [0, 4.5], elem2 = [4.5, 9]
y empleando la accion repartida equivalente de orden 4. El procedimiento seguidoes el de interpolacion descrito en el apartado 3.3.6.1.
Como se puede ver en este caso se emplean 1 y 2 elementos finitos con el fin de analizardos alternativas posibles en relacion con el concepto de accion repartida equivalente.La primera que consiste en emplear pocos elementos, elevando el orden de dicha accion,mientras que la segunda consiste en emplear un mayor numero de elementos dejando laaccion en el orden mas bajo posible, es decir 4. A continuacion se analiza los resultadosobtenidos.
Para la accion equivalente de orden 4 y empleando un solo elemento, los resultadosno se comportan del mismo modo que en el ejemplo anterior al haber introducido unacarga con menor regularidad, debido al cambio de signo. Sin embargo, al elevar el ordende la accion repartida equivalente los resultados obtenidos mejoran considerablemente.
Los resultados obtenidos (exacto y aproximados) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.8 a 3.11respectivamente.
70
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
Para los desplazamientos (Figura 3.8) el error maximo es del orden de 17 % para laaccion repartida de orden 4, para la de orden 5 el error es inferior al 1.5 % y para la deorden 7 es inferior al 1 %. En la grafica se puede ver ademas que empleando 2 elementosy manteniendo el orden de la accion repartida en 4 se obtienen mejores resultados, yaque el error es inferior al 1 %.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−2,5
−2
−1,5
−1
−0,5
0
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
wexac
w4 1 elem
w5 1 elem
w7 1 elem
w4 2 elem
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−2,5
−2
−1,5
−1
−0,5
0
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(b)
ww4 1 elem
w5 1 elem
w7 1 elem
w4 2 elem
Figura 3.8. Comparacion de desplazamientos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−7,5
−5
−2,5
0
2,5
5
7,5·10−4
L (m)
Giro(rad
)
(a)
ψexac. ψ4 1 elem
ψ5 1 elem ψ7 1 elem
ψ4 2 elem
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−7,5
−5
−2,5
0
2,5
5
7,5·10−4
L (m)
Giro(rad
)
(b)
w′exac. w′
4 1 elem
w′5 1 elem w′
7 1 elem
w′4 2 elem
Figura 3.9. Comparacion de giros: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler
Para los giros (Figura 3.9), el error maximo obtenido en las acciones equivalentesde orden 4, 5 y 7 y un solo elemento son del 12 %, 2.5 % y 1.5 % respectivamente.Empleando 2 elementos y accion repartida equivalente de orden 4, el error es inferioral 1.5 %.
En el caso del momento (Figura 3.10), el error maximo para la accion repartida equi-valente de orden 4 es del 12 % bajando al 4 % para la de orden 5 y al 3 % para la deorden 7 empleando un elemento, y del 3 % con 2 elementos y orden 4.
71
3.3. Accion Repartida Equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−450
−300
−150
0
150
300
L (m)
Mom
ento
Flector
(kN.m
)
(a)
Mexac. M4 1 elem
M5 1 elem M7 1 elem
M4 2 elem
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−450
−300
−150
0
150
300
L (m)
Mom
ento
Flector
(kN.m
)
(b)
Mexac. M4 1 elem
M5 1 elem M7 1 elem
M4 2 elem
Figura 3.10. Comparacion de momentos flectores: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler
Finalmente para el caso del cortante (Figura 3.11), el error maximo para la accion deorden 4 es del 29 % y del 17 % para la de orden 5, decreciendo al 14 % para la de orden7.
Cuando se emplean 2 elementos y orden 4, el error maximo es del 15 %. Aunque cabemencionar que este valor del error se da en el entorno del punto donde se tiene cambiode signo en la carga repartida y que en el resto de los puntos es inferior al 10 %.
Como asimismo puede verse el decrecimiento del error es mas lento para el cortantedebido a la singularidad que introduce el cambio de signo de la carga repartida.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−300
−200
−100
0
100
200
300
L (m)
Cortante
(kN)
(a)
Qexac.
Q4 1 elem
Q5 1 elem
Q7 1 elem
Q4 2 elem
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−300
−200
−100
0
100
200
300
L (m)
Cortante
(kN)
(b)
Qexac.
Q4 1 elem
Q5 1 elem
Q7 1 elem
Q4 2 elem
Figura 3.11. Comparacion de esfuerzos cortantes: (a) Timoshenko y b) Bernoulli -Euler
En la Figura 3.12 se aprecia como las acciones repartidas equivalentes recogen el cambiode signo de la carga original.
Adicionalmente en las Figuras 3.13-3.15 se ilustran las propiedades osculadoras y deortogonalidad para las soluciones incrementales relativas a los sumandos de g.
72
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−200
−100
0
100
200
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(a)
fact. f 4 1 elem
f 5 1 elem f 7 1 elem
f 4 2 elem
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−200
−100
0
100
200
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(b)
fact. f 4 1 elem
f 5 1 elem f 7 1 elem
f 4 2 elem
Figura 3.12. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2,5
−2
−1,5
−1
−0,5
0
L (m)
Des
pla
zam
iento
(mm
)
(a)
wexac.
w4
∆w4
∆w6
w7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−7,5
−5
−2,5
0
2,5
5
7,5·10−4
L (m)
Gir
o(r
ad)
(b)
ψexac. ψ4
∆ψ4 ∆ψ6
ψ7
Figura 3.13. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) desplazamientos y (b) giros
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−450
−300
−150
0
150
300
L (m)
Mom
ento
Fle
ctor
(kN
.m)
(a)
Mexac. M4
∆M4 ∆M6
M7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−300
−200
−100
0
100
200
300
L (m)
Cor
tante
(kN
)
(b)
Qexac. Q4
∆Q4 ∆Q6
Q7
Figura 3.14. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) momentos flectores y (b)esfuerzos cortantes
73
3.3. Accion Repartida Equivalente
Se pueden comparar los valores de los desplazamientos y giros, Figura 3.13, ası comode los momentos y esfuerzos cortantes, Figura 3.14, para la solucion exacta, solucionequivalente de orden 4 y las soluciones incrementales de orden superior, empleando unsolo elemento. Asimismo, en la Figura 3.15 se puede ver las sucesivas cargas repartidasequivalentes.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−200
−100
0
100
200
L (m)
Acc
ion
es(k
N/m
)
fact. f4∆f4 ∆f6f7
Figura 3.15. Representacion de las sucesivas cargas repartidas equivalentes
En las graficas se puede ver claramente que los resultados provenientes de la accionrepartida equivalente de orden 4 son los mas significativos y la contribucion de lossumandos de g es en general pequena. Concretamente, se observa en este caso como amedida que aumenta el orden de la accion repartida equivalente las soluciones incre-mentales decrecen notablemente a partir de ∆w4 para el desplazamiento y de manerasimilar, para el giro y el momento. Sin embargo, para el cortante el decrecimiento esmas lento y empieza a ser significativo a partir de ∆Q6.
Al sumar a la w4, la incremental ∆w4 resulta la w5, que coincide practicamente con lasolucion exacta, tal y como puede observarse en la Figura 3.8. Se ha incluido la graficade la w7 = w4 + ∆w4 + ...+ ∆w6 con proposito ilustrativo, y de manera analoga parael giro y los esfuerzos.
Tengase en cuenta, de acuerdo con lo expuesto anteriormente, que:
fk = f 4 + g = f 4 +k−1∑n=4
∆fn, con fn = αnpn
wk = w4 +k−1∑n=4
∆wn, ψk = ψ4 +k−1∑n=4
∆ψn
Mk = M4 +k−1∑n=4
∆Mn, Qk = Q4 +k−1∑n=4
∆Qn
74
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
3.3.7.3 Viga biempotrada con carga puntual
Se analiza ahora la viga descrita en el apartado 3.3.7, con las condiciones de vınculo yestado de carga que se muestra en la Figura 3.16, obteniendose tanto la solucion exactacomo la aproximada para diferentes ordenes de la accion repartida equivalente.
Figura 3.16. Viga biempotrada, carga puntual
En este ejemplo se trata de ver un caso con mayor singularidad al considerar unicamenteuna accion puntual.
Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga en 2 elementos finitos, de acuerdocon la ubicacion de la carga puntual, o sea:
elem1 = [0, 4.5], elem2 = [4.5, 9]
Las soluciones aproximadas se obtienen discretizando la pieza en un solo elemento delongitud l = 9m y utilizando el procedimiento de proyeccion ortogonal descrito en elapartado 3.3.6.2. Para este caso se han empleando 5 ordenes para la accion repartidaequivalente f 4, f 5, f 7, f 9 y f 11 (f 6 = f 5, f 8 = f 7 y f 10 = f 9, ya que α5 = 0, α7 = 0 yα9 = 0 respectivamente).
Los resultados obtenidos (exacto y aproximados) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.17 a 3.20respectivamente.
Para los desplazamientos (Figura 3.17) el error maximo es del orden del 14 % para laaccion repartida equivalente de orden 4, pasando al 3 % para la de orden 5 y al 1.6 %para la de orden 7.
En los giros (Figura 3.18) el error maximo obtenido para la de orden 4 es del 8 %, del2.5 % para la de orden 5 y del 1.7 % para la de orden 7. Para el momento (Figura 3.19)el error maximo para la accion equivalente de orden 4 es del 19 %, para la de orden 5del 12 % y para la de orden 7 del 8.5 %.
Como se puede ver el error disminuye lentamente por la singularidad de la carga, loque se ha puesto de manifiesto empleando acciones repartidas equivalentes sucesivashasta la de orden 11.
Finalmente para el caso del cortante (Figura 3.20) se produce un fenomeno analogoal de Gibbs en el punto donde se aplica la carga, ya que origina un salto en la ley decortantes.
75
3.3. Accion Repartida Equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
wexac. w4
w5 w7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(b)
wexac. w4
w5 w7
Figura 3.17. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4·10−4
L (m)
Giro(rad
)
(a)
ψexac. ψ4
ψ5 ψ7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4·10−4
L (m)
Giro(rad
)
(b)
wexac. w′4
w′5 w′
7
Figura 3.18. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obtenidas conun solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
L (m)
Mom
ento
Flector
(kN.m
)
(a)
Mexac. M4 M5
M7 M9 M11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
L (m)
Mom
ento
Flector
(kN.m
)
(b)
Mexac. M4 M5
M7 M9 M11
Figura 3.19. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
76
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−100
−75
−50
−25
0
25
50
75
100
L (m)
Cortante
(kN)
(a)
Qexac. Q4
Q5 Q7
Q9 Q11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−100
−75
−50
−25
0
25
50
75
100
L (m)
Cortante
(kN)
(b)
Qexac. Q4
Q5 Q7
Q9 Q11
Figura 3.20. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
En la Figura 3.21 donde se representa la accion repartida equivalente, se puede apreciaren ambos casos (Timoshenko y Bernoulli-Euler) como las graficas de las cargas repar-tidas equivalentes tratan de ir recogiendo informacion de la carga puntual, adoptandolocalmente una forma de campana y elevando su ordenada en el punto de aplicacion altiempo que se estrecha su base.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−50
0
50
100
150150 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(a)
fact. f 4
f 5 f 7
f 9 f 11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−50
0
50
100
150150 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(b)
fact. f 4
f 5 f 7
f 9 f 11
Figura 3.21. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler
3.4 Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
Se extiende ahora la idea de solucion nodal exacta y accion repartida equivalente a laviga-columna de Timoshenko, a partir de los resultados anteriores obtenidos para laviga. Tal y como se comprobo en el apartado anterior, en la mayorıa de los casos lasolucion, empleando el concepto de accion repartida equivalente de orden menor (esdecir 4), es suficiente. De ahı que para la viga-columna se desarrolle la metodologıaempleando la accion repartida equivalente de orden mınimo.
77
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
3.4.1 Elementos finitos con solucion nodal exacta
A partir de la expresion (2.58), el sistema de ecuaciones diferenciales definido en Ω =(a, b) para el pilar de Timoshenko se puede poner tambien de la siguiente manera:
L(U) = F, L(U) =[−(ksAG(w′ − ψ))′ + (Pw′)′ −(EIψ′)′ − ksAG(w′ − ψ)
]Tcon:
U =[w ψ)
]T, F =
[f 0
]TSi llamamos, del mismo modo que en el caso de la viga, H = EI y K = ksAG, elsistema de Timoshenko puede expresarse en forma mas compacta como:
−(K(w′ − ψ))′ + (Pw′)′ = f, −(Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0 (3.52)
La formulacion variacional se obtiene, realizando la ponderacion usual en el sistema
original, con V =[v φ
]Ty tras el correspondiente proceso de integracion por partes
en el intervalo generico [α, β] , resulta la siguiente expresion:
b(U, V ) = l(V ) +4∑i=1
li(V )li(U) (3.53)
donde las formas, bilineal y lineales, son respectivamente:
b(U, V ) = a(U, V )−ˆ β
α
Pw′v′ dx
a(U, V ) =
ˆ β
α
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx
l(V ) =
ˆ β
α
vf dx
l1(V ) = v(α), l2(V ) = φ(α), l3(V ) = v(β), l4(V ) = φ(β)
l1(U) = [−K(w′ − ψ)]x=α + Pw′(α), l2(U) = [−Hψ′]x=α
l3(U) = [K(w′ − ψ)]x=β − Pw′(β), l4(U) = [Hψ′]x=β (3.54)
El problema variacional para el caso, por ejemplo, de una pieza empotrada en el extremox = a y libre en x = b, sometida a un axil constante P y con cargas FH y M en elextremo libre, consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1
0 (Ω)×H10 (Ω) tal que:
ˆ b
a
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)
]− Pw′v′
dx =
ˆ b
afv dx+ FHv(b) +Mφ(b)
∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)×H1
0 (Ω) (3.55)
donde H10 (Ω) el espacio de Sobolev de las funciones g tales que g, g′ ∈ L2(Ω) junto con
g(a) = 0. La solucion unica de este problema (cuando P no es autovalor del problemahomogeneo) es la que hace estacionario el siguiente funcional de energıa:
I(w,ψ) =
ˆ b
a
H
2ψ′2 +
K
2(w′ − ψ)2 − P
2w′2dx−
(ˆ b
a
fv dx+ FHv(b) +Mφ(b)
)(3.56)
78
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
La simetrıa de la forma bilineal b(·, ·) permite expresar, en cualquier subintervalo, o enel intervalo total:
b(U, V ) =
ˆ β
α
V TL(U) dx+4∑i=1
li(V )li(U) =
ˆ β
α
U tL(V ) dx+4∑i=1
li(U)li(V ) (3.57)
y tomando las funciones de ponderacion, de modo que sean soluciones del sistema ho-mogeneo del pilar de Timoshenko, se tiene b(U, V ) =
∑4i=1 li(U)li(V ), no dependiendo
la forma bilineal de los valores que toma U en el interior del subintervalo. La ecuacionvariacional:
b(U, V ) = l(V ) +4∑i=1
li(V )li(U)
se pude expresar, de acuerdo con lo anterior, en la forma:
4∑i=1
li(U)li(V ) = l(V ) +4∑i=1
li(V )li(U) (3.58)
La construccion ahora de las ecuaciones de equilibrio de elementos finitos, es decirlas ecuaciones locales y la global, se realiza del mismo modo que para el caso dela viga. En [Romero y Ortega, 1998, 1999] se demuestra que la solucion obtenidaempleando funciones de forma Ni = [N1i N2i]
T , i = 1, ..., 4 que verifican las ecuacioneshomogeneas de los correspondientes modelos, son nodalmente exactas. Dichas funcionesconstituyen una base de Lagrange para la interpolacion pues li(Nj) = δij, j = 1, ..., 4.
Para P , H y K constantes, el sistema de ecuaciones diferenciales puede ponerse como:H1ψ
′′′ + Pψ′ = fw′ = ψ −mψ′′ (3.59)
con H1 = H(1− P/K) y m = H/K
La solucion del sistema homogeneo (3.59) en cada elemento finito [α, β] se puede ex-presar mediante las funciones de forma, Ni = [N1i N2i]
T , i = 1, ..., 4, en terminos delos valores de w y ψ en los extremos mediante la siguiente expresion:
[vφ
]=
[N11 N12 N13 N14
N21 N22 N23 N24
]w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
(3.60)
donde:[N11 N12 N13 N14
N21 N22 N23 N24
]=
[1 x sen(r1x) cos(r1x)0 1 cos(r1x)/q − sen(r1x)/q
]C1 (3.61)
siendo C1 la matriz:
C1 = (1/∆)
ρ(c1 − 1) + hr1s1 ρ(ρs1 − hr1c1)/r1 ρ(c1 − 1) ρ(hr1 − ρs1)/r1
−r1s1 ρ(c1 − 1) r1s1 ρ(c1 − 1)ρs1 ρ(hr1s1 + ρ(c1 − 1))/r1 −ρs1 ρ(1− c1)/r1
ρ(c1 − 1) ρ(hr1c1 − ρs1)/r1 ρ(1− c1) ρ(ρs1 − hr1)/r1
(3.62)
79
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
con:
r1 =√P/H1, H1 = H(1− P/K), q = ρ/r1, ρ = 1 + r2
1m, m = H/K
∆ = 2ρ(c1 − 1) + hr1s1, h = β − α, c1 = cos(r1h), s1 = sen(r1h)
Para el caso de la viga-columna de Bernoulli-Euler (m = 0), las funciones de formarelativas al desplazamiento v(x) son:[
N1 N2 N3 N4
]=[
1 x sen(rx) cos(rx)]C (3.63)
con r =√P/H. La expresion del desplazamiento dentro del elemento en terminos de
los valores de w y w′ en los extremos es:
v(x) =[N1 N2 N3 N4
] w(α)w′(α)w(β)w′(β)
(3.64)
siendo C la matriz:
C = (1/∆)
c− 1 + hrs (s− hrc)/r c− 1 (hr − s)/r−rs c− 1 rs c− 1s (hrs+ c− 1)/r −s (1− c)/r
c− 1 (hrc− s)/r 1− c (s− hr)/r
(3.65)
con:
c = cos(rh), s = sen(rh), ∆ = hrs+ 2(c− 1)
La ecuacion de equilibrio para [α, β] es: Keue = f e + qe, donde los desplazamientosnodales, las cargas nodales equivalentes y las nodales de equilibrio son respectivamente:
ue =[ue1 ue2 ue3 ue4
]T=[w(α) ψ(α) w(β) ψ(β)
]T(3.66)
f e =[f e1 f e2 f e3 f e4
]T, f ei =
ˆ β
α
fN1i dx, i = 1, ..., 4 (3.67)
qe =[qe1 qe2 qe3 qe4
]T, qei = li(U), i = 1, ..., 4 (3.68)
Los elementos de la matriz de rigidez local Ke =[keij]
son keij = b(Ni, Nj) que secalculan en la forma usual mediante la expresion:
keij = b(Ni, Nj) =
ˆ β
α
HN ′2iN
′2j +K(N ′1i −N2i)(N
′1j −N2j)− PN ′1iN ′1j
dx (3.69)
y tambien por derivacion de las funciones de forma:
keij = b(Ni, Nj) =4∑
n=1
ln(Ni)ln(Nj) =4∑
n=1
δniln(Nj) = li(Nj) (3.70)
80
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
La matriz de rigidez del elemento para la viga-columna o pilar de Timoshenko, KePT ,
que resulta es:
KePT = (H1/∆)
−r3
1s1 ρr21(c1 − 1) r3
1s1 ρr21(c1 − 1)
ρr21(c1 − 1) ρr1(hr1c1 − ρs1) ρr2
1(1− c1) ρr1(ρs1 − hr1)r3
1s1 ρr21(c1 − 1) −r3
1s1 ρr21(1− c1)
ρr21(c1 − 1) ρr1(ρs1 − hr1) ρr2
1(1− c1) ρr1(hr1c1 − ρs1)
(3.71)
cuando m = 0 resulta la matriz de rigidez, KePBE, del pilar de Bernoulli-Euler [Ortega,
2004]:
KePBE =
H
∆
−r3s r2(c− 1) r3s r2(c− 1)
r2(c− 1) r(hrc− s) r2(1− c) r(s− hr)r3s r2(1− c) −r3s r2(1− c)
r2(c− 1) r(s− hr) r2(1− c) r(hrc− s)
(3.72)
3.4.2 Cargas de pandeo
Tal como se menciono en la introduccion de este trabajo, al considerar la deformacionpor cortante, el valor de la carga de pandeo disminuye, por ello es importante conocercuales son dichas cargas para las diferentes condiciones en los extremos del pilar. Estacarga es el valor positivo mas pequeno de P que anula el determinante de la matrizde rigidez global KPT , ya reducida, es decir una vez consideradas las condiciones decontorno esenciales del correspondiente problema de autovalores.
Para el caso de una viga-columna (o mas propiamente pilar) de longitud L, que esta ar-ticulada en ambos extremos, es decir en los nodos 1 y 2, la matriz KPT se reduce a laformada por los cuatro elementos ubicados en las filas y columnas segunda y cuarta dela matriz de rigidez (3.71). Anulando el correspondiente determinante, o sea:
(H1/∆)
∣∣∣∣ ρr1(Lr1c1 − ρs1) ρr1(ρs1 − Lr1)ρr1(ρs1 − Lr1) ρr1(Lr1c1 − ρs1)
∣∣∣∣ = 0
y operando resulta:
(H21/∆)Lρr3
1s1 = 0
donde s1 = sen(r1L) = 0 y r1L = nπ, n = 1, 2, .... La carga P en fucnion de r1 vienedada por la expresion:
P =r2
1H
1 +mr21
(3.73)
Tomando la raız positiva mas pequena r1 = π/L, la carga de pandeo es:
PcrT =π2HL2
1 + π2HL2K
81
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
Para el caso de una viga-columna de longitud L, empotrada en un extremo (nodo1) y libre en el otro (nodo 2), la matriz KPT se reduce a la formada por los cuatroelementos ubicados en las filas y columnas tercera y cuarta de la matriz de rigidez(3.71). Anulando el correspondiente determinante, o sea:
(H1/∆)
∣∣∣∣ −r31s1 ρr2
1(1− c1)ρr2
1(1− c1) ρr1(Lr1c1 − ρs1)
∣∣∣∣ = 0
y operando resulta:
(H21/∆)c1ρr
41 = 0
donde c1 = cos(r1L) = 0 y r1L = nπ/2, n = 1, 3, 5, ... Tomando la raız positiva maspequena r1 = π/2L y empleando la expresion (3.73), la carga de pandeo en este casoes:
PcrT =π2H4L2
1 + π2H4L2K
Para el caso de una viga-columna de longitud L, empotrada en ambos extremos, lo quese hace es resolver el problema por simetrıa, es decir tomamos la mitad de la longituddel elemento y como condiciones de contorno tenemos un extremo empotrado (nodo 1)y en el otro impedido el giro (nodo 2), con lo cual la matriz KPT se reduce al caso trivialde un elemento que ocupa la posicion 3-3 de la matriz expresion (3.71). La carga seobtiene por tanto determinando la raız positiva mas pequena de la siguiente expresion:
(H1/∆)[−r3
1s1
]= 0
donde s1 = sen(r1L/2) = 0 y r1L/2 = nπ, n = 0, 1, 2, ..., quedando la carga de pandeopara el pilar de Timoshenko de la siguiente manera:
PcrT =4π2HL2
1 + 4π2HL2K
Para el caso de una viga-columna de longitud L, empotrada en un extremo (nodo 1) yarticulada en el otro (nodo 2) la matriz KPT se reduce al caso trivial de un elementoque ocupa la posicion 4-4 de la matriz expresion (3.71). La carga se obtiene por tantodeterminando la raız positiva mas pequena de la siguiente expresion:
(H1/∆)[ρr1(Lr1c1 − ρs1)
]= 0
H1r1
c1∆
[Lr1 − ρ tan(r1L)
]= 0
como ρ = 1 + r21m y llamando x = r1L la ecuacion que finalmente se debe resolver es:
x = (1 +mx2/L2) tan(x)
una vez determinada el valor de x la carga crıtica PcrT es:
PcrT =Hx2/L2
1 +mx2/L2
82
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
Hay que tener en cuenta que la carga de pandeo obtenida, siguiendo el procedimientode anular el determinante de la matriz, KPT queda determinada de manera exacta.
Por otra parte, si se tiene en cuenta que las cargas de pandeo para la pieza de Bernoulli-Euler (carga critica de Euler PcrE), en las diferentes configuraciones son las que vienendadas en la Tabla 3.1:
Condiciones de contorno Carga crıtica de Euler
empotrado-libre PcrE = π2H4L2
articulado-articulado PcrE = π2HL2
empotrado-empotrado PcrE = 4π2HL2
Tabla 3.1. Carga crıtica de Euler para diferentes condiciones de contorno
entonces la carga crıtica de pandeo del pilar de Timoshenko se puede poner de lasiguiente manera [Wang et al., 2005]:
PcrT =PcrE
1 + PcrEK
(3.74)
Cuando el pilar esta empotrado-articulado la expresion (3.74) no es aplicable, y paradicho caso se plantea la siguiente relacion [Ziegler, 1982]:
PcrT ≈PcrE
1 + 1.1PcrEK
(3.75)
Hay que destacar que la expresion (3.74) es aplicable tambien para un pilar con empo-tramientos elasticos de igual rigidez en ambos extremos [Banerjee y Williams, 1994].
Denominando carga de pandeo normalizada a la relacion entre la carga de pandeo deTimoshenko y la carga de pandeo de Euler [Challamel et al., 2014], es decir PcrT/PcrE,y teniendo en cuenta las expresiones (3.74) y (3.75), se puede ver que la misma dependede la relacion E/G ası como de la relacion canto/longitud, o sea, b/L, de la siguientemanera, Tabla 3.2.
Condiciones de contorno Carga normalizada PcrT/PcrE
empotrado-libre 1
1+( bL)2 π2
40EG
articulado-articulado 1
1+( bL)2 π2
10EG
empotrado-articulado 1
1+( bL)2 2.250325π2
10EG
empotrado-empotrado 1
1+( bL)2 4π2
10EG
Tabla 3.2. Carga normalizada para diferentes condiciones de contorno y para una seccionrectangular con ks = 5/6
83
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
Como se puede observar, la carga de pandeo para el pilar de Timoshenko, es menorque la carga de Euler, cuanto mayor sea la relacion b/L. Es decir, para un pilar cortola influencia de la deformacion por cortante es mayor que en un pilar esbelto [Banerjeey Williams, 1994; Wang et al., 2005]. De ahı que las cargas de pandeo en el primer casosean un tanto diferentes y en el segundo sean proximas. En la Figura 3.22 se puedever como varıa la carga de pandeo normalizada con respecto a la relacion adimensionalb/L para una relacion E/G = 2.6. Asimismo se observa que la influencia de las condi-ciones de contorno en la reduccion de la carga de pandeo es mayor en el caso del pilarbiempotrado.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50
0,2
0,4
0,6
0,8
1
b/L
PcrT/P
crE
empotrado-libre
articulado-articulado
empotrado-articulado
empotrado-empotrado
Figura 3.22. Carga normalizada de pandeo PcrT /PcrE-relacion adimensional b/L, paradiferentes condiciones de contorno
3.4.3 Aplicacion del concepto de accion repartida equivalente a la viga-columnade Timoshenko
Considerando la descomposicion del dominio en la forma [a, b] = ∪n−1i=1 [xi, xi+1], y
teniendo en cuenta el concepto de accion equivalente definido en el apartado 3.3.1, quedice que dos acciones f y f son equivalentes respecto de dicha descomposicion, si encada [α, β] de la descomposicion, se verifica la igualdad de los siguientes productosescalares:
(f,N1i)w = (f , N1i)w, i = 1, ..., 4
De lo anterior y teniendo en cuenta que:
(Hψ′)′′ + (Pw′)′ = f(x)
(Hψ′)′′ + (Pw′)′ = f(x) (3.76)
considerando la equivalencia de las acciones se puede poner:ˆ β
α
[((Hψ′)′′ + (Pw′)′)−
((Hψ
′)′′ + (Pw′)′
)]v dx =
ˆ β
α
((f(x)− f(x)
)v dx (3.77)
84
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
resultando:ˆ β
α
[((Hψ′)′′ + (Pw′)′)−
((Hψ
′)′′ + (Pw′)′
)]v dx = 0 (3.78)
donde como es sabido, la funcion de ponderacion v pertenece al espacio de solucionesdel sistema homogeneo, es decir a las N1i, i = 1, ..., 4.
Integrando por partes (3.78) se tiene:[((Hψ′)′ + Pw′
)−(
(Hψ′)′ + Pw′
)]v
∣∣∣∣βα +
ˆ β
α
[(−(Hψ′)′ − Pw′
)−(
(Hψ′)′ + Pw′
)]v′ dx = 0
(3.79)
donde el primer sumando es nulo debido a la igualdad de desplazamientos y giros enlos nodos para dos acciones equivalentes, teniendose por tanto:
ˆ β
α
[(−(Hψ′)′ − Pw′)−
((Hψ
′)′ + Pw′
)]v′ dx = 0 (3.80)
integrando de nuevo por partes:[(Hψ′ + Pw
)−(Hψ
′+ Pw
)]v′∣∣∣βα − ˆ β
α
[(Hψ′ + Pw
)−(Hψ
′+ Pw
)]v′′ dx = 0 (3.81)
siendo tambien el primer sumando nulo por la razon indicada anteriormente. Y enconsecuencia se tiene:
ˆ β
α
[(Hψ′ + Pw)−
(Hψ
′+ Pw
)]v′′ dx = 0 (3.82)
De acuerdo con las consideraciones anteriores, las expresiones (3.80) y (3.82) y llaman-do:
V (x) = −Hψ′′ − Pw′ = K(w′ − ψ)− Pw′
V (x) = −Hψ′′ − Pw′ = K(w′ − ψ)− Pw′M(x) = Hψ′
M(x) = Hψ′
(3.83)
se reducen a:ˆ β
α
(V (x)− V (x)
)v′ dx = 0
ˆ β
α
(V (x)− V (x)
)N ′1i dx = 0 (3.84)
ˆ β
α
[(M(x)−M(x)
)+ P (w − w)
]v′′ dx
ˆ β
α
[(M(x)−M(x)
)+ P (w − w)
]N ′′1i dx (3.85)
85
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
El esfuerzo cortante en cada seccion x viene dado por la expresion Q(x) = K(w′ − ψ),por lo tanto la funcion V (x) de la expresion (3.84) representa un nuevo esfuerzo quepuede denominarse pseudo-cortante o cortante corregido (proyeccion en la direcciondel desplazamiento de las acciones que quedan a la derecha de la seccion, incluyendo lacontribucion de Pw′, vease Figura 2.5). La funcion M(x) representa el momento flectoren la citada seccion.
La expresion (3.84) nos indica que la funcion diferencia de cortantes corregidos, V (x)−V (x), que es nula en los extremos del intervalo, ya que interpola los mismos valores,es ademas ortogonal al espacio de funciones engendrado por las N ′1i, i = 1, ..., 4. Y delmismo modo que en el caso de la viga, se puede demostrar que engendran un espaciode dimension tres. Asimismo la expresion (3.85) indica que la funcion:
m(x)−m(x) =(M(x)−M(x)
)+ P (w − w) (3.86)
que representa la diferencia de momentos mas la carga P por la diferencia de des-plazamientos, dicha funcion es nula y con derivada nula en los extremos del intervalo(interpolan los mismos valores), es ademas ortogonal al espacio de funciones engendradopor las N ′′1i, i = 1, ..., 4. Estas engendran un espacio de dimension dos.
Estas propiedades de ortogonalidad e interpolacion, en cada elemento, para las funcio-nes V (x)− V (x) y m(x)−m(x), para una accion equivalente a la accion original, sonla base del buen comportamiento del metodo expuesto, para la aproximacion de losesfuerzos y tambien para los desplazamientos y giros, en el interior de cada elementofinito.
Del mismo modo que en el caso de la viga, descrito en apartados anteriores, se puede
calcular tambien la solucion U =[w ψ
]Ty los esfuerzos derivados de ella, Q(x) y
M(x), relativos a f(x), sin necesidad de calcular previamente f(x).
A continuacion se desarrolla, para el caso particular de H y K constantes, la determi-nacion mediante interpolacion, de la solucion aproximada Ucorrespondiente a la accionrepartida equivalente f(x).
A partir de H1ψ′′′ + Pψ′ = f , w′ = ψ − mψ′′ se deduce que la solucion equivalente
U(z = x− α) es:
U =
w
ψ
=
1 z z2 z3 s1 c1 zs1 zc1
0 1 2z 3z2 + 6m r1ρ c1 − r1ρ s1
ρ−
ρ2 s1 + z r1ρ c1ρ−
ρ2 c1 − z r1ρ s1
C−1u(3.87)
donde:
s1 = sen(r1z), c1 = cos(r1z), ρ = 1 + r21m, r1 =
√P/H1
H1 = H(1− P/K), ρ− = 1− r21m
u =[w(α) ψ(α) w′(α+) ψ′(α+) w(β) ψ(β) w′(β−) ψ′(β−)
]T
86
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
siendo C la matriz siguiente:
C =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 6m r1ρ
0 0 ρ−
ρ2
0 1 0 0 r1 0 0 1
0 0 2 0 0 − r21
ρ22r1ρ2 0
1 h h2 h3 s1 c1 hs1 hc1
0 1 2h 3h2 + 6m r1ρc1 − r1
ρs1
ρ−
ρ2 s1 + r1ρhc1
ρ−
ρ2 c1 − r1ρhs1
0 1 2h 3h2 + 6m r1c1 −r1s1 c1 + r1hc1 c1 − r1hs1
0 0 2 6h − r21
ρ2 s1 − r21
ρ2 c12r1ρ2 c1 − r2
1
ρ2hs1 −2r1ρ2 s1 − r2
1
ρ2hc1
(3.88)
con:
h = β − α, c1 = cos(r1h), s1 = sen(r1h),
Las leyes de desplazamientos, giros, flectores y cortantes equivalentes y asimismo laaccion repartida equivalente, f , en cada intervalo [α, β] pueden ser dadas mediante laexpresion matricial (3.89).
Las expresiones del momento flector equivalente, el esfuerzo cortante equivalente,pseudo-cortante equivalente y la accion repartida equivalente, se han deducido con-siderando que:
M = Hψ′, Q = −Hψ′′ − Pw′, f = Hψ
′′′+ Pw′′
Observese que la accion repartida equivalente, en el desarrollo anterior se ha obtenido a
partir de la derivacion correspondiente de la funcion de desplazamientos U =[w ψ
]Ty no a partir de la proyeccion ortogonal de la funcion que define la carga f del intervalo[a, b] sobre el espacio definido por las funciones de forma N1i, i = 1, ..., 4.
Destacamos finalmente que si la accion f(x) viene dada en cada intervalo o elementopor una expresion que sea combinacion lineal de las cuatro funciones 1, z, sen(r1z),y cos(r1z), el procedimiento indicado proporcionara la solucion exacta para los des-plazamientos, giros y leyes de esfuerzos, no solo en los nodos (lo que se consigue paracualquier tipo de carga f(x) utilizando elementos finitos con solucion nodal exacta)sino tambien en el interior de cada elemento (vease la Propiedad de solucion exacta Ien el apartado 3.3.3).
87
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
wψMQVf =
1z
z2
z3
s1
c1
zs1
zc1
01
2z
3z
2+
6m
r1ρc1
−r1ρs1
ρ −ρ2s1
+zr1ρc1
ρ −ρ2c1 −
zr1ρs1
00
2H
16zH
1−r21ρs1H
1−r21ρc1H
1
(2r1
ρ2c1 −
r21ρzs1 )
H1
(−
2r1
ρ2s1 −
r21ρzc1 )
H1
00
06H
1r31ρc1H
1−r31ρs1H
1
(r21(2
+ρ)
ρ2
s1
+r31ρzc1 )
H1
(r21(2
+ρ)
ρ2
c1 −
r31ρzs1 )
H1
0−P−
2zP
6H
1 −3z
2P
r31ρc1H
1 −r1c1P−r31ρs1H
1+r1s1P
(r21(2
+ρ)
ρ2
s1
+r31ρzc1 )
H1 −
r1
(s1
+zc1)P
(r21(2
+ρ)
ρ2
c1 −
r31ρzs1 )
H1 −
r1
(c1 −
zs1)P
00
2P
6zP
r41ρs1H
1 −r21s1P
r41ρc1H
1 −r21c1P
(−r31(2
+ρ)
ρ2
c1
+r41ρzs1 )
H1
+r1
(2c1 −
r1zs1)P (
r31(2
+ρ)
ρ2
s1
+r41ρzc1 )
H1 −
r1
(2s1
+r1zc1)P
C−
1u
(3.89)
con:
s1
=sen
(r1 z
),c
1=
cos(r
1 z),
ρ=
1+r
21 m,
r1
= √P/H
1 ,H
1=H
(1−P/K
),ρ −
=1−
r21 m
88
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
3.4.4 Ejemplos de aplicacion
A continuacion se desarrollan dos ejemplos, en los que se aborda el calculo en regimenlineal de la deformada y de las leyes de esfuerzos de una viga-columna. Los ejemplosse realizan tanto para el modelo de Timoshenko como para el de Bernoulli-Euler. Asi-mismo se obtiene tanto la solucion exacta como la aproximada para la accion repartidaequivalente de orden mınimo, es decir, de orden 4.
3.4.4.1 Viga-columna empotrada-apoyada con carga repartida y carga puntual
Se analiza una viga-columna de 40m de largo y seccion I constante en toda su longitud.Se han considerado para el coeficiente de Poisson, modulo de elasticidad y factor decorreccion por cortante, los valores: ν = 25x10−2, E = 2, 1x107kN/m2 y ks = 0.517,respectivamente. El valor de ks se obtiene empleando la formula de la tabla 2.2 de[Wang et al., 2005]. Las condiciones de vınculo y estado de carga se muestran en laFigura 3.23, el valor de la carga P representa el 50 %Pcrit de Bernoulli-Euler.
Figura 3.23. Viga-columna empotrada-articulada
Teniendo en cuenta que el analisis que se efectua considera simultaneamente la flexiony la deformacion por cortante, la dimension mayor de la seccion corresponde al planoen el que se produce la flexion.
89
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga-columna en 4 elementos finitos,acordes con la definicion de la carga en el dominio:
elem1 = [0, 14], elem2 = [14, 24], elem3 = [24, 32], elem3 = [32, 40]
Como las cargas distribuidas son constantes, de acuerdo con lo indicado en el ultimoparrafo del apartado 3.4.3, si se resuelve el problema aplicando el concepto de accionrepartida equivalente y solucion nodal exacta, la solucion que se obtiene coincide conla exacta en toda la pieza.
La solucion aproximada se obtiene discretizando la pieza en un solo elemento de lon-gitud l = 40m y empleando la accion repartida equivalente de orden mınimo.
Los resultados obtenidos (exacto y aproximado) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.24 a 3.27respectivamente.
0 10 20 30 400
20
40
60
80
100
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
ExactaAproximada
0 10 20 30 400
20
40
60
80
100
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.24. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 10 20 30 40−1
−0,75
−0,5
−0,25
0
0,25
0,5
0,75·10−2
L (m)
Giro(rad
)
(a)
ExactaAproximada
0 10 20 30 40−1
−0,75
−0,5
−0,25
0
0,25
0,5
0,75·10−2
L (m)
Giro(rad
)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.25. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenida con unsolo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
90
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
Para los desplazamientos (Figura 3.24) se puede ver que la solucion aproximada practi-camente coincide con la solucion exacta del problema. Ocurre lo mismo con los giros(Figura 3.25).
En las Figuras 3.26 y 3.27 se dan, respectivamente, las graficas de momentos y esfuerzoscortantes. El maximo error del momento flector se produce en la abscisa 24m, siendoel mismo inferior al 2,4 % respecto al valor exacto.
Por otra parte en el esfuerzo cortante, el maximo error se produce en los puntos dondeestan aplicadas las cargas puntuales, ya que el metodo regulariza la ley eliminando lasdiscontinuidades, pues promedia en cierto modo los valores del cortante a la izquierday derecha de dichos puntos. De modo que el error es por tanto el menor posible conside-rando que la ley del esfuerzo cortante aproximado viene dada por una funcion continua.
0 10 20 30 40−2250
−1500
−750
0
750
1500
2250
3000
L (m)
Mom
ento
(kN.m
)
(a)
ExactaAproximada
0 10 20 30 40−2250
−1500
−750
0
750
1500
2250
3000
L (m)
Mom
ento
(kN.m
)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.26. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 10 20 30 40−225
−150
−75
0
75
150
225
300
L (m)
Cortante
(kN)
(a)
ExactaAproximada
0 10 20 30 40−225
−150
−75
0
75
150
225
300
L (m)
Cortante
(kN)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.27. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
91
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
En la Figura 3.28 se puede apreciar la distribucion de las acciones equivalentes y comoestas aproximan la carga original.
0 10 20 30 400
5
10
15
20
25
30 kN
60 kN
30 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(a)
ActuanteEquivalente
0 10 20 30 400
5
10
15
20
25
30 kN
60 kN
30 kN
L (m)Acciones
(kN/m
)
(b)
ActuanteEquivalente
Figura 3.28. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
En las Figuras 3.29 y 3.30 se puede ver una comparacion entre los resultados exactosobtenidos para los modelos de Timoshenko y Bernoulli-Euler, para los desplazamientos,giros y esfuerzos.
Como se puede apreciar, la diferencia obtenida no es significativa debido a que el pilares esbelto. En el caso del desplazamiento y el momento se obtiene un diferencia maximaen la abscisa 24 m cuyos valores son 3.3 % y 2.4 %, respectivamente.
Para el giro y el esfuerzo cortante las diferencia maximas se produce en el extremosuperior y son del orden del 2.1 % y 1.66 % respectivamente.
0 10 20 30 400
20
40
60
80
100
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
TimoshenkoBernoulli-Euler
0 10 20 30 40−1
−0,75
−0,5
−0,25
0
0,25
0,5
0,75·10−2
L (m)
Giro(rad
)
(b)
TimoshenkoBernoulli-Euler
Figura 3.29. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a)desplazamientos y (b) giros
92
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
0 10 20 30 40−2250
−1500
−750
0
750
1500
2250
3000
L (m)
Mom
ento
(kN.m
)
(a)
TimoshenkoBernoulli-Euler
0 10 20 30 40−225
−150
−75
0
75
150
225
300
L (m)
Cortante
(kN)
(b)
TimoshenkoBernoulli-Euler
Figura 3.30. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) momentosflectores y (b) esfuerzos cortantes
3.4.4.2 Viga-columna empotrada en la base y apoyada en el centro, con cargarepartida y cargas puntuales
Se analiza una viga-columna de rigidez y seccion rectangular constante en toda sulongitud. Las dimensiones de la misma son: 20m de largo, 0, 3m de ancho y 1, 2m decanto. Se han considerado para el coeficiente de Poisson, modulo de elasticidad y factorde correccion por cortante, los valores: ν = 2, 5x10−1, E = 3x107kN/m2 y ks = 5/6,respectivamente.
Las condiciones de vınculo y estado de carga se muestran en la Figura 3.31, el valor dela carga P representa aproximadamente el 60 %Pcrit de Bernoulli-Euler. Al igual queen el ejemplo anterior, se obtiene tanto la solucion exacta como la aproximada para laaccion repartida equivalente.
Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga-columna en 4 elementos finitos,acordes con la definicion de la carga en el dominio:
elem1 = [0, 5], elem2 = [5, 10], elem3 = [10, 15], elem3 = [15, 20]
La solucion aproximada se obtienen discretizando la pieza con el menor numero deelementos posible, es decir, dos elementos definidos en los intervalos:
elem1 = [0, 10], elem2 = [10, 20]
y empleando la la accion repartida equivalente de orden mınimo.
Los resultados obtenidos (exacto y aproximado) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.32 a 3.35respectivamente.
93
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
Figura 3.31. Viga-columna empotrada en la base y apoyada en el centro
Para los desplazamientos (Figura 3.32) y los giros (Figura 3.33) se puede ver que lasolucion exacta y la aproximada son practicamente iguales.
En las Figuras 3.34 y 3.35 se dan, respectivamente, las graficas de momentos y esfuerzoscortantes. El maximo error del momento flector (Figura 3.34) se produce en la abscisa5 m donde el error es inferior al 1.2 % respecto al valor exacto. Por otra parte, para elesfuerzo cortante el maximo error se produce en los puntos donde estan aplicadas lascargas puntuales.
0 5 10 15 20−20
0
20
40
60
80
100
120
140
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
ExactaAproximada
0 5 10 15 20−20
0
20
40
60
80
100
120
140
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.32. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
94
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
0 5 10 15 20−0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
·10−2
L (m)
Giro(rad
)
(a)
ExactaAproximada
0 5 10 15 20−0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
·10−2
L (m)
Giro(rad
)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.33. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenida condos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 5 10 15 20−1200
−600
0
600
1200
1800
2400
3000
L (m)
Mom
ento
(kN.m
)
(a)
ExactaAproximada
0 5 10 15 20−1200
−600
0
600
1200
1800
2400
3000
L (m)
Mom
ento
(kN.m
)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.34. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
Adicionalmente se puede comprobar que se cumplen las propiedades de interpolacion enel sentido de Lagrange (para el cortante) y en el sentido de Hermite (para el momento).Es decir los valores del cortante y momentos obtenidos a traves de la accion repartidaequivalente en los extremos coinciden con los correspondientes a la solucion exacta ypara el momento ocurre lo mismo con la primera derivada de dicho esfuerzo, ya quetoma el valor opuesto del cortante [Romero et al., 2005].
En la Figura 3.36 se puede apreciar la distribucion de las acciones equivalentes y comoestas aproximan a la carga original en cada uno de los elementos.
Asimismo, en las Figuras 3.37 y 3.38 se puede ver una comparacion entre los resul-tados exactos obtenidos para los modelos de Timoshenko y Bernoulli-Euler, para losdesplazamientos, giros y esfuerzos.
95
3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko
0 5 10 15 20−600
−450
−300
−150
0
150
300
450
L (m)
Cortante
(kN)
(a)
ExactaAproximada
0 5 10 15 20−600
−450
−300
−150
0
150
300
450
xL (m)
Cortante
(kN)
(b)
ExactaAproximada
Figura 3.35. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 5 10 15 20
−20
0
20
40
6070 kN
40 kN
70 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(a)
ActuanteEquivalente
0 5 10 15 20
−20
0
20
40
6070 kN
40 kN
70 kN
L (m)
Acciones
(kN/m
)
(b)
ActuanteEquivalente
Figura 3.36. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler
0 5 10 15 20−20
0
20
40
60
80
100
120
140
L (m)
Desplazamiento
(mm)
(a)
TimoshenkoBernoulli-Euler
0 5 10 15 20−0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
·10−2
L (m)
Giro(rad
)
(b)
TimoshenkoBernoulli-Euler
Figura 3.37. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a)desplazamientos y (b) giros
96
Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente
0 5 10 15 20−1200
−600
0
600
1200
1800
2400
3000
L (m)
Mom
ento
(kN.m
)
(a)
TimoshenkoBernoulli-Euler
0 5 10 15 20−600
−450
−300
−150
0
150
300
450
L (m)
Cortante
(kN)
(b)
TimoshenkoBernoulli-Euler
Figura 3.38. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) momentosflectores y (b) esfuerzos cortantes
Las diferencias obtenidas en ambos casos son relativamente pequenas. Para el desplaza-miento y giro se obtienen unas diferencias maximas del 4.4 % y 3.6 % respectivamente,ambas en el extremo superior. Para los esfuerzos la diferencia maxima se produce enel punto de abscisa 10 m y es del orden del 2.3 % para el momento y para el cortantela diferencia maxima se produce en el empotramiento y es del orden del 2.6 %.
3.5 Resumen y conclusiones
En este capıtulo se ha llevado a cabo la resolucion del problema lineal de la vigade Timoshenko empleando el concepto de solucion nodal exacta y accion repartidaequivalente de cualquier orden, aproximando la accion original mediante los polinomiosortogonales de Legendre.
Ademas se han expuesto algunos ejemplos para ver la bondad del metodo. De losmismos se puede destacar que cuando se ha empleado el menor numero posible deelementos, o sea uno, para los casos de carga poco regular, ha bastado con emplearacciones repartidas equivalentes de orden algo superior al mınimo (cuatro), para obteneruna excelente aproximacion en los desplazamientos, giros y esfuerzos en el interior delos elementos. Por otro lado para los casos de carga de mayor regularidad, con muypocos elementos y accion repartida equivalente de orden mınimo, ha sido suficientepara conseguir una excelente aproximacion en los resultados.
Despues se ha extendido la metodologıa para resolver problemas lineales de la viga-columna de Timsohenko, con la inclusion de la carga de compresion P . Se han obtenidolas correspondientes cargas de pandeo de forma exacta mediante el procedimiento deanulacion del determinante de la matriz de rigidez reducida Ke
PT , que como se de-mostro es una matriz exacta. Asimismo, se ha visto la relacion que existe entre lacarga de pandeo de Timoshenko y la de Bernoulli-Euler.
Se vio que la carga de pandeo para el pilar de Timoshenko, es menor a la carga deEuler, cuanto mayor sea la relacion b/L. Es decir, para un pilar corto, la influencia de
97
3.5. Resumen y conclusiones
la deformacion por cortante es mayor que en un pilar esbelto. Asimismo se observo quela influencia de las condiciones de contorno en la reduccion de la carga de pandeo esmayor en el caso del pilar biempotrado.
Tambien se han expuesto algunos ejemplos empleando una discretizacion de 1 y 2elementos, obteniendose una excelente aproximacion en los desplazamientos, giros yesfuerzos en el interior de los elementos.
98
CAPITULO 4
Analisis no lineal empleando elconcepto de Pieza Lineal Equivalente
4.1 Introduccion
En el presente capıtulo se expone el concepto de Pieza Lineal Equivalente, para el anali-sis de la barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal, donde la no linealidadviene dada por el comportamiento del material.
El concepto citado consiste basicamente en la resolucion del problema de una pieza enregimen no lineal, y su transformacion en otro relativo a una pieza en regimen lineal, demodo que ambas piezas tengan los mismos movimientos y los mismos esfuerzos. Dichoconcepto fue ya introducido para la resolucion de pilares en regimen no lineal [Ortega,2004].
Aquı se trata de analizar y sistematizar el concepto de Pieza Lineal Equivalente, conobjeto de generalizarlo y aplicarlo despues en el capıtulo siguiente a la resolucion demodelos de viga y viga-columna en regimen no lineal con deformacion por cortante.La aplicacion al caso de una barra sometida a acciones axiales que aquı se desarrollapermite pormenorizar la metodologıa y destacar sus aspectos mas relevantes.
En el siguiente apartado se formula el problema, aplicando el concepto de Pieza LinealEquivalente, mediante dos vıas: formulacion variacional y teorıa de distribuciones. Seobtiene dos metodologıas para resolver el problema, una que es aplicable al caso deproblemas isotaticos y otra mas general que se puede aplicar a problemas isostaticos ohiperestaticos. Asimismo se ha extendido el concepto de Pieza Lineal Equivalente delcaso discreto al caso continuo.
En el tercer apartado se desarrolla un ejemplo, obteniendose la solucion exacta del pro-blema y tambien otras soluciones aproximadas empleando distintos metodos numericoscomo son: el metodo de diferencias finitas, el metodo de elementos finitos en combi-nacion con los metodos iterativos de Picard y Newton-Raphson. Dichos resultados secomparan con los obtenidos aplicando el concepto de Pieza Lineal Equivalente.
Finalmente, en el cuarto apartado, se expone un resumen y las conclusiones de estecapıtulo.
99
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
4.2 Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a accionesaxiales en regimen no lineal
4.2.1 Formulacion del problema
Consideramos una barra de seccion transversal S(x), sometida a una carga distribuidaf(x) en la direccion del eje de la barra. Se plantea el equilibrio de una rebanada delongitud dx como se muestra en la Figura 4.1.
f(x) N(x+ dx)N(x)
dx
Figura 4.1. Equilibrio de un elemento diferencial barra
El equilibrio de acciones horizontales conduce a la siguiente expresion:
−dNdx
= f(x) (4.1)
Cuando el comportamiento del material es lineal, la relacion entre la tension y defor-macion es:
σ = Eε, σ =N
S(x), ε =
du
dx= u′, N = S(x)Eu′
donde E representa el modulo de elasticidad del material.
La ecuacion diferencial que rige el problema de una barra en regimen lineal es:
− [S(x)Eu′]′= f(x) (4.2)
Por otra parte, si el comportamiento del material viene dado por una ecuacion cons-titutiva no lineal tal y como se muestra en la Figura 4.2, entonces la tension σ y elesfuerzo axial N , estan relacionados de la siguiente manera:
σ = ϕ(ε), σ = ϕ(u′), N = S(x)ϕ(u′),
ε
σ = ϕ(ε)σ
Figura 4.2. Diagrama tension-deformacion
100
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
La ecuacion diferencial de una barra a traccion en regimen no lineal es:
− [S(x)ϕ(u′)]′= f(x) (4.3)
Como se puede ver la ecuacion diferencial (4.3) es no lineal como consecuencia dela no linealidad de la ecuacion constitutiva. Para la ecuacion anterior se define unproblema de contorno de n puntos xi, i = 1, ..., n en el dominio formado por la unionde los elementos o subintervalos [xi, xi+1]. Desde un punto de vista clasico la ecuaciondiferencial tendra como dominio la union de los subintervalos anteriores.
La formulacion variacional de la expresion (4.2) se obtiene, realizando la ponderacionusual con v y tras el correspondiente proceso de integracion por partes en el intervalogenerico [α, β] = [xi, xi+1], resulta:
ˆ β
α
S(x)Eu′v′ dx =
ˆ β
α
f(x)v dx+ [vα vβ]
[−ES(x)u′ |α+
ES(x)u′ |β−
](4.4)
Donde la relacion ES(x) representa la rigidez axial de la barra. La formulacion varia-cional para el problema no lineal, siguiendo los pasos anteriores es:
ˆ β
α
S(x)ϕ(u′)v′ dx =
ˆ β
α
f(x)v dx+ [vα vβ]
[−S(x)ϕ(u′) |α+
S(x)ϕ(u′) |β−
](4.5)
Para introducir el concepto de Pieza Lineal Equivalente aplicado a la resolucion delproblema se ha supuesto que la ley esfuerzo-deformacion, N − ε o N − u′, viene dadopor una ley poligonal (de n segmentos) como se puede ver en la Figura 4.3.
u′
S(x)ϕ(u′) = ϕ(u′)N
u′0 u′1 u′2
B2
B1 A0u
′
A1u′ +
B1
A2u′ +B2
Figura 4.3. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal
Hay que destacar que el numero n de segmentos de la poligonal puede ser tan grandecomo se desee (vease Figura 4.3). En el intervalo generico [α, β] = [xi, xi+1], la relacionentre esfuerzo y deformacion viene dada por:
N︷ ︸︸ ︷S(x)ϕ(u′) = ϕ(u′) = aiu
′ + bi (4.6)
101
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
En la expresion anterior, con notacion relativa al elemento, el termino ai representala rigidez axial de la barra en cada intervalo (que viene dado por ES(x) en el casolineal) y se corresponde con el valor de la pendiente de un segmento de la poligonal dela Figura 4.3.
Sustituyendo (4.6) en (4.3) y realizando la ponderacion usual en el intervalo generico[α, β], la formulacion variacional queda de la siguiente forma:
ˆ β
α
−(aiu′ + bi)
′v dx =
ˆ β
α
f(x)v dx (4.7)
Realizando la correspondiente integracion por partes se obtiene:
ˆ β
α
(aiu′)v′ dx =
ˆ β
α
f(x)v dx+ [vα vβ]
[−(aiu
′ + bi) |α+
(aiu′ + bi) |β−
]−ˆ β
α
biv′ dx (4.8)
donde la expresion (4.8) representa la formulacion variacional de una pieza en regimenno lineal, cuya ley esfuerzo-deformacion viene definida por una poligonal.
Para obtener la solucion en todo el dominio xi, i = 1, ..., n, es necesario realizar unsumatorio de todos los elementos.
Para el caso en regimen lineal se tiene:
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
S(x)Eu′v′ dx =n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
f(x)v dx+n−1∑i=1
[vi vi+1]
[−ES(x)u′ |xi+ES(x)u′
∣∣xi+1
−
]ˆ xn
x1
S(x)Eu′v′ dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx+n−1∑i=1
[vi vi+1]
[−ES(x)u′ |xi+ES(x)u′
∣∣xi+1
−
](4.9)
con vi = v(xi) y vi+1 = v(xi+1)
Para el problema no lineal se tiene:
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
S(x)ϕ(u′)v′ dx =
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
f(x)v dx+
n−1∑i=1
[vi vi+1]
[ −S(x)ϕ(u′)∣∣xi+
S(x)ϕ(u′)∣∣xi+1
−
]ˆ xn
x1
S(x)ϕ(u′)v′ dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx+
n−1∑i=1
[vi vi+1]
[ −S(x)ϕ(u′)∣∣xi+
S(x)ϕ(u′)∣∣xi+1
−
](4.10)
Para el problema no lineal con ley poligonal:
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
(aiu′)v′ dx =
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
f(x)v dx+
n−1∑i=1
[vi vi+1]
[−(aiu
′ + bi) |xi+
(aiu′ + bi)
∣∣xi+1
−
]−n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
biv′ dx
(4.11)
102
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Desarrollando el ultimo termino de la expresion (4.11) se tiene:
−n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
biv′ dx =
n−1∑i=1
bi (vi − vi+1)
=b1(v1 − v2)+
b2(v2 − v3)+
...
bn−2(vn−2 − vn−1)+
bn−1(vn−1 − vn) (4.12)
Agrupando de forma adecuada los terminos de la expresion (4.12), resulta:
n−1∑i=1
bi (vi − vi+1) = [b1v1 + (b2 − b1)v2+, ..., (bn−1 − bn−2)vn−1 − bn−1vn]
n−1∑i=1
bi (vi − vi+1) =
[b1v1 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)vi − bn−1vn
](4.13)
Sustituyendo (4.13) en (4.11), la formulacion variacional del problema de una barra atraccion en regimen no lineal, con una ley poligonal (vease Figura 4.3) queda finalmenteexpresada de la siguiente manera:
ˆ xn
x1
A(x)u′v′ dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx+n∑i=1
viQi
+
[b1v1 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)vi − bn−1vn
](4.14)
donde las acciones nodales de equilibrio, Qi, son:
Qi = N(x−i )−N(x+i ) = [ai−1u
′(x−i ) + bi−1]− [aiu′(x+
i ) + bi], i = 2, ..., n− 1
Q1 = −N(x+1 ) = −[a1u
′(x+1 ) + b1]
Qn = N(x−n ) = [an−1u′(x−n ) + bn−1]
y A(x) es:
A(x) =
a1, (x1, x2)...ai, (xi, xi+1)...an−1, (xn−1, xn)
(4.15)
Tal y como se puede ver en la expresion (4.14), lo unico que la diferencia de la formula-cion debil del problema lineal, expresion (4.9), es el ultimo termino de la derecha, quese definen como unas cargas puntuales ficticias aplicadas en los nodos de la barra, taly como se expone con mas detalle despues.
103
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
Para el caso de la barra en regimen no lineal con ley poligonal, el problema variacionalpara el caso, por ejemplo, de una pieza con el extremo x = x1 = 0 fijo y en x = xn = Llibre de coacciones y sin accion externa, Ω = (0, L), sometida a un carga distribuidaaxial f(x) y sin cargas puntuales (Qi = 0, i = 2, ..., n) en el interior del dominio,consiste en obtener u ∈ H1
0 (Ω) tal que:
ˆ L
0A(x)u′v′ dx =
ˆ L
0f(x)v dx+
[b10 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)vi − 0vn
]∀v ∈ H1
0 (Ω) (4.16)
donde v1 = 0 al estar el extremo coaccionado y asimismo bn−1 = 0 al corresponder alelemento extremo sin carga puntual aplicada, tal y como se vera con detalle despues.H1
0 (Ω) es el espacio de Sobolev de las funciones g tales que g, g′ ∈ L2(Ω) junto cong(0) = 0. Y esto ultimo se corresponde, en el caso indicado, con u(0) = v(0) = 0.
Para el caso en regimen no lineal, con las mismas condiciones del problema anterior, elproblema variacional consiste en obtener u ∈ H1
0 (Ω) tal que:
ˆ L
0
S(x)ϕ(u′)v′ dx =
ˆ L
0
f(x)v dx ∀v ∈ H10 (Ω) (4.17)
De todo lo anterior resulta el siguiente teorema:
Teorema de equivalencia: La expresion (4.16) representa la formulacion debil de unabarra en regimen lineal con rigidez constante a trozos con una carga repartida f(x) ylas acciones puntuales ficticias bi − bi−1 en los nodos internos.
La ecuacion de equilibrio de elementos finitos, para el elemento generico [α, β], confunciones de aproximacion y de ponderacion polinomicas de primer grado, que en estecaso son solucion del problema homogeneo, para la pieza con rigidez constante a trozoses:
aih
[1 −1−1 1
] [uαuβ
]=
[fαfβ
]+
[−(aiu
′ + bi) |α+
(aiu′ + bi) |β−
]+
[bi−bi
](4.18)
con h = β − α.
o con la notacion usual:
aehe
[1 −1−1 1
] [ue1ue2
]=
[f e1f e2
]+
[qe1qe2
]+
[be−be
](4.19)
Ensamblando las ecuaciones locales (4.18) o (4.19) se tiene la ecuacion de equilibrio
104
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
global para la Pieza Lineal Equivalente:a1h1
− a1h1
0 0 0
− a1h1
a1h1
+ a2h2
0 0 0
0 0. . . 0 0
0 0 0 an−2
hn−2+ an−1
hn−1− an−1
hn−1
0 0 0 − an−1
hn−1
an−1
hn−1
u1
u2...
un−1un
=
F1
F2...
Fn−1
Fn
+
+
Q1
Q2...
Qn−1
Qn
+
b1
b2 − b1...
bn−1 − bn−2
−bn−1
(4.20)
donde:
F1 = f 11
F2 = f 12 + f 2
1
Fn−1 = fn−22 + fn−1
1
Fn = fn−12
Q1 = q11
Q2 = q12 + q2
1
Qn−1 = qn−22 + qn−1
1
Qn = qn−12
El ultimo termino de la expresion (4.20) es el que genera las acciones puntuales ficticias(Pi).
En las lıneas que siguen se trata de visualizar todo lo expuesto anteriormente aplicado,para mayor claridad, al analisis de una barra en regimen isostatico, de longitud L yseccion S constante, fija en el extremo izquierdo y libre en el extremo derecho, sometidaa una accion repartida constante, f(x) = f , tal y como se muestra en la Figura 4.4a,y con material no lineal, como el representado en la Figura 4.2. Como el problemaes isostatico, se conoce el diagrama de esfuerzos axiales en toda la barra, tal como semuestra en la Figura 4.4b.
Figura 4.4. Barra fija: (a) Esquema de carga y (b) Ley de esfuerzos en la barra
105
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
Considerando, por ejemplo, una discretizacion en tres elementos de igual longitud, alconocerse el esfuerzo en cada punto de la barra, es posible aproximar la ley no lineal delmaterial, por una ley trilineal, tal y como se muestra en la Figura 4.5, determinandoselas deformaciones di = u′(xi) con i = 1, ..., 4, en los nodos de la discretizacion.
Figura 4.5. (a) Ley de esfuerzo en la barra y (b) relacion esfuerzo-deformacion del material
En la Figura 4.6 se ha dibujado la barra deformada indicando los desplazamientos allado correspondiente a los nodos.
Figura 4.6. Barra en estado deformado.
Planteando la ecuacion de equilibrio global del problema se tiene:a1h1
− a1h1
0 0
− a1h1
a1h1
+ a2h2
− a2h2
0
0 − a2h2
a2h2
+ a3h3− a3h3
0 0 − a3h3
a3h3
u1
u2
u3
u4
=
F1
F2
F3
F4
+
−[a1u′(x+1 ) + b1]
[a1u′(x−1 ) + b1]− [a2u′(x+2 ) + b2]
[a2u′(x−2 ) + b2]− [a3u′(x+3 ) + b3]
a3u′(x−3 ) + b3
+
b1
b2 − b1b3 − b2−b3
(4.21)
Aplicando la condicion de contorno esencial, u1 = 0, y la natural N(x4) = 0, y como nohay acciones puntuales en el interior del dominio, se tiene el siguiente sistema reducido: a1
h1+ a2
h2− a2h2
0
− a2h2
a2h2
+ a3h3− a3h3
0 − a3h3
a3h3
u2
u3
u4
=
F2
F3
F4
+
b2 − b1b3 − b2−b3 = 0
(4.22)
donde el ultimo sumando de la derecha representan las cargas puntuales ficticias apli-cadas en los nodos de cada elemento.
106
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
De acuerdo con la formulacion debil, expresion (4.14), la solucion u(x) del problema deuna barra sometida a esfuerzos axiales como se muestra en la Figura 4.4 y en regimenno lineal del material (vease Figura 4.2), es tambien solucion del problema en regimenlineal donde las rigideces varıan por tramos, y donde ademas hay que aplicar en lospuntos intermedios unas cargas puntuales ficticias.
De lo anterior resulta que las dos barras tienen la misma deformada, con lo cual esposible establecer la analogıa que se indica en la Figura 4.7, donde la barra en regimenlineal podemos denominarla como Pieza Lineal Equivalente (o en este caso especıfico,como barra lineal equivalente). En la Tabla 4.1 se tiene un cuadro comparativo entre losproblemas variacionales para la pieza en regimen no lineal y la Pieza Lineal Equivalente.
Figura 4.7. Equivalencia entre el problema lineal y no lineal: (a) barra en regimen no lineal y(b) barra lineal equivalente
Regimen no lineal Regimen lineal
Pieza Lineal Equivalente
Problema variacional Problema variacional
Obtener u ∈ H10 (Ω) tal que: Obtener u ∈ H1
0 (Ω) tal que:
´ L0 Sϕ(u′)v′ dx =
´ L0 fv dx
´ L0 A(x)u′v′ dx =
´ L0 fv dx+
3∑i=2
(bi − bi−1)vi
∀v ∈ H10 (Ω) ∀v ∈ H1
0 (Ω)
H10 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0 H1
0 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0
Tabla 4.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la Pieza LinealEquivalente
Para la barra en regimen no lineal se puede interpretar que la rigidez axial en cadaseccion depende de la solucion u(x). Siendo la rigidez secante:
ϕ(u′) = ϕ(u′)/u′ (4.23)
107
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
La variacion de la rigidez en funcion de la deformacion puede verse en la Figura 4.8.
Figura 4.8. Variacion de la rigidez en funcion de la deformacion para la barra en regimen nolineal.
Esto permite interpretar para la barra en regimen no lineal que tiene una variacioncontinua de la rigidez: aumentando desde x1 hasta x3 con dos leyes distintas y constantedesde x3 hasta x4, tal y como se indica en la Figura 4.9.
Figura 4.9. Variacion continua de la rigidez en toda la barra
4.2.2 Pieza Lineal Equivalente empleando la teorıa de distribuciones
Otra forma de plantear el problema es haciendo uso de la teorıa de distribuciones[Stakgold y Holst, 2011]. Del mismo modo que en el apartado anterior, la base de lametodologıa consiste en suponer que la relacion esfuerzo-deformacion se puede aproxi-mar, tanto como se desee, por una ley poligonal (vease Figura 4.3).
Para el intervalo [xi, xi+1], sustituyendo (4.6) en (4.3), se obtiene la ecuacion diferencialsiguiente:
− [aiu′ + bi]
′= f(x), (xi, xi+1)
− (aiu′)′= f(x) + (bi)
′, (xi, xi+1) (4.24)
Suponiendo que se ha discretizado la barra del problema de la Figura 4.4 en n puntos(n− 1 elementos), es decir xi, i = 1, ..., n, la distribucion de rigideces de cada elementoai es la que se muestra en la Figura 4.10.
108
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Figura 4.10. Discretizacion del problema
De igual manera se puede ver en la Figura 4.10 que las bi, se pueden definir como unafuncion continua a trozos, que se puede expresar de forma mas compacta empleandola funcion escalon de Heaviside o funcion escalon unitario:
H(x− xi) =
0 si x < xi1 si x ≥ xi
quedando expresadas las bi de cada intervalo mediante una unica funcion B(x), paratoda la barra, como:
B(x) = b1H(x− x1) + (b2 − b1)H(x− x2) + ...+ (bi − bi−1)H(x− xi)++ ...+ (bn−1 − bn−2)H(x− xn−1)− bn−1H(x− xn)
o equivalentemente:
B(x) = b1H(x− x1) +n−1∑i=2
(bi − bi−1)H(x− xi)− bn−1H(x− xn) (4.25)
Como es sabido, la derivada de la funcion escalon, en el sentido de las distribucioneses la delta de Dirac [Stakgold y Holst, 2011]:
H ′(x− xi) = δ(x− xi) (4.26)
por lo tanto, el ultimo sumando a la derecha de la expresion (4.24), definido en todala barra, queda expresado de la siguiente manera:
B′(x) = b1δ(x− x1) +n−1∑i=2
(bi − bi−1)δ(x− xi)− bn−1δ(x− xn) (4.27)
La ecuacion diferencial, definida para todo el dominio, queda finalmente como sigue:
[A(x)u′]′= f(x) + b1δ(x− x1) +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)δ(x− xi)− bn−1δ(x− xn) (4.28)
con A(x) definida en (4.15).
109
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
Tal y como se puede ver, si se comparan las expresiones (4.2) y (4.28), ambas son linea-les, diferenciandose unicamente en los ultimos sumandos de la derecha de la expresion(4.28), que se definen como unas cargas puntuales ficticias, aplicadas en los nodos dela barra.
En resumen, tanto por la vıa de la formulacion debil, como por la de la teorıa dedistribuciones, se llega a que una pieza en regimen no lineal, es equivalente a otra enregimen lineal, cuyas rigideces varıan por tramos, y donde ademas hay que aplicar enlos nodos unas cargas puntuales ficticias.
Estas cargas puntuales ficticias, fueron deducidas de forma un tanto intuitiva, en eltrabajo de [Ortega, 2004], la metodologıa era aplicada a modelos de viga-columna deBernoulli-Euler, por ello, lo que aparecıan eran unos momentos puntuales ficticios.
4.2.3 Carga distribuida ficticia
En este punto cabe plantearse que sucederıa con estas cargas puntuales ficticias si lapieza se divide en un numero suficientemente grande de elementos finitos, es decir quen→∞ y que el tamano de cada uno de ellos tiende a cero. En lo que sigue se demuestraque las cargas puntuales ficticias, llevadas al continuo pasan a ser una carga distribuidaficticia. Por ejemplo, para el problema de la Figura 4.4 y material no lineal como elmostrado en la Figura 4.2, se puede ver que dicha carga es una funcion creciente haciael extremo fijo y con valor nulo en el extremo libre.
La determinacion de esta carga distribuida ficticia permite transformar el problemano lineal inicial con seccion constante en otro lineal con seccion variable y modulo deelasticidad E constante en toda la pieza.
Para obtener el valor de esta carga distribuida ficticia, lo que hacemos es repartir lacarga puntual ficticia de cada nodo sobre la longitud de cada elemento.
De acuerdo al esquema de la Figura 4.11, tomando dos puntos x y x+ ∆x, el valor dela carga ficticia viene dado por:
∆Pi = bi − bi−1 (4.29)
donde bi y bi−1 se obtiene a partir de la recta tangente a la curva esfuerzo-deformacion(vease Figura 4.11), del siguiente modo:
b∗i − ϕ(ε+ ∆ε) = ϕ′(ε+ ∆ε) [ε∗ − (ε+ ∆ε)]
b∗i−1 − ϕ(ε) = ϕ′(ε)(ε∗ − ε) (4.30)
cuando ε∗ = 0 obtenemos las ordenadas en el origen de las rectas tangentes:
bi = ϕ(ε+ ∆ε)− ϕ′(ε+ ∆ε)(ε+ ∆ε)
bi−1 = ϕ(ε)− ϕ′(ε)ε (4.31)
quedando la carga puntual ficticia:
∆P = [ϕ(ε+ ∆ε)− ϕ′(ε+ ∆ε)(ε+ ∆ε)]− [ϕ(ε)− ϕ′(ε)ε] (4.32)
110
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Figura 4.11. Correspondencia entre los esfuerzos en la barra y el diagramaesfuerzo-deformacion del material
Desarrollando en series de Taylor la expresion (4.32) se obtiene:
dP = ϕ(ε) + ϕ′(ε)dε+1
2ϕ′′(ε)(dε)2...−
[ϕ′(ε) + ϕ′′(ε)dε+ ...
](ε+ dε)− ϕ(ε) + ϕ′(ε)ε
= ϕ′(ε)dε+1
2ϕ′′(ε)(dε)2 + ...
[−ϕ′(ε)ε− ϕ′(ε)dε− ϕ′′(ε)εdε− ϕ′′(ε)(dε)2
]+ ϕ′(ε)ε
dP = −ϕ′′(ε)εdε− 1
2ϕ′′(ε)(dε)2 + ... (4.33)
Despreciando los terminos de orden superior se tiene:
dP = −ϕ′′(ε)εdεdP
dε= −ϕ′′(ε)ε (4.34)
Como lo que se quiere obtener es la carga distribuida ficticia f(x), es decir dP /dx, esnecesario aplicar la regla de la cadena, teniendo en cuenta ademas que ε = du/dx = use tiene que:
f(x) =dP
dx=dP
dε
dε
dx= −ϕ′′(ε)εu
o sea:
f(x) =dP
dx= −ϕ′′(ε)uu (4.35)
La funcion ϕ′′(ε) en terminos de las derivadas respecto de x se deduce de:
ϕ(ε), ϕ′(ε) =dϕ
dε=dϕ
dx
dx
dε= ˙ϕ
1
u, ϕ′′(ε) =
d
dε
[˙ϕ1
u
]=
d
dx
[˙ϕ1
u
]dx
dε
resultando:
ϕ′′(ε) =
[¨ϕ
1
u− ˙ϕ
...u
(u)2
]1
u(4.36)
111
4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal
Sustituyendo (4.36) en (4.35) se tiene finalmente el valor de la carga distribuida ficticiacomo:
f(x) =dP
dx= −
[¨ϕ
1
u− ˙ϕ
...u
(u)2
]u (4.37)
La rigidez de la Pieza Lineal Equivalente es ϕ′(ε) en cada x, con ε = u′.
Tal y como se puede ver en la expresion (4.37), la carga distribuida ficticia, f(x), estaexpresada en terminos de la solucion, ası como, del comportamiento del material quedepende a su vez de la propia solucion a traves de la funcion ϕ(u).
En el ejemplo que se desarrolla mas adelante en el apartado 4.3.2.6, se procede acalcular cual serıa la funcion que representa la carga distribuida ficticia, para el casode una barra fija en un extremo y libre en el otro (vease Figura 4.4), pues en este casola solucion exacta del problema se determina con facilidad.
4.2.4 Metodo para Problemas Isostaticos
Hasta ahora se ha analizado un problema isostatico en regimen no lineal del material,donde a priori se conoce la ley de esfuerzos en toda la barra y por tanto la distribucionde rigideces se calcula de forma inmediata. Es decir que en un problema isostaticose puede determinar de entrada cual es la Pieza Lineal Equivalente. La resolucion dela misma, al tratarse de un problema lineal estandar, se puede abordar mediante uncalculo por elementos finitos.
En la descripcion realizada para problemas isostaticos en las paginas anteriores, se hatratado el caso de una barra de seccion constante con accion repartida constante. Elprocedimiento se extiende con facilidad a casos de seccion variable y carga arbitra-ria (presencia de cargas puntuales, carga repartida no constante, etc). No se incluyeaquı dicho desarrollo para estas situaciones mas generales al no considerarse un objetivoprioritario en esta investigacion.
A continuacion se describen los pasos a seguir para los casos isostaticos:
1. Se discretiza la barra en n elementos.
2. Se calcula el esfuerzo en cada nodo de la pieza.
3. Con los esfuerzos de cada nodo se entra a la ley N − ε del material y se obtienenlos valores de las deformaciones εi, i = 0, ..., n.
4. Se calculan las rigideces ai, i = 1, ..., n − 1 y los valores de bi, i = 1, ..., n − 1de cada uno de los elementos en los que se ha discretizado la pieza, y de estosultimos las cargas ficticias Pi = bi − bi−1. Con estos valores quedan definidas lasdimensiones (rigideces) de la Pieza Lineal Equivalente y las cargas ficticias.
5. Finalmente con las rigideces obtenidas, las cargas iniciales y las cargas ficticias,se calcula mediante elementos finitos la Pieza Lineal Equivalente definida en elpunto anterior.
112
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
4.2.5 Metodo General
A continuacion se desarrolla un procedimiento general, cuya aplicacion se expone des-pues, que permite resolver tanto problemas isostaticos como hiperestaticos. El mismoconsiste en un proceso algorıtmico que combina el metodo de los elementos finitos consolucion nodal exacta con un proceso de homotopıa, la cual transforma gradualmenteuna relacion inicial lineal esfuerzo-deformacion en una relacion final no lineal definidapor la ley del material. Este procedimiento aplicado al caso de pilares se ha denominadometodo general [Ortega, 2004].
La idea del procedimiento consiste en la resolucion de una serie de problemas linealescuyas soluciones se van pareciendo progresivamente a la del problema no lineal plan-teado. Teoricamente, para el caso de relaciones constitutivas (esfuerzo-deformacion)dadas por una poligonal, el metodo permite obtener incluso la solucion exacta si losnodos de los elementos se fijan en ciertas posiciones adecuadas. No obstante el metodose desarrolla con el proposito de aplicarse a cualquier relacion esfuerzo-deformaciondada por una ley curva. Ademas la metodologıa se puede aplicar a cualquier estadoarbitrario de cargas, secciones cuyas caracterısticas pueden variar de unos elementos aotros y con cualquier numero y tipo de restricciones.
Uno de los primero pasos del metodo es fijar la longitud de los elementos en los quese descompone la pieza, esta discretizacion debe cumplir ciertas condiciones para quela solucion obtenida sea una buena aproximacion a la solucion exacta del problema.Dichas condiciones se refieren a que el numero de elementos y las longitudes de losmismos deben ser las adecuadas para recoger de manera significativa los cambios dedeformacion de la pieza en regimen no lineal. Ademas de esto hay otras condicionesque se deben tener en cuenta antes de realizar la discretizacion como son: variacion delas dimensiones de la seccion, presencia de cargas concentradas en puntos intermediosde la pieza y puntos donde se imponen condiciones de contorno.
Lo indicado anteriormente se concreta de forma mas detallada en los siguientes pasos.
Pasos para la aplicacion del metodo general :
1. Se discretiza la pieza en elementos finitos
2. Se considera una ley lineal esfuerzo-deformacion, que puede ser tangente o secantea la ley no lineal del problema planteado. De esta manera se obtiene la rigidezinicial en cada elemento.
3. Se resuelve el problema lineal con las condiciones de contorno del problema nolineal, es decir se calcula los desplazamientos en los nodos y las deformaciones encada elemento. En este caso no son necesarias las correcciones ya que la defor-macion por la izquierda y por la derecha en cada nodo son iguales en ausenciade cargas puntuales, y en otros casos lo que corresponda de acuerdo con dichascargas.
4. Se avanza en la homotopıa, de modo que la ley esfuerzo-deformacion deja deser lineal. Con las deformaciones del paso anterior se entra a esta nueva ley y
113
4.3. Ejemplo de aplicacion
se obtienen las nuevas rigideces de cada elemento y tambien las cargas ficticiascalculadas con estas rigideces y deformaciones conocidas.
5. Se resuelve con estas rigideces y estas cargas el problema correspondiente a lapieza lineal resultante. Ahora las deformaciones por la izquierda y por la derechade elementos adyacentes en el nodo no son iguales, lo que requiere sin avanzaren la homotopıa realizar cierto numero bajo de correcciones hasta conseguir uncierto nivel de compatibilidad de deformaciones.
6. Se avanza nuevamente en la homotopıa y se vuelven a repetir los pasos 4 y 5respectivamente. Y ası sucesivamente hasta llegar al ultimo paso de homotopıa,para el cual la ley esfuerzo-deformacion es la dada inicialmente para el problemano lineal. Realizando las correcciones necesarias hasta alcanzar un nivel de com-patibilidad aceptable en las deformaciones, llegando ası a la solucion del problemano lineal inicial.
Las rigideces de los elementos en este ultimo paso de la homotopıa tras las correc-ciones, ası como las cargas ficticias, junto con las acciones externas y las coaccionesdefinen las caracterısticas de una pieza en regimen lineal que denominamos Pieza LinealEquivalente.
Si la ley constitutiva fuera la ley poligonal ultima entonces las soluciones del problemano lineal inicial y de la Pieza Lineal Equivalente serıan la misma en los nodos. Se podrıaaplicar tambien, dentro de cada elemento, el concepto de accion repartida equivalentelo que permitirıa aproximar la solucion tanto como se desee.
4.3 Ejemplo de aplicacion
A continuacion se analiza una barra a traccion, fija en el extremo izquierdo y libre enel derecho, con las condiciones de carga y caracterısticas geometricas que se muestranen la Figura 4.12. En la Figura 4.13 se puede ver la ley no lineal del material que seha considerado.
Figura 4.12. Barra fija. Caracterısticas geometricas y estado de carga
Comprobamos la validez del metodo calculando la solucion exacta del problema ytambien soluciones aproximadas empleando el metodo de diferencias finitas y el de ele-mentos finitos en combinacion con los metodos iterativos de Picard y Newton-Raphson.
114
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
·10−2
0
100
200
300
400
500
ε
σ(M
Pa)
σ(ε)
Figura 4.13. Diagrama tension deformacion
4.3.1 Solucion exacta
A partir de la ecuacion diferencial (4.3), e integrando ambos miembros se tiene:
− S(x)ϕ(u′) =
ˆf(x) dx+ k
ϕ(u′) = −´f(x) dx+ k
S(x)
u′ = ϕ−1
(−´f(x) dx+ k
S(x)
)(4.38)
La solucion exacta para el problema de una barra sometida a traccion, con seccionvariable se obtiene integrando la expresion (4.38) y es:
u =
ˆϕ−1
(−´f(x) dx+ k
S(x)
)dx (4.39)
Para el caso particular en el que la barra tenga seccion constante y este sometida auna carga repartida constante (ejemplo analizado):
S(x) = S, f(x) = f
se tiene que la expresion (4.38) queda de la siguiente manera:
− [Sϕ(u′)]′= f, x ∈ (0, L)
− Sϕ(u′) = fx+ k
u′ = ϕ−1
(−k − fxS
)(4.40)
Para el caso de barra fija en un extremo y libre en el otro, se tiene que cumplir con lasiguiente condicion natural de contorno:
− [Sϕ(u′)]x=L = 0
115
4.3. Ejemplo de aplicacion
A partir de la condicion anterior, se obtiene el valor de la constante k como sigue:
− [Sϕ(u′)]x=L = fL+ k = 0
k = −fL (4.41)
Sustituyendo el valor de k en (4.40) se tiene:
u′ = ϕ−1
(−(−fL)− fxS
)u′ = ϕ−1
[(L− x)
f
S
](4.42)
Por otra parte se puede obtener el valor de u′ a partir del diagrama tension-deformaciondel material, que en esta caso particular viene dado por:
σ = ϕ(ε) = −Kε2 + Kaε (4.43)
donde K y a son constantes. Para el grafico de la Figura 4.13, K = 400000MPa ya = 0.07.
Despejando ε de la expresion anterior se tiene:
ε = −Ka±√K2a2 − a2σK
−2K
ε = ϕ−1(σ) =a
2−√(
a
2
)2
− σ
K(4.44)
u′ = ϕ−1
[(L− x)
f
S
]=a
2−√(
a
2
)2
− f(L− x)
SK(4.45)
Integrando la expresion (4.45) se obtiene el desplazamiento u(x) como sigue:
u(x) =
ˆ a2−√(
a
2
)2
− f(L− x)
SK
dx
u(x) =a
2x− 2SK
3f
[(a
2
)2
− f(L− x)
SK
] 32
+ C1 (4.46)
De la condicion esencial u(0) = 0 se obtiene la constante de integracion, C1, como:
C1 =2SK
3f
[(a
2
)2
− fL
SK
] 32
(4.47)
Sustituyendo (4.47) en (4.46), la solucion exacta del problema es:
u(x) =a
2x− 2SK
3f
[(
a
2
)2
− f(L− x)
SK
] 32
−[(
a
2
)2
− fL
SK
] 32
(4.48)
116
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
4.3.2 Solucion aproximada
Como se menciono anteriormente, se analiza el problema empleando diferentes metodosnumericos finalizando el apartado comparando los resultados obtenidos con las meto-dologıas de la Pieza Lineal Equivalente, es decir la correspondiente a casos isostaticosy la metodologıa general.
4.3.2.1 Metodo diferencias finitas
Es posible emplear esta tecnica, ya que de entrada sabemos cual es la ley esfuerzosen toda la barra y por tanto conocemos tambien la deformacion de la misma en cadapunto, tal como se muestra en la Figura 4.14.
Figura 4.14. Correspondencia entre la tension en la barra y la tension del material: (a)tension en la barra y (b) tension-deformacion
A partir de las relaciones de derivacion numerica se formula un sistema lineal quepermite determinar los desplazamientos en los nodos. Se emplea la formula central dederivacion numerica de tres puntos para los nodos internos y para los extremos lasformulas regresivas y progresivas usuales de tres puntos. Todas estas formulas tienenun error de truncamiento que es del orden O(h2) [Isaacson y Keller, 1994].
u′i ≈ui+1 − ui−1
2h, i = 1, ..., n− 1
u′0 ≈−u2 + 4u1 − 3u0
2h
u′n ≈un−2 − 4un−1 − 3un
2h(4.49)
donde ui = u(xi), h es la longitud del elemento. Basandonos en el esquema de la Figura4.14 formamos el siguiente sistema lineal donde Ui ≈ ui:
117
4.3. Ejemplo de aplicacion
− 32h
2h− 1
2h
− 12h
0 12h
0 − 12h
0 12h
. . .. . .1
2h− 2h
32h
U0
U1
U2
U3...Un
=
u′0 = εnu′1 = εn−1
u′2 = εn−2
u′3 = εn−3...u′n = ε0
(4.50)
Resolviendo el correspondiente sistema reducido, teniendo en cuenta que U(0) = u(0) =0, se obtiene los desplazamientos en los nodos xi, i = 1, ..., n.
4.3.2.2 Metodo de iteracion directa
Como se menciono en el apartado 2.3.1, la formulacion por elementos finitos de unproblema no lineal, conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales cuyaresolucion se lleva a cabo mediante metodos iterativos. Uno de dichos metodos esel de iteracion directa, tambien conocido como metodo de Picard de aproximacionessucesivas [Reddy, 2005].
Para resolver el problema planteado en el apartado 2.3.1, expresion (2.88):
[K (U)] U = F o R (U) = 0
Se parte de un valor inicial U0 y se obtiene la solucion U1 del siguiente sistema:[K(U0)] U = F (4.51)
dado que U1 6= U0, se busca otra aproximacion para U usando la ultima apro-ximacion para evaluar [K]: [
K(U1)] U = F (4.52)
Este procedimiento continua hasta que la diferencia entre dos aproximaciones conse-cutivas de U sea menor que una cierta tolerancia. El algoritmo podrıa escribirsecomo:
[K (Up)] Up+1 = F (4.53)
Y formalmente con la notacion de la iteracion de punto fijo se escribirıa
Up+1 = [K (Up)]−1 F (4.54)
Aunque en realidad nunca se realiza la inversion de matriz. Se supone que [K] esregular despues de imponer las condiciones de contorno, debiendo verificar el vectorinicial U0 las condiciones esenciales de contorno especıficas. En la Figura 4.15 sepuede ver graficamente, y de manera esquematica, la idea del metodo.
118
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Figura 4.15. Esquema de iteracion del metodo de Picard
Para el caso que se analiza, a partir de la formulacion debil del problema no lineal,expresion (4.5), se tiene que:
ˆ β
α
S(x)ϕ(u′)v′ dx︸ ︷︷ ︸K
=
ˆ β
α
f(x)v dx+ [vα vβ]
[−S(x)ϕ(u′) |α+
S(x)ϕ(u′) |β−
]︸ ︷︷ ︸
F
(4.55)
Tal como se puede ver en la expresion anterior, [K] no depende explıcitamente de u (ou′), por lo tanto lo que se hace es multiplicar y dividir el termino de la derecha de laexpresion (4.5) por u′, quedando la siguiente expresion [Reddy, 2005]:
ˆ β
α
S(x)
Ψ(u′)︷ ︸︸ ︷ϕ(u′)
u′u′v′ dx =
ˆ β
α
f(x)v dx+ [vα vβ]
[−S(x)ϕ(u′) |α+
S(x)ϕ(u′) |β−
](4.56)
Finalmente la matriz [K] del elemento se puede poner de la siguiente manera:
Keij =
ˆ β
α
S(x)Ψ(u′)N ′iN′j dx (4.57)
dondeN ′i , N′j son las funciones de interpolacion o de forma. Para la ley del material que
se analiza en este ejemplo, expresion (4.43), la relacion Ψ(u′) es:
Ψ(u′) =Ku′2 + Kau′
u′= −Ku′ + Ka (4.58)
Aproximando u′ en un elemento (α, β) como:
u′ =ue2 − ue1he
119
4.3. Ejemplo de aplicacion
La expresion (4.58) se puede poner como sigue:
Ψ(u′) = −K(ue2 − ue1he
)+ Ka (4.59)
Sustituyendo (4.59) en (4.57), la matriz de rigidez local Ke tiene por elementos:
Keij =
ˆ β
α
S(x)
[−K
(ue2 − ue1he
)+ Ka
]N ′iN
′j dx
siendo Ke la matriz:
Ke =S
he
[Ka− K
(ue2 − ue1he
)][1 −1−1 1
](4.60)
El valor inicial U0 se puede obtener resolviendo el problema por el metodo de ele-mentos finitos, suponiendo un caso lineal, donde toda la barra tiene una rigidez dadapor la pendiente de la tangente en el origen a la curva de la Figura 4.13.
4.3.2.3 Metodo Newton-Raphson
El metodo de Newton-Raphson, como se indico en el apartado 3.2.1, es uno de losmetodos iterativos mas empleados en la resolucion de problemas no lineales mediante elmetodo de los elementos finitos. La solucion Up+1 se obtiene empleando la expresion(2.92):
Up+1 = Up + δU
donde δU se obtiene de la expresion (2.91):
R Up +
(∂ R∂ U
)pδ U = 0
Como se menciono en el apartado 2.3.1,(∂R∂U
)prepresenta la matriz Jacobiana, de-
nominada tambien como matriz de rigidez tangente T (Up).
A partir de la expresion (2.89) se tiene que:
∂Ri
∂uj=
n∑i=1
[∂Kiα
∂ujuα +Kiα
](4.61)
El incremento de la solucion δ U se puede expresar formalmente de la siguientemanera:
δ U = − [T (Up)]−1[R (Up)]
δ U = − [T (Up)]−1[[K (Up)] Up − F] (4.62)
De manera analoga al caso anterior se indica que no se invierte la matriz [T (Up)].
120
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Como se puede ver al final de cada iteracion, el metodo de Newton-Raphson da unincremento de la solucion a diferencia de la solucion total en el procedimiento de itera-cion directa. Se ha tomado el vector inicial U0 igual que para el metodo de iteraciondirecta.
Hay que destacar que para que el metodo converja, el vector de partida, U0, tieneque tener unas componentes razonablemente proximas a la de la solucion. De maneraanaloga para el metodo de iteracion directa.
Para el ejemplo analizado la matriz de rigidez del elemento Ke, es la que viene dadapor la expresion (4.60).
4.3.2.4 Pieza Lineal Equivalente
Para los problemas isotaticos como se conoce la ley de esfuerzos en toda la barra, sepuede determinar, una vez fijado el numero de elementos en los que se discretiza, suscorrespondientes rigideces y resolver despues el problema lineal resultante. Por otraparte tambien se tiene la metodologıa general de la Pieza Lineal Equivalente que pue-de aplicarse a cualquier problema isostatico o hiperestatico. En esta caso se parte deuna relacion inicial lineal para la ley del material la cual se transforma gradualmen-te, mediante homotopıa, en sucesivas leyes no lineales hasta la ley final del materialcombinando todo este proceso con el metodo de elementos finitos.
Hay que destacar que en este caso la Pieza Lineal Equivalente se determina al final detodo el proceso de calculo. Sin embargo, para el caso de piezas no lineales en regimenisostatico la Pieza Lineal Equivalente se determina al inicio y se resuelve mediantedicho concepto con el metodo de elementos finitos y teorıa lineal el problema inicial nolineal.
Para obtener la Pieza Lineal Equivalente en el problema isostatico se procede de lasiguiente manera:
i) Se discretiza la barra en n = 5 elementos, que en este caso se toman de la mismalongitud. ii) Se calcula el esfuerzo en cada nodo de la pieza. iii) con los esfuerzosde cada nodo se entra a la ley N − ε del material y se obtienen los valores de lasdeformaciones εi, i = 0, ..., 5, tal y como se muestra en la Figura 4.16. En dicha Figurase pueden ver simultaneamente las graficas de la ley de esfuerzos en la barra y dela relacion esfuerzo-deformacion, donde se puede observar la correspondencia entrelos nodos de la pieza y sus deformaciones. iv) Se calculan finalmente las rigidecesai, i = 1, ..., n − 1 y los valores de bi, i = 1, ..., n − 1 de cada uno de los elementos enlos que se ha discretizado la pieza.
El diagrama esfuerzo-deformacion poligonal queda definido por los valores de la Tabla4.2, que da lugar a los valores de rigideces que se muestran en la Figura 4.17.
Con los valores de rigideces, Ai, ası como con los valores de Bi que se muestran en laFigura 4.17, se obtiene la Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico comose muestra en la Figura 4.18.
121
4.3. Ejemplo de aplicacion
Figura 4.16. Ley de esfuerzos en toda la barra y su correspondencia con el diagramaesfuerzo-deformacion
Punto N (kN) ε
0 0 01 119 0,00366082 238 0,00781023 357 0,01271934 476 0,01907615 595 0,0317267
Tabla 4.2. Valores de esfuerzo axial y deformacion
Figura 4.17. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal
Con los datos y el esquema de carga de la Figura 4.18, se calculan, por el metodo deelementos finitos, los desplazamientos.
Tambien se resuelve el problema aplicando la metodologıa general de la Pieza LinealEquivalente, siguiendo los pasos descritos en el apartado 4.2.5 y que se detallan acontinuacion.
122
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Figura 4.18. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico
Se parte de una ley lineal para el diagrama esfuerzo-deformacion (tangente a la curva enel origen) lo cual permite determinar unos valores de desplazamientos y deformacionesiniciales, utilizando una rigidez constante en toda la barra. A partir de este primercalculo el proceso sigue con el paso correspondiente al paso de homotopıa λ = 0, 5. Esdecir, con los valores de las deformaciones obtenidos para la ley tangente, se entra enla curva N − ε o N − u′ y se obtienen unos nuevos valores de rigideces ai y valores debi (vease Figura 4.19), con estos ultimos se calculan las cargas puntuales ficticias y setiene la pieza lineal para λ = 0, 5 como se muestra en la Figura 4.20.
0 0,5 1 1,5 2 2,5
·10−2
0
200
400
600
800
1000
ε = u′
N(K
N)
Ninic.(ε)
(1− 0.5)Ninic.(ε) + 0.5N(ε)
N(ε)
Ley poligonal
Figura 4.19. Proceso de homotopıa λ = 0.5
123
4.3. Ejemplo de aplicacion
Figura 4.20. Pieza lineal para λ = 0, 5
Con los datos y el esquema de carga de la Figura 4.20, se calcula, por el metodo de ele-mentos finitos, los desplazamientos y las deformaciones. En este caso las deformacionespor la izquierda y por la derecha de elementos adyacentes en el nodo no son iguales, loque requiere, sin avanzar en la homotopıa, realizar cierto numero de correcciones hastaconseguir un cierto nivel compatibilidad de deformaciones. En la Tabla 4.3 se muestrael resultado de las deformaciones de tres iteraciones realizadas para λ = 0, 5.
Nodo 2 3 4 5
Izq. Der. Izq. Der. Izq. Der. Izq. Der.
Iter. 1 0,015648 0,0155419 0,0113443 0,0112914 0,00733132 0,0073103 0,00356227 0,00355755
Iter. 2 0,0156215 0,0156194 0,0113244 0,0113239 0,00732171 0,00732166 0,00355991 0,00355991
Iter. 3 0,0156204 0,0156204 0,0113241 0,0113241 0,00732168 0,00732168 0,00355991 0,00355991
Tabla 4.3. Deformaciones en los nodos internos de la barra, para un valor de λ = 0, 5
Como se puede ver en la Tabla 4.3 en la tercera iteracion la deformacion por la izquierday por la derecha de los nodos internos de la barra son casi iguales. Con las deformacionesde la tercera iteracion se avanza en la homotopıa y se vuelve a repetir el procesonuevamente. Los valores de λ para avanzar en la homotopıa son 0,70, 0,90 y 1,0.En cada paso de homotopıa se considera un cierto numero de correcciones fijado (3iteraciones), excepto para el paso final en el que se aumenta dicho numero de modoque los resultados se estabilicen para la precision utilizada.
En la Tabla 4.4 se pueden ver los resultados del proceso de homotopıa seguido (par-tiendo de una ley lineal tangente). Se puede ver en el paso de homotopıa 4 en la quela relacion N − ε es la final correspondiente a λ = 1, 0, la deformada en el extremoempotrado (d1) se estabiliza.
124
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Hom
o.
iter.
u6
d1
a1(K
N)
a2
a3
a4
a5
P2(K
N)
P3
P4
P5
lin
eal
-30
,357
10,0
1734
734
300,
0034
300,
0034
300,
0034
300,
0034
300,
000,
000,
000,
000,
00
1(λ
=0.
5)1
33,4
952
0,0
2011
326
650,
0028
350,
0530
016,
9131
750,
0433
449,
97-2
3,59
-17,
93-1
1,76
-5,9
03
33,5
784
0,0
2038
625
504,
7527
698,
6029
694,
9831
634,
0333
427,
80-3
4,27
-23,
02-1
3,93
-6,3
9
2(λ
=0.
7)1
35,4
219
0,0
2212
121
984,
1025
057,
9927
904,
5230
567,
6733
078,
92-4
8,07
-32,
23-1
9,50
-8,9
43
35,5
025
0,0
2233
420
934,
7624
541,
5327
679,
3730
492,
5833
065,
57-6
0,05
-37,
03-2
1,10
-9,2
6
3(λ
=0.
9)1
38,0
701
0,0
2519
317
108,
2321
753,
4325
787,
7229
404,
7832
712,
89-7
7,34
-47,
61-1
7,13
-11,
913
38,3
829
0,0
2606
514
903,
8420
867,
3925
444,
9729
298,
5732
694,
88-1
07,8
3-5
6,66
-29,
68-1
2,36
4(λ
=1.
0)
140
,385
20,0
2873
912
668,
5819
375,
2124
461,
0528
987,
9132
516,
52-1
21,2
6-6
2,95
-32,
98-1
3,73
341
,031
20,0
3069
710
243,
4618
723,
6424
240,
6728
679,
2132
506,
23-1
61,7
1-7
0,17
-34,
67-1
4,01
641
,298
10,0
3146
296
07,8
318
720,
2124
240,
5528
679,
2132
506,
23-1
73,8
3-7
0,21
-34,
67-1
4,01
841
,351
50,0
3161
491
6,02
1872
0,21
2424
0,55
2867
9,21
3250
6,23
-176
,06
-70,
21-3
4,67
-14,
0110
41,3
739
0,0
3167
894
42,7
418
720,
2124
240,
5528
679,
2132
506,
23-1
76,9
8-7
0,21
-34,
67-1
4,01
1141
,379
70,0
3169
594
30,3
318
720,
2124
240,
5528
679,
2132
506,
23-1
77,2
1-7
0,21
-34,
67-1
4,01
Ta
bla
4.4
.R
esu
ltad
osd
elp
roce
sod
eh
omot
opıa
par
ala
bar
raa
trac
cion
emp
lean
do
5el
emen
tos
125
4.3. Ejemplo de aplicacion
Con los valores de ai y Pi de la ultima fila de la Tabla 4.4 se obtiene finalmente laPieza Lineal Equivalente como se muestra en la Figura 4.21.
Figura 4.21. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general
Con los datos de la Figura 4.21, se calcula, por el metodo de elementos finitos losdesplazamientos. En la Tabla 5.5 se pueden ver los desplazamientos en los nodos, quese obtiene resolviendo la Pieza Lineal Equivalente del problema isostatico (vease Figura4.18) y asimismo los que resultan del metodo general (vease Figura 4.21).
xi (m) Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente
metodo problema isostatico (mm) metodo general (mm)
0 0 0
0,7 17,7810 17,7737
1,4 28,9094 28,9020
2,1 36,0947 36,0874
2,8 40,1096 40,1032
3,5 41,3909 41,3835
Tabla 4.5. Desplazamientos en la barra empleando la metodologıa de Pieza LinealEquivalente
Como se puede observar, los resultados obtenidos difieren ligeramente al haber unapequena variacion de las rigideces, tal y como se muestra en la Tabla 5.7. La diferenciade rigideces se obtiene solamente en el elemento 1, ya que en el resto de los elementoslas rigideces son iguales. La misma puede hacerse cada vez menor si se aumenta elnumero de iteraciones en el ultimo paso de homotopıa en el metodo general.
126
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
elem. Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente
metodo problema isostatico (kN) metodo general (kN)
1 9406,63 9430,33
2 18720,30 18720,21
3 22240,50 22240,55
4 28679,20 28679,20
5 32506,20 32506,23
Tabla 4.6. Rigideces de cada elemento de la barra empleando la metodologıa de Pieza LinealEquivalente
4.3.2.5 Comparacion de resultados obtenidos por las diferentes metodologıas
A continuacion se muestran los valores obtenidos por las diferentes metodologıas ex-plicadas anteriormente y los de la solucion exacta. Los resultados presentados comoPieza Lineal Equivalente se corresponden con los obtenidos aplicando la metodologıapara problemas isostaticos. Asimismo, cabe destacar que las soluciones obtenidas porel metodo de Newton-Raphson y el de Picard son practicamente iguales, aunque esteultimo necesita algunas iteraciones mas que el metodo de Newton.
En la Tabla 4.7 y en la Figura 4.22 se pueden ver los desplazamientos en la barra,cuando se discretiza la barra en 5 elementos. En las mismas se puede ver que con losmetodos de Newton y de Picard resulta una aproximacion mejor a la solucion exacta, sinembargo dicha aproximacion es por defecto. El metodo de diferencias finitas aproximaa la solucion exacta tambien con valores inferiores y se aleja mas de la solucion exacta.Los resultados obtenidos mediante la Pieza Lineal Equivalente aproximan a los de lasolucion exacta con valores ligeramente superiores a la misma.
xi (m) Exacta (mm) Pieza lineal Metodo de Diferencias
equivalente (mm) Newton/ (Picard) (mm) finitas (mm)
0 0 0 0 0
0,7 16,8084 17,7810 16,4533 15,9898
1,4 27,8134 28,9094 27,3978 26,7065
2,1 34,9419 36,0947 34,4981 33,7969
2,8 38,9224 40,1096 38,4616 37,6408
3,5 40,1801 41,3909 39,7075 38,9221
Tabla 4.7. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos
Tambien se ha resuelto el problema discretizando la barra en 10 elementos. Los resul-tados se pueden ver en la Figura 4.23, ası como en la Tabla 4.8. Se puede ver que semantiene la misma tendencia, pues los resultados del Metodo de Newton se aproximanligeramente mas a los de la solucion exacta, siempre con valores inferiores. Los resul-tados obtenidos mediante la Pieza Lineal Equivalente son practicamente iguales a losde la solucion exacta, aunque ligeramente superiores. El metodo de diferencias finitases el que menos se aproxima a la solucion exacta.
127
4.3. Ejemplo de aplicacion
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50
10
20
30
40
L (m)
Desplazamiento
(mm)
Pieza lineal equivalente
Solucion exacta
Metodo de Newton/Picard
Metodo de Diferencias Finitas
Figura 4.22. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50
10
20
30
40
L (m)
Desplazamiento
(mm)
Pieza lineal equivalente
Solucion exacta
Metodo de Newton/Picard
Metodo de Diferencias Finitas
Figura 4.23. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos
Finalmente, en la Figura 4.24 se pueden ver los desplazamientos en toda la barraaplicando la metodologıa de Pieza Lineal Equivalente y discretizando la barra en 5, 10y 20 elementos. Se puede ver que con 20 elementos se llega practicamente a la solucionexacta.
128
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
xi (m) Exacta (mm) Pieza lineal Metodo de Diferencias
equivalente (mm) Newton/ (Picard) (mm) finitas (mm)
0 0 0 0 0
0,35 9,3985 9,6549 9,2920 9,1095
0,7 16,8084 17,7100 16,8140 16,4533
1,05 22,8633 23,1916 22,7266 22,4628
1,4 27,8134 28,1536 27,6707 27,3978
1,75 31,8061 32,1545 31,6594 31,3663
2,1 34,9419 35,2964 34,7921 34,4981
2,45 37,2948 37,6540 37,1426 36,8334
2,8 38,9224 39,2856 38,7683 38,4616
3,15 39,8714 40,2377 39,7157 39,3960
3,5 40,1801 40,5492 40,0231 39,7075
Tabla 4.8. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50
10
20
30
40
L (m)
Desplazamiento
(mm)
PLE 5 elem.
PLE 10 elem.
PLE 20 elem.
Solucion exacta
Figura 4.24. Desplazamientos en la barra empleando la Pieza Lineal Equivalente ydiscretizando la barra en diferente numero de elementos
Cabe destacar que si suponemos de entrada que el diagrama esfuerzo-deformacion,N − ε, es la ley poligonal de la Figura 4.17 (en el caso de discretizar la barra en5 elementos), la solucion obtenida mediante el concepto de Pieza Lineal Equivalentesera exacta en los nodos, ya que la solucion es nodalmente exacta y si ademas se utilizael concepto de accion repartida equivalente, es posible obtener la solucion exacta en elinterior de los elementos.
4.3.2.6 Calculo de la carga distribuida ficticia
A continuacion se procede a calcular la carga distribuida ficticia, que permite trans-formar el problema no lineal inicial con seccion constante en otro lineal con seccion
129
4.3. Ejemplo de aplicacion
variable y modulo de elasticidad E constante en toda la pieza. De la expresion (4.37):
f(x) = −[
¨ϕ1
u− ˙ϕ
...u
(u)2
]u
teniendo en cuenta la ley del material, expresion (4.43):
σ = ϕ(ε) = −Kε2 + Kaε
ası como, la solucion exacta del problema, expresion (4.48):
u(x) =a
2x− 2SK
3f
[(
a
2
)2
− f(L− x)
SK
] 32
−[(
a
2
)2
− fL
SK
] 32
Se tiene que la carga distribuida ficticia es:
f(x) = f
1− a√a2SK+4f(x−L)
SK
(4.63)
Y el area de la seccion S(x), que para este caso es variable, se deduce de la expresionde la rigidez ϕ′(ε) con ε = u′, resultando:
S(x) =ϕ′(ε)
E=Sϕ′(ε)
ϕ′(0)(4.64)
y para este caso en particular es:
S(x) =S
a
√a2SK + 4f(x− L)
SK(4.65)
El valor del modulo de elasticidad E, como se dijo anteriormente, es la pendiente de larecta tangente a la curva tension-deformacion en el origen (vease Figura 4.13) y tienepor valor E = ϕ′(0) = aK = 28GPa.
En la Figura 4.25 se muestra la grafica de la funcion que define la carga distribuidaficticia. Se puede ver que es una funcion negativa, lo cual para el caso analizado eslogico, ya que las cargas puntuales ficticias son todas negativas en los nodos intermediospara la barra a traccion, al ser la ley constitutiva creciente con derivada decreciente.
130
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
−1500
−1250
−1000
−750
−500
−250
0
L (m)
f(kN/m)
Figura 4.25. Carga distribuida ficticia en toda la barra
Asimismo, en la Figura 4.26 se puede ver la variacion del area de la seccion a lo largode toda la barra y en la Figura 4.27 se muestra el esquema del problema lineal llevadoal continuo.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50
200
400
600
800
1000
1200
L (m)
S(m
m2)
Figura 4.26. Variacion del area de la seccion transversal, S(x), en toda la barra
Figura 4.27. Problema lineal equivalente en el continuo
131
4.4. Resumen y conclusiones
Una forma de comprobar que los valores determinados son correctos es obtener elvalor de f a partir de la ecuacion diferencial del problema de la barra (Pieza LinealEquivalente llevada al continuo) que se muestra en la Figura 4.27, dicha ecuacion es:
−[S(x)Eu′
]′= f + f(x)
Despejando f de la expresion anterior:
f = −f(x)−[S(x)Eu′
]′(4.66)
Sustituyendo las expresiones (4.63) y (4.64), ası como, E = ϕ′(0) = aK en la expresionanterior, se tiene:
f = −f
1− a√a2SK+4f(x−L)
SK
−Sa
√a2SK + 4f(x− L)
SKaKu′
′ (4.67)
derivando la expresion (4.48), se obtiene u′(x):
u′(x) =a
2
√a2SK + 4f(x− L)
SK
sustituyendo la expresion anterior en (4.67) y derivando el segundo sumando de laderecha de la misma, se tiene:
f = −f
1− a√a2SK+4f(x−L)
SK
+ f
2− a√a2SK+4f(x−L)
SK
= f (4.68)
de la igualdad anterior se puede deducir por tanto, que el valor de f(x) y S(x) soncorrectos.
4.4 Resumen y conclusiones
En el presente capıtulo se ha introducido el concepto de Pieza Lineal Equivalente, parala resolucion de un problema relativamenete sencillo en regimen no lineal, como es el deuna barra sometida a traccion, donde la no linealidad viene dada por el comportamientodel material. La metodologıa parte de suponer que la ley de esfuerzos de la seccion, sepuede aproximar, tanto como se desee, por una ley poligonal. Esta ley esta formadapor n segmentos, con n tan grande como se quiera.
El concepto de Pieza Lineal Equivalente ha sido planteado por dos vıas: formulaciondebil y teorıa de distribuciones. En ambas situaciones se llega a que una pieza enregimen no lineal, es equivalente a una en regimen lineal, cuyas rigideces varıan portramos, y donde ademas hay que aplicar en los nodos unas cargas puntuales ficticiasque resultan de manera natural al establecer la equivalencia.
132
Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente
Se ha desarrollado el concepto de Pieza Lineal Equivalente tanto para problemas isotati-cos como hiperestaticos, dando lugar a dos metodologıas. Para los primeros problemasse determinan de entrada las dimensiones de la Pieza Lineal Equivalente y las cargasficticias y posteriormente se resuelve el problema lineal por elementos finitos. Por otraparte se ha desarrollado una metodologıa general ligada al concepto de Pieza LinealEquivalente que permite abordar tanto problemas isotaticos como hiperestaticos. Lamisma procede gradualmente en el calculo mediante una homotopıa determinandosela Pieza Lineal Equivalente al final de proceso, simultaneamente con el calculo de lapieza.
Asimismo se ha contestado a la pregunta de que sucederıa con las cargas puntuales fic-ticias, si la pieza se dividiera en un numero cada vez mayor de elementos finitos, es decirque n→∞ y al mismo tiempo el tamano de todos ellos tendiera a cero. El resultado hasido que existe una carga distribuida ficticia, que permite transformar el problema nolineal inicial y de seccion constante, en otro de seccion variable y con comportamientolineal del material. Para el mismo se ha considerado un modulo de elasticidad E, cuyovalor es la pendiente de la recta tangente a la curva tension-deformacion en el origen.Se ha extendido por tanto el concepto de Pieza Lineal Equivalente del caso discreto alcaso continuo.
Se ha realizado un ejemplo de aplicacion y se han comparado los resultados obtenidoscon los de la solucion exacta, ası como, con los de otros metodos numericos.
133
CAPITULO 5
Analisis no lineal de la viga yviga-columna de Timoshenko
5.1 Introduccion
En el presente capıtulo se aplica el concepto de Pieza Lineal Equivalente, descrito enel capıtulo anterior, para resolver el problema de la viga y viga-columna en regimen nolineal y con deformacion por cortante, utilizando el modelo de Timoshenko.
El concepto de Pieza Lineal Equivalente, aplicada a la viga-columna de Timoshenko,fue planteado por [Romero et al., 2007], para una relacion no lineal momento-derivadade giro, pero con la simplificacion de considerar una ley lineal cortante-deformacionpor cortante. Sin embargo, el desarrollo que aquı se hace extiende el concepto citado acasos de gran interes, como es el del hormigon estructural, donde es necesario considerarrelaciones no lineales cortante-deformacion por cortante.
En el siguiente apartado se formula el problema para la viga de Timoshenko, aplicandoel concepto de Pieza Lineal Equivalente mediante formulacion variacional. Se omiteel planteamiento basado en la teorıa de distribuciones por ser un proceso similar alseguido para la barra. En el desarrollo realizado, ademas de los momentos puntualesficticios, aparecen dos elementos nuevos como son: las cargas puntuales ficticias y losmomentos distribuidos ficticios.
Asimismo, se muestran dos metodologıas de resolucion, una que es aplicable al casode piezas isostaticas y otra mas general que se puede aplicar a problemas isostaticos ohiperestaticoss. Tambien se desarrolla un ejemplo de aplicacion con el fin de exponercon detalle dichas metodologıas.
Posteriormente, se extiende el concepto de Pieza Lineal Equivalente para la viga-columna de Timoshenko. En este caso no es posible conocer de entrada los esfuerzosen la pieza, por tanto, la resolucion del problema se aborda aplicando la metodologıageneral. Igualmente se desarrolla un ejemplo de aplicacion para la viga-columna.
Finalmente, en el ultimo apartado se expone un resumen y las conclusiones de estecapıtulo.
135
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
5.2 Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
5.2.1 Formulacion del problema de la viga de Timoshenko en regimen no lineal
El sistema de ecuaciones diferenciales de la viga de Timoshenko, tal y como se expusoen el apartado 2.2.1 del segundo capıtulo, se puede obtener a partir de las ecuacionesde equilibrio siguientes:
−Q′ = f(x), −M ′ −Q = 0
Teniendo en cuenta que las relaciones constitutivas, en regimen lineal, para el momentoy el esfuerzo cortante son las siguientes:
M = EIdψ
dx, Q = ksGA
(dw
dx− ψ
)se tiene entonces que el sistema de ecuaciones diferenciales, que rige la viga de Timos-henko, en regimen lineal es:
[ksGA (w′ − ψ)]′ = f(x)
− (EIψ′)′ − ksGA(w′ − ψ) = 0(5.1)
Por otra parte, si la relacion entre momento y derivada del giro (tambien denominadapseudo-curvatura [Challamel, 2011]) y la relacion cortante-deformacion por cortantevienen dados por una expresion no lineal, creciente y con derivada decreciente, tal ycomo se muestra en la Figura 5.1, entonces el sistema de ecuaciones que rige el modelode viga de Timoshenko es no lineal.
ψ′
Φ(ψ′)M
(a)
γ
ϕ(γ)Q
(b)
Figura 5.1. Comportamiento no lineal del material: (a) momento-derivada de giro y (b)cortante-deformacion por cortante
Por tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales de la viga de Timoshenko en regimenno lineal, teniendo en cuenta que M = Φ(ψ′) y Q = ϕ(γ) es:
− [ϕ(γ)]′ = f(x)
− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(γ) = 0(5.2)
136
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
El argumento γ de la funcion ϕ es γ = w′ − ψ y el sistema anterior se puede poner enla forma:
− [ϕ(w′ − ψ)]′ = f(x)
− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(w′ − ψ) = 0(5.3)
Para el sistema anterior se define un problema de contorno de n puntos, xi, i = 1, ..., n,en el dominio formado por la union de los elementos [xi, xi+1] , i = 1, ..., n− 1.
La formulacion variacional del problema lineal, dado por la expresion (5.1), se obtiene,
realizando la ponderacion usual en el correspondiente sistema, con V =[v φ
]Ty
tras el correspondiente proceso de integracion por partes en el subintervalo generico[α, β] = [xi, xi+1], resulta:
ˆ β
α
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =
ˆ β
α
f(x)v dx
+ [vα φα vβ φβ]
− [K(w′ − ψ)]α+
− [Hψ′]α+
[K(w′ − ψ)]β−[Hψ′]β−
(5.4)
donde H = EI y K = ksGA, como se menciono en el capıtulo 2, representan la rigideza flexion y a cortante de la viga, respectivamente. El ultimo termino de la expresionanterior, que representa las cargas nodales de equilibrio, se pueden expresar tambienen la forma:
(Hψ′)′|α+
−(Hψ′)|α+
−(Hψ′)′|β−(Hψ′)|β−
La formulacion variacional para el problema no lineal, siguiendo los pasos usuales es:
ˆ β
α
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =
ˆ β
α
f(x)v dx
+ [vα φα vβ φβ]
−ϕ(γ)|α+
−Φ(ψ′)|α+
ϕ(γ)|β−Φ(ψ′)|β−
(5.5)
Del mismo modo que en el caso de la barra, se supone ahora que tanto el diagramamomento-derivada del giro y cortante-deformacion por cortante, se aproximan por unasleyes poligonales (de n segmentos), como se muestra en la Figura 5.2.
137
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
ψ′
Φ(ψ′)M
ψ′0 ψ′
1 ψ′2
B2
B1 A0ψ
′
A1ψ′ +
B1
A2ψ′ +B2
(a)
γ
ϕ(γ)Q
γ0 γ1 γ2
D2
D1 C0γ
C1γ +
D1
C2γ +D2
(b)
Figura 5.2. Leyes del material y aproximacion poligonal: (a) momento-derivada de giro y (b)cortante-deformacion por cortante
Hay que destacar que el numero n de segmentos de la poligonal puede ser tan grandecomo se desee. En el intervalo generico [α, β] = [xi, xi+1], las relaciones entre momentoderivada del giro y cortante deformacion por cortante vienen dadas por:
Φ(ψ′) = aiψ′ + bi (5.6)
ϕ(γ) = ciγ + di, γ = w′ − ψ (5.7)
En las expresiones anteriores, con notacion relativa al elemento, los terminos ai y cirepresentan respectivamente, la rigidez a flexion y la rigidez a cortante de la viga encada intervalo (que en el caso lineal vienen dadas por H y K respectivamente) y secorresponden con los valores de las pendientes de los segmentos de las poligonales dela Figura 5.2.
Sustituyendo las expresiones (5.6) y (5.7) en (5.2) se tiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales:
− [ci(w′ − ψ) + di]
′ = f(x)
− [aiψ′ + bi]
′ − [ci(w′ − ψ) + di] = 0
(5.8)
Sistema que es equivalente a:− [ci(w
′ − ψ)]′ = f(x)
− [aiψ′]′ − ci(w′ − ψ) = di
(5.9)
donde la segunda ecuacion indica que existe un momento distribuido de valor di porunidad de longitud.
138
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Realizando la ponderacion del sistema (5.8), con V =[v φ
]T, en el intervalo generico
[α, β], la formulacion variacional queda de la siguiente forma:
−ˆ β
α
(aiψ′ + bi)
′φdx−
ˆ β
α
[ci(w′ − ψ) + di]φdx−
ˆ β
α
[ci(w′ − ψ) + di]
′v dx =
ˆ β
α
f(x)v dx
(5.10)
Realizando la correspondiente integracion por partes se obtiene:
ˆ β
α
(aiψ′ + bi)φ
′ dx−ˆ β
α
[ci(w′ − ψ) + di]φ dx+
ˆ β
α
[ci(w′ − ψ) + di] v
′ dx =
=
ˆ β
α
f(x)v dx+ [vα φα vβ φβ]
− [ci(w
′ − ψ) + di]α+
− (aiψ′ + bi)|α+
[ci(w′ − ψ) + di]β−
(aiψ′ + bi)|β−
(5.11)
ˆ β
α
[aiψ′φ′ + ci(w
′ − ψ)(v′ − φ)] dx =
ˆ β
α
f(x)v dx+
ˆ β
α
diφ dx−ˆ β
α
biφ′ dx
−ˆ β
α
div′ dx+ [vα φα vβ φβ]
− [ci(w
′ − ψ) + di]α+
− (aiψ′ + bi)|α+
[ci(w′ − ψ) + di]β−
(aiψ′ + bi)|β−
(5.12)
La expresion (5.12) representa la formulacion variacional de una viga de Timoshenko enregimen no lineal, cuyos diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacionpor cortante vienen definidas por una ley poligonal. Para obtener la expresion en todoel dominio xi, i = 1, ..., n se aplica la propiedad aditiva de la integral, respecto a launion de dominios.
Para el caso en regimen lineal se tiene:
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)
]dx =
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
f(x)v dx
+n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
−K(w′ − ψ)|xi+−Hψ′|xi+
K(w′ − ψ)|xi+1−
Hψ′|xi+1−
ˆ xn
x1
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)
]dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx
+n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
−K(w′ − ψ)|xi+−Hψ′|xi+
K(w′ − ψ)|xi+1−
Hψ′|xi+1−
(5.13)
con vi = v(xi), φi = φ(xi), vi+1 = v(xi+1) y φi+1 = φ(xi+1).
139
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Para el problema no lineal se tiene:
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
f(x)v dx
+n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
−ϕ(γ)|xi+−Φ(ψ′)|xi+ϕ(γ)|xi+1
−
Φ(ψ′)|xi+1−
ˆ xn
x1
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx
+n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
−ϕ(γ)|xi+−Φ(ψ′)|xi+ϕ(γ)|xi+1
−
Φ(ψ′)|xi+1−
(5.14)
Para el problema no lineal con ley poligonal:
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
[aiψ′φ′ + ci(w
′ − ψ)(v′ − φ)] dx =
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
f(x)v dx+
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
diφdx
+
n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
− [ci(w
′ − ψ) + di]xi+
− (aiψ′ + bi)|xi
+
[ci(w′ − ψ) + di]xi+1
−
(aiψ′ + bi)|xi+1
−
−n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
biφ′ dx−
n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
div′ dx (5.15)
Desarrollando los dos ultimos terminos de la expresion (5.15) se tiene:
−n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
biφ′ dx =−
n−1∑i=1
bi (φi+1 − φi)
=− b1(φ2 − φ1)+
− b2(φ3 − φ2)+
...
− bn−2(φn−1 − φn−2)+
− bn−1(φn − φn−1) (5.16)
−n−1∑i=1
ˆ xi+1
xi
div′ dx =−
n−1∑i=1
di (vi+1 − vi)
=− d1(v2 − v1)+
− d2(v3 − v2)+
...
− dn−2(vn−1 − vn−2)+
− dn−1(vn − vn−1) (5.17)
140
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Agrupando de forma adecuada los terminos de las expresiones (5.16) y (5.17) resulta:
−n−1∑i=1
bi (φi+1 − φi) = [b1φ1 + (b2 − b1)φ2+, ..., (bn−2 − bn−1)φn−1 − bn−1φn]
= b1φ1 +n−1∑i=2
(bi − bi−1)φi − bn−1φn (5.18)
−n−1∑i=1
di (vi+1 − vi) = [d1v1 + (d2 − d1)v2+, ..., (dn−2 − dn−1)vn−1 − dn−1vn]
= d1v1 +n−1∑i=2
(di − di−1)vi − dn−1vn (5.19)
Sustituyendo (5.18) y (5.19) en la expresion (5.15), la formulacion variacional del pro-blema de una viga con deformacion por cortante en regimen no lineal, con leyes poli-gonales momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante (vease Figura5.2), queda finalmente expresada de la siguiente manera:
ˆ xn
x1
[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx+
+
n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
− [ci(w
′ − ψ) + di]α+
− (aiψ′ + bi)|α+
[ci(w′ − ψ) + di]β−
(aiψ′ + bi)|β−
+
ˆ xn
x1
D(x)φdx
+
[b1φ1 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)φi − bn−1φn]
+
[d1v1 +
n−1∑i=2
(di − di−1)vi − dn−1vn]
(5.20)
con:
A(x) =
a1, (x1, x2)...ai, (xi, xi+1)...an−1, (xn−1, xn)
C(x) =
c1, (x1, x2)...ci, (xi, xi+1)...cn−1, (xn−1, xn)
D(x) =
d1, (x1, x2)...di, (xi, xi+1)...dn−1, (xn−1, xn)
(5.21)
Tal y como se puede ver en la expresion (5.20), los tres ultimos terminos del segundomiembro representan lo siguiente: el primero unos momentos distribuidos ficticios a lolargo de la viga, como ya se indicaba en (5.9), el segundo unos momentos puntualesficticios y el tercero unas cargas puntuales ficticias, los dos ultimos aplicados en losnodos de la viga.
Donde el termino ficticio, se utiliza del mismo modo que en el caso de la barra desa-rrollado en el capıtulo 4, para indicar la presencia de acciones que no existen en elproblema original no lineal.
Para el caso de la viga con deformacion por cortante en regimen no lineal con leyespoligonales (momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante), el pro-blema variacional para el intervalo Ω = [0, L], y por ejemplo, para condiciones de
141
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
contorno esenciales de tipo homogeneo (pieza empotrada en los extremos x = x1 = 0 yx = xn = L), sometida a un carga transversal distribuida f(x) y sin cargas puntualesen el interior del dominio, consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω) tal que:
ˆ L
0
[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =
ˆ L
0
f(x)v dx+
ˆ L
0
D(x)φdx+[b10 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)φi − bn−10
]+
[d10 +
n−1∑i=2
(di − di−1)vi − dn−10
], ∀(v, φ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω)
(5.22)
donde v1 = φ1 = vn = φn = 0, al estar la viga empotrada en ambos extremos. H1(Ω)es el espacio de Sobolev, H1(Ω) = g/g, g′ ∈ L2(Ω), y H1
0 (Ω) el formado por loselementos del espacio anterior que se anulan en los extremos del dominio, es decir,H1
0 (Ω) = g ∈ H1(Ω)/g(0) = g(L) = 0.
Para el caso en regimen no lineal, con las mismas condiciones del problema anterior, elproblema variacional consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω) tal que:
ˆ L
0
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =
ˆ L
0
f(x)v dx, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)xH1
0 (Ω) (5.23)
De todo lo anterior se tiene el siguiente teorema de equivalencia:
La expresion (5.22) representa la formulacion debil de una viga de Timoshenko enregimen lineal con rigideces (a flexion y a cortante) constantes a trozos, con una cargatransversal repartida, f(x), un momento distribuido ficticio, D(x), unos momentospuntuales ficticios, bi − bi−1, y unas cargas puntuales ficticias, di − di−1, estos dosultimos aplicados en los nodos internos.
La ecuacion de equilibrio local de elementos finitos, para el elemento generico [α, β] =[xi, xi+1], empleando como funciones de aproximacion y de ponderacion funciones queson solucion del problema homogeneo (vease apartado 3.2.1), para la pieza con rigidezconstante a trozos es: Ke
w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
=
f e1f e2f e3f e4
+
qe1qe2qe3qe4
+
dibi−di−bi
(5.24)
donde los elementos de la matriz local Ke son:
kelm(ai, ci) =
ˆ β
α
[aiN′2lN
′2m + ci (N
′1l −N2l) (N ′1m −N2m)] dx, l,m = 1, ..., 4 (5.25)
con N1l, N2l, i = 1, ..., 4 funciones de forma que son las mismas que se muestran en elapartado 3.2.1, dadas por la expresion (3.13), con la particularidad de que m = H/Ken este caso es m = ai/ci.
Las componentes del vector de cargas nodales equivalente son:
f el =
ˆ β
α
[f(x)N1l + diN2l] dx, l = 1, ..., 4 (5.26)
142
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Las componentes del vector de cargas nodales de equilibrio son:
qe1 = − [ci(w′ − ψ) + di]α+
qe2 = − (aiψ′ + bi)|α+
qe3 = [ci(w′ − ψ) + di]β−
qe4 = (aiψ′ + bi)|β−
El ultimo termino de la expresion (5.24) da lugar, en la ecuacion de equilibrio globalresultante de ensamblar las ecuaciones locales, a los momentos puntuales ficticios y alas cargas puntuales ficticias en los nodos de la viga. Por otra parte, el momento distri-buido ficticio, D(x), esta contemplado dentro del vector de cargas nodales equivalentes,expresion (5.26).
A continuacion se trata de visualizar todo el desarrollo anterior, aplicado al analisis deuna viga en regimen isostatico, de longitud L, y seccion S constante. Las condicionesde vınculo y estado de carga se muestran en la Figura 5.3a, con un comportamientono lineal del material (vease Figura 5.1). Como el problema es isostatico, se conocenlos diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes en toda la viga, tal como semuestra en la Figura 5.3b y 5.3c.
Figura 5.3. Viga en voladizo: (a) esquema de carga, (b) ley de momentos flectores y (c) leyde esfuerzos cortantes
143
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Considerando, por ejemplo, una discretizacion en tres elementos de igual longitud,al conocer los esfuerzos (momentos y cortantes) en cada punto de la viga, es posibleaproximar los diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion de cortante,por diagramas trilineales, tal y como se muestra en las Figuras 5.4 y 5.5.
Figura 5.4. Ley de momentos flectores en la viga y su correspondencia con el diagramamomento-derivada de giro
De esta manera se determinan las pseudo-curvaturas sci = ψ′(xi), i = 1, ..., 4 (derivadasde giro) y las deformaciones por cortante gi = γ(xi), i = 1, ..., 4, en los nodos de ladiscretizacion.
Figura 5.5. Ley de esfuerzos cortantes en la viga y su correspondencia con el diagramacortante-deformacion por cortante
Asimismo, en la Figura 5.6 se ha dibujado la viga en estado deformado indicando laspseudo-curvaturas, sci, i = 1, ..., 4 y las deformaciones por cortante, gi, i = 1, ..., 4, allado de los correspondientes nodos.
144
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Figura 5.6. Viga en estado deformado
La ecuacion de equilibrio global del problema es:
k111 k112 k113 k114 0 0 0 0
k121 k122 k123 k124 0 0 0 0
k131 k132 k133 + k211 k134 + k212 k213 k214 0 0
k141 k142 k143 + k221 k144 + k222 k223 k224 0 0
0 0 k231 k232 k233 + k311 k234 + k312 k313 k314
0 0 k241 k242 k243 + k321 k244 + k322 k323 k324
0 0 0 0 k331 k332 k333 k334
0 0 0 0 k341 k342 k343 k344
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
=
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
+
+
−[c1(w′(x+1 )− ψ(x+1 )
)+ d1
]−(a1ψ
′(x+1 ) + b1)
[c1(w′(x−1 )− ψ(x−1 )
)+ d1
]−[c2(w′(x+2 )− ψ(x+2 )
)+ d2
](a1ψ
′(x−1 ) + b1)−(a2ψ
′(x+2 ) + b2)
[c2(w′(x−2 )− ψ(x−2 )
)+ d2
]−[c3(w′(x+3 )− ψ(x+3 )
)+ d3
](a2ψ
′(x−2 ) + b2)−(a3ψ
′(x+3 ) + b3)
[c3(w′(x−3 )− ψ(x−3 )
)+ d3
](a3ψ
′(x−3 ) + b3)
+
d1
b1
d2 − d1
b2 − b1
d3 − d2
b3 − b2
−d3
−b3
(5.27)
145
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Aplicando las condiciones de contorno esenciales, u1 = u2 = 0, y las naturalesQ(x4) = 0y M(x4) = 0, y como no hay acciones puntuales en el interior del dominio, se tiene elsiguiente sistema reducido:
k133 + k2
11 k134 + k2
12 k213 k2
14 0 0
k143 + k2
21 k144 + k2
22 k223 k2
24 0 0
k231 k2
32 k233 + k3
11 k234 + k3
12 k313 k3
14
k241 k2
42 k243 + k3
21 k244 + k3
22 k323 k3
24
0 0 k331 k3
32 k333 k3
34
0 0 k341 k3
42 k343 k3
44
u3
u4
u5
u6
u7
u8
=
F3
F4
F5
F6
F7
F8
+
d2 − d1
b2 − b1d3 − d2
b3 − b2−d3 = 0
−b3 = 0
(5.28)
donde el ultimo sumando de la derecha representa las cargas puntuales ficticias y losmomentos puntuales ficticios, aplicados en los nodos internos de la viga. El momentodistribuido ficticio, D(x), esta considerado dentro del vector de cargas cargas nodalesequivalentes (primer sumando de la derecha) como ya se menciono anteriormente.
De acuerdo con la formulacion debil, expresion (5.20), la solucion w(x) y ψ(x) delproblema de una viga en regimen no lineal, es tambien solucion de un problema enregimen lineal donde las rigideces a flexion y a cortante varıan por tramos, y dondeademas hay que aplicar en los puntos intermedios unos momentos y cargas puntualesficticias, ası como un momento distribuido ficticio.
De lo anterior se tiene que las dos vigas tienen la misma deformada, pudiendose es-tablecer la analogıa que se indica en la Figura 5.7, donde la viga en regimen linealpodemos denominarla como Pieza Lineal Equivalente (o en este caso, como viga linealequivalente). Se tiene ademas el cuadro comparativo de la Tabla 5.1.
Pieza en regimen no lineal
Problema variacional
Obtener (w,ψ) ∈ H10 (Ω)xH1
0 (Ω) tal que:´ L0
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =´ L
0f(x)v dx, ∀(v, φ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω)
H10 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0
Pieza Lineal Equivalente
Problema variacional
Obtener (w,ψ) ∈ H10 (Ω)xH1
0 (Ω) tal que:´ L0
[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =´ L
0f(x)v dx+
´ L0D(x)φ dx+
+b10 +3∑i=2
(bi − bi−1)φi − 0φ4 + d10 +3∑i=2
(di − di−1)vi − 0v4, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)xH1
0 (Ω)
H10 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0
Tabla 5.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la Pieza LinealEquivalente
146
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Figura 5.7. Equivalencia entre el problema no lineal y lineal: (a) viga en regimen no lineal y(b) viga lineal equivalente
5.2.2 Metodo para Problemas Isostaticos
Hasta ahora se ha analizado un problema isostatico en regimen no lineal del materialpara las vigas con deformacion por cortante para las que se conocen las leyes de mo-mentos y cortantes en toda la pieza. Por tanto, tal y como se ha expuesto, ha resultadoinmediato determinar la distribucion de rigideces a flexion y a cortante en la misma.En resumen, para la viga en el caso isostatico se puede determinar de entrada cual esla Pieza Lineal Equivalente, tal y como se ha hecho para el caso indicado en la Figura5.3. Dicha pieza se puede calcular con sencillez, aplicando por ejemplo, el metodo deelementos finitos ya en regimen lineal.
147
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
A continuacion se describen los pasos a seguir para los casos isostaticos:
1. Se discretiza la viga en n elementos.
2. Se calculan los momentos y los esfuerzos cortantes en cada nodo de la pieza.
3. Con los momentos y esfuerzos cortantes de cada nodo, se entra respectivamenteen las leyes M − ψ′ y Q − γ de la seccion, y se obtienen los valores de lasdeformaciones ψ′i y γi, i = 0, ..., n.
4. Se calculan las rigideces ai y ci, i = 1, ..., n, ası como, los valores de bi y di,i = 1, ..., n de cada uno de los elementos en los que se ha discretizado la pieza,y de estos ultimos los momentos puntuales ficticios, Mi = bi − bi−1 y las cargaspuntuales ficticias Pi = di − di−1.
5. Finalmente con las rigideces obtenidas (ai y ci), las cargas iniciales y las car-gas y momentos ficticios, se calcula mediante elementos finitos la Pieza LinealEquivalente resultante.
5.2.3 Metodo General
Esta metodologıa general se aplica en la resolucion de problemas de vigas en los casostanto isostatico como hiperestaticos. En la misma se determina la Pieza Lineal Equiva-lente, pero al final del proceso, utilizando, como en el caso de la barra, una homotopıaque permite transformar gradualmente unas leyes constitutivas lineales en otras nolineales que son las que definen el comportamiento del material. A continuacion sedetalla los pasos a seguir.
1. Se discretiza la pieza en n elementos finitos.
2. Se considera unas leyes lineales momento-derivada de giro, M − ψ′ (o pseudo-curvatura) y cortante deformacion por cortante, Q−γ, que pueden ser tangentes osecantes a la leyes no lineales del problema planteado. De esta manera se obtienenlas rigideces (a flexion y a cortante) iniciales en cada elemento.
3. Se resuelve el problema lineal con las condiciones de contorno del problema nolineal, es decir se calcula los desplazamientos y giros, en los nodos, y las defor-maciones (derivada de giro, ψ′, y deformacion por cortante, γ) en cada elemento.En este caso no son necesarias las correcciones ya que ψ′ y γ, por la izquierda ypor la derecha en cada nodo son iguales en ausencia de cargas puntuales, y enotros casos lo que corresponda de acuerdo con dichas cargas.
4. Se avanza en la homotopıa, de modo que las leyes momento-derivada de giro, M−ψ′, y cortante deformacion por cortante, Q−γ, dejan de ser lineales. Con las ψ′ yγ del paso anterior se entra a estas nuevas leyes y se obtienen las nuevas rigidecesde cada elemento y tambien las cargas y momentos puntuales ficticios, ası como,el momento distribuido ficticio, calculados con estas rigideces y deformacionesconocidas.
148
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
5. Se resuelve con estas rigideces y estas cargas el problema correspondiente a lapieza lineal resultante. Ahora las deformaciones, ψ′ y γ, por la izquierda y porla derecha de elementos adyacentes en el nodo no son iguales, lo que requiere,sin avanzar en las homotopıas, realizar cierto numero bajo de correcciones hastaconseguir un cierto nivel de compatibilidad de deformaciones.
6. Se avanza nuevamente en la homotopıa y se vuelven a repetir los pasos 4 y 5respectivamente. Y ası sucesivamente hasta llegar al ultimo paso de la homotopıa,para el cual las leyes, momento-derivada de giro y cortante deformacion porcortante, son las dadas inicialmente para el problema no lineal. Realizando lascorrecciones necesarias hasta alcanzar un nivel de compatibilidad aceptable en lasdeformaciones (ψ′ y γ), llegando ası a la solucion del problema no lineal inicial,al tiempo que queda definida la Pieza Lineal Equivalente
5.2.4 Ejemplo de aplicacion
En este ejemplo se aborda el calculo en regimen no lineal de los desplazamientos y girosde las secciones y de las leyes de esfuerzos de una viga con deformacion por cortante, delongitud L = 4, 0 m, con las condiciones de vınculo, carga y caracterısticas geometricasque se muestran en la Figura 5.8. Las caracterısticas del material se pueden ver en laTabla 5.2.
Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. Para la obtencion de estosdiagramas se han seguido los procedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4,y los mismos se muestran en las Figuras 5.9 y 5.10.
Figura 5.8. Viga en voladizo. Caracterısticas geometricas y estado de carga
149
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Hormigon Refuerzo Refuerzo(MPa) longitudinal (MPa) transversal (MPa)
Ec = 35600fc = 49, 9 Es = 200000 Es = 200000fsp = 3, 6 fy = 5000 fy = 530fct = 2, 88
Tabla 5.2. Caracterısticas del material (tomado de [Mohr et al., 2010])
0 1 2 3 4 5 6 7 8
·10−3
0
50
100
150
200
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 5.9. Diagrama momento-derivada de giro
0 1 2 3 4 5
·10−4
0
20
40
60
80
100
120
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 5.10. Diagrama cortante-deformacion por cortante
Para resolver el problema se procede por las dos vıas desarrolladas: el metodo paraproblemas isostaticos, y con el metodo general expuesto en los apartados anteriores.
150
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Para obtener la Pieza Lineal Equivalente en el problema isostatico se procede de lasiguiente manera.
Se discretiza la viga en n = 6 elementos, que se toman de diferente longitud con objetode que las dos leyes poligonales se ajusten mejor a los diagramas, momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante. Dicha discretizacion se muestra en la Figura5.11.
Figura 5.11. Discretizacion de la viga
Se calculan las leyes de esfuerzos (momentos y cortantes) en cada nodo de la pieza. Conlos momentos y esfuerzos cortantes de cada nodo se entra a las leyes M−ψ′ y Q−γ delmaterial y se obtienen los valores de las deformaciones ψ′i, i = 0, ..., 6 y γi, i = 0, ..., 6,tal y como se muestra en las Figuras 5.12 y 5.13.
Figura 5.12. Correspondencia entre los momentos flectores en la viga y el diagramamomento-derivada de giro
En la Figura 5.12 se pueden ver simultaneamente las graficas de la ley de momentosflectores en la viga y de la relacion momento derivada de giro, mientras que en la Figura5.13 se puede ver simultaneamente la ley de esfuerzos cortantes en la viga y el diagramacortante-deformacion por cortante.
En ambas Figuras se puede observar la correspondencia entre los nodos de la pieza consus correspondientes derivada de giro, sc, y deformacion por cortante, g. Se obtienenfinalmente las rigideces ai y ci, i = 1, ..., n, ası como, los valores de bi, y di, i = 1, ..., nde cada uno de los elementos en los que se ha discretizado la pieza.
Los diagramas poligonales, momento-derivada de giro y cortante deformacion por cor-tante, se muestran en las Figuras 5.14 y 5.15 respectivamente.
151
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Figura 5.13. Correspondencia entre los esfuerzos cortantes en la viga y el diagramacortante-deformacion por cortante
Figura 5.14. Aproximacion del diagrama momento-derivada de giro con una ley poligonal
Figura 5.15. Aproximacion del diagrama cortante-deformacion por cortante con una leypoligonal
152
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Teniendo en cuenta los valores de las Figuras 5.14 y 5.15, se han dibujado simultanea-mente los diagramas originales y poligonales de las curvas momento-derivada de giro ycortante-deformacion por cortante, tal como se muestra en la Figura 5.16
0 1 2 3 4 5 6 7
·10−3
0
50
100
150
200
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(a)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
·10−4
0
20
40
60
80
100
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(b)
Figura 5.16. Diagramas originales y aproximacion poligonal de: (a) momento-derivada degiro y (b) cortante-deformacion por cortante
Con los valores de rigideces, Ai y Ci, ası como, con los valores de Bi y Di, que semuestran en las Figuras 5.14 y 5.15, se obtiene la Pieza Lineal Equivalente para elproblema isostatico como se muestra en la Figura 5.17. Con los datos y esquema dedicha figura, se calculan, por el metodo de elementos finitos los desplazamientos y losgiros de la Pieza Lineal Equivalente.
Tambien se resuelve el problema aplicando la metodologıa general de la Pieza LinealEquivalente, siguiendo los pasos descritos en el apartado 5.2.3. Para ello se parte de leyeslineales tangentes en el origen a los diagramas originales, para el diagrama momento-derivada de giro y para el cortante-deformacion por cortante, lo cual permite determinarunos valores de ψ′i y γi, i = 0, ...n iniciales, utilizando una rigidez constante en todala viga. A partir de este primer calculo el proceso sigue con el paso correspondiente alpaso de homotopıa λ = 0.5.
153
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Figura 5.17. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico
Los valores de λ para avanzar en la homotopıa son 0.70, 0.90 y 1.0. En cada pasode homotopıa se considera un cierto numero de correcciones fijado, (en este caso 3),excepto para el paso final que se aumenta dicho numero, de modo que los resultadosse estabilicen para la precision utilizada.
En las Tablas 5.3 y 5.4 se pueden ver los resultados del proceso de homotopıa seguido.En el paso de homotopıa 4, cuando las relaciones M − ψ′ y Q − γ son las finales,correspondientes a λ = 1, tanto la derivada del giro como la deformacion por cortante,en el extremo empotrado (sc1 y g1), se estabilizan en la iteracion 11.
Con los valores de ai y Mi de la ultima fila de la Tabla 5.3, ası como, con los valores deci y Pi de la ultima fila de la Tabla 5.4 se obtiene finalmente la Pieza Lineal Equivalentecomo se muestra en la Figura 5.18.
En la Tabla 5.5 se pueden ver los desplazamientos y los giros en los nodos, que seobtienen resolviendo la Pieza Lineal Equivalente del problema isostatico (vease Figura5.17) y los que resultan aplicando el metodo general.
Los resultados obtenidos, tanto para desplazamientos, como para giros, difieren muypoco. La diferencia es debido a que existe una pequena variacion de las rigideces, taly como se muestra en la Tabla 5.6. La diferencia de rigideces (a cortante) se puedeobservar principalmente en los elementos 2 y 3, ya que en el resto de los elementos lasrigideces (a flexion y cortante) son practicamente iguales.
154
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Hom
ot.
iter.
w7(mm
)sc
1(rad/m
)a1(K
Nm
2)
a2
a3
a4
a5
a6
M2(K
N)
M3
M4
M5
M6
lin
eal
-7,
3085
0,00
1798
3811
5660
115660
115660
115660
115660
115660
00
00
0
1(λ
=0.
5)1
9,60
260,
0025
9008
7131
6,8
71500,3
72274,6
78288,5
102915
114225
-0,3
1-1
,04
-5,6
8-1
3,4
0-2
,86
39,
6277
0,00
2591
7771
105,
871180,2
71512,2
75140,4
100655
114194
-0,1
8-0
,61
-4,3
8-1
5,0
7-3
,47
2(λ
=0.
7)1
11,5
969
0,00
3280
6353
284,
153388,3
53853
58931,3
94652,8
1136608
-0,2
5-0
,86
-6,1
4-2
1,1
0-4
,86
311
,615
40,
0032
8040
5333
0,1
53287,5
53536,3
57154,9
92652
113590
0,1
3-0
,57
-5,1
8-2
2,0
4-5
,39
3(λ
=0.
9)1
15,5
301
0,00
4659
1235
521,
635466,8
35786,5
40438
86077,2
112988
0,1
6-0
,73
-6,6
6-2
8,3
4-6
,93
315
,584
30,
0046
6633
3517
035424,3
35518,4
38260,2
82276,9
112974
-1,0
8-0
,30
-5,1
6-2
9,4
1-7
,95
4(λ
=1.
0)
119
,557
70,
0060
7163
2622
6,6
26509,3
26613,7
29658,3
78654,3
112676
-1,2
0-0
,33
-5,7
3-3
2,6
8-8
,83
319
,730
10,
0062
9282
1971
1,5
25739
26550,7
28546
75455,9
112662
-33,2
5-3
,28
-4,6
5-3
3,1
1-9
,66
719
,741
10,
0063
2872
1884
625740,3
26550,6
28545
75453,3
112662
-38,0
3-3
,28
-4,6
5-3
3,1
0-9
,66
1019
,740
80,
0063
2985
1881
9,9
25740,3
26550,6
28545
74453,3
112662
-38,1
8-3
,28
-4,6
5-3
3,1
0-9
,66
1119
,741
60,
0063
2990
1881
8,6
25740,3
26550,6
28545
75453,3
112662
-38,1
8-3
,28
-4,6
5-3
3,1
1-9
,66
Ta
bla
5.3
.R
esu
ltad
osd
elp
roce
sod
eh
omot
opıa
,ri
gid
eza
flex
ion
(ai)
ym
omen
top
untu
alfi
ctic
io(M
i)
Hom
ot.
iter.
ψ7(rad)
g 1(m/m
)c 1
(KN
)c 2
c 3c 4
c 5c 6
P2(K
N)
P3
P4
P5
P6
lin
eal
-0,
0023
9784
0,00
0057
4718
0958
01809580
1809580
1809580
1809580
1809580
00
00
0
1(λ
=0.
5)1
0,00
3076
450,
0000
6716
1141
290
1224070
1406840
1616340
1734030
1792540
-4,5
8-9
,06
-8,7
3-3
,72
-1,2
63
0,00
3085
430,
0000
6789
1030
490
1100140
1309970
1589050
1730600
1792260
-4,4
6-1
1,4
6-1
2,2
0-4
,57
-1,3
4
2(λ
=0.
7)1
0,00
3664
370,
0000
7837
7187
35816188
1110020
1500850
1699000
1785330
-6,2
5-1
6,0
6-1
7,0
9-6
,40
-1,8
83
0,00
3671
280,
0000
7920
6522
52725849
1020840
1478830
1696830
1785170
-5,3
9-1
7,3
6-2
0,5
5-7
,10
-1,9
3
3(λ
=0.
7)1
0,00
4816
140,
0001
1415
3214
68415967
795242
1384300
1664610
1778190
-6,9
2-2
2,3
4-2
6,4
4-9
,13
-2,4
83
0,00
4835
080,
0001
2173
2845
95289215
609492
1346430
1661580
1777980
-4,2
9-2
2,3
5-3
4,1
8-1
0,3
6-2
,55
4(λ
=1.
0)
10,
0059
8399
0,00
0294
2474
903
119382
473539
1294200
1645130
1774470
-4,7
2-2
4,7
7-3
8,0
9-1
1,5
4-2
,84
30,
0060
2570
0,00
0352
9652
731,
959729,4
263766
1273150
1643340
1774350
-1,9
2-2
0,7
8-4
7,5
8-1
2,2
4-2
,88
70,
0060
2839
0,00
0352
9752
689,
959294,7
260197
1277220
1643330
1774350
-1,8
4-2
0,8
1-4
7,7
7-1
2,1
0-2
,88
100,
0060
2847
0,00
0352
9752
689,
959294,6
247410
1248890
1643330
1774350
-1,8
4-1
9,4
8-4
8,1
6-1
3,0
3-2
,88
110,
0060
2848
0,00
0352
9752
689,
959294,6
263495
1284170
1643330
1774350
-1,8
4-2
1,1
5-4
7,6
6-1
1,8
7-2
,88
Ta
bla
5.4
.R
esu
ltad
osd
elp
roce
sod
eh
omot
opıa
,ri
gid
eza
cort
ante
(ci)
yca
rga
pu
ntu
alfi
ctic
ia(P
i)
155
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Figura 5.18. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general
xi (m)
Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente
problema isostatico metodo general
w (mm) ψ (rad) w (mm) ψ (rad)
0 0,00000 0,000000000 0,00000 0,000000000
0,15 0,11553 0,000888093 0,11553 0,000888092
0,625 1,17882 0,003089470 0,94818 0,002794350
1,1 3,04816 0,004534710 3,04738 0,004533480
1,8 6,68001 0,005571820 6.67845 0,0055710590
2,5 10,73260 0,005899900 10,7302 0,005898670
4 19,74500 0,006029710 19,74070 0,006028480
Tabla 5.5. Desplazamientos y giros en la viga empleando 6 elementos
Esta diferencia puede hacerse cada vez menor si se aumenta el numero de iteracionesen el ultimo paso de homotopıa en el metodo general.Otra manera de mejorar losresultados, manteniendo el mismo numero de iteraciones, es discretizando la pieza enmas elementos. Para este caso particular, se dicretiza la pieza en 8 elementos, con elfin de adaptar mejor las leyes poligonales (en especial la del cortante-deformacion porcortante).
En la Figura 5.19 se puede ver la variacion de las rigideces (a flexion y a cortante)de cada uno de los elementos, donde ademas estos se pueden tomar con las longitu-
156
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
des adecuadas, de acuerdo con las leyes constitutivas. Con 8 elementos y variando lalongitud de cada uno de ellos, se obtiene una mejor aproximacion a las leyes originales(M − ψ′ y Q− γ).
elem.
Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente
problema isostatico metodo general
ai (kNm2) ci (kN) ai (kNm2) ci (kN)
1 18817,6 52689,9 18818,6 52689,9
2 25845,7 63294,1 25740,3 59294,6
3 26565,6 339294 26550,6 263495,0
4 28545 1265520 28545 1284170
5 75453,3 1643330 75453,3 1643330
6 112662 1774350 112662 1774350
Tabla 5.6. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) en la viga
0 1 2 3 4 5 6 7
·10−3
0
50
100
150
200
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6Elem. 7Elem. 8
(a)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
·10−4
0
20
40
60
80
100
γ (m/m)
Q(kN)
Q(γ)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6Elem. 7Elem. 8
(b)
Figura 5.19. Variacion de la rigidez de cada elemento: (a) rigidez a flexion y (b) rigidez acortante
Cuando se ha empleado la metodologıa general, se ha realizado el mismo numero deiteraciones que para el caso anterior (6 elementos), es decir 3 iteraciones para lashomotopıas intermedias y 11 iteraciones en el ultimo paso de homotopıa.
En la Tabla 5.7 se pueden ver los desplazamientos y los giros empleando 8 elementos.Ahora los resultados obtenidos son iguales, tanto para los desplazamientos como paralos giros. Asimismo, se puede ver en la Tabla 5.8 que no hay variacion en las rigideces.
Por otra parte, la diferencia de desplazamientos y giros en el extremo libre, empleando6 y 8 elementos, es mınima, tal y como se puede ver en las Tablas 5.5 y 5.7.
En las Figuras 5.20-5.23 se muestran los desplazamientos, giros, momentos y esfuerzoscortantes en toda la viga, respectivamente, obtenidos aplicando el metodo general.
157
5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko
Para los desplazamientos, Figura 5.20, y los giros, Figura 5.21, se muestran unicamen-te los resultados aproximados, mientras que para los momentos flectores y esfuerzoscortantes, Figuras 5.22 y 5.23, respectivamente, se tiene, ademas de los valores apro-ximados, los valores exactos de dichos esfuerzos ya que los mismos son conocidos deforma inmediata por tratarse de un problema isostaticos
elem.
Pieza Lineal Equivalente
problema isostatico metodo general
w (mm) ψ (rad) w (mm) ψ (rad)
0 0 0 0 0
0,15 0,11553 0,00088809 0,11553 0,00088809
0,575 1,02257 0,00289481 1,02257 0,00289480
0,9 2,17819 0,00400947 2,17819 0,00400947
1,6 5,57125 0,00537764 5,57124 0,00537764
1,95 7,51942 0,00565697 7,51942 0,00565696
2,5 10,71180 0,00587335 10,71180 0,00587335
3,25 15,18070 0,00598634 15,18070 0,00598634
4 19,68350 0,00600221 19,68350 0,00600221
Tabla 5.7. Desplazamientos y giros en la viga empleando 8 elementos
elem.
Pieza Lineal Equivalente
problema isostatico metodo general
ai (kNm2) ci (kN) ai (kNm2) ci (kN)
1 18817,6 52689,9 18818,6 52689,9
2 25778,2 60450,9 25778,2 60450,9
3 26564,8 204349 26564,8 204352
4 27034,6 995866 27034,6 995877
5 38467,9 1525870 38467,9 1525870
6 89956,8 1664140 89956,8 1664140
7 111844 1752500 111844 1752500
8 115186 1796750 115186 1796750
Tabla 5.8. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) en la viga
Como se menciono anteriormente, la diferencia empleando 6 y 8 elementos finitos, esmınima, en el caso de los desplazamientos y giros. Sin embargo, para los momentos,existe una mayor diferencia, especialmente en el extremo libre. Esto se debe a que lalongitud en dicho extremo es grande, cuando se emplean 6 elementos.
Los momentos flectores y esfuerzos cortantes son iguales, en ambos casos, a los de lasolucion exacta (vease Figuras 5.22 y 5.23).
158
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40
5
10
15
20
L (m)
Desplazamiento
(mm)
PLE 6 elem.PLE 8 elem.
Figura 5.20. Desplazamientos en toda la longitud de la viga
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40
1
2
3
4
5
6
·10−3
L (m)
Giro(rad
) PLE 6 elem.PLE 8 elem.
Figura 5.21. Giros en toda la longitud de la viga
Cabe destacar que si suponemos que los diagrama originales momento-derivada de gi-ro y cortante-deformacion por cortante son las poligonales de la Figura 5.16 (en casode emplear 6 elementos), la solucion obtenida mediante el concepto de Pieza LinealEquivalente serıa exacta en los nodos (desplazamientos y giros), ya que empleamos so-lucion nodal exacta. Si ademas empleamos el concepto de accion repartida equivalente,desarrollado en el capıtulo 3, es posible obtener la solucion exacta en el interior de loselementos.
159
5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40
50
100
150
200
L (m)
Mom
ento
(kN
.m)
Solucion exactaPLE 6 elem.PLE 8 elem.
Figura 5.22. Momentos flectores en toda la longitud de la viga
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40
25
50
75
100
L (m)
Cor
tante
(kN
)
Solucion exactaPLE 6 elem.PLE 8 elem.
Figura 5.23. Esfuerzos cortantes en toda la longitud de la viga
5.3 Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko
5.3.1 Formulacion del problema en regimen no lineal
El sistema de ecuaciones diferenciales de la viga-columna de Timoshenko, en regimenlineal deducida en el capıtulo 2, expresion (2.59) es:
− [K(w′ − ψ)]′ + Pw′′ = f(x)− (Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0
(5.29)
160
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
donde H y K, como se menciono en el capıtulo 2, representan la rigidez a flexion y acortante respectivamente. Como se puede ver el sistema de ecuaciones diferenciales dela viga-columna de Timoshenko difiere del sistema de la viga en el termino Pw′′, (verexpresion (2.16)).
Para el caso no lineal, donde las relaciones momento-derivada de giro y cortante defor-macion por cortante, vienen dadas por leyes no lineales como las que se muestran en laFigura 5.1, es decir con M = Φ(ψ′) y Q = ϕ(γ), el sistema de ecuaciones diferencialesde la viga-columna de Timoshenko queda como sigue:
− [ϕ(γ)]′ + Pw′′ = f(x)− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(γ) = 0
(5.30)
El argumento γ de la funcion ϕ es γ = w′ − ψ y el sistema anterior se puede poner enla forma:
− [ϕ(w′ − ψ)]′ + Pw′′ = f(x)
− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(w′ − ψ) = 0(5.31)
Para el caso no lineal, donde las relaciones momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, vienen dadas por una ley poligonal, es decir, Φ(ψ′) = aiψ
′+biy ϕ(γ) = ciγ + di (vease Figura 5.2), el sistema de ecuaciones diferenciales es:
− [ci(w′ − ψ) + di]
′ + Pw′′ = f(x)− [aiψ
′ + bi]′ − ci(w′ − ψ) + di = 0
(5.32)
Del mismo modo que en el caso de la viga, los terminos ai y ci representan respectiva-mente, la rigidez a flexion y la rigidez a cortante de la viga-columna en cada intervalo(que en el caso lineal se corresponden con H y K respectivamente).
Para las expresiones (5.29), (5.30) y (5.32) se define un problema de contorno de n,puntos xi = 1, ..., n, en el dominio formado por la union de los elementos [xi, xi+1] , i =1, ...n− 1.
La formulacion variacional del problema lineal, expresion (5.29) se obtiene, realizando
la ponderacion usual en el sistema original, con V =[v φ
]Ty tras el correspondiente
proceso de integracion por partes en el subintervalo generico [α, β] = [xi, xi+1], resulta:ˆ β
α
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =
ˆ β
α
f(x)v dx
+ [vα φα vβ φβ ]
−K(w′ − ψ) + Pw′|α+
−Hψ′|α+
K(w′ − ψ)− Pw′|β−
Hψ′|β−
(5.33)
El ultimo termino de la expresion anterior, que representa las cargas nodales de equi-librio, se pueden expresar tambien en la forma:
Hψ′′ + Pw′|α+
−Hψ′|α+
−Hψ′′ − Pw′|β−
Hψ′|β−
161
5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko
La formulacion variacional para el problema no lineal, siguiendo los pasos anterioreses:ˆ β
α
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)− Pw′v′
]dx =
ˆ β
αf(x)v dx
+ [vα φα vβ φβ]
−ϕ(γ) + Pw′|α+
−Φ(ψ′)|α+
ϕ(γ)|β−Φ(ψ′)− Pw′|β−
(5.34)
De la misma manera, la formulacion variacional para el problema no lineal con leypoligonal, expresion (5.32), es:ˆ β
α
[aiψ′φ′ + ci(w
′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′]dx =
ˆ β
αf(x)v dx+
ˆ β
αdiφdx−
ˆ β
αbiφ′ dx
−ˆ β
αdiv′ dx+ [vα φα vβ φβ]
− [ci(w
′ − ψ) + di] + Pw′|α+
− (aiψ′ + bi)|α+
[ci(w′ − ψ) + di]− Pw′|β−
(aiψ′ + bi)|β−
(5.35)
La expresion (5.35) representa la formulacion variacional de una viga-columna de Ti-moshenko en regimen no lineal, cuyos diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante se han aproximado por leyes poligonales (vease Figura 5.2).
Para obtener la solucion en todo el dominio xi, i = 1, ..., n, se siguen los mismos pasosque para el caso de la viga, obteniendose para el caso de regimen lineal lo siguiente:ˆ xn
x1
[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw‘v′] dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx
+
n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
−K(w′ − ψ) + Pw′|xi
+
−Hψ′|xi+
K(w′ − ψ)− Pw′|xi+1−
Hψ′|xi+1−
(5.36)
Para el problema no lineal se tiene:ˆ xn
x1
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx
+
n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
−ϕ(γ) + Pw′|xi
+
−Φ(ψ′)|xi+
ϕ(γ)− Pw′|xi+1−
Φ(ψ′)|xi+1−
(5.37)
Para el problema no lineal con ley poligonal:ˆ xn
x1
[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =
ˆ xn
x1
f(x)v dx
+
n−1∑i=1
[vi φi vi+1 φi+1]
− [ci(w
′ − ψ) + di] + Pw′|xi+
− (aiψ′ + bi)|xi
+
[ci(w′ − ψ) + di]− Pw′|xi+1
−
(aiψ′ + bi)|xi+1
−
+
ˆ xn
x1
D(x)φdx
+
[b1φ1 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)φi − bn−1φn]
+
[d1v1 +
n−1∑i=2
(di − di−1)vi − dn−1vn]
(5.38)
162
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
con A(x), C(x) y D(x) definidas en (5.21).
Del mismo modo que para la viga, los tres ultimos terminos del segundo miembro dela expresion anterior, representan unos momentos ficticios distribuidos a lo largo dela viga-columna, unos momentos puntuales ficticios y unas cargas puntuales ficticias,respectivamente. Los dos ultimos aplicados en los nodos de la viga-columna.
Para el caso de la viga-columna de Timoshenko en regimen no lineal con leyes poli-gonales (momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante), el problemavariacional para el intervalo Ω = [0, L], y por ejemplo, para una pieza empotrada enun extremo (izquierdo), x = x1 = 0, y libre en otro (derecho), x = xn = L, sometida aun carga transversal distribuida f(x) y sin cargas puntuales en el interior del dominio,consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω) tal que:
ˆ L
0
[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =
ˆ L
0
f(x)v dx+
ˆ L
0
D(x)φdx+[b10 +
n−1∑i=2
(bi − bi−1)φi − 0φn
]+
[d10 +
n−1∑i=2
(di − di−1)vi − 0vn
], ∀(v, φ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω)
(5.39)
donde v1 = φ1 = 0, al estar la viga-columna empotrada por el extremo izquierdo ybn = 0 y dn = 0 al ser respectivamente M(xn) = 0 y Q(xn) = 0. H1(Ω) es el espaciode Sobolev, H1(Ω) = g/g, g′ ∈ L2(Ω), y H1
0 (Ω) el formado por los elementos delespacio anterior que se anula en el extremo izquierdo del dominio, es decir, H1
0 (Ω) =g ∈ H1(Ω)/g(0) = 0.
Para el caso en regimen no lineal, con las mismas condiciones del problema anterior, elproblema variacional consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1
0 (Ω)xH10 (Ω) tal que:
ˆ L
0
[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =
ˆ L
0
f(x)v dx, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)xH1
0 (Ω)
(5.40)
La ecuacion de equilibrio de elementos finitos, para el elemento generico [α, β] =[xi, xi+1], empleando como funciones de aproximacion y de ponderacion funciones queson solucion del problema homogeneo (vease apartado 3.4.1), para la pieza con rigidezconstante a trozos es: Ke
w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)
=
f e1f e2f e3f e4
+
qe1qe2qe3qe4
+
dibi−di−bi
(5.41)
donde los elementos de la matriz local Ke son:
kelm(ai, ci) =
ˆ β
α
[aiN′2lN
′2m + ci (N
′1l −N2l) (N ′1m −N2m)− PN ′1lN ′1m] dx
l,m = 1, ..., 4 (5.42)
con N1l, N2l, i = 1, ..., 4 funciones de forma que son las mismas que se muestran enel apartado 3.4.1, dadas por la expresion (3.61), con m = ai/ci. Las componentes delvector de cargas nodales de equivalente vienen dados por la expresion (5.26).
163
5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko
Las componentes del vector de cargas nodales de equilibrio son:
qe1 = − [ci(w′ − ψ) + di] + Pw′|α+
qe2 = − (aiψ′ + bi)|α+
qe3 = [ci(w′ − ψ) + di]− Pw′|β−
qe4 = (aiψ′ + bi)|β−
El ultimo termino de la expresion (5.41) da lugar, en la ecuacion de equilibrio globalresultante de ensamblar las ecuaciones locales, a los momentos puntuales ficticios y lascargas puntuales ficticias en los nodos de la viga. El momento distribuido ficticio, D(x),esta contemplado dentro del vector de cargas nodales equivalentes (vease expresion(5.26)).
Para el caso de la viga-columna no es posible conocer a priori las leyes de esfuerzos(momento y cortante) en la misma, debido a la presencia de la carga P , por lo tanto,para resolver el problema se emplea el metodo general, descrito en el apartado 5.2.3.Es decir, que en este caso, mediante el proceso de homotopıa se obtiene la Pieza LinealEquivalente. No ocurriendo, como el caso de los problemas isostaticos, donde a priorise puede determinar la Pieza Lineal Equivalente.
5.3.2 Ejemplo de aplicacion
Se analiza ahora una viga-columna en regimen no lineal, de longitud L = 4, 0 m em-potrada en su base y libre en el extremo superior, con las condiciones de carga ycaracterısticas geometricas que se muestran en la Figura 5.24. Los datos del materialson los mismos que para el caso de la viga y se pueden ver en la Tabla 5.2.
Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. En este caso los diagramasmomento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, varıan con respecto alos de la viga, ya que se ven influenciados por la presencia de la carga P , tal y como seindico en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4. Los mismos se pueden ver en las Figuras 5.25y 5.26.
Se discretiza la viga-columna en 6 elementos de diferente longitud, (vease Figura 5.24).En este caso no es posible conocer a priori los esfuerzos en la viga-columna (momentosflectores y esfuerzos cortante), por lo tanto, para resolver el problema se emplea elmetodo general (vease apartado 5.2.3).
164
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Figura 5.24. Viga-columna en voladizo. Estado de carga, caracterısticas geometricas ydiscretizacion
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
60
120
180
240
300
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 5.25. Diagrama momento-derivada de giro
165
5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko
Del mismo modo que en el ejemplo anterior, se parte de leyes lineales tangentes en elorigen a los diagramas originales de momento-derivada de giro como para el cortante-deformacion por cortante, determinandose ası, unos valores de derivada de giro y de-formacion por cortante iniciales.
A partir de este primer calculo el proceso sigue con el paso de homotopıa λ = 0.5. Losvalores de λ para avanzar en la homotopıa son 0.70, 0.90 y 1, en ambas leyes.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
·10−4
0
40
80
120
160
200
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 5.26. Diagrama cortante-deformacion por cortante
En las Tablas 5.9 y 6.16 se pueden ver los resultados del proceso de homotopıa seguido.En el paso de homotopıa 4 (ultima fila de las Tablas 5.9 y 6.16, en la que las relacionesM −ψ′ y Q− γ son las finales, correspondientes a λ = 1.0), el desplazamiento y el giroen el extremo libre se estabilizan, para la precision utilizada. Asimismo, las rigideces(a flexion y cortante) de cada uno de los elementos tambien se estabilizan.
La distribucion de las rigideces se muestran en las Figuras 5.27 y 5.28. Se observa unabuena aproximacion entre la ley poligonal resultante y la del problema original, en elcaso del diagrama momento-derivada de giro, Figura 5.27.
En cuanto al diagrama cortante-deformacion por cortante, Figura 5.28, este se mantienepracticamente en el tramo lineal, lo que origina que las rigideces a cortante, ası como,los giros en el extremo libre, se estabilicen con menos iteraciones, tal y como se reflejaen la Tabla 6.16.
La Pieza Lineal Equivalente del problema analizado queda finalmente como se muestraen la Figura 5.29, mientras que los desplazamientos, giros, momentos flectores y es-fuerzos cortantes, obtenidos aplicando el metodo general, se muestran en la Figura 5.30.
166
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Hom
ot.
iter.
w7mm
sc1
a1(kNm
2)
a2
a3
a4
a5
a6
M2(kN
)M
3M
4M
5M
6
lin
eal
-9,
665
0,00
2355
3212
4328
124328
124328
124328
124328
124328
0,0
00,0
00,0
00,0
00,0
0
1(λ
=0.
5)1
11,5
890,
0031
5931
7746
1,2
78732,1
086609,3
103066
122721
124147
-1,9
9-1
3,2
9-2
7,7
4-5
,83
-0,2
23
11,6
290,
0031
6336
7697
2,7
77362,4
82454,6
110900
122662
124144
-1,1
2-1
0,0
2-3
1,7
1-7
,23
-0,2
4
2(λ
=0.
7)1
13,2
710,
0038
6321
5803
0,5
58575,7
65702,6
105528
121995
124070
-1,5
7-1
4,0
3-4
4,3
9-1
0,1
3-0
,33
313
,303
0,00
3865
3458
156,
563232
103422
121941
124066
124066
-1,1
1-1
1,5
4-4
6,5
8-1
1,5
1-0
,34
3(λ
=0.
9)1
16,5
720,
0052
7506
3884
0,4
39250
45773,4
97448
121259
123991
-1,4
3-1
4,8
4-5
9,8
9-1
4,8
0-0
,44
316
,671
0,00
5288
9638
338,
738780,3
42619,9
92808,5
121138
123982
-2,0
9-1
1,1
1-6
1,9
7-1
7,9
2-0
,47
4(λ
=1.
0)
120
,036
0,00
6741
8228
784,
329274,6
33537.3
89300
120782
123943
-2,3
2-1
2,3
4-6
8,8
5-1
9,9
2-0
,53
320
,233
0,00
7008
5021
632
28730,2
31859
84540,1
120652
123932
-42,7
9-1
1,0
7-6
8,8
9-2
3,2
1-0
,56
720
,258
0,00
7087
8220
028,
528730,1
34854,5
84507,1
120649
123932
-52,4
5-1
1,0
6-6
8,8
7-2
3,2
3-0
,56
1020
,260
0,00
7094
8019
898,
128730
31854,2
84505,1
120649
123932
-53,2
3-1
1,0
6-6
8,8
7-2
3,2
3-0
,56
1120
,261
0,00
7095
4819
885,
628730
31854,2
84504,2
120649
123932
-53,3
1-1
1,0
6-6
8,8
7-2
3,2
3-0
,56
Ta
bla
5.9
.R
esu
ltad
os
del
pro
ceso
de
hom
otop
ıad
ela
vig
a-co
lum
na,
rigi
dez
afl
exio
ny
mom
ento
pu
ntu
alfi
ctic
io
Hom
ot.
iter.
ψ7
g 1c 1
(kN
)c 2
c 3c 4
c 5c 6
P2
P3
P4
P5
P6
P7
lin
eal
-0,
0031
820,
0000
7805
1845
560
1845560
1845560
1845560
1845560
1845560
00
00
00
1(λ
=0.
5)1
0,00
3736
0,00
0078
9217
5667
01788590
1817180
1831110
1839220
1844000
-2,4
0-1
,85
-0,7
3-0
,32
-0,1
0-0
,001
30,
0037
490,
0000
7893
1750
980
1786050
1816490
1830890
1839140
1843980
-2,6
6-1
,99
-0,7
6-0
,33
-0,1
0-0
,002
2(λ
=0.
7)1
0,00
4219
0,00
0079
3117
1314
01762240
1808460
1825020
1836580
1843310
-3,7
3-2
,78
-1,0
6-0
,46
-0,1
4-0
,002
30,
0042
290,
0000
7931
1709
420
1760490
1804310
1824820
1836500
1843310
-3,9
0-2
,87
-1,0
8-0
,47
-0,1
4-0
,002
3(λ
=0.
9)1
0,00
5161
0,00
0079
7116
7053
01736180
1792520
1818890
1833910
1842670
-5,0
1-3
,69
-1,3
9-0
,60
-0,1
8-0
,003
30,
0051
930,
0000
7972
1665
130
1733330
1791440
1848450
1833730
1842590
-5,2
3-3
,82
-1,4
4-0
,62
-0,1
8-0
,004
4(λ
=1.
0)
10,
0061
520,
0000
7991
1645
080
1720860
1785430
1815440
1832410
1842260
-5,8
1-4
,25
-1,6
0-0
,69
-0,2
1-0
,004
30,
0062
090,
0000
7993
1641
600
1718590
1784370
1814960
1832200
1842160
-5,9
2-4
,35
-1,6
4-0
,70
-0,2
1-0
,005
70,
0062
160,
0000
7993
1641
580
1718560
1784360
1814950
1832200
1824160
-5,9
2-4
,35
-1,6
4-0
,70
-0,2
1-0
,005
100,
0062
160,
0000
7993
1641
580
1718560
1784360
1814950
1832200
1824160
-5,9
2-4
,35
-1,6
4-0
,70
-0,2
1-0
,005
110,
0062
160,
0000
7993
1641
580
1718560
1784360
1814950
1832200
1824160
-5,9
2-4
,35
-1,6
4-0
,70
-0,2
1-0
,005
Ta
bla
5.1
0.R
esu
ltad
os
del
pro
ceso
de
hom
otop
ıad
ela
vig
a-co
lum
na,
rigi
dez
aco
rtan
tey
carg
ap
untu
alfi
ctic
ia,P
(kN
)
167
5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
·10−2
0
60
120
180
240
300
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
M(ψ′)Elem. 1
Elem. 2
Elem. 3
Elem. 4
Elem. 5
Elem. 6
Figura 5.27. Rigidez a flexion de cada elemento
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
·10−4
0
40
80
120
160
200
γ (m/m)
Q(kN)
Q(γ)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
Figura 5.28. Rigidez a cortante de cada elemento
168
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
Figura 5.29. Pieza Lineal Equivalente para la viga-columna
169
5.4. Resumen y conclusiones
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
05101520
L(m
)
Desplazamiento (mm)
(a)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
01,42,84,25,67
·10−3
L(m
)
Giro (rad)
(b)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
060120180240300
L(m
)
Momento (kN.m)
(c)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0306090120150
L(m
)
Cortante (kN)
(d)
Figura 5.30. Resultados obtenidos: (a) desplazamientos, (b) giros, (c) momentos flectores y(d) esfuerzos cortantes, en toda la viga-columna
5.4 Resumen y conclusiones
En el presente capıtulo se ha aplicado el concepto de Pieza Lineal Equivalente, pararesolver el problema de la viga y viga-columna de Timoshenko en regimen no lineal. Labase del metodo consiste en suponer que las leyes de esfuerzos de la seccion, momento-
170
Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko
derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, se pueden aproximar, tanto comose desee por leyes poligonales. Dichas leyes estan formadas n segmentos, con n tangrande como se quiera.
Para el caso de la viga y viga-columna de Timoshenko, se tiene que la solucion delproblema en regimen no lineal, es equivalente a la de una pieza en regimen lineal, quedenominamos Pieza Lineal Equivalente, cuyas rigideces (a flexion y cortante) varıanpor tramos, y donde ademas hay que aplicar en los nodos unas cargas y momentos pun-tuales ficticios, ası como, un momento distribuido ficticio a lo largo de toda la pieza.Dichas acciones ficticias se originan de manera natural, al establecer en el modelo ma-tematico, leyes constitutivas para el momento-derivada de giro y cortante-deformacionpor cortante, de tipo poligonal.
Se han desarrollado, para el caso de la viga, dos metodologıas. Una correspondientea problemas isostaticos y otra que denominamos general, que puede aplicarse tanto aproblemas isostaticos como hiperestaticos. Sin embargo, para la viga-columna se aplicaunicamente la metodologıa general al no conocer a priori las leyes de esfuerzos.
Se han realizado dos ejemplos de aplicacion, uno para la viga y otro para la viga-columna, con el fin de exponer con cierto grado de detalle, los pasos que se siguen enlas dos metodologıas construidas.
171
CAPITULO 6
Validacion y alcance de la metodologıa
6.1 Introduccion
En el presente capıtulo se analizan cinco casos con el fin de ver la validez y el alcancede la metodologıa. Para ello, se contrastan los resultados obtenidos mediante el concep-to de Pieza Lineal Equivalente, con los valores tanto experimentales como numericosobtenidos por otros autores, para elementos viga de hormigon estructural. Asimismo,se realiza un analisis de la carga lımite en una viga-columna de hormigon estructural.
En los tres primeros ejemplos se estudian vigas de hormigon estructural analizadasexperimentalmente mediante ensayos de flexion en tres puntos. En el cuarto ejemplose analiza una viga de hormigon de ultra alta resistencia reforzado con fibras de ace-ro (HFRUAR) ensayada a flexion en cuatro puntos. Mientras que el quinto se haceun analisis de la carga lımite de un pilar o viga-columna de hormigon estructural,empotrado en su base y libre en el extremo.
Finalmente, en el ultimo apartado se hace un resumen y se destacan las conclusionesmas relevantes de este capıtulo.
6.2 Ejemplo 1
Se analiza una viga de hormigon estructural sometida a flexion en tres puntos. Se haseleccionado aleatoriamente una de las 12 vigas ensayadas por Bresler y Scordelis en1963, con el fin de investigar el comportamiento crıtico a cortante del hormigon estruc-tural [Bresler y Scordelis, 1963; Vecchio, 2000; Vecchio y Shim, 2004; Stramandinoli,2007]. Estas vigas son consideradas ejemplos clasicos de la literatura y son utilizadashabitualmente como referencias para validar y calibrar los modelos que tienen en cuen-ta la deformacion por cortante [Vecchio, 2000; Vecchio y Shim, 2004; Stramandinoli,2007].
La viga escogida es la denominada por estos autores como A1. Los detalles de armado,dimensiones y caracterısticas del material son los que se recogen en la Figura 6.1 y laTabla 6.1, respectivamente.
173
6.2. Ejemplo 1
Figura 6.1. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Vecchio, 2000]
Hormigon Refuerzo Refuerzo(MPa) longitudinal (MPa) transversal (MPa)
Ec = 24552, 2∗ Es = 201000 (12,7 mm) Es = 190000fc = 24, 1 Es = 218000 (28,7 mm) fy = 325fct = 1, 92 fy = 345, fu = 542 (12,7mm) fu = 430
fy = 555, fu = 933 (28,7 mm)∗ calculado segun la EHE
Tabla 6.1. Caracterısticas del material. Tomado de [Stramandinoli, 2007]
Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivadade giro y cortante-deformacion por cortante, necesarios para aplicar el concepto dePieza Lineal Equivalente, son los modelos teoricos utilizados en uno de estos trabajos:Hognestad para el hormigon y el diagrama bilineal para el acero [Stramandinoli, 2007].Cabe indicar que [Vecchio, 2000] utiliza un diagrama para el hormigon obtenido expe-rimentalmente y que ambos autores utilizan para el calculo una seccion de hormigondiscretizada en fibras, y por tanto integran directamente dentro del proceso de analisisno lineal general de la pieza los diagramas constitutivos del material.
Para la obtencion de los diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacionpor cortante se han seguido los procedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y2.3.2.4, utilizando para el diagrama cortarte-deformacion por cortante los datos de lasTabla 6.2 y 6.3, aunque a diferencia de estos autores, se ha utilizado una aproximacionmediante ramas de hiperbola en las transiciones del diagrama trilineal. Los diagramascorrespondiente son los que se muestran en las Figuras 6.2 y 6.3.
174
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
Ls (mm) k d− d′ (mm) θ s (mm) κ λ λ1 λ2 λ3
1830 0,29 445 45o 210 0 1,395 1 2,5 10,076
Tabla 6.2. Valores empleados para calcular del diagrama cortante-deformacion por cortante
Vcr (kN) γcr Vu0 (kN) γst Vu0 (kN) γu80,28 0,00005504 237,46 0.00253486 237,46 0.0638540
Tabla 6.3. Valores caracterısticos del diagrama cortante- deformacion por cortante
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
·10−2
0
100
200
300
400
500
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 6.2. Diagrama momento-derivada de giro
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
·10−3
0
50
100
150
200
250
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 6.3. Diagrama cortante-deformacion por cortante
175
6.2. Ejemplo 1
En relacion con el calculo de la Pieza Lineal Equivalente, cabe indicar que por simetrıase analiza solo la mitad de la viga. Dicha mitad se ha discretizado en 6 elementos dediferente longitud, con el fin de ajustar mejor la ley poligonal, como se muestra en laFigura 6.4.
2 4 5 631
1 2 3 4 5 6 7
305 305 305 381,25 381,25
1830152,5
Figura 6.4. Discretizacion de la viga. Dimensiones en mm
La Pieza Lineal Equivalente y la variacion de las rigideces a flexion de cada elementopara el estado de carga P = Pu, se muestran en las Figuras 6.5 y 6.6, respectivamente.Mientras que los resultados obtenidos para el diagrama carga-desplazamiento en elcentro de la viga, ası como los: desplazamientos, giros, momentos y esfuerzos cortantesen toda la viga (tanto para el modelo de Timoshenko como el de Bernoulli-Euler) sonlos que se indican en las Figuras 6.7-6.11 y en la Tabla 6.4. Para este caso en particularno se ha representado la variacion de las rigideces a cortante de cada elemento, yaque la misma no varia a lo largo de la pieza y por dicho motivo no aparecen cargaspuntuales ficticias en la Pieza Lineal Equivalente (Figuras 6.5).
Figura 6.5. Pieza Lineal Equivalente para Pu = 474 kN
176
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
Como puede verse en la Figura 6.6 existe una buena aproximacion entre la ley poligonalresultante y la del problema original. Lo que muestra que la discretizacion realizadaresulta suficiente y adecuada.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
Figura 6.6. Variacion de la rigidez a flexion para Pu = 474 kN
Como se puede ver en la Figura 6.7 existe una muy buena aproximacion entre los re-sultados obtenidos por el metodo de la Pieza Lineal Equivalente y los experimentales(tanto a nivel cualitativo como cuantitativo) cuando se emplea el modelo de Timoshen-ko. No sucediendo lo mismo cuando se emplea el modelo de Bernoulli-Euler. Mientrasque con ambos modelos se obtienen valores similares de la carga ultima (la diferenciaentre el modelo de Timoshenko y el experimental es del 1,25 % y del 3,41 % para el deBernoulli-Euler), solo el modelo de Timoshenko captura mejor el mecanismo de fallo,cuando este se produce por cortante-compresion (fallo en la zona de compresion) [Bres-ler y Scordelis, 1963]. Si bien con el modelo de Timoshenko se obtienen desplazamientosligeramente superiores a los experimentales (9,15 %).
Cabe indicar, asimismo, que los resultados obtenidos por la Pieza Lineal Equivalente yel modelo de Timoshenko son mas proximos en terminos de carga y desplazamientos,a los resultados presentados por [Vecchio, 2000] (superiores para la carga en 0,42 % y1,93 % para el desplazamiento) que a los presentados por [Stramandinoli, 2007] (infe-riores para la carga en 18,22 % y 18,71 % para el desplazamiento). De estos resultadosse deduce que el modelo de [Vecchio, 2000] y el de la Pieza Lineal Equivalente capturanmejor el mecanismo de fallo y el valor de carga ultima que el de [Stramandinoli, 2007].
Los resultados de la Figura 6.8 confirman los valores obtenidos para carga ultimay desplazamiento en el centro de la pieza (Figura 6.7), ya que los desplazamientosen toda la pieza, resultan mayores cuando se emplea el modelo de Timoshenko quecuando se emplea el modelo de Bernoulli-Euler. En el caso de los giros, Figura 6.9,los resultados son similares para ambos modelos. Para los momentos, Figura 6.10 yesfuerzos cortantes, Figura 6.11, se obtienen, como cabe esperar, los mismos resultadoscon ambos modelos, ya que se trata de un problema isostatico.
177
6.2. Ejemplo 1
0 2 4 6 8 10 12 14 160
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
δ (mm)
P(kN)
ExperimentalPLE TimshenkoPLE Bernoulli-EulerVecchioStramandinoli
Figura 6.7. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga
Carga ultima Pu (kN) Desplazamiento δ(mm)
Experimental 468∗ 14,2∗
PLE Timoshenko 474 15,50PLE Bernoulli-Euler 484 9,54[Vecchio, 2000] 472 15,8[Stramandinoli, 2007] 386 12,6∗ extraido de [Vecchio y Shim, 2004]
Tabla 6.4. Comparacion de resultados experimentales con los calculados
0 610 1220 1830 2440 3050 3660
0
−3
−6
−9
−12
−15
−18
L (mm)
Desplazamiento
(mm)
Bernoulli-EulerTimoshenko
Figura 6.8. Desplazamientos en la viga
178
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
0 610 1220 1830 2440 3050 3660−7,2
−4,8
−2,4
0
2,4
4,8
7,2·10−3
L (mm)
Giro(rad
)
Bernoulli-EulerTimoshenko
Figura 6.9. Giros en la viga
0 610 1220 1830 2440 3050 36600
75
150
225
300
375
450
L (mm)
Mom
ento
(kN
.m)
Solucion exactaBernoulli-EulerTimoshenko
Figura 6.10. Momentos flectores en la viga
0 610 1220 1830 2440 3050 3660−300
−200
−100
0
100
200
300
L (mm)
Cor
tante
(kN
)
Solucion exactaBernoulli-EulerTimoshenko
Figura 6.11. Esfuerzos cortantes en la viga
179
6.3. Ejemplo 2
6.3 Ejemplo 2
Se analiza una viga de hormigon estructural sometida a flexion en tres puntos. La vigaseleccionada es una de las 12 vigas ensayadas por Vecchio y Shim en 2004, con el finde reproducir los resultados de los ensayos de las vigas de Bresler-Scordelis [Vecchio yShim, 2004; Mohr et al., 2010]. Dicha viga es la denominada por estos autores comoBS-A1, los detalles de armado, dimensiones y caracterısticas del material son los quese muestran en la Figura 6.12 y la Tabla 6.5.
Figura 6.12. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Vecchio y Shim, 2004]
Hormigon Refuerzo Refuerzo(MPa) longitudinal (MPa) transversal (MPa)
Ec = 24031.9∗ Es = 200000 (11,3 mm) Es = 200000fc = 22, 6 Es = 222000 (25,2 mm) fy = 600fct = 1, 56∗∗ Es = 200000 (29,9 mm)
fy = 315 (11,3 mm)fy = 445 (25,2 mm)fy = 436 (29,9 mm)
∗ calculado segun la EHE∗∗ tomado de [Mohr et al., 2010]
Tabla 6.5. Caracterısticas del material. Tomado de [Vecchio y Shim, 2004]
Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los modelos teoricos utilizados en uno deestos trabajos: la propuesta en el Eurocodigo 2 para el hormigon y el diagrama bilinealpara el acero [Mohr et al., 2010]. Cabe indicar que [Vecchio y Shim, 2004] utiliza un
180
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
diagrama para el hormigon obtenido experimentalmente y que ambos autores utilizanpara el calculo una seccion de hormigon discretizada en fibras.
Para la obtencion de los diagramas momento-derivada de giro y cortarte-deformacionpor cortante se han seguido los procedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y2.3.2.4, y los mismos se muestran en las Figuras 6.13 y 6.14.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
·10−2
0
100
200
300
400
500
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 6.13. Diagrama momento-derivada de giro
0 1 2 3 4 5 6
·10−3
0
50
100
150
200
250
300
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 6.14. Diagrama cortante-deformacion por cortante
Del mismo modo que en el ejemplo anterior y en relacion con el calculo aplicandoel concepto de Pieza Lineal Equivalente, se analiza, por simetrıa, solo la mitad de la
181
6.3. Ejemplo 2
viga, discretizandose dicha mitad en 6 elementos de diferente longitud. Los resultadosobtenidos para el diagrama carga-desplazamiento en el centro de la viga, empleando elmodelo de Timoshenko, se indican en la Figura 6.15 y en la Tabla 6.6.
Como se puede ver en la Figura 6.15 existe una buena aproximacion entre los resultadosobtenidos por el metodo de la Pieza Lineal Equivalente para el modelo de Timoshenko,y los experimentales. El valor de la carga ultima es practicamente igual, sin embargoel desplazamiento es menor en un 17 %.
Cabe indicar asimismo, que los resultados obtenidos son mas proximos a los experi-mentales, en terminos de carga y desplazamientos, que a los presentados en [Vecchio yShim, 2004] (superiores para la carga en 3,36 % e inferiores para el desplazamiento en8,04 %). Los resultados presentados por [Mohr et al., 2010] son los que mejor se ajustaa los resultados experimentales.
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
δ (mm)
P(kN)
ExperimentalPieza lineal equivalenteVecchio y ShimMohr et al.
Figura 6.15. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga
Carga ultima Pu (kN) Desplazamiento δ (mm)
Experimental 459 18,8Pieza Lineal Equivalente 460,5 15,55[Vecchio y Shim, 2004] 476 14,3[Mohr et al., 2010] 457,20∗ 25,85∗∗ estimado de la curva carga-desplazamiento de [Mohr et al., 2010]
Tabla 6.6. Comparacion de resultados experimentales con los calculados
182
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
6.4 Ejemplo 3
Se analiza una viga de hormigon estructural sometida a flexion en tres puntos. Laviga seleccionada es una de las 7 vigas ensayadas por [Lee et al., 2011], dicha vigaes la denominada por el autor como S2-3.0. Los detalles de armado, dimensiones ycaracterısticas del material son los que se muestran en la Figura 6.16 y la Tabla 6.7.En este caso la viga seleccionada es mas corta que las analizadas anteriormente, por loque la influencia de la deformacion por cortante sera mayor.
Figura 6.16. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Lee et al., 2011]
Hormigon Refuerzo Refuerzo(MPa) longitudinal (MPa) transversal (MPa)
Ec = 28323, 9∗ Es = 200000 Es = 200000fc = 37, 0 fy = 402 fy = 357, 8fct = 1, 92
∗ calculado segun la EHE
Tabla 6.7. Caracterısticas del material. Tomado de [Lee et al., 2011]
Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. Para la obtencion de los diagra-mas momento-derivada de giro y cortarte-deformacion por cortante se han seguido losprocedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4, y los mismos se muestranen las Figuras 6.17 y 6.18 respectivamente.
Para llevar a cabo los calculos, se analiza por simetrıa, solo la mitad de la viga, discre-tizandose dicha mitad en 6 elementos de diferente longitud. Los resultados obtenidos
183
6.4. Ejemplo 3
para el diagrama carga-desplazamiento en el centro de la viga, empleando el modelode Timoshenko, se indica en la Figura 6.19.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
·10−2
0
50
100
150
200
250
300
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 6.17. Diagrama momento-derivada de giro
0 1 2 3 4 5 6
·10−3
0
25
50
75
100
125
150
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 6.18. Diagrama cortante-deformacion por cortante
Se puede ver en la Figura 6.19 que el resultado obtenido es muy parecido al experimentalhasta la carga de rotura. La carga obtenida es de aproximadamente Pu = 288kN con undesplazamiento en el centro de la viga de δ = 5, 27mm, mientras que la carga obtenidaexperimentalmente es de aproximadamente Pu = 280kN con un deplazamiento deδ = 5, 6mm (estimados de la curva carga-desplazamiento de [Lee et al., 2011]).
184
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
0 2 4 6 8 10 120
50
100
150
200
250
300
δ (mm)
P(kN)
ExperimentalPieza lineal equivalente
Figura 6.19. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga
6.5 Ejemplo 4
En este caso analiza una viga de hormigon de ultra alta resistencia reforzado con fibrasde acero (HFRUAR) ensayada a flexion en cuatro puntos. La viga a analizar es unade los 7 tipos vigas ensayadas por [Yang et al., 2012]. Por cada tipo de viga se hanensayado dos especımenes, la viga escogida es la denominada por el autor como NR1-2. Los detalles de armado, dimensiones y caracterısticas del material son los que serecogen en la Figura 6.20 y la Tabla 6.8, respectivamente.
Figura 6.20. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Yang et al., 2012]
Ec (MPa) fc (MPa) ft (MPa) ε03 lf (mm)
46818 196,7 13 0,00195 13mm
Tabla 6.8. Caracterısticas del material. Tomado de [Yang et al., 2012]
Como se puede ver, estas vigas no llevan refuerzo longitudinal ni transversal. Las leyesempleadas para el comportamiento del hormigon, tanto a compresion como a traccion,
185
6.5. Ejemplo 4
son las mismas que emplea [Yang et al., 2012], quien sigue la recomendacion francesa[AFGC-Setra, 2004], y las mismas se pueden ver en la Figura 6.21.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
·10−3
0
25
50
75
100
125
150
ε
σ(M
Pa)
(a)
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1
·10−3
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
ε
σ(M
Pa)
(b)
Figura 6.21. Diagrama tension-deformacion del HRFUAR: (a) compresion y (b) traccion
El diagrama momento-derivada de giro se obtiene siguiendo lo expuesto en el apartado2.3.2.3, considerando que el hormigon trabaja a traccion hasta que se empieza a pro-pagar la fisura, es decir hasta alcanzar el valor de deformacion ε03. Dicho diagrama sepuede ver en la Figura 6.22.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
12
24
36
48
60
72
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 6.22. Diagrama momento-derivada de giro
La viga ensayada, al ser relativamente esbelta, falla por flexion, manteniendose el cor-tante dentro de la rama elastica, es decir la viga falla antes de alcanzar el valor deVcr, por tanto para el calculo del diagrama carga-desplazamiento, se emplea el cortantelineal tal como se muestra en la Figura 6.23.
186
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
·10−4
0
20
40
60
80
100
120
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 6.23. Diagrama cortante-deformacion por cortante
En relacion con el calculo de la Pieza Lineal Equivalente, cabe indicar que por simetrıase analiza solo la mitad de la viga. Dicha mitad se ha discretizado en 6 elementos dediferente longitud. Los resultados obtenidos para el diagrama carga-desplazamiento enel centro de la viga, empleando el modelo de Timoshenko, se indica en la Figura 6.24y en la Tabla 6.9.
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 200
25
50
75
100
125
150
δ (mm)
P(kN)
Experimental NR-1Experimental NR-2Pieza lineal equivalente
Figura 6.24. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga
Aunque las caracterısticas, tanto geometricas como del material, son las mismas, losresultados experimentales obtenidos difieren, tal como se puede ver en la Figura 6.23,ası como en la Tabla 6.9.
187
6.6. Ejemplo 5
Como se puede ver en la Figura 6.24 existe una muy buena aproximacion entre losresultados obtenidos por el metodo de la Pieza Lineal Equivalente y los experimentalesobtenidos para la viga NR-1 (tanto a nivel cualitativo como cuantitativo). La cargaultima es ligeramente inferior en un 1,47 % y el desplazamiento ligeramente inferior enun 5,50 %.
Si comparamos los resultados con los obtenidos para la viga NR-2, se observan diferen-cias superiores, tanto en la carga ultima como en el desplazamiento, la diferencia es de7,34 % y 29,81 % respectivamente.
Carga ultima Pu (kN) Desplazamiento δ (mm)
Experimental NR-1 121,7 10Experimental NR-2 129,5 15,03Pieza Lineal Equivalente 120 10,55
Tabla 6.9. Comparacion de resultados experimentales con los calculados
6.6 Ejemplo 5
En este ejemplo se hace un analisis de la carga lımite de un pilar o viga-columna dehormigon estructural, empotrado en su base y libre en el extremo. Los detalles dearmado, dimensiones y caracterısticas del material son los que se recogen en la Figura6.25 y la Tabla 6.15, respectivamente.
Figura 6.25. Caracterısticas geometricas, estado de carga y discretizacion del pilar
188
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
Hormigon Refuerzo Refuerzo(MPa) longitudinal (MPa) transversal (MPa)
Ec = 35600fc = 49, 9 Es = 200000 Es = 200000fsp = 3, 6 fy = 5000 fy = 530fct = 2, 88
Tabla 6.10. Caracterısticas del material.Tomado de [Mohr et al., 2010]
Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. Para la obtencion de los diagra-mas momento-derivada de giro y cortarte-deformacion por cortante se han seguido losprocedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4, y los mismos se muestranen las Figuras 6.26 y 6.27 respectivamente.
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
Figura 6.26. Diagrama momento-derivada de giro
Para llevar a cabo los calculos, se discretiza el pilar en 6 elementos finitos de diferentelongitud, con el fin de ajustar mejor las leyes poligonales, como se muestra en la Figura6.25.
Para determinar la carga lımite se va aumentando progresivamente la carga hasta quese observa inestabilidad en los resultados, no obstante posteriormente se determinanlos autovalores de la matriz de rigidez para ver como de proxima esta de una matrizsingular. La inestabilidad en el proceso de calculo se aprecia cuando aparecen signosde la derivada de giro que no se corresponde con la deformada de la pieza, apareciendoasimismo cambios bruscos de la tendencia de los valores de desplazamiento.
El calculo se ha llevado a cabo partiendo de un caso lineal en la que todos los elementos
189
6.6. Ejemplo 5
tienen una rigidez a flexion de 268925 kNm2 y una rigidez a cortante de 2370540 kN,que se corresponden con la pendiente en el origen de la recta tangente de las leyesmomento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, Figuras 6.26 y 6.27respectivamente. Para el caso homogeneo, es decir, carga horizontal nula y considerandouna valor de H = 268925 y K = 2370540, el valor de carga lımite de Euler es PcrE =26541, 83 kN y la de Timoshenko PcrT = 26247, 95 kN
0 1 2 3 4 5 6
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN)
Figura 6.27. Diagrama cortante-deformacion por cortante
En las Tablas 6.15-?? se recoge la tendencia de los resultados para valores de cargaproximos a la carga lımite. A partir del primer calculo con ley lineal, el proceso siguecon el paso correspondiente al paso de homotopıa λ = 0.50. Los valores de λ paraavanzar en la homotopıa son 0.70, 0.80, 0.90 y 1.0. En cada paso de homotopıa seindica solamente la primera iteracion (iterac-1) y la ultima (iterac-5), excepto paraλ = 1.0, donde se han realizado 15 iteraciones.
La variacion de las rigideces a flexion y a cortante de cada elemento para la carga lımitese muestran en las Figuras 6.28 y 6.29 respectivamente. Mientras que los resultadosobtenidos para el diagrama carga axial-desplazamiento en el extremo libre, ası comolos: desplazamientos, giros, momentos y esfuerzos cortantes en toda la viga columna(al alcanzar la carga lımite) son los que se indican en las Figuras 6.30, 6.31 y 6.32.
Como puede verse en la Figura 6.28 existe una buena aproximacion entre la ley poligo-nal resultante y la del problema original. Lo que muestra que la discretizacion realizadaresulta suficiente y adecuada. Asimismo, se puede comprobar que el pilar falla por ines-tabilidad antes de alcanzar la resistencia maxima de la seccion. Por otra parte, en laFigura 6.29 se puede ver la variacion de las rigideces a cortante. En este caso, el es-fuerzo cortante en toda la pieza se encuentra situado en el tramo lineal.
Asimismo, se ha hace un analisis de como varıa la carga lımite, al ir cambiando lamagnitud de la carga horizontal f . En la Figura 6.33 se pueden ver las curvas cargaaxil-desplazamiento para distintos valores de carga horizontal. Para valores de carga
190
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
horizontal pequenos, la carga lımite es mayor.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
)
M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
Figura 6.28. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN)
Q(γ)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
Figura 6.29. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite
En la Figura 6.34 se puede ver la rigidez a flexion de cada uno de los elementos, parael valor de carga lımite y diferentes valores de carga horizontal. En todos los casos elfallo de la pieza se produce por inestabilidad y no por agotamiento de la seccion.
Adicionalmente, en la Figura 6.35 se puede ver la rigidez a cortante de cada uno delos elementos, para el valor de carga lımite y diferentes valores de carga horizontal. Entodos los casos se observa que la rigidez a cortante, se mantiene practicamente en eltramo lineal.
191
6.6. Ejemplo 5
Hom
o.
iter.
w7 m
msc
1a1 (K
Nm
2)a2
a3
a4
a5
a6
M2
M3
M4
M5
M6
lineal
-5.7
720.00
0832
43
268
925
268925
268925
268925
268925
2689250
00
00
1(λ=
0.5)
17.4
170.00
1157
19
172
714
175743
189724
226483
258345
267535-2.31
-8.00-14.86
-8.37-0.82
57.4
750.00
1162
25
170
665
171821
178395
210167
254871
267267-1.22
-4.92-15.50
-13.33-1.27
2(λ=
0.7)
19.1
950.00
1482
14
131
361
132979
142182
186664
249249
266604-1.70
-6.89-21.70
-18.66-1.78
59.2
600.00
1486
81
130
537
131316
135791
167218
242857
266180-1.05
-4.20-18.39
-25.39-2.72
3(λ=
0.9)
114.21
70.00
2313
56
90997.4
91998.9
97752.5
138158
235409
265396-1.34
-5.40-23.65
-32.65-3.49
514.84
20.00
2362
24
90228.7
90470.3
91578.2
100531
192771
263281-0.52
-1.71-8.66
-45.60-11.38
5(λ=
1.0)
127.69
80.00
4072
45
70373.5
70641.9
71872.9
81818
184300
262654-0.58
-1.90-9.62
-50.66-12.64
534.57
10.00
4733
12
66883
68381.2
69996.6
70474.9
81739.9
238259-6.66
-5.71-1.24
-18.43-56.69
10
34.593
0.004735
16
66873.7
68376.9
69994
70473.1
81800.7
238535-6.68
-5.72-1.24
-18.58-56.55
14
34.592
0.004735
10
66873.7
68376.7
69993.9
70473
81795.2
238520-6.68
-5.72-1.24
-18.57-56.56
15
34.592
0.004735
09
66873.3
68376.7
69993.9
70473
81794.3
238518-6.68
-5.72-1.24
-18.57-56.56
Ta
bla
6.1
1.R
esulta
dos
del
pro
cesod
eh
omotop
ıad
elp
ilar,rigid
eza
flex
iony
mom
ento
pu
ntu
alfi
cticio.P
=6300
Hom
ot.
iter.
ψ7
g1
c1 (k
N)
c2
c3
c4
c5
c6
P2
P3
P4
P5
P6
P7
linea
l-
0.0
0157
03
0.0000317
2370
540
2370540
2370540
2370540
2370540
23705400
00
00
0
1(λ=
0.5)
10.0
0198
54
0.0000322
2267
010
2287040
2311450
2329990
2347400
2361530-0.61
-0.67-0.43
-0.34-0.17
-0.0305
0.0
0027
69
0.0000322
2261
310
2280370
2305240
2325250
2344400
2359820-0.60
-0.70-0.49
-0.39-0.20
-0.044
2(λ=
0.7)
10.0
0035
27
0.0000324
2217
620
2244300
2279120
2307140
2333940
2355540-0.84
-0.98-0.69
-0.55-0.28
-0.0615
0.0
0035
38
0.0000324
2213
050
2236520
2270290
2299880
2329200
2352820-0.74
-0.98-0.76
-0.64-0.34
-0.087
3(λ=
0.9)
10.0
0373
19
0.0000326
2168
050
2198230
2241650
2279700
2317390
2347760-0.96
-1.26-0.98
-0.852-0.44
-0.1125
0.0
0392
16
0.0000326
2157
600
2170450
2202720
2244290
2293430
2334160-0.42
-1.01-1.20
-1.25-0.75
-0.278
4(λ=
1.0)
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4
5
01020304050
L(m
)
Desplazamiento (mm)
(a)
0
1
2
3
4
5
00,30,60,91,21,5
·10−2
L(m
)
Giro (rad)
(b)
Figura 6.31. Desplazamientos y giros en el pilar al alcanzar la carga lımite
195
6.6. Ejemplo 5
0
1
2
3
4
5
0100200300400500
L(m
)
Momento (kN.m)
(a)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
020406080100120
L(m
)
Cortante (kN)
(b)
Figura 6.32. Momentos flectores y esfuerzos cortantes en el pilar al alcanzar la carga lımite
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6·104
δ (mm)
P(kN)
f = 0.10 kN/m; Plim = 25531.5 kN
f = 1.00 kN/m; Plim = 22325.0 kN
f = 2.50 kN/m; Plim = 18551.0 kN
f = 5.00 kN/m; Plim = 13125.1 kN
f = 7.50 kN/m; Plim = 9426.5 kN
f = 10.0 kN/m; Plim = 7609.15 kN
f = 12.5 kN/m; Plim = 6888.75 kN
f = 15.0 kN/m; Plim = 6435.28 kN
Figura 6.33. Diagrama carga axil-desplazamiento para distintos valores de carga horizontal f
196
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(a)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(b)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(c)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(d)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(e)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(f)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(g)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
·10−2
0
100
200
300
400
500
600
ψ′ (rad/m)
M(kN.m
) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(h)
Figura 6.34. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite para diferentesvalores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m, (c) f = 2, 5 kN/m, (d)
f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10 kN/m, (g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m
197
6.6. Ejemplo 5
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(a)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(b)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(c)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(d)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(e)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(f)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(g)
0 1 2 3 4 5
·10−3
0
75
150
225
300
375
γ (m/m)
Q(kN) Q(γ)
Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6
(h)
Figura 6.35. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite para diferentesvalores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m, (c) f = 2, 5 kN/m, (d)
f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10 kN/m, (g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m
198
Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa
6.7 Resumen y Conclusiones
En el presente capıtulo se han analizando cinco ejemplos con el fin de validar la meto-dologıa desarrollada en el presente trabajo. Se han comparado los resultados obtenidosaplicando el concepto de Pieza Lineal Equivalente, con los valores tanto experimentalescomo numericos obtenidos por otros autores.
En el primer ejemplo se ha analizado una de las vigas ensayada por Bresler y Scordelisen 1963, consideradas ejemplos clasicos de la literatura [Vecchio, 2000; Vecchio y Shim,2004; Stramandinoli, 2007]. En este ejemplo se hace un analisis detallado tanto de laaplicacion de la metodologıa como de la obtencion de los diagramas momento derivadade giro y cortante-deformacion por cortante.
Los resultados obtenidos presentan una muy buena aproximacion con los resultadosexperimentales (tanto a nivel cualitativo como cuantitativo) cuando se emplea el mo-delo de Timoshenko. El mismo permite capturar mejor el mecanismo de fallo, cuandoeste se produce por cortante-compresion (fallo en la zona de compresion) [Bresler yScordelis, 1963].
En el segundo y tercer ejemplo se han estudiado tambien, unas vigas de hormigon es-tructural analizadas experimentalmente mediante ensayos de flexion en tres puntos.Losresultados obtenidos tambien son muy buenos, en comparacion con los resultados ex-perimentales y con los obtenidos por otros autores.
En el cuarto ejemplo se ha analizado una viga de hormigon de ultra alta resistenciareforzado con fibras de acero (HFRUAR) ensayada a flexion en cuatro puntos. Losresultados obtenidos son muy proximos a los experimentales, especialmente para laviga denominada NR-1.
Finalmente se ha hecho un analisis de la carga lımite de un pilar empotrado en su basey libre en el extremo, sometido a una carga horizontal f de 15 kN/m. Se puede ver,de acuerdo con la Figura 6.28, que el mismo falla antes por inestabilidad, sin alcanzarla resistencia maxima. Asimismo, se realizado un analisis de la variacion de la cargalımite, variando las magnitudes de la carga f .
199
CAPITULO 7
Conclusiones y trabajos futuros
En el presente trabajo de investigacion se ha llevado a cabo el analisis de elementosviga y viga-columna en regimen no lineal con deformacion por cortante, donde la nolinealidad viene dada por el comportamiento del material, aplicando el concepto dePieza Lineal Equivalente.
Aunque se ha estructurado la tesis, de manera que al final de cada capıtulo se haceun resumen del mismo y se destacan las conclusiones mas importantes, se consideraconveniente y asimismo obligado, como es habitual en los trabajos de investigaciondestacar de nuevo las principales conclusiones de la tesis doctoral. Asimismo se dauna relacion de los posibles trabajos futuros relacionados con la investigacion llevadaa cabo.
7.1 Conclusiones
A partir los trabajos realizados y los resultados obtenidos se pueden extraer las siguien-tes conclusiones:
Despues de revisar la literatura sobre teorıa de vigas que tienen en cuenta la de-formacion por cortante se concluye que el modelo de Timoshenko por su alcance,caracter practico y bajo costo computacional, en comparacion con los modelosde alto orden, es el idoneo para el analisis de modelos de vigas y vigas-columnacon deformacion por cortante y no linealidad del material.
Una vez consultados los trabajos sobre modelos constitutivos para el hormigon es-tructural se concluye que se debe utilizar, para construir los diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion, los mismos diagramas constitutivos quehayan empleado los autores con los que se comparan, con el fin de evitar discre-pancias debidas al material cuando se analizan los resultados.
En la aplicacion del concepto de Accion Repartida Equivalente en el analisis linealde vigas y vigas-columna de Timoshenko, aplicando elementos finitos con solucionnodalmente exacta se concluye que se obtienen excelentes resultados elevando el
201
7.2. Trabajos futuros
orden de la accion repartida y muy pocos elementos finitos y tambien dejandola accion repartida en el orden mınimo aumentado el numero de elementos. Enparticular en las aplicaciones ha bastado con utilizar orden 5 o 6 y un elementofinito y tambien orden mınimo, o sea 4 y dos elementos finitos, obteniendo enambos casos excelentes resultados en comparacion con la solucion exacta.
Sobre el concepto de Pieza Lineal Equivalente introducido en la literatura deuna forma fısica y un tanto intuitiva se ha realizado un analisis formal que hapermitido profundizar, aplicar y extender dicho concepto a los siguientes casos:barra elastica, y viga y viga-columna de Timoshenko, deduciendose al tiempopropiedades notables sobre las acciones ficticias que se derivan de dicha teorıa.
Para la aplicacion del concepto de Pieza Lineal Equivalente se han desarrolladodos procedimientos: metodo para problemas isostaticos y metodo general aplica-ble a problemas isostaticos e hiperestaticos. Sobre los mismos se puede concluirque dan resultados similares a los proporcionados por el metodo de Newton-Raphson.
El metodo de Pieza Lineal Equivalente presenta la ventaja, con respecto al meto-do Newton-Raphson, de poder visualizar las deformaciones de la pieza en regimenno lineal, de manera tanto cualitativa como cuantitativa, ya que es posible obser-var en cada paso del proceso la modificacion de rigideces (a flexion y cortante) yasimismo la evolucion de las acciones ficticias.
Finalmente, de las aplicaciones realizadas al calculo de vigas y vigas-columna dehormigon estructural, se indica que la metodologıa propuesta en esta investiga-cion ha dado resultados muy proximos a los obtenidos experimentalmente lo quepermite concluir la suficiencia del procedimiento en las aplicaciones practicas dela ingenierıa de estructuras.
7.2 Trabajos futuros
A la vista del trabajo de investigacion se presentan los posibles trabajos futuros quepodrıan abordarse:
Desarrollar un modelo de vigas de alto orden, inspirado en el de [Levinson, 1981],que describa con mas realismo que el de Timoshenko, la distribucion de tensio-nes tangenciales y que permita al tiempo la aplicacion a casos de no linealidaddel material y con un coste computacional similar o ligeramente superior al deTimoshenko, en problemas tanto academicos como de interes practico.
Serıa tambien interesante aplicar la metodologıa al analisis de estructuras mascomplejas (porticos..), a otros materiales (nuevos materiales compuestos).
Finalmente, una vıa de profundizacion en aspectos teoricos de esta investigacionconsisitirıa en analizar las diferentes soluciones que puede tener el problema de laviga-columna en regimen no lineal y posteriormente la convergencia hacia cadauna de ellas de la sucesion de soluciones aproximadas.
202
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