ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN …oa.upm.es/35509/1/ELVIRA_MERCEDES_LOPEZ_SALINAS.pdf ·...

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN

REGIMEN NO LINEAL CON DEFORMACION POR

CORTANTE

Tesis Doctoral

Elvira Mercedes Lopez Salinas

Ingeniera Civil

Directores:

Olga Isabel Rıo Suarez

Jose Luis Romero Martın

Doctores Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, Abril de 2015

ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN REGIMEN NOLINEAL CON DEFORMACION POR CORTANTE

Tesis doctoral

Universidad Politecnica de Madrid

Madrid, Abril 2015

Palabras clave: Pieza lineal equivalente, viga-columna de Timoshenko, deformacionpor cortante, solucion nodal exacta, accion repartida equivalente, carga de pandeo,carga lımite.

Autor:Lopez Salinas Elvira MercedesIngeniera Civil

Directores de la tesis:Olga Isabel Rıo SuarezDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y PuertosInstituto de Ciencias de la Construccion Eduardo Torroja, CSIC

Jose Luis Romero MartınDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y PuertosETS Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, UPM

Escuela de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politecnica de Madrid

Instituto de Ciencias de la Construccion Eduardo TorrojaAgencia Estatal Consejo Superior de Investigaciones Cientıficas, CSIC

IMPRESO EN MADRID, ESPANA

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politecnica

de Madrid, el dıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Presidente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Secretario D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suplente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suplente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el dıa . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . de 2015

en la E.T.S. de Ingenieros Industriales de la U.P.M.

Calificacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

A ti que no has vacilado nunca en apostar tu felicidad a cambio de mi futuro,

a ti que con tu ejemplo me ensenaste a luchar por lo que quiero

y a salir adelante a pesar de las adversidades,

A TI MAMA

iii

Agradecimientos

Aprovecho esta oportunidad para expresar mi mas profundo y sincero agradecimiento amis directores, Dra. Olga Rıo Suarez y Dr. Jose Luis Romero Martın, por su orientacion,ideas y consejos en todos estos anos. A los dos, muchas gracias por su paciencia ydedicacion, este trabajo no hubiera sido posible sin vuestra ayuda.

Quisiera tambien expresar mi gratitud al Dr. Miguel Angel Ortega por sus acertadoscomentarios y puntos de vista sobre esta investigacion, que da continuidad a las lıneasde trabajo iniciadas en su tesis doctoral ”Analisis del Pandeo de Pilares en regimen nolineal mediante splines generalizados”.

Agradezco profundamente al Departamento de Postgrado del Consejo Superior de In-vestigaciones Cientıficas, CSIC, por la concesion de la beca JAE-Predoc de la ”Juntapara la Ampliacion de Estudios”, cofinanciada por el Fondo Social Europeo y a losServicios Administrativos del Instituto de Ciencias de la Construccion Eduardo To-rroja, de manera especial a Asuncion Casanova por su ayuda en todos los tramitesadministrativos.

Quiero tambien agradecer a los miembros del Departamento de Construccion del IETcc-CSIC, especialmente al Grupo de Gestion de Riesgo y Seguridad. Al Departamento deMatematica e Informatica Aplicadas a la Ingenierıa Civil, de la ETSI de Caminos,Canales y Puertos de la UPM por los medios y facilidades prestadas para la realizacionde este trabajo.

Agradezco tambien al Dr. Sergio Blanco Ibanez, quien dirigiera mi tesina de Master,al Dr. Gia Khanh Nguyen por su amistad y ayuda en la preparacion del presentedocumento. A mi companero de oficina, Viet Duc Nguyen, con quien compartı gratosmomentos.

Un agradecimiento especial a Anayansi, Cristina, Govi, Luis, Marıa, Montse, Raquely Rafa, por su amistad y por hacer mi estancia en Espana mas llevadera. Asimismo,agradezco a Andrea, Blanca, Fio, Naty y Karla, por apoyarme en la distancia.

”Muchas cosas cambian en la vida, pero uno comienza y acaba en la familia” A. B

Por ultimo, y no por ello menos importante, un agradecimiento especial a toda mifamilia. De manera especial a mi madre Zoila y mis hermanos Danny, Jessica, Karen,Diana y Anabel, por apoyarme y motivarme, no solo en el perıodo que ha conllevado larealizacion de este trabajo, sino toda la vida. El estar separados tanto tiempo valio lapena. GRACIAS!

v

Resumen

El hormigon estructural sigue siendo sin duda uno de los materiales mas utilizadosen construccion debido a su resistencia, rigidez y flexibilidad para disenar estructuras.El calculo de estructuras de hormigon, utilizando vigas y vigas-columna, es complejodebido a los fenomenos de acoplamiento entre esfuerzos y al comportamiento no linealdel material. Los modelos mas empleados para su analisis son el de Bernoulli-Euler y elde Timoshenko, indicandose en la literatura la conveniencia de usar el segundo cuandola relacion canto/luz no es pequena o los elementos estan fuertemente armados.

El objetivo fundamental de esta tesis es el analisis de elementos viga y viga-columna enregimen no lineal con deformacion por cortante, aplicando el concepto de Pieza LinealEquivalente (PLE). Concepto este que consiste basicamente en resolver el problema deuna pieza en regimen no lineal, transformandolo en uno lineal equivalente, de modoque ambas piezas tengan la misma deformada y los mismos esfuerzos.

Para ello, se hizo en primer lugar un estudio comparado de: las distintas propuestas queaplican la deformacion por cortante, de los distintos modelos constitutivos y seccionalesdel hormigon estructural y de los metodos de calculo no lineal aplicando el metodode elementos finitos (MEF). Teniendo en cuenta que la resolucion del problema nolineal se basa en la resolucion de sucesivos problemas lineales empleando un procesode homotopıa, los problemas lineales de la viga y viga-columna de Timoshenko, seresuelven mediante MEF, utilizando soluciones nodalmente exactas (SNE) y accionrepartida equivalente de cualquier orden. Se obtiene ası, con muy pocos elementosfinitos, una excelente aproximacion de la solucion, no solo en los nodos sino en elinterior de los elementos.

Se introduce el concepto PLE para el analisis de una barra, de material no lineal,sometida a acciones axiales, y se extiende el mismo para el analisis no lineal de vigas yvigas-columna con deformacion por cortante. Cabe senalar que para estos ultimos, lasolucion de una pieza en regimen no lineal es igual a la de una en regimen lineal, cuyasrigideces son constantes a trozos, y donde ademas hay que anadir momentos y cargaspuntuales ficticias en los nodos, ası como, un momento distribuido ficticio en toda lapieza.

Se han desarrollado dos metodos para el analisis: uno para problemas isostaticos yotro general, aplicable tanto a problemas isostaticos como hiperestaticos. El primerodetermina de entrada la PLE, realizandose a continuacion el calculo por MEF-SNE dedicha pieza, que ahora esta en regimen lineal. El general utiliza una homotopıa que

vii

transforma de manera iterativa, unas leyes constitutivas lineales en las leyes no linealesdel material. Cuando se combina con el MEF, la pieza lineal equivalente y la soluciondel problema original quedan determinadas al final de todo el proceso.

Si bien el metodo general es un procedimiento proximo al de Newton- Raphson, presentasobre este la ventaja de permitir visualizar las deformaciones de la pieza en regimenno lineal, de manera tanto cualitativa como cuantitativa, ya que es posible observar encada paso del proceso la modificacion de rigideces (a flexion y cortante) y asimismo laevolucion de las acciones ficticias.

Por otra parte, los resultados obtenidos comparados con los publicados en la literatura,indican que el concepto PLE ofrece una forma directa y eficiente para analizar conmuy buena precision los problemas asociados a vigas y vigas-columna en las que porsu tipologıa los efectos del cortante no pueden ser despreciados.

viii

Abstract

The structural concrete clearly remains the most used material in construction dueto its strength, rigidity and structural design flexibility. The calculation of concretestructures using beams and beam-column is complex as consequence of the couplingphenomena between stresses and of its nonlinear behaviour. The models most com-monly used for analysis are the Bernoulli-Euler and Timoshenko. The second model isstrongly recommended when the relationship thickness/span is not small or in case theelements are heavily reinforced.

The main objective of this thesis is to analyse the beam and beam-column elementswith shear deformation in nonlinear regime, applying the concept of Equivalent LinearStructural Element (ELSE). This concept is basically to solve the problem of a struc-tural element in nonlinear regime, transforming it into an equivalent linear structuralelement, so that both elements have the same deformations and the same stresses.

Firstly, a comparative study of the various proposals of applying shear deformation, ofvarious constitutive and sectional models of structural concrete, and of the nonlinearcalculation methods (using finite element methods) was carried out. Considering thatthe resolution of nonlinear problem is based on solving the successive linear problem,using homotopy process, the linear problem of Timoshenko beam and beam-columnsis resolved by FEM, using the exact nodal solutions (ENS) and equivalent distributedload of any order. Thus, the accurate solution approximation can be obtained withvery few finite elements for not only nodes, but also for inside of elements.

The concept ELSE is introduced to analyse a bar of nonlinear material, subjected toaxial forces. The same bar is then used for other nonlinear beam and beam-columnanalysis with shear deformation. It is noted that, for the last analyses, the solution ofa structural element in nonlinear regime is equal to that of linear regime, in which thepiecewise-stiffness is constant, the moments and fictitious point loads need to be addedat nodes of each element, as well as the fictitious distributed moment on element.

Two methods have been developed for analysis: one for isostatic problem and othermore general, applicable for both isostatic and hiperstatic problem. The first methoddetermines the ELSE, and then the calculation of this piece is performed by FEM-ENSthat now is in linear regime. The general method uses the homotopy that transformsiteratively linear constitutive laws into nonlinear laws of material. When combined withFEM, the ELSE and the solution of the original problem are determined at the end ofthe whole process.

ix

The general method is well known as a procedure closed to Newton-Raphson procedurebut presents an advantage that allows displaying deformations of the piece in nonli-near regime, in both qualitative and quantitative way. Since it is possible to observethe modification of stiffness (flexural and shear) in each step of process and also theevolution of the fictitious actions.

Moreover, the results compared with those published in the literature indicate that theELSE concept offers a direct and efficient way to analyze with very good accuracy theproblems associated with beams and beams columns in which, by typology, the effectsof shear cannot be neglected.

x

Lista de sımbolos

Los sımbolos empleados a lo largo de la tesis se definen en la siguiente lista, la mismano es exhaustiva. En algunos casos, el mismo sımbolo tiene diferentes significados endiferentes partes de la tesis, lo que quedara claro dentro de dicho contexto.

Letras Romanas en Mayusculas

A: Area de la seccion transversal

Ag: Area bruta de la seccion de hormigon

Aw: Area del refuerzo transversal

E: Modulo de Young

Ec: Modulo de deformacion longitudinal del hormigon

Ep: Modulo de deformacion longitudinal del acero

F (s): Carga distribuida que actua perpendicular a la directriz de la pieza sin deformar

Fx, Fy, Fz: Fuerzas por unidad de volumen actuando en una viga en las direcciones x,y y z

G: Modulo de rigidez cortante

H: Rigidez a flexion; funcion Escalon de Heaviside

H1(Ω): Espacio de Sobolev

I: Momento de inercia de la seccion transversal respecto al eje x

I1: Momento de inercia de la seccion transversal respecto al eje z

K: Rigidez a cortante

Ke: Matriz de rigidez del elemento

KG: Matriz de global del elemento

Ks: Coeficiente de correccion por cortante

xi

M : Momento flector

M : Momento puntual ficticio

P : Carga axial de compresion

P : Carga puntual ficticia

Q: Esfuerzo cortante

Tx, Ty, Tz: Fuerzas por unidad de area en el contorno actuando en una viga en lasdirecciones x, y y z

U : Promedio del desplazamiento de la seccion en la direccion x

V : Cortante modificado o pseudo-cortante

Vcr: Cortante crıtico de la seccion de hormigon

Vu: Resistencia ultima a cortante de la seccion de hormigon

We: Trabajo externo

W : Promedio del desplazamiento vertical de una seccion

Letras Romanas en Minusculas

ai: Rigidez axial del elemento i, rigidez a flexion del elemento i

b: Ancho de la seccion transversal

ci: Rigidez a cortante del elemento i

ds: Diferencial longitud de arco

fcd: Resistencia de calculo del hormigon en compresion

fctd: Resistencia de calculo del hormigon en traccion

fck: Resistencia caracterıstica del hormigon en compresion

fpd: Resistencia de calculo del acero para armadura activa

fyd: Resistencia de calculo del acero para armadura pasiva

fyw: Resistencia de fluencia del acero transversal

f : Accion repartida equivalente

fk: Accion repartida equivalente de orden k ≥ 4 fyk: Lımite elastico caracterıstico delacero

f : Carga distribuida ficticia

xii

Capıtulo 0. Lista de sımbolos

h: Canto de la seccion transversal; longitud de un elemento finito

ks: Factor de correccion por cortante

p: Carga transversal total por unidad de longitud

s: Longitud de arco

u,w: Componentes del desplazamiento en las direcciones x y z

v: Funcion de ponderacion y de forma para el desplazamiento w

vx, vz: Desplazamientos residuales en las direcciones x y z

Letras Griegas en Mayusculas

Γ: Contorno de Ω

Ω: Dominio del problema

Φ: Promedio de la rotacion respecto al eje y

Letras Griegas en Minusculas

δ: Operador variacional; delta de Dirac

γ: Deformacion por cortante

ν: Coeficiente de Poisson

φ: Giro en la fibra neutra de la viga; funcion de ponderacion y de forma para el giro ψ

ψ: Giro en la fibra neutra de la viga

σc: Tension de compresion

σx, σy, σz: Tensiones normales en las direcciones x, y y z

τxz: Tension tangencial en el plano xz

εc: Deformacion del hormigon

εc0: Deformacion de rotura del hormigon a compresion simple

εcu Deformacion de rotura del hormigon en flexion

xiii

Indice general

III

Agradecimientos V

Resumen VII

Abstract IX

Lista de sımbolos XI

Indice general XV

Indice de figuras XXI

Indice de tablas XXIX

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Estado del Arte 7

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacionpor cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

xv

INDICE GENERAL

2.2.1. Teorıa de viga de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1.1. Ecuaciones de la viga de Timoshenko . . . . . . . . . . 10

2.2.1.2. Ecuaciones de la viga-columna de Timoshenko . . . . . 20

2.2.2. Teorıas de vigas de alto orden o refinadas . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2.1. Teorıa de viga de Levinson . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2.2. Teorıa de viga Reddy-Bickfford . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2.3. Teorıa de viga Shi y Voyiadjis . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2.4. Teorıas trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2.5. Teorıas hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3. Eleccion de la teorıa de vigas y viga-columna con deformacionpor cortante para esta investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estruc-tural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1. Metodo de Elementos Finitos en problemas no lineales . . . . . 32

2.3.2. No linealidad del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2.1. Hormigon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2.2. Acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.2.3. Diagrama momento-curvatura de una seccion . . . . . 40

2.3.2.4. Diagrama cortante-deformacion por cortante de unaseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3. Eleccion de los modelos para el hormigon estructural para estainvestigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente 51

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Solucion Nodal Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1. Elementos finitos y solucion nodal exacta en la viga de Timoshenko 52

3.3. Accion Repartida Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1. Accion Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

xvi

INDICE GENERAL

3.3.2. Propiedades de la accion equivalente: ortogonalidad e interpolacion 57

3.3.3. Accion repartida equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.4. Orden de la accion repartida equivalente . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.5. Aplicacion de los polinomios ortogonales de Legendre a la accionrepartida equivalente de cualquier orden . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.5.1. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad para lassoluciones incrementales relativas a los sumandos de lacarga g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.6. Determinacion de los movimientos y esfuerzos para una accionrepartida equivalente de cualquier orden k ≥ 4 . . . . . . . . . . 64

3.3.6.1. Para una accion repartida equivalente de orden 4. Meto-do de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.6.2. Para una accion repartida equivalente de cualquier or-den k ≥ 4. Metodo de proyeccion ortogonal . . . . . . 65

3.3.7. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.7.1. Viga empotrada-apoyada con carga repartida y puntual 67

3.3.7.2. Viga empotrada-apoyada con cargas repartidas de dis-tinto signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.7.3. Viga biempotrada con carga puntual . . . . . . . . . . 75

3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columnade Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.1. Elementos finitos con solucion nodal exacta . . . . . . . . . . . 78

3.4.2. Cargas de pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4.3. Aplicacion del concepto de accion repartida equivalente a la viga-columna de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.4. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4.4.1. Viga-columna empotrada-apoyada con carga repartiday carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4.4.2. Viga-columna empotrada en la base y apoyada en elcentro, con carga repartida y cargas puntuales . . . . . 93


4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente 99

xvii

INDICE GENERAL

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales enregimen no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.2. Pieza Lineal Equivalente empleando la teorıa de distribuciones . 108

4.2.3. Carga distribuida ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.4. Metodo para Problemas Isostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.5. Metodo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.1. Solucion exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3.2. Solucion aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.2.1. Metodo diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.2.2. Metodo de iteracion directa . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3.2.3. Metodo Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.2.4. Pieza Lineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.2.5. Comparacion de resultados obtenidos por las diferentesmetodologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3.2.6. Calculo de la carga distribuida ficticia . . . . . . . . . 129


5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko 135

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko . . . . . . . . . . 136

5.2.1. Formulacion del problema de la viga de Timoshenko en regimenno lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2.2. Metodo para Problemas Isostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2.3. Metodo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2.4. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko . . . . . . 160

5.3.1. Formulacion del problema en regimen no lineal . . . . . . . . . . 160

xviii

INDICE GENERAL

5.3.2. Ejemplo de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164


6. Validacion y alcance de la metodologıa 173

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.5. Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.6. Ejemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.7. Resumen y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7. Conclusiones y trabajos futuros 201

7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Bibliografıa 203

xix

Indice de figuras

2.1. Desplazamientos y giros en la viga de Timoshenko . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Acciones en un elemento diferencial viga . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Viga de seccion constante. Adaptado de [Cowper, 1966] . . . . . . . . . 13

2.4. Desplazamiento residual vx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. Acciones en un elemento diferencial viga-columna . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Notacion y convenio de signos: (a) definicion positiva de momentos, cor-tantes y cargas y (b) definicion positiva de desplazamientos y giros.Adaptada de [Levinson, 1981] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. Viga en flexion en el plano x-z. Adaptado de [Dahake y Ghugal, 2013] . 27

2.8. Esquema de iteracion del metodo de Newton-Raphson: (a) en terminosde Ψ(U) y (b) en terminos del residuo R(U) . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9. Curvas tension-deformacion del hormigon a compresion: 1) conven-cional, 2) de alta resistencia –HAR-, 3) ultra alta resistencia con fi-bras –HFRUAR-, 4) HFRUAR confinado, 5) HFRUAR pretensado, 6)HFRUAR confinado pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10. Comportamiento de un elemento sometido a traccion: (a) hormigon re-forzado con fibras y (b) con barra de acero embebida en el hormigon.Adaptada de [Coto, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.11. Comportamiento a traccion uniaxial de HRFUAR. Adaptado de [Mayaet al., 2010; Spasojevic, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.12. Diagramas constitutivos del hormigon: (a) parabola-rectangulo [EHE,2010], (b) hiperbola [MC, 2010], (c) [Kent y Park, 1971], (d) [Sargin,1971], (e) [AFGC-Setra, 2004] y (f) [Attard y Setunge, 1996] . . . . . . 39

2.13. Diagramas constitutivos para el acero [EHE, 2010]: (a) armaduras pasi-vas y (b) aramaduras activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

xxi

INDICE DE FIGURAS

2.14. Esquema de un elemento con secciones discretizadas por el metodo defibras (superior) y consideracion de esfuerzos internos deformaciones deuna seccion (inferior) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.15. Dominios de deformacion para una seccion de: (a) con armadura pasiva,(b) de hormigon reforzado con fibras (HRFA), y (c) HRFA con armadurapasiva. Tomado de [Coto, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.16. Diagrama general momento-curvatura [Rıo, 1986] . . . . . . . . . . . . 44

2.17. Diagramas momento-curvatura bilineal y trilineal. Adaptado de [Rıo,1986] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.18. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos,2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.19. Contribucion de la carga axial a la resistencia a cortante del pilar oviga-columna: (a) flexion invertida y (b) flexion simple. Adaptada de[Priestley et al., 1994] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.20. Factor k [Mergos y Kappos, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.21. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos,2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1. Viga empotrada-apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obte-nidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . 68

3.4. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . 69

3.7. Viga empotrada-apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8. Comparacion de desplazamientos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler 71

3.9. Comparacion de giros: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler . . . . . . 71

xxii

INDICE DE FIGURAS

3.10. Comparacion de momentos flectores: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.11. Comparacion de esfuerzos cortantes: (a) Timoshenko y b) Bernoulli -Euler 72

3.12. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler . 73

3.13. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) desplazamientos y (b)giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.14. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) momentos flectores y(b) esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.15. Representacion de las sucesivas cargas repartidas equivalentes . . . . . 74

3.16. Viga biempotrada, carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.17. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.18. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obte-nidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . 76

3.19. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.20. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproxi-madas obtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.21. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler . 77

3.22. Carga normalizada de pandeo PcrT/PcrE-relacion adimensional b/L, paradiferentes condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.23. Viga-columna empotrada-articulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.24. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproxima-da obtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 90

3.25. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenidacon un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . 90

3.26. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 91

3.27. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 91


xxiii

INDICE DE FIGURAS

3.29. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) des-plazamientos y (b) giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.30. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) mo-mentos flectores y (b) esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.31. Viga-columna empotrada en la base y apoyada en el centro . . . . . . . 94

3.32. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 94

3.33. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenidacon dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler . . . . . . . . 95

3.34. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la apro-ximada obtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 95

3.35. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproxi-mada obtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler 96


3.37. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) des-plazamientos y (b) giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.38. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) mo-mentos flectores y (b) esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1. Equilibrio de un elemento diferencial barra . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2. Diagrama tension-deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4. Barra fija: (a) Esquema de carga y (b) Ley de esfuerzos en la barra . . 105

4.5. (a) Ley de esfuerzo en la barra y (b) relacion esfuerzo-deformacion delmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.6. Barra en estado deformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.7. Equivalencia entre el problema lineal y no lineal: (a) barra en regimenno lineal y (b) barra lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.8. Variacion de la rigidez en funcion de la deformacion para la barra enregimen no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.9. Variacion continua de la rigidez en toda la barra . . . . . . . . . . . . . 108

4.10. Discretizacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

xxiv

INDICE DE FIGURAS

4.11. Correspondencia entre los esfuerzos en la barra y el diagrama esfuerzo-deformacion del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.12. Barra fija. Caracterısticas geometricas y estado de carga . . . . . . . . 114

4.13. Diagrama tension deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.14. Correspondencia entre la tension en la barra y la tension del material:(a) tension en la barra y (b) tension-deformacion . . . . . . . . . . . . 117

4.15. Esquema de iteracion del metodo de Picard . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.16. Ley de esfuerzos en toda la barra y su correspondencia con el diagramaesfuerzo-deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.17. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.18. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico . . . . . . . . . . . 123

4.19. Proceso de homotopıa λ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.20. Pieza lineal para λ = 0, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.21. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general . . . . . . . . . . . 126

4.22. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos . . . . . . . . . . . 128

4.23. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos . . . . . . . . . . 128

4.24. Desplazamientos en la barra empleando la Pieza Lineal Equivalente ydiscretizando la barra en diferente numero de elementos . . . . . . . . . 129

4.25. Carga distribuida ficticia en toda la barra . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.26. Variacion del area de la seccion transversal, S(x), en toda la barra . . . 131

4.27. Problema lineal equivalente en el continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.1. Comportamiento no lineal del material: (a) momento-derivada de giro y(b) cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2. Leyes del material y aproximacion poligonal: (a) momento-derivada degiro y (b) cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3. Viga en voladizo: (a) esquema de carga, (b) ley de momentos flectores y(c) ley de esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4. Ley de momentos flectores en la viga y su correspondencia con el dia-grama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5. Ley de esfuerzos cortantes en la viga y su correspondencia con el dia-grama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

xxv

INDICE DE FIGURAS

5.6. Viga en estado deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.7. Equivalencia entre el problema no lineal y lineal: (a) viga en regimen nolineal y (b) viga lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.8. Viga en voladizo. Caracterısticas geometricas y estado de carga . . . . 149

5.9. Diagrama momento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.10. Diagrama cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.11. Discretizacion de la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.12. Correspondencia entre los momentos flectores en la viga y el diagramamomento-derivada de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.13. Correspondencia entre los esfuerzos cortantes en la viga y el diagramacortante-deformacion por cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.14. Aproximacion del diagrama momento-derivada de giro con una ley po-ligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.15. Aproximacion del diagrama cortante-deformacion por cortante con unaley poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.16. Diagramas originales y aproximacion poligonal de: (a) momento-derivada de giro y (b) cortante-deformacion por cortante . . . . . . . . 153

5.17. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico . . . . . . . . . . . 154

5.18. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general . . . . . . . . . . . 156

5.19. Variacion de la rigidez de cada elemento: (a) rigidez a flexion y (b) rigideza cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.20. Desplazamientos en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . . . 159

5.21. Giros en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.22. Momentos flectores en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . 160

5.23. Esfuerzos cortantes en toda la longitud de la viga . . . . . . . . . . . . 160

5.24. Viga-columna en voladizo. Estado de carga, caracterısticas geometricasy discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165



5.27. Rigidez a flexion de cada elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.28. Rigidez a cortante de cada elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

xxvi

INDICE DE FIGURAS

5.29. Pieza Lineal Equivalente para la viga-columna . . . . . . . . . . . . . . 169

5.30. Resultados obtenidos: (a) desplazamientos, (b) giros, (c) momentos flec-tores y (d) esfuerzos cortantes, en toda la viga-columna . . . . . . . . . 170

6.1. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Vecchio, 2000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174



6.4. Discretizacion de la viga. Dimensiones en mm . . . . . . . . . . . . . . 176

6.5. Pieza Lineal Equivalente para Pu = 474 kN . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.6. Variacion de la rigidez a flexion para Pu = 474 kN . . . . . . . . . . . . 177

6.7. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga . . . . . . . . . . . 178

6.8. Desplazamientos en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.9. Giros en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.10. Momentos flectores en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.11. Esfuerzos cortantes en la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.12. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Vecchio y Shim, 2004] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180




6.16. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Lee et al., 2011] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183




6.20. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm.Adaptado de [Yang et al., 2012] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.21. Diagrama tension-deformacion del HRFUAR: (a) compresion y (b) trac-cion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186


xxvii

INDICE DE FIGURAS



6.25. Caracterısticas geometricas, estado de carga y discretizacion del pilar . 188



6.28. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite . . . . . . . 191

6.29. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite . . . . . . 191

6.30. Diagrama carga axil-desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.31. Desplazamientos y giros en el pilar al alcanzar la carga lımite . . . . . . 195

6.32. Momentos flectores y esfuerzos cortantes en el pilar al alcanzar la cargalımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.33. Diagrama carga axil-desplazamiento para distintos valores de carga ho-rizontal f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.34. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite para diferentesvalores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m, (c)f = 2, 5 kN/m, (d) f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10 kN/m,(g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.35. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite para dife-rentes valores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m,(c) f = 2, 5 kN/m, (d) f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10kN/m, (g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m . . . . . . . . . . . . . . 198

xxviii

Indice de tablas

2.1. Resumen de las ecuaciones de equilibrio y constitutivas . . . . . . . . . 18

2.2. Calculo estructural. Origen de la no linealidad [Murcia, 1987] . . . . . . 31

3.1. Carga crıtica de Euler para diferentes condiciones de contorno . . . . . 83

3.2. Carga normalizada para diferentes condiciones de contorno y para unaseccion rectangular con ks = 5/6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la PiezaLineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2. Valores de esfuerzo axial y deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3. Deformaciones en los nodos internos de la barra, para un valor de λ = 0, 5124

4.4. Resultados del proceso de homotopıa para la barra a traccion empleando5 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.5. Desplazamientos en la barra empleando la metodologıa de Pieza LinealEquivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.6. Rigideces de cada elemento de la barra empleando la metodologıa dePieza Lineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.7. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos . . . . . . . . . . . 127

4.8. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos . . . . . . . . . . 129

5.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la PiezaLineal Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2. Caracterısticas del material (tomado de [Mohr et al., 2010]) . . . . . . . 150

5.3. Resultados del proceso de homotopıa, rigidez a flexion (ai) y momentopuntual ficticio (Mi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

xxix

INDICE DE TABLAS

5.4. Resultados del proceso de homotopıa, rigidez a cortante (ci)y carga pun-tual ficticia (Pi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.5. Desplazamientos y giros en la viga empleando 6 elementos . . . . . . . 156

5.6. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) enla viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.7. Desplazamientos y giros en la viga empleando 8 elementos . . . . . . . 158

5.8. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) enla viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.9. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a fle-xion y momento puntual ficticio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.10. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a cor-tante y carga puntual ficticia, P (kN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1. Caracterısticas del material. Tomado de [Stramandinoli, 2007] . . . . . 174

6.2. Valores empleados para calcular del diagrama cortante-deformacion porcortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.3. Valores caracterısticos del diagrama cortante- deformacion por cortante 175

6.4. Comparacion de resultados experimentales con los calculados . . . . . . 178

6.5. Caracterısticas del material. Tomado de [Vecchio y Shim, 2004] . . . . . 180


6.7. Caracterısticas del material. Tomado de [Lee et al., 2011] . . . . . . . . 183

6.8. Caracterısticas del material. Tomado de [Yang et al., 2012] . . . . . . . 185


6.10. Caracterısticas del material.Tomado de [Mohr et al., 2010] . . . . . . . 189

6.11. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a flexion y mo-mento puntual ficticio. P = 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.12. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a cortante y cargapuntual ficticia. P = 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.13. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a flexion y mo-mento puntual ficticio. P = 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.14. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a cortante y cargapuntual ficticia. P = 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

xxx

INDICE DE TABLAS

6.15. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a flexion y mo-mento puntual ficticio. P = 6435.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.16. Resultados del proceso de homotopıa del pilar, rigidez a cortante y cargapuntual ficticia. P = 6435.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

xxxi

CAPITULO 1

Introduccion

1.1 Motivacion

El hormigon estructural sigue siendo sin duda uno de los materiales mas utilizados eningenierıa civil y edificacion debido a su resistencia, rigidez y flexibilidad a la hora dedisenar los distintos elementos. Los desarrollos experimentados en las ultimas decadasen este tipo de materiales compuestos (motivado por la especial preocupacion de lasdistintas industrias, entre ellas la de la construccion, por el medio ambiente y porreducir el peso de cualquier estructura) ha permitido elevar su resistencia y su rigidez,lo que ha dado lugar a la adaptacion o desarrollo de nuevos modelos para representarsu comportamiento [AFGC-Setra, 2004; Spasojevic, 2008; EHE, 2010].

Sea cual sea el modelo de hormigon estructural utilizado, lo que si sigue siendo un he-cho es que, muchos de los componentes estructurales usados en construccion estanformados por elementos sometidos a cargas estaticas que originan principal-mente: i) esfuerzos de flexion (vigas) o, ii) esfuerzos axiales (barras) o iii) en los queambos esfuerzos se combinan (por lo que se suelen denominar elementos viga-columna).Es tambien un hecho, que estos elementos se disenan para que cumplan ciertos crite-rios, entre los que se encuentran fundamentalmente los de resistencia y estabilidad, yque de manera general este tipo de elementos se analizan siguiendo la teorıa clasica deBernoulli-Euler [Rıo, 1986; EHE, 2010].

Cabe asimismo indicar que si bien un elemento viga de hormigon con condiciones decontorno sencillas se puede resolver exactamente al considerarlo como un problema deelasticidad, el calculo involucrado no resulta sencillo. Esto se debe no solo a la existenciade fenomenos de acoplamiento entre esfuerzos (traccion-flexion, compresion-flexion,etc.), sino tambien al propio comportamiento no lineal del material. La anisotropıa,la fisuracion ası como otros efectos obligan al uso de modelos mas complejos que losutilizados en el caso de materiales isotropos [Reddy, 2003].

Como es sabido, el analisis no lineal implica la resolucion de sistemas de ecuacionesdiferenciales no lineales que en la mayorıa de los casos requieren el uso de metodosnumericos. La metodologıa habitual para el tratamiento de los problemas no lineales,consiste en una discretizacion del dominio en un numero relativamente alto de ele-

1

1.1. Motivacion

mentos finitos, combinados con algoritmos iterativos y de integracion, que implican engeneral un alto coste computacional, en especial cuando se quiere conocer el estado ten-sional en puntos senalados del elemento y no solo su comportamiento global [Santiuste,2007; Romero et al., 2014].

En la teorıa de vigas, como se ha mencionado, el modelo mas simple y por tanto masutilizado en general ha sido el modelo de viga de Bernoulli-Euler. Este modelo, como esbien sabido, es mas adecuado para piezas esbeltas que para vigas en las que la relacioncanto/luz no es pequena (vigas cortas), debido a la menor rigidez al esfuerzo cortanteque presentan las segundas. Para este tipo de vigas cortas o las fuertemente armadas,resulta mucho mas adecuado otro modelo tambien simplificado como es el desarrolladopor Timoshenko, quien propone la aplicacion de un giro medio a fin de tener en cuentalos giros causados por la deformacion por cortante [Timoshenko, 1921].

Con el fin de mejorar la precision en los ultimos tiempos se han desarrollado modelosbasados en las denominadas teorıas de vigas de alto orden o refinadas [Levinson, 1981;Reddy, 1984], pero no es menos cierto que, debido a la complejidad algebraica y alelevado coste computacional, estas teorıas normalmente no superan el tercer orden. Espreciso, por tanto, indicar que si bien las teorıas de alto orden proporcionan resultadosmas precisos que la teorıa de primer orden de Timoshenko, el coste computacional delas primeras, frente a la segunda hace que esta siga siendo mas empleada. Sobre todo,porque incluso cuando el comportamiento del material es no lineal, como en el caso delhormigon, pueden obtenerse resultados bastante aproximados siempre que se empleenmodelos del material apropiados como los que se utilizan para la viga de Bernoulli Euler[Rıo, 1986; EHE, 2010]. Otro aspecto adicional a tener en cuenta cuando se empleanalgunos modelos computacionales mas complejos y no los modelos simplificados es ladificultad para interpretar de manera inmediata el sentido fısico de algunos algoritmos.

Desde este punto de vista, un modelo que podrıa resultar adecuado, tanto por su pre-cision como por su sentido fısico, es el basado en el concepto de pieza lineal equivalente[Ortega, 2004; Romero et al., 2005, 2007]. La simplificacion que plantea dicho concep-to, consiste en resolver el problema de una pieza en regimen no lineal transformandolosucesivamente en uno lineal equivalente mediante una homotopıa, de modo que ambaspiezas tengan la misma deformada y los mismos esfuerzos.

Cabe indicar no obstante, que a pesar de la demostrada eficacia (menor tiempo compu-tacional) y adecuada precision, para resolver con exito problemas de pandeo de pilares,considerando la no linealidad del material con la teorıa de clasica de Bernoulli- Euler[Ortega, 2004; Romero et al., 2005], o problemas de vigas cortas considerando una rela-cion lineal entre el cortante y la deformacion por cortante [Romero et al., 2007], hastala fecha no se habıa planteado la generalizacion del problema considerando la deforma-cion por cortante conjuntamente con la no linealidad del material. Dicha generalizacion,requiere no solo la consideracion de momentos puntuales ficticios como se habıa venidohaciendo [Ortega, 2004; Romero et al., 2005], sino ademas, la consideracion de accionespuntuales ficticias y momentos distribuidos ficticios.

Es claro pues, que el tema de los modelos de vigas sigue siendo no solo un tema deactualidad sino un tema que requiere la consideracion de nuevas propuestas a fin de

2

Capıtulo 1. Introduccion

desarrollar modelos simplificados capaces de captar la naturaleza del comportamientomecanico de los materiales, por complejos que estos sean, y de producir resultadossuficientemente precisos sin que ello conlleve un alto coste computacional.

1.2 Objetivos

Teniendo en cuenta lo descrito anteriormente, en este trabajo se lleva a cabo el analisisde elementos viga y viga-columna en regimen no lineal con deformacion por cortante(donde la no linealidad viene dada por el comportamiento del material) aplicando elconcepto de Pieza Lineal Equivalente. Los estudios se centran en el analisis de piezasde hormigon estructural sometidas a flexion o a flexion y compresion.

Por tanto, el objetivo principal de la presente investigacion es:

Analizar, sistematizar y generalizar la idea del concepto de Pieza Lineal Equivalente,aplicandolo a la resolucion de modelos de viga y viga-columna en regimen no lineal condeformacion por cortante, centrado fundamentalmente al calculo de piezas caracteriza-das por un comportamiento altamente no lineal, como es el caso de las de hormigon.

Dentro del marco del objetivo general se persiguen los siguientes objetivos particulares:

Resolucion de vigas y vigas-columna en regimen lineal con deformacion por cor-tante mediante elementos finitos con solucion nodal exacta y accion repartidaequivalente de cualquier orden.

Analisis del concepto de pieza lineal equivalente aplicado a la resolucion de unproblema de contorno de segundo orden, considerando como caso representativoel de una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal, con el fin depormenorizar la metodologıa y destacar sus aspectos mas relevantes.

Comprobacion de la metodologıa propuesta para el analisis de la viga y viga-columna en regimen no lineal y con deformacion por cortante, considerando di-ferentes condiciones de carga, de vınculo, geometrıa y propiedades mecanicas delos materiales.

1.3 Contenido

Esta tesis doctoral esta compuesta de siete capıtulos, de los cuales el primero corres-ponde a la presente introduccion.

En el segundo capıtulo que trata sobre el estado del arte, se hace una revision de lasteorıas de vigas que tienen en cuenta la deformacion por cortante. Posteriormente sedestacan los diferentes metodos de calculo aparecidos en la literatura, para la resolu-cion de problemas de vigas y vigas-columna tanto en regimen lineal como no lineal.Finalmente se lleva a cabo un analisis de los modelos que incluyen la deformacionpor cortante para el estudio de elementos de hormigon estructural, haciendo tambienhincapie en los modelos del material utilizados para la obtencion de los diagramasmomento-curvatura y cortante-deformacion por cortante.

3

1.4. Publicaciones

En el capıtulo tres se muestra el analisis en regimen lineal de la viga y viga colum-na de Timoshenko aplicando el concepto de solucion nodal exacta y accion repartidaequivalente. En un primer apartado se analiza la viga, y se introduce tambien el con-cepto de orden de la accion repartida equivalente, ademas se desarrolla una serie deejemplos para diferentes estados de carga y vınculo. En un segundo apartado se ana-liza la viga-columna de Timoshenko, obteniendose la matriz de rigidez exacta, con unprocedimiento diferente al utilizado por otros autores. Finalmente se hace un analisissobre las cargas de pandeo y tambien se desarrollan varios ejemplos ilustrativos de lametodologıa propuesta para los casos lineales.

En el capıtulo cuatro se analiza el concepto de pieza lineal equivalente para la resolu-cion de problemas no lineales. Desarrollandose dos metodologıas, una para problemasisostaticos y otra que denominamos general, para problemas tanto isostaticos comohiperestaticos. Se aborda en primer lugar el analisis de una barra sometida a accionesaxiales con comportamiento no lineal del material. A continuacion se destaca el concep-to de carga ficticia tanto discreta, resultado de la aplicacion del metodo de elementosfinitos, como continua, cuando el numero de elementos tiende a infinito y el tamano detodos ellos tiende a cero, poniendose de manifiesto, en este ultimo caso, la equivalenciade dos problemas continuos con la misma solucion, uno en regimen no lineal y el otroen regimen lineal.

En el capıtulo quinto se aplica el concepto de pieza lineal equivalente en el analisisno lineal de la de viga y viga-columna con deformacion por cortante. Se describe lametodologıa para la resolucion de vigas y se desarrolla un ejemplo de aplicacion de lamisma con el fin de ilustrar detalladamente todos los pasos y conceptos que conllevael procedimiento. Posteriormente, se extiende dicha metodologıa a la resolucion de laviga-columna, con la inclusion de la carga P de compresion, ilustrandose del mismomodo que en el caso anterior la aplicacion del procedimiento.

En el capıtulo seis se muestra el alcance de la metodologıa propuesta a traves deuna serie de casos. Para tal fin se han elegido o desarrollado una serie de ejemplosrepresentativos aplicados al calculo de vigas y vigas-columna, considerando distintassituaciones de carga, geometrıa y condiciones de vınculo. Los resultados obtenidos sehan comparado con los hallados tanto experimentalmente como numericamente porotros autores.

Finalmente, en el capıtulo septimo se recogen las principales conclusiones obtenidasen esta investigacion y se proponen otros trabajos futuros en relacion con los temastratados en la presente memoria.

1.4 Publicaciones

El presente trabajo se ha realizado dentro del Grupo de Gestion de Riesgo y Seguridad,del Departamento de Construccion del Instituto de Ciencias de la Construccion Eduar-do Torrroja, CSIC, en colaboracion con el Departamento de Matematica e InformaticaAplicadas a la Ingenierıa Civil, de la ETSI de Caminos, Canales y Puertos de la UPM,contando con las siguientes ayudas para su realizacion:

4

Capıtulo 1. Introduccion

Analisis de elementos viga-columna en regimen no lineal con deformacion porcortante. Programa ”Junta para la Ampliacion de Estudios”, JAE, (2010-2014).

Proyecto coordinado Plan Nacional, Programa Retos de la Sociedad. (2014-2016):BIA 2013-48480-C2-1-R y BIA2013-48480-C2-2-R. .

El presente trabajo ha dado lugar a las siguientes publicaciones indexadas en Scopus:

Romero, J., Ortega, M., Lopez, E., & Rıo, O. (2014). Elementos finitos conacciones repartidas equivalentes de cualquier orden. Aplicacion a los modelos devigas de Timoshenko y Bernoulli-Euler. Informes de la Construccion, 66(535):e029 doi: 10.3989/ic.12.124.

E.M. Lopez, J.L. Romero, M.A. Ortega, O. Rıo, Simplified Finite Element As-sessment of Beams With and Without Shear Deformation, in B.H.V. Topping,P. Ivanyi, (Editors), Proceedings of the Fourteenth International Conference onCivil, Structural and Environmental Engineering Computing, Civil-Comp Press,Stirlingshire, UK, Paper 209, 2013. doi:10.4203/ccp.102.209.

5

CAPITULO 2

Estado del Arte

2.1 Introduccion

La formulacion no lineal de los problemas de piezas prismaticas surge principalmentepor dos motivos. El primero se debe a la consideracion de relaciones no lineales entredeformaciones y desplazamientos, conocido como no linealidad geometrica. El segundose origina debido a las relaciones constitutivas no lineales del material, lo que habi-tualmente se denomina no linealidad del material. Un tercer motivo de no linealidadaparece cuando las condiciones de contorno se modifican en el proceso de deformacion[Reddy, 2005].

Es habitual llamar no linealidad geometrica a la que resulta de formular las ecuacionesde equilibrio en la posicion deformada, sin embargo, en casos de pequenas deforma-ciones, como por ejemplo el pandeo de pilares, cuando se linealiza la expresion de lacurvatura y considerando un material con comportamiento lineal, el sistema de ecua-ciones diferenciales resultante es lineal, lo que da lugar a que la denominacion de nolinealidad geometrica sea un tanto contradictoria.

En el presente trabajo se aborda el analisis de elementos viga y viga-columna en regi-men no lineal con deformacion por cortante, donde la no linealidad viene dada porel comportamiento del material. Este tipo de no linealidad surge cuando el materialpresenta una relacion tension-deformacion no lineal. Asimismo, la no linealidad delmaterial se puede deber a otros aspectos, como en el caso del hormigon, por la inca-pacidad de resistir tracciones, lo que da lugar a la aparicion de fisuras que alteran elcomportamiento de la seccion.

En este capıtulo se hace una revision historica y en cierto modo sintetica de la literatura,sobre piezas prismaticas. En el siguiente apartado de este capıtulo se incluyen lasdiferentes teorıas de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion porcortante. Se desarrolla el modelo clasico de Timoshenko, ası como otras teorıas en lamisma lınea, que han aparecido en las ultimas decadas.

En el tercer apartado se realiza un analisis de los metodos de calculo no lineal de vigasy vigas-columna de hormigon estructural. Se examinan las aportaciones realizadas anivel normativo y pre-normativo sobre modelos de comportamiento para hormigon

7

2.2. Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la deformacion por cortante

estructural. Asimismo, se exponen los fundamentos para la obtencion de los diagramasmomento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante.

Finalmente, en el cuarto y ultimo apartado se expone un resumen de este capıtulo.

2.2 Teorıa de vigas y vigas-columna que tienen en cuenta la defor-macion por cortante

El estudio de vigas y vigas-columna, y piezas prismaticas en general, ha constituidouna rama muy consolidada de la resistencia de materiales, fundamentalmente a partirde los trabajos de Kirchhoff en 1859 [Villaggio, 1997]. Dicho estudio puede ser conside-rado, admitiendo algunas hipotesis simplificadoras e inconsistencias sobre los camposde tensiones y deformaciones, como una teorıa unidimensional derivada de la teorıa dela elasticidad tridimensional.

Una de estas hipotesis simplificadora introducida por Jacob Bernoulli, mucho tiempoantes de quedaran bien establecidas las ecuaciones de la elasticidad por Cauchy en 1829[Villaggio, 1997], es la que indica que las secciones planas normales al eje de la viga per-manecen planas y normales a la viga durante la deformacion. Esta hipotesis constituyela base de la teorıa clasica de vigas y vigas-columna denominada de Bernoulli-Euler.Los resultados de esta teorıa de vigas se consideran adecuados para elementos linealesen los que la longitud es muy superior al canto de la pieza.

Sin embargo, en los casos donde la relacion canto luz no es pequena, o en miembros conpoca rigidez frente a cortante, se han desarrollado modelos mas realistas que tienenen cuenta las deformaciones debidas a este esfuerzo. La primera teorıa de vigas queincorpora estos efectos es conocida como teorıa de primer orden con deformacion porcortante o Teorıa de viga de Timoshenko. La misma fue propuesta por Engesser en1891 y Timoshenko en 1921 [Wang et al., 2005]. Ella considera que las secciones no semantienen perpendiculares a la directriz del elemento, aunque siguen manteniendoseplanas. Es decir, considera un giro adicional de la seccion debido a la deformacion porel esfuerzo indicado, y para ello emplea una distribucion uniforme de tensiones tan-genciales en el canto, introduciendo un factor de correccion por cortante [Timoshenko,1921; Cowper, 1966].

Con el fin de reproducir de una manera mas realista la distribucion de tensiones tangen-ciales y de este modo evitar el uso del factor de correccion por cortante, han aparecidoen las ultimas tres decadas varias teorıas denominadas de alto orden o refinadas quetienen en cuenta este tipo de deformacion. Estas teorıas lo que hacen es mejorar el cam-po de desplazamiento, con respecto a lo que plantea la teorıa de Timoshenko, por loque no es necesario introducir ningun factor de correccion para dicho esfuerzo [Ghugaly Shimpi, 2001; Karama et al., 2003; Ghugal y Sharma, 2009; Shi y Voyiadjis, 2011].

De acuerdo con lo anterior, las teorıas de vigas que tienen en cuenta esta deformacionse pueden clasificar en dos grupos: Teorıa de viga de Timoshenko [Timoshenko, 1921;Cowper, 1966; Timoshenko y Goodier, 1970] y teorıas de alto orden con deformacion porcortante. Estas ultimas emplean diferentes funciones como campo de desplazamiento,como pueden ser: polinomicas [Levinson, 1981; Reddy, 1984, 1997; Shi, 2007; Shi y

8

Capıtulo 2. Estado del Arte

Voyiadjis, 2011], trigonometricas [Stein, 1989; Touratier, 1991; Ghugal y Shimpi, 2001;Dahake y Ghugal, 2013], hiperbolicas [Ghugal y Sharma, 2009, 2011], exponenciales[Karama et al., 2003].

En el caso de las teorıas de vigas-columna, la mayorıa de autores introducen el efectode la carga P de compresion, haciendo una simple modificacion en los modelos devigas, tal y como se puede ver en [Timoshenko y Goodier, 1970; Bazant y Cedolin,1991; Wang et al., 2000, 2005], para el caso de la teorıa de Timoshenko, y en [Wanget al., 2000, 2005; Challamel, 2011; Challamel et al., 2014], tanto para la teorıa deTimoshenko como para las teorıas de orden superior.

2.2.1 Teorıa de viga de Timoshenko

La teorıa de primer orden, tambien denominada teorıa de viga de Timoshenko, [Timos-henko, 1921] (o de Engesser-Timoshenko segun algunos autores [Wang et al., 2005]),tal y como se ha indicado, considera un giro adicional del eje de la seccion debidoa la deformacion tangencial o deslizamiento, γ, que no se contempla en el modeloBernoulli-Euler, ver Figura 2.1.

Figura 2.1. Desplazamientos y giros en la viga de Timoshenko

En la Figura 2.1, como puede verse, el giro del eje de la viga viene dado por dw/dx,ya que al ser el angulo pequeno puede identificarse dicho angulo con su tangente.Asimismo, el citado giro es la suma de ψ y γ.

Siguiendo la notacion empleada en [Romero et al., 2002], el campo de desplazamientos

9


(hipotesis cinematica), u y w, se puede expresar del siguiente modo:

u(x, z) = −zψ(x)

w(x, z) = w(x)(2.1)

donde w(x) y ψ(x) son respectivamente, en cada punto de abscisa x, el desplazamientovertical y el giro de la seccion. Las deformaciones para este campo de desplazamientosson:

εx =∂u

∂x= −zdψ

dx

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x=dw

dx− ψ

(2.2)

Considerando ahora para las tensiones la ley de Hooke unidimensional, se tiene:

σx = Eεx, τxz = Gγxz (2.3)

donde, E y G = E/[2(1+ν)] son el modulo de Young y el modulo de rigidez a cortante,respectivamente. Integrando sobre el area de la seccion transversal, A, se obtiene elmomento flector y el esfuerzo cortante, como:

M = −x

A

zσx dA = EIdψ

dx

Q =x

A

τ ∗xz dA = ksGA

(dw

dx− ψ

) (2.4)

donde, I es el momento de inercia de la seccion, ks es el llamado factor de correccionpor cortante y τ ∗xz es la distribucion rectangular de tensiones tangenciales equivalente.[Timoshenko, 1921] adopto para secciones rectangulares el valor ks = 2/3.

La eleccion del factor de correccion no es un proceso simple, ya que por ejemplo, paramateriales homogeneos e isotropos, el mismo depende de la geometrıa de la seccion yde las propiedades del material tal y como se indica mas adelante.

Se han calculado coeficientes de correccion en funcion de la geometrıa de la seccion ydel coeficiente de Poisson [Cowper, 1966; Hutchinson, 2001]. Tal y como indican al-gunos autores [Santiuste, 2007], la metodologıa de Cowper fue aplicado a materialeshomogeneos con propiedades ortotropas y la de Hutchinson se ha aplicado a materia-les homogeneos con propiedades anisotropas. Finalmente se indica que el valor masempleado hoy, para el factor de correccion y secciones rectangulares es ks = 5/6.

2.2.1.1 Ecuaciones de la viga de Timoshenko

Las ecuaciones de la viga de Timoshenko se pueden obtener por diferentes vıas: por unaparte planteando el equilibrio de la pieza [Timoshenko, 1921; Timoshenko y Goodier,1970], y por otra mediante integracion de las ecuaciones de la elasticidad tridimensional[Cowper, 1966; Villaggio, 1997] y asimismo, mediante el principio de Hamilton.

10


Ecuaciones de la viga de Timoshenko planteando el equilibrio de un ele-mento de viga

El sistema de ecuaciones diferenciales de la viga de Timoshenko se puede obtener plan-teando las ecuaciones de equilibrio, para ello consideramos una pieza recta inextensible,sometida a una carga distribuida F (s) actuando perpendicularmente a la directriz dela pieza sin deformar, no modificando su direccion en el proceso de deformacion. Seplantea el equilibrio en la posicion deformada, tal y como se indica en la Figura 2.2,donde el cortante modificado o pseudo-cortante V (perpendicular a la directriz inicial)y el momento flector M , dependen de la longitud de arco s.

Figura 2.2. Acciones en un elemento diferencial viga

El equilibrio de fuerzas verticales conduce a la siguiente expresion:

V + dV − V + F (s)ds = 0

es decir a la relacion:

−dVds

= F (s) (2.5)

Planteando el equilibrio de momentos respecto del punto A, se tiene la siguiente rela-cion:

M + dM −M + F (s)ds(αdx) + (V + dV )dx = 0

donde αdx es un valor intermedio entre 0 y dx. Prescindiendo del momento producidopor la carga F (s), al ser un infinitesimo de orden superior respecto a ds, y dado quedw = ds sen θ, dx = ds cos θ resulta:

dM

ds+ V cos θ = 0 (2.6)

Despejando V de (2.6) se tiene:

V = − 1

cos θ

dM

ds(2.7)

11


derivando la expresion anterior y sustituyendo el resultado en (2.5) se tiene:

d

ds

(1

cos θ

dM

ds

)= F (s) (2.8)

Por otra parte Q y V estan relacionados de la siguiente manera:

Q = V cos θ (2.9)

Por lo tanto la expresion (2.6) puede ponerse tambien como dM/ds + Q = 0, o equi-valentemente como:

cos θdM

dx+Q = 0 (2.10)

La expresion (2.8) se puede poner como:

cos θd

dx

(dM

dx

)= F (s) (2.11)

Teniendo en cuenta que F (s) depende de la deformada w, pero se tiene F (s)ds =f(x)dx, es decir que:

f(x) =F (s)ds

dx=F (s)

cos θ(2.12)

De la expresion (2.10) se tiene que:

dM

dx+

Q

cos θ= 0 (2.13)

Y sustituyendo (2.12) en (2.11) resulta entonces:

d2M

dx2= f(x) (2.14)

Las expresiones (2.13) y (2.14) representan las ecuaciones de equilibrio de una viga.Sustituyendo las relaciones constitutivas, (2.4), en las ecuaciones de equilibrio, resultael siguiente sistema de ecuaciones diferenciales. Por conveniencia (posterior formulaciondebil) (2.13) y (2.14) se expresan con el signo (-) en las dos ecuaciones: −

[√1 + w′2ksGA(w′ − ψ)

]′= f(x)

− (EIψ′)′ −√

1 + w′2ksGA(w′ − ψ) = 0

(2.15)

teniendo en cuenta que: cos θ = 1/√

1 + w′2.

Pero con la hipotesis habitual de w′2 1, el sistema no lineal anterior se transformaen el siguiente, que es el denominado sistema lineal de ecuaciones diferenciales para laviga de Timoshenko:

− [ksGA(w′ − ψ)]′ = f(x)− (EIψ′)′ − ksGA(w′ − ψ) = 0

(2.16)

12


Llamando EI = H a la rigidez a flexion y ksGA = K a la rigidez a cortante, el sistemade Timoshenko puede expresarse en la forma:

− [K(w′ − ψ)]′ = f(x)− (Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0

(2.17)

Por otra parte, cuando las rigideces a flexion y cortante, H y K, son constantes, laexpresion (2.17) puede escribirse como sigue:

−K(w′ − ψ)′ = f(x)−Hψ′′ −K(w′ − ψ) = 0

Deduccion de las ecuaciones de la viga de Timoshenko siguiendo el enfoquede Cowper, 1966 y Villaggio, 1997

El sistema de ecuaciones diferenciales para la viga de Timoshenko, para el caso estatico,expresion (2.16), se puede obtener tambien, siguiendo el enfoque de [Cowper, 1966], quededuce dichas ecuaciones por integracion de las ecuaciones de la elasticidad tridimen-sional. Un enfoque analogo, pero con ligeras diferencias que se indican mas adelante,es el seguido por [Villaggio, 1997]. En el desarrollo que sigue se mantiene la notacionutilizada en Cowper.

Se considera una viga como se muestra en la Figura 2.3. El eje x coincide con la lıneade baricentros de la seccion. Se supone ademas simetrıa respecto al plano x − z, quees el plano de desplazamiento de la viga. Sobre la viga actuan las fuerzas por unidadde volumen, Fz y Fy, ası como, las fuerzas por unidad de area en el contorno, Tz y Ty.Suponemos por simplificacion que Fx = 0 , Tx = 0.

Figura 2.3. Viga de seccion constante. Adaptado de [Cowper, 1966]

Cowper en su artıculo emplea una magnitud basica, W , y la define como el promediodel desplazamiento vertical de la seccion, por tanto:

W =1

A

x

Ω

uz dy dz (2.18)

Donde A es el area de la seccion transversal, uz es el desplazamiento vertical, y laintegracion se extiende sobre toda la seccion Ω. La ecuacion de equilibrio de un elemento

13


viga con respecto a las fuerzas que actuan en la direccion z es:

∂σxz∂x

+∂σyz∂y

+∂σzz∂z

+ Fz = 0 (2.19)

donde σxz, σyz y σzz son las componentes de las tensiones. Integrando sobre el area laexpresion (2.19) se tiene:

x

Ω

(∂σyz∂y

+∂σzz∂z

+ Fz

)dy dz +

x

Ω

∂σxz∂x

dy dz (2.20)

Se tiene ademas que:

x

Ω

∂σxz∂x

dy dz =∂

∂x

x

Ω

σxz dy dz

Siguiendo el enfoque de Cowper se tiene que:

Q =x

Ω

σxz dy dz (2.21)

donde Q representa el esfuerzo cortante que actua en la seccion transversal. De igualmanera se define p como:

p =x

Ω

(∂σyz∂y

+∂σzz∂z

+ Fz

)dy dz (2.22)

Aplicando el teorema de la divergencia a los dos primeros sumandos de (2.22) se tiene:

x

Ω

(∂σyz∂y

+∂σzz∂z

)dy dz =

˛Γ

(nyσyz + nzσzz) dS

quedando definida p en la forma:

p =

˛Γ

Tz dS +x

Ω

Fz dy dz (2.23)

donde:

Tz = nyσyz + nzσzz

donde, p, representa la carga transversal total por unidad de longitud. Teniendo encuenta (2.21) y (2.23), la expresion (2.20), se puede escribir tambien como:

−∂Q∂x

= p (2.24)

que representa la primera ecuacion de la viga de Timoshenko.

El sistema de ecuaciones de Timoshenko tambien contiene otra magnitud, Φ, que sedefine como:

Φ = −1

I

x

Ω

zux dy dz (2.25)

14


donde:

I : momento de inercia de la seccion respecto al eje yux : componente en x del desplazamiento de un elemento de la viga

Se puede decir que Φ representa, en cierto modo, un promedio de la rotacion respectoal eje y.

Para obtener la ecuacion del momento se emplea la ecuacion de equilibrio de un ele-mento viga con respecto a las fuerzas que actuan en la direccion x, se tiene por tanto:

∂σxx∂x

+∂σxy∂y

+∂σxz∂z

+ Fx = 0 (2.26)

Pero Fx = 0 por hipotesis. Multiplicando la expresion anterior por z, e integrando sobreel area Ω, se tiene:

x

Ω

z

(∂σxy∂y

+∂σxz∂z

)dy dz +

x

Ω

z∂σxx∂x

dy dz = 0 (2.27)

teniendo en cuenta que:

x

Ω

z∂σxx∂x

dy dz =∂

∂x

x

Ω

zσxx dy dz

ademas se sabe que:

M = −x

Ω

zσxx dy dz (2.28)

De manera que M representa el momento flector actuando en la viga. Integrando porpartes y aplicando el teorema de la divergencia al primer sumando de la expresion(2.27), se tiene:

x

Ω

z

(∂σxy∂y

+∂σxz∂z

)dy dz =

x

Ω

(∂(zσxy)

∂y+∂(zσxz)

∂z− σxz

)dy dz

=

˛Γ

z (nzσxz + nyσxy) dS −x

Ω

σxz dy dz

=

˛Γ

zTx dS −x

Ω

σxz dy dz

= −Q (2.29)

ya que por hipotesis Tx = 0. Por lo tanto la expresion (2.27) se puede escribir como:

−∂M∂x−Q = 0 (2.30)

La cual representa la segunda ecuacion de la viga de Timoshenko.

15


Con el fin de obtener la relacion entre W , Φ y la deformacion debida al esfuerzocortante, se definen los siguientes desplazamientos residuales, vx y vz, como:

uz = W + vz

ux = U − zΦ− vx (2.31)

donde U se define como:

U =1

A

x

Ω

ux dy dz (2.32)

y representa el promedio del desplazamiento de la seccion en la direccion x. Se deducede la expresion (2.31) lo siguiente:

x

Ω

vz dy dz = 0

x

Ω

vx dy dz = 0

x

Ω

zvx dy dz = 0 (2.33)

ya que:

x

Ω

vz dy dz =x

Ω

(uz −W ) dy dz

=x

Ω

uz dy dz −Wx

Ω

dy dz

= AW −WA

= 0

x

Ω

vx dy dz = −x

Ω

(ux − U + zΦ) dy dz

= −AU + UA− Φx

Ω

z dy dz

= 0

x

Ω

zvx dy dz = −x

Ω

z(ux − U + zΦ) dy dz

= −x

Ω

zux dy dz + Ux

Ω

z dy dz − Φx

Ω

z2 dy dz

= IΦ− 0− ΦI

= 0

El desplazamiento residual, vx, representa el alabeo de la seccion transversal, (veaseFigura 2.4).

16


Figura 2.4. Desplazamiento residual vx

Haciendo uso de las relaciones constitutivas, es decir de la relacion tension-deformacion,se tiene:

∂ux∂z

+∂uz∂x

=σxzG

(2.34)

Sustituyendo (2.31) en (2.34), se tiene:

∂(U − zΦ− vx)∂z

+∂(W + vz)

∂x=σxzG

∂W

∂x− Φ =

σxzG− ∂vz∂x

+∂vx∂z

(2.35)

Integrando (2.35) sobre el area Ω y teniendo en cuenta la expresion(2.33) resulta:(∂W

∂x− Φ

)x

Ω

dy dz =x

Ω

(σxzG− ∂vz∂x

+∂vx∂z

)dy dz

∂W

∂x− Φ =

1

AG

x

Ω

(σxz +G

∂vx∂z

)dy dz (2.36)

A continuacion se obtiene la relacion momento-curvatura. Partiendo de la relaciontension-deformacion:

E∂ux∂x

= σxx − ν(σyy + σzz) (2.37)

donde E es el modulo de elasticidad y ν es el coeficiente de Poisson. Multiplicando laexpresion anterior por z e integrando sobre el area Ω queda:

E∂

∂x

x

Ω

zux dy dz =x

Ω

zσxx dy dz − νx

Ω

z(σyy + σzz) dy dz

o equivalentemente:

EI∂Φ

∂x= M + ν

x

Ω

z(σyy + σzz) dy dz (2.38)

Se han obtenido las dos ecuaciones de equilibrio de la viga de Timoshenko, (2.24) y(2.30), ası como, las dos relaciones constitutivas (2.36) y (2.38), que se muestran acontinuacion (Tabla 2.1).

17


−∂Q∂x = p

−∂M∂x −Q = 0

EI ∂Φ∂x = M + ν

sΩ z(σyy + σzz) dy dz

∂W∂x − Φ = 1

AG

sΩ

(σxz +G∂vx

∂z

)dy dz

Tabla 2.1. Resumen de las ecuaciones de equilibrio y constitutivas

Hasta ahora no se ha introducido ninguna aproximacion mas alla de la hipotesis habi-tual de la teorıa de la elasticidad lineal. Sin embargo, con el fin de resolver las ecua-ciones, es necesario introducir dos hipotesis acerca de la distribucion de las tensionesy deformaciones en la viga.

La primera hipotesis es que la contribucion de las tensiones σyy y σzz son pequenasen comparacion con σxx, y por tanto son despreciables, por lo cual la expresion (2.38)pasa a ser:

EI∂Φ

∂x= M (2.39)

La segunda hipotesis tiene que ver con la distribucion de las tensiones tangencialesen la viga, empleando soluciones exactas, en la distribucion de tensiones tangencialesen una viga uniforme, las cuales son conocidas en dos casos particulares de carga:una viga en voladizo con una sola carga transversal en el extremo y una viga cargadauniformemente. En ambos casos las tensiones tangenciales σxy, σxz y el desplazamientoux estan dados por [Love, 1944], y son:

σxz =Q

2(1 + ν)I

[∂χ

∂z+νz2

2+

(1− 1

2ν

)y2

]σxy =

Q

2(1 + ν)I

[∂χ

∂y+ (2 + ν)zy2

]ux = zf(x)− Q

EI(χ+ zy2)

(2.40)

donde χ(y, z) es una funcion armonica que satisface la siguiente condicion de contorno:

∂χ

∂n= −nz

[νz2

2+

(1− 1

2ν

)y2

]− ny(2 + ν)zy (2.41)

La funcion f(x) en la expresion (2.40) es un polinomio cuya forma exacta dependede las condiciones en el extremo de la viga, pero para este caso no es necesario conocerla.

18


Asumiendo que las tensiones tangenciales y el desplazamiento vienen dadas por (2.40),se tiene para vx la siguiente expresion:

vx =Q

EI

[−χ− zy2 +

1

A

x

Ω

(χ+ zy2) dy dz +z

I

x

Ω

z(χ+ zy2) dy dz

](2.42)

Evaluando ahora la integral en (2.36) se obtiene:

x

Ω

(σxz +G

∂vx∂z

)dy dz =

Q2(1+ν)I/

[ν(I1−I)

2−AI

sΩ z(χ+zy2) dy dz

] (2.43)

donde:

I1 =x

Ω

y2 dy dz (2.44)

I1 es el momento de inercia de la seccion respecto al eje z. Sustituyendo (2.43) en (2.36)se tiene entonces:

∂W

∂x− Φ =

Q

KsAG(2.45)

donde Ks es una cantidad dada por:

Ks =2(1 + ν)I

ν(I1−I)2−

sΩz(χ+ zy2) dy dz

(2.46)

Esta expresion 2.46 es la formula presentada por [Cowper, 1966] como el coeficientede correccion por cortante Ks. De acuerdo con lo anterior se obtienen finalmente lasecuaciones constitutivas de la viga de Timoshenko:

EI∂Φ

∂x= M

KsAG

(∂W

∂x− Φ

)= Q

(2.47)

Sustituyendo (2.47) en (2.24) y (2.30), resulta por ultimo el sistema de ecuacionesdiferenciales de la viga de Timoshenko:

−[KsAG

(∂W∂x− Φ

)]′= p

−(EI ∂Φ

∂x

)′ −KsAG(∂W∂x− Φ

)= 0

(2.48)

que tiene la misma estructura que la expresion (2.16), teniendo en cuenta que:

w = W, ψ = Φ, Ks = ks, p = f(x)

La expresion (2.48) es la misma presentada por [Villaggio, 1997], sin embargo elautor va mas alla y trata de mejorar el valor del coeficiente Ks, considerando que lastensiones σyy y σzz no son pequenas, y de esta manera trata de obtener una relacionmas precisa entre el momento y la curvatura.

19


2.2.1.2 Ecuaciones de la viga-columna de Timoshenko

Dicho sistema de ecuaciones diferenciales se obtiene de las ecuaciones de equilibrio, demanera analoga a las de la viga, considerando el efecto de la carga P , que origina unacompresion en la pieza [Timoshenko y Gere, 1963]. Para ello se plantea el equilibrio enla posicion deformada, tal y como se indica en la Figura 2.5.

Figura 2.5. Acciones en un elemento diferencial viga-columna

El equilibrio de fuerzas verticales conduce a la siguiente expresion:

V + dV − V + F (s)ds = 0

es decir a la relacion

−dVds

= F (s) (2.49)

Planteando el equilibrio de momentos respecto del punto A, se tiene la siguiente rela-cion:

M + dM −M + F (s)ds(αdx) + (V + dV )dx+ Pdw = 0

donde αdx es un valor intermedio entre 0 y dx. Prescindiendo del momento producidopor la carga F (s), al ser un infinitesimo de orden superior respecto a ds, y dado quedw = ds sen θ, dx = ds cos θ resulta:

dM

ds+ V cos θ + P sen θ = 0 (2.50)

Despejando V de la expresion anterior se tiene:

V = − 1

cos θ

dM

ds− P tan θ (2.51)

Derivando (2.51) y sustituyendo el resultado en (2.49) se tiene:

d

ds

(1

cos θ

dM

ds

)+ P

d

ds(tan θ) = F (s) (2.52)

20


Por otra parte Q, P y V , P estan relacionados de la siguiente manera:[Q

P

]=

[cos θ sen θ− sen θ cos θ

] [VP

],

[VP

]=

[cos θ − sen θsen θ cos θ

] [Q

P

](2.53)

Ası, la expresion (2.50) puede ponerse tambien como dM/ds + Q = 0, o equivalente-mente:

cos θdM

dx+Q = 0 (2.54)

Asimismo (2.52) se puede expresar en la forma:

cos θ

[d

dx

(dM

dx

)+

d

dx

(Pdw

dx

)]= F (s) (2.55)

Considerando la relacion que existe entre F (s) y f(x), (vease expresion (2.12)), ysustituyendo la misma en (2.55) queda:

d2M

dx2+

d

dx

(Pdw

dx

)= f(x) (2.56)

Las ecuaciones de equilibrio para la viga-columna de Timoshenko son por tanto lasexpresiones (2.54) y (2.56). Sustituyendo las relaciones constitutivas del modelo deTimoshenko, M = EIψ′ y Q = ksGA(w′ − ψ), en las ecuaciones de equilibrio, ysabiendo que cos θ = 1/

√1 + w′2, resulta el siguiente sistema no lineal de ecuaciones

diferenciales: −[√

1 + w′2ksGA(w′ − ψ)]′

+ (Pw′)′ = f(x)

− (EIψ′)′ −√

1 + w′2ksAS(w′ − ψ) = 0

(2.57)

Similarmente al caso de la viga, w′2 1, y el sistema lineal de ecuaciones diferenciales,para la viga-columna de Timoshenko, es:

− [ksGA(w′ − ψ)]′ + (Pw′)′ = f(x)− (EIψ′)′ − ksGA(w′ − ψ) = 0

(2.58)

La expresion anterior es la empleada habitualmente en el analisis de la viga-columna deTimoshenko (denominada tambien de Engesser-Timoshenko) [Wang et al., 2005]. Lla-mando EI = H y ksGS = K y considerando P es constante, el sistema de Timoshenkopuede expresarse en la forma:

− [K(w′ − ψ)]′ + Pw′′ = f(x)− (Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0

(2.59)

Por ultimo, cuando las rigideces a flexion y cortante,H yK, son constantes, la expresion(2.59) puede escribirse como sigue:

−K(w′ − ψ)′ + Pw′′ = f(x)−Hψ′′ −K(w′ − ψ) = 0

(2.60)

21


2.2.2 Teorıas de vigas de alto orden o refinadas

Las teorıas de orden superior o refinadas, tal y como se ha indicado, se caracterizanpor mejorar, en cierto modo, el campo de desplazamientos, respecto a los que da elmodelo de Timoshenko. No introducen el factor de correccion por cortante, pues noconsideran una tension tangencial constante equivalente. Para los desplazamientos pue-den emplearse funciones polinomicas, en su mayorıa polinomios cubicos, de ahı que sedenominen tambien, teorıas de tercer orden [Levinson, 1981; Reddy, 1984, 1997; Shi,2007; Shi y Voyiadjis, 2011] .

Las teorıas que emplean funciones trigonometricas e hiperbolicas, como campo de des-plazamiento, se denominan habitualmente teorıas refinadas [Ghugal y Sharma, 2011].Entre ellas tenemos las presentadas por [Stein, 1989; Touratier, 1991; Ghugal y Shim-pi, 2001], en el caso de funciones trigonometricas y las desarrolladas por [Ghugal ySharma, 2009, 2011], con funciones hiperbolicas.

Hay que destacar en estas teorıas, que la deformacion tangencial y consecuentemente lastensiones cortantes, se anulan en los bordes superior e inferior de la viga. A continuacionse expone de manera breve la deduccion de las ecuaciones diferenciales de aquellasteorıas mas citadas en la literatura.

Se indica que las diferentes teorıas que se describen a continuacion, extraıdas de distin-tos artıculos, se exponen respetando la notacion empleada en ellos, el criterio de signos,ası como, el proceso de deduccion, pero limitadas todas ellas al caso estatico.

2.2.2.1 Teorıa de viga de Levinson

Levinson, 1981 desarrolla una teorıa de vigas, para una seccion rectangular, que tiene encuenta la deformacion por cortante, pero que no requiere el uso del factor de correccion,ks, del modelo de Timoshenko. La notacion y el convenio de signos utilizado se muestranen la Figura 2.6.

Figura 2.6. Notacion y convenio de signos: (a) definicion positiva de momentos, cortantes ycargas y (b) definicion positiva de desplazamientos y giros. Adaptada de [Levinson, 1981]

22


El campo de desplazamientos para Levinson, u y w, es:

u = zψ(x)− 4z3

3h2

(ψ +

dw

dx

)w = w(x)

(2.61)

donde w(x) es el desplazamiento vertical, h es el canto de la viga y ψ(x) representael giro, en la fibra neutra de la viga. El campo de desplazamiento anterior satisface lacondicion de que las tensiones tangenciales se anulan en los bordes superior e inferiorde la viga.

Empleando la ley de Hooke unidimensional, para las tensiones normales y tangenciales,e integrando sobre el area de la seccion A, se tiene que el momento flector es:

M =

ˆA

Ezdu

dxdA =

EI

5

(4dψ

dx− d2w

dx2

)(2.62)

y el esfuerzo cortante es:

Q =

ˆA

G

(du

dz+dw

dx

)dA =

2

3GA

(ψ +

dw

dx

)(2.63)

donde:

I : momento de inerciaA : area de la seccion transversalE : modulo de rigidez a flexionG : modulo de rigidez a cortante

Cabe destacar que Levinson en su artıculo, deduce el sistema de ecuaciones diferencialesmediante las ecuaciones de equilibrio, que no son variacionalmente consistentes con elcampo de desplazamientos de la expresion (2.61) [Reddy, 1984]. Es decir utiliza lasmismas ecuaciones de equilibrio que se emplean habitualmente en la teorıa de vigade Timoshenko y no las ecuaciones de Hamilton para el correspondiente funcional deenergıa potencial total. Las ecuaciones de equilibrio empleadas son:

dQ

∂x= −p

Q− dM

dx= 0

(2.64)

Sustituyendo (2.62) y (2.63) en la expresion anterior se obtiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales que rige el modelo de viga de Levinson.

23

(ddx

) [AG

(ψ + dw

dx

)]= −p

23AG

(ψ + dw

dx

)− 1

5

(ddx

) [EI(d2wdx2 − 4dψ

dx

)]= 0

(2.65)

Las condiciones de contorno de Dirichlet son las mismas que la de Timoshenko. Lascondiciones de contorno relativas a los esfuerzos, momento y cortante, difieren de lasde Timoshenko, como se puede ver en las expresiones (2.62) y (2.63).

23


2.2.2.2 Teorıa de viga Reddy-Bickfford

Reddy desarrolla a partir de la teorıa de tercer orden de placas, [Reddy, 1984], unateorıa de vigas empleando el mismo campo de desplazamientos que Levinson [Heyligery Reddy, 1988; Reddy, 1997]. Sin embargo, cabe destacar que llega a un sistema deecuaciones diferenciales que es variacionalmente consistente, por lo tanto ambos siste-mas son diferentes. El sistema de ecuaciones de la teorıa de Reddy-Bickfford se obtienemediante formulacion variacional, considerando solo el caso estatico y pequenas defor-maciones [Heyliger y Reddy, 1988]. El esquema de la viga, ası como el convenio designos es el mismo que el utilizado por Levinson, (vease Figura 2.6).

A partir del campo de desplazamientos para u y w, expresion (2.61) se obtienen lassiguientes deformaciones:

εx =∂u

∂x= z

dψ

dx− 4z3

3h2

(dψ

dx+d2w

dx2

)γxz =

∂u

∂z+∂w

∂x=

(1− 4z2

h2

)(ψ +

dw

dx

) (2.66)

Se emplea el principio de los trabajos virtuales para obtener el sistema de ecuacionesdiferenciales, es decir:

−ˆ h/2

−h/2

ˆ b

0

ˆ L

0

(σxδεx + τxzδγxz) dx dy dz +

ˆ L

0

q(x)δw dx = 0 (2.67)

donde b, h y L son el espesor, el canto y la longitud de la viga respectivamente, y q(x)es la accion repartida que actua en la viga (vease Figura 2.6). Teniendo en cuenta lasecuaciones constitutivas (2.3), y las deformaciones (2.66), y realizando la integracionsobre el area de la seccion se tiene:

−ˆ L

0

EI

dψ

dx

dδψ

dx− 16

105EI

[(dψ

dx+d2w

dx2

)dδψ

dx+

(dδψ

dx+d2δw

dx2

)dψ

dx

]+EI

21

(dψ

dx+d2w

dx2

)(dδψ

dx+d2δw

dx2

)+

8

15GA

(ψ +

dw

dx

)(δψ +

dδw

dx

)− qδw

dx = 0

(2.68)

Integrando por partes los terminos de la expresion anterior y agrupando los correspon-dientes a δw y δψ, se tiene el sistema de ecuaciones diferenciales que rige el modelo deviga de Reddy-Bickfford:

815

ddx

[GA

(ψ + dw

dx

)]− d2

dx2

[EI(

121d2wdx2 − 16

105dψdx

)]+ q = 0

− ddx

[EI(

68105

dψdx− 16

105d2wdx2

)]+ 8

15GA

(ψ + dw

dx

)= 0

(2.69)

Las condiciones de contorno asociadas a la expresion del sistema, (2.69), son:

EI

(68

105

dψ

dx− 16

105

d2w

dx2

)o ψx prescrito

8

15GA

(ψ +

dw

dx

)+ EI

(16

105

dψ

dx− 1

21

d2w

dx2

)o w prescrito

EI

(1

21

d2w

dx2− 16

105

dψ

dx

)o

dw

dxprescrito

24


El sistema de ecuaciones diferenciales, dado por (2.69), es variacionalmente consistentecon el campo de desplazamiento definido en (2.62). El mismo representa correctamen-te la distribucion parabolica de las tensiones tangenciales, cumpliendose la condicionrequerida de anularse en los bordes superior e inferior de la viga.

2.2.2.3 Teorıa de viga Shi y Voyiadjis

Shi desarrolla en 2007 una teorıa de tercer orden con deformacion por cortante para pla-cas, [Shi, 2007], a partir de esta, posteriormente en 2011 presenta una teorıa de viga dealto orden con deformacion por cortante, con condiciones de contorno variacionalmenteconsistentes [Shi y Voyiadjis, 2011].

El campo de desplazamientos empleado es el siguiente:

u(x, z) = u0(x) +5

4

(z − 4z3

3h2

)φx +

(1

4z − 5z3

3h2

)dw0

dx

w(x, z) = w0(x)

(2.70)

donde:

w(x) : desplazamiento verticalφx : giro de la seccionh : canto de la viga

A partir del campo de desplazamientos anterior, (2.70), se obtienen las deformacionesde la siguiente manera:

εx =∂u

∂x=

5

4

(z − α1z

3) ∂φ∂x−(z

4− α2z

3) ∂2w

∂x2

γxz = 2εxz =∂u

∂z+∂w

∂x=

5

4

(1− 3α1z

2)(

φ+∂w

∂x

) (2.71)

donde: α1 = 4/3h2 y α2 = 5/3h2

Las tensiones no nulas sobre la seccion transversal de la viga son la tension normal,σx,y la tension tangencial, τxz, que para un material ortotropico le corresponden las ecua-ciones constitutivas siguientes:

σx = C11εx, τxz = C55γxz (2.72)

donde:

C11 : modulo elastico de traccion en la direccion axial de la viga ortotropicaC55 : modulo de rigidez a cortante de la viga ortotropica

La energıa de deformacion de una viga de longitud L y un area de seccion la transversalA, se puede definir en terminos de φx y w como:

Π(ψ,w) =1

2

ˆ L

0

ˆ h/2

−h/2

(C11ε

2x + C55γ

2xz

)dAdx

=1

2

ˆ L

0

D11

[β1

(∂φ

∂x

)2

+5

2β2∂φ

∂x

∂2w

∂x2+ β3

(∂2w

∂x2

)2]

+ T55

(φ+

∂w

∂x

)dx

(2.73)

25


donde dA es el elemento de area de la seccion transversal, β1 = 85/84, β2 = 1/105 yβ3 = 1/84 son las constantes de integracion, y D11 y T55 vienen dados por:

D11 =

ˆ h/2

−h/2C11z

2 dA, T55 =25

16

ˆ h/2

−h/2C55

(1− 3α1z

2)2dA (2.74)

En el caso de una viga rectangular con material isotropico y modulos Young y modulode rigidez cortante, E y G, la expresion (2.74) da lugar a D = D11 = EI y T55 =T = (5/6)GA, correspondiendo a un coeficiente de correccion por cortante, ks = 5/6en relacion con la viga de Timoshenko.

El trabajo externo realizado por una carga distribuida q(x) por unidad de longitudactuando en la superficie de la viga es:

We(w) = −ˆ L

0

q(x)w(x) dx (2.75)

Consecuentemente, para una viga con deformacion por cortante y con la carga externadefinida anteriormente, el correspondiente principio variacional es:

δ [Π(ψ,w) +We(w)] = 0 (2.76)

Sustituyendo (2.73) y (2.75) en la expresion (2.76) y realizando la integracion porpartes, se obtiene la siguiente expresion:ˆ L

0

∂

∂x

[β1

(D∂φ

∂x

)+

5

4β2

(D∂2w

∂x2

)]− T

(φ+

∂w

∂x

)δφx +

∂

∂x

[T

(φ+

∂w

∂x

)]+q − ∂2

∂x2

[5

4β2D

∂φ

∂x+ β3D

∂2w

∂x2

]δw

dx+

[D

(β1∂φ

∂x+ β3

∂2w

∂x2

)]δφx

+

[T

(φ+

∂w

∂x

)− β3

∂2

∂x2D

(φ+

∂w

∂x

)]δw + β3D

[∂φ

∂x+∂2w

∂x2

]∂δw

∂x

∣∣∣∣L0

= 0

(2.77)

Agrupando los terminos correspondientes a δw y δφ se tiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales que rigen el modelo de viga de Shi y Voyiadjis

∂∂x

[T(φ+ ∂w

∂x

)]− 1

84∂2

∂x2

[D(∂φ∂x

+ ∂2w∂x2

)]+ q = 0

∂∂x

[D(

8584∂φ∂x

+ 184∂2w∂x2

)]− T

(φ+ ∂w

∂x

)= 0

(2.78)

Aunque la expresion anterior esta escrita en terminos de derivadas parciales, se debeindicar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con x comovariable independiente y w y φ funciones de la misma.

Las condiciones de contorno asociadas a la expresion variacional (2.78), en los extremosde la viga, x = 0 y x = L, son:

M∗x =

[D

(85

84

∂φ

∂x+

1

84

∂2w

∂x2

)]o φx prescrito

Q∗x =

[T

(φ+

∂w

∂x

)− D

84

∂2

∂x2

(φ+

∂w

∂x

)]o w prescrito

MSx =

D

84

[∂φ

∂x+∂2w

∂x2

]o

∂w

∂xprescrito

26


donde:

M∗x : momento flector generalizado actuando en las seccion transversal de la viga

correspondiente a φxQ∗x : esfuerzo cortante generalizado actuando en las seccion transversal de la viga

relativo al desplazamiento wMS

x : momento flector suplementario asociado a ∂w/∂x

El sistema de ecuaciones diferenciales, (2.78) es variacionalmente consistente con elcampo de desplazamiento definido en (2.70).

2.2.2.4 Teorıas trigonometricas

Estas teorıas usan una funcion trigonometrica para formular el campo de desplaza-mientos. Stein desarrolla una teorıa de vigas refinada, empleando como campo de des-plazamiento una funcion sinusoidal, sin embargo, dicho campo no satisface la condicionde anulacion de las tensiones tangenciales en los bordes superior e inferior de la viga[Stein, 1989].

Posteriormente [Touratier, 1991] presenta un nuevo campo de desplazamiento sinusoi-dal empleandolo en placas. Luego [Ghugal y Shimpi, 2001] emplean el mismo campo dedesplazamiento que Touratier y desarrollan una teorıa trigonometrica variacionalmenteconsistente aplicada a vigas. Este mismo campo de desplazamientos ha sido empleadoposteriormente por otros autores [Thai y Vo, 2012; Dahake y Ghugal, 2013].

A continuacion se expone la deduccion del correspondiente sistema de ecuaciones dife-renciales desarrollada por [Dahake y Ghugal, 2013].

El dominio que define la viga es el siguiente (vease Figura 2.7):

0 ≤ x ≤ L, −b/2 ≤ y ≤ b/2, −h/2 ≤ z ≤ h/2

donde x, y, z son las coordenadas cartesianas, L y b la longitud y el espesor de la vigaen la direccion x e y respectivamente, y h es el canto de la viga en la direccion z. Laviga esta sometida a una accion repartida q(x).

Figura 2.7. Viga en flexion en el plano x-z. Adaptado de [Dahake y Ghugal, 2013]

27


El campo de desplazamientos, u y w, empleado es el siguiente:

u(x, z) = −zdwdx

+h

πsen(πzh

)φ(x)

w(x, z) = w(x)(2.79)

donde φ(x) es una funcion que representa el giro, en el fibra neutra de la viga. A partirdel campo citado se obtienen las deformaciones siguientes:

εx =∂u

∂x= −zd

2w

dx2+h

πsen(πzh

) dφdx

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x= cos

(πzh

)φ

(2.80)

Considerando las ecuaciones constitutivas (2.3), y las deformaciones anteriores, y em-pleando del principio de los trabajos virtuales se obtiene el sistema ecuaciones diferen-ciales y las condiciones de contorno naturales que son variacionalmente consistentes.Aplicando el principio de los trabajos virtuales resulta:

b

ˆ L

0

ˆ h/2

−h/2(σxδεx + τxzδγxz) dx dz −

ˆ L

0

q(x)δw dx = 0 (2.81)

Finalmente el sistema de ecuaciones diferenciales es:EI d

4wdx4 − 24

π3EId3φdx3 = q(x)

24π3EI

d3wdx3 − 6

π2EId2φdx2 + GA

2φ = 0

(2.82)

Las condiciones de contorno asociadas, en x = 0 y x = L, son:

Ma = EI24

π3

d2w

dx2− 6

π2EI

dφ

dxo φx prescrito

Vx = EId3w

dx3− 24

π3EI

d2φ

dx2o w prescrito

Mx = EId2w

dx2− 24

π3EI

dφ

dxo

dw

dxprescrito

El sistema de ecuaciones diferenciales, (2.82) es variacionalmente consistente con elcampo de desplazamiento (2.79).

2.2.2.5 Teorıas hiperbolicas

Estas teorıas emplean una funcion hiperbolica para formular el campo de desplazamien-tos. Fueron introducidas por [Soldatos, 1992] para placas, y posteriormente utilizadasen vigas por [Ghugal y Sharma, 2009, 2011]. El esquema de la viga se puede ver en laFigura 2.7.

El campo de desplazamiento propuesto es el siguiente:

u(x, z) = −zdwdx

+

[z cosh

(1

2

)− h senh

(zh

)]φ(x)

w(x, z) = w(x)

(2.83)

28


donde h es el canto de la viga y φ es una funcion desconocida que representa el giro dela fibra neutra de la viga. A partir del campo de desplazamientos anterior se obtienenlas deformaciones de la siguiente manera:

εx =∂u

∂x= −zd

2w

dx2+

[z cosh

(1

2

)− h senh

(zh

)] dφdx

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x=

[cosh

(1

2

)− cosh

(zh

)]φ

(2.84)

Considerado las ecuaciones constitutivas (2.3), y las deformaciones anteriores, y em-pleando del principio de los trabajos virtuales se obtiene el sistema ecuaciones diferen-ciales y las condiciones de contorno naturales que son variacionalmente consistentes.Aplicando el principio citado resulta:

b

ˆ L

0

ˆ h/2

−h/2(σxδεx + τxzδγxz) dx dz −

ˆ L

0

q(x)δw dx = 0 (2.85)

Procediendo del mismo que en los casos anteriores se obtiene el sistema de ecuacionesdiferenciales que rige este modelo de viga:

EI d4wdx4 − EIA0

d3φdx3 = q

EIA0d3wdx3 − EIB0

d2φdx2 +GAC0φ = 0

(2.86)

donde las constantes A0, B0 y C0 son las siguientes:

A0 = cosh

(1

2

)− 12

[cosh

(1

2

)− 2 senh

(1

2

)]B0 = cosh2

(1

2

)+ 6 [senh(1)− 1]− 24 cosh

(1

2

)[cosh

(1

2

)− 2 senh

(1

2

)]C0 = cosh2

(1

2

)+

1

2[senh(1) + 1]− 4 cosh

(1

2

)senh

(1

2

) (2.87)

Las condiciones de contorno asociadas, en x = 0 y x = L, son:

EIA0d2w

dx2− EIB0

dφ

dxo φx prescrito

EId3w

dx3− EIA0

d2φ

dx2o w prescrito

EId2w

dx2− EIA0

dφ

dxo

dw

dxprescrito

Finalmente, se indica que hay autores que expresan el campo de desplazamiento tam-bien mediante funciones exponenciales [Karama et al., 2003], lo que nos permite con-cluir que se esta tratando de barrer todas las posibilidades, para expresar la funcionde desplazamiento en el canto.

29

2.3. Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural

2.2.3 Eleccion de la teorıa de vigas y viga-columna con deformacion por cortantepara esta investigacion

De la revision realizada sobre vigas de alto orden o refinadas se pueden establecer lassiguientes conclusiones:

Los modelos desarrollados han intentado ampliar las teorıas ya bien establecidas deBernoulli-Euler y Timoshenko sin que ninguna de las aportaciones haya logrado, hastala fecha, desplazar desde el punto de vista practico a estas ultimas. Quedando susaplicaciones limitadas esencialmente a problemas academicos y a casos de caracterlineal.

Ademas, introducen en su desarrollo elementos que requieren informacion adicionalpara asignar los datos necesarios para las condiciones de contorno. Pues las que sonvariacionalmente consistentes requieren el valor de dw/dx. Por otra parte, las que norequieren dicha informacion adicional no son variacionalmente consistentes, como es elcaso del modelo de Levinson [Reddy, 1984]. No obstante hay que indicar la relevanciadicho modelo desde el punto de vista teorico, como primera aportacion dentro de losmodelos de alto orden.

De lo expuesto en las lıneas anteriores y especialmente en relacion con las aplicacionesde los modelos de vigas y pilares desde el punto de vista practico, y en problemas conno linealidad del material, se ha optado en esta investigacion partir de la teorıa de vigasde Timoshenko. La misma, ademas de incluir a la de Bernoulli-Euler, permite abordarsistematicamente distintos casos de no linealidad y particularmente la del material,que es la que se trata en esta investigacion, orientada al estudio de piezas de hormigonestructural.

2.3 Comportamiento de elementos viga y viga-columna de hor-migon estructural

El comportamiento de estructuras hiperestaticas (porticos, vigas, vigas-columna. . . ) dehormigon estructural1, ha sido analizado y estudiado mas que cualquier otro material.Esto es debido, por una parte, a que, por su versatilidad y economıa, dichas estructurasson las preferidas por los proyectistas y por otra, debido a la dificultad de dotarlasde una cierta ductilidad o de evaluar de forma eficiente (simple y rapida) y precisa(proxima a la realidad) la relacion causa-efecto.

Es un hecho que la rigidez (EI) de los elementos puede ayudar a minimizar grandesdeformaciones y desplazamientos, incluso las causadas por fenomenos dinamicos o deinestabilidad. Tambien es un hecho que, esta consideracion de rigidez elastica (que per-mite aplicar el principio de superposicion) conlleva mayores consumos de recursos y adimensionamientos antieconomicos, factores estos que, no concuerdan con los principiosde sostenibilidad en la industria del hormigon [Aıtcin y Mindess, 2011].

Como es sabido, para una mejor concordancia, entre la respuesta calculada y el verda-dero comportamiento de las estructuras de hormigon hiperestaticas, se requiere tener

1armado y/o pretensado: convencional, de alta y ultra alta resistencia con o sin fibras

30


en cuenta el comportamiento inelastico del material, las deformaciones y los efectos desegundo orden [Aguado, 1980; Marı, 1981; Rıo, 1986; Gutierrez, 1986; Bendito, 2006;Ceresa et al., 2007; Hellesland et al., 2013]. Sin embargo, el calculo no lineal, si biencomplica el analisis y aumenta de forma significativa el coste computacional, conllevaun importante ahorro en material y permite hacer una prediccion mas precisa de lascargas de colapso o fallo de las estructuras [Moller et al., 1997].

Cabe mencionar por tanto que la consideracion de la no linealidad en el analisis deestructuras de hormigon sirve para todos los casos sin restricciones mientras que lalinealidad facilita de forma significativa el problema. Por ello es practica comun ha-cer distintas simplificaciones (Tabla 2.2) en cualquiera de las ecuaciones que condi-cionan el analisis (equilibrio, material o adicionales de compatibilidad –estructurashiperestaticas-), sobre todo cuando se trata de modelos desarrollados para su uso habi-tual en la practica, donde se requiere un compromiso entre eficiencia y precision [Molleret al., 1997; Coceres et al., 2003].

Equilibrio (condiciones mecanicas)

Primer orden Segundo Orden

MaterialLineal Lineal No lineal

No lineal No lineal No lineal

Tabla 2.2. Calculo estructural. Origen de la no linealidad [Murcia, 1987]

Un estudio mas profundo sobre la consideracion o no de las no linealidades, ası como,sobre la incidencia en el analisis que puede tener el emplear distintas tecnicas mas omenos refinadas, cuando se considera la no linealidad, puede verse en el trabajo de[Murcia, 1987], quien asimismo refiere que, a la no linealidad propia de segundo ordense la suele llamar no linealidad geometrica [Reddy, 2005], debido a la influencia de lageometrıa deformada en el equilibrio de la pieza, aunque como el propio Murcia refiere,esta ”no linealidad” no es estrictamente geometrica, sino de tipo mecanico o comomucho mecanico-geometrica, porque afecta al equilibrio.

Por otra parte, y en relacion con los distintos metodos que consideran el comporta-miento de la estructura con unas caracterısticas no lineales del material, cabe indicarque los mismos abordan el problema segun un analisis compacto (variando las carac-terısticas fısicas de la seccion: area, inercia. . . ) o bien siguiendo un analisis separativo(introduciendolo como una accion: deformacion, rotacion impuesta) utilizando hastahace unos anos metodos manuales de resolucion directa (poco precisos y limitados)[Aguado, 1980] ademas de los metodos computacionales iterativos (Newton-Raphson yvariantes) [Aguado, 1980; Gutierrez, 1986; Reddy, 2005; Wriggers, 2008].

En cualquiera de los casos, lo que si es habitual, a fin de introducir de forma precisa elcomportamiento no lineal del material, es discretizar la pieza en un numero suficientede elementos, ya que la consideracion de la no linealidad del material a nivel de pieza,se calibra con respecto a relaciones esfuerzo-deformacion de las secciones. Las cuales seconstruyen, teniendo en cuenta relaciones realistas tension-deformacion para el aceroy el hormigon [Park y Paulay, 1975; Kwak y Kim, 2002, 2010].

31


Para estos casos, el uso del metodo de los elementos finitos o, el de las las diferenciasfinitas son los mas empleados para discretizar los elementos viga-columna a nivel depieza [Reddy, 2005; Lopez et al., 2013], o incluso a nivel de seccion [Ceresa et al., 2007].Lo que sı es un hecho es que cuando se considera, como en el caso de esta tesis, el modelode Timoshenko u otros modelos que tengan en cuenta la deformacion por cortante, laconsideracion de la relacion cortante-deformacion por cortante, debe introducirse comoparte del analisis de la seccion [Bonett, 2003; Marini y Spacone, 2006; Romero et al.,2007; Mergos y Kappos, 2008; Pham, 2009].

Asimismo, cuando se utiliza este modelo (Timoshenko) deberıan utilizarse diagramasmomento-derivada del giro (ψ′) o como la denomina [Challamel et al., 2014] momento-pseudocurvatura y no en terminos de la derivada segunda del desplazamiento (w′′),como es habitual cuando se utiliza la hipotesis de Bernoulli-Euler. En general, la lite-ratura consultada en relacion con el modelo de Timoshenko [Mergos y Kappos, 2008,2012; Pham, 2009; Pham et al., 2013], considera la deformacion por cortante y utilizadiagramas momento-curvatura adaptados a este modelo.

En los siguientes apartados, y tras describir de forma sucinta el Metodo de ElementosFinitos en problemas no lineales, se expone el comportamiento mecanico del hormigonestructural. Posteriormente se analiza el comportamiento de la seccion frente a car-gas monotonas crecientes a traves de los diagramas momento-curvatura y cortante-deformacion por cortante.

2.3.1 Metodo de Elementos Finitos en problemas no lineales

A continuacion se describe de manera un tanto esquematica la resolucion de un pro-blema no lineal aplicando el MEF en combinacion con el metodo de Newton Rhapson.

La formulacion por elementos finitos de un problema de contorno relativo a una ecua-cion o sistema no lineal de ecuaciones diferenciales conduce a un sistema de ecuacionesalgebraicas no lineales. Una vez ensambladas las ecuaciones locales y despues de impo-ner las condiciones de contorno, resulta la ecuacion de equilibrio global no lineal, quees de la forma siguiente (sistema de ecuaciones algebraicas no lineales):

[K (U)] U = F o R (U) = 0 (2.88)

siendo:

[K] : matriz de rigidez global, que depende del vector solucion UU : vector de desplazamientos nodales

F : vector de cargas nodales

R (U) : es el denominado vector residual

R (U) = [K (U)] U − F (2.89)

El objetivo es por lo tanto resolver la ecuacion no lineal (2.89). Dado que una soluciondirecta del sistema no lineal, R (U) = 0, en general no es posible de forma analıtica,

32


es necesario optar por procedimientos de calculo iterativo. Estos metodos permitendiferentes maneras de resolver el problema, y el procedimiento general y mas robusto,es proceder por linealizacion.

Por ejemplo, si queremos encontrar una aproximacion al vector solucion U, se partepor ejemplo de la aproximacion por U1, y entonces es posible evaluar la matriz derigidez

[K(U1)]. Esto equivale a linealizar la ecuacion (2.88). Entonces, la siguiente

aproximacion a la solucion se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones:[K(U1)] U = F (2.90)

La solucion U del sistema anterior se denominara U2, a partir de la cual se formarıaun nuevo sistema cuya matriz de coeficientes seria

[K(U2)] y ası sucesivamente. El

procedimiento se repite hasta que la solucion aproximada verifique ciertas condicionesusuales de parada de los algoritmos iterativos [Reddy, 2005].

Se desea destacar que la no linealidad puede deberse, tal y como se viene indicando,a diversas causas (no linealidad geometrica, no linealidad del material, etc.), lo cualno facilita la construccion de algoritmos iterativos robustos y eficientes de propositogeneral [Wriggers, 2008]. Por este motivo, se han desarrollado diferentes metodos ite-rativos especializados para resolver la ecuacion no lineal R (U) = 0, entre los cualesdestacan el metodo de Newton-Rhapson y sus distintas variantes. Dicho metodo sedescribe esquematicamente a continuacion.

El objetivo de la iteracion es reducir el vector residual, (2.89), a un valor mınimoprefijado (criterio de parada), de acuerdo con alguna de las normas vectoriales usuales||.||1, ||.||2 y ||.||∞. Realizando un desarrollo de Taylor respecto a la iteracion Up, yomitiendo terminos de orden superior se tiene:

R Up +

(∂ R∂ U

)pδ U = 0 (2.91)

donde(∂R∂U

)prepresenta la matriz Jacobiana particularizada en la solucion Up, que

en la terminologıa de elementos finitos es conocida como matriz de rigidez tangenteT (Up). Resolviendo el sistema lineal, (2.91), en la incognita δ U, se tiene:

Up+1 = Up + δU (2.92)

Una interpretacion grafica del metodo se puede ver en la Figura 2.8. El proceso iterativocontinua hasta que dos soluciones consecutivas alcanzan alguno de los criterios deparada.

Como se puede ver el metodo de Newton-Raphson requiere la evaluacion de la matriztangente, T (Up), en cada iteracion. En algunos casos puede ser preferible no volvera calcular dicha matriz, o como maximo volver a calcularla cada cierto numero q fijode iteraciones, ya que conlleva grandes costos computacionales. A este procedimientoes lo que se denomina metodo de Newton-Raphson modificado [Wriggers, 2008]. Sinembargo este ultimo metodo puede requerir un incremento considerable de iteracionespara alcanzar la convergencia.

33


U

R(U)=K(U)U-F

(U)

(U)

0 U1 U2

T(U )0 T(U )1F

UU1 U2

Uc

T(U )2

T(U )0

T(U )1

U

U1

U2

T(U )2

R

U0 U1 U2

R(U)

(a) (b)

Figura 2.8. Esquema de iteracion del metodo de Newton-Raphson: (a) en terminos de Ψ(U)y (b) en terminos del residuo R(U)

Existe otro tipo de metodos denominados cuasi-Newton que aproximan la inversa dela matriz de rigidez tangente en cada etapa, reduciendo ası en gran medida el tiempode calculo. Por otra parte el proceso se mejora ademas con algoritmos adicionales queactualizan la inversa de la matriz durante el proceso iterativo, siendo el metodo BFGS(Broyden, Fletcher, Goldfarb y Shanno) uno de los mas empleados [Wriggers, 2008].

2.3.2 No linealidad del material

Hasta la actualidad, se han desarrollado diferentes ecuaciones constitutivas que ca-racterizan el comportamiento de materiales friccionales, como es el caso del hormigonestructural, ante diversos estados de carga [ASCE, 1982; Rilem TC-162 TDF, 2002;Coto, 2007]. La mayorıa de estos modelos, intentan simular el comportamiento de unmaterial ideal que resulta de considerar ciertas hipotesis simplificativas en el solido realpor lo que solo reproducen el comportamiento del hormigon dentro de ciertos rangosmas o menos limitados [Oller et al., 1990].

Cabe indicar, para una mejor comprension de algunos de los aspectos que se tratan acontinuacion, el cambio significativo experimentado por el hormigon estructural, desdelos 70 del pasado siglo, en terminos de resistencia y/o ductilidad (por adicion de fibrasde acero) lo que ha derivado en una actualizacion de los modelos constitutivos delhormigon considerados por las actuales normativas [EC2, 2004; EHE, 2010; ACI 318,2010; MC, 2010] con el fin de tener en cuenta esta nueva situacion.

Cabe indicar, sin embargo, que si bien se ha producido una evolucion del concepto, lassecciones de hormigon estructural, siguen teniendo un comportamiento, que antes odespues, se aleja de la linealidad entre esfuerzos y deformaciones. Tal comportamientoglobal no es si no la suma de los comportamientos parciales de sus componentes, aspectoeste que analizaremos a continuacion.

34


2.3.2.1 Hormigon

El hormigon estructural es un material heterogeneo. Su comportamiento deformacional,que ha sido investigado principalmente con la ayuda de la experimentacion, es complejoy depende de numerosos parametros entre los cuales pueden citarse: i) las diferentescaracterısticas deformacionales de sus componentes (pasta, aridos, fibras, etc.), ii) tipode solicitacion actuante, iii) edad del hormigon, iv) nivel de compactacion, v) gradode confinamiento debido a las armaduras longitudinal y transversal.

Por lo general, la resistencia a la compresion del hormigon (fck), ası como el modulo deElasticidad (E), se obtiene a partir del ensayo de cilindros estandar al cabo de 28 dıasde su preparacion [Park y Paulay, 1994] mientras que para determinar la resistenciade traccion (fct) se han utilizado distintos ensayos [Barragan, 2002; Coto, 2007; ACI544.2, 2009].

La Figura 2.9 adaptada de distintas referencias bibliograficas [Park y Paulay, 1994;Aıtcin, 1998; Sparowitz et al., 2011; Rıo, 2014] muestra las curvas tıpicas tension-deformacion para distintas tipologıas de hormigon.

Figura 2.9. Curvas tension-deformacion del hormigon a compresion: 1) convencional, 2) dealta resistencia –HAR-, 3) ultra alta resistencia con fibras –HFRUAR-, 4) HFRUAR

confinado, 5) HFRUAR pretensado, 6) HFRUAR confinado pretensado

Como puede verse las curvas son casi lineales hasta aproximadamente la mitad de laresistencia maxima a compresion en la mayorıa de los casos variando su forma a medidaque: i) aumenta la resistencia (curvas 1, 2 o 3), ii) existe un mejor alineamiento delas fibras (curvas 3 en lınea continua y de trazo) o iii) se incrementa su confinamiento(curvas 4, 5 y 6).

En el caso de un hormigon convencional, la rigidez de la pasta de cemento no es muyelevada por lo que la rotura se produce en la pasta de cemento. En este caso la roturaes mas ductil, lo que a su vez conlleva una curva tension-deformacion mas suave en

35


su zona plastica. Es tambien importante notar que a medida que aumenta el valor dela tension, la deformacion asociada disminuye lo que se traduce en una importantedisminucion de las zonas de endurecimiento (de su nombre en ingles strain-hardening)y por tanto en un aumento de la fragilidad en el caso de los hormigones de alta yultra-alta resistencia (HAR y HUAR). Este comportamiento debe tenerse en cuentacuando los requerimientos de ductilidad exigen desarrollar grandes deformaciones decompresion en el hormigon.

Las pruebas realizadas por muchos investigadores, han demostrado que el confinamien-to, que depende del tipo de refuerzo transversal y su espaciado, puede mejorar con-siderablemente las caracterısticas esfuerzo-deformacion del hormigon a deformacioneselevadas, modificando tanto la zona de endurecimiento como la plastica, post-pico o deablandamiento (de su nombre en ingles strain-softening), haciendolo un material concomportamiento mas ductil [Bonett, 2003]. Las fibras de acero tambien contribuyen aincrementar la resistencia a flexotracion y permiten ademas tener un mejor control dela fisuracion [Coto, 2007].

Por otra parte las pruebas realizadas por algunos investigadores [Coto, 2007; Mayaet al., 2010; Rıo et al., 2013] sobre probetas de hormigon, con y sin fibras, permitenconfirmar el cambio de comportamiento en traccion que experimenta el hormigon cuan-do se le introduce fibras. La Figura 2.10(a) muestra que cuando se inicia el procesode carga, el que toma dicha carga es el hormigon, por lo tanto el trabajo de fibra du-rante esa fase es mınimo o nulo. Luego cuando la matriz de hormigon se empieza afisurar entonces empieza a transmitirle carga a las fibras, hasta que finalmente son lasfibras las que practicamente absorben toda la carga hasta su fallo que se produce poradherencia.

Si bien el mecanismo de transferencia de la carga se produce igual entre hormigon ybarra que entre hormigon y fibras tras la aparicion de la fisura, en el caso de la probetacon armadura embebida, Figura 2.10(b), la eficiencia es mayor y una vez transferido elesfuerzo a la barra el esfuerzo maximo es el asociado al de cedencia del acero (fy). Cabeindicar que las fibras no necesariamente trabajan todas a un 100 % de su capacidad yno todas estan ubicadas espacialmente en el sector donde las solicitaciones a tracciono flexotraccion son mas fuertes de ahı que su eficiencia sea menor [Coto, 2007].

Por ultimo, y en relacion con los hormigones con fibras cabe indicar el comporta-miento diferenciado de los HFRUAR debido a la mayor compacidad de la matriz yaltos contenidos de fibras. Como puede verse en la (Figura 2.11) los mismos presentanun comportamiento a traccion mas ductil con una rama de endurecimiento (strain-hardening) y una fisuracion multiple no localizada en correspondencia con este area[Maya et al., 2010; Spasojevic, 2008].

Teniendo en cuenta la variabilidad en el comportamiento tanto a compresion comoa traccion del hormigon estructural, resulta natural que se hayan propuesto distintosdiagramas tension-deformacion, o distintos modelos discretos (estos ultimos para elanalisis de las discontinuidades), basados algunos de ellos en resultados experimentalesy otros en las teorıas de la plasticidad, linealidad y no linealidad o de la fractura[Popovics, 1970; Sargin, 1971; Bazant y Kim, 1979; Damjanic y Owen, 1984; Bazant

36


y Oh, 1984; Kent y Park, 1971; Oller et al., 1990; Luccioni, 1994; Pulido, 2003; Lee yBarr, 2004].

Figura 2.10. Comportamiento de un elemento sometido a traccion: (a) hormigon reforzadocon fibras y (b) con barra de acero embebida en el hormigon. Adaptada de [Coto, 2007]

deformación abertura de fisuraεu εu w

Ec

f ct,mf ct

localización dela deformaciónstrain hardening

múltiples microfisuras

Figura 2.11. Comportamiento a traccion uniaxial de HRFUAR. Adaptado de [Maya et al.,2010; Spasojevic, 2008]

Estas diferencias tambien se recogen tanto en la normativa actual como en las pro-puestas normativas mas recientes. Por ejemplo, la EHE-08 o el MC-10, proponen eluso de dos diagramas: el diagrama parabola-rectangulo y el hiperbolico, para el dimen-sionamiento y/o comprobacion de soportes sometidos a esfuerzo de flexo-compresion,indicando que se debe usar aquel que se corresponda con el caso de estudio (servicio–ELS-, ultimo –ULS-. . . ) [EHE, 2010; MC, 2010].

A diferencia de las versiones anteriores de estas normativas, en la actualidad se especi-fican diferentes valores de los parametros de la ecuaciones, con el fin de incorporar los

37


hormigones de alta resistencia. En referencia con este tema, otras normativas, proponendiagramas similares al diagrama parabola-trapecio propuesto por Kent y Park [Kenty Park, 1971] o al de Sargin [Sargin, 1971], con el fin de considerar ademas distintosniveles de confinamiento. Cabe indicar, asimismo, que el rango de valores de resistenciade los HAR difiere entre las distintas normativas. La Figura 2.12(a)-(d), recoge algunosde los diagramas anteriormente mencionados.

Tambien, es preciso indicar que debido a la baja resistencia a traccion del hormigon,generalmente se ha venido despreciando en los calculos este parametro. Sin embargo,cuando se tiene en cuenta, el esfuerzo-deformacion por traccion para hormigones arma-dos, el mismo se puede idealizar como una lınea recta hasta el valor de la resistenciamaxima fct. Dentro de este rango, se puede suponer que el modulo de elasticidad entraccion es el mismo que a compresion.

Sin embargo, en las normativas que incluyen hormigones reforzados con fibras, comoes el caso de la EHE, se incluyen diagramas para el analisis de elementos sometidosa flexotraccion, siendo uno de ellos similar al incluido en la Figura 2.12(e) (parte iz-quierda -zona de traccion-). Para obtener los parametros deformacionales del mismo, laEHE emplea el modelo de ensayo propuesto por [Rilem TC-162 TDF, 2002]. Por ultimoalgunas propuestas mas recientes [Attard y Setunge, 1996; AFGC-Setra, 2004; JSCE,2006] incluyen diagramas tension-deformacion con zonas de compresion y de traccionpara el calculo de secciones de hormigon de ultra alta resistencia con fibras o para sec-ciones sandwich (acero-hormigon-acero) con confinamiento del hormigon. Las Figuras2.12(e) y 2.12(f) muestran alguno de estos ultimos diagramas y sus correspondientesecuaciones.

2.3.2.2 Acero

La principal fuente de ductilidad de las estructuras de hormigon estructural reside enla gran capacidad del acero. Se trata de un material mucho mas homogeneo que elhormigon, y sus propiedades no estan sujetas a tan amplia dispersion, no obstante lasnormativas indican que, a falta de datos experimentales precisos, puede suponerse undiagrama elastoplastico con endurecimiento que no es igual en todas las mormativas[EC2, 2004; EHE, 2010; ACI 318, 2010; MC, 2010]. Por otra parte las normativascuando mencionan propiedades del acero describen las propiedades de las armadurasdiscretas (acero para armaduras pasivas o activas) colocadas en el elemento estructural.

A titulo de ejemplo la Figura 2.13 muestra los diagramas recogidos en la InstruccionEHE, para armaduras pasivas y activas respectivamente. Para las armaduras pasivasse adopta un diagrama birrectilineo compuesto de dos ramas.Una primera rama quecorresponde a un periodo de carga elastica (E=200.000N/mm2). Una vez que el acerollega a su lımite elastico (fyd), se puede considerar una segunda rama con pendientepositiva, obtenida mediante afinidad oblicua a partir del diagrama caracterıstico ouna totalmente horizontal hasta llegar a la deformacion lımite. Dicha deformacion selimita a las deformaciones del hormigon, en el caso de la compresion, y a traccion selimitan al 10.

38


2.3. Metodos de calculo no lineal de vigas y vigas-columna

2.3.2.1 Diagrama momento-curvatura de una seccion

2.3.2.2 Diagrama cortante-deformacion por cortante de una seccion

2.3.3 Resumen......

σc = fcd[1 −

(1 − εc

εc0

)n]si 0 ≤ εc ≤ εc0

σc = fcd si εc0 ≤ εc ≤ εcu

εc0 = 0.002 si fck ≤ 50N/mm2

εc0 = 0.002 + 0.000085 (fck − 50)0.50 si fck > 50N/mm2

εcu = 0.0035 si fck ≤ 50N/mm2

εcu = 0.0026 + 0.0144[(100−fck)

100

]4si fck > 50N/mm2

Tabla 2.1. Resultados del proceso de homotopıa de la viga-columna, rigidez a flexion ymomento puntual ficticio. P = 6300

36

(a)


σc = fcd[1−

(1− εc

εc0

)n]si 0 ≤ εc ≤ εc0

σc = fcd si εc0 ≤ εc ≤ εcuεc0 = 0.002 si fck ≤ 50N/mm2

εc0 = 0.002 + 0.000085 (fck − 50)0.50 si fck > 50N/mm2

εcu = 0.0035 si fck ≤ 50N/mm2

εcu = 0.0026 + 0.0144[(100−fck)

100

]4si fck > 50N/mm2

σcfcm

= −(

kη−η21+(k−2)η

)para |εc| < |εc,lim|

η = εcεc1

, k =EciEc1

fcm ≤ 120N/mm2

εc0.003

σ

εeε0.3ε1%εlimεbc

fctσbtσ1%

0.85fck/γb

Ec

fck > 150N/mm2, εbc = 0.85fck/γbEc, εe =fctγbEc

ε03 =w0.3lc

+fctγbEc

, ε1% =w1%lc

+fctγbEc

εlim =lf4lc

, σbt =σ(w0.3)Kγc

, σ1% =σ(w1%)

Kγb


37

(b)

(c) (d)


σc = fcd[1−

(1− εc

εc0

)n]si 0 ≤ εc ≤ εc0

σc = fcd si εc0 ≤ εc ≤ εcuεc0 = 0.002 si fck ≤ 50N/mm2

εc0 = 0.002 + 0.000085 (fck − 50)0.50 si fck > 50N/mm2

εcu = 0.0035 si fck ≤ 50N/mm2

εcu = 0.0026 + 0.0144[(100−fck)

100

]4si fck > 50N/mm2

σcfcm

= −(

kη−η21+(k−2)η

)para |εc| < |εc,lim|

η = εcεc1

, k =EciEc1

fcm ≤ 120N/mm2

εc0.003

σ

εeε0.3ε1%εlimεbc

fctσbtσ1%

0.85fck/γb

Ec

fck > 150N/mm2, εbc = 0.85fck/γbEc, εe =fctγbEc

ε03 =w0.3lc

+fctγbEc

, ε1% =w1%lc

+fctγbEc

εlim =lf4lc

, σbt =σ(w0.3)Kγc

, σ1% =σ(w1%)

Kγb


37

(e) (f)

Figura 2.12. Diagramas constitutivos del hormigon: (a) parabola-rectangulo [EHE, 2010], (b)hiperbola [MC, 2010], (c) [Kent y Park, 1971], (d) [Sargin, 1971], (e) [AFGC-Setra, 2004] y

(f) [Attard y Setunge, 1996]

La norma tambien refiere que si no se dispone de un diagrama garantizado puedeutilizarse para la armadura activa el diagrama de la Figura 2.13(b). Este diagrama

39


consta de un primer tramo recto de pendiente Ep y un segundo tramo curvo a partirde 0, 7fpk, definido por una expresion de quinto grado que es funcion de la tension (σ)y fpk. Otras normativas refieren diagramas similares, aunque adoptando otros valorespara los parametros.

(a) (b)

Figura 2.13. Diagramas constitutivos para el acero [EHE, 2010]: (a) armaduras pasivas y (b)aramaduras activas

2.3.2.3 Diagrama momento-curvatura de una seccion

Como ya se ha mencionado, para el analisis de elementos viga o viga-columna dehormigon usando MEF, se deben cumplir las condiciones de equilibrio, compatibilidady del material, tanto a nivel de seccion como de pieza o estructura general. Por otraparte es habitual plantear para estudiar la seccion una de las siguientes alternativas:i) las relaciones constitutivas no lineales de los materiales se introducen a nivel desecciones con esfuerzos internos y deformaciones generalizadas [Rıo, 1986; Gutierrez,1986; Moran, 1989; Moller et al., 1997; Coto, 2007; EHE, 2010] o ii) a nivel de seccionesdiscretizadas en fibras con relaciones tension-deformacion de los propios materiales[Taucer et al., 1991; Moller et al., 1997; Vecchio, 2000].

Ambos metodos (Figura 2.14), como refieren algunos de los autores antes mencionados,tienen un buen balance entre simplicidad y precision en el estudio de la respuesta nolineal.

Como ası mismo indican estos autores, para el primero de los metodos se requiere la defi-nicion de unos diagramas de interaccion a nivel de seccion, ademas de las caracterısticastenso-deformacionales del material. Para el segundo, si bien solo se requiere conocerlas caracterısticas tenso-deformacionales del material, se deben considerar ademas delos vectores de esfuerzos internos y deformaciones de la seccion, la definicion de dosvectores mas: un vector de deformaciones de las fibras y un vector de tensiones en lasfibras cuya simplicidad o complejidad de obtencion dependera de las hipotesis que seconsideren (secciones planas, consideracion de efectos de corte, . . . ).

40


Figura 2.14. Esquema de un elemento con secciones discretizadas por el metodo de fibras(superior) y consideracion de esfuerzos internos deformaciones de una seccion (inferior)

Un estudio mas profundo sobre los distintos modelos adoptados para el analisis dela seccion, ası como las posibles ventajas e inconvenientes que plantea el uso de losmodelos de fibras puede encontrarse en los trabajos de [Ceresa et al., 2007].

En lo que sigue, nos centraremos en los diagramas de interaccion a nivel de seccion,atendiendo a la metodologıa propuesta en esta tesis. Para la obtencion de estos diagra-mas se combinan los tres tipos de condiciones a fin de obtener las relaciones esfuerzo-deformacion de la seccion. Estas relaciones esfuerzo-deformacion se representan habi-tualmente mediante los diagramas momento-axil-curvatura [Gutierrez, 1986; Moran,1989; Moller et al., 1997].

Se tienen en cuenta por lo general las siguientes hipotesis:

Se admite la hipotesis de Bernoulli en la que las secciones se mantienen planasantes y despues de la deformacion y asimismo normales al eje de la pieza. Si bienpueden incluirse otras hipotesis en las que las secciones no permanecen normalesal eje de la pieza.

41


Que existe adherencia perfecta entre hormigon y acero, es decir, bajo la accionde las solicitaciones las armaduras tienen la misma deformacion que el hormigonque las envuelve.

Se admiten diagramas tension-deformacion del hormigon y del acero como losincluidos en los apartados 2.3.2.1 y 2.3.2.2.

Consideracion o no de resistencia a traccion y de rigidizacion a traccion del hor-migon.

Consideracion o no de efectos causados por cargas de larga duracion.

El agotamiento se caracteriza por el valor de la deformacion en determinadascapas de la seccion, definidas por los dominios de deformacion que pueden variarsegun se considere o no la fluencia del hormigon [Rıo, 1986] o la tipologıa delhormigon (vease Figura 2.15 tomada de [Coto, 2007]). Cabe indicar que para eltercero de los casos la contribucion de las fibras de la zona externa a la arma-dura no contribuyen significativamente y que los dominios considerados son: 1 )traccion simple o compuesta en donde toda la seccion esta en traccion. 2 ) flexionsimple o compuesta en la que el hormigon no alcanza la rotura. 3 ) flexion simpleo compuesta en donde las rectas giran alrededor del punto correspondiente a lamaxima deformacion a compresion del hormigon 3.5 y 4 ) compresion simpleo compuesta en la que los materiales trabajan a compresion.

La deformacion de una seccion debida a unos esfuerzos actuantes M , N , quedadefinida por la curvatura (o pseudo-curvatura) y la profundidad de la fibra neutra(Figura parte inferior). La relacion entre solicitacion y deformacion se obtieneutilizando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos:

Ni =

ˆ xn

0

σc(εc)b(y) dy +n∑i=1

Asiσsi(εsi)

Mi =

ˆ xn

0

σc(εc)b(y)y dy +n∑i=1

σsi(εsi)yAsi

donde las tensiones del hormigon con o sin fibras y del acero son funcion de ladeformacion existente en la capa correspondiente.

En la Figura 2.16 se muestra el aspecto de un diagrama generico obtenido teniendo encuenta las hipotesis anteriores y un procedimiento iterativo para la resolucion de lasecuaciones. En el diagrama que se obtiene por puntos existen unos puntos significativos,correspondientes a las siguientes curvaturas: i) para la que se produce la deformacionnula en la fibra de hormigon mas profunda. Esta curvatura indica el inicio de la fisu-racion del hormigon ya que segun las hipotesis adoptadas se desprecia la resistencia atraccion del mismo, ii) para la que alanza la deformacion del lımite elastico de la fibrade acero mas profunda de la seccion, es decir, la mas traccionada, iii) para la que sealcanza la deformacion del limite elastico de la fibra de acero menos profunda, es decir,la mas comprimida y iv) de agotamiento.

42


(a)

(b)

(c)

Figura 2.15. Dominios de deformacion para una seccion de: (a) con armadura pasiva, (b) dehormigon reforzado con fibras (HRFA), y (c) HRFA con armadura pasiva. Tomado de

[Coto, 2007]

La obtencion de dicho diagrama por metodos numericos punto a punto, puede resultarpoco practica para adoptarlo como hipotesis de base en un metodo de calculo no lineal.Por ello existe una tendencia a sustituir esta curva por formas geometricas sencillas(como son las rectas), intentando buscar una solucion que simplifique el proceso (veaseFigura 2.17). Normalmente se sustituye, el diagrama general momento-curvatura pordiagramas multilineales y basicamente los mas utilizados son el bilineal [Baker y Ama-rakone, 1965] y el trilineal [Macchi y Siviero, 1973].

Tal como se indica [Aguado, 1980], esta hipotesis introduce, en general, errores inferioresa los que implican otras hipotesis simplificativas normalmente admitidas. No obstantehay que tener presente que se exige distinta precision si se utiliza estos diagramas para

43


dimensionamiento o para analisis. Otra simplificacion aceptada cuando se considera ladeformacion por cortante es establecer la curvatura igual a la derivada del giro (pseudo-curvatura) lo que no suele conducir a errores significativos [Mergos y Kappos, 2008;Pham, 2009; Mergos y Kappos, 2012; Pham et al., 2013].

En cualquier caso si se usa una discretizacion que considera solo los nodos extremos delelemento y un diagrama bilineal el modelo puede resultar insuficiente para capturarbien los mecanismos de fallo [Moller y Rubinstein, 1995].

Figura 2.16. Diagrama general momento-curvatura [Rıo, 1986]

Figura 2.17. Diagramas momento-curvatura bilineal y trilineal. Adaptado de [Rıo, 1986]

2.3.2.4 Diagrama cortante-deformacion por cortante de una seccion

La mayorıa de los autores emplean modelos de fibras para tener en cuenta el efecto dela deformacion por cortante [Ceresa et al., 2007; Gregori, 2009; Cardinetti, 2011], utili-zando el modelo de bielas y tirantes o la teorıa modificada de los campos de compresion,etc.

44


Recientemente algunos autores comienzan a introducir las relaciones no lineales delmaterial a nivel de seccion empleando diagramas cortante-deformacion por cortante[Mergos y Kappos, 2008; Pham, 2009; Mergos y Kappos, 2012; Pham et al., 2013].

Dado que en el presente trabajo de investigacion, se emplean diagramas constitutivos anivel de seccion, para la obtencion del diagrama cortante-deformacion por cortante seseguira la propuesta de [Mergos y Kappos, 2008, 2012] que se describe a continuacion.

La curva cortante-deformacion por cortante esta formada por tres ramas, pero solo condos pendientes diferentes (Figura 2.18.). La primera rama conecta el origen y el puntodel cortante de fisuracion, que se define como el punto donde la tension a traccionprincipal excede la resistencia media a traccion del hormigon.

Figura 2.18. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos, 2008]

Para calcular esta primera rama adoptan el procedimiento propuesto por [Sezen yMoehle, 2004] y el esfuerzo cortante de fisuracion se calcula como:

Vcr =fctmLs/h

√1 +

N

fctmAgA0 (2.93)

donde:

fctm : resistencia media a traccion del hormigonN : carga axial de compresionLs/h : relacion vano de cortante-canto (shear span ratio)Ag : area bruta de las seccion de hormigonA0 : area efectiva que tiene en cuenta la distribucion parabolica de tensiones

tangenciales en el canto de la seccion transversal de la viga, toma el valorde 0.8Ag

45


La deformacion por cortante se calcula como:

γcr =VcrGA0

(2.94)

donde G representa el modulo de rigidez a cortante, tal y como se ha indicado enapartados anteriores.

La segunda y la tercera rama de la curva primaria cortante-deformacion por cortantetienen la misma pendiente y conecta el punto del cortante de fisuracion en el puntocorrespondiente donde el acero de refuerzo transversal alcanza su lımite elastico o defluencia (Vu0, γu). La segunda y tercera rama se encuentran separadas por un puntoque corresponde a la fluencia a flexion (Vy, γy).

La resistencia ultima a cortante, Vu, esta dada segun el enfoque de [Priestley et al.,1994], el cual ha sido desarrollado para pilares de secciones circulares y rectangulares.De acuerdo a este enfoque, Vu esta dado por:

Vu = k√fcA0 +

Vp︷︸︸︷N tanα+

Awfyw(d− d′) cot θ

s(2.95)

donde:

fc : resistencia a compresion del hormigonAw : area del refuerzo transversalfyw : resistencia de fluencia del acero transversalθ : angulo definido por el eje de la columna y la direccion de la biela de

compresion diagonald− d′ : distancia medida paralela a la aplicacion del cortante de los centros del

refuerzo longitudinals : espaciamiento del refuerzo transversalα : angulo entre el eje de la columna y la lınea que une los centros de las zonas

a compresion por flexion en la parte superior e inferior de la columna (verFigura 2.19)

k : parametro que depende de la demanda de la ductilidad de curvatura (µϕ)como se muestra en la Figura 2.20

Para calcular Vu0 se emplea la expresion (2.95) y el valor de k correspondiente a lademanda de ductilidad de curvatura µϕ ≤ 3.

La deformacion por cortante ultima se calcula usando un mecanismo de celosıa pro-puesto por [Park y Paulay, 1975] y [Kowalsky et al., 1995] y se calcula de la siguientemanera:

γu0 =VcrGA0

+Awfyw cot θ

s

(s

EsAw cot θ2+

1

Ecb sen θ3 cos θ cot θ

)(2.96)

donde Es es el modulo de elasticidad del acero, Ec el modulo de elasticidad del hormigony b es el ancho de la seccion trasversal. Aunque la expresion anterior estaba basada enun enfoque racional, estudios hechos por [Mergos y Kappos, 2008] demuestra que no setienen en cuenta con suficiente precision la influencia de la carga axial y la proporcion

46


del elemento (Ls/h). Es ası que [Mergos y Kappos, 2008], proponen para calcular ladeformacion por cortante ultima dos factores de modificacion.

Figura 2.19. Contribucion de la carga axial a la resistencia a cortante del pilar oviga-columna: (a) flexion invertida y (b) flexion simple. Adaptada de [Priestley et al., 1994]

Figura 2.20. Factor k [Mergos y Kappos, 2008]

El primer factor de modificacion, κ, tiene en cuenta la influencia de la carga axial yviene dado por:

κ = 1− 1.03v, v =N

Agfc(2.97)

47


El segundo factor de modificacion, λ, representa la influencia la relacion Lsh

del elementoy esta dado por la siguiente expresion

λ = 5.41− 1.13

(Lsh

)≥ 1 (2.98)

Por lo tanto, la deformacion por cortante ultima esta dada por

γu = κλγu0 (2.99)

En 2012, Mergos y Kaposs [Mergos y Kappos, 2012], proponen la curva que se mues-tra en la Figura 2.21. Los valores de Vcr, Vu0,γcr, se calculan de la manera descritaanteriormente, es decir, empleando las expresiones (2.93), (2.94), (2.95).

Figura 2.21. Curva primaria cortante deformacion por cortante [Mergos y Kappos, 2012]

El valor de la deformacion por cortante, γst, en la que se alcanza el cortante maximo,Vu0, se calcula de la siguiente manera:

γst = κλγu0 (2.100)

donde γu0 se calcula empleando la expresion (2.96) y los factores de modificacion κ yλ tienen el mismo significado descrito anteriormente, solo que en esta ocasion tomanlos siguientes valores:

κ = 1− 1.07v, v =N

Agfc, λ = 5.37− 1.59.min

(2.5,

Lsh

)(2.101)

El valor de la deformacion por cortante ultima, γu, se obtiene como:

γu = λ1λ2λ3γst ≥ γst (2.102)

donde:

λ1 = 1.0− 2.5.min(0.4, v), λ2 = min(2.5, Ls/h)

λ2 = 10.31− 17.8.min(ωk, 0.008), ωk =Awfywbsfc

(2.103)

Las formulas empıricas propuestas para γst y γu, debe satisfacer los siguientes criterios:

1.11 ≤ (Ls/h) ≤ 3.91, 0 ≤ v ≤ 0.61, 0.47 % ≤ ωk ≤ 8.13 %

48


2.3.3 Eleccion de los modelos para el hormigon estructural para esta investiga-cion

De la revision realizada en el apartado 2.3.2 sobre el comportamiento del hormigonestructural para su aplicacion en este trabajo de investigacion se puede establecer losiguiente:

Los nuevos modelos constitutivos del hormigon (incluyendo tanto el comportamien-to a compresion como a traccion en un unico diagrama) utilizados para obtener losdiagramas momento-curvatura (por ejemplo el de la [AFGC-Setra, 2004]) si bien sonmas refinados siguen siendo solo eficientes para el tratamiento de algunos problemasparticulares.

Por otra parte existen solo algunos modelos que emplean diagramas cortante-deformacion por cortante, para introducir estos efectos a nivel de seccion, ya que ha-bitualmente hasta la fecha las metodologıas utilizadas han sido otras.

De lo expuesto en las lıneas anteriores se adoptan en esta tesis, centrada en aplicarel concepto de Pieza Lineal Equivalente, los modelos constitutivos del material paraobtener los diagramas momento-curvatura, propuestos por cada uno de los autoresque se citan en los capıtulos 5 y 6. Asimismo se emplea el procedimiento propuestopor [Mergos y Kappos, 2008, 2012] descrito en el apartado 2.3.2.4, para obtener losdiagramas cortante-deformacion por cortante.

2.4 Resumen y conclusiones

En el presente capıtulo se ha hecho un analisis de los distintos tipos de teorıas de vigasque tienen en cuenta la deformacion por cortante. Se han determinado las ecuaciones dela viga y viga-columna de Timoshenko planteando el equilibrio de la pieza y tambienmediante integracion de las ecuaciones de la elasticidad tridimensional siguiendo elenfoque de [Cowper, 1966].

Asimismo se ha efectuado una revision de las teorıas de vigas de alto orden o refinadasdesarrolladas por [Levinson, 1981; Reddy, 1984; Touratier, 1991; Ghugal y Sharma,2011; Shi y Voyiadjis, 2011]. Tras dicha revision se ha optado por emplear en la in-vestigacion el modelo de Timohenko, por su alcance, caracter practico y bajo costocomputacional en comparacion con los modelos de alto orden.

Asimismo se ha realizado una analisis del comportamiento de elementos viga y viga-columna de hormigon estructural. Se han expuesto brevemente las leyes constitutivasmas usuales de los materiales, ası como, los fundamentos para la obtencion de losdiagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante.

49

CAPITULO 3

Solucion Nodal Exacta y AccionRepartida Equivalente

3.1 Introduccion

Como se ha indicado en los capıtulos 1 y 2, el presente trabajo tiene como uno desus objetivos la resolucion de problemas no lineales mediante el concepto pieza linealequivalente, que consiste basicamente en resolver el problema de una pieza en regimenno lineal, transformandolo en otro lineal, de modo que ambas piezas tengan la mismasolucion (desplazamientos y esfuerzos).

Para ello se introduce la resolucion del problema lineal utilizando la idea de solucionnodal exacta y accion repartida equivalente de cualquier orden [Romero y Ortega, 1998,1999; Romero et al., 2002; Ortega, 2004; Lopez et al., 2013; Romero et al., 2014].

En el siguiente apartado se aborda el problema de solucion nodal exacta en el meto-do de elementos finitos, se nombran los principales autores que han tratado el tema,las ventajas que esto conlleva y se muestra paso a paso su aplicacion en la viga deTimoshenko.

En el tercer apartado se analiza el concepto de accion repartida equivalente, sus pro-piedades, ası como, el concepto de orden de la misma, todo ello aplicado a la vigade Timoshenko. Tambien se desarrolla una serie de ejemplos con el fin de mostrar lasventajas que conlleva la resolucion de problemas lineales empleando el metodo de ele-mentos finitos con solucion nodal exacta y accion repartida equivalente de cualquierorden.

En el cuarto apartado se aplica todo lo expuesto anteriormente a la resolucion de la viga-columna de Timoshenko. Se obtiene la matriz de rigidez exacta y se hace un analisissobre las cargas de pandeo. Asimismo, se desarrollan varios ejemplos ilustrativos de lametodologıa propuesta.

Finalmente, en el quinto y ultimo apartado se recoge un resumen y las conclusiones delpresente capıtulo.

51

3.2. Solucion Nodal Exacta

3.2 Solucion Nodal Exacta

El problema de exactitud nodal en el metodo de los elementos finitos ha sido tratadopor muchos autores, uno de los primeros en hacerlo fue P. Tong desde un enfoquevariacional [Tong, 1969]. La idea consiste en emplear en el metodo de elementos finitosde Galerkin funciones de prueba y funciones test o de ponderacion, que son solucion delsistema de ecuaciones homogeneo del problema analizado y de esta manera se obtienenresultados exactos para desplazamientos y giros en los nodos de los elementos, en elcaso de vigas [Stricklin, 1966; Filho, 1968; Tong, 1969] y localizaciones optimas para ladeterminacion de los esfuerzos dentro del elemento, que dan resultados exactos cuandola carga es constante [Barlow, 1976].

Otro de los autores que han tratado este tipo de problema aplicado a la Teorıa de vigade Timoshenko es [Reddy, 1997], el cual introduce unas funciones de forma para eldesplazamiento w y el giro ψ que son interdependientes. Cabe destacar que [Ortuzary Samartın, 1998] en su artıculo tambien abordan el problema de la solucion nodalexacta, en la que se realizan aplicaciones a la viga de Bernoulli-Euler, asi como a laviga-columna con y sin deformacion por cortante. Asimismo en [Romero y Ortega,1998, 1999; Romero et al., 2002] se aborda la resolucion de la viga de Bernoulli-Eulery Timoshenko empleando solucion nodal exacta y en [Ortega, 2004] se estudia la viga-columna de Bernoulli-Euler. En la misma lınea [Mazars et al., 2006] y [Stramandinoliy La Rovere, 2012] han empleado funciones de forma que son solucion del problemahomogeneo, para el analisis de un elemento viga que tiene en cuenta la deformacionpor cortante, aplicada a elementos de hormigon estructural. Por otra parte, [Li et al.,2013] analiza el problema de la viga de Timoshenko empleando las mismas funcionesde interpolacion que Reddy [Reddy, 1997].

Cabe destacar que el resultado exacto en los nodos se mantiene aunque se tome unespacio arbitrario para las funciones de prueba [Romero y Ortega, 1998, 1999]. Estacuestion de la exactitud nodal esta tambien relacionada con la propiedad de supercon-vergencia en elementos finitos sobre la que hay gran numero de referencias, entre otras[Wahlbin, 1995]. El hecho de emplear funciones de forma que son solucion exacta delproblema homogeneo, permite evitar el fenomeno de bloqueo, que se produce cuandose analiza el problema de la viga y viga-columna de Timoshenko, si las funciones deaproximacion de desplazamiento, w, y de giro, ψ, no cumplen ciertas condiciones tal ycomo se indica en la literatura [Reddy, 1997; Romero et al., 2002; Mazars et al., 2006;Triantafyllou y Koumousis, 2011; Stramandinoli y La Rovere, 2012; Li et al., 2013;Lopez et al., 2013; Romero et al., 2014].

3.2.1 Elementos finitos y solucion nodal exacta en la viga de Timoshenko

Partiendo del sistema de ecuaciones diferenciales que rigen el modelo de viga de Ti-moshenko, expresion (2.16), deducida en el capıtulo 2 seccion 2 se puede poner como:

L(U) = F, L(U) =[−(ksAG(w′ − ψ))′ −(EIψ′)′ − ksAG(w′ − ψ)

]T(3.1)

con U =[w ψ

]Ty F =

[f 0

]T52

Capıtulo 3. Solucion Nodal Exacta y Accion Repartida Equivalente

El sistema de Timoshenko puede tambien ponerse, de acuerdo a la expresion (2.17), dela siguiente manera:

(Hψ′)′′ = f

Kw′ = Kψ − (Hψ′)′(3.2)

La formulacion variacional se obtiene, realizando la ponderacion usual en el sistema

original, con V =[v φ

]Ty tras el correspondiente proceso de integracion por partes

en el intervalo generico [α, β], resulta:

a(U, V ) = l(V ) +4∑i=1

li(V )li(U) (3.3)

donde las formas, bilineal y lineales, son respectivamente:

a(U, V ) =

ˆ β

α

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx

l(V ) =

ˆ β

α

vf dx

l1(V ) = v(α), l2(V ) = φ(α), l3(V ) = v(β), l4(V ) = φ(β)

l1(U) = [−K(w′ − ψ)]x=α , l2(U) = [−Hψ′]x=α

l3(U) = [K(w′ − ψ)]x=β , l4(U) = [Hψ′]x=β

(3.4)

representando las cuatro ultimas, las acciones nodales de equilibrio o de contorno, quese corresponden en el extremo derecho x = β con los valores del esfuerzo cortante ymomento flector respectivamente, y con los valores opuestos de dichos esfuerzos, en elextremo izquierdo x = α.

A partir de la expresion variacional (3.3), para el intervalo Ω = [a, b], y por ejemplo,para condiciones de contorno esenciales de tipo homogeneo (pieza biempotrada), puedeformularse el siguiente problema, obtener (w,ψ) ∈ H1

0 (Ω)×H10 (Ω) tal que:

ˆ b

a

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =

ˆ b

a

vf dx, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)×H1

0 (Ω) (3.5)

donde H1(Ω) es el espacio de Sobolev definido como:

H1(Ω) =g/g, g′ ∈ L2(Ω)

H1

0 (Ω) =g ∈ H1(Ω)/g(a) = g(b) = 0

(3.6)

Cuando las condiciones esenciales son no homogeneas, el problema se formula en loscorrespondientes trasladados de los espacios vectoriales de las funciones de ponderacion.Por otra parte, la formulacion variacional (3.3) se puede poner integrando nuevamentepor partes, como:

4∑i=1

li(V )li(U) = l(V ) +4∑i=1

li(V )li(U)−ˆ b

a

U tLV dx (3.7)

53

3.2. Solucion Nodal Exacta

desapareciendo el ultimo sumando de (3.7) si se toma V en el espacio de soluciones delproblema homogeneo, y en dicho caso no dependiendo el primer miembro de los valoresde U en el interior del intervalo. Para dicha situacion L(V ) = [0, 0]T los metodos deGalerkin: Bunov-Galerkin y Petrov-Galerkin generan las mismas ecuaciones discretastal y como se indica en [Romero y Ortega, 1999; Romero et al., 2002].

La ecuacion de equilibrio para el elemento generico [α, β] es: Keue = f e + qe, donde losdesplazamientos nodales son:

ue =[ue1 ue2 ue3 ue4

]T=[w(α) ψ(α) w(β) ψ(β)

]T(3.8)

las cargas nodales equivalentes:

f e =[f e1 f e2 f e3 f e4

]T, f ei =

ˆ β

α

fN1i dx, i = 1, ..., 4 (3.9)

las nodales de equilibrio:

qe =[qe1 qe2 qe3 qe4

]T, qei = li(U), i = 1, ..., 4 (3.10)

Los elementos de la matriz de rigidez local Ke =[keij]

son keij = a(Ni, Nj) = li(Nj),requiriendo su calculo ciertas operaciones de derivacion de las funciones de forma.Tambien se calculan en la forma usual mediante integracion:

keij = a(N1, Nj) =

ˆ β

α

HN ′2iN

′2j +K(N ′1i −N2i)(N

′1j −N2j)

dx (3.11)

Las funciones de forma Ni = [N1i N2i]T , i = 1, ..., 4, verifican que li(Nj) = δij, j =

1, ..., 4 al constituir la mismas una base de Lagrange para la interpolacion.

La aproximacion de los desplazamientos y giros en cada elemento, viene dada por lassoluciones del sistema homogeneo de Timoshenko, expresadas mediante las funcionesde forma en funcion de los movimientos en los extremos por:

[vφ

]=

[N11 N12 N13 N14

N21 N22 N23 N24

]w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)

(3.12)

Para el caso particular donde las rigideces H = EI y K = ksAG son constantes en cadaelemento, se deducen las funciones de forma N1i, N2i, i = 1, ..., 4, siendo las mismas:

N11 =−12mz + 2z3 − 3z2h+ 12mh+ h3

h(12m+ h2), N21 =

6z(z − h)

h(12m+ h2)

N12 =z(6mh+ z2h− 6mz − 2zh2 + h3)

h(12m+ h2), N22 =

3z2h− 12mz − 4zh2 + 12mh+ h3

h(12m+ h2)

N13 =z(12m− 2z2 + 3zh)

h(12m+ h2), N23 =

6z(−z + h)

h(12m+ h2)

N14 =z(−6mh+ z2h+ 6mz − zh2)

h(12m+ h2), N24 =

z(3zh+ 12m− 2h2)

h(12m+ h2)(3.13)

54


donde m = H/K, z = x− α y h = β − α. En [Romero et al., 2002] se dan tambien lasexpresiones para los casos de rigidez variable. La matriz de rigidez Ke deducida porderivacion es:

Ke =2H

h3(1 + 12m

h2

)

6 3h −6 3h2h2λ −3h h2γ

6 −3hSIM 2h2λ

(3.14)

donde λ = 1+3m/h2, γ = 1−6m/h2, expresada con la misma notacion que en [Reddy,1997] aunque se ha deducido de forma diferente.

Las ecuaciones de equilibrio local Keue = f e + qe y global KGuG = FG + QG, deter-minada esta ultima mediante el correspondiente ensamblado de las ecuaciones locales,son exactas en el sentido de que son verificadas por cualquier solucion del sistemaL(U) = F , tal y como se expone en [Romero et al., 2002].

Para cualquier problema, con el numero necesario de coacciones (que impiden que seaun mecanismo), una vez considerados los desplazamientos y acciones conocidas (a partirde las condiciones esenciales y naturales dadas), resolviendo el correspondiente sistema,se determinan los desplazamientos y giros desconocidos y despues las acciones nodalesde equilibrio globales desconocidas. Entrando luego en cada ecuacion de equilibrio localse determina para cada elemento, el vector qe = Keue−f e, es decir, los valores exactosde los esfuerzos en los extremos. Finalmente, de estos ultimos se deducen los valoresexactos de w′ y ψ′ en α+ y β− para cada elemento [α, β]. Tambien de la relacionK(w′ − ψ) = −(Hψ′)′, al ser conocidos w′ y ψ, quedan determinados asimismo losvalores ψ′′(α+) y ψ′′(β−).

Observacion: Para m = 0 y tomando ψ = w′ puede considerarse en el desarrollo, elcaso de Bernoulli-Euler dentro del de Timoshenko, con las cargas nodales de equilibrio,como se expone en [Romero y Ortega, 1998], dadas por:

l1(w) = (EIw′′)′|x=α , l2(w) = −(EIw′′)|x=α

l3(w) = −(EIw′′)′|x=β , l4(w) = (EIw′′)|x=β

(3.15)

3.3 Accion Repartida Equivalente

El concepto de accion repartida equivalente, se introdujo por primera vez en [Romeroy Ortega, 1998, 1999], con el proposito de optimizar los resultados derivados de laaplicacion de los elementos finitos al modelo de Bernoulli-Euler. Posteriormente en[Romero et al., 2002; Ortega, 2004], tambien se han realizado aplicaciones siguiendo estamisma lınea. En el primero aplicado al modelo de viga de Timoshenko y en el segundoal analisis de pilares con comportamiento lineal o no lineal del material, empleando elmodelo de Bernoulli-Euler.

En lo que sigue, y con el fin de una mejor comprension del concepto, se describe enprimer lugar lo que es una accion equivalente y sus propiedades, para pasar a explicarluego el concepto de accion repartida equivalente y el orden de la misma.

55

3.3. Accion Repartida Equivalente

3.3.1 Accion Equivalente

Se considera que un estado de carga definido por f en el dominio [a, b] del problema,viene dado en general como la accion conjunta de cargas repartidas definidas por fun-ciones continuas a trozos, y deltas de Dirac y dipolos para acciones puntuales [Romeroy Ortega, 1998, 1999].

Considerando la descomposicion del dominio en la forma [a, b] = ∪n−1i=1 [xi, xi+1], se

dice que dos acciones f y f son equivalentes respecto de dicha descomposicion, si encada subintervalo [α, β] de la descomposicion, f y f generan las mismas cargas nodalesequivalentes. O sea, si se verifica la igualdad de los siguientes productos escalares:

(f,N1i)w = (f , N1i)w, i = 1, ..., 4 (3.16)

definidos en el espacio L2w ([α, β]) de funciones de cuadrado integrable Lebesgue [Funa-

ro, 1992], con funcion peso w(x) = 1, donde:

(u, v)w =

ˆ β

α

w(x)u(x)v(x) dx (3.17)

Si f y f son equivalentes, las cargas nodales equivalentes globales tambien son lasmismas, y ambas generan los mismos desplazamientos y giros en los nodos. Asimismoambas cargas, f y f , generan los mismos esfuerzos en los extremos de cada elemento.Observese que una vez determinados los valores nodales ue como:


]T=[w(α) ψ(α) w(β) ψ(β)

]Tque son exactos, se tiene que:

[Ke] w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)

=

´ βαfN11 dx´ β

αfN12 dx´ β

αfN13 dx´ β

αfN14 dx

+

[−K(w′ − ψ)]x=α

[−Hψ′]x=α

[K(w′ − ψ)]x=β

[Hψ′]x=β

(3.18)

y la expresion analoga para las f equivalentes. Ambas determinan por tanto los mismosesfuerzos en los extremos de cada elemento y consecuentemente los mismos valores dew′ y ψ′, en α+ y β− en [α, β], como se ha indicado. Recıprocamente, dada la cargaf y determinados los valores de w y ψ en α y β y asimismo w′ y ψ′, en α+ y β− encada subintervalo, pueden determinarse las funciones w, ψ y f interpolando w y ψ losvalores indicados, y verificando al tiempo, el sistema de ecuaciones diferenciales (3.1) o(3.2) . Como consecuencia la accion f hallada es equivalente a la original f . Para H yK constantes las tres funciones anteriores quedan determinadas mas adelante mediantela expresion (3.28).

Observacion: En la ecuacion (3.18), el vector de cargas nodales de equilibrio, tambiense puede expresar en la forma:

qe =[(Hψ′)′

∣∣x=α

(−Hψ′)∣∣x=α

−(Hψ′)′∣∣x=β

(Hψ′)∣∣x=β

]T(3.19)

56


3.3.2 Propiedades de la accion equivalente: ortogonalidad e interpolacion

De las (3.16) teniendo en cuenta que:

(Hψ′)′′ = f, Q(x) = −(Hψ′)′, M(x) = Hψ′

(Hψ′)′′ = f , Q(x) = −(Hψ′)′, M(x) = Hψ′ (3.20)

integrando por partes y considerando la igualdad de cortantes y momentos en losextremos de cada elemento, resulta:

ˆ β

α

(Q(x)− Q(x)

)N ′1i(x) dx = 0,

ˆ β

α

(M(x)− M(x)

)N ′′1i(x) dx = 0, i = 1, ..., 4 (3.21)

Es decir, la funcion diferencia entre el cortante para la accion original f y el cortantepara la accion equivalente f , es ortogonal al espacio de funciones engendrado por lasN ′1i, i = 1, ..., 4. Se puede demostrar facilmente que engendran un espacio de dimensiontres.

De manera analoga, la diferencia, entre el momento flector para f y el momento flectorpara la accion equivalente f , es ortogonal al espacio de funciones engendrado por lasN ′′1i, i = 1, ..., 4. Estas engendran un espacio de dimension dos. Ademas los cortantes enlos extremos para ambas acciones coinciden como se ha indicado, luego se tiene juntocon la ortogonalidad citada, la propiedad de interpolacion en el sentido de Lagrange:

Q(α+) = Q(α+), Q(β−) = Q(β−) (3.22)

Para los momentos, se verifican junto con la ortogonalidad, los siguientes resultados deinterpolacion en el sentido de Hermite, pues Q = −M ′

M(α+) = M(α+), M(β−) = M(β−)

M ′(α+) = M ′(α+), M ′(β−) = M ′(β−) (3.23)

Estas propiedades de ortogonalidad e interpolacion, en cada elemento, para los momen-tos y esfuerzos cortantes, para una accion equivalente a la accion original, son la basedel buen comportamiento del metodo expuesto, para la aproximacion de los esfuerzosy tambien para los desplazamientos y giros.

3.3.3 Accion repartida equivalente

De las infinitas acciones equivalentes a una accion dada f se puede elegir una f con granregularidad y muy sencilla de calcular ası como los desplazamientos, giros y esfuerzosasociados a ella. Dicha accion fue denominada en [Romero y Ortega, 1998, 1999; Romeroet al., 2002] como accion repartida equivalente y es la definida como la proyeccionortogonal de f en el espacio de funciones engendrado por las N1i, i = 1, ..., 4 en cadasubintervalo [α, β], siendo la misma:

f =[N11 N12 N13 N14

]G−1

[f1 f2 f3 f4

]T(3.24)

Expresion que resulta del sistema de ecuaciones normales G λi = fi, donde G =(gij) (para distinguirla del modulo de rigidez de cortante G = E/[2(1 + ν)]) es la

57


matriz de Gram relativa a la base constituida por las N1i, i = 1, ..., 4, la cual tiene porelementos los productos escalares, para el peso w(x) = 1:

gij = (N1i, N1j)w =

ˆ β

α

N1iN1j dx, i, j = 1, ..., 4 con f =4∑i=1

λiN1i (3.25)

Un hecho importante es que se puede calcular la solucion U =[w ψ

]Ty los esfuerzos

derivados de ella Q(x), M(x) relativos a f , sin necesidad de calcular previamente dichaaccion repartida equivalente, tal como se indica posteriormente.

Propiedad de solucion exacta I : Cuando la accion original f , en el elemento [α, β], es

del espacio engendrado por las N1i, i = 1, ..., 4, entonces la solucion U =[w ψ

]Tcoincide con la exacta en todo el elemento.

Esta propiedad es utilizada para la determinacion de la solucion exacta en [Romero yOrtega, 1998, 1999; Romero et al., 2002] y tambien en este trabajo (donde se incluyeademas la propiedad II). Dicha solucion exacta se ha determinado por esta vıa pararealizar las comparaciones con las soluciones aproximadas del nuevo procedimientopropuesto.

En [Romero et al., 2002] se desarrollo para H y K constantes, la determinacion me-diante interpolacion, de la solucion aproximada Ucorrespondiente a la accion repartidaf .

A partir de Hψ′′′ = f , w′ = ψ−mψ′′ se deduce que la solucion equivalente U(z = x−α)es:

U =

w

ψ

=

1 z z2

2z3−6mz

3z4−12mz2

4z5−20mz3

5z6−30mz4

6z7−30mz5

7

0 1 z z2 z3 z4 z5 z6

Bs (3.26)

donde:

s =[w(α) w′(α+) ψ(α) ψ′(α+) w(β) w′(β−) ψ(β) ψ′(β−)

]T(3.27)

Los desplazamientos, giros, momentos y esfuerzos cortantes equivalentes y asimismola accion repartida equivalente, f en cadas subintervalo [α, β] recogidos en una unicaexpresion, son:

U =

w

ψ

M

Q

f

=

1 z z2

2z3−6mz

3z4−12mz2

4z5−20mz3

5z6−30mz4

6z7−42mz5

7

0 1 z z2 z3 z4 z5 z6

0 0 H 2zH 3z2H 4z3H 5z4H 6z5H

0 0 0 −2H −6zH −12z2H −20z3H −30z4H

0 0 0 0 6H 24zH 60z2H 120z3H

Bs (3.28)

58


siendo la matriz B la siguiente:

B =

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 −12m

12m 0 0 0 0 0

140h4

83mh 8h

2+30m−3mh3 20h

2+7m−h4

140h4

23mh 2h

2+90m−3mh3 10h

2+14mh4

420h5 − 5

mh2 5h2+45mmh4 105h2+42m

h5−420h5

−52mh2 5h

2+78m2mh4 35h

2+12m−h5

−420h6

4mh3 4h

2+54m−mh5 153h2+28m

−h6420h6

3mh3 3h

2+68m−mh5 313h2+140m

h6

140h7

−76mh4 7h

2+60m6mh6 14h

2+10mh7

−140h7

−76mh4 7h

2+60m6mh6 14h

2+10m−h7

(3.29)

Las expresiones del momento flector equivalente, el esfuerzo cortante equivalente y laaccion repartida equivalente, se han deducido considerando que:

M = Hψ′, Q = −Hψ′′, f = Hψ′′′ (3.30)

3.3.4 Orden de la accion repartida equivalente

De acuerdo con la definicion preliminar de accion repartida equivalente, la misma es unafuncion formada por una combinacion lineal de soluciones del problema homogeneo y elorden mınimo de la misma por lo tanto coincide con el orden del operador diferencial dela ecuacion. Por ello, el orden de las acciones consideradas en las aplicaciones anteriores,por ejemplo a los problemas de Timoshenko y Bernoulli-Euler, era cuatro.

Considerando lo anterior, el orden de la accion repartida equivalente se define como ladimension k ≥ 4 del espacio Wk en el que se toma la accion repartida equivalente f .Siempre puede elegirse un conjunto arbitrario de funciones linealmente independientes

B = ϕ1, ϕ2, ..., ϕk (3.31)

ampliando el espacio engendrado por las funciones N1i, i = 1, ..., 4 de soluciones delproblema homogeneo, de forma que ϕi, i = 1, ..., 4 generen el mismo espacio que lasN1i. La base del espacio Wk con k ≥ 4 puede construirse, para facilitar el procesoalgorıtmico, de modo que sea una base ortogonal respecto del producto escalar definidoen L2

w ([α, β]) para w(x) = 1:

(ϕi, ϕj)w =

ˆ β

α

ϕi(x)ϕj(x) dx = 0, si i 6= j

f =k∑i=1

λiϕi con (f − f , ϕj)w = 0, j = 1, ..., k

es decir, se toma f de modo que sea la proyeccion ortogonal de f sobre Wk.

59


Los coeficientes de Fourier de f respecto de la base ortogonal B son:

λi = (f, ϕi)w/ ‖ ϕi ‖2w, i = 1, ..., k (3.32)

La carga f se puede poner en la forma fk (haciendo referencia explıcita al orden) donde:

fk = f4 + g con f4 =4∑i=1

λiϕi, g =k∑i=5

λiϕi (3.33)

Luego (g, N1i)w = 0, i = 1, ..., 4. Vease que la informacion relevante de fk, respecto alos esfuerzos, esta en f4 =

∑4i=1 λiϕi y no en g, al generar la primera las mismas cargas

nodales equivalentes que la f original, pues la carga adicional g =∑k

i=5 λiϕi da, porla construccion realizada, cargas nodales equivalentes nulas y por tanto esfuerzos nulosen los nodos. Por lo anterior g es una carga equivalente a la nula.

Observese que fk =∑k

i=1 λiϕi para k ≥ 4 no es un elemento del espacio engendradopor las funciones N1i, i = 1, ..., 4, soluciones de la homogenea, mientras que f4 =∑4

i=1 λiϕi =∑4

i=1 µiN1i, sı lo es.

En las aplicaciones practicas la aproximacion a la solucion se realiza, en la mayorparte de los casos, empleando la carga f4 cuando la accion f tiene cierta regularidad.Por otra parte, en otros casos menos frecuentes, donde la accion repartida tiene pocaregularidad, si se desea mantener, al tiempo, un numero reducido de elementos finitos,se emplearıan entonces acciones repartidas equivalentes de orden creciente f4, f5, f6, ...pertenecientes respectivamente a los espacios W4 ⊂ W5 ⊂ W6 ⊂ ... Las solucionesrelativas a dichas acciones van mejorando progresivamente en el interior del intervalo,de manera acorde con la construccion sucesiva de los espacios Wk. Se tiene en cuentapara ello el resultado basico de ortogonalidad: teorema de Pitagoras para las funcionesde L2

w = ([α, β]) con w(x) = 1, dado por:

‖ f − fk ‖2w=‖ f ‖2

w −k∑i=1

λ2i ‖ ϕi ‖2

w (3.34)

Se deduce de lo anterior que el error mınimo cuadratico, ‖ f − fk ‖2w, disminuye al

hacer crecer k con tal de que las funciones ϕi que se van anadiendo, sucesivamente,no sean ortogonales a f , es decir, que (f, ϕi)w 6= 0. Como se expone en los resultadosnumericos, en los casos mas singulares donde la aproximacion con f4 no es la deseada,se ha comprobado que con valores de k poco superiores a 4, por ejemplo k = 5, k = 6, opoco mas, se consiguen ya excelentes aproximaciones a los valores de la solucion exactaen el interior de los intervalos. Ademas si f ∈ Wn, n ≤ k entonces fk = f y se tiene:

Propiedad de solucion exacta II: Cuando la accion original f , en el elemento [α, β], es

de alguno de los espacios Wn, 4 ≤ n ≤ k entonces la solucion Uk =[wk ψk

]Tcoincide

con la exacta en dicho elemento. Cuando n = 4 resulta la propiedad de solucion exactaI.

Se puede resumir, lo anterior indicando que, dada f , la accion repartida equivalentefk se descompone en la suma de la carga f4 que es la repartida equivalente a f y de

60


orden mınimo, y de la carga g que es una carga repartida equivalente a la carga nula.Y que g mejora ligeramente los resultados dados por f4, solamente en el interior de loselementos, pues la informacion significativa sobre movimientos y esfuerzos en los nodosy en el interior la da ya f4.

3.3.5 Aplicacion de los polinomios ortogonales de Legendre a la accion repartidaequivalente de cualquier orden

De acuerdo con lo anteriormente expuesto, cuando H = EI y K = ksAG son constan-tes, los espacios Wk, para cualquier k > 4, engendrados por las funciones ϕ1, ϕ2, ..., ϕkse toman por simplicidad y por las ventajas que conlleva la eleccion, como Wk = Pk−1,pues ya W4 = P3 al constituir los polinomios de grado menor o igual que tres, el es-pacio de soluciones del problema homogeneo (en relacion con los desplazamientos w).Como a su vez se eligen, por sencillez algorıtmica, las funciones de manera que seanmutuamente ortogonales respecto al producto escalar ya definido, resulta que con di-cha eleccion las funciones son precisamente los elementos de la sucesion de polinomiosortogonales de Legendre pi(x)∞i=0 en [α, β]. Esta sucesion, como es conocido, formaun sistema completo de funciones en el intervalo [Davis, 1975], es decir se verifica:

lımk→∞‖ f − fk ‖2

w = 0 (3.35)

para cualquier funcion f de L2w ([α, β]) con w(x) = 1.

En resumen:

ϕ1 = p0, ϕ2 = p1, ..., ϕk = pk−1, fk =k−1∑i=0

αipi, αi = (f, pi)w/ ‖ pi ‖2w, i = 0, ..., k − 1

siendo fk = f4 + g.

En el desarrollo se toma, para el elemento generico [α, β], la sucesion de polinomiosortogonales pn(x), n = 0, 1, 2, ... que resultan al transformar, los polinomios de Legendreclasicos Pn(t) definidos en [−1, 1], con el cambio de variable, t = 2[x−(α+β)/2]/(α−β).Dichos polinomios de Legendre verifican la relacion de recurrencia [Funaro, 1992]:

Pn+1(t) =[(2n+ 1)tPn(t)− nPn−1(t)]

(n+ 1)con P0(t) = 1, P1(t) = t (3.36)

que permite generarlos con gran facilidad hasta el grado deseado. Hay multiples formaspara construir esta sucesion de polinomios [Freud, 1971; Davis, 1975; Szego, 1975]. Elcambio citado mantiene la condicion de estandarizacion de los de Legendre clasicos,pues pn(β) = 1 y pn(α) = (−1)n. Ademas se verifica [Davis, 1975]:

ˆ 1

−1

(Pn(t))2 dt = 2/(2n+ 1), ‖ pn ‖2w=

ˆ β

α

(pn(x))2 dx =h

2n+ 1, h = β − α (3.37)

Como f4 =∑4

i=1 αipi =∑4

i=1 µiN1i pues las bases p0, p1, p2, p3 y N11, N12, N13, N14generan el mismo espacio de los polinomios cubicos W4 = P3, siendo indiferente em-plear una u otra base. Como se ha expuesto en [Romero y Ortega, 1998, 1999; Romero

61


et al., 2002], no es necesario su calculo para la determinacion de la solucion corres-pondiente, cuando se emplea el metodo interpolatorio que se expone mas adelante deforma esquematica.

Con la notacion usual de teorıa de la aproximacion [Funaro, 1992] fk = Πw,k−1f ∈ Pk−1,con w(x) = 1, donde Πw,k−1 es el operador proyeccion ortogonal sobre el espacio depolinomios Pk−1.

Por otra parte g = α4p4 + ... + αk−1pk−1 =∑k−1

i=4 αipi y puede ponerse cada fn, n ≥ 5en la forma:

f 5 = f 4 + α4p4, f 6 = f 5 + α5p5, ...., fk = fk−1 + αk−1pk−1 (3.38)

para k tan grande como sea necesario.

De lo anterior resulta que dada f con norma finita ‖ f ‖w, es claro que ‖ αnpn ‖w→ 0para n → ∞. En la mayorıa de las aplicaciones, es suficiente con emplear accionesrepartidas equivalentes de orden relativamente bajo, como f 4, f 5, f 6..., para obtenermuy buena aproximaciones a la solucion teorica.

Las funciones wk, ψk,Mk, Qk correspondientes a la accion repartida fk, se pueden de-terminar de manera progresiva a partir de las w4, ψ4,M4, Q4, correspondientes a laaccion repartida f 4 anadiendo sucesivamente las soluciones incrementales:

∆wn, ∆ψn, ∆Mn = H∆ψ′n, ∆Qn = −H∆ψ

′′n

relativas a las cargas incrementales αnpn con n ≥ 4. Ası para f 5 = f 4 + α4p4 se tiene:

w5 = w4 + ∆w4, ψ5 = ψ4 + ∆ψ4, M5 = M4 + ∆M4, Q5 = Q4 + ∆Q4

Para f 6 = f 5 + α5p5 de manera analoga:

w6 = w5 + ∆w5, ψ6 = ψ5 + ∆ψ5, M6 = M5 + ∆M5, Q6 = Q5 + ∆Q5

y ası sucesivamente, pudiendose poner tambien fk como:

fk = f 4 + g = f 4 +k−1∑n=4

∆fn, con ∆fn = αnpn

wk = w4 +k−1∑n=4

∆wn, ψk = ψ4 +k−1∑n=4

∆ψn, Mk = M4 +k−1∑n=4

∆Mn, Qk = Q4 +k−1∑n=4

∆Qn

3.3.5.1 Propiedades osculadoras y de ortogonalidad para las soluciones incre-mentales relativas a los sumandos de la carga g

La solucion incremental en [α, β] es la correspondiente al polinomio de grado n, ∆fn =αnpn con n ≥ 4. Dado que la carga αnpn es una funcion ortogonal a las N1i, i = 1, ..., 4,es decir al espacio P3 = W4, entonces genera cargas nodales equivalentes nulas. Como

62


la correspondiente solucion incremental ∆wn,∆ψn verifica que ∆wn(α) = ∆ψn(α) =0 y ∆wn(β) = ∆ψn(β) = 0, la pieza sometida a dicha carga incremental, al tenermovimientos nulos, equivale al caso biempotrado, y de la ecuacion de equilibrio (3.30)se deduce que los cortantes y momentos son tambien nulos en los extremos. Observeseque la solucion incremental tiene movimientos y esfuerzos no nulos en el interior de loselementos.

Ahora se deducen propiedades en cada elemento mediante la integracion por partes.

La solucion ∆wn,∆ψn del sistema de Timoshenko relativa a dicha carga ∆fn = αnpnverifica:

(H∆ψ′n)′′ = αnpn, K∆w′n = K∆ψn − (H∆ψ

′n)′ (3.39)

de donde se deduce que ∆ψn ∈ Pn+3, ∆wn ∈ Pn+4. La accion ∆fn = αnpn como seha indicado para g es tambien una carga repartida equivalente a la carga nula, pues secumple la igualdad siguiente de productos escalares:

(αnpn, N1i)w = (0, N1i)w = 0, i = 1, ..., 4 (3.40)

Pero tambien, por la propiedad de los polinomios ortogonales, de ser ortogonal a cual-quier polinomio de grado inferior [Funaro, 1992], resulta:

(αnpn, q)w = 0, ∀q ∈ Pn−1 (3.41)

Teniendose ademas las propiedades osculadoras o de interpolacion que se deducen delas ecuaciones (3.18) y (3.19), para los giros. Resultando un contacto de la grafica de∆ψn con el eje x de orden 2 en los extremos del intervalo, es decir:

∆ψn(α) = ∆ψ′n(α) = ∆ψ

′′n(α) = 0, ∆ψn(β) = ∆ψ

′n(β) = ∆ψ

′′n(β) = 0 (3.42)

Se tiene del proceso de integracion por partes de (3.41), que los siguientes productosescalares son nulos

((H∆ψ′n)′′, q)w = 0, ((H∆ψ

′n)′, q′)w = 0

(H∆ψ′n, q′′)w = 0, (∆ψn, (Hq

′′)′)w = 0 (3.43)

Dado que H es constante, las relaciones anteriores conducen a que ∆ψ′′′n es ortogonal,

en el dominio [α, β], al espacio de polinomios Pn−1, del mismo modo ∆ψ′′n a Pn−2, ∆ψ

′n a

Pn−3 y finalmente ∆ψn es ortogonal a Pn−4. Si, por ejemplo n = 4, entonces la solucion

en giros ∆ψn ∈ Pn+3 = P7 y las funciones ∆ψn,∆ψ′n,∆ψ

′′n,∆ψ

′′′n o mas ampliamente:

∆ψn, ∆ψ′n, ∆ψ

′nx, ∆ψ

′′n, ∆ψ

′′nx, ∆ψ

′′nx

2, ∆ψ′′′n , ∆ψ

′′′n x, ∆ψ

′′′n x

2, ∆ψ′′′n x

3 (3.44)

tienen integral nula en [α, β], es decir, compensan areas en dicho intervalo y las fun-

ciones ∆ψn,∆ψ′n,∆ψ

′′n y ∆ψ

′′′n se comportan, en este sentido, como los polinomios or-

togonales de grados 1, 2, 3 y 4, no olvidando, que a su vez, se cumplen las propiedadesde interpolacion mencionadas.

63


De K∆w′n = K∆ψn − (H∆ψ′n)′ se deducen de la expresion (3.18), para los desplaza-

mientos incrementales ∆wn, propiedades osculadoras analogas, con un contacto con eleje x de orden 1 en los extremos del intervalo, pues:

∆wn(α) = ∆w′n(α) = 0, ∆wn(β) = ∆w′n(β) = 0 (3.45)

Por otra parte de (∆w′n, r)w = (∆ψn − HK

∆ψ′′n, r)w = 0,∀r ∈ Pn−4 e integrando por

partes queda:

(∆wn, r′)w = 0,∀r′ ∈ Pn−5 (3.46)

En resumen ∆w′n es ortogonal en el intervalo a Pn−4 y ∆wn es ortogonal a Pn−5. Sipor ejemplo, n = 4, entonces ∆w′n tiene integral nula en [α, β] y si n = 5, las funciones∆wn,∆w

′n,∆w

′nx tienen integral nula en el intervalo y sus graficas por tanto compensan

areas en el citado intervalo.

Para la viga de Bernoulli-Euler se deducen propiedades analogas, observese que eneste caso ψ = w′ y la ecuacion (H∆w′′n)′′ = αnpn se puede expresar en la forma de

Timoshenko (H∆ψ′n)′′ = αnpn.

Estas propiedades de interpolacion u osculadoras y de ortogonalidad para los sumandosde g se ilustran graficamente en el apartado posterior de ejemplos. En ellos puede verseque la contribucion de dichos sumandos a la solucion es en general muy pequena enrelacion con la correspondiente a la carga f 4. De ahı que en la mayorıa de los casos,como se viene indicando, se obtenga con esta ultima una buena aproximacion a lasolucion exacta.

3.3.6 Determinacion de los movimientos y esfuerzos para una accion repartidaequivalente de cualquier orden k ≥ 4

La resolucion del problema de contorno definido por el sistema Timoshenko, con con-diciones de contorno esenciales y naturales dadas en los nodos relativos a la particiondel dominio [a, b], se realiza dando los pasos que se indican para las dos vıas posibles:interpolacion, para la accion f 4 y proyeccion ortogonal, para la accion fk, con k ≥ 4.

3.3.6.1 Para una accion repartida equivalente de orden 4. Metodo de interpo-lacion

A continuacion se describe el metodo de interpolacion para la accion repartida equiva-lente de orden 4:

1. Se determinara, empleando el metodo de elementos finitos, el vector de despla-zamientos nodales globales.

2. Para cada uno de los elementos, teniendo en cuenta las ecuaciones de equilibriolocales dadas por (3.18) y siendo conocidos del paso anterior los desplazamien-tos nodales (desplazamientos verticales y giros), se calculara el vector de cargasnodales de equilibrio.

64


3. De dichas cargas nodales de equilibrio y de los desplazamientos nodales ya de-terminados en el paso primero, se hallaran los valores de las derivadas primerasde los desplazamientos y giros en los extremos de cada elemento, y mediante laexpresion interpolatoria (3.28), se determinan los movimientos y esfuerzos en elinterior de cada elemento para la accion repartida equivalente f 4. Observese quedicha carga se calcula, por este metodo, en caso necesario, al final del proceso.

3.3.6.2 Para una accion repartida equivalente de cualquier orden k ≥ 4. Metodode proyeccion ortogonal

A continuacion se describe el metodo de proyeccion ortogonal para acciones repartidasequivalentes de cualquier orden, que incluye el caso de la carga f 4, siendo por tantouna vıa alternativa para el mismo.

1. Se procede como en el caso anterior determinando el vector de desplazamientosnodales globales.

2. Para cada elemento [α, β] se proyecta la carga f sobre el espacio Wk = Pk−1

aplicando (3.32), es decir αi = (f, pi)w/ ‖ pi ‖2w, para i = 0, ..., k, quedando

ası hallada, fk, accion repartida equivalente de orden k ≥ 4. Esto puede hacersetambien de manera incremental como se indica despues.

3. Se resuelve ahora el sistema de Timoshenko, expresion (3.2)para la carga fken cada elemento. Sean, wk(x) y ψk(x), una solucion arbitraria de Hψ′′′ = fk,Kw′ = Kψ −Hψ′′, dada por las expresiones:

ψk(x) =(y

fk

)/H

wk(x) =

ˆψ dx−mψ′ =

(yfk

)/H −

(xfk

)/K

(3.47)

La solucion que en los extremos del intervalo toma los valoresw(α), ψ(α), w(β), ψ(β) es:

[wk(x)

ψk(x)

]=

[wk(x)

ψk(x)

]+

[N11 N12 N13 N14

N21 N22 N23 N24


−wk(α)

ψk(α)wk(β)

ψk(β)

(3.48)

Observese que se esta sumando a la solucion de la homogenea una particular dela completa con valores nulos en los extremos.

4. Los esfuerzos en el interior del intervalo quedan determinados por Mk = Hψ′k,

Qk = −Hψ′′k o igualmente por:

[Mk(x)Qk(x)

]= H

[ψ′k(x)

−ψ′′k (x)

]+

[N ′21 N ′22 N ′23 N ′24−N ′′21 −N ′′22 −N ′′23 −N ′′24


−wk(α)

ψk(α)wk(β)

ψk(β)

(3.49)

65


Resumiendo, dada f y fijado el orden k ≥ 4 de la accion repartida equivalente, quedandeterminadas en cada intervalo [α, β], por el procedimiento indicado, las siguientesfunciones:

wk(x), ψk(x), Mk(x), Qk(x), fk(x)

que aproximan, respectivamente, los desplazamientos, giros, momentos, esfuerzoscortantes y carga repartida, de la solucion exacta del problema de Timoshenko(tambien de Bernoulli-Euler, con m = 0 y w′ = ψ).

Procedimiento incremental

En la practica tambien pueden hallarse las funciones wk(x), ψk(x), Mk(x), Qk(x), fk(x)de manera progresiva a partir de w4(x), ψ4(x), M4(x), Q4(x), f 4(x), pues:

fn+1 = fn + αnpn

con:

wn+1 = wn + ∆wn, ψn+1 = ψn + ∆ψn, Mn+1 = Mn + ∆Mn, Qn+1 = Qn + ∆Qn

siendo:

∆ψn(x) =1

H

yαnpn

∆wn(x) =

ˆ∆ψn dx−m∆ψ′n =

(1

H

yαnpn

)−(

1

K

xαnpn

) (3.50)

No es necesaria la correccion de valores en los extremos como en la expresion (3.48), sipara el calculo de las primitivas se emplean:

∆ψn =

[ˆ x

α

(x− s)2αnpn(s)ds

]/(2H)

∆wn =

ˆ x

α

[(x− s)3

6H− (x− s)

K

]αnpn(s)ds

(3.51)

pues para n ≥ 4, resulta ∆wn(α) = ∆ψn(α) = 0 por construccion y ∆wn(β) =∆ψn(β) = 0, por la ortogonalidad de pn con los polinomios de grado inferior a n.

3.3.7 Ejemplos de aplicacion

Se han desarrollado tres ejemplos, en los que se aborda el calculo en regimen lineal dela deformada y de las leyes de esfuerzos de una viga de rigidez y seccion rectangularconstante en toda su longitud. Las dimensiones de la pieza son 9m de largo, 0, 2m deancho y 1m de canto. Se han considerado para el coeficiente de Poisson, modulo de elas-ticidad y factor de correccion por cortante, los valores: ν = 2x10−1, E = 3x107kN/m2

y ks = 5/6, respectivamente.

En los ejemplos, las dimensiones de la viga y caracterısticas del material son las mismasen todos los casos, variando unicamente el estado de carga y las condiciones de vınculo.Se han realizado tanto para el modelo de Timoshenko como para el de Bernoulli-Euler,siendo el segundo un caso particular del primero cuando m = 0 con ψ = w′.

66


3.3.7.1 Viga empotrada-apoyada con carga repartida y puntual

Se analiza en este caso la viga descrita anteriormente (apartado 3.3.7), con las condi-ciones de vınculo y estado de carga que se muestra en la Figura 3.1, obteniendose tantola solucion exacta como la aproximada para diferentes ordenes de la accion repartidaequivalente.

Figura 3.1. Viga empotrada-apoyada

Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga en 3 elementos finitos, acordes conla definicion de la carga en el dominio:

elem1 = [0, 3], elem2 = [3, 6], elem3 = [6, 9]

Como las cargas distribuidas son constantes y lineales, por lo ya comentado en elapartado 3.3.3, si se resuelve el problema aplicando el concepto de accion repartidaequivalente y solucion nodal exacta, la solucion que se obtiene coincide con la exactaen toda la pieza.

Las soluciones aproximadas se obtienen discretizando la pieza en un solo elementode longitud l = 9m y utilizando el procedimiento de proyeccion ortogonal (apartado3.3.6.2). Para este caso en particular se han empleado dos ordenes para la accionrepartida equivalente f 4 y f 5.

Los resultados obtenidos (exacto y aproximados) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.2 a 3.5respectivamente.

En las Figuras 3.2 y 3.3 se puede apreciar que tanto para el desplazamiento comopara el giro, los resultados obtenidos con las acciones equivalentes de orden 4 y 5 sonpracticamente iguales a los de la solucion exacta.

En las Figuras 3.4 y 3.5 se puede apreciar que los errores maximos obtenidos para elmomento y cortante son del 2 % y del 10 % respectivamente.

67


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

−2

−4

−6

−8

−10

−12

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)

wexac. w4 w5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

−2

−4

−6

−8

−10

−12

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(b)

wexac. w4 w5

Figura 3.2. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4

−2

0

2

4

6·10−3

L (m)

Giro(rad

)

(a)

ψexac.

ψ4

ψ5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4

−2

0

2

4

6·10−3

L (m)

Giro(rad

)

(b)

w′exac.

w′4

w′5

Figura 3.3. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obtenidas conun solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1500

−1200

−900

−600

−300

0

300

600

900

1200

L (m)

Mom

ento

Flector

(kN.m

)

(a)

Mexac.

M4

M5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1500

−1200

−900

−600

−300

0

300

600

900

1200

L (m)

Mom

ento

Flector

(kN.m

)

(b)

Mexac.

M4

M5

Figura 3.4. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

68


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−600

−450

−300

−150

0

150

300

450

L (m)

Cortante

(kN)

(a)

Qexac.

Q4

Q5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−600

−450

−300

−150

0

150

300

450

L (m)

Cortante

(kN)

(b)

Qexac.

Q4

Q5

Figura 3.5. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

En la Figura 3.6 se puede ver el comportamiento de las acciones repartidas equivalentesf 4 y f 5 y como estas recogen el efecto de la carga puntual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−250

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(a)

fact.f 4

f 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−250

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(b)

fact.f 4

f 5

Figura 3.6. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

Estos ultimos graficos sobre las acciones repartidas equivalentes, tienen un propositoilustrativo en relacion con la teorıa desarrollada en este trabajo.

3.3.7.2 Viga empotrada-apoyada con cargas repartidas de distinto signo

Se analiza en este caso la viga descrita en el apartado 3.3.7, con las condiciones devınculo y estado de carga que se muestra en la Figura 3.7. Al igual que en el ejemploanterior, se obtiene tanto la solucion exacta como la aproximada para diferentes ordenesde la accion repartida equivalente.

69


Figura 3.7. Viga empotrada-apoyada

Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga en 3 elementos finitos, de acuerdocon la definicion de la carga en el dominio:

elem1 = [0, 3], elem2 = [3, 6], elem3 = [6, 9]

esto permite, por las propiedades indicadas en el apartado 3.3.3, obtener la solucionexacta en toda la longitud de la pieza.

Las soluciones aproximadas se obtienen para dos situaciones:

i) Discretizando la pieza en un solo elemento de longitud l = 9m y utilizandoel procedimiento de proyeccion ortogonal (apartado 3.3.6.2). Para este caso enparticular se han empleando tres ordenes para la accion repartida equivalente f 4,f 5 y f 7 (f 6 = f 5, ya que α5 = 0).

ii) Discretizando la pieza en dos elementos finitos:

elem1 = [0, 4.5], elem2 = [4.5, 9]

y empleando la accion repartida equivalente de orden 4. El procedimiento seguidoes el de interpolacion descrito en el apartado 3.3.6.1.

Como se puede ver en este caso se emplean 1 y 2 elementos finitos con el fin de analizardos alternativas posibles en relacion con el concepto de accion repartida equivalente.La primera que consiste en emplear pocos elementos, elevando el orden de dicha accion,mientras que la segunda consiste en emplear un mayor numero de elementos dejando laaccion en el orden mas bajo posible, es decir 4. A continuacion se analiza los resultadosobtenidos.

Para la accion equivalente de orden 4 y empleando un solo elemento, los resultadosno se comportan del mismo modo que en el ejemplo anterior al haber introducido unacarga con menor regularidad, debido al cambio de signo. Sin embargo, al elevar el ordende la accion repartida equivalente los resultados obtenidos mejoran considerablemente.


70


Para los desplazamientos (Figura 3.8) el error maximo es del orden de 17 % para laaccion repartida de orden 4, para la de orden 5 el error es inferior al 1.5 % y para la deorden 7 es inferior al 1 %. En la grafica se puede ver ademas que empleando 2 elementosy manteniendo el orden de la accion repartida en 4 se obtienen mejores resultados, yaque el error es inferior al 1 %.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−2,5

−2

−1,5

−1

−0,5

0

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)

wexac

w4 1 elem

w5 1 elem

w7 1 elem

w4 2 elem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−2,5

−2

−1,5

−1

−0,5

0

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(b)

ww4 1 elem

w5 1 elem

w7 1 elem

w4 2 elem

Figura 3.8. Comparacion de desplazamientos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−7,5

−5

−2,5

0

2,5

5

7,5·10−4

L (m)

Giro(rad

)

(a)

ψexac. ψ4 1 elem

ψ5 1 elem ψ7 1 elem

ψ4 2 elem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−7,5

−5

−2,5

0

2,5

5

7,5·10−4

L (m)

Giro(rad

)

(b)

w′exac. w′

4 1 elem

w′5 1 elem w′

7 1 elem

w′4 2 elem

Figura 3.9. Comparacion de giros: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler

Para los giros (Figura 3.9), el error maximo obtenido en las acciones equivalentesde orden 4, 5 y 7 y un solo elemento son del 12 %, 2.5 % y 1.5 % respectivamente.Empleando 2 elementos y accion repartida equivalente de orden 4, el error es inferioral 1.5 %.

En el caso del momento (Figura 3.10), el error maximo para la accion repartida equi-valente de orden 4 es del 12 % bajando al 4 % para la de orden 5 y al 3 % para la deorden 7 empleando un elemento, y del 3 % con 2 elementos y orden 4.

71


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−450

−300

−150

0

150

300

L (m)

Mom

ento

Flector

(kN.m

)

(a)

Mexac. M4 1 elem

M5 1 elem M7 1 elem

M4 2 elem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−450

−300

−150

0

150

300

L (m)

Mom

ento

Flector

(kN.m

)

(b)

Mexac. M4 1 elem

M5 1 elem M7 1 elem

M4 2 elem

Figura 3.10. Comparacion de momentos flectores: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler

Finalmente para el caso del cortante (Figura 3.11), el error maximo para la accion deorden 4 es del 29 % y del 17 % para la de orden 5, decreciendo al 14 % para la de orden7.

Cuando se emplean 2 elementos y orden 4, el error maximo es del 15 %. Aunque cabemencionar que este valor del error se da en el entorno del punto donde se tiene cambiode signo en la carga repartida y que en el resto de los puntos es inferior al 10 %.

Como asimismo puede verse el decrecimiento del error es mas lento para el cortantedebido a la singularidad que introduce el cambio de signo de la carga repartida.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−300

−200

−100

0

100

200

300

L (m)

Cortante

(kN)

(a)

Qexac.

Q4 1 elem

Q5 1 elem

Q7 1 elem

Q4 2 elem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−300

−200

−100

0

100

200

300

L (m)

Cortante

(kN)

(b)

Qexac.

Q4 1 elem

Q5 1 elem

Q7 1 elem

Q4 2 elem

Figura 3.11. Comparacion de esfuerzos cortantes: (a) Timoshenko y b) Bernoulli -Euler

En la Figura 3.12 se aprecia como las acciones repartidas equivalentes recogen el cambiode signo de la carga original.

Adicionalmente en las Figuras 3.13-3.15 se ilustran las propiedades osculadoras y deortogonalidad para las soluciones incrementales relativas a los sumandos de g.

72


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−200

−100

0

100

200

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(a)

fact. f 4 1 elem

f 5 1 elem f 7 1 elem

f 4 2 elem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−200

−100

0

100

200

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(b)

fact. f 4 1 elem

f 5 1 elem f 7 1 elem

f 4 2 elem

Figura 3.12. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2,5

−2

−1,5

−1

−0,5

0

L (m)

Des

pla

zam

iento

(mm

)

(a)

wexac.

w4

∆w4

∆w6

w7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−7,5

−5

−2,5

0

2,5

5

7,5·10−4

L (m)

Gir

o(r

ad)

(b)

ψexac. ψ4

∆ψ4 ∆ψ6

ψ7

Figura 3.13. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) desplazamientos y (b) giros

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−450

−300

−150

0

150

300

L (m)

Mom

ento

Fle

ctor

(kN

.m)

(a)

Mexac. M4

∆M4 ∆M6

M7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−300

−200

−100

0

100

200

300

L (m)

Cor

tante

(kN

)

(b)

Qexac. Q4

∆Q4 ∆Q6

Q7

Figura 3.14. Propiedades osculadoras y de ortogonalidad: (a) momentos flectores y (b)esfuerzos cortantes

73


Se pueden comparar los valores de los desplazamientos y giros, Figura 3.13, ası comode los momentos y esfuerzos cortantes, Figura 3.14, para la solucion exacta, solucionequivalente de orden 4 y las soluciones incrementales de orden superior, empleando unsolo elemento. Asimismo, en la Figura 3.15 se puede ver las sucesivas cargas repartidasequivalentes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−200

−100

0

100

200

L (m)

Acc

ion

es(k

N/m

)

fact. f4∆f4 ∆f6f7

Figura 3.15. Representacion de las sucesivas cargas repartidas equivalentes

En las graficas se puede ver claramente que los resultados provenientes de la accionrepartida equivalente de orden 4 son los mas significativos y la contribucion de lossumandos de g es en general pequena. Concretamente, se observa en este caso como amedida que aumenta el orden de la accion repartida equivalente las soluciones incre-mentales decrecen notablemente a partir de ∆w4 para el desplazamiento y de manerasimilar, para el giro y el momento. Sin embargo, para el cortante el decrecimiento esmas lento y empieza a ser significativo a partir de ∆Q6.

Al sumar a la w4, la incremental ∆w4 resulta la w5, que coincide practicamente con lasolucion exacta, tal y como puede observarse en la Figura 3.8. Se ha incluido la graficade la w7 = w4 + ∆w4 + ...+ ∆w6 con proposito ilustrativo, y de manera analoga parael giro y los esfuerzos.

Tengase en cuenta, de acuerdo con lo expuesto anteriormente, que:

fk = f 4 + g = f 4 +k−1∑n=4

∆fn, con fn = αnpn

wk = w4 +k−1∑n=4

∆wn, ψk = ψ4 +k−1∑n=4

∆ψn

Mk = M4 +k−1∑n=4

∆Mn, Qk = Q4 +k−1∑n=4

∆Qn

74


3.3.7.3 Viga biempotrada con carga puntual

Se analiza ahora la viga descrita en el apartado 3.3.7, con las condiciones de vınculo yestado de carga que se muestra en la Figura 3.16, obteniendose tanto la solucion exactacomo la aproximada para diferentes ordenes de la accion repartida equivalente.

Figura 3.16. Viga biempotrada, carga puntual

En este ejemplo se trata de ver un caso con mayor singularidad al considerar unicamenteuna accion puntual.

Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga en 2 elementos finitos, de acuerdocon la ubicacion de la carga puntual, o sea:

elem1 = [0, 4.5], elem2 = [4.5, 9]

Las soluciones aproximadas se obtienen discretizando la pieza en un solo elemento delongitud l = 9m y utilizando el procedimiento de proyeccion ortogonal descrito en elapartado 3.3.6.2. Para este caso se han empleando 5 ordenes para la accion repartidaequivalente f 4, f 5, f 7, f 9 y f 11 (f 6 = f 5, f 8 = f 7 y f 10 = f 9, ya que α5 = 0, α7 = 0 yα9 = 0 respectivamente).


Para los desplazamientos (Figura 3.17) el error maximo es del orden del 14 % para laaccion repartida equivalente de orden 4, pasando al 3 % para la de orden 5 y al 1.6 %para la de orden 7.

En los giros (Figura 3.18) el error maximo obtenido para la de orden 4 es del 8 %, del2.5 % para la de orden 5 y del 1.7 % para la de orden 7. Para el momento (Figura 3.19)el error maximo para la accion equivalente de orden 4 es del 19 %, para la de orden 5del 12 % y para la de orden 7 del 8.5 %.

Como se puede ver el error disminuye lentamente por la singularidad de la carga, loque se ha puesto de manifiesto empleando acciones repartidas equivalentes sucesivashasta la de orden 11.

Finalmente para el caso del cortante (Figura 3.20) se produce un fenomeno analogoal de Gibbs en el punto donde se aplica la carga, ya que origina un salto en la ley decortantes.

75


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)

wexac. w4

w5 w7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(b)

wexac. w4

w5 w7

Figura 3.17. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4·10−4

L (m)

Giro(rad

)

(a)

ψexac. ψ4

ψ5 ψ7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4·10−4

L (m)

Giro(rad

)

(b)

wexac. w′4

w′5 w′

7

Figura 3.18. Comparacion de giros entre la solucion exacta y las aproximadas obtenidas conun solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

L (m)

Mom

ento

Flector

(kN.m

)

(a)

Mexac. M4 M5

M7 M9 M11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

L (m)

Mom

ento

Flector

(kN.m

)

(b)

Mexac. M4 M5

M7 M9 M11

Figura 3.19. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

76


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−100

−75

−50

−25

0

25

50

75

100

L (m)

Cortante

(kN)

(a)

Qexac. Q4

Q5 Q7

Q9 Q11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−100

−75

−50

−25

0

25

50

75

100

L (m)

Cortante

(kN)

(b)

Qexac. Q4

Q5 Q7

Q9 Q11

Figura 3.20. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y las aproximadasobtenidas con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

En la Figura 3.21 donde se representa la accion repartida equivalente, se puede apreciaren ambos casos (Timoshenko y Bernoulli-Euler) como las graficas de las cargas repar-tidas equivalentes tratan de ir recogiendo informacion de la carga puntual, adoptandolocalmente una forma de campana y elevando su ordenada en el punto de aplicacion altiempo que se estrecha su base.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−50

0

50

100

150150 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(a)

fact. f 4

f 5 f 7

f 9 f 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−50

0

50

100

150150 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(b)

fact. f 4

f 5 f 7

f 9 f 11

Figura 3.21. Representacion de las acciones: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli -Euler

3.4 Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko

Se extiende ahora la idea de solucion nodal exacta y accion repartida equivalente a laviga-columna de Timoshenko, a partir de los resultados anteriores obtenidos para laviga. Tal y como se comprobo en el apartado anterior, en la mayorıa de los casos lasolucion, empleando el concepto de accion repartida equivalente de orden menor (esdecir 4), es suficiente. De ahı que para la viga-columna se desarrolle la metodologıaempleando la accion repartida equivalente de orden mınimo.

77

3.4. Solucion nodal exacta y accion repartida equivalente en la viga-columna de Timoshenko

3.4.1 Elementos finitos con solucion nodal exacta

A partir de la expresion (2.58), el sistema de ecuaciones diferenciales definido en Ω =(a, b) para el pilar de Timoshenko se puede poner tambien de la siguiente manera:

L(U) = F, L(U) =[−(ksAG(w′ − ψ))′ + (Pw′)′ −(EIψ′)′ − ksAG(w′ − ψ)

]Tcon:

U =[w ψ)

]T, F =

[f 0

]TSi llamamos, del mismo modo que en el caso de la viga, H = EI y K = ksAG, elsistema de Timoshenko puede expresarse en forma mas compacta como:

−(K(w′ − ψ))′ + (Pw′)′ = f, −(Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0 (3.52)

La formulacion variacional se obtiene, realizando la ponderacion usual en el sistema

original, con V =[v φ

]Ty tras el correspondiente proceso de integracion por partes

en el intervalo generico [α, β] , resulta la siguiente expresion:

b(U, V ) = l(V ) +4∑i=1

li(V )li(U) (3.53)

donde las formas, bilineal y lineales, son respectivamente:

b(U, V ) = a(U, V )−ˆ β

α

Pw′v′ dx

a(U, V ) =

ˆ β

α

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx

l(V ) =

ˆ β

α

vf dx

l1(V ) = v(α), l2(V ) = φ(α), l3(V ) = v(β), l4(V ) = φ(β)

l1(U) = [−K(w′ − ψ)]x=α + Pw′(α), l2(U) = [−Hψ′]x=α

l3(U) = [K(w′ − ψ)]x=β − Pw′(β), l4(U) = [Hψ′]x=β (3.54)

El problema variacional para el caso, por ejemplo, de una pieza empotrada en el extremox = a y libre en x = b, sometida a un axil constante P y con cargas FH y M en elextremo libre, consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1

0 (Ω)×H10 (Ω) tal que:

ˆ b

a

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)

]− Pw′v′

dx =

ˆ b

afv dx+ FHv(b) +Mφ(b)

∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)×H1

0 (Ω) (3.55)

donde H10 (Ω) el espacio de Sobolev de las funciones g tales que g, g′ ∈ L2(Ω) junto con

g(a) = 0. La solucion unica de este problema (cuando P no es autovalor del problemahomogeneo) es la que hace estacionario el siguiente funcional de energıa:

I(w,ψ) =

ˆ b

a

H

2ψ′2 +

K

2(w′ − ψ)2 − P

2w′2dx−

(ˆ b

a

fv dx+ FHv(b) +Mφ(b)

)(3.56)

78


La simetrıa de la forma bilineal b(·, ·) permite expresar, en cualquier subintervalo, o enel intervalo total:

b(U, V ) =

ˆ β

α

V TL(U) dx+4∑i=1

li(V )li(U) =

ˆ β

α

U tL(V ) dx+4∑i=1

li(U)li(V ) (3.57)

y tomando las funciones de ponderacion, de modo que sean soluciones del sistema ho-mogeneo del pilar de Timoshenko, se tiene b(U, V ) =

∑4i=1 li(U)li(V ), no dependiendo

la forma bilineal de los valores que toma U en el interior del subintervalo. La ecuacionvariacional:

b(U, V ) = l(V ) +4∑i=1

li(V )li(U)

se pude expresar, de acuerdo con lo anterior, en la forma:

4∑i=1

li(U)li(V ) = l(V ) +4∑i=1

li(V )li(U) (3.58)

La construccion ahora de las ecuaciones de equilibrio de elementos finitos, es decirlas ecuaciones locales y la global, se realiza del mismo modo que para el caso dela viga. En [Romero y Ortega, 1998, 1999] se demuestra que la solucion obtenidaempleando funciones de forma Ni = [N1i N2i]

T , i = 1, ..., 4 que verifican las ecuacioneshomogeneas de los correspondientes modelos, son nodalmente exactas. Dichas funcionesconstituyen una base de Lagrange para la interpolacion pues li(Nj) = δij, j = 1, ..., 4.

Para P , H y K constantes, el sistema de ecuaciones diferenciales puede ponerse como:H1ψ

′′′ + Pψ′ = fw′ = ψ −mψ′′ (3.59)

con H1 = H(1− P/K) y m = H/K

La solucion del sistema homogeneo (3.59) en cada elemento finito [α, β] se puede ex-presar mediante las funciones de forma, Ni = [N1i N2i]

T , i = 1, ..., 4, en terminos delos valores de w y ψ en los extremos mediante la siguiente expresion:

[vφ

]=

[N11 N12 N13 N14

N21 N22 N23 N24


(3.60)

donde:[N11 N12 N13 N14

N21 N22 N23 N24

]=

[1 x sen(r1x) cos(r1x)0 1 cos(r1x)/q − sen(r1x)/q

]C1 (3.61)

siendo C1 la matriz:

C1 = (1/∆)

ρ(c1 − 1) + hr1s1 ρ(ρs1 − hr1c1)/r1 ρ(c1 − 1) ρ(hr1 − ρs1)/r1

−r1s1 ρ(c1 − 1) r1s1 ρ(c1 − 1)ρs1 ρ(hr1s1 + ρ(c1 − 1))/r1 −ρs1 ρ(1− c1)/r1

ρ(c1 − 1) ρ(hr1c1 − ρs1)/r1 ρ(1− c1) ρ(ρs1 − hr1)/r1

(3.62)

79


con:

r1 =√P/H1, H1 = H(1− P/K), q = ρ/r1, ρ = 1 + r2

1m, m = H/K

∆ = 2ρ(c1 − 1) + hr1s1, h = β − α, c1 = cos(r1h), s1 = sen(r1h)

Para el caso de la viga-columna de Bernoulli-Euler (m = 0), las funciones de formarelativas al desplazamiento v(x) son:[

N1 N2 N3 N4

]=[

1 x sen(rx) cos(rx)]C (3.63)

con r =√P/H. La expresion del desplazamiento dentro del elemento en terminos de

los valores de w y w′ en los extremos es:

v(x) =[N1 N2 N3 N4

] w(α)w′(α)w(β)w′(β)

(3.64)

siendo C la matriz:

C = (1/∆)

c− 1 + hrs (s− hrc)/r c− 1 (hr − s)/r−rs c− 1 rs c− 1s (hrs+ c− 1)/r −s (1− c)/r

c− 1 (hrc− s)/r 1− c (s− hr)/r

(3.65)

con:

c = cos(rh), s = sen(rh), ∆ = hrs+ 2(c− 1)

La ecuacion de equilibrio para [α, β] es: Keue = f e + qe, donde los desplazamientosnodales, las cargas nodales equivalentes y las nodales de equilibrio son respectivamente:


]T=[w(α) ψ(α) w(β) ψ(β)

]T(3.66)

f e =[f e1 f e2 f e3 f e4

]T, f ei =

ˆ β

α

fN1i dx, i = 1, ..., 4 (3.67)

qe =[qe1 qe2 qe3 qe4

]T, qei = li(U), i = 1, ..., 4 (3.68)

Los elementos de la matriz de rigidez local Ke =[keij]

son keij = b(Ni, Nj) que secalculan en la forma usual mediante la expresion:

keij = b(Ni, Nj) =

ˆ β

α

HN ′2iN

′2j +K(N ′1i −N2i)(N

′1j −N2j)− PN ′1iN ′1j

dx (3.69)

y tambien por derivacion de las funciones de forma:

keij = b(Ni, Nj) =4∑

n=1

ln(Ni)ln(Nj) =4∑

n=1

δniln(Nj) = li(Nj) (3.70)

80


La matriz de rigidez del elemento para la viga-columna o pilar de Timoshenko, KePT ,

que resulta es:

KePT = (H1/∆)

−r3

1s1 ρr21(c1 − 1) r3

1s1 ρr21(c1 − 1)

ρr21(c1 − 1) ρr1(hr1c1 − ρs1) ρr2

1(1− c1) ρr1(ρs1 − hr1)r3

1s1 ρr21(c1 − 1) −r3

1s1 ρr21(1− c1)

ρr21(c1 − 1) ρr1(ρs1 − hr1) ρr2

1(1− c1) ρr1(hr1c1 − ρs1)

(3.71)

cuando m = 0 resulta la matriz de rigidez, KePBE, del pilar de Bernoulli-Euler [Ortega,

2004]:

KePBE =

H

∆

−r3s r2(c− 1) r3s r2(c− 1)

r2(c− 1) r(hrc− s) r2(1− c) r(s− hr)r3s r2(1− c) −r3s r2(1− c)

r2(c− 1) r(s− hr) r2(1− c) r(hrc− s)

(3.72)

3.4.2 Cargas de pandeo

Tal como se menciono en la introduccion de este trabajo, al considerar la deformacionpor cortante, el valor de la carga de pandeo disminuye, por ello es importante conocercuales son dichas cargas para las diferentes condiciones en los extremos del pilar. Estacarga es el valor positivo mas pequeno de P que anula el determinante de la matrizde rigidez global KPT , ya reducida, es decir una vez consideradas las condiciones decontorno esenciales del correspondiente problema de autovalores.

Para el caso de una viga-columna (o mas propiamente pilar) de longitud L, que esta ar-ticulada en ambos extremos, es decir en los nodos 1 y 2, la matriz KPT se reduce a laformada por los cuatro elementos ubicados en las filas y columnas segunda y cuarta dela matriz de rigidez (3.71). Anulando el correspondiente determinante, o sea:

(H1/∆)

∣∣∣∣ ρr1(Lr1c1 − ρs1) ρr1(ρs1 − Lr1)ρr1(ρs1 − Lr1) ρr1(Lr1c1 − ρs1)

∣∣∣∣ = 0

y operando resulta:

(H21/∆)Lρr3

1s1 = 0

donde s1 = sen(r1L) = 0 y r1L = nπ, n = 1, 2, .... La carga P en fucnion de r1 vienedada por la expresion:

P =r2

1H

1 +mr21

(3.73)

Tomando la raız positiva mas pequena r1 = π/L, la carga de pandeo es:

PcrT =π2HL2

1 + π2HL2K

81


Para el caso de una viga-columna de longitud L, empotrada en un extremo (nodo1) y libre en el otro (nodo 2), la matriz KPT se reduce a la formada por los cuatroelementos ubicados en las filas y columnas tercera y cuarta de la matriz de rigidez(3.71). Anulando el correspondiente determinante, o sea:

(H1/∆)

∣∣∣∣ −r31s1 ρr2

1(1− c1)ρr2

1(1− c1) ρr1(Lr1c1 − ρs1)

∣∣∣∣ = 0

y operando resulta:

(H21/∆)c1ρr

41 = 0

donde c1 = cos(r1L) = 0 y r1L = nπ/2, n = 1, 3, 5, ... Tomando la raız positiva maspequena r1 = π/2L y empleando la expresion (3.73), la carga de pandeo en este casoes:

PcrT =π2H4L2

1 + π2H4L2K

Para el caso de una viga-columna de longitud L, empotrada en ambos extremos, lo quese hace es resolver el problema por simetrıa, es decir tomamos la mitad de la longituddel elemento y como condiciones de contorno tenemos un extremo empotrado (nodo 1)y en el otro impedido el giro (nodo 2), con lo cual la matriz KPT se reduce al caso trivialde un elemento que ocupa la posicion 3-3 de la matriz expresion (3.71). La carga seobtiene por tanto determinando la raız positiva mas pequena de la siguiente expresion:

(H1/∆)[−r3

1s1

]= 0

donde s1 = sen(r1L/2) = 0 y r1L/2 = nπ, n = 0, 1, 2, ..., quedando la carga de pandeopara el pilar de Timoshenko de la siguiente manera:

PcrT =4π2HL2

1 + 4π2HL2K

Para el caso de una viga-columna de longitud L, empotrada en un extremo (nodo 1) yarticulada en el otro (nodo 2) la matriz KPT se reduce al caso trivial de un elementoque ocupa la posicion 4-4 de la matriz expresion (3.71). La carga se obtiene por tantodeterminando la raız positiva mas pequena de la siguiente expresion:

(H1/∆)[ρr1(Lr1c1 − ρs1)

]= 0

H1r1

c1∆

[Lr1 − ρ tan(r1L)

]= 0

como ρ = 1 + r21m y llamando x = r1L la ecuacion que finalmente se debe resolver es:

x = (1 +mx2/L2) tan(x)

una vez determinada el valor de x la carga crıtica PcrT es:

PcrT =Hx2/L2

1 +mx2/L2

82


Hay que tener en cuenta que la carga de pandeo obtenida, siguiendo el procedimientode anular el determinante de la matriz, KPT queda determinada de manera exacta.

Por otra parte, si se tiene en cuenta que las cargas de pandeo para la pieza de Bernoulli-Euler (carga critica de Euler PcrE), en las diferentes configuraciones son las que vienendadas en la Tabla 3.1:

Condiciones de contorno Carga crıtica de Euler

empotrado-libre PcrE = π2H4L2

articulado-articulado PcrE = π2HL2

empotrado-empotrado PcrE = 4π2HL2

Tabla 3.1. Carga crıtica de Euler para diferentes condiciones de contorno

entonces la carga crıtica de pandeo del pilar de Timoshenko se puede poner de lasiguiente manera [Wang et al., 2005]:

PcrT =PcrE

1 + PcrEK

(3.74)

Cuando el pilar esta empotrado-articulado la expresion (3.74) no es aplicable, y paradicho caso se plantea la siguiente relacion [Ziegler, 1982]:

PcrT ≈PcrE

1 + 1.1PcrEK

(3.75)

Hay que destacar que la expresion (3.74) es aplicable tambien para un pilar con empo-tramientos elasticos de igual rigidez en ambos extremos [Banerjee y Williams, 1994].

Denominando carga de pandeo normalizada a la relacion entre la carga de pandeo deTimoshenko y la carga de pandeo de Euler [Challamel et al., 2014], es decir PcrT/PcrE,y teniendo en cuenta las expresiones (3.74) y (3.75), se puede ver que la misma dependede la relacion E/G ası como de la relacion canto/longitud, o sea, b/L, de la siguientemanera, Tabla 3.2.

Condiciones de contorno Carga normalizada PcrT/PcrE

empotrado-libre 1

1+( bL)2 π2

40EG

articulado-articulado 1

1+( bL)2 π2

10EG

empotrado-articulado 1

1+( bL)2 2.250325π2

10EG

empotrado-empotrado 1

1+( bL)2 4π2

10EG

Tabla 3.2. Carga normalizada para diferentes condiciones de contorno y para una seccionrectangular con ks = 5/6

83


Como se puede observar, la carga de pandeo para el pilar de Timoshenko, es menorque la carga de Euler, cuanto mayor sea la relacion b/L. Es decir, para un pilar cortola influencia de la deformacion por cortante es mayor que en un pilar esbelto [Banerjeey Williams, 1994; Wang et al., 2005]. De ahı que las cargas de pandeo en el primer casosean un tanto diferentes y en el segundo sean proximas. En la Figura 3.22 se puedever como varıa la carga de pandeo normalizada con respecto a la relacion adimensionalb/L para una relacion E/G = 2.6. Asimismo se observa que la influencia de las condi-ciones de contorno en la reduccion de la carga de pandeo es mayor en el caso del pilarbiempotrado.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,2

0,4

0,6

0,8

1

b/L

PcrT/P

crE

empotrado-libre

articulado-articulado

empotrado-articulado

empotrado-empotrado

Figura 3.22. Carga normalizada de pandeo PcrT /PcrE-relacion adimensional b/L, paradiferentes condiciones de contorno

3.4.3 Aplicacion del concepto de accion repartida equivalente a la viga-columnade Timoshenko

Considerando la descomposicion del dominio en la forma [a, b] = ∪n−1i=1 [xi, xi+1], y

teniendo en cuenta el concepto de accion equivalente definido en el apartado 3.3.1, quedice que dos acciones f y f son equivalentes respecto de dicha descomposicion, si encada [α, β] de la descomposicion, se verifica la igualdad de los siguientes productosescalares:

(f,N1i)w = (f , N1i)w, i = 1, ..., 4

De lo anterior y teniendo en cuenta que:

(Hψ′)′′ + (Pw′)′ = f(x)

(Hψ′)′′ + (Pw′)′ = f(x) (3.76)

considerando la equivalencia de las acciones se puede poner:ˆ β

α

[((Hψ′)′′ + (Pw′)′)−

((Hψ

′)′′ + (Pw′)′

)]v dx =

ˆ β

α

((f(x)− f(x)

)v dx (3.77)

84


resultando:ˆ β

α

[((Hψ′)′′ + (Pw′)′)−

((Hψ

′)′′ + (Pw′)′

)]v dx = 0 (3.78)

donde como es sabido, la funcion de ponderacion v pertenece al espacio de solucionesdel sistema homogeneo, es decir a las N1i, i = 1, ..., 4.

Integrando por partes (3.78) se tiene:[((Hψ′)′ + Pw′

)−(

(Hψ′)′ + Pw′

)]v

∣∣∣∣βα +

ˆ β

α

[(−(Hψ′)′ − Pw′

)−(

(Hψ′)′ + Pw′

)]v′ dx = 0

(3.79)

donde el primer sumando es nulo debido a la igualdad de desplazamientos y giros enlos nodos para dos acciones equivalentes, teniendose por tanto:

ˆ β

α

[(−(Hψ′)′ − Pw′)−

((Hψ

′)′ + Pw′

)]v′ dx = 0 (3.80)

integrando de nuevo por partes:[(Hψ′ + Pw

)−(Hψ

′+ Pw

)]v′∣∣∣βα − ˆ β

α

[(Hψ′ + Pw

)−(Hψ

′+ Pw

)]v′′ dx = 0 (3.81)

siendo tambien el primer sumando nulo por la razon indicada anteriormente. Y enconsecuencia se tiene:

ˆ β

α

[(Hψ′ + Pw)−

(Hψ

′+ Pw

)]v′′ dx = 0 (3.82)

De acuerdo con las consideraciones anteriores, las expresiones (3.80) y (3.82) y llaman-do:

V (x) = −Hψ′′ − Pw′ = K(w′ − ψ)− Pw′

V (x) = −Hψ′′ − Pw′ = K(w′ − ψ)− Pw′M(x) = Hψ′

M(x) = Hψ′

(3.83)

se reducen a:ˆ β

α

(V (x)− V (x)

)v′ dx = 0

ˆ β

α

(V (x)− V (x)

)N ′1i dx = 0 (3.84)

ˆ β

α

[(M(x)−M(x)

)+ P (w − w)

]v′′ dx

ˆ β

α

[(M(x)−M(x)

)+ P (w − w)

]N ′′1i dx (3.85)

85


El esfuerzo cortante en cada seccion x viene dado por la expresion Q(x) = K(w′ − ψ),por lo tanto la funcion V (x) de la expresion (3.84) representa un nuevo esfuerzo quepuede denominarse pseudo-cortante o cortante corregido (proyeccion en la direcciondel desplazamiento de las acciones que quedan a la derecha de la seccion, incluyendo lacontribucion de Pw′, vease Figura 2.5). La funcion M(x) representa el momento flectoren la citada seccion.

La expresion (3.84) nos indica que la funcion diferencia de cortantes corregidos, V (x)−V (x), que es nula en los extremos del intervalo, ya que interpola los mismos valores,es ademas ortogonal al espacio de funciones engendrado por las N ′1i, i = 1, ..., 4. Y delmismo modo que en el caso de la viga, se puede demostrar que engendran un espaciode dimension tres. Asimismo la expresion (3.85) indica que la funcion:

m(x)−m(x) =(M(x)−M(x)

)+ P (w − w) (3.86)

que representa la diferencia de momentos mas la carga P por la diferencia de des-plazamientos, dicha funcion es nula y con derivada nula en los extremos del intervalo(interpolan los mismos valores), es ademas ortogonal al espacio de funciones engendradopor las N ′′1i, i = 1, ..., 4. Estas engendran un espacio de dimension dos.

Estas propiedades de ortogonalidad e interpolacion, en cada elemento, para las funcio-nes V (x)− V (x) y m(x)−m(x), para una accion equivalente a la accion original, sonla base del buen comportamiento del metodo expuesto, para la aproximacion de losesfuerzos y tambien para los desplazamientos y giros, en el interior de cada elementofinito.

Del mismo modo que en el caso de la viga, descrito en apartados anteriores, se puede

calcular tambien la solucion U =[w ψ

]Ty los esfuerzos derivados de ella, Q(x) y

M(x), relativos a f(x), sin necesidad de calcular previamente f(x).

A continuacion se desarrolla, para el caso particular de H y K constantes, la determi-nacion mediante interpolacion, de la solucion aproximada Ucorrespondiente a la accionrepartida equivalente f(x).

A partir de H1ψ′′′ + Pψ′ = f , w′ = ψ − mψ′′ se deduce que la solucion equivalente

U(z = x− α) es:

U =

w

ψ

=

1 z z2 z3 s1 c1 zs1 zc1

0 1 2z 3z2 + 6m r1ρ c1 − r1ρ s1

ρ−

ρ2 s1 + z r1ρ c1ρ−

ρ2 c1 − z r1ρ s1

C−1u(3.87)

donde:

s1 = sen(r1z), c1 = cos(r1z), ρ = 1 + r21m, r1 =

√P/H1

H1 = H(1− P/K), ρ− = 1− r21m

u =[w(α) ψ(α) w′(α+) ψ′(α+) w(β) ψ(β) w′(β−) ψ′(β−)

]T

86


siendo C la matriz siguiente:

C =

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 6m r1ρ

0 0 ρ−

ρ2

0 1 0 0 r1 0 0 1

0 0 2 0 0 − r21

ρ22r1ρ2 0

1 h h2 h3 s1 c1 hs1 hc1

0 1 2h 3h2 + 6m r1ρc1 − r1

ρs1

ρ−

ρ2 s1 + r1ρhc1

ρ−

ρ2 c1 − r1ρhs1

0 1 2h 3h2 + 6m r1c1 −r1s1 c1 + r1hc1 c1 − r1hs1

0 0 2 6h − r21

ρ2 s1 − r21

ρ2 c12r1ρ2 c1 − r2

1

ρ2hs1 −2r1ρ2 s1 − r2

1

ρ2hc1

(3.88)

con:

h = β − α, c1 = cos(r1h), s1 = sen(r1h),

Las leyes de desplazamientos, giros, flectores y cortantes equivalentes y asimismo laaccion repartida equivalente, f , en cada intervalo [α, β] pueden ser dadas mediante laexpresion matricial (3.89).

Las expresiones del momento flector equivalente, el esfuerzo cortante equivalente,pseudo-cortante equivalente y la accion repartida equivalente, se han deducido con-siderando que:

M = Hψ′, Q = −Hψ′′ − Pw′, f = Hψ

′′′+ Pw′′

Observese que la accion repartida equivalente, en el desarrollo anterior se ha obtenido a

partir de la derivacion correspondiente de la funcion de desplazamientos U =[w ψ

]Ty no a partir de la proyeccion ortogonal de la funcion que define la carga f del intervalo[a, b] sobre el espacio definido por las funciones de forma N1i, i = 1, ..., 4.

Destacamos finalmente que si la accion f(x) viene dada en cada intervalo o elementopor una expresion que sea combinacion lineal de las cuatro funciones 1, z, sen(r1z),y cos(r1z), el procedimiento indicado proporcionara la solucion exacta para los des-plazamientos, giros y leyes de esfuerzos, no solo en los nodos (lo que se consigue paracualquier tipo de carga f(x) utilizando elementos finitos con solucion nodal exacta)sino tambien en el interior de cada elemento (vease la Propiedad de solucion exacta Ien el apartado 3.3.3).

87


wψMQVf =

1z

z2

z3

s1

c1

zs1

zc1

01

2z

3z

2+

6m

r1ρc1

−r1ρs1

ρ −ρ2s1

+zr1ρc1

ρ −ρ2c1 −

zr1ρs1

00

2H

16zH

1−r21ρs1H

1−r21ρc1H

1

(2r1

ρ2c1 −

r21ρzs1 )

H1

(−

2r1

ρ2s1 −

r21ρzc1 )

H1

00

06H

1r31ρc1H

1−r31ρs1H

1

(r21(2

+ρ)

ρ2

s1

+r31ρzc1 )

H1

(r21(2

+ρ)

ρ2

c1 −

r31ρzs1 )

H1

0−P−

2zP

6H

1 −3z

2P

r31ρc1H

1 −r1c1P−r31ρs1H

1+r1s1P

(r21(2

+ρ)

ρ2

s1

+r31ρzc1 )

H1 −

r1

(s1

+zc1)P

(r21(2

+ρ)

ρ2

c1 −

r31ρzs1 )

H1 −

r1

(c1 −

zs1)P

00

2P

6zP

r41ρs1H

1 −r21s1P

r41ρc1H

1 −r21c1P

(−r31(2

+ρ)

ρ2

c1

+r41ρzs1 )

H1

+r1

(2c1 −

r1zs1)P (

r31(2

+ρ)

ρ2

s1

+r41ρzc1 )

H1 −

r1

(2s1

+r1zc1)P

C−

1u

(3.89)

con:

s1

=sen

(r1 z

),c

1=

cos(r

1 z),

ρ=

1+r

21 m,

r1

= √P/H

1 ,H

1=H

(1−P/K

),ρ −

=1−

r21 m

88


3.4.4 Ejemplos de aplicacion

A continuacion se desarrollan dos ejemplos, en los que se aborda el calculo en regimenlineal de la deformada y de las leyes de esfuerzos de una viga-columna. Los ejemplosse realizan tanto para el modelo de Timoshenko como para el de Bernoulli-Euler. Asi-mismo se obtiene tanto la solucion exacta como la aproximada para la accion repartidaequivalente de orden mınimo, es decir, de orden 4.

3.4.4.1 Viga-columna empotrada-apoyada con carga repartida y carga puntual

Se analiza una viga-columna de 40m de largo y seccion I constante en toda su longitud.Se han considerado para el coeficiente de Poisson, modulo de elasticidad y factor decorreccion por cortante, los valores: ν = 25x10−2, E = 2, 1x107kN/m2 y ks = 0.517,respectivamente. El valor de ks se obtiene empleando la formula de la tabla 2.2 de[Wang et al., 2005]. Las condiciones de vınculo y estado de carga se muestran en laFigura 3.23, el valor de la carga P representa el 50 %Pcrit de Bernoulli-Euler.

Figura 3.23. Viga-columna empotrada-articulada

Teniendo en cuenta que el analisis que se efectua considera simultaneamente la flexiony la deformacion por cortante, la dimension mayor de la seccion corresponde al planoen el que se produce la flexion.

89


Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga-columna en 4 elementos finitos,acordes con la definicion de la carga en el dominio:

elem1 = [0, 14], elem2 = [14, 24], elem3 = [24, 32], elem3 = [32, 40]

Como las cargas distribuidas son constantes, de acuerdo con lo indicado en el ultimoparrafo del apartado 3.4.3, si se resuelve el problema aplicando el concepto de accionrepartida equivalente y solucion nodal exacta, la solucion que se obtiene coincide conla exacta en toda la pieza.

La solucion aproximada se obtiene discretizando la pieza en un solo elemento de lon-gitud l = 40m y empleando la accion repartida equivalente de orden mınimo.

Los resultados obtenidos (exacto y aproximado) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.24 a 3.27respectivamente.

0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)

ExactaAproximada

0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.24. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 10 20 30 40−1

−0,75

−0,5

−0,25

0

0,25

0,5

0,75·10−2

L (m)

Giro(rad

)

(a)

ExactaAproximada

0 10 20 30 40−1

−0,75

−0,5

−0,25

0

0,25

0,5

0,75·10−2

L (m)

Giro(rad

)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.25. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenida con unsolo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

90


Para los desplazamientos (Figura 3.24) se puede ver que la solucion aproximada practi-camente coincide con la solucion exacta del problema. Ocurre lo mismo con los giros(Figura 3.25).

En las Figuras 3.26 y 3.27 se dan, respectivamente, las graficas de momentos y esfuerzoscortantes. El maximo error del momento flector se produce en la abscisa 24m, siendoel mismo inferior al 2,4 % respecto al valor exacto.

Por otra parte en el esfuerzo cortante, el maximo error se produce en los puntos dondeestan aplicadas las cargas puntuales, ya que el metodo regulariza la ley eliminando lasdiscontinuidades, pues promedia en cierto modo los valores del cortante a la izquierday derecha de dichos puntos. De modo que el error es por tanto el menor posible conside-rando que la ley del esfuerzo cortante aproximado viene dada por una funcion continua.

0 10 20 30 40−2250

−1500

−750

0

750

1500

2250

3000

L (m)

Mom

ento

(kN.m

)

(a)

ExactaAproximada

0 10 20 30 40−2250

−1500

−750

0

750

1500

2250

3000

L (m)

Mom

ento

(kN.m

)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.26. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 10 20 30 40−225

−150

−75

0

75

150

225

300

L (m)

Cortante

(kN)

(a)

ExactaAproximada

0 10 20 30 40−225

−150

−75

0

75

150

225

300

L (m)

Cortante

(kN)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.27. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con un solo elemento: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

91


En la Figura 3.28 se puede apreciar la distribucion de las acciones equivalentes y comoestas aproximan la carga original.

0 10 20 30 400

5

10

15

20

25

30 kN

60 kN

30 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(a)

ActuanteEquivalente

0 10 20 30 400

5

10

15

20

25

30 kN

60 kN

30 kN

L (m)Acciones

(kN/m

)

(b)

ActuanteEquivalente


En las Figuras 3.29 y 3.30 se puede ver una comparacion entre los resultados exactosobtenidos para los modelos de Timoshenko y Bernoulli-Euler, para los desplazamientos,giros y esfuerzos.

Como se puede apreciar, la diferencia obtenida no es significativa debido a que el pilares esbelto. En el caso del desplazamiento y el momento se obtiene un diferencia maximaen la abscisa 24 m cuyos valores son 3.3 % y 2.4 %, respectivamente.

Para el giro y el esfuerzo cortante las diferencia maximas se produce en el extremosuperior y son del orden del 2.1 % y 1.66 % respectivamente.

0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)

TimoshenkoBernoulli-Euler

0 10 20 30 40−1

−0,75

−0,5

−0,25

0

0,25

0,5

0,75·10−2

L (m)

Giro(rad

)

(b)


Figura 3.29. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a)desplazamientos y (b) giros

92


0 10 20 30 40−2250

−1500

−750

0

750

1500

2250

3000

L (m)

Mom

ento

(kN.m

)

(a)


0 10 20 30 40−225

−150

−75

0

75

150

225

300

L (m)

Cortante

(kN)

(b)


Figura 3.30. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) momentosflectores y (b) esfuerzos cortantes

3.4.4.2 Viga-columna empotrada en la base y apoyada en el centro, con cargarepartida y cargas puntuales

Se analiza una viga-columna de rigidez y seccion rectangular constante en toda sulongitud. Las dimensiones de la misma son: 20m de largo, 0, 3m de ancho y 1, 2m decanto. Se han considerado para el coeficiente de Poisson, modulo de elasticidad y factorde correccion por cortante, los valores: ν = 2, 5x10−1, E = 3x107kN/m2 y ks = 5/6,respectivamente.

Las condiciones de vınculo y estado de carga se muestran en la Figura 3.31, el valor dela carga P representa aproximadamente el 60 %Pcrit de Bernoulli-Euler. Al igual queen el ejemplo anterior, se obtiene tanto la solucion exacta como la aproximada para laaccion repartida equivalente.

Para obtener la solucion exacta se discretiza la viga-columna en 4 elementos finitos,acordes con la definicion de la carga en el dominio:

elem1 = [0, 5], elem2 = [5, 10], elem3 = [10, 15], elem3 = [15, 20]

La solucion aproximada se obtienen discretizando la pieza con el menor numero deelementos posible, es decir, dos elementos definidos en los intervalos:

elem1 = [0, 10], elem2 = [10, 20]

y empleando la la accion repartida equivalente de orden mınimo.

Los resultados obtenidos (exacto y aproximado) en terminos de desplazamientos, giros,momentos y esfuerzos cortantes, son los que se muestran en las Figuras 3.32 a 3.35respectivamente.

93


Figura 3.31. Viga-columna empotrada en la base y apoyada en el centro

Para los desplazamientos (Figura 3.32) y los giros (Figura 3.33) se puede ver que lasolucion exacta y la aproximada son practicamente iguales.

En las Figuras 3.34 y 3.35 se dan, respectivamente, las graficas de momentos y esfuerzoscortantes. El maximo error del momento flector (Figura 3.34) se produce en la abscisa5 m donde el error es inferior al 1.2 % respecto al valor exacto. Por otra parte, para elesfuerzo cortante el maximo error se produce en los puntos donde estan aplicadas lascargas puntuales.

0 5 10 15 20−20

0

20

40

60

80

100

120

140

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)

ExactaAproximada

0 5 10 15 20−20

0

20

40

60

80

100

120

140

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.32. Comparacion de desplazamientos entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

94


0 5 10 15 20−0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

·10−2

L (m)

Giro(rad

)

(a)

ExactaAproximada

0 5 10 15 20−0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

·10−2

L (m)

Giro(rad

)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.33. Comparacion de giros entre la solucion exacta y la aproximada obtenida condos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 5 10 15 20−1200

−600

0

600

1200

1800

2400

3000

L (m)

Mom

ento

(kN.m

)

(a)

ExactaAproximada

0 5 10 15 20−1200

−600

0

600

1200

1800

2400

3000

L (m)

Mom

ento

(kN.m

)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.34. Comparacion de momentos flectores entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

Adicionalmente se puede comprobar que se cumplen las propiedades de interpolacion enel sentido de Lagrange (para el cortante) y en el sentido de Hermite (para el momento).Es decir los valores del cortante y momentos obtenidos a traves de la accion repartidaequivalente en los extremos coinciden con los correspondientes a la solucion exacta ypara el momento ocurre lo mismo con la primera derivada de dicho esfuerzo, ya quetoma el valor opuesto del cortante [Romero et al., 2005].

En la Figura 3.36 se puede apreciar la distribucion de las acciones equivalentes y comoestas aproximan a la carga original en cada uno de los elementos.

Asimismo, en las Figuras 3.37 y 3.38 se puede ver una comparacion entre los resul-tados exactos obtenidos para los modelos de Timoshenko y Bernoulli-Euler, para losdesplazamientos, giros y esfuerzos.

95


0 5 10 15 20−600

−450

−300

−150

0

150

300

450

L (m)

Cortante

(kN)

(a)

ExactaAproximada

0 5 10 15 20−600

−450

−300

−150

0

150

300

450

xL (m)

Cortante

(kN)

(b)

ExactaAproximada

Figura 3.35. Comparacion de esfuerzos cortantes entre la solucion exacta y la aproximadaobtenida con dos elementos: (a) Timoshenko y (b) Bernoulli-Euler

0 5 10 15 20

−20

0

20

40

6070 kN

40 kN

70 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(a)

ActuanteEquivalente

0 5 10 15 20

−20

0

20

40

6070 kN

40 kN

70 kN

L (m)

Acciones

(kN/m

)

(b)

ActuanteEquivalente


0 5 10 15 20−20

0

20

40

60

80

100

120

140

L (m)

Desplazamiento

(mm)

(a)


0 5 10 15 20−0,25

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

·10−2

L (m)

Giro(rad

)

(b)


Figura 3.37. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a)desplazamientos y (b) giros

96


0 5 10 15 20−1200

−600

0

600

1200

1800

2400

3000

L (m)

Mom

ento

(kN.m

)

(a)


0 5 10 15 20−600

−450

−300

−150

0

150

300

450

L (m)

Cortante

(kN)

(b)


Figura 3.38. Comparacion de resultados entre Timoshenko y Bernoulli-Euler: (a) momentosflectores y (b) esfuerzos cortantes

Las diferencias obtenidas en ambos casos son relativamente pequenas. Para el desplaza-miento y giro se obtienen unas diferencias maximas del 4.4 % y 3.6 % respectivamente,ambas en el extremo superior. Para los esfuerzos la diferencia maxima se produce enel punto de abscisa 10 m y es del orden del 2.3 % para el momento y para el cortantela diferencia maxima se produce en el empotramiento y es del orden del 2.6 %.


En este capıtulo se ha llevado a cabo la resolucion del problema lineal de la vigade Timoshenko empleando el concepto de solucion nodal exacta y accion repartidaequivalente de cualquier orden, aproximando la accion original mediante los polinomiosortogonales de Legendre.

Ademas se han expuesto algunos ejemplos para ver la bondad del metodo. De losmismos se puede destacar que cuando se ha empleado el menor numero posible deelementos, o sea uno, para los casos de carga poco regular, ha bastado con emplearacciones repartidas equivalentes de orden algo superior al mınimo (cuatro), para obteneruna excelente aproximacion en los desplazamientos, giros y esfuerzos en el interior delos elementos. Por otro lado para los casos de carga de mayor regularidad, con muypocos elementos y accion repartida equivalente de orden mınimo, ha sido suficientepara conseguir una excelente aproximacion en los resultados.

Despues se ha extendido la metodologıa para resolver problemas lineales de la viga-columna de Timsohenko, con la inclusion de la carga de compresion P . Se han obtenidolas correspondientes cargas de pandeo de forma exacta mediante el procedimiento deanulacion del determinante de la matriz de rigidez reducida Ke

PT , que como se de-mostro es una matriz exacta. Asimismo, se ha visto la relacion que existe entre lacarga de pandeo de Timoshenko y la de Bernoulli-Euler.

Se vio que la carga de pandeo para el pilar de Timoshenko, es menor a la carga deEuler, cuanto mayor sea la relacion b/L. Es decir, para un pilar corto, la influencia de

97

3.5. Resumen y conclusiones

la deformacion por cortante es mayor que en un pilar esbelto. Asimismo se observo quela influencia de las condiciones de contorno en la reduccion de la carga de pandeo esmayor en el caso del pilar biempotrado.

Tambien se han expuesto algunos ejemplos empleando una discretizacion de 1 y 2elementos, obteniendose una excelente aproximacion en los desplazamientos, giros yesfuerzos en el interior de los elementos.

98

CAPITULO 4

Analisis no lineal empleando elconcepto de Pieza Lineal Equivalente

4.1 Introduccion

En el presente capıtulo se expone el concepto de Pieza Lineal Equivalente, para el anali-sis de la barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal, donde la no linealidadviene dada por el comportamiento del material.

El concepto citado consiste basicamente en la resolucion del problema de una pieza enregimen no lineal, y su transformacion en otro relativo a una pieza en regimen lineal, demodo que ambas piezas tengan los mismos movimientos y los mismos esfuerzos. Dichoconcepto fue ya introducido para la resolucion de pilares en regimen no lineal [Ortega,2004].

Aquı se trata de analizar y sistematizar el concepto de Pieza Lineal Equivalente, conobjeto de generalizarlo y aplicarlo despues en el capıtulo siguiente a la resolucion demodelos de viga y viga-columna en regimen no lineal con deformacion por cortante.La aplicacion al caso de una barra sometida a acciones axiales que aquı se desarrollapermite pormenorizar la metodologıa y destacar sus aspectos mas relevantes.

En el siguiente apartado se formula el problema, aplicando el concepto de Pieza LinealEquivalente, mediante dos vıas: formulacion variacional y teorıa de distribuciones. Seobtiene dos metodologıas para resolver el problema, una que es aplicable al caso deproblemas isotaticos y otra mas general que se puede aplicar a problemas isostaticos ohiperestaticos. Asimismo se ha extendido el concepto de Pieza Lineal Equivalente delcaso discreto al caso continuo.

En el tercer apartado se desarrolla un ejemplo, obteniendose la solucion exacta del pro-blema y tambien otras soluciones aproximadas empleando distintos metodos numericoscomo son: el metodo de diferencias finitas, el metodo de elementos finitos en combi-nacion con los metodos iterativos de Picard y Newton-Raphson. Dichos resultados secomparan con los obtenidos aplicando el concepto de Pieza Lineal Equivalente.

Finalmente, en el cuarto apartado, se expone un resumen y las conclusiones de estecapıtulo.

99

4.2. Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a acciones axiales en regimen no lineal

4.2 Pieza Lineal Equivalente para una barra sometida a accionesaxiales en regimen no lineal

4.2.1 Formulacion del problema

Consideramos una barra de seccion transversal S(x), sometida a una carga distribuidaf(x) en la direccion del eje de la barra. Se plantea el equilibrio de una rebanada delongitud dx como se muestra en la Figura 4.1.

f(x) N(x+ dx)N(x)

dx

Figura 4.1. Equilibrio de un elemento diferencial barra

El equilibrio de acciones horizontales conduce a la siguiente expresion:

−dNdx

= f(x) (4.1)

Cuando el comportamiento del material es lineal, la relacion entre la tension y defor-macion es:

σ = Eε, σ =N

S(x), ε =

du

dx= u′, N = S(x)Eu′

donde E representa el modulo de elasticidad del material.

La ecuacion diferencial que rige el problema de una barra en regimen lineal es:

− [S(x)Eu′]′= f(x) (4.2)

Por otra parte, si el comportamiento del material viene dado por una ecuacion cons-titutiva no lineal tal y como se muestra en la Figura 4.2, entonces la tension σ y elesfuerzo axial N , estan relacionados de la siguiente manera:

σ = ϕ(ε), σ = ϕ(u′), N = S(x)ϕ(u′),

ε

σ = ϕ(ε)σ

Figura 4.2. Diagrama tension-deformacion

100

Capıtulo 4. Analisis no lineal empleando el concepto de Pieza Lineal Equivalente

La ecuacion diferencial de una barra a traccion en regimen no lineal es:

− [S(x)ϕ(u′)]′= f(x) (4.3)

Como se puede ver la ecuacion diferencial (4.3) es no lineal como consecuencia dela no linealidad de la ecuacion constitutiva. Para la ecuacion anterior se define unproblema de contorno de n puntos xi, i = 1, ..., n en el dominio formado por la unionde los elementos o subintervalos [xi, xi+1]. Desde un punto de vista clasico la ecuaciondiferencial tendra como dominio la union de los subintervalos anteriores.

La formulacion variacional de la expresion (4.2) se obtiene, realizando la ponderacionusual con v y tras el correspondiente proceso de integracion por partes en el intervalogenerico [α, β] = [xi, xi+1], resulta:

ˆ β

α

S(x)Eu′v′ dx =

ˆ β

α

f(x)v dx+ [vα vβ]

[−ES(x)u′ |α+

ES(x)u′ |β−

](4.4)

Donde la relacion ES(x) representa la rigidez axial de la barra. La formulacion varia-cional para el problema no lineal, siguiendo los pasos anteriores es:

ˆ β

α

S(x)ϕ(u′)v′ dx =

ˆ β

α

f(x)v dx+ [vα vβ]

[−S(x)ϕ(u′) |α+

S(x)ϕ(u′) |β−

](4.5)

Para introducir el concepto de Pieza Lineal Equivalente aplicado a la resolucion delproblema se ha supuesto que la ley esfuerzo-deformacion, N − ε o N − u′, viene dadopor una ley poligonal (de n segmentos) como se puede ver en la Figura 4.3.

u′

S(x)ϕ(u′) = ϕ(u′)N

u′0 u′1 u′2

B2

B1 A0u

′

A1u′ +

B1

A2u′ +B2

Figura 4.3. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal

Hay que destacar que el numero n de segmentos de la poligonal puede ser tan grandecomo se desee (vease Figura 4.3). En el intervalo generico [α, β] = [xi, xi+1], la relacionentre esfuerzo y deformacion viene dada por:

N︷︸︸︷S(x)ϕ(u′) = ϕ(u′) = aiu

′ + bi (4.6)

101


En la expresion anterior, con notacion relativa al elemento, el termino ai representala rigidez axial de la barra en cada intervalo (que viene dado por ES(x) en el casolineal) y se corresponde con el valor de la pendiente de un segmento de la poligonal dela Figura 4.3.

Sustituyendo (4.6) en (4.3) y realizando la ponderacion usual en el intervalo generico[α, β], la formulacion variacional queda de la siguiente forma:

ˆ β

α

−(aiu′ + bi)

′v dx =

ˆ β

α

f(x)v dx (4.7)

Realizando la correspondiente integracion por partes se obtiene:

ˆ β

α

(aiu′)v′ dx =

ˆ β

α

f(x)v dx+ [vα vβ]

[−(aiu

′ + bi) |α+

(aiu′ + bi) |β−

]−ˆ β

α

biv′ dx (4.8)

donde la expresion (4.8) representa la formulacion variacional de una pieza en regimenno lineal, cuya ley esfuerzo-deformacion viene definida por una poligonal.

Para obtener la solucion en todo el dominio xi, i = 1, ..., n, es necesario realizar unsumatorio de todos los elementos.

Para el caso en regimen lineal se tiene:

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

S(x)Eu′v′ dx =n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

f(x)v dx+n−1∑i=1

[vi vi+1]

[−ES(x)u′ |xi+ES(x)u′

∣∣xi+1

−

]ˆ xn

x1

S(x)Eu′v′ dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx+n−1∑i=1

[vi vi+1]

[−ES(x)u′ |xi+ES(x)u′

∣∣xi+1

−

](4.9)

con vi = v(xi) y vi+1 = v(xi+1)

Para el problema no lineal se tiene:

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi


n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

f(x)v dx+

n−1∑i=1

[vi vi+1]

[ −S(x)ϕ(u′)∣∣xi+

S(x)ϕ(u′)∣∣xi+1

−

]ˆ xn

x1


ˆ xn

x1

f(x)v dx+

n−1∑i=1

[vi vi+1]

[ −S(x)ϕ(u′)∣∣xi+

S(x)ϕ(u′)∣∣xi+1

−

](4.10)

Para el problema no lineal con ley poligonal:

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

(aiu′)v′ dx =

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

f(x)v dx+

n−1∑i=1

[vi vi+1]

[−(aiu

′ + bi) |xi+

(aiu′ + bi)

∣∣xi+1

−

]−n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

biv′ dx

(4.11)

102


Desarrollando el ultimo termino de la expresion (4.11) se tiene:

−n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

biv′ dx =

n−1∑i=1

bi (vi − vi+1)

=b1(v1 − v2)+

b2(v2 − v3)+

...

bn−2(vn−2 − vn−1)+

bn−1(vn−1 − vn) (4.12)

Agrupando de forma adecuada los terminos de la expresion (4.12), resulta:

n−1∑i=1

bi (vi − vi+1) = [b1v1 + (b2 − b1)v2+, ..., (bn−1 − bn−2)vn−1 − bn−1vn]

n−1∑i=1

bi (vi − vi+1) =

[b1v1 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)vi − bn−1vn

](4.13)

Sustituyendo (4.13) en (4.11), la formulacion variacional del problema de una barra atraccion en regimen no lineal, con una ley poligonal (vease Figura 4.3) queda finalmenteexpresada de la siguiente manera:

ˆ xn

x1

A(x)u′v′ dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx+n∑i=1

viQi

+

[b1v1 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)vi − bn−1vn

](4.14)

donde las acciones nodales de equilibrio, Qi, son:

Qi = N(x−i )−N(x+i ) = [ai−1u

′(x−i ) + bi−1]− [aiu′(x+

i ) + bi], i = 2, ..., n− 1

Q1 = −N(x+1 ) = −[a1u

′(x+1 ) + b1]

Qn = N(x−n ) = [an−1u′(x−n ) + bn−1]

y A(x) es:

A(x) =

a1, (x1, x2)...ai, (xi, xi+1)...an−1, (xn−1, xn)

(4.15)

Tal y como se puede ver en la expresion (4.14), lo unico que la diferencia de la formula-cion debil del problema lineal, expresion (4.9), es el ultimo termino de la derecha, quese definen como unas cargas puntuales ficticias aplicadas en los nodos de la barra, taly como se expone con mas detalle despues.

103


Para el caso de la barra en regimen no lineal con ley poligonal, el problema variacionalpara el caso, por ejemplo, de una pieza con el extremo x = x1 = 0 fijo y en x = xn = Llibre de coacciones y sin accion externa, Ω = (0, L), sometida a un carga distribuidaaxial f(x) y sin cargas puntuales (Qi = 0, i = 2, ..., n) en el interior del dominio,consiste en obtener u ∈ H1

0 (Ω) tal que:

ˆ L

0A(x)u′v′ dx =

ˆ L

0f(x)v dx+

[b10 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)vi − 0vn

]∀v ∈ H1

0 (Ω) (4.16)

donde v1 = 0 al estar el extremo coaccionado y asimismo bn−1 = 0 al corresponder alelemento extremo sin carga puntual aplicada, tal y como se vera con detalle despues.H1

0 (Ω) es el espacio de Sobolev de las funciones g tales que g, g′ ∈ L2(Ω) junto cong(0) = 0. Y esto ultimo se corresponde, en el caso indicado, con u(0) = v(0) = 0.

Para el caso en regimen no lineal, con las mismas condiciones del problema anterior, elproblema variacional consiste en obtener u ∈ H1

0 (Ω) tal que:

ˆ L

0


ˆ L

0

f(x)v dx ∀v ∈ H10 (Ω) (4.17)

De todo lo anterior resulta el siguiente teorema:

Teorema de equivalencia: La expresion (4.16) representa la formulacion debil de unabarra en regimen lineal con rigidez constante a trozos con una carga repartida f(x) ylas acciones puntuales ficticias bi − bi−1 en los nodos internos.

La ecuacion de equilibrio de elementos finitos, para el elemento generico [α, β], confunciones de aproximacion y de ponderacion polinomicas de primer grado, que en estecaso son solucion del problema homogeneo, para la pieza con rigidez constante a trozoses:

aih

[1 −1−1 1

] [uαuβ

]=

[fαfβ

]+

[−(aiu

′ + bi) |α+

(aiu′ + bi) |β−

]+

[bi−bi

](4.18)

con h = β − α.

o con la notacion usual:

aehe

[1 −1−1 1

] [ue1ue2

]=

[f e1f e2

]+

[qe1qe2

]+

[be−be

](4.19)

Ensamblando las ecuaciones locales (4.18) o (4.19) se tiene la ecuacion de equilibrio

104


global para la Pieza Lineal Equivalente:a1h1

− a1h1

0 0 0

− a1h1

a1h1

+ a2h2

0 0 0

0 0. . . 0 0

0 0 0 an−2

hn−2+ an−1

hn−1− an−1

hn−1

0 0 0 − an−1

hn−1

an−1

hn−1

u1

u2...

un−1un

=

F1

F2...

Fn−1

Fn

+

+

Q1

Q2...

Qn−1

Qn

+

b1

b2 − b1...

bn−1 − bn−2

−bn−1

(4.20)

donde:

F1 = f 11

F2 = f 12 + f 2

1

Fn−1 = fn−22 + fn−1

1

Fn = fn−12

Q1 = q11

Q2 = q12 + q2

1

Qn−1 = qn−22 + qn−1

1

Qn = qn−12

El ultimo termino de la expresion (4.20) es el que genera las acciones puntuales ficticias(Pi).

En las lıneas que siguen se trata de visualizar todo lo expuesto anteriormente aplicado,para mayor claridad, al analisis de una barra en regimen isostatico, de longitud L yseccion S constante, fija en el extremo izquierdo y libre en el extremo derecho, sometidaa una accion repartida constante, f(x) = f , tal y como se muestra en la Figura 4.4a,y con material no lineal, como el representado en la Figura 4.2. Como el problemaes isostatico, se conoce el diagrama de esfuerzos axiales en toda la barra, tal como semuestra en la Figura 4.4b.

Figura 4.4. Barra fija: (a) Esquema de carga y (b) Ley de esfuerzos en la barra

105


Considerando, por ejemplo, una discretizacion en tres elementos de igual longitud, alconocerse el esfuerzo en cada punto de la barra, es posible aproximar la ley no lineal delmaterial, por una ley trilineal, tal y como se muestra en la Figura 4.5, determinandoselas deformaciones di = u′(xi) con i = 1, ..., 4, en los nodos de la discretizacion.

Figura 4.5. (a) Ley de esfuerzo en la barra y (b) relacion esfuerzo-deformacion del material

En la Figura 4.6 se ha dibujado la barra deformada indicando los desplazamientos allado correspondiente a los nodos.

Figura 4.6. Barra en estado deformado.

Planteando la ecuacion de equilibrio global del problema se tiene:a1h1

− a1h1

0 0

− a1h1

a1h1

+ a2h2

− a2h2

0

0 − a2h2

a2h2

+ a3h3− a3h3

0 0 − a3h3

a3h3

u1

u2

u3

u4

=

F1

F2

F3

F4

+

−[a1u′(x+1 ) + b1]

[a1u′(x−1 ) + b1]− [a2u′(x+2 ) + b2]

[a2u′(x−2 ) + b2]− [a3u′(x+3 ) + b3]

a3u′(x−3 ) + b3

+

b1

b2 − b1b3 − b2−b3

(4.21)

Aplicando la condicion de contorno esencial, u1 = 0, y la natural N(x4) = 0, y como nohay acciones puntuales en el interior del dominio, se tiene el siguiente sistema reducido: a1

h1+ a2

h2− a2h2

0

− a2h2

a2h2

+ a3h3− a3h3

0 − a3h3

a3h3

u2

u3

u4

=

F2

F3

F4

+

b2 − b1b3 − b2−b3 = 0

(4.22)

donde el ultimo sumando de la derecha representan las cargas puntuales ficticias apli-cadas en los nodos de cada elemento.

106


De acuerdo con la formulacion debil, expresion (4.14), la solucion u(x) del problema deuna barra sometida a esfuerzos axiales como se muestra en la Figura 4.4 y en regimenno lineal del material (vease Figura 4.2), es tambien solucion del problema en regimenlineal donde las rigideces varıan por tramos, y donde ademas hay que aplicar en lospuntos intermedios unas cargas puntuales ficticias.

De lo anterior resulta que las dos barras tienen la misma deformada, con lo cual esposible establecer la analogıa que se indica en la Figura 4.7, donde la barra en regimenlineal podemos denominarla como Pieza Lineal Equivalente (o en este caso especıfico,como barra lineal equivalente). En la Tabla 4.1 se tiene un cuadro comparativo entre losproblemas variacionales para la pieza en regimen no lineal y la Pieza Lineal Equivalente.

Figura 4.7. Equivalencia entre el problema lineal y no lineal: (a) barra en regimen no lineal y(b) barra lineal equivalente

Regimen no lineal Regimen lineal

Pieza Lineal Equivalente

Problema variacional Problema variacional

Obtener u ∈ H10 (Ω) tal que: Obtener u ∈ H1

0 (Ω) tal que:

´ L0 Sϕ(u′)v′ dx =

´ L0 fv dx

´ L0 A(x)u′v′ dx =

´ L0 fv dx+

3∑i=2

(bi − bi−1)vi

∀v ∈ H10 (Ω) ∀v ∈ H1

0 (Ω)

H10 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0 H1

0 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0

Tabla 4.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la Pieza LinealEquivalente

Para la barra en regimen no lineal se puede interpretar que la rigidez axial en cadaseccion depende de la solucion u(x). Siendo la rigidez secante:

ϕ(u′) = ϕ(u′)/u′ (4.23)

107


La variacion de la rigidez en funcion de la deformacion puede verse en la Figura 4.8.

Figura 4.8. Variacion de la rigidez en funcion de la deformacion para la barra en regimen nolineal.

Esto permite interpretar para la barra en regimen no lineal que tiene una variacioncontinua de la rigidez: aumentando desde x1 hasta x3 con dos leyes distintas y constantedesde x3 hasta x4, tal y como se indica en la Figura 4.9.

Figura 4.9. Variacion continua de la rigidez en toda la barra

4.2.2 Pieza Lineal Equivalente empleando la teorıa de distribuciones

Otra forma de plantear el problema es haciendo uso de la teorıa de distribuciones[Stakgold y Holst, 2011]. Del mismo modo que en el apartado anterior, la base de lametodologıa consiste en suponer que la relacion esfuerzo-deformacion se puede aproxi-mar, tanto como se desee, por una ley poligonal (vease Figura 4.3).

Para el intervalo [xi, xi+1], sustituyendo (4.6) en (4.3), se obtiene la ecuacion diferencialsiguiente:

− [aiu′ + bi]

′= f(x), (xi, xi+1)

− (aiu′)′= f(x) + (bi)

′, (xi, xi+1) (4.24)

Suponiendo que se ha discretizado la barra del problema de la Figura 4.4 en n puntos(n− 1 elementos), es decir xi, i = 1, ..., n, la distribucion de rigideces de cada elementoai es la que se muestra en la Figura 4.10.

108


Figura 4.10. Discretizacion del problema

De igual manera se puede ver en la Figura 4.10 que las bi, se pueden definir como unafuncion continua a trozos, que se puede expresar de forma mas compacta empleandola funcion escalon de Heaviside o funcion escalon unitario:

H(x− xi) =

0 si x < xi1 si x ≥ xi

quedando expresadas las bi de cada intervalo mediante una unica funcion B(x), paratoda la barra, como:

B(x) = b1H(x− x1) + (b2 − b1)H(x− x2) + ...+ (bi − bi−1)H(x− xi)++ ...+ (bn−1 − bn−2)H(x− xn−1)− bn−1H(x− xn)

o equivalentemente:

B(x) = b1H(x− x1) +n−1∑i=2

(bi − bi−1)H(x− xi)− bn−1H(x− xn) (4.25)

Como es sabido, la derivada de la funcion escalon, en el sentido de las distribucioneses la delta de Dirac [Stakgold y Holst, 2011]:

H ′(x− xi) = δ(x− xi) (4.26)

por lo tanto, el ultimo sumando a la derecha de la expresion (4.24), definido en todala barra, queda expresado de la siguiente manera:

B′(x) = b1δ(x− x1) +n−1∑i=2

(bi − bi−1)δ(x− xi)− bn−1δ(x− xn) (4.27)

La ecuacion diferencial, definida para todo el dominio, queda finalmente como sigue:

[A(x)u′]′= f(x) + b1δ(x− x1) +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)δ(x− xi)− bn−1δ(x− xn) (4.28)

con A(x) definida en (4.15).

109


Tal y como se puede ver, si se comparan las expresiones (4.2) y (4.28), ambas son linea-les, diferenciandose unicamente en los ultimos sumandos de la derecha de la expresion(4.28), que se definen como unas cargas puntuales ficticias, aplicadas en los nodos dela barra.

En resumen, tanto por la vıa de la formulacion debil, como por la de la teorıa dedistribuciones, se llega a que una pieza en regimen no lineal, es equivalente a otra enregimen lineal, cuyas rigideces varıan por tramos, y donde ademas hay que aplicar enlos nodos unas cargas puntuales ficticias.

Estas cargas puntuales ficticias, fueron deducidas de forma un tanto intuitiva, en eltrabajo de [Ortega, 2004], la metodologıa era aplicada a modelos de viga-columna deBernoulli-Euler, por ello, lo que aparecıan eran unos momentos puntuales ficticios.

4.2.3 Carga distribuida ficticia

En este punto cabe plantearse que sucederıa con estas cargas puntuales ficticias si lapieza se divide en un numero suficientemente grande de elementos finitos, es decir quen→∞ y que el tamano de cada uno de ellos tiende a cero. En lo que sigue se demuestraque las cargas puntuales ficticias, llevadas al continuo pasan a ser una carga distribuidaficticia. Por ejemplo, para el problema de la Figura 4.4 y material no lineal como elmostrado en la Figura 4.2, se puede ver que dicha carga es una funcion creciente haciael extremo fijo y con valor nulo en el extremo libre.

La determinacion de esta carga distribuida ficticia permite transformar el problemano lineal inicial con seccion constante en otro lineal con seccion variable y modulo deelasticidad E constante en toda la pieza.

Para obtener el valor de esta carga distribuida ficticia, lo que hacemos es repartir lacarga puntual ficticia de cada nodo sobre la longitud de cada elemento.

De acuerdo al esquema de la Figura 4.11, tomando dos puntos x y x+ ∆x, el valor dela carga ficticia viene dado por:

∆Pi = bi − bi−1 (4.29)

donde bi y bi−1 se obtiene a partir de la recta tangente a la curva esfuerzo-deformacion(vease Figura 4.11), del siguiente modo:

b∗i − ϕ(ε+ ∆ε) = ϕ′(ε+ ∆ε) [ε∗ − (ε+ ∆ε)]

b∗i−1 − ϕ(ε) = ϕ′(ε)(ε∗ − ε) (4.30)

cuando ε∗ = 0 obtenemos las ordenadas en el origen de las rectas tangentes:

bi = ϕ(ε+ ∆ε)− ϕ′(ε+ ∆ε)(ε+ ∆ε)

bi−1 = ϕ(ε)− ϕ′(ε)ε (4.31)

quedando la carga puntual ficticia:

∆P = [ϕ(ε+ ∆ε)− ϕ′(ε+ ∆ε)(ε+ ∆ε)]− [ϕ(ε)− ϕ′(ε)ε] (4.32)

110


Figura 4.11. Correspondencia entre los esfuerzos en la barra y el diagramaesfuerzo-deformacion del material

Desarrollando en series de Taylor la expresion (4.32) se obtiene:

dP = ϕ(ε) + ϕ′(ε)dε+1

2ϕ′′(ε)(dε)2...−

[ϕ′(ε) + ϕ′′(ε)dε+ ...

](ε+ dε)− ϕ(ε) + ϕ′(ε)ε

= ϕ′(ε)dε+1

2ϕ′′(ε)(dε)2 + ...

[−ϕ′(ε)ε− ϕ′(ε)dε− ϕ′′(ε)εdε− ϕ′′(ε)(dε)2

]+ ϕ′(ε)ε

dP = −ϕ′′(ε)εdε− 1

2ϕ′′(ε)(dε)2 + ... (4.33)

Despreciando los terminos de orden superior se tiene:

dP = −ϕ′′(ε)εdεdP

dε= −ϕ′′(ε)ε (4.34)

Como lo que se quiere obtener es la carga distribuida ficticia f(x), es decir dP /dx, esnecesario aplicar la regla de la cadena, teniendo en cuenta ademas que ε = du/dx = use tiene que:

f(x) =dP

dx=dP

dε

dε

dx= −ϕ′′(ε)εu

o sea:

f(x) =dP

dx= −ϕ′′(ε)uu (4.35)

La funcion ϕ′′(ε) en terminos de las derivadas respecto de x se deduce de:

ϕ(ε), ϕ′(ε) =dϕ

dε=dϕ

dx

dx

dε= ˙ϕ

1

u, ϕ′′(ε) =

d

dε

[˙ϕ1

u

]=

d

dx

[˙ϕ1

u

]dx

dε

resultando:

ϕ′′(ε) =

[¨ϕ

1

u− ˙ϕ

...u

(u)2

]1

u(4.36)

111


Sustituyendo (4.36) en (4.35) se tiene finalmente el valor de la carga distribuida ficticiacomo:

f(x) =dP

dx= −

[¨ϕ

1

u− ˙ϕ

...u

(u)2

]u (4.37)

La rigidez de la Pieza Lineal Equivalente es ϕ′(ε) en cada x, con ε = u′.

Tal y como se puede ver en la expresion (4.37), la carga distribuida ficticia, f(x), estaexpresada en terminos de la solucion, ası como, del comportamiento del material quedepende a su vez de la propia solucion a traves de la funcion ϕ(u).

En el ejemplo que se desarrolla mas adelante en el apartado 4.3.2.6, se procede acalcular cual serıa la funcion que representa la carga distribuida ficticia, para el casode una barra fija en un extremo y libre en el otro (vease Figura 4.4), pues en este casola solucion exacta del problema se determina con facilidad.

4.2.4 Metodo para Problemas Isostaticos

Hasta ahora se ha analizado un problema isostatico en regimen no lineal del material,donde a priori se conoce la ley de esfuerzos en toda la barra y por tanto la distribucionde rigideces se calcula de forma inmediata. Es decir que en un problema isostaticose puede determinar de entrada cual es la Pieza Lineal Equivalente. La resolucion dela misma, al tratarse de un problema lineal estandar, se puede abordar mediante uncalculo por elementos finitos.

En la descripcion realizada para problemas isostaticos en las paginas anteriores, se hatratado el caso de una barra de seccion constante con accion repartida constante. Elprocedimiento se extiende con facilidad a casos de seccion variable y carga arbitra-ria (presencia de cargas puntuales, carga repartida no constante, etc). No se incluyeaquı dicho desarrollo para estas situaciones mas generales al no considerarse un objetivoprioritario en esta investigacion.

A continuacion se describen los pasos a seguir para los casos isostaticos:

1. Se discretiza la barra en n elementos.

2. Se calcula el esfuerzo en cada nodo de la pieza.

3. Con los esfuerzos de cada nodo se entra a la ley N − ε del material y se obtienenlos valores de las deformaciones εi, i = 0, ..., n.

4. Se calculan las rigideces ai, i = 1, ..., n − 1 y los valores de bi, i = 1, ..., n − 1de cada uno de los elementos en los que se ha discretizado la pieza, y de estosultimos las cargas ficticias Pi = bi − bi−1. Con estos valores quedan definidas lasdimensiones (rigideces) de la Pieza Lineal Equivalente y las cargas ficticias.

5. Finalmente con las rigideces obtenidas, las cargas iniciales y las cargas ficticias,se calcula mediante elementos finitos la Pieza Lineal Equivalente definida en elpunto anterior.

112


4.2.5 Metodo General

A continuacion se desarrolla un procedimiento general, cuya aplicacion se expone des-pues, que permite resolver tanto problemas isostaticos como hiperestaticos. El mismoconsiste en un proceso algorıtmico que combina el metodo de los elementos finitos consolucion nodal exacta con un proceso de homotopıa, la cual transforma gradualmenteuna relacion inicial lineal esfuerzo-deformacion en una relacion final no lineal definidapor la ley del material. Este procedimiento aplicado al caso de pilares se ha denominadometodo general [Ortega, 2004].

La idea del procedimiento consiste en la resolucion de una serie de problemas linealescuyas soluciones se van pareciendo progresivamente a la del problema no lineal plan-teado. Teoricamente, para el caso de relaciones constitutivas (esfuerzo-deformacion)dadas por una poligonal, el metodo permite obtener incluso la solucion exacta si losnodos de los elementos se fijan en ciertas posiciones adecuadas. No obstante el metodose desarrolla con el proposito de aplicarse a cualquier relacion esfuerzo-deformaciondada por una ley curva. Ademas la metodologıa se puede aplicar a cualquier estadoarbitrario de cargas, secciones cuyas caracterısticas pueden variar de unos elementos aotros y con cualquier numero y tipo de restricciones.

Uno de los primero pasos del metodo es fijar la longitud de los elementos en los quese descompone la pieza, esta discretizacion debe cumplir ciertas condiciones para quela solucion obtenida sea una buena aproximacion a la solucion exacta del problema.Dichas condiciones se refieren a que el numero de elementos y las longitudes de losmismos deben ser las adecuadas para recoger de manera significativa los cambios dedeformacion de la pieza en regimen no lineal. Ademas de esto hay otras condicionesque se deben tener en cuenta antes de realizar la discretizacion como son: variacion delas dimensiones de la seccion, presencia de cargas concentradas en puntos intermediosde la pieza y puntos donde se imponen condiciones de contorno.

Lo indicado anteriormente se concreta de forma mas detallada en los siguientes pasos.

Pasos para la aplicacion del metodo general :

1. Se discretiza la pieza en elementos finitos

2. Se considera una ley lineal esfuerzo-deformacion, que puede ser tangente o secantea la ley no lineal del problema planteado. De esta manera se obtiene la rigidezinicial en cada elemento.

3. Se resuelve el problema lineal con las condiciones de contorno del problema nolineal, es decir se calcula los desplazamientos en los nodos y las deformaciones encada elemento. En este caso no son necesarias las correcciones ya que la defor-macion por la izquierda y por la derecha en cada nodo son iguales en ausenciade cargas puntuales, y en otros casos lo que corresponda de acuerdo con dichascargas.

4. Se avanza en la homotopıa, de modo que la ley esfuerzo-deformacion deja deser lineal. Con las deformaciones del paso anterior se entra a esta nueva ley y

113

4.3. Ejemplo de aplicacion

se obtienen las nuevas rigideces de cada elemento y tambien las cargas ficticiascalculadas con estas rigideces y deformaciones conocidas.

5. Se resuelve con estas rigideces y estas cargas el problema correspondiente a lapieza lineal resultante. Ahora las deformaciones por la izquierda y por la derechade elementos adyacentes en el nodo no son iguales, lo que requiere sin avanzaren la homotopıa realizar cierto numero bajo de correcciones hasta conseguir uncierto nivel de compatibilidad de deformaciones.

6. Se avanza nuevamente en la homotopıa y se vuelven a repetir los pasos 4 y 5respectivamente. Y ası sucesivamente hasta llegar al ultimo paso de homotopıa,para el cual la ley esfuerzo-deformacion es la dada inicialmente para el problemano lineal. Realizando las correcciones necesarias hasta alcanzar un nivel de com-patibilidad aceptable en las deformaciones, llegando ası a la solucion del problemano lineal inicial.

Las rigideces de los elementos en este ultimo paso de la homotopıa tras las correc-ciones, ası como las cargas ficticias, junto con las acciones externas y las coaccionesdefinen las caracterısticas de una pieza en regimen lineal que denominamos Pieza LinealEquivalente.

Si la ley constitutiva fuera la ley poligonal ultima entonces las soluciones del problemano lineal inicial y de la Pieza Lineal Equivalente serıan la misma en los nodos. Se podrıaaplicar tambien, dentro de cada elemento, el concepto de accion repartida equivalentelo que permitirıa aproximar la solucion tanto como se desee.

4.3 Ejemplo de aplicacion

A continuacion se analiza una barra a traccion, fija en el extremo izquierdo y libre enel derecho, con las condiciones de carga y caracterısticas geometricas que se muestranen la Figura 4.12. En la Figura 4.13 se puede ver la ley no lineal del material que seha considerado.

Figura 4.12. Barra fija. Caracterısticas geometricas y estado de carga

Comprobamos la validez del metodo calculando la solucion exacta del problema ytambien soluciones aproximadas empleando el metodo de diferencias finitas y el de ele-mentos finitos en combinacion con los metodos iterativos de Picard y Newton-Raphson.

114


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

·10−2

0

100

200

300

400

500

ε

σ(M

Pa)

σ(ε)

Figura 4.13. Diagrama tension deformacion

4.3.1 Solucion exacta

A partir de la ecuacion diferencial (4.3), e integrando ambos miembros se tiene:

− S(x)ϕ(u′) =

ˆf(x) dx+ k

ϕ(u′) = −´f(x) dx+ k

S(x)

u′ = ϕ−1

(−´f(x) dx+ k

S(x)

)(4.38)

La solucion exacta para el problema de una barra sometida a traccion, con seccionvariable se obtiene integrando la expresion (4.38) y es:

u =

ˆϕ−1

(−´f(x) dx+ k

S(x)

)dx (4.39)

Para el caso particular en el que la barra tenga seccion constante y este sometida auna carga repartida constante (ejemplo analizado):

S(x) = S, f(x) = f

se tiene que la expresion (4.38) queda de la siguiente manera:

− [Sϕ(u′)]′= f, x ∈ (0, L)

− Sϕ(u′) = fx+ k

u′ = ϕ−1

(−k − fxS

)(4.40)

Para el caso de barra fija en un extremo y libre en el otro, se tiene que cumplir con lasiguiente condicion natural de contorno:

− [Sϕ(u′)]x=L = 0

115


A partir de la condicion anterior, se obtiene el valor de la constante k como sigue:

− [Sϕ(u′)]x=L = fL+ k = 0

k = −fL (4.41)

Sustituyendo el valor de k en (4.40) se tiene:

u′ = ϕ−1

(−(−fL)− fxS

)u′ = ϕ−1

[(L− x)

f

S

](4.42)

Por otra parte se puede obtener el valor de u′ a partir del diagrama tension-deformaciondel material, que en esta caso particular viene dado por:

σ = ϕ(ε) = −Kε2 + Kaε (4.43)

donde K y a son constantes. Para el grafico de la Figura 4.13, K = 400000MPa ya = 0.07.

Despejando ε de la expresion anterior se tiene:

ε = −Ka±√K2a2 − a2σK

−2K

ε = ϕ−1(σ) =a

2−√(

a

2

)2

− σ

K(4.44)

u′ = ϕ−1

[(L− x)

f

S

]=a

2−√(

a

2

)2

− f(L− x)

SK(4.45)

Integrando la expresion (4.45) se obtiene el desplazamiento u(x) como sigue:

u(x) =

ˆ a2−√(

a

2

)2

− f(L− x)

SK

dx

u(x) =a

2x− 2SK

3f

[(a

2

)2

− f(L− x)

SK

] 32

+ C1 (4.46)

De la condicion esencial u(0) = 0 se obtiene la constante de integracion, C1, como:

C1 =2SK

3f

[(a

2

)2

− fL

SK

] 32

(4.47)

Sustituyendo (4.47) en (4.46), la solucion exacta del problema es:

u(x) =a

2x− 2SK

3f

[(

a

2

)2

− f(L− x)

SK

] 32

−[(

a

2

)2

− fL

SK

] 32

(4.48)

116


4.3.2 Solucion aproximada

Como se menciono anteriormente, se analiza el problema empleando diferentes metodosnumericos finalizando el apartado comparando los resultados obtenidos con las meto-dologıas de la Pieza Lineal Equivalente, es decir la correspondiente a casos isostaticosy la metodologıa general.

4.3.2.1 Metodo diferencias finitas

Es posible emplear esta tecnica, ya que de entrada sabemos cual es la ley esfuerzosen toda la barra y por tanto conocemos tambien la deformacion de la misma en cadapunto, tal como se muestra en la Figura 4.14.

Figura 4.14. Correspondencia entre la tension en la barra y la tension del material: (a)tension en la barra y (b) tension-deformacion

A partir de las relaciones de derivacion numerica se formula un sistema lineal quepermite determinar los desplazamientos en los nodos. Se emplea la formula central dederivacion numerica de tres puntos para los nodos internos y para los extremos lasformulas regresivas y progresivas usuales de tres puntos. Todas estas formulas tienenun error de truncamiento que es del orden O(h2) [Isaacson y Keller, 1994].

u′i ≈ui+1 − ui−1

2h, i = 1, ..., n− 1

u′0 ≈−u2 + 4u1 − 3u0

2h

u′n ≈un−2 − 4un−1 − 3un

2h(4.49)

donde ui = u(xi), h es la longitud del elemento. Basandonos en el esquema de la Figura4.14 formamos el siguiente sistema lineal donde Ui ≈ ui:

117


− 32h

2h− 1

2h

− 12h

0 12h

0 − 12h

0 12h

. . .. . .1

2h− 2h

32h

U0

U1

U2

U3...Un

=

u′0 = εnu′1 = εn−1

u′2 = εn−2

u′3 = εn−3...u′n = ε0

(4.50)

Resolviendo el correspondiente sistema reducido, teniendo en cuenta que U(0) = u(0) =0, se obtiene los desplazamientos en los nodos xi, i = 1, ..., n.

4.3.2.2 Metodo de iteracion directa

Como se menciono en el apartado 2.3.1, la formulacion por elementos finitos de unproblema no lineal, conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales cuyaresolucion se lleva a cabo mediante metodos iterativos. Uno de dichos metodos esel de iteracion directa, tambien conocido como metodo de Picard de aproximacionessucesivas [Reddy, 2005].

Para resolver el problema planteado en el apartado 2.3.1, expresion (2.88):

[K (U)] U = F o R (U) = 0

Se parte de un valor inicial U0 y se obtiene la solucion U1 del siguiente sistema:[K(U0)] U = F (4.51)

dado que U1 6= U0, se busca otra aproximacion para U usando la ultima apro-ximacion para evaluar [K]: [

K(U1)] U = F (4.52)

Este procedimiento continua hasta que la diferencia entre dos aproximaciones conse-cutivas de U sea menor que una cierta tolerancia. El algoritmo podrıa escribirsecomo:

[K (Up)] Up+1 = F (4.53)

Y formalmente con la notacion de la iteracion de punto fijo se escribirıa

Up+1 = [K (Up)]−1 F (4.54)

Aunque en realidad nunca se realiza la inversion de matriz. Se supone que [K] esregular despues de imponer las condiciones de contorno, debiendo verificar el vectorinicial U0 las condiciones esenciales de contorno especıficas. En la Figura 4.15 sepuede ver graficamente, y de manera esquematica, la idea del metodo.

118


Figura 4.15. Esquema de iteracion del metodo de Picard

Para el caso que se analiza, a partir de la formulacion debil del problema no lineal,expresion (4.5), se tiene que:

ˆ β

α

S(x)ϕ(u′)v′ dx︸︷︷︸K

=

ˆ β

α

f(x)v dx+ [vα vβ]

[−S(x)ϕ(u′) |α+

S(x)ϕ(u′) |β−

]︸︷︷︸

F

(4.55)

Tal como se puede ver en la expresion anterior, [K] no depende explıcitamente de u (ou′), por lo tanto lo que se hace es multiplicar y dividir el termino de la derecha de laexpresion (4.5) por u′, quedando la siguiente expresion [Reddy, 2005]:

ˆ β

α

S(x)

Ψ(u′)︷︸︸︷ϕ(u′)

u′u′v′ dx =

ˆ β

α

f(x)v dx+ [vα vβ]

[−S(x)ϕ(u′) |α+

S(x)ϕ(u′) |β−

](4.56)

Finalmente la matriz [K] del elemento se puede poner de la siguiente manera:

Keij =

ˆ β

α

S(x)Ψ(u′)N ′iN′j dx (4.57)

dondeN ′i , N′j son las funciones de interpolacion o de forma. Para la ley del material que

se analiza en este ejemplo, expresion (4.43), la relacion Ψ(u′) es:

Ψ(u′) =Ku′2 + Kau′

u′= −Ku′ + Ka (4.58)

Aproximando u′ en un elemento (α, β) como:

u′ =ue2 − ue1he

119


La expresion (4.58) se puede poner como sigue:

Ψ(u′) = −K(ue2 − ue1he

)+ Ka (4.59)

Sustituyendo (4.59) en (4.57), la matriz de rigidez local Ke tiene por elementos:

Keij =

ˆ β

α

S(x)

[−K

(ue2 − ue1he

)+ Ka

]N ′iN

′j dx

siendo Ke la matriz:

Ke =S

he

[Ka− K

(ue2 − ue1he

)][1 −1−1 1

](4.60)

El valor inicial U0 se puede obtener resolviendo el problema por el metodo de ele-mentos finitos, suponiendo un caso lineal, donde toda la barra tiene una rigidez dadapor la pendiente de la tangente en el origen a la curva de la Figura 4.13.

4.3.2.3 Metodo Newton-Raphson

El metodo de Newton-Raphson, como se indico en el apartado 3.2.1, es uno de losmetodos iterativos mas empleados en la resolucion de problemas no lineales mediante elmetodo de los elementos finitos. La solucion Up+1 se obtiene empleando la expresion(2.92):

Up+1 = Up + δU

donde δU se obtiene de la expresion (2.91):

R Up +

(∂ R∂ U

)pδ U = 0

Como se menciono en el apartado 2.3.1,(∂R∂U

)prepresenta la matriz Jacobiana, de-

nominada tambien como matriz de rigidez tangente T (Up).

A partir de la expresion (2.89) se tiene que:

∂Ri

∂uj=

n∑i=1

[∂Kiα

∂ujuα +Kiα

](4.61)

El incremento de la solucion δ U se puede expresar formalmente de la siguientemanera:

δ U = − [T (Up)]−1[R (Up)]

δ U = − [T (Up)]−1[[K (Up)] Up − F] (4.62)

De manera analoga al caso anterior se indica que no se invierte la matriz [T (Up)].

120


Como se puede ver al final de cada iteracion, el metodo de Newton-Raphson da unincremento de la solucion a diferencia de la solucion total en el procedimiento de itera-cion directa. Se ha tomado el vector inicial U0 igual que para el metodo de iteraciondirecta.

Hay que destacar que para que el metodo converja, el vector de partida, U0, tieneque tener unas componentes razonablemente proximas a la de la solucion. De maneraanaloga para el metodo de iteracion directa.

Para el ejemplo analizado la matriz de rigidez del elemento Ke, es la que viene dadapor la expresion (4.60).

4.3.2.4 Pieza Lineal Equivalente

Para los problemas isotaticos como se conoce la ley de esfuerzos en toda la barra, sepuede determinar, una vez fijado el numero de elementos en los que se discretiza, suscorrespondientes rigideces y resolver despues el problema lineal resultante. Por otraparte tambien se tiene la metodologıa general de la Pieza Lineal Equivalente que pue-de aplicarse a cualquier problema isostatico o hiperestatico. En esta caso se parte deuna relacion inicial lineal para la ley del material la cual se transforma gradualmen-te, mediante homotopıa, en sucesivas leyes no lineales hasta la ley final del materialcombinando todo este proceso con el metodo de elementos finitos.

Hay que destacar que en este caso la Pieza Lineal Equivalente se determina al final detodo el proceso de calculo. Sin embargo, para el caso de piezas no lineales en regimenisostatico la Pieza Lineal Equivalente se determina al inicio y se resuelve mediantedicho concepto con el metodo de elementos finitos y teorıa lineal el problema inicial nolineal.

Para obtener la Pieza Lineal Equivalente en el problema isostatico se procede de lasiguiente manera:

i) Se discretiza la barra en n = 5 elementos, que en este caso se toman de la mismalongitud. ii) Se calcula el esfuerzo en cada nodo de la pieza. iii) con los esfuerzosde cada nodo se entra a la ley N − ε del material y se obtienen los valores de lasdeformaciones εi, i = 0, ..., 5, tal y como se muestra en la Figura 4.16. En dicha Figurase pueden ver simultaneamente las graficas de la ley de esfuerzos en la barra y dela relacion esfuerzo-deformacion, donde se puede observar la correspondencia entrelos nodos de la pieza y sus deformaciones. iv) Se calculan finalmente las rigidecesai, i = 1, ..., n − 1 y los valores de bi, i = 1, ..., n − 1 de cada uno de los elementos enlos que se ha discretizado la pieza.

El diagrama esfuerzo-deformacion poligonal queda definido por los valores de la Tabla4.2, que da lugar a los valores de rigideces que se muestran en la Figura 4.17.

Con los valores de rigideces, Ai, ası como con los valores de Bi que se muestran en laFigura 4.17, se obtiene la Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico comose muestra en la Figura 4.18.

121


Figura 4.16. Ley de esfuerzos en toda la barra y su correspondencia con el diagramaesfuerzo-deformacion

Punto N (kN) ε

0 0 01 119 0,00366082 238 0,00781023 357 0,01271934 476 0,01907615 595 0,0317267

Tabla 4.2. Valores de esfuerzo axial y deformacion

Figura 4.17. Diagrama esfuerzo-deformacion poligonal

Con los datos y el esquema de carga de la Figura 4.18, se calculan, por el metodo deelementos finitos, los desplazamientos.

Tambien se resuelve el problema aplicando la metodologıa general de la Pieza LinealEquivalente, siguiendo los pasos descritos en el apartado 4.2.5 y que se detallan acontinuacion.

122


Figura 4.18. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico

Se parte de una ley lineal para el diagrama esfuerzo-deformacion (tangente a la curva enel origen) lo cual permite determinar unos valores de desplazamientos y deformacionesiniciales, utilizando una rigidez constante en toda la barra. A partir de este primercalculo el proceso sigue con el paso correspondiente al paso de homotopıa λ = 0, 5. Esdecir, con los valores de las deformaciones obtenidos para la ley tangente, se entra enla curva N − ε o N − u′ y se obtienen unos nuevos valores de rigideces ai y valores debi (vease Figura 4.19), con estos ultimos se calculan las cargas puntuales ficticias y setiene la pieza lineal para λ = 0, 5 como se muestra en la Figura 4.20.

0 0,5 1 1,5 2 2,5

·10−2

0

200

400

600

800

1000

ε = u′

N(K

N)

Ninic.(ε)

(1− 0.5)Ninic.(ε) + 0.5N(ε)

N(ε)

Ley poligonal

Figura 4.19. Proceso de homotopıa λ = 0.5

123


Figura 4.20. Pieza lineal para λ = 0, 5

Con los datos y el esquema de carga de la Figura 4.20, se calcula, por el metodo de ele-mentos finitos, los desplazamientos y las deformaciones. En este caso las deformacionespor la izquierda y por la derecha de elementos adyacentes en el nodo no son iguales, loque requiere, sin avanzar en la homotopıa, realizar cierto numero de correcciones hastaconseguir un cierto nivel compatibilidad de deformaciones. En la Tabla 4.3 se muestrael resultado de las deformaciones de tres iteraciones realizadas para λ = 0, 5.

Nodo 2 3 4 5

Izq. Der. Izq. Der. Izq. Der. Izq. Der.

Iter. 1 0,015648 0,0155419 0,0113443 0,0112914 0,00733132 0,0073103 0,00356227 0,00355755

Iter. 2 0,0156215 0,0156194 0,0113244 0,0113239 0,00732171 0,00732166 0,00355991 0,00355991

Iter. 3 0,0156204 0,0156204 0,0113241 0,0113241 0,00732168 0,00732168 0,00355991 0,00355991

Tabla 4.3. Deformaciones en los nodos internos de la barra, para un valor de λ = 0, 5

Como se puede ver en la Tabla 4.3 en la tercera iteracion la deformacion por la izquierday por la derecha de los nodos internos de la barra son casi iguales. Con las deformacionesde la tercera iteracion se avanza en la homotopıa y se vuelve a repetir el procesonuevamente. Los valores de λ para avanzar en la homotopıa son 0,70, 0,90 y 1,0.En cada paso de homotopıa se considera un cierto numero de correcciones fijado (3iteraciones), excepto para el paso final en el que se aumenta dicho numero de modoque los resultados se estabilicen para la precision utilizada.

En la Tabla 4.4 se pueden ver los resultados del proceso de homotopıa seguido (par-tiendo de una ley lineal tangente). Se puede ver en el paso de homotopıa 4 en la quela relacion N − ε es la final correspondiente a λ = 1, 0, la deformada en el extremoempotrado (d1) se estabiliza.

124


Hom

o.

iter.

u6

d1

a1(K

N)

a2

a3

a4

a5

P2(K

N)

P3

P4

P5

lin

eal

-30

,357

10,0

1734

734

300,

0034

300,

0034

300,

0034

300,

0034

300,

000,

000,

000,

000,

00

1(λ

=0.

5)1

33,4

952

0,0

2011

326

650,

0028

350,

0530

016,

9131

750,

0433

449,

97-2

3,59

-17,

93-1

1,76

-5,9

03

33,5

784

0,0

2038

625

504,

7527

698,

6029

694,

9831

634,

0333

427,

80-3

4,27

-23,

02-1

3,93

-6,3

9

2(λ

=0.

7)1

35,4

219

0,0

2212

121

984,

1025

057,

9927

904,

5230

567,

6733

078,

92-4

8,07

-32,

23-1

9,50

-8,9

43

35,5

025

0,0

2233

420

934,

7624

541,

5327

679,

3730

492,

5833

065,

57-6

0,05

-37,

03-2

1,10

-9,2

6

3(λ

=0.

9)1

38,0

701

0,0

2519

317

108,

2321

753,

4325

787,

7229

404,

7832

712,

89-7

7,34

-47,

61-1

7,13

-11,

913

38,3

829

0,0

2606

514

903,

8420

867,

3925

444,

9729

298,

5732

694,

88-1

07,8

3-5

6,66

-29,

68-1

2,36

4(λ

=1.

0)

140

,385

20,0

2873

912

668,

5819

375,

2124

461,

0528

987,

9132

516,

52-1

21,2

6-6

2,95

-32,

98-1

3,73

341

,031

20,0

3069

710

243,

4618

723,

6424

240,

6728

679,

2132

506,

23-1

61,7

1-7

0,17

-34,

67-1

4,01

641

,298

10,0

3146

296

07,8

318

720,

2124

240,

5528

679,

2132

506,

23-1

73,8

3-7

0,21

-34,

67-1

4,01

841

,351

50,0

3161

491

6,02

1872

0,21

2424

0,55

2867

9,21

3250

6,23

-176

,06

-70,

21-3

4,67

-14,

0110

41,3

739

0,0

3167

894

42,7

418

720,

2124

240,

5528

679,

2132

506,

23-1

76,9

8-7

0,21

-34,

67-1

4,01

1141

,379

70,0

3169

594

30,3

318

720,

2124

240,

5528

679,

2132

506,

23-1

77,2

1-7

0,21

-34,

67-1

4,01

Ta

bla

4.4

.R

esu

ltad

osd

elp

roce

sod

eh

omot

opıa

par

ala

bar

raa

trac

cion

emp

lean

do

5el

emen

tos

125


Con los valores de ai y Pi de la ultima fila de la Tabla 4.4 se obtiene finalmente laPieza Lineal Equivalente como se muestra en la Figura 4.21.

Figura 4.21. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general

Con los datos de la Figura 4.21, se calcula, por el metodo de elementos finitos losdesplazamientos. En la Tabla 5.5 se pueden ver los desplazamientos en los nodos, quese obtiene resolviendo la Pieza Lineal Equivalente del problema isostatico (vease Figura4.18) y asimismo los que resultan del metodo general (vease Figura 4.21).

xi (m) Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente

metodo problema isostatico (mm) metodo general (mm)

0 0 0

0,7 17,7810 17,7737

1,4 28,9094 28,9020

2,1 36,0947 36,0874

2,8 40,1096 40,1032

3,5 41,3909 41,3835

Tabla 4.5. Desplazamientos en la barra empleando la metodologıa de Pieza LinealEquivalente

Como se puede observar, los resultados obtenidos difieren ligeramente al haber unapequena variacion de las rigideces, tal y como se muestra en la Tabla 5.7. La diferenciade rigideces se obtiene solamente en el elemento 1, ya que en el resto de los elementoslas rigideces son iguales. La misma puede hacerse cada vez menor si se aumenta elnumero de iteraciones en el ultimo paso de homotopıa en el metodo general.

126


elem. Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente

metodo problema isostatico (kN) metodo general (kN)

1 9406,63 9430,33

2 18720,30 18720,21

3 22240,50 22240,55

4 28679,20 28679,20

5 32506,20 32506,23

Tabla 4.6. Rigideces de cada elemento de la barra empleando la metodologıa de Pieza LinealEquivalente

4.3.2.5 Comparacion de resultados obtenidos por las diferentes metodologıas

A continuacion se muestran los valores obtenidos por las diferentes metodologıas ex-plicadas anteriormente y los de la solucion exacta. Los resultados presentados comoPieza Lineal Equivalente se corresponden con los obtenidos aplicando la metodologıapara problemas isostaticos. Asimismo, cabe destacar que las soluciones obtenidas porel metodo de Newton-Raphson y el de Picard son practicamente iguales, aunque esteultimo necesita algunas iteraciones mas que el metodo de Newton.

En la Tabla 4.7 y en la Figura 4.22 se pueden ver los desplazamientos en la barra,cuando se discretiza la barra en 5 elementos. En las mismas se puede ver que con losmetodos de Newton y de Picard resulta una aproximacion mejor a la solucion exacta, sinembargo dicha aproximacion es por defecto. El metodo de diferencias finitas aproximaa la solucion exacta tambien con valores inferiores y se aleja mas de la solucion exacta.Los resultados obtenidos mediante la Pieza Lineal Equivalente aproximan a los de lasolucion exacta con valores ligeramente superiores a la misma.

xi (m) Exacta (mm) Pieza lineal Metodo de Diferencias

equivalente (mm) Newton/ (Picard) (mm) finitas (mm)

0 0 0 0 0

0,7 16,8084 17,7810 16,4533 15,9898

1,4 27,8134 28,9094 27,3978 26,7065

2,1 34,9419 36,0947 34,4981 33,7969

2,8 38,9224 40,1096 38,4616 37,6408

3,5 40,1801 41,3909 39,7075 38,9221

Tabla 4.7. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos

Tambien se ha resuelto el problema discretizando la barra en 10 elementos. Los resul-tados se pueden ver en la Figura 4.23, ası como en la Tabla 4.8. Se puede ver que semantiene la misma tendencia, pues los resultados del Metodo de Newton se aproximanligeramente mas a los de la solucion exacta, siempre con valores inferiores. Los resul-tados obtenidos mediante la Pieza Lineal Equivalente son practicamente iguales a losde la solucion exacta, aunque ligeramente superiores. El metodo de diferencias finitases el que menos se aproxima a la solucion exacta.

127


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50

10

20

30

40

L (m)

Desplazamiento

(mm)

Pieza lineal equivalente

Solucion exacta

Metodo de Newton/Picard

Metodo de Diferencias Finitas

Figura 4.22. Desplazamientos en la barra empleando 5 elementos

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50

10

20

30

40

L (m)

Desplazamiento

(mm)

Pieza lineal equivalente

Solucion exacta

Metodo de Newton/Picard

Metodo de Diferencias Finitas

Figura 4.23. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos

Finalmente, en la Figura 4.24 se pueden ver los desplazamientos en toda la barraaplicando la metodologıa de Pieza Lineal Equivalente y discretizando la barra en 5, 10y 20 elementos. Se puede ver que con 20 elementos se llega practicamente a la solucionexacta.

128


xi (m) Exacta (mm) Pieza lineal Metodo de Diferencias

equivalente (mm) Newton/ (Picard) (mm) finitas (mm)

0 0 0 0 0

0,35 9,3985 9,6549 9,2920 9,1095

0,7 16,8084 17,7100 16,8140 16,4533

1,05 22,8633 23,1916 22,7266 22,4628

1,4 27,8134 28,1536 27,6707 27,3978

1,75 31,8061 32,1545 31,6594 31,3663

2,1 34,9419 35,2964 34,7921 34,4981

2,45 37,2948 37,6540 37,1426 36,8334

2,8 38,9224 39,2856 38,7683 38,4616

3,15 39,8714 40,2377 39,7157 39,3960

3,5 40,1801 40,5492 40,0231 39,7075

Tabla 4.8. Desplazamientos en la barra empleando 10 elementos

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50

10

20

30

40

L (m)

Desplazamiento

(mm)

PLE 5 elem.

PLE 10 elem.

PLE 20 elem.

Solucion exacta

Figura 4.24. Desplazamientos en la barra empleando la Pieza Lineal Equivalente ydiscretizando la barra en diferente numero de elementos

Cabe destacar que si suponemos de entrada que el diagrama esfuerzo-deformacion,N − ε, es la ley poligonal de la Figura 4.17 (en el caso de discretizar la barra en5 elementos), la solucion obtenida mediante el concepto de Pieza Lineal Equivalentesera exacta en los nodos, ya que la solucion es nodalmente exacta y si ademas se utilizael concepto de accion repartida equivalente, es posible obtener la solucion exacta en elinterior de los elementos.

4.3.2.6 Calculo de la carga distribuida ficticia

A continuacion se procede a calcular la carga distribuida ficticia, que permite trans-formar el problema no lineal inicial con seccion constante en otro lineal con seccion

129


variable y modulo de elasticidad E constante en toda la pieza. De la expresion (4.37):

f(x) = −[

¨ϕ1

u− ˙ϕ

...u

(u)2

]u

teniendo en cuenta la ley del material, expresion (4.43):

σ = ϕ(ε) = −Kε2 + Kaε

ası como, la solucion exacta del problema, expresion (4.48):

u(x) =a

2x− 2SK

3f

[(

a

2

)2

− f(L− x)

SK

] 32

−[(

a

2

)2

− fL

SK

] 32

Se tiene que la carga distribuida ficticia es:

f(x) = f

1− a√a2SK+4f(x−L)

SK

(4.63)

Y el area de la seccion S(x), que para este caso es variable, se deduce de la expresionde la rigidez ϕ′(ε) con ε = u′, resultando:

S(x) =ϕ′(ε)

E=Sϕ′(ε)

ϕ′(0)(4.64)

y para este caso en particular es:

S(x) =S

a

√a2SK + 4f(x− L)

SK(4.65)

El valor del modulo de elasticidad E, como se dijo anteriormente, es la pendiente de larecta tangente a la curva tension-deformacion en el origen (vease Figura 4.13) y tienepor valor E = ϕ′(0) = aK = 28GPa.

En la Figura 4.25 se muestra la grafica de la funcion que define la carga distribuidaficticia. Se puede ver que es una funcion negativa, lo cual para el caso analizado eslogico, ya que las cargas puntuales ficticias son todas negativas en los nodos intermediospara la barra a traccion, al ser la ley constitutiva creciente con derivada decreciente.

130


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

−1500

−1250

−1000

−750

−500

−250

0

L (m)

f(kN/m)

Figura 4.25. Carga distribuida ficticia en toda la barra

Asimismo, en la Figura 4.26 se puede ver la variacion del area de la seccion a lo largode toda la barra y en la Figura 4.27 se muestra el esquema del problema lineal llevadoal continuo.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,50

200

400

600

800

1000

1200

L (m)

S(m

m2)

Figura 4.26. Variacion del area de la seccion transversal, S(x), en toda la barra

Figura 4.27. Problema lineal equivalente en el continuo

131


Una forma de comprobar que los valores determinados son correctos es obtener elvalor de f a partir de la ecuacion diferencial del problema de la barra (Pieza LinealEquivalente llevada al continuo) que se muestra en la Figura 4.27, dicha ecuacion es:

−[S(x)Eu′

]′= f + f(x)

Despejando f de la expresion anterior:

f = −f(x)−[S(x)Eu′

]′(4.66)

Sustituyendo las expresiones (4.63) y (4.64), ası como, E = ϕ′(0) = aK en la expresionanterior, se tiene:

f = −f


SK

−Sa

√a2SK + 4f(x− L)

SKaKu′

′ (4.67)

derivando la expresion (4.48), se obtiene u′(x):

u′(x) =a

2

√a2SK + 4f(x− L)

SK

sustituyendo la expresion anterior en (4.67) y derivando el segundo sumando de laderecha de la misma, se tiene:

f = −f


SK

+ f


SK

= f (4.68)

de la igualdad anterior se puede deducir por tanto, que el valor de f(x) y S(x) soncorrectos.


En el presente capıtulo se ha introducido el concepto de Pieza Lineal Equivalente, parala resolucion de un problema relativamenete sencillo en regimen no lineal, como es el deuna barra sometida a traccion, donde la no linealidad viene dada por el comportamientodel material. La metodologıa parte de suponer que la ley de esfuerzos de la seccion, sepuede aproximar, tanto como se desee, por una ley poligonal. Esta ley esta formadapor n segmentos, con n tan grande como se quiera.

El concepto de Pieza Lineal Equivalente ha sido planteado por dos vıas: formulaciondebil y teorıa de distribuciones. En ambas situaciones se llega a que una pieza enregimen no lineal, es equivalente a una en regimen lineal, cuyas rigideces varıan portramos, y donde ademas hay que aplicar en los nodos unas cargas puntuales ficticiasque resultan de manera natural al establecer la equivalencia.

132


Se ha desarrollado el concepto de Pieza Lineal Equivalente tanto para problemas isotati-cos como hiperestaticos, dando lugar a dos metodologıas. Para los primeros problemasse determinan de entrada las dimensiones de la Pieza Lineal Equivalente y las cargasficticias y posteriormente se resuelve el problema lineal por elementos finitos. Por otraparte se ha desarrollado una metodologıa general ligada al concepto de Pieza LinealEquivalente que permite abordar tanto problemas isotaticos como hiperestaticos. Lamisma procede gradualmente en el calculo mediante una homotopıa determinandosela Pieza Lineal Equivalente al final de proceso, simultaneamente con el calculo de lapieza.

Asimismo se ha contestado a la pregunta de que sucederıa con las cargas puntuales fic-ticias, si la pieza se dividiera en un numero cada vez mayor de elementos finitos, es decirque n→∞ y al mismo tiempo el tamano de todos ellos tendiera a cero. El resultado hasido que existe una carga distribuida ficticia, que permite transformar el problema nolineal inicial y de seccion constante, en otro de seccion variable y con comportamientolineal del material. Para el mismo se ha considerado un modulo de elasticidad E, cuyovalor es la pendiente de la recta tangente a la curva tension-deformacion en el origen.Se ha extendido por tanto el concepto de Pieza Lineal Equivalente del caso discreto alcaso continuo.

Se ha realizado un ejemplo de aplicacion y se han comparado los resultados obtenidoscon los de la solucion exacta, ası como, con los de otros metodos numericos.

133

CAPITULO 5

Analisis no lineal de la viga yviga-columna de Timoshenko

5.1 Introduccion

En el presente capıtulo se aplica el concepto de Pieza Lineal Equivalente, descrito enel capıtulo anterior, para resolver el problema de la viga y viga-columna en regimen nolineal y con deformacion por cortante, utilizando el modelo de Timoshenko.

El concepto de Pieza Lineal Equivalente, aplicada a la viga-columna de Timoshenko,fue planteado por [Romero et al., 2007], para una relacion no lineal momento-derivadade giro, pero con la simplificacion de considerar una ley lineal cortante-deformacionpor cortante. Sin embargo, el desarrollo que aquı se hace extiende el concepto citado acasos de gran interes, como es el del hormigon estructural, donde es necesario considerarrelaciones no lineales cortante-deformacion por cortante.

En el siguiente apartado se formula el problema para la viga de Timoshenko, aplicandoel concepto de Pieza Lineal Equivalente mediante formulacion variacional. Se omiteel planteamiento basado en la teorıa de distribuciones por ser un proceso similar alseguido para la barra. En el desarrollo realizado, ademas de los momentos puntualesficticios, aparecen dos elementos nuevos como son: las cargas puntuales ficticias y losmomentos distribuidos ficticios.

Asimismo, se muestran dos metodologıas de resolucion, una que es aplicable al casode piezas isostaticas y otra mas general que se puede aplicar a problemas isostaticos ohiperestaticoss. Tambien se desarrolla un ejemplo de aplicacion con el fin de exponercon detalle dichas metodologıas.

Posteriormente, se extiende el concepto de Pieza Lineal Equivalente para la viga-columna de Timoshenko. En este caso no es posible conocer de entrada los esfuerzosen la pieza, por tanto, la resolucion del problema se aborda aplicando la metodologıageneral. Igualmente se desarrolla un ejemplo de aplicacion para la viga-columna.

Finalmente, en el ultimo apartado se expone un resumen y las conclusiones de estecapıtulo.

135

5.2. Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko

5.2 Pieza Lineal Equivalente para la viga de Timoshenko

5.2.1 Formulacion del problema de la viga de Timoshenko en regimen no lineal

El sistema de ecuaciones diferenciales de la viga de Timoshenko, tal y como se expusoen el apartado 2.2.1 del segundo capıtulo, se puede obtener a partir de las ecuacionesde equilibrio siguientes:

−Q′ = f(x), −M ′ −Q = 0

Teniendo en cuenta que las relaciones constitutivas, en regimen lineal, para el momentoy el esfuerzo cortante son las siguientes:

M = EIdψ

dx, Q = ksGA

(dw

dx− ψ

)se tiene entonces que el sistema de ecuaciones diferenciales, que rige la viga de Timos-henko, en regimen lineal es:

[ksGA (w′ − ψ)]′ = f(x)

− (EIψ′)′ − ksGA(w′ − ψ) = 0(5.1)

Por otra parte, si la relacion entre momento y derivada del giro (tambien denominadapseudo-curvatura [Challamel, 2011]) y la relacion cortante-deformacion por cortantevienen dados por una expresion no lineal, creciente y con derivada decreciente, tal ycomo se muestra en la Figura 5.1, entonces el sistema de ecuaciones que rige el modelode viga de Timoshenko es no lineal.

ψ′

Φ(ψ′)M

(a)

γ

ϕ(γ)Q

(b)

Figura 5.1. Comportamiento no lineal del material: (a) momento-derivada de giro y (b)cortante-deformacion por cortante

Por tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales de la viga de Timoshenko en regimenno lineal, teniendo en cuenta que M = Φ(ψ′) y Q = ϕ(γ) es:

− [ϕ(γ)]′ = f(x)

− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(γ) = 0(5.2)

136

Capıtulo 5. Analisis no lineal de la viga y viga-columna de Timoshenko

El argumento γ de la funcion ϕ es γ = w′ − ψ y el sistema anterior se puede poner enla forma:

− [ϕ(w′ − ψ)]′ = f(x)

− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(w′ − ψ) = 0(5.3)

Para el sistema anterior se define un problema de contorno de n puntos, xi, i = 1, ..., n,en el dominio formado por la union de los elementos [xi, xi+1] , i = 1, ..., n− 1.

La formulacion variacional del problema lineal, dado por la expresion (5.1), se obtiene,

realizando la ponderacion usual en el correspondiente sistema, con V =[v φ

]Ty

tras el correspondiente proceso de integracion por partes en el subintervalo generico[α, β] = [xi, xi+1], resulta:

ˆ β

α

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =

ˆ β

α

f(x)v dx

+ [vα φα vβ φβ]

− [K(w′ − ψ)]α+

− [Hψ′]α+

[K(w′ − ψ)]β−[Hψ′]β−

(5.4)

donde H = EI y K = ksGA, como se menciono en el capıtulo 2, representan la rigideza flexion y a cortante de la viga, respectivamente. El ultimo termino de la expresionanterior, que representa las cargas nodales de equilibrio, se pueden expresar tambienen la forma:

(Hψ′)′|α+

−(Hψ′)|α+

−(Hψ′)′|β−(Hψ′)|β−

La formulacion variacional para el problema no lineal, siguiendo los pasos usuales es:

ˆ β

α

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =

ˆ β

α

f(x)v dx


−ϕ(γ)|α+

−Φ(ψ′)|α+

ϕ(γ)|β−Φ(ψ′)|β−

(5.5)

Del mismo modo que en el caso de la barra, se supone ahora que tanto el diagramamomento-derivada del giro y cortante-deformacion por cortante, se aproximan por unasleyes poligonales (de n segmentos), como se muestra en la Figura 5.2.

137


ψ′

Φ(ψ′)M

ψ′0 ψ′

1 ψ′2

B2

B1 A0ψ

′

A1ψ′ +

B1

A2ψ′ +B2

(a)

γ

ϕ(γ)Q

γ0 γ1 γ2

D2

D1 C0γ

C1γ +

D1

C2γ +D2

(b)

Figura 5.2. Leyes del material y aproximacion poligonal: (a) momento-derivada de giro y (b)cortante-deformacion por cortante

Hay que destacar que el numero n de segmentos de la poligonal puede ser tan grandecomo se desee. En el intervalo generico [α, β] = [xi, xi+1], las relaciones entre momentoderivada del giro y cortante deformacion por cortante vienen dadas por:

Φ(ψ′) = aiψ′ + bi (5.6)

ϕ(γ) = ciγ + di, γ = w′ − ψ (5.7)

En las expresiones anteriores, con notacion relativa al elemento, los terminos ai y cirepresentan respectivamente, la rigidez a flexion y la rigidez a cortante de la viga encada intervalo (que en el caso lineal vienen dadas por H y K respectivamente) y secorresponden con los valores de las pendientes de los segmentos de las poligonales dela Figura 5.2.

Sustituyendo las expresiones (5.6) y (5.7) en (5.2) se tiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales:

− [ci(w′ − ψ) + di]

′ = f(x)

− [aiψ′ + bi]

′ − [ci(w′ − ψ) + di] = 0

(5.8)

Sistema que es equivalente a:− [ci(w

′ − ψ)]′ = f(x)

− [aiψ′]′ − ci(w′ − ψ) = di

(5.9)

donde la segunda ecuacion indica que existe un momento distribuido de valor di porunidad de longitud.

138


Realizando la ponderacion del sistema (5.8), con V =[v φ

]T, en el intervalo generico

[α, β], la formulacion variacional queda de la siguiente forma:

−ˆ β

α

(aiψ′ + bi)

′φdx−

ˆ β

α

[ci(w′ − ψ) + di]φdx−

ˆ β

α

[ci(w′ − ψ) + di]

′v dx =

ˆ β

α

f(x)v dx

(5.10)

Realizando la correspondiente integracion por partes se obtiene:

ˆ β

α

(aiψ′ + bi)φ

′ dx−ˆ β

α

[ci(w′ − ψ) + di]φ dx+

ˆ β

α

[ci(w′ − ψ) + di] v

′ dx =

=

ˆ β

α

f(x)v dx+ [vα φα vβ φβ]

− [ci(w

′ − ψ) + di]α+

− (aiψ′ + bi)|α+

[ci(w′ − ψ) + di]β−

(aiψ′ + bi)|β−

(5.11)

ˆ β

α

[aiψ′φ′ + ci(w

′ − ψ)(v′ − φ)] dx =

ˆ β

α

f(x)v dx+

ˆ β

α

diφ dx−ˆ β

α

biφ′ dx

−ˆ β

α

div′ dx+ [vα φα vβ φβ]

− [ci(w

′ − ψ) + di]α+

− (aiψ′ + bi)|α+

[ci(w′ − ψ) + di]β−


(5.12)

La expresion (5.12) representa la formulacion variacional de una viga de Timoshenko enregimen no lineal, cuyos diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacionpor cortante vienen definidas por una ley poligonal. Para obtener la expresion en todoel dominio xi, i = 1, ..., n se aplica la propiedad aditiva de la integral, respecto a launion de dominios.

Para el caso en regimen lineal se tiene:

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)

]dx =

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

f(x)v dx

+n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

−K(w′ − ψ)|xi+−Hψ′|xi+

K(w′ − ψ)|xi+1−

Hψ′|xi+1−

ˆ xn

x1

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)

]dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx

+n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

−K(w′ − ψ)|xi+−Hψ′|xi+

K(w′ − ψ)|xi+1−

Hψ′|xi+1−

(5.13)

con vi = v(xi), φi = φ(xi), vi+1 = v(xi+1) y φi+1 = φ(xi+1).

139


Para el problema no lineal se tiene:

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

f(x)v dx

+n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

−ϕ(γ)|xi+−Φ(ψ′)|xi+ϕ(γ)|xi+1

−

Φ(ψ′)|xi+1−

ˆ xn

x1

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx

+n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

−ϕ(γ)|xi+−Φ(ψ′)|xi+ϕ(γ)|xi+1

−

Φ(ψ′)|xi+1−

(5.14)

Para el problema no lineal con ley poligonal:

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi


′ − ψ)(v′ − φ)] dx =

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

f(x)v dx+

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

diφdx

+

n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

− [ci(w

′ − ψ) + di]xi+

− (aiψ′ + bi)|xi

+

[ci(w′ − ψ) + di]xi+1

−

(aiψ′ + bi)|xi+1

−

−n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

biφ′ dx−

n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

div′ dx (5.15)

Desarrollando los dos ultimos terminos de la expresion (5.15) se tiene:

−n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

biφ′ dx =−

n−1∑i=1

bi (φi+1 − φi)

=− b1(φ2 − φ1)+

− b2(φ3 − φ2)+

...

− bn−2(φn−1 − φn−2)+

− bn−1(φn − φn−1) (5.16)

−n−1∑i=1

ˆ xi+1

xi

div′ dx =−

n−1∑i=1

di (vi+1 − vi)

=− d1(v2 − v1)+

− d2(v3 − v2)+

...

− dn−2(vn−1 − vn−2)+

− dn−1(vn − vn−1) (5.17)

140


Agrupando de forma adecuada los terminos de las expresiones (5.16) y (5.17) resulta:

−n−1∑i=1

bi (φi+1 − φi) = [b1φ1 + (b2 − b1)φ2+, ..., (bn−2 − bn−1)φn−1 − bn−1φn]

= b1φ1 +n−1∑i=2

(bi − bi−1)φi − bn−1φn (5.18)

−n−1∑i=1

di (vi+1 − vi) = [d1v1 + (d2 − d1)v2+, ..., (dn−2 − dn−1)vn−1 − dn−1vn]

= d1v1 +n−1∑i=2

(di − di−1)vi − dn−1vn (5.19)

Sustituyendo (5.18) y (5.19) en la expresion (5.15), la formulacion variacional del pro-blema de una viga con deformacion por cortante en regimen no lineal, con leyes poli-gonales momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante (vease Figura5.2), queda finalmente expresada de la siguiente manera:

ˆ xn

x1

[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx+

+

n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

− [ci(w

′ − ψ) + di]α+

− (aiψ′ + bi)|α+

[ci(w′ − ψ) + di]β−


+

ˆ xn

x1

D(x)φdx

+

[b1φ1 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)φi − bn−1φn]

+

[d1v1 +

n−1∑i=2

(di − di−1)vi − dn−1vn]

(5.20)

con:

A(x) =

a1, (x1, x2)...ai, (xi, xi+1)...an−1, (xn−1, xn)

C(x) =

c1, (x1, x2)...ci, (xi, xi+1)...cn−1, (xn−1, xn)

D(x) =

d1, (x1, x2)...di, (xi, xi+1)...dn−1, (xn−1, xn)

(5.21)

Tal y como se puede ver en la expresion (5.20), los tres ultimos terminos del segundomiembro representan lo siguiente: el primero unos momentos distribuidos ficticios a lolargo de la viga, como ya se indicaba en (5.9), el segundo unos momentos puntualesficticios y el tercero unas cargas puntuales ficticias, los dos ultimos aplicados en losnodos de la viga.

Donde el termino ficticio, se utiliza del mismo modo que en el caso de la barra desa-rrollado en el capıtulo 4, para indicar la presencia de acciones que no existen en elproblema original no lineal.

Para el caso de la viga con deformacion por cortante en regimen no lineal con leyespoligonales (momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante), el pro-blema variacional para el intervalo Ω = [0, L], y por ejemplo, para condiciones de

141


contorno esenciales de tipo homogeneo (pieza empotrada en los extremos x = x1 = 0 yx = xn = L), sometida a un carga transversal distribuida f(x) y sin cargas puntualesen el interior del dominio, consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1

0 (Ω)xH10 (Ω) tal que:

ˆ L

0

[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =

ˆ L

0

f(x)v dx+

ˆ L

0

D(x)φdx+[b10 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)φi − bn−10

]+

[d10 +

n−1∑i=2

(di − di−1)vi − dn−10

], ∀(v, φ) ∈ H1

0 (Ω)xH10 (Ω)

(5.22)

donde v1 = φ1 = vn = φn = 0, al estar la viga empotrada en ambos extremos. H1(Ω)es el espacio de Sobolev, H1(Ω) = g/g, g′ ∈ L2(Ω), y H1

0 (Ω) el formado por loselementos del espacio anterior que se anulan en los extremos del dominio, es decir,H1

0 (Ω) = g ∈ H1(Ω)/g(0) = g(L) = 0.

Para el caso en regimen no lineal, con las mismas condiciones del problema anterior, elproblema variacional consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1


ˆ L

0

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =

ˆ L

0

f(x)v dx, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)xH1

0 (Ω) (5.23)

De todo lo anterior se tiene el siguiente teorema de equivalencia:

La expresion (5.22) representa la formulacion debil de una viga de Timoshenko enregimen lineal con rigideces (a flexion y a cortante) constantes a trozos, con una cargatransversal repartida, f(x), un momento distribuido ficticio, D(x), unos momentospuntuales ficticios, bi − bi−1, y unas cargas puntuales ficticias, di − di−1, estos dosultimos aplicados en los nodos internos.

La ecuacion de equilibrio local de elementos finitos, para el elemento generico [α, β] =[xi, xi+1], empleando como funciones de aproximacion y de ponderacion funciones queson solucion del problema homogeneo (vease apartado 3.2.1), para la pieza con rigidezconstante a trozos es: Ke

w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)

=

f e1f e2f e3f e4

+

qe1qe2qe3qe4

+

dibi−di−bi

(5.24)

donde los elementos de la matriz local Ke son:

kelm(ai, ci) =

ˆ β

α

[aiN′2lN

′2m + ci (N

′1l −N2l) (N ′1m −N2m)] dx, l,m = 1, ..., 4 (5.25)

con N1l, N2l, i = 1, ..., 4 funciones de forma que son las mismas que se muestran en elapartado 3.2.1, dadas por la expresion (3.13), con la particularidad de que m = H/Ken este caso es m = ai/ci.

Las componentes del vector de cargas nodales equivalente son:

f el =

ˆ β

α

[f(x)N1l + diN2l] dx, l = 1, ..., 4 (5.26)

142


Las componentes del vector de cargas nodales de equilibrio son:

qe1 = − [ci(w′ − ψ) + di]α+

qe2 = − (aiψ′ + bi)|α+

qe3 = [ci(w′ − ψ) + di]β−

qe4 = (aiψ′ + bi)|β−

El ultimo termino de la expresion (5.24) da lugar, en la ecuacion de equilibrio globalresultante de ensamblar las ecuaciones locales, a los momentos puntuales ficticios y alas cargas puntuales ficticias en los nodos de la viga. Por otra parte, el momento distri-buido ficticio, D(x), esta contemplado dentro del vector de cargas nodales equivalentes,expresion (5.26).

A continuacion se trata de visualizar todo el desarrollo anterior, aplicado al analisis deuna viga en regimen isostatico, de longitud L, y seccion S constante. Las condicionesde vınculo y estado de carga se muestran en la Figura 5.3a, con un comportamientono lineal del material (vease Figura 5.1). Como el problema es isostatico, se conocenlos diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes en toda la viga, tal como semuestra en la Figura 5.3b y 5.3c.

Figura 5.3. Viga en voladizo: (a) esquema de carga, (b) ley de momentos flectores y (c) leyde esfuerzos cortantes

143


Considerando, por ejemplo, una discretizacion en tres elementos de igual longitud,al conocer los esfuerzos (momentos y cortantes) en cada punto de la viga, es posibleaproximar los diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion de cortante,por diagramas trilineales, tal y como se muestra en las Figuras 5.4 y 5.5.

Figura 5.4. Ley de momentos flectores en la viga y su correspondencia con el diagramamomento-derivada de giro

De esta manera se determinan las pseudo-curvaturas sci = ψ′(xi), i = 1, ..., 4 (derivadasde giro) y las deformaciones por cortante gi = γ(xi), i = 1, ..., 4, en los nodos de ladiscretizacion.

Figura 5.5. Ley de esfuerzos cortantes en la viga y su correspondencia con el diagramacortante-deformacion por cortante

Asimismo, en la Figura 5.6 se ha dibujado la viga en estado deformado indicando laspseudo-curvaturas, sci, i = 1, ..., 4 y las deformaciones por cortante, gi, i = 1, ..., 4, allado de los correspondientes nodos.

144


Figura 5.6. Viga en estado deformado

La ecuacion de equilibrio global del problema es:

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0

k131 k132 k133 + k211 k134 + k212 k213 k214 0 0

k141 k142 k143 + k221 k144 + k222 k223 k224 0 0

0 0 k231 k232 k233 + k311 k234 + k312 k313 k314

0 0 k241 k242 k243 + k321 k244 + k322 k323 k324

0 0 0 0 k331 k332 k333 k334

0 0 0 0 k341 k342 k343 k344

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

=

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

+

+

−[c1(w′(x+1 )− ψ(x+1 )

)+ d1

]−(a1ψ

′(x+1 ) + b1)

[c1(w′(x−1 )− ψ(x−1 )

)+ d1

]−[c2(w′(x+2 )− ψ(x+2 )

)+ d2

](a1ψ

′(x−1 ) + b1)−(a2ψ

′(x+2 ) + b2)

[c2(w′(x−2 )− ψ(x−2 )

)+ d2

]−[c3(w′(x+3 )− ψ(x+3 )

)+ d3

](a2ψ

′(x−2 ) + b2)−(a3ψ

′(x+3 ) + b3)

[c3(w′(x−3 )− ψ(x−3 )

)+ d3

](a3ψ

′(x−3 ) + b3)

+

d1

b1

d2 − d1

b2 − b1

d3 − d2

b3 − b2

−d3

−b3

(5.27)

145


Aplicando las condiciones de contorno esenciales, u1 = u2 = 0, y las naturalesQ(x4) = 0y M(x4) = 0, y como no hay acciones puntuales en el interior del dominio, se tiene elsiguiente sistema reducido:

k133 + k2

11 k134 + k2

12 k213 k2

14 0 0

k143 + k2

21 k144 + k2

22 k223 k2

24 0 0

k231 k2

32 k233 + k3

11 k234 + k3

12 k313 k3

14

k241 k2

42 k243 + k3

21 k244 + k3

22 k323 k3

24

0 0 k331 k3

32 k333 k3

34

0 0 k341 k3

42 k343 k3

44

u3

u4

u5

u6

u7

u8

=

F3

F4

F5

F6

F7

F8

+

d2 − d1

b2 − b1d3 − d2

b3 − b2−d3 = 0

−b3 = 0

(5.28)

donde el ultimo sumando de la derecha representa las cargas puntuales ficticias y losmomentos puntuales ficticios, aplicados en los nodos internos de la viga. El momentodistribuido ficticio, D(x), esta considerado dentro del vector de cargas cargas nodalesequivalentes (primer sumando de la derecha) como ya se menciono anteriormente.

De acuerdo con la formulacion debil, expresion (5.20), la solucion w(x) y ψ(x) delproblema de una viga en regimen no lineal, es tambien solucion de un problema enregimen lineal donde las rigideces a flexion y a cortante varıan por tramos, y dondeademas hay que aplicar en los puntos intermedios unos momentos y cargas puntualesficticias, ası como un momento distribuido ficticio.

De lo anterior se tiene que las dos vigas tienen la misma deformada, pudiendose es-tablecer la analogıa que se indica en la Figura 5.7, donde la viga en regimen linealpodemos denominarla como Pieza Lineal Equivalente (o en este caso, como viga linealequivalente). Se tiene ademas el cuadro comparativo de la Tabla 5.1.

Pieza en regimen no lineal

Problema variacional

Obtener (w,ψ) ∈ H10 (Ω)xH1

0 (Ω) tal que:´ L0

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)] dx =´ L

0f(x)v dx, ∀(v, φ) ∈ H1

0 (Ω)xH10 (Ω)

H10 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0


Problema variacional

Obtener (w,ψ) ∈ H10 (Ω)xH1

0 (Ω) tal que:´ L0

[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)] dx =´ L

0f(x)v dx+

´ L0D(x)φ dx+

+b10 +3∑i=2

(bi − bi−1)φi − 0φ4 + d10 +3∑i=2

(di − di−1)vi − 0v4, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)xH1

0 (Ω)

H10 (Ω) = g, g′ ∈ L2(Ω), g(0) = 0

Tabla 5.1. Problemas variacionales de la pieza en regimen no lineal y de la Pieza LinealEquivalente

146


Figura 5.7. Equivalencia entre el problema no lineal y lineal: (a) viga en regimen no lineal y(b) viga lineal equivalente

5.2.2 Metodo para Problemas Isostaticos

Hasta ahora se ha analizado un problema isostatico en regimen no lineal del materialpara las vigas con deformacion por cortante para las que se conocen las leyes de mo-mentos y cortantes en toda la pieza. Por tanto, tal y como se ha expuesto, ha resultadoinmediato determinar la distribucion de rigideces a flexion y a cortante en la misma.En resumen, para la viga en el caso isostatico se puede determinar de entrada cual esla Pieza Lineal Equivalente, tal y como se ha hecho para el caso indicado en la Figura5.3. Dicha pieza se puede calcular con sencillez, aplicando por ejemplo, el metodo deelementos finitos ya en regimen lineal.

147


A continuacion se describen los pasos a seguir para los casos isostaticos:

1. Se discretiza la viga en n elementos.

2. Se calculan los momentos y los esfuerzos cortantes en cada nodo de la pieza.

3. Con los momentos y esfuerzos cortantes de cada nodo, se entra respectivamenteen las leyes M − ψ′ y Q − γ de la seccion, y se obtienen los valores de lasdeformaciones ψ′i y γi, i = 0, ..., n.

4. Se calculan las rigideces ai y ci, i = 1, ..., n, ası como, los valores de bi y di,i = 1, ..., n de cada uno de los elementos en los que se ha discretizado la pieza,y de estos ultimos los momentos puntuales ficticios, Mi = bi − bi−1 y las cargaspuntuales ficticias Pi = di − di−1.

5. Finalmente con las rigideces obtenidas (ai y ci), las cargas iniciales y las car-gas y momentos ficticios, se calcula mediante elementos finitos la Pieza LinealEquivalente resultante.

5.2.3 Metodo General

Esta metodologıa general se aplica en la resolucion de problemas de vigas en los casostanto isostatico como hiperestaticos. En la misma se determina la Pieza Lineal Equiva-lente, pero al final del proceso, utilizando, como en el caso de la barra, una homotopıaque permite transformar gradualmente unas leyes constitutivas lineales en otras nolineales que son las que definen el comportamiento del material. A continuacion sedetalla los pasos a seguir.

1. Se discretiza la pieza en n elementos finitos.

2. Se considera unas leyes lineales momento-derivada de giro, M − ψ′ (o pseudo-curvatura) y cortante deformacion por cortante, Q−γ, que pueden ser tangentes osecantes a la leyes no lineales del problema planteado. De esta manera se obtienenlas rigideces (a flexion y a cortante) iniciales en cada elemento.

3. Se resuelve el problema lineal con las condiciones de contorno del problema nolineal, es decir se calcula los desplazamientos y giros, en los nodos, y las defor-maciones (derivada de giro, ψ′, y deformacion por cortante, γ) en cada elemento.En este caso no son necesarias las correcciones ya que ψ′ y γ, por la izquierda ypor la derecha en cada nodo son iguales en ausencia de cargas puntuales, y enotros casos lo que corresponda de acuerdo con dichas cargas.

4. Se avanza en la homotopıa, de modo que las leyes momento-derivada de giro, M−ψ′, y cortante deformacion por cortante, Q−γ, dejan de ser lineales. Con las ψ′ yγ del paso anterior se entra a estas nuevas leyes y se obtienen las nuevas rigidecesde cada elemento y tambien las cargas y momentos puntuales ficticios, ası como,el momento distribuido ficticio, calculados con estas rigideces y deformacionesconocidas.

148


5. Se resuelve con estas rigideces y estas cargas el problema correspondiente a lapieza lineal resultante. Ahora las deformaciones, ψ′ y γ, por la izquierda y porla derecha de elementos adyacentes en el nodo no son iguales, lo que requiere,sin avanzar en las homotopıas, realizar cierto numero bajo de correcciones hastaconseguir un cierto nivel de compatibilidad de deformaciones.

6. Se avanza nuevamente en la homotopıa y se vuelven a repetir los pasos 4 y 5respectivamente. Y ası sucesivamente hasta llegar al ultimo paso de la homotopıa,para el cual las leyes, momento-derivada de giro y cortante deformacion porcortante, son las dadas inicialmente para el problema no lineal. Realizando lascorrecciones necesarias hasta alcanzar un nivel de compatibilidad aceptable en lasdeformaciones (ψ′ y γ), llegando ası a la solucion del problema no lineal inicial,al tiempo que queda definida la Pieza Lineal Equivalente

5.2.4 Ejemplo de aplicacion

En este ejemplo se aborda el calculo en regimen no lineal de los desplazamientos y girosde las secciones y de las leyes de esfuerzos de una viga con deformacion por cortante, delongitud L = 4, 0 m, con las condiciones de vınculo, carga y caracterısticas geometricasque se muestran en la Figura 5.8. Las caracterısticas del material se pueden ver en laTabla 5.2.

Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. Para la obtencion de estosdiagramas se han seguido los procedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4,y los mismos se muestran en las Figuras 5.9 y 5.10.

Figura 5.8. Viga en voladizo. Caracterısticas geometricas y estado de carga

149


Hormigon Refuerzo Refuerzo(MPa) longitudinal (MPa) transversal (MPa)

Ec = 35600fc = 49, 9 Es = 200000 Es = 200000fsp = 3, 6 fy = 5000 fy = 530fct = 2, 88

Tabla 5.2. Caracterısticas del material (tomado de [Mohr et al., 2010])

0 1 2 3 4 5 6 7 8

·10−3

0

50

100

150

200

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)

Figura 5.9. Diagrama momento-derivada de giro

0 1 2 3 4 5

·10−4

0

20

40

60

80

100

120

γ (m/m)

Q(kN)

Figura 5.10. Diagrama cortante-deformacion por cortante

Para resolver el problema se procede por las dos vıas desarrolladas: el metodo paraproblemas isostaticos, y con el metodo general expuesto en los apartados anteriores.

150


Para obtener la Pieza Lineal Equivalente en el problema isostatico se procede de lasiguiente manera.

Se discretiza la viga en n = 6 elementos, que se toman de diferente longitud con objetode que las dos leyes poligonales se ajusten mejor a los diagramas, momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante. Dicha discretizacion se muestra en la Figura5.11.

Figura 5.11. Discretizacion de la viga

Se calculan las leyes de esfuerzos (momentos y cortantes) en cada nodo de la pieza. Conlos momentos y esfuerzos cortantes de cada nodo se entra a las leyes M−ψ′ y Q−γ delmaterial y se obtienen los valores de las deformaciones ψ′i, i = 0, ..., 6 y γi, i = 0, ..., 6,tal y como se muestra en las Figuras 5.12 y 5.13.

Figura 5.12. Correspondencia entre los momentos flectores en la viga y el diagramamomento-derivada de giro

En la Figura 5.12 se pueden ver simultaneamente las graficas de la ley de momentosflectores en la viga y de la relacion momento derivada de giro, mientras que en la Figura5.13 se puede ver simultaneamente la ley de esfuerzos cortantes en la viga y el diagramacortante-deformacion por cortante.

En ambas Figuras se puede observar la correspondencia entre los nodos de la pieza consus correspondientes derivada de giro, sc, y deformacion por cortante, g. Se obtienenfinalmente las rigideces ai y ci, i = 1, ..., n, ası como, los valores de bi, y di, i = 1, ..., nde cada uno de los elementos en los que se ha discretizado la pieza.

Los diagramas poligonales, momento-derivada de giro y cortante deformacion por cor-tante, se muestran en las Figuras 5.14 y 5.15 respectivamente.

151


Figura 5.13. Correspondencia entre los esfuerzos cortantes en la viga y el diagramacortante-deformacion por cortante

Figura 5.14. Aproximacion del diagrama momento-derivada de giro con una ley poligonal

Figura 5.15. Aproximacion del diagrama cortante-deformacion por cortante con una leypoligonal

152


Teniendo en cuenta los valores de las Figuras 5.14 y 5.15, se han dibujado simultanea-mente los diagramas originales y poligonales de las curvas momento-derivada de giro ycortante-deformacion por cortante, tal como se muestra en la Figura 5.16

0 1 2 3 4 5 6 7

·10−3

0

50

100

150

200

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

(a)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

·10−4

0

20

40

60

80

100

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)

Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

(b)

Figura 5.16. Diagramas originales y aproximacion poligonal de: (a) momento-derivada degiro y (b) cortante-deformacion por cortante

Con los valores de rigideces, Ai y Ci, ası como, con los valores de Bi y Di, que semuestran en las Figuras 5.14 y 5.15, se obtiene la Pieza Lineal Equivalente para elproblema isostatico como se muestra en la Figura 5.17. Con los datos y esquema dedicha figura, se calculan, por el metodo de elementos finitos los desplazamientos y losgiros de la Pieza Lineal Equivalente.

Tambien se resuelve el problema aplicando la metodologıa general de la Pieza LinealEquivalente, siguiendo los pasos descritos en el apartado 5.2.3. Para ello se parte de leyeslineales tangentes en el origen a los diagramas originales, para el diagrama momento-derivada de giro y para el cortante-deformacion por cortante, lo cual permite determinarunos valores de ψ′i y γi, i = 0, ...n iniciales, utilizando una rigidez constante en todala viga. A partir de este primer calculo el proceso sigue con el paso correspondiente alpaso de homotopıa λ = 0.5.

153


Figura 5.17. Pieza Lineal Equivalente para el problema isostatico

Los valores de λ para avanzar en la homotopıa son 0.70, 0.90 y 1.0. En cada pasode homotopıa se considera un cierto numero de correcciones fijado, (en este caso 3),excepto para el paso final que se aumenta dicho numero, de modo que los resultadosse estabilicen para la precision utilizada.

En las Tablas 5.3 y 5.4 se pueden ver los resultados del proceso de homotopıa seguido.En el paso de homotopıa 4, cuando las relaciones M − ψ′ y Q − γ son las finales,correspondientes a λ = 1, tanto la derivada del giro como la deformacion por cortante,en el extremo empotrado (sc1 y g1), se estabilizan en la iteracion 11.

Con los valores de ai y Mi de la ultima fila de la Tabla 5.3, ası como, con los valores deci y Pi de la ultima fila de la Tabla 5.4 se obtiene finalmente la Pieza Lineal Equivalentecomo se muestra en la Figura 5.18.

En la Tabla 5.5 se pueden ver los desplazamientos y los giros en los nodos, que seobtienen resolviendo la Pieza Lineal Equivalente del problema isostatico (vease Figura5.17) y los que resultan aplicando el metodo general.

Los resultados obtenidos, tanto para desplazamientos, como para giros, difieren muypoco. La diferencia es debido a que existe una pequena variacion de las rigideces, taly como se muestra en la Tabla 5.6. La diferencia de rigideces (a cortante) se puedeobservar principalmente en los elementos 2 y 3, ya que en el resto de los elementos lasrigideces (a flexion y cortante) son practicamente iguales.

154


Hom

ot.

iter.

w7(mm

)sc

1(rad/m

)a1(K

Nm

2)

a2

a3

a4

a5

a6

M2(K

N)

M3

M4

M5

M6

lin

eal

-7,

3085

0,00

1798

3811

5660

115660

115660

115660

115660

115660

00

00

0

1(λ

=0.

5)1

9,60

260,

0025

9008

7131

6,8

71500,3

72274,6

78288,5

102915

114225

-0,3

1-1

,04

-5,6

8-1

3,4

0-2

,86

39,

6277

0,00

2591

7771

105,

871180,2

71512,2

75140,4

100655

114194

-0,1

8-0

,61

-4,3

8-1

5,0

7-3

,47

2(λ

=0.

7)1

11,5

969

0,00

3280

6353

284,

153388,3

53853

58931,3

94652,8

1136608

-0,2

5-0

,86

-6,1

4-2

1,1

0-4

,86

311

,615

40,

0032

8040

5333

0,1

53287,5

53536,3

57154,9

92652

113590

0,1

3-0

,57

-5,1

8-2

2,0

4-5

,39

3(λ

=0.

9)1

15,5

301

0,00

4659

1235

521,

635466,8

35786,5

40438

86077,2

112988

0,1

6-0

,73

-6,6

6-2

8,3

4-6

,93

315

,584

30,

0046

6633

3517

035424,3

35518,4

38260,2

82276,9

112974

-1,0

8-0

,30

-5,1

6-2

9,4

1-7

,95

4(λ

=1.

0)

119

,557

70,

0060

7163

2622

6,6

26509,3

26613,7

29658,3

78654,3

112676

-1,2

0-0

,33

-5,7

3-3

2,6

8-8

,83

319

,730

10,

0062

9282

1971

1,5

25739

26550,7

28546

75455,9

112662

-33,2

5-3

,28

-4,6

5-3

3,1

1-9

,66

719

,741

10,

0063

2872

1884

625740,3

26550,6

28545

75453,3

112662

-38,0

3-3

,28

-4,6

5-3

3,1

0-9

,66

1019

,740

80,

0063

2985

1881

9,9

25740,3

26550,6

28545

74453,3

112662

-38,1

8-3

,28

-4,6

5-3

3,1

0-9

,66

1119

,741

60,

0063

2990

1881

8,6

25740,3

26550,6

28545

75453,3

112662

-38,1

8-3

,28

-4,6

5-3

3,1

1-9

,66

Ta

bla

5.3

.R

esu

ltad

osd

elp

roce

sod

eh

omot

opıa

,ri

gid

eza

flex

ion

(ai)

ym

omen

top

untu

alfi

ctic

io(M

i)

Hom

ot.

iter.

ψ7(rad)

g 1(m/m

)c 1

(KN

)c 2

c 3c 4

c 5c 6

P2(K

N)

P3

P4

P5

P6

lin

eal

-0,

0023

9784

0,00

0057

4718

0958

01809580

1809580

1809580

1809580

1809580

00

00

0

1(λ

=0.

5)1

0,00

3076

450,

0000

6716

1141

290

1224070

1406840

1616340

1734030

1792540

-4,5

8-9

,06

-8,7

3-3

,72

-1,2

63

0,00

3085

430,

0000

6789

1030

490

1100140

1309970

1589050

1730600

1792260

-4,4

6-1

1,4

6-1

2,2

0-4

,57

-1,3

4

2(λ

=0.

7)1

0,00

3664

370,

0000

7837

7187

35816188

1110020

1500850

1699000

1785330

-6,2

5-1

6,0

6-1

7,0

9-6

,40

-1,8

83

0,00

3671

280,

0000

7920

6522

52725849

1020840

1478830

1696830

1785170

-5,3

9-1

7,3

6-2

0,5

5-7

,10

-1,9

3

3(λ

=0.

7)1

0,00

4816

140,

0001

1415

3214

68415967

795242

1384300

1664610

1778190

-6,9

2-2

2,3

4-2

6,4

4-9

,13

-2,4

83

0,00

4835

080,

0001

2173

2845

95289215

609492

1346430

1661580

1777980

-4,2

9-2

2,3

5-3

4,1

8-1

0,3

6-2

,55

4(λ

=1.

0)

10,

0059

8399

0,00

0294

2474

903

119382

473539

1294200

1645130

1774470

-4,7

2-2

4,7

7-3

8,0

9-1

1,5

4-2

,84

30,

0060

2570

0,00

0352

9652

731,

959729,4

263766

1273150

1643340

1774350

-1,9

2-2

0,7

8-4

7,5

8-1

2,2

4-2

,88

70,

0060

2839

0,00

0352

9752

689,

959294,7

260197

1277220

1643330

1774350

-1,8

4-2

0,8

1-4

7,7

7-1

2,1

0-2

,88

100,

0060

2847

0,00

0352

9752

689,

959294,6

247410

1248890

1643330

1774350

-1,8

4-1

9,4

8-4

8,1

6-1

3,0

3-2

,88

110,

0060

2848

0,00

0352

9752

689,

959294,6

263495

1284170

1643330

1774350

-1,8

4-2

1,1

5-4

7,6

6-1

1,8

7-2

,88

Ta

bla

5.4

.R

esu

ltad

osd

elp

roce

sod

eh

omot

opıa

,ri

gid

eza

cort

ante

(ci)

yca

rga

pu

ntu

alfi

ctic

ia(P

i)

155


Figura 5.18. Pieza Lineal Equivalente por la metodologıa general

xi (m)

Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente

problema isostatico metodo general

w (mm) ψ (rad) w (mm) ψ (rad)

0 0,00000 0,000000000 0,00000 0,000000000

0,15 0,11553 0,000888093 0,11553 0,000888092

0,625 1,17882 0,003089470 0,94818 0,002794350

1,1 3,04816 0,004534710 3,04738 0,004533480

1,8 6,68001 0,005571820 6.67845 0,0055710590

2,5 10,73260 0,005899900 10,7302 0,005898670

4 19,74500 0,006029710 19,74070 0,006028480

Tabla 5.5. Desplazamientos y giros en la viga empleando 6 elementos

Esta diferencia puede hacerse cada vez menor si se aumenta el numero de iteracionesen el ultimo paso de homotopıa en el metodo general.Otra manera de mejorar losresultados, manteniendo el mismo numero de iteraciones, es discretizando la pieza enmas elementos. Para este caso particular, se dicretiza la pieza en 8 elementos, con elfin de adaptar mejor las leyes poligonales (en especial la del cortante-deformacion porcortante).

En la Figura 5.19 se puede ver la variacion de las rigideces (a flexion y a cortante)de cada uno de los elementos, donde ademas estos se pueden tomar con las longitu-

156


des adecuadas, de acuerdo con las leyes constitutivas. Con 8 elementos y variando lalongitud de cada uno de ellos, se obtiene una mejor aproximacion a las leyes originales(M − ψ′ y Q− γ).

elem.

Pieza Lineal Equivalente Pieza Lineal Equivalente


ai (kNm2) ci (kN) ai (kNm2) ci (kN)

1 18817,6 52689,9 18818,6 52689,9

2 25845,7 63294,1 25740,3 59294,6

3 26565,6 339294 26550,6 263495,0

4 28545 1265520 28545 1284170

5 75453,3 1643330 75453,3 1643330

6 112662 1774350 112662 1774350

Tabla 5.6. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) en la viga

0 1 2 3 4 5 6 7

·10−3

0

50

100

150

200

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6Elem. 7Elem. 8

(a)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

·10−4

0

20

40

60

80

100

γ (m/m)

Q(kN)

Q(γ)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6Elem. 7Elem. 8

(b)

Figura 5.19. Variacion de la rigidez de cada elemento: (a) rigidez a flexion y (b) rigidez acortante

Cuando se ha empleado la metodologıa general, se ha realizado el mismo numero deiteraciones que para el caso anterior (6 elementos), es decir 3 iteraciones para lashomotopıas intermedias y 11 iteraciones en el ultimo paso de homotopıa.

En la Tabla 5.7 se pueden ver los desplazamientos y los giros empleando 8 elementos.Ahora los resultados obtenidos son iguales, tanto para los desplazamientos como paralos giros. Asimismo, se puede ver en la Tabla 5.8 que no hay variacion en las rigideces.

Por otra parte, la diferencia de desplazamientos y giros en el extremo libre, empleando6 y 8 elementos, es mınima, tal y como se puede ver en las Tablas 5.5 y 5.7.

En las Figuras 5.20-5.23 se muestran los desplazamientos, giros, momentos y esfuerzoscortantes en toda la viga, respectivamente, obtenidos aplicando el metodo general.

157


Para los desplazamientos, Figura 5.20, y los giros, Figura 5.21, se muestran unicamen-te los resultados aproximados, mientras que para los momentos flectores y esfuerzoscortantes, Figuras 5.22 y 5.23, respectivamente, se tiene, ademas de los valores apro-ximados, los valores exactos de dichos esfuerzos ya que los mismos son conocidos deforma inmediata por tratarse de un problema isostaticos

elem.



w (mm) ψ (rad) w (mm) ψ (rad)

0 0 0 0 0

0,15 0,11553 0,00088809 0,11553 0,00088809

0,575 1,02257 0,00289481 1,02257 0,00289480

0,9 2,17819 0,00400947 2,17819 0,00400947

1,6 5,57125 0,00537764 5,57124 0,00537764

1,95 7,51942 0,00565697 7,51942 0,00565696

2,5 10,71180 0,00587335 10,71180 0,00587335

3,25 15,18070 0,00598634 15,18070 0,00598634

4 19,68350 0,00600221 19,68350 0,00600221

Tabla 5.7. Desplazamientos y giros en la viga empleando 8 elementos

elem.



ai (kNm2) ci (kN) ai (kNm2) ci (kN)

1 18817,6 52689,9 18818,6 52689,9

2 25778,2 60450,9 25778,2 60450,9

3 26564,8 204349 26564,8 204352

4 27034,6 995866 27034,6 995877

5 38467,9 1525870 38467,9 1525870

6 89956,8 1664140 89956,8 1664140

7 111844 1752500 111844 1752500

8 115186 1796750 115186 1796750

Tabla 5.8. Rigideces (ai y ci) y cargas y momentos puntuales ficticios (Mi y Pi) en la viga

Como se menciono anteriormente, la diferencia empleando 6 y 8 elementos finitos, esmınima, en el caso de los desplazamientos y giros. Sin embargo, para los momentos,existe una mayor diferencia, especialmente en el extremo libre. Esto se debe a que lalongitud en dicho extremo es grande, cuando se emplean 6 elementos.

Los momentos flectores y esfuerzos cortantes son iguales, en ambos casos, a los de lasolucion exacta (vease Figuras 5.22 y 5.23).

158


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

5

10

15

20

L (m)

Desplazamiento

(mm)

PLE 6 elem.PLE 8 elem.

Figura 5.20. Desplazamientos en toda la longitud de la viga

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

1

2

3

4

5

6

·10−3

L (m)

Giro(rad

) PLE 6 elem.PLE 8 elem.

Figura 5.21. Giros en toda la longitud de la viga

Cabe destacar que si suponemos que los diagrama originales momento-derivada de gi-ro y cortante-deformacion por cortante son las poligonales de la Figura 5.16 (en casode emplear 6 elementos), la solucion obtenida mediante el concepto de Pieza LinealEquivalente serıa exacta en los nodos (desplazamientos y giros), ya que empleamos so-lucion nodal exacta. Si ademas empleamos el concepto de accion repartida equivalente,desarrollado en el capıtulo 3, es posible obtener la solucion exacta en el interior de loselementos.

159

5.3. Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

50

100

150

200

L (m)

Mom

ento

(kN

.m)

Solucion exactaPLE 6 elem.PLE 8 elem.

Figura 5.22. Momentos flectores en toda la longitud de la viga

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40

25

50

75

100

L (m)

Cor

tante

(kN

)

Solucion exactaPLE 6 elem.PLE 8 elem.

Figura 5.23. Esfuerzos cortantes en toda la longitud de la viga

5.3 Pieza Lineal Equivalente de la viga-columna de Timoshenko

5.3.1 Formulacion del problema en regimen no lineal

El sistema de ecuaciones diferenciales de la viga-columna de Timoshenko, en regimenlineal deducida en el capıtulo 2, expresion (2.59) es:

− [K(w′ − ψ)]′ + Pw′′ = f(x)− (Hψ′)′ −K(w′ − ψ) = 0

(5.29)

160


donde H y K, como se menciono en el capıtulo 2, representan la rigidez a flexion y acortante respectivamente. Como se puede ver el sistema de ecuaciones diferenciales dela viga-columna de Timoshenko difiere del sistema de la viga en el termino Pw′′, (verexpresion (2.16)).

Para el caso no lineal, donde las relaciones momento-derivada de giro y cortante defor-macion por cortante, vienen dadas por leyes no lineales como las que se muestran en laFigura 5.1, es decir con M = Φ(ψ′) y Q = ϕ(γ), el sistema de ecuaciones diferencialesde la viga-columna de Timoshenko queda como sigue:

− [ϕ(γ)]′ + Pw′′ = f(x)− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(γ) = 0

(5.30)

El argumento γ de la funcion ϕ es γ = w′ − ψ y el sistema anterior se puede poner enla forma:

− [ϕ(w′ − ψ)]′ + Pw′′ = f(x)

− [Φ(ψ′)]′ − ϕ(w′ − ψ) = 0(5.31)

Para el caso no lineal, donde las relaciones momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, vienen dadas por una ley poligonal, es decir, Φ(ψ′) = aiψ

′+biy ϕ(γ) = ciγ + di (vease Figura 5.2), el sistema de ecuaciones diferenciales es:

− [ci(w′ − ψ) + di]

′ + Pw′′ = f(x)− [aiψ

′ + bi]′ − ci(w′ − ψ) + di = 0

(5.32)

Del mismo modo que en el caso de la viga, los terminos ai y ci representan respectiva-mente, la rigidez a flexion y la rigidez a cortante de la viga-columna en cada intervalo(que en el caso lineal se corresponden con H y K respectivamente).

Para las expresiones (5.29), (5.30) y (5.32) se define un problema de contorno de n,puntos xi = 1, ..., n, en el dominio formado por la union de los elementos [xi, xi+1] , i =1, ...n− 1.

La formulacion variacional del problema lineal, expresion (5.29) se obtiene, realizando

la ponderacion usual en el sistema original, con V =[v φ

]Ty tras el correspondiente

proceso de integracion por partes en el subintervalo generico [α, β] = [xi, xi+1], resulta:ˆ β

α

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =

ˆ β

α

f(x)v dx

+ [vα φα vβ φβ ]

−K(w′ − ψ) + Pw′|α+

−Hψ′|α+

K(w′ − ψ)− Pw′|β−

Hψ′|β−

(5.33)

El ultimo termino de la expresion anterior, que representa las cargas nodales de equi-librio, se pueden expresar tambien en la forma:

Hψ′′ + Pw′|α+

−Hψ′|α+

−Hψ′′ − Pw′|β−

Hψ′|β−

161


La formulacion variacional para el problema no lineal, siguiendo los pasos anterioreses:ˆ β

α

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)− Pw′v′

]dx =

ˆ β

αf(x)v dx


−ϕ(γ) + Pw′|α+

−Φ(ψ′)|α+

ϕ(γ)|β−Φ(ψ′)− Pw′|β−

(5.34)

De la misma manera, la formulacion variacional para el problema no lineal con leypoligonal, expresion (5.32), es:ˆ β

α


′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′]dx =

ˆ β

αf(x)v dx+

ˆ β

αdiφdx−

ˆ β

αbiφ′ dx

−ˆ β

αdiv′ dx+ [vα φα vβ φβ]

− [ci(w

′ − ψ) + di] + Pw′|α+

− (aiψ′ + bi)|α+

[ci(w′ − ψ) + di]− Pw′|β−


(5.35)

La expresion (5.35) representa la formulacion variacional de una viga-columna de Ti-moshenko en regimen no lineal, cuyos diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante se han aproximado por leyes poligonales (vease Figura 5.2).

Para obtener la solucion en todo el dominio xi, i = 1, ..., n, se siguen los mismos pasosque para el caso de la viga, obteniendose para el caso de regimen lineal lo siguiente:ˆ xn

x1

[Hψ′φ′ +K(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw‘v′] dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx

+

n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

−K(w′ − ψ) + Pw′|xi

+

−Hψ′|xi+

K(w′ − ψ)− Pw′|xi+1−

Hψ′|xi+1−

(5.36)

Para el problema no lineal se tiene:ˆ xn

x1

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx

+

n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

−ϕ(γ) + Pw′|xi

+

−Φ(ψ′)|xi+

ϕ(γ)− Pw′|xi+1−

Φ(ψ′)|xi+1−

(5.37)

Para el problema no lineal con ley poligonal:ˆ xn

x1

[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =

ˆ xn

x1

f(x)v dx

+

n−1∑i=1

[vi φi vi+1 φi+1]

− [ci(w

′ − ψ) + di] + Pw′|xi+

− (aiψ′ + bi)|xi

+

[ci(w′ − ψ) + di]− Pw′|xi+1

−

(aiψ′ + bi)|xi+1

−

+

ˆ xn

x1

D(x)φdx

+

[b1φ1 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)φi − bn−1φn]

+

[d1v1 +

n−1∑i=2

(di − di−1)vi − dn−1vn]

(5.38)

162


con A(x), C(x) y D(x) definidas en (5.21).

Del mismo modo que para la viga, los tres ultimos terminos del segundo miembro dela expresion anterior, representan unos momentos ficticios distribuidos a lo largo dela viga-columna, unos momentos puntuales ficticios y unas cargas puntuales ficticias,respectivamente. Los dos ultimos aplicados en los nodos de la viga-columna.

Para el caso de la viga-columna de Timoshenko en regimen no lineal con leyes poli-gonales (momento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante), el problemavariacional para el intervalo Ω = [0, L], y por ejemplo, para una pieza empotrada enun extremo (izquierdo), x = x1 = 0, y libre en otro (derecho), x = xn = L, sometida aun carga transversal distribuida f(x) y sin cargas puntuales en el interior del dominio,consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1


ˆ L

0

[A(x)ψ′φ′ + C(x)(w′ − ψ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =

ˆ L

0

f(x)v dx+

ˆ L

0

D(x)φdx+[b10 +

n−1∑i=2

(bi − bi−1)φi − 0φn

]+

[d10 +

n−1∑i=2

(di − di−1)vi − 0vn

], ∀(v, φ) ∈ H1

0 (Ω)xH10 (Ω)

(5.39)

donde v1 = φ1 = 0, al estar la viga-columna empotrada por el extremo izquierdo ybn = 0 y dn = 0 al ser respectivamente M(xn) = 0 y Q(xn) = 0. H1(Ω) es el espaciode Sobolev, H1(Ω) = g/g, g′ ∈ L2(Ω), y H1

0 (Ω) el formado por los elementos delespacio anterior que se anula en el extremo izquierdo del dominio, es decir, H1

0 (Ω) =g ∈ H1(Ω)/g(0) = 0.

Para el caso en regimen no lineal, con las mismas condiciones del problema anterior, elproblema variacional consiste en obtener (w,ψ) ∈ H1


ˆ L

0

[Φ(ψ′)φ′ + ϕ(γ)(v′ − φ)− Pw′v′] dx =

ˆ L

0

f(x)v dx, ∀(v, φ) ∈ H10 (Ω)xH1

0 (Ω)

(5.40)

La ecuacion de equilibrio de elementos finitos, para el elemento generico [α, β] =[xi, xi+1], empleando como funciones de aproximacion y de ponderacion funciones queson solucion del problema homogeneo (vease apartado 3.4.1), para la pieza con rigidezconstante a trozos es: Ke

w(α)ψ(α)w(β)ψ(β)

=

f e1f e2f e3f e4

+

qe1qe2qe3qe4

+

dibi−di−bi

(5.41)

donde los elementos de la matriz local Ke son:

kelm(ai, ci) =

ˆ β

α

[aiN′2lN

′2m + ci (N

′1l −N2l) (N ′1m −N2m)− PN ′1lN ′1m] dx

l,m = 1, ..., 4 (5.42)

con N1l, N2l, i = 1, ..., 4 funciones de forma que son las mismas que se muestran enel apartado 3.4.1, dadas por la expresion (3.61), con m = ai/ci. Las componentes delvector de cargas nodales de equivalente vienen dados por la expresion (5.26).

163


Las componentes del vector de cargas nodales de equilibrio son:

qe1 = − [ci(w′ − ψ) + di] + Pw′|α+

qe2 = − (aiψ′ + bi)|α+

qe3 = [ci(w′ − ψ) + di]− Pw′|β−

qe4 = (aiψ′ + bi)|β−

El ultimo termino de la expresion (5.41) da lugar, en la ecuacion de equilibrio globalresultante de ensamblar las ecuaciones locales, a los momentos puntuales ficticios y lascargas puntuales ficticias en los nodos de la viga. El momento distribuido ficticio, D(x),esta contemplado dentro del vector de cargas nodales equivalentes (vease expresion(5.26)).

Para el caso de la viga-columna no es posible conocer a priori las leyes de esfuerzos(momento y cortante) en la misma, debido a la presencia de la carga P , por lo tanto,para resolver el problema se emplea el metodo general, descrito en el apartado 5.2.3.Es decir, que en este caso, mediante el proceso de homotopıa se obtiene la Pieza LinealEquivalente. No ocurriendo, como el caso de los problemas isostaticos, donde a priorise puede determinar la Pieza Lineal Equivalente.

5.3.2 Ejemplo de aplicacion

Se analiza ahora una viga-columna en regimen no lineal, de longitud L = 4, 0 m em-potrada en su base y libre en el extremo superior, con las condiciones de carga ycaracterısticas geometricas que se muestran en la Figura 5.24. Los datos del materialson los mismos que para el caso de la viga y se pueden ver en la Tabla 5.2.

Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. En este caso los diagramasmomento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, varıan con respecto alos de la viga, ya que se ven influenciados por la presencia de la carga P , tal y como seindico en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4. Los mismos se pueden ver en las Figuras 5.25y 5.26.

Se discretiza la viga-columna en 6 elementos de diferente longitud, (vease Figura 5.24).En este caso no es posible conocer a priori los esfuerzos en la viga-columna (momentosflectores y esfuerzos cortante), por lo tanto, para resolver el problema se emplea elmetodo general (vease apartado 5.2.3).

164


Figura 5.24. Viga-columna en voladizo. Estado de carga, caracterısticas geometricas ydiscretizacion

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

60

120

180

240

300

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)


165


Del mismo modo que en el ejemplo anterior, se parte de leyes lineales tangentes en elorigen a los diagramas originales de momento-derivada de giro como para el cortante-deformacion por cortante, determinandose ası, unos valores de derivada de giro y de-formacion por cortante iniciales.

A partir de este primer calculo el proceso sigue con el paso de homotopıa λ = 0.5. Losvalores de λ para avanzar en la homotopıa son 0.70, 0.90 y 1, en ambas leyes.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

·10−4

0

40

80

120

160

200

γ (m/m)

Q(kN)


En las Tablas 5.9 y 6.16 se pueden ver los resultados del proceso de homotopıa seguido.En el paso de homotopıa 4 (ultima fila de las Tablas 5.9 y 6.16, en la que las relacionesM −ψ′ y Q− γ son las finales, correspondientes a λ = 1.0), el desplazamiento y el giroen el extremo libre se estabilizan, para la precision utilizada. Asimismo, las rigideces(a flexion y cortante) de cada uno de los elementos tambien se estabilizan.

La distribucion de las rigideces se muestran en las Figuras 5.27 y 5.28. Se observa unabuena aproximacion entre la ley poligonal resultante y la del problema original, en elcaso del diagrama momento-derivada de giro, Figura 5.27.

En cuanto al diagrama cortante-deformacion por cortante, Figura 5.28, este se mantienepracticamente en el tramo lineal, lo que origina que las rigideces a cortante, ası como,los giros en el extremo libre, se estabilicen con menos iteraciones, tal y como se reflejaen la Tabla 6.16.

La Pieza Lineal Equivalente del problema analizado queda finalmente como se muestraen la Figura 5.29, mientras que los desplazamientos, giros, momentos flectores y es-fuerzos cortantes, obtenidos aplicando el metodo general, se muestran en la Figura 5.30.

166


Hom

ot.

iter.

w7mm

sc1

a1(kNm

2)

a2

a3

a4

a5

a6

M2(kN

)M

3M

4M

5M

6

lin

eal

-9,

665

0,00

2355

3212

4328

124328

124328

124328

124328

124328

0,0

00,0

00,0

00,0

00,0

0

1(λ

=0.

5)1

11,5

890,

0031

5931

7746

1,2

78732,1

086609,3

103066

122721

124147

-1,9

9-1

3,2

9-2

7,7

4-5

,83

-0,2

23

11,6

290,

0031

6336

7697

2,7

77362,4

82454,6

110900

122662

124144

-1,1

2-1

0,0

2-3

1,7

1-7

,23

-0,2

4

2(λ

=0.

7)1

13,2

710,

0038

6321

5803

0,5

58575,7

65702,6

105528

121995

124070

-1,5

7-1

4,0

3-4

4,3

9-1

0,1

3-0

,33

313

,303

0,00

3865

3458

156,

563232

103422

121941

124066

124066

-1,1

1-1

1,5

4-4

6,5

8-1

1,5

1-0

,34

3(λ

=0.

9)1

16,5

720,

0052

7506

3884

0,4

39250

45773,4

97448

121259

123991

-1,4

3-1

4,8

4-5

9,8

9-1

4,8

0-0

,44

316

,671

0,00

5288

9638

338,

738780,3

42619,9

92808,5

121138

123982

-2,0

9-1

1,1

1-6

1,9

7-1

7,9

2-0

,47

4(λ

=1.

0)

120

,036

0,00

6741

8228

784,

329274,6

33537.3

89300

120782

123943

-2,3

2-1

2,3

4-6

8,8

5-1

9,9

2-0

,53

320

,233

0,00

7008

5021

632

28730,2

31859

84540,1

120652

123932

-42,7

9-1

1,0

7-6

8,8

9-2

3,2

1-0

,56

720

,258

0,00

7087

8220

028,

528730,1

34854,5

84507,1

120649

123932

-52,4

5-1

1,0

6-6

8,8

7-2

3,2

3-0

,56

1020

,260

0,00

7094

8019

898,

128730

31854,2

84505,1

120649

123932

-53,2

3-1

1,0

6-6

8,8

7-2

3,2

3-0

,56

1120

,261

0,00

7095

4819

885,

628730

31854,2

84504,2

120649

123932

-53,3

1-1

1,0

6-6

8,8

7-2

3,2

3-0

,56

Ta

bla

5.9

.R

esu

ltad

os

del

pro

ceso

de

hom

otop

ıad

ela

vig

a-co

lum

na,

rigi

dez

afl

exio

ny

mom

ento

pu

ntu

alfi

ctic

io

Hom

ot.

iter.

ψ7

g 1c 1

(kN

)c 2

c 3c 4

c 5c 6

P2

P3

P4

P5

P6

P7

lin

eal

-0,

0031

820,

0000

7805

1845

560

1845560

1845560

1845560

1845560

1845560

00

00

00

1(λ

=0.

5)1

0,00

3736

0,00

0078

9217

5667

01788590

1817180

1831110

1839220

1844000

-2,4

0-1

,85

-0,7

3-0

,32

-0,1

0-0

,001

30,

0037

490,

0000

7893

1750

980

1786050

1816490

1830890

1839140

1843980

-2,6

6-1

,99

-0,7

6-0

,33

-0,1

0-0

,002

2(λ

=0.

7)1

0,00

4219

0,00

0079

3117

1314

01762240

1808460

1825020

1836580

1843310

-3,7

3-2

,78

-1,0

6-0

,46

-0,1

4-0

,002

30,

0042

290,

0000

7931

1709

420

1760490

1804310

1824820

1836500

1843310

-3,9

0-2

,87

-1,0

8-0

,47

-0,1

4-0

,002

3(λ

=0.

9)1

0,00

5161

0,00

0079

7116

7053

01736180

1792520

1818890

1833910

1842670

-5,0

1-3

,69

-1,3

9-0

,60

-0,1

8-0

,003

30,

0051

930,

0000

7972

1665

130

1733330

1791440

1848450

1833730

1842590

-5,2

3-3

,82

-1,4

4-0

,62

-0,1

8-0

,004

4(λ

=1.

0)

10,

0061

520,

0000

7991

1645

080

1720860

1785430

1815440

1832410

1842260

-5,8

1-4

,25

-1,6

0-0

,69

-0,2

1-0

,004

30,

0062

090,

0000

7993

1641

600

1718590

1784370

1814960

1832200

1842160

-5,9

2-4

,35

-1,6

4-0

,70

-0,2

1-0

,005

70,

0062

160,

0000

7993

1641

580

1718560

1784360

1814950

1832200

1824160

-5,9

2-4

,35

-1,6

4-0

,70

-0,2

1-0

,005

100,

0062

160,

0000

7993

1641

580

1718560

1784360

1814950

1832200

1824160

-5,9

2-4

,35

-1,6

4-0

,70

-0,2

1-0

,005

110,

0062

160,

0000

7993

1641

580

1718560

1784360

1814950

1832200

1824160

-5,9

2-4

,35

-1,6

4-0

,70

-0,2

1-0

,005

Ta

bla

5.1

0.R

esu

ltad

os

del

pro

ceso

de

hom

otop

ıad

ela

vig

a-co

lum

na,

rigi

dez

aco

rtan

tey

carg

ap

untu

alfi

ctic

ia,P

(kN

)

167


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

·10−2

0

60

120

180

240

300

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)

M(ψ′)Elem. 1

Elem. 2

Elem. 3

Elem. 4

Elem. 5

Elem. 6

Figura 5.27. Rigidez a flexion de cada elemento

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5

·10−4

0

40

80

120

160

200

γ (m/m)

Q(kN)

Q(γ)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

Figura 5.28. Rigidez a cortante de cada elemento

168


Figura 5.29. Pieza Lineal Equivalente para la viga-columna

169


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

05101520

L(m

)

Desplazamiento (mm)

(a)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

01,42,84,25,67

·10−3

L(m

)

Giro (rad)

(b)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

060120180240300

L(m

)

Momento (kN.m)

(c)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0306090120150

L(m

)

Cortante (kN)

(d)

Figura 5.30. Resultados obtenidos: (a) desplazamientos, (b) giros, (c) momentos flectores y(d) esfuerzos cortantes, en toda la viga-columna


En el presente capıtulo se ha aplicado el concepto de Pieza Lineal Equivalente, pararesolver el problema de la viga y viga-columna de Timoshenko en regimen no lineal. Labase del metodo consiste en suponer que las leyes de esfuerzos de la seccion, momento-

170


derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, se pueden aproximar, tanto comose desee por leyes poligonales. Dichas leyes estan formadas n segmentos, con n tangrande como se quiera.

Para el caso de la viga y viga-columna de Timoshenko, se tiene que la solucion delproblema en regimen no lineal, es equivalente a la de una pieza en regimen lineal, quedenominamos Pieza Lineal Equivalente, cuyas rigideces (a flexion y cortante) varıanpor tramos, y donde ademas hay que aplicar en los nodos unas cargas y momentos pun-tuales ficticios, ası como, un momento distribuido ficticio a lo largo de toda la pieza.Dichas acciones ficticias se originan de manera natural, al establecer en el modelo ma-tematico, leyes constitutivas para el momento-derivada de giro y cortante-deformacionpor cortante, de tipo poligonal.

Se han desarrollado, para el caso de la viga, dos metodologıas. Una correspondientea problemas isostaticos y otra que denominamos general, que puede aplicarse tanto aproblemas isostaticos como hiperestaticos. Sin embargo, para la viga-columna se aplicaunicamente la metodologıa general al no conocer a priori las leyes de esfuerzos.

Se han realizado dos ejemplos de aplicacion, uno para la viga y otro para la viga-columna, con el fin de exponer con cierto grado de detalle, los pasos que se siguen enlas dos metodologıas construidas.

171

CAPITULO 6

Validacion y alcance de la metodologıa

6.1 Introduccion

En el presente capıtulo se analizan cinco casos con el fin de ver la validez y el alcancede la metodologıa. Para ello, se contrastan los resultados obtenidos mediante el concep-to de Pieza Lineal Equivalente, con los valores tanto experimentales como numericosobtenidos por otros autores, para elementos viga de hormigon estructural. Asimismo,se realiza un analisis de la carga lımite en una viga-columna de hormigon estructural.

En los tres primeros ejemplos se estudian vigas de hormigon estructural analizadasexperimentalmente mediante ensayos de flexion en tres puntos. En el cuarto ejemplose analiza una viga de hormigon de ultra alta resistencia reforzado con fibras de ace-ro (HFRUAR) ensayada a flexion en cuatro puntos. Mientras que el quinto se haceun analisis de la carga lımite de un pilar o viga-columna de hormigon estructural,empotrado en su base y libre en el extremo.

Finalmente, en el ultimo apartado se hace un resumen y se destacan las conclusionesmas relevantes de este capıtulo.

6.2 Ejemplo 1

Se analiza una viga de hormigon estructural sometida a flexion en tres puntos. Se haseleccionado aleatoriamente una de las 12 vigas ensayadas por Bresler y Scordelis en1963, con el fin de investigar el comportamiento crıtico a cortante del hormigon estruc-tural [Bresler y Scordelis, 1963; Vecchio, 2000; Vecchio y Shim, 2004; Stramandinoli,2007]. Estas vigas son consideradas ejemplos clasicos de la literatura y son utilizadashabitualmente como referencias para validar y calibrar los modelos que tienen en cuen-ta la deformacion por cortante [Vecchio, 2000; Vecchio y Shim, 2004; Stramandinoli,2007].

La viga escogida es la denominada por estos autores como A1. Los detalles de armado,dimensiones y caracterısticas del material son los que se recogen en la Figura 6.1 y laTabla 6.1, respectivamente.

173

6.2. Ejemplo 1

Figura 6.1. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Vecchio, 2000]


Ec = 24552, 2∗ Es = 201000 (12,7 mm) Es = 190000fc = 24, 1 Es = 218000 (28,7 mm) fy = 325fct = 1, 92 fy = 345, fu = 542 (12,7mm) fu = 430

fy = 555, fu = 933 (28,7 mm)∗ calculado segun la EHE

Tabla 6.1. Caracterısticas del material. Tomado de [Stramandinoli, 2007]

Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivadade giro y cortante-deformacion por cortante, necesarios para aplicar el concepto dePieza Lineal Equivalente, son los modelos teoricos utilizados en uno de estos trabajos:Hognestad para el hormigon y el diagrama bilineal para el acero [Stramandinoli, 2007].Cabe indicar que [Vecchio, 2000] utiliza un diagrama para el hormigon obtenido expe-rimentalmente y que ambos autores utilizan para el calculo una seccion de hormigondiscretizada en fibras, y por tanto integran directamente dentro del proceso de analisisno lineal general de la pieza los diagramas constitutivos del material.

Para la obtencion de los diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacionpor cortante se han seguido los procedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y2.3.2.4, utilizando para el diagrama cortarte-deformacion por cortante los datos de lasTabla 6.2 y 6.3, aunque a diferencia de estos autores, se ha utilizado una aproximacionmediante ramas de hiperbola en las transiciones del diagrama trilineal. Los diagramascorrespondiente son los que se muestran en las Figuras 6.2 y 6.3.

174

Capıtulo 6. Validacion y alcance de la metodologıa

Ls (mm) k d− d′ (mm) θ s (mm) κ λ λ1 λ2 λ3

1830 0,29 445 45o 210 0 1,395 1 2,5 10,076

Tabla 6.2. Valores empleados para calcular del diagrama cortante-deformacion por cortante

Vcr (kN) γcr Vu0 (kN) γst Vu0 (kN) γu80,28 0,00005504 237,46 0.00253486 237,46 0.0638540

Tabla 6.3. Valores caracterısticos del diagrama cortante- deformacion por cortante

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

·10−2

0

100

200

300

400

500

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

·10−3

0

50

100

150

200

250

γ (m/m)

Q(kN)


175

6.2. Ejemplo 1

En relacion con el calculo de la Pieza Lineal Equivalente, cabe indicar que por simetrıase analiza solo la mitad de la viga. Dicha mitad se ha discretizado en 6 elementos dediferente longitud, con el fin de ajustar mejor la ley poligonal, como se muestra en laFigura 6.4.

2 4 5 631

1 2 3 4 5 6 7

305 305 305 381,25 381,25

1830152,5

Figura 6.4. Discretizacion de la viga. Dimensiones en mm

La Pieza Lineal Equivalente y la variacion de las rigideces a flexion de cada elementopara el estado de carga P = Pu, se muestran en las Figuras 6.5 y 6.6, respectivamente.Mientras que los resultados obtenidos para el diagrama carga-desplazamiento en elcentro de la viga, ası como los: desplazamientos, giros, momentos y esfuerzos cortantesen toda la viga (tanto para el modelo de Timoshenko como el de Bernoulli-Euler) sonlos que se indican en las Figuras 6.7-6.11 y en la Tabla 6.4. Para este caso en particularno se ha representado la variacion de las rigideces a cortante de cada elemento, yaque la misma no varia a lo largo de la pieza y por dicho motivo no aparecen cargaspuntuales ficticias en la Pieza Lineal Equivalente (Figuras 6.5).

Figura 6.5. Pieza Lineal Equivalente para Pu = 474 kN

176


Como puede verse en la Figura 6.6 existe una buena aproximacion entre la ley poligonalresultante y la del problema original. Lo que muestra que la discretizacion realizadaresulta suficiente y adecuada.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)

M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

Figura 6.6. Variacion de la rigidez a flexion para Pu = 474 kN

Como se puede ver en la Figura 6.7 existe una muy buena aproximacion entre los re-sultados obtenidos por el metodo de la Pieza Lineal Equivalente y los experimentales(tanto a nivel cualitativo como cuantitativo) cuando se emplea el modelo de Timoshen-ko. No sucediendo lo mismo cuando se emplea el modelo de Bernoulli-Euler. Mientrasque con ambos modelos se obtienen valores similares de la carga ultima (la diferenciaentre el modelo de Timoshenko y el experimental es del 1,25 % y del 3,41 % para el deBernoulli-Euler), solo el modelo de Timoshenko captura mejor el mecanismo de fallo,cuando este se produce por cortante-compresion (fallo en la zona de compresion) [Bres-ler y Scordelis, 1963]. Si bien con el modelo de Timoshenko se obtienen desplazamientosligeramente superiores a los experimentales (9,15 %).

Cabe indicar, asimismo, que los resultados obtenidos por la Pieza Lineal Equivalente yel modelo de Timoshenko son mas proximos en terminos de carga y desplazamientos,a los resultados presentados por [Vecchio, 2000] (superiores para la carga en 0,42 % y1,93 % para el desplazamiento) que a los presentados por [Stramandinoli, 2007] (infe-riores para la carga en 18,22 % y 18,71 % para el desplazamiento). De estos resultadosse deduce que el modelo de [Vecchio, 2000] y el de la Pieza Lineal Equivalente capturanmejor el mecanismo de fallo y el valor de carga ultima que el de [Stramandinoli, 2007].

Los resultados de la Figura 6.8 confirman los valores obtenidos para carga ultimay desplazamiento en el centro de la pieza (Figura 6.7), ya que los desplazamientosen toda la pieza, resultan mayores cuando se emplea el modelo de Timoshenko quecuando se emplea el modelo de Bernoulli-Euler. En el caso de los giros, Figura 6.9,los resultados son similares para ambos modelos. Para los momentos, Figura 6.10 yesfuerzos cortantes, Figura 6.11, se obtienen, como cabe esperar, los mismos resultadoscon ambos modelos, ya que se trata de un problema isostatico.

177

6.2. Ejemplo 1

0 2 4 6 8 10 12 14 160

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

δ (mm)

P(kN)

ExperimentalPLE TimshenkoPLE Bernoulli-EulerVecchioStramandinoli

Figura 6.7. Curva carga-desplazamiento en el centro de la viga

Carga ultima Pu (kN) Desplazamiento δ(mm)

Experimental 468∗ 14,2∗

PLE Timoshenko 474 15,50PLE Bernoulli-Euler 484 9,54[Vecchio, 2000] 472 15,8[Stramandinoli, 2007] 386 12,6∗ extraido de [Vecchio y Shim, 2004]

Tabla 6.4. Comparacion de resultados experimentales con los calculados

0 610 1220 1830 2440 3050 3660

0

−3

−6

−9

−12

−15

−18

L (mm)

Desplazamiento

(mm)

Bernoulli-EulerTimoshenko

Figura 6.8. Desplazamientos en la viga

178


0 610 1220 1830 2440 3050 3660−7,2

−4,8

−2,4

0

2,4

4,8

7,2·10−3

L (mm)

Giro(rad

)

Bernoulli-EulerTimoshenko

Figura 6.9. Giros en la viga

0 610 1220 1830 2440 3050 36600

75

150

225

300

375

450

L (mm)

Mom

ento

(kN

.m)

Solucion exactaBernoulli-EulerTimoshenko

Figura 6.10. Momentos flectores en la viga

0 610 1220 1830 2440 3050 3660−300

−200

−100

0

100

200

300

L (mm)

Cor

tante

(kN

)

Solucion exactaBernoulli-EulerTimoshenko

Figura 6.11. Esfuerzos cortantes en la viga

179

6.3. Ejemplo 2

6.3 Ejemplo 2

Se analiza una viga de hormigon estructural sometida a flexion en tres puntos. La vigaseleccionada es una de las 12 vigas ensayadas por Vecchio y Shim en 2004, con el finde reproducir los resultados de los ensayos de las vigas de Bresler-Scordelis [Vecchio yShim, 2004; Mohr et al., 2010]. Dicha viga es la denominada por estos autores comoBS-A1, los detalles de armado, dimensiones y caracterısticas del material son los quese muestran en la Figura 6.12 y la Tabla 6.5.

Figura 6.12. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Vecchio y Shim, 2004]


Ec = 24031.9∗ Es = 200000 (11,3 mm) Es = 200000fc = 22, 6 Es = 222000 (25,2 mm) fy = 600fct = 1, 56∗∗ Es = 200000 (29,9 mm)

fy = 315 (11,3 mm)fy = 445 (25,2 mm)fy = 436 (29,9 mm)

∗ calculado segun la EHE∗∗ tomado de [Mohr et al., 2010]

Tabla 6.5. Caracterısticas del material. Tomado de [Vecchio y Shim, 2004]

Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los modelos teoricos utilizados en uno deestos trabajos: la propuesta en el Eurocodigo 2 para el hormigon y el diagrama bilinealpara el acero [Mohr et al., 2010]. Cabe indicar que [Vecchio y Shim, 2004] utiliza un

180


diagrama para el hormigon obtenido experimentalmente y que ambos autores utilizanpara el calculo una seccion de hormigon discretizada en fibras.

Para la obtencion de los diagramas momento-derivada de giro y cortarte-deformacionpor cortante se han seguido los procedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y2.3.2.4, y los mismos se muestran en las Figuras 6.13 y 6.14.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

·10−2

0

100

200

300

400

500

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)


0 1 2 3 4 5 6

·10−3

0

50

100

150

200

250

300

γ (m/m)

Q(kN)


Del mismo modo que en el ejemplo anterior y en relacion con el calculo aplicandoel concepto de Pieza Lineal Equivalente, se analiza, por simetrıa, solo la mitad de la

181

6.3. Ejemplo 2

viga, discretizandose dicha mitad en 6 elementos de diferente longitud. Los resultadosobtenidos para el diagrama carga-desplazamiento en el centro de la viga, empleando elmodelo de Timoshenko, se indican en la Figura 6.15 y en la Tabla 6.6.

Como se puede ver en la Figura 6.15 existe una buena aproximacion entre los resultadosobtenidos por el metodo de la Pieza Lineal Equivalente para el modelo de Timoshenko,y los experimentales. El valor de la carga ultima es practicamente igual, sin embargoel desplazamiento es menor en un 17 %.

Cabe indicar asimismo, que los resultados obtenidos son mas proximos a los experi-mentales, en terminos de carga y desplazamientos, que a los presentados en [Vecchio yShim, 2004] (superiores para la carga en 3,36 % e inferiores para el desplazamiento en8,04 %). Los resultados presentados por [Mohr et al., 2010] son los que mejor se ajustaa los resultados experimentales.

0 5 10 15 20 250

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

δ (mm)

P(kN)

ExperimentalPieza lineal equivalenteVecchio y ShimMohr et al.


Carga ultima Pu (kN) Desplazamiento δ (mm)

Experimental 459 18,8Pieza Lineal Equivalente 460,5 15,55[Vecchio y Shim, 2004] 476 14,3[Mohr et al., 2010] 457,20∗ 25,85∗∗ estimado de la curva carga-desplazamiento de [Mohr et al., 2010]


182


6.4 Ejemplo 3

Se analiza una viga de hormigon estructural sometida a flexion en tres puntos. Laviga seleccionada es una de las 7 vigas ensayadas por [Lee et al., 2011], dicha vigaes la denominada por el autor como S2-3.0. Los detalles de armado, dimensiones ycaracterısticas del material son los que se muestran en la Figura 6.16 y la Tabla 6.7.En este caso la viga seleccionada es mas corta que las analizadas anteriormente, por loque la influencia de la deformacion por cortante sera mayor.

Figura 6.16. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Lee et al., 2011]


Ec = 28323, 9∗ Es = 200000 Es = 200000fc = 37, 0 fy = 402 fy = 357, 8fct = 1, 92

∗ calculado segun la EHE

Tabla 6.7. Caracterısticas del material. Tomado de [Lee et al., 2011]

Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. Para la obtencion de los diagra-mas momento-derivada de giro y cortarte-deformacion por cortante se han seguido losprocedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4, y los mismos se muestranen las Figuras 6.17 y 6.18 respectivamente.

Para llevar a cabo los calculos, se analiza por simetrıa, solo la mitad de la viga, discre-tizandose dicha mitad en 6 elementos de diferente longitud. Los resultados obtenidos

183

6.4. Ejemplo 3

para el diagrama carga-desplazamiento en el centro de la viga, empleando el modelode Timoshenko, se indica en la Figura 6.19.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

·10−2

0

50

100

150

200

250

300

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)


0 1 2 3 4 5 6

·10−3

0

25

50

75

100

125

150

γ (m/m)

Q(kN)


Se puede ver en la Figura 6.19 que el resultado obtenido es muy parecido al experimentalhasta la carga de rotura. La carga obtenida es de aproximadamente Pu = 288kN con undesplazamiento en el centro de la viga de δ = 5, 27mm, mientras que la carga obtenidaexperimentalmente es de aproximadamente Pu = 280kN con un deplazamiento deδ = 5, 6mm (estimados de la curva carga-desplazamiento de [Lee et al., 2011]).

184


0 2 4 6 8 10 120

50

100

150

200

250

300

δ (mm)

P(kN)

ExperimentalPieza lineal equivalente


6.5 Ejemplo 4

En este caso analiza una viga de hormigon de ultra alta resistencia reforzado con fibrasde acero (HFRUAR) ensayada a flexion en cuatro puntos. La viga a analizar es unade los 7 tipos vigas ensayadas por [Yang et al., 2012]. Por cada tipo de viga se hanensayado dos especımenes, la viga escogida es la denominada por el autor como NR1-2. Los detalles de armado, dimensiones y caracterısticas del material son los que serecogen en la Figura 6.20 y la Tabla 6.8, respectivamente.

Figura 6.20. Caracterısticas geometricas de la viga. Todas las dimensiones en mm. Adaptadode [Yang et al., 2012]

Ec (MPa) fc (MPa) ft (MPa) ε03 lf (mm)

46818 196,7 13 0,00195 13mm

Tabla 6.8. Caracterısticas del material. Tomado de [Yang et al., 2012]

Como se puede ver, estas vigas no llevan refuerzo longitudinal ni transversal. Las leyesempleadas para el comportamiento del hormigon, tanto a compresion como a traccion,

185

6.5. Ejemplo 4

son las mismas que emplea [Yang et al., 2012], quien sigue la recomendacion francesa[AFGC-Setra, 2004], y las mismas se pueden ver en la Figura 6.21.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

·10−3

0

25

50

75

100

125

150

ε

σ(M

Pa)

(a)

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1

·10−3

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

ε

σ(M

Pa)

(b)

Figura 6.21. Diagrama tension-deformacion del HRFUAR: (a) compresion y (b) traccion

El diagrama momento-derivada de giro se obtiene siguiendo lo expuesto en el apartado2.3.2.3, considerando que el hormigon trabaja a traccion hasta que se empieza a pro-pagar la fisura, es decir hasta alcanzar el valor de deformacion ε03. Dicho diagrama sepuede ver en la Figura 6.22.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

12

24

36

48

60

72

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)


La viga ensayada, al ser relativamente esbelta, falla por flexion, manteniendose el cor-tante dentro de la rama elastica, es decir la viga falla antes de alcanzar el valor deVcr, por tanto para el calculo del diagrama carga-desplazamiento, se emplea el cortantelineal tal como se muestra en la Figura 6.23.

186


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

·10−4

0

20

40

60

80

100

120

γ (m/m)

Q(kN)


En relacion con el calculo de la Pieza Lineal Equivalente, cabe indicar que por simetrıase analiza solo la mitad de la viga. Dicha mitad se ha discretizado en 6 elementos dediferente longitud. Los resultados obtenidos para el diagrama carga-desplazamiento enel centro de la viga, empleando el modelo de Timoshenko, se indica en la Figura 6.24y en la Tabla 6.9.

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 200

25

50

75

100

125

150

δ (mm)

P(kN)

Experimental NR-1Experimental NR-2Pieza lineal equivalente


Aunque las caracterısticas, tanto geometricas como del material, son las mismas, losresultados experimentales obtenidos difieren, tal como se puede ver en la Figura 6.23,ası como en la Tabla 6.9.

187

6.6. Ejemplo 5

Como se puede ver en la Figura 6.24 existe una muy buena aproximacion entre losresultados obtenidos por el metodo de la Pieza Lineal Equivalente y los experimentalesobtenidos para la viga NR-1 (tanto a nivel cualitativo como cuantitativo). La cargaultima es ligeramente inferior en un 1,47 % y el desplazamiento ligeramente inferior enun 5,50 %.

Si comparamos los resultados con los obtenidos para la viga NR-2, se observan diferen-cias superiores, tanto en la carga ultima como en el desplazamiento, la diferencia es de7,34 % y 29,81 % respectivamente.

Carga ultima Pu (kN) Desplazamiento δ (mm)

Experimental NR-1 121,7 10Experimental NR-2 129,5 15,03Pieza Lineal Equivalente 120 10,55


6.6 Ejemplo 5

En este ejemplo se hace un analisis de la carga lımite de un pilar o viga-columna dehormigon estructural, empotrado en su base y libre en el extremo. Los detalles dearmado, dimensiones y caracterısticas del material son los que se recogen en la Figura6.25 y la Tabla 6.15, respectivamente.

Figura 6.25. Caracterısticas geometricas, estado de carga y discretizacion del pilar

188



Ec = 35600fc = 49, 9 Es = 200000 Es = 200000fsp = 3, 6 fy = 5000 fy = 530fct = 2, 88

Tabla 6.10. Caracterısticas del material.Tomado de [Mohr et al., 2010]

Los modelos constitutivos empleados para obtener los diagramas momento-derivada degiro y cortante-deformacion por cortante, son los propuestos por la EHE, parabola-rectangulo para el hormigon y el bilineal para el acero. Para la obtencion de los diagra-mas momento-derivada de giro y cortarte-deformacion por cortante se han seguido losprocedimientos descritos en los apartados 2.3.2.3 y 2.3.2.4, y los mismos se muestranen las Figuras 6.26 y 6.27 respectivamente.

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)


Para llevar a cabo los calculos, se discretiza el pilar en 6 elementos finitos de diferentelongitud, con el fin de ajustar mejor las leyes poligonales, como se muestra en la Figura6.25.

Para determinar la carga lımite se va aumentando progresivamente la carga hasta quese observa inestabilidad en los resultados, no obstante posteriormente se determinanlos autovalores de la matriz de rigidez para ver como de proxima esta de una matrizsingular. La inestabilidad en el proceso de calculo se aprecia cuando aparecen signosde la derivada de giro que no se corresponde con la deformada de la pieza, apareciendoasimismo cambios bruscos de la tendencia de los valores de desplazamiento.

El calculo se ha llevado a cabo partiendo de un caso lineal en la que todos los elementos

189

6.6. Ejemplo 5

tienen una rigidez a flexion de 268925 kNm2 y una rigidez a cortante de 2370540 kN,que se corresponden con la pendiente en el origen de la recta tangente de las leyesmomento-derivada de giro y cortante-deformacion por cortante, Figuras 6.26 y 6.27respectivamente. Para el caso homogeneo, es decir, carga horizontal nula y considerandouna valor de H = 268925 y K = 2370540, el valor de carga lımite de Euler es PcrE =26541, 83 kN y la de Timoshenko PcrT = 26247, 95 kN

0 1 2 3 4 5 6

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN)


En las Tablas 6.15-?? se recoge la tendencia de los resultados para valores de cargaproximos a la carga lımite. A partir del primer calculo con ley lineal, el proceso siguecon el paso correspondiente al paso de homotopıa λ = 0.50. Los valores de λ paraavanzar en la homotopıa son 0.70, 0.80, 0.90 y 1.0. En cada paso de homotopıa seindica solamente la primera iteracion (iterac-1) y la ultima (iterac-5), excepto paraλ = 1.0, donde se han realizado 15 iteraciones.

La variacion de las rigideces a flexion y a cortante de cada elemento para la carga lımitese muestran en las Figuras 6.28 y 6.29 respectivamente. Mientras que los resultadosobtenidos para el diagrama carga axial-desplazamiento en el extremo libre, ası comolos: desplazamientos, giros, momentos y esfuerzos cortantes en toda la viga columna(al alcanzar la carga lımite) son los que se indican en las Figuras 6.30, 6.31 y 6.32.

Como puede verse en la Figura 6.28 existe una buena aproximacion entre la ley poligo-nal resultante y la del problema original. Lo que muestra que la discretizacion realizadaresulta suficiente y adecuada. Asimismo, se puede comprobar que el pilar falla por ines-tabilidad antes de alcanzar la resistencia maxima de la seccion. Por otra parte, en laFigura 6.29 se puede ver la variacion de las rigideces a cortante. En este caso, el es-fuerzo cortante en toda la pieza se encuentra situado en el tramo lineal.

Asimismo, se ha hace un analisis de como varıa la carga lımite, al ir cambiando lamagnitud de la carga horizontal f . En la Figura 6.33 se pueden ver las curvas cargaaxil-desplazamiento para distintos valores de carga horizontal. Para valores de carga

190


horizontal pequenos, la carga lımite es mayor.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

)

M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

Figura 6.28. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN)

Q(γ)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

Figura 6.29. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite

En la Figura 6.34 se puede ver la rigidez a flexion de cada uno de los elementos, parael valor de carga lımite y diferentes valores de carga horizontal. En todos los casos elfallo de la pieza se produce por inestabilidad y no por agotamiento de la seccion.

Adicionalmente, en la Figura 6.35 se puede ver la rigidez a cortante de cada uno delos elementos, para el valor de carga lımite y diferentes valores de carga horizontal. Entodos los casos se observa que la rigidez a cortante, se mantiene practicamente en eltramo lineal.

191

6.6. Ejemplo 5

Hom

o.

iter.

w7 m

msc

1a1 (K

Nm

2)a2

a3

a4

a5

a6

M2

M3

M4

M5

M6

lineal

-5.7

720.00

0832

43

268

925

268925

268925

268925

268925

2689250

00

00

1(λ=

0.5)

17.4

170.00

1157

19

172

714

175743

189724

226483

258345

267535-2.31

-8.00-14.86

-8.37-0.82

57.4

750.00

1162

25

170

665

171821

178395

210167

254871

267267-1.22

-4.92-15.50

-13.33-1.27

2(λ=

0.7)

19.1

950.00

1482

14

131

361

132979

142182

186664

249249

266604-1.70

-6.89-21.70

-18.66-1.78

59.2

600.00

1486

81

130

537

131316

135791

167218

242857

266180-1.05

-4.20-18.39

-25.39-2.72

3(λ=

0.9)

114.21

70.00

2313

56

90997.4

91998.9

97752.5

138158

235409

265396-1.34

-5.40-23.65

-32.65-3.49

514.84

20.00

2362

24

90228.7

90470.3

91578.2

100531

192771

263281-0.52

-1.71-8.66

-45.60-11.38

5(λ=

1.0)

127.69

80.00

4072

45

70373.5

70641.9

71872.9

81818

184300

262654-0.58

-1.90-9.62

-50.66-12.64

534.57

10.00

4733

12

66883

68381.2

69996.6

70474.9

81739.9

238259-6.66

-5.71-1.24

-18.43-56.69

10

34.593

0.004735

16

66873.7

68376.9

69994

70473.1

81800.7

238535-6.68

-5.72-1.24

-18.58-56.55

14

34.592

0.004735

10

66873.7

68376.7

69993.9

70473

81795.2

238520-6.68

-5.72-1.24

-18.57-56.56

15

34.592

0.004735

09

66873.3

68376.7

69993.9

70473

81794.3

238518-6.68

-5.72-1.24

-18.57-56.56

Ta

bla

6.1

1.R

esulta

dos

del

pro

cesod

eh

omotop

ıad

elp

ilar,rigid

eza

flex

iony

mom

ento

pu

ntu

alfi

cticio.P

=6300

Hom

ot.

iter.

ψ7

g1

c1 (k

N)

c2

c3

c4

c5

c6

P2

P3

P4

P5

P6

P7

linea

l-

0.0

0157

03

0.0000317

2370

540

2370540

2370540

2370540

2370540

23705400

00

00

0

1(λ=

0.5)

10.0

0198

54

0.0000322

2267

010

2287040

2311450

2329990

2347400

2361530-0.61

-0.67-0.43

-0.34-0.17

-0.0305

0.0

0027

69

0.0000322

2261

310

2280370

2305240

2325250

2344400

2359820-0.60

-0.70-0.49

-0.39-0.20

-0.044

2(λ=

0.7)

10.0

0035

27

0.0000324

2217

620

2244300

2279120

2307140

2333940

2355540-0.84

-0.98-0.69

-0.55-0.28

-0.0615

0.0

0035

38

0.0000324

2213

050

2236520

2270290

2299880

2329200

2352820-0.74

-0.98-0.76

-0.64-0.34

-0.087

3(λ=

0.9)

10.0

0373

19

0.0000326

2168

050

2198230

2241650

2279700

2317390

2347760-0.96

-1.26-0.98

-0.852-0.44

-0.1125

0.0

0392

16

0.0000326

2157

600

2170450

2202720

2244290

2293430

2334160-0.42

-1.01-1.20

-1.25-0.75

-0.278

4(λ=

1.0)

10.0

0098

43

0.0000327

2133

940

2148220

2184070

2230270

2284860

2330120-0.46

-1.22-1.33

-1.39-0.83

-0.3085

0.0

0947

67

0.0000327

2109

110

2023190

1910730

1886100

2014140

21869602.95

4.290.98

-5.01-5.82

-3.64310

0.0

0948

35

0.0000327

2109

090

2023000

1910120

1885070

2013350

21866802.96

4.311.00

-5.03-5.84

-3.65114

0.0

0948

33

0.0000237

2109

090

2022990

1910100

1885040

2013320

21866602.96

4.311.00

-5.03-5.84

-3.65115

0.0

0948

32

0.0000327

2109

090

2022990

1910090

1885030

2013310

21866502.96

4.311.00

-5.03-5.84

-3.651

Ta

bla

6.1

2.R

esulta

dos

del

pro

cesod

eh

omotop

ıad

elp

ilar,rigid

eza

cortante

ycarga

pu

ntu

alfi

cticia.P

=6300

192


Hom

o.

iter.

w7mm

sc1

a1(K

Nm

2)

a2

a3

a4

a5

a6

M2

M3

M4

M5

M6

lin

eal

-5.

800

0.00

0835

2426

8925

268925

268925

268925

268925

268925

00

00

0

1(λ

=0.

5)1

7.47

40.

0011

6371

1726

77175651

189356

225881

258170

267516

-2.2

8-7

.88

-14.8

5-8

.54

-0.8

45

7.53

50.

0011

6887

1706

45171768

178100

209162

254510

267237

-1.1

9-4

.78

-15.3

0-1

3.6

6-1

.32

2(λ

=0.

7)1

9.30

10.

0014

9440

1313

33132905

141770

185256

248743

266561

-1.6

7-6

.69

-21.4

3-1

9.1

3-1

.85

59.

369

0.00

1499

2713

0517

131266

135502

165496

241869

266113

-1.0

2-4

.03

-17.8

3-2

6.0

3-2

.87

3(λ

=0.

9)1

14.5

600.

0023

5353

9097

291935.2

97380.6

135944

234138

265309

-1.3

1-5

.18

-22.9

3-3

3.4

7-3

.70

515

.261

0.00

2408

4090

212.

390435.6

91430.7

99052.2

186954

262970

-0.4

9-1

.58

-7.6

5-4

5.4

8-1

2.7

0

5(λ

=1.

0)

129

.800

0.00

4303

4870

355.

370603.3

71708.9

80172.9

177825

262309

-0.5

5-1

.75

-8.5

0-5

0.5

4-1

4.1

15

40.2

300.

0053

4919

6330

4.7

66821.5

69217

70295.4

75290.4

216499

-17.7

2-9

.77

-3.3

0-1

0.1

0-6

5.4

510

40.2

350.

0053

4985

6325

0.4

66802.8

69209.9

70294.2

75259.4

216350

-17.9

2-9

.83

-3.3

2-1

0.0

6-6

5.4

914

40.2

350.

0053

4985

6325

0.4

66802.8

69209.9

70294.2

75259.4

216350

-17.9

2-9

.83

-3.3

2-1

0.0

6-6

5.4

915

40.2

350.

0053

4985

6325

0.4

66802.8

69209.9

70294.2

75259.4

216350

-17.9

2-9

.83

-3.3

2-1

0.0

6-6

5.4

9

Ta

bla

6.1

3.R

esu

ltad

osd

elp

roce

sod

eh

omot

opıa

del

pil

ar,

rigi

dez

afl

exio

ny

mom

ento

pu

ntu

alfi

ctic

io.P

=64

00

Hom

ot.

iter.

ψ7

g 1c 1

(kN

)c 2

c 3c 4

c 5c 6

P2

P3

P4

P5

P6

P7

lin

eal

-0.

0015

789

0.00

0031

723

7054

02370540

2370540

2370540

2370540

2370540

00

00

00

1(λ

=0.

5)1

0.00

2002

20.

0000

322

2266

940

2286840

2311190

2329730

2347210

2361400

-0.6

1-0

.66

-0.4

4-0

.34

-0.1

7-0

.031

50.

0020

192

0.00

0032

222

6120

02280030

2304760

2324810

2344080

2359630

-0.5

9-0

.70

-0.4

9-0

.40

-0.2

1-0

.046

2(λ

=0.

7)1

0.00

2468

10.

0000

324

2217

470

2243830

2278460

2306520

2333490

2355260

-0.8

3-0

.98

-0.6

9-0

.56

-0.2

9-0

.064

50.

0024

883

0.00

0032

422

1283

02235780

2269210

2298880

2328470

2352380

-0.7

3-0

.97

-0.7

7-0

.65

-0.3

5-0

.092

3(λ

=0.

9)1

0.00

3826

90.

0003

2621

6777

02197270

2240260

2278400

2316460

2347200

-0.9

4-1

.25

-0.9

8-0

.83

-0.4

5-0

.118

50.

0040

407

0.00

0032

621

5693

02167620

2197980

2239500

2289970

2332170

-0.3

5-0

.96

-1.2

1-1

.30

-0.7

9-0

.306

4(λ

=1.

0)

10.

0079

657

0.00

0032

721

3319

02145070

2178800

2224940

2281020

2327900

-0.3

9-1

.06

-1.3

5-1

.45

-0.8

8-0

.340

50.

0111

434

0.00

0032

721

0182

01967920

1738380

1602030

175515

2054120

4.6

79.2

55.9

6-6

.62

-11.8

7-7

.888

100.

0111

449

0.00

0032

721

0177

01967420

1736220

1597120

1747410

2052950

4.6

99.3

26.0

9-6

.67

-12.0

0-7

.927

140.

0111

449

0.00

0032

721

0177

01967420

1736220

1597120

1747410

2052950

4.6

99.3

26.0

9-6

.67

-12.0

0-7

.927

150.

0111

449

0.00

0032

721

0177

01967420

1736220

1597120

1747410

2052950

4.6

99.3

26.0

9-6

.67

-12.0

0-7

.927

Ta

bla

6.1

4.R

esu

ltad

osd

elp

roce

sod

eh

omot

opıa

del

pil

ar,

rigi

dez

aco

rtan

tey

carg

ap

untu

alfi

ctic

ia.P

=64

00

193

6.6. Ejemplo 5

Hom

o.

iter.

w7 m

msc

1a1 (K

Nm

2)a2

a3

a4

a5

a6

M2

M3

M4

M5

M6

linea

l-

5.810

0.0008362

4268925

268925

268925

268925

268925

2689250

00

00

1(λ

=0.5)

17.49

50.001

1660

4172664

175619

189228

225667

258107

267509-2.27

-7.83-14.85

-8.60-0.85

57.55

60.001

1712

3170638

171750

177998

208806

254379

267226-1.18

-4.73-15.23

-13.78-1.34

2(λ

=0.7)

19.34

00.0

014988

131323

132879

141267

184758

248560

266546-1.65

-6.62-21.33

-19.29-1.88

59.40

80.001

5037

5130510

131249

135402

164892

241506

266088-1.00

-3.97-17.63

-26.25-2.93

3(λ

=0.9)

114.6

850.002

3681

690

963.1

91913

97252.9

135168

233672

265278-1.29

-5.10-22.67

-33.76-3.77

515.041

60.002

4254

890

206.5

90423.5

91380.9

98567.5

184820

262852-0.48

-1.53-7.31

-45.39-13.20

5(λ

=1.0)

130.6

380.004

3952

970

348.8

70589.9

71653.5

79633.3

175449

262177-0.53

-1.70-8.12

-50.43-14.67

544.6

660.005

8632

657

563

64714.4

68488.7

70198.5

73105.7

197907-39.04

-16.80-5.78

-6.64-69.17

10

45.3

230.005

9589

154

469.2

63750

68295.4

70104.1

72627.7

191440-51.92

-20.73-6.29

-5.96-70.08

14

45.5

250.0

059745

54028.1

63614.5

68269.2

40092

72576.5

190677-53.79

-21.29-6.36

-5.89-70.18

15

45.5

780.005

9765

753

971.5

63597.1

68265.9

70090.4

72750.2

190583-54.03

-21.36-6.37

-5.88-70.19

Ta

bla

6.1

5.R

esulta

dos

del

pro

cesod

eh

omotop

ıad

elp

ilar,rigid

eza

flex

iony

mom

ento

pu

ntu

alfi

cticio.P

=6435.28

Hom

ot.

iter.

ψ7

g1

c1 (k

N)

c2

c3

c4

c5

c6

P2

P3

P4

P5

P6

P7

linea

l-

0.0

0158

20.00

0031

72370

540

2370540

2370540

2370540

2370540

23705400

00

00

0

1(λ=

0.5)

10.0

0200

80.00

0032

22266

920

2286770

2311090

2329640

2347140

2631360-0.61

-0.66-0.44

-0.34-0.17

-0.0315

0.0

0202

50.00

0032

22261

160

2279910

2304600

2324650

2343960

2359550-0.59

-0.70-0.50

-0.40-0.21

-0.046

2(λ=

0.7)

10.0

0247

90.00

0032

42217

420

2243660

2278820

2306300

2333330

2355160-0.82

-0.98-0.69

-0.56-0.29

-0.0655

0.0

0249

90.000

324

2212

750

2235510

2268820

2298510

2328210

2352220-0.72

-0.97-0.77

-0.65-0.35

-0.093

3(λ=

0.9)

10.0

0386

20.00

0032

62167

670

2196930

2239760

2277930

2316120

2346990-0.92

-1.25-0.99

-0.84-0.45

-0.1205

0.0

0408

50.00

0032

62156

680

216560

2196190

2237680

2288650

2331410-0.32

-0.94-1.22

-1.32-0.81

-0.317

4(λ=

1.0)

10.0

0820

20.00

0032

82132

910

2143900

2176820

2222910

2279550

2324060-0.36

-1.01-1.35

-1.47-0.90

-0.3525

0.0

1246

20.00

0032

72096

550

1922610

1566560

1311840

1446820

18900106.13

14.4912.36

-6.53-19.26

-13.8610

0.0

1267

90.00

0032

72094

910

1907380

1514570

1186560

1311830

18230506.62

16.6415.67

-6.29-22.94

-16.4414

0.0

1271

30.00

0032

72094

700

1905430

1506780

1171360

1294810

18138806.69

16.9116.07

-6.22-23.38

-16.8015

0.0

1271

80.000

327

2094

680

1905180

1505790

1169450

1292650

18127006.70

16.9416.12

-6.21-23.43

-16.84

Ta

bla

6.1

6.R

esulta

dos

del

pro

cesod

eh

omotop

ıad

elp

ilar,rigid

eza

cortante

ycarga

pu

ntu

alfi

cticia.P

=6435.28

194


0 10 20 30 40 500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

70006435,28

45,58

δ (mm)

P(kN)

Figura 6.30. Diagrama carga axil-desplazamiento

0

1

2

3

4

5

01020304050

L(m

)

Desplazamiento (mm)

(a)

0

1

2

3

4

5

00,30,60,91,21,5

·10−2

L(m

)

Giro (rad)

(b)

Figura 6.31. Desplazamientos y giros en el pilar al alcanzar la carga lımite

195

6.6. Ejemplo 5

0

1

2

3

4

5

0100200300400500

L(m

)

Momento (kN.m)

(a)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

020406080100120

L(m

)

Cortante (kN)

(b)

Figura 6.32. Momentos flectores y esfuerzos cortantes en el pilar al alcanzar la carga lımite

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6·104

δ (mm)

P(kN)

f = 0.10 kN/m; Plim = 25531.5 kN

f = 1.00 kN/m; Plim = 22325.0 kN

f = 2.50 kN/m; Plim = 18551.0 kN

f = 5.00 kN/m; Plim = 13125.1 kN

f = 7.50 kN/m; Plim = 9426.5 kN

f = 10.0 kN/m; Plim = 7609.15 kN

f = 12.5 kN/m; Plim = 6888.75 kN

f = 15.0 kN/m; Plim = 6435.28 kN

Figura 6.33. Diagrama carga axil-desplazamiento para distintos valores de carga horizontal f

196


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m

) M(ψ′)Elem. 1Elem. 2Elem. 3Elem. 4Elem. 5Elem. 6

(a)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(b)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(c)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(d)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(e)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(f)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(g)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

·10−2

0

100

200

300

400

500

600

ψ′ (rad/m)

M(kN.m


(h)

Figura 6.34. Variacion de la rigidez a flexion al alcanzar la carga lımite para diferentesvalores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m, (c) f = 2, 5 kN/m, (d)

f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10 kN/m, (g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m

197

6.6. Ejemplo 5

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(a)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(b)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(c)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(d)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(e)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(f)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(g)

0 1 2 3 4 5

·10−3

0

75

150

225

300

375

γ (m/m)

Q(kN) Q(γ)


(h)

Figura 6.35. Variacion de la rigidez a cortante al alcanzar la carga lımite para diferentesvalores de carga horizontal: (a) f = 0, 1 kN/m, (b) f = 1 kN/m, (c) f = 2, 5 kN/m, (d)

f = 5 kN/m, (e) f = 7, 5 kN/m, (f) f = 10 kN/m, (g) f = 12, 5 kN/m y (h) f = 15 kN/m

198


6.7 Resumen y Conclusiones

En el presente capıtulo se han analizando cinco ejemplos con el fin de validar la meto-dologıa desarrollada en el presente trabajo. Se han comparado los resultados obtenidosaplicando el concepto de Pieza Lineal Equivalente, con los valores tanto experimentalescomo numericos obtenidos por otros autores.

En el primer ejemplo se ha analizado una de las vigas ensayada por Bresler y Scordelisen 1963, consideradas ejemplos clasicos de la literatura [Vecchio, 2000; Vecchio y Shim,2004; Stramandinoli, 2007]. En este ejemplo se hace un analisis detallado tanto de laaplicacion de la metodologıa como de la obtencion de los diagramas momento derivadade giro y cortante-deformacion por cortante.

Los resultados obtenidos presentan una muy buena aproximacion con los resultadosexperimentales (tanto a nivel cualitativo como cuantitativo) cuando se emplea el mo-delo de Timoshenko. El mismo permite capturar mejor el mecanismo de fallo, cuandoeste se produce por cortante-compresion (fallo en la zona de compresion) [Bresler yScordelis, 1963].

En el segundo y tercer ejemplo se han estudiado tambien, unas vigas de hormigon es-tructural analizadas experimentalmente mediante ensayos de flexion en tres puntos.Losresultados obtenidos tambien son muy buenos, en comparacion con los resultados ex-perimentales y con los obtenidos por otros autores.

En el cuarto ejemplo se ha analizado una viga de hormigon de ultra alta resistenciareforzado con fibras de acero (HFRUAR) ensayada a flexion en cuatro puntos. Losresultados obtenidos son muy proximos a los experimentales, especialmente para laviga denominada NR-1.

Finalmente se ha hecho un analisis de la carga lımite de un pilar empotrado en su basey libre en el extremo, sometido a una carga horizontal f de 15 kN/m. Se puede ver,de acuerdo con la Figura 6.28, que el mismo falla antes por inestabilidad, sin alcanzarla resistencia maxima. Asimismo, se realizado un analisis de la variacion de la cargalımite, variando las magnitudes de la carga f .

199

CAPITULO 7

Conclusiones y trabajos futuros

En el presente trabajo de investigacion se ha llevado a cabo el analisis de elementosviga y viga-columna en regimen no lineal con deformacion por cortante, donde la nolinealidad viene dada por el comportamiento del material, aplicando el concepto dePieza Lineal Equivalente.

Aunque se ha estructurado la tesis, de manera que al final de cada capıtulo se haceun resumen del mismo y se destacan las conclusiones mas importantes, se consideraconveniente y asimismo obligado, como es habitual en los trabajos de investigaciondestacar de nuevo las principales conclusiones de la tesis doctoral. Asimismo se dauna relacion de los posibles trabajos futuros relacionados con la investigacion llevadaa cabo.

7.1 Conclusiones

A partir los trabajos realizados y los resultados obtenidos se pueden extraer las siguien-tes conclusiones:

Despues de revisar la literatura sobre teorıa de vigas que tienen en cuenta la de-formacion por cortante se concluye que el modelo de Timoshenko por su alcance,caracter practico y bajo costo computacional, en comparacion con los modelosde alto orden, es el idoneo para el analisis de modelos de vigas y vigas-columnacon deformacion por cortante y no linealidad del material.

Una vez consultados los trabajos sobre modelos constitutivos para el hormigon es-tructural se concluye que se debe utilizar, para construir los diagramas momento-derivada de giro y cortante-deformacion, los mismos diagramas constitutivos quehayan empleado los autores con los que se comparan, con el fin de evitar discre-pancias debidas al material cuando se analizan los resultados.

En la aplicacion del concepto de Accion Repartida Equivalente en el analisis linealde vigas y vigas-columna de Timoshenko, aplicando elementos finitos con solucionnodalmente exacta se concluye que se obtienen excelentes resultados elevando el

201

7.2. Trabajos futuros

orden de la accion repartida y muy pocos elementos finitos y tambien dejandola accion repartida en el orden mınimo aumentado el numero de elementos. Enparticular en las aplicaciones ha bastado con utilizar orden 5 o 6 y un elementofinito y tambien orden mınimo, o sea 4 y dos elementos finitos, obteniendo enambos casos excelentes resultados en comparacion con la solucion exacta.

Sobre el concepto de Pieza Lineal Equivalente introducido en la literatura deuna forma fısica y un tanto intuitiva se ha realizado un analisis formal que hapermitido profundizar, aplicar y extender dicho concepto a los siguientes casos:barra elastica, y viga y viga-columna de Timoshenko, deduciendose al tiempopropiedades notables sobre las acciones ficticias que se derivan de dicha teorıa.

Para la aplicacion del concepto de Pieza Lineal Equivalente se han desarrolladodos procedimientos: metodo para problemas isostaticos y metodo general aplica-ble a problemas isostaticos e hiperestaticos. Sobre los mismos se puede concluirque dan resultados similares a los proporcionados por el metodo de Newton-Raphson.

El metodo de Pieza Lineal Equivalente presenta la ventaja, con respecto al meto-do Newton-Raphson, de poder visualizar las deformaciones de la pieza en regimenno lineal, de manera tanto cualitativa como cuantitativa, ya que es posible obser-var en cada paso del proceso la modificacion de rigideces (a flexion y cortante) yasimismo la evolucion de las acciones ficticias.

Finalmente, de las aplicaciones realizadas al calculo de vigas y vigas-columna dehormigon estructural, se indica que la metodologıa propuesta en esta investiga-cion ha dado resultados muy proximos a los obtenidos experimentalmente lo quepermite concluir la suficiencia del procedimiento en las aplicaciones practicas dela ingenierıa de estructuras.

7.2 Trabajos futuros

A la vista del trabajo de investigacion se presentan los posibles trabajos futuros quepodrıan abordarse:

Desarrollar un modelo de vigas de alto orden, inspirado en el de [Levinson, 1981],que describa con mas realismo que el de Timoshenko, la distribucion de tensio-nes tangenciales y que permita al tiempo la aplicacion a casos de no linealidaddel material y con un coste computacional similar o ligeramente superior al deTimoshenko, en problemas tanto academicos como de interes practico.

Serıa tambien interesante aplicar la metodologıa al analisis de estructuras mascomplejas (porticos..), a otros materiales (nuevos materiales compuestos).

Finalmente, una vıa de profundizacion en aspectos teoricos de esta investigacionconsisitirıa en analizar las diferentes soluciones que puede tener el problema de laviga-columna en regimen no lineal y posteriormente la convergencia hacia cadauna de ellas de la sucesion de soluciones aproximadas.

202

Bibliografıa

ACI 318 2010 Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) andCommentary. (Citado en las paginas 34 y 38.)

ACI 544.2 2009 Measurement of properties of fiber reinforced concrete. Tech. rep.,American Concrete Institute. (Citado en la pagina 35.)

AFGC-Setra 2004 Betons fibres a ultra-hautes performances (Ultra High PerformanceFibre-Reinforced Concretes) , Interim Recommendations. Tech. rep. (Citado en laspaginas xxi, 1, 38, 39, 49 y 186.)

Aguado, A. 1980 Estudio del analisis no lineal de estructuras de hormigon mediantesuperposicion de problemas lineales en deformaciones. Tesis doctoral, UniversidadPolitecnica de Cataluna, Espana. (Citado en las paginas 31 y 43.)

Aıtcin, P.-C. 1998 High Performance Concrete. New York: Press, CRC, 1st edn. (Citadoen la pagina 35.)

Aıtcin, P.-C. y Mindess, S. 2011 Sustainability of Concrete. Abigdon: Spon Press, 1stedn. (Citado en la pagina 30.)

ASCE 1982 State of the Art Report on Finite Element Analysis of Reinforced Concre-te. Tech. rep., Task Committee on Finite Element Analysis of Reinforced ConcreteStructures of the Structural Division Committee on Concrete and Masonry Structu-res, ASCE, New York. (Citado en la pagina 34.)

Attard, M. M. y Setunge, S. 1996 The stress-strain relationship of confined and uncon-fined concrete. ACI Materials Journal, 93(5), 432–442. (Citado en las paginas xxi,38 y 39.)

Baker, A. L. L. y Amarakone, A. M. N. 1965 Inelastic hyper static frame analysis andapplication of the international correlated test. Tech. rep., FI-Bulletins. (Citado enla pagina 43.)

Banerjee, J. R. y Williams, F. W. 1994 The Effect of shear deformation on the criticalbuckling columns. Journal of Sound and Vibration, 174(5), 607–616. (Citado en laspaginas 83 y 84.)

Barlow, J. 1976 Optimal stress locations in finite element models. InternationalJournal for Numerical Methods in Engineering, 10(2), 243–251. (doi:10.1002/nme.1620100202) (Citado en la pagina 52.)

203

BIBLIOGRAFIA

Barragan, B. E. 2002 Failure and toughness of steel fiber reinforced concrete undertension and shear. Tesis doctoral, Universidad Politecnica de Cataluna. (Citado enla pagina 35.)

Bazant, Z. y Cedolin, L. 1991 Stability of Structures. Elastic, Inelastic, Fracture, andDamage Theories. New York: Dover publications, Inc, 1st edn. (Citado en la pagi-na 9.)

Bazant, Z. y Kim, S.-S. 1979 Plastic-Fracturing Theory for Concrete. Journal of theEngineering Mechanics Division, 105(3), 407–428. (Citado en la pagina 36.)

Bazant, Z. y Oh, B. 1984 Deformation of progressively cracking reinforced concretebeams. ACI Journal, 81(3), 268–278. (Citado en la pagina 36.)

Bendito, M. A. 2006 Estudio Numerico de la longitud de pandeo inelastica de sopor-tes de hormigon armado intraslacionales. Tesis doctoral, Universitat Jaume I deCastellon, Espana. (Citado en la pagina 31.)

Bonett, R. 2003 Vulnerabilidad y riesgo sısmico de edificios. Aplicacion a entornos ur-banos en zonas de amenaza alta y moderada. Tesis doctoral, Universidad Politecnicade Cataluna, Espana. (Citado en las paginas 32 y 36.)

Bresler, B. y Scordelis, A. C. 1963 Shear strength of reinforced concrete beams. Jourmalof Amer Concr Inst, 60(1), 51–72. (Citado en las paginas 173, 177 y 199.)

Cardinetti, F. 2011 Fiber beam-columns models with flexure-shear interaction for non-linear analysis of reinforced concrete structures. Doctorla thesis, Universita di Bo-logna, Italia. (Citado en la pagina 44.)

Ceresa, P., Petrini, L. y Pinho, R. 2007 Flexure-Shear Fiber Beam-Column Elementsfor Modeling Frame Structures Under Seismic Loading — State of the Art. Journalof Earthquake Engineering, 11(S1), 46–88. (Citado en las paginas 31, 32, 41 y 44.)

Challamel, N. 2011 Higher-order shear beam theories and enriched continuum. Mecha-nics Research Communications, 38(5), 388–392. (Citado en las paginas 9 y 136.)

Challamel, N., Mechab, I., Elmeiche, N., Sid, M., Houari, A., Ameur, M. y Atmane,H. A. 2014 Buckling of Generic Higher-Order Shear Beam / Columns with ElasticConnections : Local and Nonlocal Formulation. Journal of Engineering Mechanics,139(8), 1091–1109. (Citado en las paginas 9, 32 y 83.)

Coceres, H., Moller, O. y Rubinstein, M. 2003 Analisis dinamico no Lineal de estruc-turas espaciales sismorresistentes de pisos multiples. In Enief 2003-xiii congreso demetodos numericos y sus aplicaciones (eds M. B. Rosales, V. H. Cortınez y D. V.Bambill), pp. 743–756. Bahıa Blanca, Argentina. (Citado en la pagina 31.)

Coto, L. 2007 Ecuaciones constitutivas para el analisis de secciones de HRFA. Tesi-na de especialidad, Universidad Politecnica de Cataluna, Espana. (Citado en laspaginas xxi, xxii, 34, 35, 36, 37, 40, 42 y 43.)

204

BIBLIOGRAFIA

Cowper, G. R. 1966 The Shear Coefficient in Timoshenko’s Beam Theory. Journal ofApplied Mechanics, 33(2), 335–340. (doi:10.1115/1.3625046) (Citado en las pagi-nas xxi, 8, 10, 13, 19 y 49.)

Dahake, A. G. y Ghugal, Y. M. 2013 A Trigonometric Shear Deformation Theory forFlexure of Thick Beam. Procedia Engineering, 51, 1–7. (Citado en las paginas xxi,9 y 27.)

Damjanic, F. y Owen, D. R. J. 1984 Practical considerations for modeling of postcrac-king concrete behavior for finite element analysis of reinforced concrete structures.In International confference on computer aided analysis of the design of concretestructures. Swansea, U.K. (Citado en la pagina 36.)

Davis, P. J. 1975 Interpolation and approximation. New York: Dover Publications, Inc,1st edn. (Citado en la pagina 61.)

EC2 2004 Eurocodigo 2: Diseno de Estructuras de Hormigon. (Citado en las paginas 34y 38.)

EHE 2010 Instruccion de Hormigon Estructural. Comision permanente del hormigon.Ministerio de Fomento, Espana. (Citado en las paginas xxi, xxi, 1, 2, 34, 37, 38, 39y 40.)

Filho, F. V. 1968 Comment on ”Computation of Stress Resultants from the ElementStiffness Matrices”. AIAA Journal Journal, 6(3), 571–572. (doi:10.2514/3.55382)(Citado en la pagina 52.)

Freud, G. 1971 Orthogonal polynomials. Oxford: Press, Pergamon, 1st edn. (Citado enla pagina 61.)

Funaro, D. 1992 Polynomial Approximation of Differential Equations. Lectures Notesin Physics. Berlin Heildelberg. (Citado en las paginas 56, 61, 62 y 63.)

Ghugal, Y. M. y Sharma, R. 2009 A hyperbolic shear deformation theory for flexureand free vibration of thick beams. International Journal of Computational Methods,6(4), 585–604. (Citado en las paginas 8, 9, 22 y 28.)

Ghugal, Y. M. y Sharma, R. 2011 A refined shear deformation theory for flexure ofthick beams. Latin American Journal of Solids and Structures, 8, 183–195. (Citadoen las paginas 9, 22, 28 y 49.)

Ghugal, Y. M. y Shimpi, R. P. 2001 A Review of Refined Shear Deformation Theoriesfor Isotropic and Anisotropic Laminated Beams. Journal of Reinforced Plastics andComposites, 20(3), 255–272. (Citado en las paginas 8, 9, 22 y 27.)

Gregori, J. N. 2009 Modelizacion de elementos lineales de hormigon armado incluyendoel efecto del esfuerzo cortante. Tesis doctoral, Universidad Politecnica de Valencia,Espana. (Citado en la pagina 44.)

205

BIBLIOGRAFIA

Gutierrez, J. P. 1986 Analisis no lineal de porticos de edificacion de hormigon armado.Propuesta de un metodo aproximado para evaluar los efectos de segundo orden enporticos traslacionales. Tesis doctoral, Universidad Politecnica de Madrid, Espana.(Citado en las paginas 31, 40 y 41.)

Hellesland, J., Challamel, N. y Casandjian, C. 2013 Reinforced Concrete Beams, Co-lumns and Frames. Wiley-ISTE, 1st edn. (Citado en la pagina 31.)

Heyliger, P. R. y Reddy, J. N. 1988 A higher order beam finite element for bendingand vibration problems. Journal of Sound and Vibration, 126(2), 309–326. (Citadoen la pagina 24.)

Hutchinson, J. R. 2001 Shear Coefficients for Timoshenko Beam Theory. Journal ofApplied Mechanics, 68(1), 87–92. (Citado en la pagina 10.)

Isaacson, E. y Keller, H. B. 1994 Analysis of Numerical Methods. New York: Doverpublications, Inc, 1st edn. (Citado en la pagina 117.)

JSCE 2006 Recommendations for Design and Construction of Ultra High-StrengthFiber- Reinforced Concrete Structures, Draft (2006). Tech. Rep. 1, Japan Society ofCivil Engineers. (Citado en la pagina 38.)

Karama, M., Afaq, K. S. y Mistou, S. 2003 Mechanical behaviour of laminated com-posite beam by the new multi-layered laminated composite structures model withtransverse shear stress continuity. International Journal of Solids and Structures,40(6), 1525–1546. (Citado en las paginas 8, 9 y 29.)

Kent, D. C. y Park, R. 1971 Flexural Members with Confined Concrete. Journal ofthe Structural Division, 97(7), 1969–1990. (Citado en las paginas xxi, 37, 38 y 39.)

Kowalsky, M. J., Priestley, M. y Seible, F. 1995 Shear behavior of lightweight concretecolumns under seismic conditions. Tech. rep., University of San Diego, San Diego.(Citado en la pagina 46.)

Kwak, H.-G. y Kim, S.-P. 2002 Nonlinear analysis of RC beams based on mo-ment–curvature relation. Computers & Structures Structures, 80(7-8), 615–628. (Ci-tado en la pagina 31.)

Kwak, H.-G. y Kim, S.-P. 2010 Simplified monotonic moment–curvature relation consi-dering fixed-end rotation and axial force effect. Engineering Structures, 32(1), 69–79.(Citado en la pagina 31.)

Lee, J. Y., Kim, S. y Mansour, M. Y. 2011 Nonlinear Analysis of Shear-Critical Reinfor-ced Concrete Beams Using Fixed Angle Theory. Journal of Structural Engineering,(October), 1017–1029. (Citado en las paginas xxvii, xxx, 183 y 184.)

Lee, M. K. y Barr, B. I. G. 2004 A four-exponential model to describe the behaviourof fibre reinforced concrete. Materials and Structures, 37(7), 464–471. (Citado en lapagina 37.)

Levinson, M. 1981 A new rectangular beam theory. Journal of Sound and Vibration,74(1), 81–87. (Citado en las paginas xxi, 2, 8, 22, 49 y 202.)

206

BIBLIOGRAFIA

Li, N., Li, Z. y Xie, L. 2013 A fiber-section model based Timoshenko beam elementusing shear-bending interdependent shape function. Earthquake Engineering andEngineering Vibration, 12(3), 421–432. (Citado en la pagina 52.)

Lopez, E. M., Romero, J. L., Ortega, M. A. y Rıo, O. 2013 Simplified Finite Ele-ment Assessment of Beams With and Without Shear Deformation. In Proceedingsof the fourteenth international conference on civil, structural and environmental en-gineering computing (eds B. Topping y P. Ivanyi), p. Paper 209. Stirlingshire, UK:Civil-Comp Press. (Citado en las paginas 32, 51 y 52.)

Love, A. E. H. 1944 A treatise on the mathematical theory of elasticity. New York:Dover publications, 4th edn. (Citado en la pagina 18.)

Luccioni, B. 1994 Formulacion de un Modelo Constitutivo para Materiales Ortotro-pos. Tesis doctoral, Universidad Nacional de Tucuman, Argentina. (Citado en lapagina 37.)

Macchi, G. y Siviero, E. 1973 Deformability of prismatic R.C. members with rectan-gular cross-section under combined bending and axial load. Tech. rep., InstitutoUniversitario di Architettura Venezi, London. (Citado en la pagina 43.)

Marı, A. R. 1981 Analisis de estructuras de hormigon armado y pretensado, en teorıade segundo orden. Tesis doctoral, Universidad Politecnica de Cataluna, Espana.(Citado en la pagina 31.)

Marini, A. y Spacone, E. 2006 Analysis of reinforced concrete elements including sheareffects. ACI Structural Journal, 103(5), 645–655. (Citado en la pagina 32.)

Maya, L. F., Albajar, L., Portabella, J., Lopez, C. y Moran, F. 2010 Uso de hormigonescon fibras de ultra-alta resistencia para el desarrollo de conexiones entre elementosprefabricados. Informes de la Construccion, 62(520), 27–41. (Citado en las pagi-nas xxi, 36 y 37.)

Mazars, J., Kotronis, P., Ragueneau, F. y Casaux, G. 2006 Using multifiber beams toaccount for shear and torsion Applications to concrete structural elements. ComputerMethods in Applied Mechanics and Engineering, 195(52), 7264–7281. (Citado en lapagina 52.)

MC 2010 Model Code 2010 - First Complete Draft, Volume 1. Tech. rep., The Inter-national Federation for Structural Concrete, Lausanne, Switzerland. (Citado en laspaginas xxi, 34, 37, 38 y 39.)

Mergos, P. E. y Kappos, A. J. 2008 A distributed shear and flexural flexibility mo-del with shear-flexure interaction for R/C members subjected to seismic loading.Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 37(12), 1349–1370. (Citado en laspaginas xxii, xxii, 32, 44, 45, 46, 47 y 49.)

Mergos, P. E. y Kappos, A. J. 2012 A gradual spread inelasticity model for R/Cbeam–columns, accounting for flexure, shear and anchorage slip. Engineering Struc-tures, 44, 94–106. (Citado en las paginas xxii, 32, 44, 45, 48 y 49.)

207

BIBLIOGRAFIA

Mohr, S., Bairan, J. M. y Marı, A. R. 2010 A frame element model for the analysisof reinforced concrete structures under shear and bending. Engineering Structures,32(12), 3936–3954. (Citado en las paginas xxix, xxx, 150, 180, 182 y 189.)

Moller, O. y Rubinstein, M. 1995 Analisis dinamico no lineal fısico y geometrico debarras: discusion del campo de aplicacion de teorıas aproximadas. Revista Interna-cional de Metodos Numericos para Calculo y Diseno en Ingenierıa, 11(2), 151–182.(Citado en la pagina 44.)

Moller, O., Rubinstein, M. y Etse, G. 1997 Formulacion elastoplastica para el analisiscomputacional de porticos planos de hormigon armado. Revista Internacional deMetodos Numericos para Calculo y Diseno en Ingenierıa, 13(4), 487–498. (Citadoen las paginas 31, 40 y 41.)

Moran, F. 1989 Calculo practico de pilas altas de viaductos en teorıa de segundo orden.Revista Hormigon y Acero, 171, 71–81. (Citado en las paginas 40 y 41.)

Murcia, J. 1987 Fundamentos para el analisis de estructuras de hormigon armado ypretensado. Madrid: CSIC, Editorial, primera edn. (Citado en las paginas xxixy 31.)

Oller, S., Onate, E., Oliver, J. y Lubliner, J. 1990 Finite element nonlinear analysis ofconcrete structures using a “plastic-damage model”. Engineering Fracture Mecha-nics, 35(1-3), 219–231. (Citado en las paginas 34 y 37.)

Ortega, M. A. 2004 Analisis del pandeo de pilares en regimen no lineal mediante splinesgeneralizados. Tesis doctoral, Universidad Politecnica de Madrid, Espana. (Citadoen las paginas 2, 51, 52, 55, 81, 99, 110 y 113.)

Ortuzar, J. y Samartın, A. 1998 Some consistent finite element formulations of 1-Dbeam models: a comparative study. Advances in Engineering Software, 29(7), 667–678. (Citado en la pagina 52.)

Park, R. y Paulay, T. 1975 Reinforced Concrete Structures. John Wiley & Sons, Inc.,1st edn. (Citado en las paginas 31 y 46.)

Park, R. y Paulay, T. 1994 Estructuras de concreto reforzado. Mexico: LIMUSA,primera edn. (Citado en la pagina 35.)

Pham, B. H. 2009 Stress-resultant models for optimal design of reinforced-concreteframes. Doctoral thesis, Ecole Normale Superieure de Cachan, Francia. (Citado enlas paginas 32, 44 y 45.)

Pham, B. H., Brancherie, D., Davenne, L. y Ibrahimbegovic, A. 2013 Stress-resultantmodels for ultimate load design of reinforced concrete frames and multi-scale parame-ter estimates. Computational Mechanics, 51(3), 347–360. (Citado en las paginas 32,44 y 45.)

Popovics, S. 1970 A Review of Stress-Strain Relationships for Concrete. ACI Journal,67(3), 243–248. (Citado en la pagina 36.)

208

BIBLIOGRAFIA

Priestley, M. J. N., Verma, R. y Xiao, Y. 1994 Seismic shear strength of reinforcedconcrete. Structural Engineering, 120(8), 2310–2329. (Citado en las paginas xxii,46 y 47.)

Pulido, M. D. G. 2003 Contribuciones a la simulacion numerica del fallo material engrandes deformaciones. Tesis doctoral, Universidad Politecnica de Cataluna, Espana.(Citado en la pagina 37.)

Reddy, J. N. 1984 A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite Plates.Journal of Applied Mechanics, 51(4), 745–752. (Citado en las paginas 2, 8, 22, 23,24, 30 y 49.)

Reddy, J. N. 1997 On locking-free beam finite elements. Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering, 149, 113–132. (Citado en las paginas 8, 22, 24, 52 y 55.)

Reddy, J. N. 2003 Mechanics of laminated composite plates and shells: theory andanalysis. New York: CRC Press, 2nd edn. (Citado en la pagina 1.)

Reddy, J. N. 2005 An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Texas: OxfordUniversity Press, 1st edn. (Citado en las paginas 7, 31, 32, 33, 118 y 119.)

Rilem TC-162 TDF 2002 Test and design methods for steel fibre reinforced concrete:Bending test. Materials and Structures, 35, 579–582. (Citado en las paginas 34y 38.)

Rıo, O. 1986 El problema de los lımites de esbeltez en el dimensionamiento en teorıa desegundo orden de soportes esbeltos de hormigon armado. Tesis doctoral, UniversidadPolitecnica de Madrid, Espana. (Citado en las paginas xxii, xxii, 1, 2, 31, 40, 42y 44.)

Rıo, O. 2014 Curso del Master Universitario en Proyecto Avanzado de Arquitectura yCiudad, UAH. Materiales eficientes y materiales de ultima generacion. Hormigonesavanzados. (Citado en la pagina 35.)

Rıo, O., Nguyen, V. D. y Turrillas, X. 2013 Functionally-graded self-compacting cementcomposites. In Proceedings of fifth north american conference on the design and useof self-consolidating concrete, p. 10. Chicago, USA. (Citado en la pagina 36.)

Romero, J. L. y Ortega, M. A. 1998 Acciones equivalentes y solucion en desplazamientosinterpolada en la viga de Bernouilli-Euler. Informes de la Construccion, 49(454),5–27. (Citado en las paginas 51, 52, 55, 56, 57, 58, 61 y 79.)

Romero, J. L. y Ortega, M. A. 1999 Splines generalizados y solucion nodal exacta en elmetodo de elementos finitos. Informes de la Construccion, 51(464), 41–85. (Citadoen las paginas 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 61 y 79.)

Romero, J. L., Ortega, M. A., Corcuera, M. I. y Cuadrado, M. L. 2007 Estudio dealgunos problemas no lineales en modelos de vigas mediante el concepto de piezalineal equivalente. In Congreso de metodos numericos en ingenierıa, cmne / cilamce.(Citado en las paginas 2, 32 y 135.)

209

BIBLIOGRAFIA

Romero, J. L., Ortega, M. A. y Corrales, J. M. 2002 Estudio y resolucion del modelo deviga de Timoshenko. Algoritmo de acciones equivalentes. In V congreso de metodosnumericos en ingenierıa, semni. (Citado en las paginas 9, 51, 52, 54, 55, 57, 58 y 61.)

Romero, J. L., Ortega, M. A., Lopez, E. M. y Rıo, O. 2014 Elementos finitos conacciones repartidas equivalentes de cualquier orden . Aplicacion a los modelos devigas de Timoshenko y Bernoulli-Euler. Informes de la Construccion, 66(535), e029.(Citado en las paginas 2, 51 y 52.)

Romero, J. L., Ortega, M. A. y Navarro., F. J. 2005 Metodo de acciones equivalentes enel analisis del pandeo de pilares con comportamiento lineal o no lineal del material.In Congreso de metodos numericos en ingenierıa, semni. (Citado en las paginas 2y 95.)

Santiuste, C. 2007 Analisis y modelizacion de vigas de tipo laminado sometidas a cargasimpulsivas. Tesis doctoral, Universidada Carlos III de Madrid, Espana. (Citado enlas paginas 2 y 10.)

Sargin, M. 1971 Stress-Strain Relationships for Concrete and the Analysis of StructuralConcrete Sections. University of Waterloo. (Citado en las paginas xxi, 36, 38 y 39.)

Sezen, H. y Moehle, J. P. 2004 Shear Strength Model for Lightly Reinforced ConcreteColumns. Journal of Structural Engineering, 130(11), 1692–1703. (Citado en lapagina 45.)

Shi, G. 2007 A new simple third-order shear deformation theory of plates. InternationalJournal of Solids and Structures, 44(13), 4399–4417. (Citado en las paginas 8, 22y 25.)

Shi, G. y Voyiadjis, G. Z. 2011 A Sixth-Order Theory of Shear Deformable Beams WithVariational Consistent Boundary Conditions. Journal of Applied Mechanics, 78(2),021 019. (Citado en las paginas 8, 22, 25 y 49.)

Soldatos, K. 1992 A transverse shear deformation theory for homogeneous monoclinicplates. Acta Mechanica, 220, 195–220. (Citado en la pagina 28.)

Sparowitz, L., Freytag, B. y Reichel, M. 2011 WILD Bridge - A Sustainable Arch Madeof UHPFRC -. In The third chinese-croatian joint colloquium on long arch bridge.sustainable arch bridges, pp. 45–70. Zabreg. (Citado en la pagina 35.)

Spasojevic, A. 2008 Structural Implications of Ultra-High Performance Fibre-Reinforced Concrete in Bridge Design. Doctoral thesis, Ecole Polytechnique Federalede Lausanne, Suiza. (Citado en las paginas xxi, 1, 36 y 37.)

Stakgold, I. y Holst, M. 2011 Green’s Functions and Boundary Value Problems. NewJersey: John Wiley & Sons, Inc., 3rd edn. (Citado en las paginas 108 y 109.)

Stein, M. 1989 Vibration of Beams and Plate Strips With Three-Dimensional Flexi-bility. Journal of Applied Mechanics, 56(1), 228–231. (Citado en las paginas 9, 22y 27.)

210

BIBLIOGRAFIA

Stramandinoli, R. S. B. 2007 Modelos de elementos finitos para analise nao linearfısica e geometrica de vigas e porticos planos de concreto armado. Doctoral thesis,Universidade Federal De Santa Catarina, Brasil. (Citado en las paginas xxx, 173,174, 177, 178 y 199.)

Stramandinoli, R. S. B. y La Rovere, H. L. 2012 FE model for nonlinear analysis ofreinforced concrete beams considering shear deformation. Engineering Structures,35, 244–253. (Citado en la pagina 52.)

Stricklin, J. A. 1966 Computation of stress resultants from the element stiffness matri-ces. AIAA Journal, 4(6), 1095–1096. (Citado en la pagina 52.)

Szego, G. 1975 Orthogonal Polynomials. Providence, Rhode Island: American Mathe-matical Society, 4th edn. (Citado en la pagina 61.)

Taucer, F. F., Spacone, E. y Filippou, F. C. 1991 A Fiber Beam-Column Element forSeismic Response Analysis of Reinforced Concrete structures. Tech. Rep. Decem-ber 1991, College of Engineering University of California, Berkeley. (Citado en lapagina 40.)

Thai, H. y Vo, T. 2012 A nonlocal sinusoidal shear deformation beam theory withapplication to bending, buckling, and vibration of nanobeams. International Journalof Engineering Science, 54(58-66). (Citado en la pagina 27.)

Timoshenko, S. 1921 On the correction for shear of the differential equation for trans-verse vibrations of prismatic bars. Philosophical Magazine, 41, 744–746. (Citado enlas paginas 2, 8, 9 y 10.)

Timoshenko, S. y Gere, J. 1963 Theory of elastic stability. New York: McGraw-HillInternational, 2nd edn. (Citado en la pagina 20.)

Timoshenko, S. y Goodier, J. 1970 Theory of elasticity. New York: McGraw-Hill In-ternational, 3rd edn. (Citado en las paginas 8, 9 y 10.)

Tong, P. 1969 Exact solution of certain problems by finite- element method. AIAAJournal, 7(1), 178–180. (Citado en la pagina 52.)

Touratier, M. 1991 An efficient standard plate theory. International Journal of Engi-neering Science, 29(8), 901–916. (Citado en las paginas 9, 22, 27 y 49.)

Triantafyllou, S. P. y Koumousis, V. K. 2011 An inelastic Timoshenko beam elementwith axial–shear–flexural interaction. Computational Mechanics, 48(6), 713–727.(Citado en la pagina 52.)

Vecchio, F. J. 2000 Analysis of Shear-Critical Reinforced Concrete Beams. ACI Struc-tural Journal, 97(1). (Citado en las paginas xxvii, 40, 173, 174, 177, 178 y 199.)

Vecchio, F. J. y Shim, W. 2004 Experimental and Analytical Reexamination of ClassicConcrete Beam Tests. Journal of Structural Engineering, 130(3), 460–469. (Citadoen las paginas xxvii, xxx, 173, 178, 180, 182 y 199.)

211

BIBLIOGRAFIA

Villaggio, P. 1997 Mathematical models for elastic structures. Cambridge: CambridgeUniversity Press, 1st edn. (Citado en las paginas 8, 10, 13 y 19.)

Wahlbin, L. 1995 Superconvergence in Galerkin Finite Element Methods (Lecture No-tes in Mathematics). Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1st edn. (Citado en lapagina 52.)

Wang, C. M., Reddy, J. N. y Lee, K. H. 2000 Shear Deformable Beams and Plates:Relationships with Classical Solutions. Oxford: Elsevier Science & Technology, 1stedn. (Citado en la pagina 9.)

Wang, C. M., Wang, C. Y. y Reddy, J. N. 2005 Exact Solutions for Buckling of Struc-tural Members. Boca Raton, Florida: CRC Press, 1st edn. (Citado en las paginas 8,9, 21, 83, 84 y 89.)

Wriggers, P. 2008 Nonlinear Finite Element Methods. Springer-Verlag Berlin Heidel-berg, 1st edn. (Citado en las paginas 31, 33 y 34.)

Yang, I.-h., Joh, C. y Kim, B.-s. 2012 Flexural response predictions for ultra-high-performance fibre- reinforced concrete beams. Magazine of Concrete Research, 64(2),113–127. (Citado en las paginas xxvii, xxx, 185 y 186.)

Ziegler, H. Z. 1982 Arguments For and Against Engesser’s Buckling Formulas. IngeniurArchiv, 52, 105–113. (Citado en la pagina 83.)

212

BIBLIOGRAFIA

213

ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN …oa.upm.es/35509/1/ELVIRA_MERCEDES_LOPEZ_SALINAS.pdf ·...

Documents

Transcript of ANALISIS DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNA EN …oa.upm.es/35509/1/ELVIRA_MERCEDES_LOPEZ_SALINAS.pdf ·...