Vigas Hiperestaticas
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN
VIGAS HIPERESTÁTICAS POR EL MÉTODO DE TRES MOMENTOS
Trabajo de Recuperación de Índice Académico.
Autora: Yaneth Pérez.
Tutor: Ing. Lorenzo Mantilla.
Maturín, Agosto, 2015.
ii
INDICE GENERAL
iii
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULOS
I.EL PROBLEMA
Contextualización del problema 2
Objetivos de la investigación
Objetivo General 2
Objetivo Específico 3
Justificación de la Investigación 3
II.MARCO REFERENCIAL
Desarrollo del tema 4
Vigas 4
Vigas Hiperestáticas4
Vigas Continuas 6
Aplicación del método por pasos 10
Resultados 11
CONCLUSIONES 28
REFERENCIAS..............................................................................................29
ANEXOS..........................................................................................................30
iv
INTRODUCCION
El análisis de las deformaciones en vigas nos permite limitar los descensos de
las mismas, entregando secciones adecuadas y por otra parte incorporar nuevas
expresiones para resolver vigas hiperestáticas. Una forma de enfocar la resolución de
las vigas hiperestáticas consiste en descomponer la viga inicial en varias vigas cuyo
efecto sumado equivalga a la situación original. Las solicitaciones externas, cargas y
reacciones, generan cortante, momento y deformación, siendo válido el principio de
descomposición de las vigas en vigas cuyas acciones sumen el mismo efecto.
Para la resolución matemática de la estructura, es decir, el estudio de las
cargas y esfuerzos, existen varios métodos de análisis de deformaciones de vigas, es
muy importante conocer las herramientas necesarias para determinar deflexiones y
giros en elementos estructurales es por eso que para resolver un problema de análisis
estructural es necesario hacer tanto un estudio matemático, para determinar las cargas
y esfuerzos que afectan a la estructura, como un estudio arquitectónico, para
determinar el material a utilizar en la construcción de la estructura así como sus
dimensiones. Para eso hay varios métodos matemáticos de análisis de deformaciones
de vigas entre ellos tenemos:
método de área de momento,
método de viga conjugada,
tres momentos,
método de la doble integración
entre otros.
En el presente trabajo daremos a conocer todo lo referente al cálculo de vigas
hiperestáticas por el método de Tres Momentos.
1
CAPITULO I
EL PROBLEMA
Contextualización de Problema
El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación
fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a
tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como
articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar
los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o
notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres
puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo
miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos
de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas
incógnitas, a los momentos en los apoyos.
Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente,
para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega
a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son
los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en
una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo
lo veremos en los ejercicios de aplicación.
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Calcular vigas hiperestáticas por el método de tres momentos.
2
Objetivos Específicos
Dar a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos.
Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas al momento de resolver los
ejercicios.
Resolver ejercicios utilizando el Método de tres momentos.
Justificación de la Investigación
Manejar correctamente la ecuación de los tres momentos para el mejor
entendimiento y resolución de los ejercicios.
Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo
aun más la teoría.
3
CAPITULO II
Desarrollo del Tema
En toda edificación con estructuras que recibirán pesos y flexiones se
necesitan colocar elementos constructivos que son específicamente diseñados para
ello. En este capítulo dedicado a las vigas vamos a hablar a cerca de todas y de cada
una de ellas, haciendo mención de las ecuaciones que se necesitan para llegar
determinar cuál de ellas usar, en el momento y edificación precisa. Para conocer a las
vigas hiperestáticas, es necesario saber qué es y cómo definir una viga.
Vigas
Las vigas son fundamentales en las construcciones de obras, es un elemento
constructivo lineal, que hace el trabajo de flexión, y en las vigas la longitud
predomina sobre las otras dos dimensiones. Son las que se encargan de soportar todo
el peso de un techo, o cualquier otro tipo de carga, y depende del tamaño del edificio
de la cantidad, del peso y de la longitud de las vigas, en la construcción de viviendas
se usan vigas de dos tipos las vigas de concreto para bases estructurales de dos más
pisos, y las vigas de madera.
Vigas Hiperestáticas
Son las que como su palabra lo indica, permanecen rígidas, estáticas, pero
para llegar a colocarlas es necesario haber realizado antes, un análisis o estudio de
cada caso. Los procedimientos de análisis y de estudio se denominan de
cuantificación, es decir que midiendo el equilibrio, de la distribución del factor
transporte y peso, y es un procedimiento que finaliza cuando el momento de la fuerza
4
sea tan pequeño que no afecte de ningún modo el momento de fuerza final de la viga.
Para ello se llevan a cabo mediciones para cada barra, con las fórmulas específicas, y
se calculan los factores de distribución por nodo, que es cuando se mide la rigidez de
las barras o vigas.
Dicho en palabras más sencillas, podemos decir que las vigas hiperestáticas,
son las barras horizontales que tienen dos empotramientos en sus extremos, pero estos
empotramientos tienen cada uno un momento de fuerza, que son momento de fuerza
horizontal, y momento de fuerza vertical.
Puente construido mediante vigas de acero continúas.
Los métodos más aconsejables para medir o calcular esos momentos de
fuerzas, se deben de determinar todas las fuerzas que se muestran, haciendo las
ecuaciones de suma en ese momento en un extremo, y luego en el otro, así de esta
manera se obtiene, el método adecuado. Las vigas hiperestáticas, se usan en forma
habitual en las edificaciones porque la ventaja que éstas poseen es que no tienen
vibración, por la acción de la carga con la que están diseñadas, aunque no son
recomendadas en zonas de sismos, porque las fuerzas en estos casos, sobrepasan la
resistencia que tienen en su diseño y se rompen las estructuras.
En muchos casos se pueden lograr que las vigas hiperestáticas se coloque en
lugares en los que tienen lugar los movimientos, pero para ello se deben agregar otros
elementos que por su alto costo se recurre directamente a otros. Los ingenieros civiles
5
son los profesionales que saben calcular las ecuaciones y números de incógnitas que
tienen las vigas hiperestáticas, ya que son cálculos complejos si lo desean calcular
personas que no conocen las ecuaciones determinadas para la obra. En cualquier obra
de estructura se necesitan conocimientos de las fuerzas con las que trabajan los
movimientos de los pesos de flexión, es por ello que se hace necesario que las vigas
de apoyo sean las que corresponden a cada caso, como es el caso de las vigas
hiperestáticas.
Las cargas pueden ser afectadas en forma significativa en la estructura y las
mismas se las puede dividir en cargas permanentes, en cargas transitorias o en cargas
variables. Para conocer los soportes de cualquier viga se hacen necesarios, los
cálculos de los sistemas de fuerzas y se deben conocer los valores de sus soportes. En
una viga de apoyo simple, por ejemplo genera una fuerza, y una reacción, que es
determinada a ella.
VIGAS CONTINUAS
Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo en vigas continuas, las
reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es
aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para
resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente
manera:
M1 L1 + 2 M2 (L1 + L2) + M3 L2 + 6 A1a1L1
+6 A2b2L2 = 0
Donde:
M1, M2, M3 = Momentos flectores en los apoyos 1, 2 y 3.
L1, L2 = Longitudes en los tramos 1 y 2
6
A1, A2 = Área Del diagrama de momentos flectores de las cargas sobre los tramos y
2.
a1= Distancia del centro del diagrama de momentos flectores del tramo 1 al apoyo 1.
b1= Distancia del centro del diagrama de momentos flectores del tramo 2 al apoyo 3.
Los términos:
6 A1a1L1
6 A 2b2L2
Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de
cargas básicos. Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos
más complejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos tramos,
deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos
consecutivos. Por ejemplo:
Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de
Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:
M1 L1 + 2 M2 (L1 + L2) + M3 L2 + 6 A1a1L1
+6 A2b2L2 = 0
M2 L2 + 2 M3 (L2 + L3) + M4 L3 + 6 A 2a2L2
+ 6 A3b3L3 = 0
M3 L3 + 2 M4 (L3 + L4) + M5 L4 + 6 A 3a3L3
+ 6 A 4 b4L4 = 0
7
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).
Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones
de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en los extremos pueden
ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:
Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero.
Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.
Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de
Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean
iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un
apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres
Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:
O sea:
M4 L4 + 2 M5 L4 + 6 A 4b 4L4 = 0
Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.
Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los
productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.
M1 = 0 y M2= PL1
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos
flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo,
utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
8
R1 = M 2−M 1L1
R2 = M 1−M 2L1
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman.
Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier
número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en tres (3)
apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga. La ecuación de tres
momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos.
En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número
suficiente de ecuaciones simultáneas para determinar los momentos desconocidos se
obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos. De manera
9
similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con
condiciones cero (0), para adaptarse a la ecuación de tres momentos.
APLICACIÓN DEL MÉTODO POR PASOS
Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos.
Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la estática.
Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos.
Construir el diagrama de cortante y momento flector, calculando y ubicando
aéreas y sus respectivos cancroides.
Aplicar la ecuación de tres momentos en los tramos, de dos en dos.
Obteniendo un sistema de ecuación de dos ecuaciones y dos incógnitas por
cada tramo. Sustituir y resolver. Considerando las condiciones de borde,
donde los momentos son cero (0).
Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de
fuerza, calculando las fuerzas en los tramos con los valores encontrados para
obtener las reacciones reales de los apoyos.
Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura.
10
RESULTADOS
EJERCICIO 1.
Calcule el corte y el momento en la siguiente viga hiperestática.
2,85m 2,85m 2,85m
2,85m 2,85m 2,85m
R1 R2 R3 R4
2,85m 2,85m
R1 L1 R2 L2 R3
Por tabla (L1 = L2)
6 A1a1L1 =
w . L ³L1 = 500(2.85) ³
4=2893,6406
De la ecuación de tres momentos:
M1 . 2,85 + 2 M2 (2,85 + 2,85) + M3 2,85 + 2893,6406+2893,6406 = 0
En la reacción 1
M1 = 0
Entonces queda:
11,4 M2 + 2,85 M3 + 5787,2812 = 0 Ec. 1
11
500kgf/m
500kgf/m
500kgf/m
1
2,85m 2,85m
R2 L2 R3 L3 R4
M2 L2 + 2 M3 (L2 + L3) + M4 L3 + 6 A 2a2L2
+ 6 A3b3L3 = 0
En la reacción 4 M4 = 0
Entonces queda:
2,85 M2 + 11,4 M3 + 2893,6406 + 2893,6406 = 0
2,85 M2 + 11,4 M3 + 5787,2812 = 0 Ec. 2
Resolviendo Ec. 1 y Ec. 2 por hp:
M2 = -406,1250 kgf.m
M3 = -406,1250 kgf.m
Buscando reacciones
M2 = εMizquierda+¿
-406,1250kgf.m = - R1 . 2,85 – 500kg/m . 2,85 . 2,85
2
R1 = 570 kgf
M3 = εMizquierda+¿
-406,1250kgf.m = (570 . 5,7) + R2 . 2,85 – 500. 5,7 5,72
R2 = 1567,5 kgf
M4 = εMizquierda+¿
0 = (570 . 8,55) + (1567,5 . 5,7) – 500 . 8,558,55
2 + R3. 2,85
R3 = 1567,5 kgf
Para todo + εFy=0
12
2 500kgf/m
R1 + R2 + R3 + R4 – 500 . 8,55 = 0 = R4 = 570kgf
I corte0≤ x≤2.85
w ( x )=−500
v ( x )=−500 x+570
M (x )=−250 x ²+570 x=324,9 kgf .m
Corte con eje x (v = 0)
0 = -500x + 570 = x = 1.14
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 570 0
2,85 -855 -406,125
2,85´ 712,5 -406,125
2,85´= -855 + 1567,5 = 712,5
II corte0≤ x≤2,85
w ( x )=−500
v ( x )=−500 x+712,5
M (x )=−250 x ²+712,5 x−406,125
Corte con eje x (v = 0)
0 = -500x + 712,5 = x = 1,425
M(1,425) = 101,53 kgf.m
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 712,5 -406,125
2,85 -712,5 -406,125
2,85´ 855 -406,125
13
v´(2,85´) = -712,5 + 1567,5 = 855
III corte0≤ x≤2,85
w ( x )=−500
v ( x )=−500 x+855
M (x )=−250 x ²+855 x−406,125
Corte con eje x (v = 0)
0 = -500x + 855 = x = 1,71
M(1,71) = 324,9 kgf.m
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 855 -406,125
2,85 -570 0
2,85´ 0 0
v´(2,85´) = -570 + 570 = 0
14
570kgf 1567,5kgf 1567,5kgf 570kgf
v (kgf )
x (m)
M (kgf )
x (m)
15
500kgf/m
855
712,5
570
-570
-712,5
-855
-406,125
101,53
324,9
EJERCICIO 2.
Calcule el corte y el momento en la siguiente viga hiperestática.
2,20m 3,00m 1,80m 2,75m 2,75m
2,20m 3,00m 1,80m 2,75m 2,75mR1 R2 R3 R4 R5
Primero buscamos M5
M5 = -(275kgf/m . 2,75 . 2,75
2 ) = -1039,84347 kgf/m
Ahora aplicamos la ecuación de tres momentos
2,2m 3,0m
R1 L1 R2 L2 R3
Por tabla
6 A1a1L1 =
w . L ³L1 =
275(2,2) ³4
=732,05kgf /m²
6 A 2a2L2 =
w . L ³L2 =
275(3,0) ³4
=1856,25 kgf /m²
M1 . L1 + 2 M2 (L1 + L2) + M3 L2 + 6 A1a1L1 +
6 A 2b2L2 = 0
Entonces nos queda:
16
275 kgf/m
275kgf/m
275 kgf/m
1
10,4 M2 + 3 M3 + 2588,3 = 0 Ec. 1
3,0m 1,80m
R2 L2 R3 L3 R4
Por tabla
6 A 3a3L3 =
w . L ³L3 =
275(1.8) ³4
=400,95kgf /m ²
M2 L2 + 2 M3 (L2 + L3) + M4 L3 + 6 A 2a2L2
+ 6 A3b3L3 = 0
3M2 + 9,6 M3 + 1,8 M4 + 2257,2 = 0 Ec. 2
1,80m 2,75m
R3 L3 R4 L4 R5
Por tabla
6 A 4a 4L4 =
w . L ³L4 =
275(2.75) ³4
=1429,7852kgf /m ²
M3 L3 + 2 M4 (L3 + L4) + M5 L4 + 6 A 3a3L3
+ 6 A 4 b4L4 = 0
5,8M3 + 9,1M4 – 1028,8343 = 0 Ec. 3
Buscando reacciones
M2 = εMizquierda+¿
-189,8618 kgf.m = R1. R2 – 275 . 2,2 . 2,22
R1 = 216,20 kgf
M3 = εMizquierda+¿
17
2 275 kgf/m
3 275 kgf/m
-204,5791kgf.m = (570 . 5,7) + R2 . 3 – 275. 5,2 5,22
R2 = 796,3936 kgf
M4 = εMizquierda+¿
153,5249 = 216,20 . 7 + (796,3936 . 4,8) + R3 . 1,8 - 275. 7 72
R3 = 863,8531 kgf
M5 = εMizquierda+¿
-1039,84347 = 216,20 . 9.75 + 796,3936 . 7,55 + 863,8531 . 4,55 + R4 . 2,75 - 275.
9,75 9,75
2
R4 = - 7,2738 kgf
Para todo + εFy=0
R1 + R2 + R3 - R4 + R5 – 275 . 12,5 = 0 = R5 = 1568,3271kgf
I corte0≤ x≤2,85
w ( x )=−275
v ( x )=−275 x+216,20
M (x )=−137,5 x ²+216,20 x=84,986 kgf .m
Corte con eje x (v = 0)
0 = -275x + 216,20 = x = 0
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 216,2 0
2,2 -388,8 -189,86
2,2´ 407,5936 -189,86
v(2.2´)= -388,8 + 796,3936 = 407,5936
18
II corte0≤ x≤3
w ( x )=−275
v ( x )=−275 x+407,5936
M (x )=−137,5 x ²+407,5936x−189,86
Corte con eje x (v = 0)
0 = -275x + 407,5936 = x = 1,482
M(1,482) = 112,1992 kgf.m
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 407,5936 -189,86
3 -417,406 -204,5792
3´ 446,4467 -204,5792
v(3´) = -417,406 + 863,8531 = 446,4467
III corte0≤ x≤1,80
w ( x )=−275
v ( x )=−275 x+446,4467
M (x )=−137,5 x ²+446,4467 x−204,5792
Corte con eje x (v = 0)
0 = -275x + 446,4467 = x = 1,6234
M(1,6234) = 157,8111 kgf.m
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 446,4467 -204,5792
1.8 -48,5533 153,5249
1.8´ -55,8271 153,5249
v(1,80´) = -48,5533 – 7,2738 = -55,8271
19
IV corte0≤ x≤2,75
w ( x )=−275
v ( x )=−275 x+55,8271
M (x )=−137,5 x ²+55,8271 x−153,5249
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 55,8271 x 153,5249
2,75 -812,0771 -1039,843
2,75´ 756,25 -1039,843
v(2,75´) = -812,0771 + 1568,3271= 756,25
V corte0≤ x≤2,75
w ( x )=−275
v ( x )=−275 x+756,25
M (x )=−137,5 x ²+756,25 x−¿1039,843
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 756,25 −1039,843
2,75 0 0
20
407,5936
216,20 kgf 796,3936kgf 863,8531kgf 7,2738kgf 1 568,3271kgf
21
275 kgf/m
756,25
446,4467
-48,5533
x(m)
-55,8271
-388,8
-417,406
216,2
-812,0771
-1039,843
-204,5792
84,896
x(m)
V (kf.m)
M (kf.m)
EJERCICIO 3.
Calcule el corte y el momento en la siguiente viga hiperestática.
2,0m 2,80m 2,80m 2,80m 3,0m 3,0m
2,0m 2,80m 2,80m 2,80m 3,0m 3,0m R1 R2 R3 R4 R5
Primero buscamos M1 y M5
M1 = -(480kgf/m . 2. 2m2 ) = -960 kgf/m
M5 = -(480kgf/m . 3 . 3m2 ) = -2160 kgf/m
Ahora aplicamos la ecuación de tres momentos
2,8m 2,8m
R1 L1 R2 L2 R3
Por tabla
22
480 kgf/m
480kgf/m
480kgf/m
1
112,1992153,5249
157,8111
6 A1a1L1 =
w . L ³L1 = 480(2,8) ³
4=2634,24 kgf /m²
M1 . L1 + 2 M2 (L1 + L2) + M3 L2 + 6 A1a1L1 +
6 A 2b2L2 = 0
Entonces nos queda:
-960kg.m . 2,8 + 2 M2(2,8 + 2,8m) + M3 2,8 + 2634,24kg/m² + 2634,24kg/m²
11,2 M2 + 2,8M = -2580,48 Ec. 1
2,8m 2,8m
R2 L2 R3 L3 R4
Por tabla
6 A 3a3L3 =
w . L ³L3 =
480(2,8) ³4
=2634,24 kgf /m ²
M2 L2 + 2 M3 (L2 + L3) + M4 L3 + 6 A 2a2L2
+ 6 A3b3L3 = 0
M2 2,8 + 2 M3 (2,8 + 2,8) + M4 . 2,8 + 2634,24+2634,24= 0
2,8M2 + 11,2 M3 + 2,8 M4 = -5268,48 Ec. 2
2,8m 2,8m
R3 L3 R4 L4 R5
Por tabla
6 A 3a3L3 =
w . L ³L3 = 480(2,8) ³
4=2634,24 kgf /m ²
6 A 4a 4L4 =
w . L ³L4 = 480(3) ³
4=3240 kgf /m ²
23
2 480 kgf/m
3 480 kgf/m
M3 L3 + 2 M4 (L3 + L4) + M5 L4 + 6 A 3a3L3
+ 6 A 4 b4L4 = 0
M3 2,8 + 2 M4 (2,8 + 3) – 2160,3 + 2634,24 + 3240 = 0
2,8M3 + 11,6M4 = 605,76 Ec. 3
De Ec. 1, Ec. 2 y Ec. 3 con HP
M2 = -109,026 kg.m
M3 = -485,4958 kg.m
M4 = 169,4093 kg.m
Buscando reacciones
M2 = εMizquierda+¿
-109,026 kgf.m = R1. 2,8 – 480 . 4,8 . 4,82
R1 = 1935,9193 kgf
M3 = εMizquierda+¿
-485,4958.m = 1935,9193. 5,6 + R2 . 2.8 – 480 . 7,6 7,62
R2 = 905,6272kgf
M4 = εMizquierda+¿
169,4043 = 1935,9193. 8,4 + 905,6272 . 5,6 + R3 . 2,8 – 480 . 10,4 10.4
2
R3 = 1712,3482kgf
M5 = εMizquierda+¿
-2160 = 1935,9193. 11,4 + 905,6272. 5,6 + 1712,3482 . 5,8 + R4 . 3 – 480 . 13,4
13,42 R4 = 381,6355 kgf
Para todo + εFy=0
R1 + R2 + R3 + R4 + R5 – 480kgf/m . 16,4 = 0 = R5 = 2936,4698kgf
24
I corte0≤ x≤2
w ( x )=−480
v ( x )=−480 x
M (x )=−240 x2
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 0 0
2 -960 -960
2´ 975,9193 -960
v(2´)= -960 + 1935,9193 = 975,9193
II corte0≤ x≤2,8
w ( x )=−480
v ( x )=−480 x+975,9193
M (x )=−240 x ²+975,91936 x−960
Corte con eje x (v = 0)
0 = -480x + 975,9193 = x = 2,0332
M(2,0332) = -240(2,0332)² + 975,9193(2,0332) – 960 =32,1026 kgf.m
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 975,9193 -960
2,8 -368,0807 -109,026
2,8´ 537,5465 -109,026
v(2,8´) = -368,0807 + 905,6272 = 537,5465
III corte0≤ x≤2,80
w ( x )=−480
25
v ( x )=−480 x+537,5465
M (x )=−240 x ²+537,5465 x−109,026
Corte con eje x (v = 0)
0 = -480x + 537,5465 = x = 1,12
M(1,12) = 191,9701 kgf.m
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 537,5465 -109,026
2.8 -
806,4035
-485,4958
2.8´ 905,9447 -485,4958
v(2,80´) = -806,4035 + 1712,3482 = 905,9447
IV corte0≤ x≤3
w ( x )=−480
v ( x )=−480 x+56,4198
M (x )=−240 x ²+56,4198 x+¿169,5494
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 −56,4198 169,5494
3 -1496,4198 -2160
3´ 1440 -2160
v(3´) = -1496,4198 + 2936,4698= 1440
V corte0≤ x≤3
w ( x )=−480
v ( x )=−480 x+1440
26
M (x )=−240 x ²+1440 x−2160
Tabla de valores
x(m) v (kgf ) M (kgf .m)
0 1440 −2160
3 0 0
1938,9193kgf 905,6272kgf 1712,3482kgf 381,6355kgf 2936,4698kgf
27
480 kgf/m
1140
975,9193
905,9447
537,5465
-56,4198
-368,0807
-438,0553-806,4035
-960
-1496,4198
M (kgf.m)
V (kgf.m)
-2160
X (m)
28
-960
-485,4958
-109,026
32,1026169,5494
191,9701
369,4373
X (m)
CONCLUSIONES
Los procedimientos estudiados para el análisis y cálculo de la deformación de
una viga continua. En el principio de superposición establece que el efecto de un
conjunto de cargas que actúa simultáneamente, es el mismo cuando se suman los
efectos de cada una de ellas actuando por separado.
El método de los tres momentos es desarrollado por Clapeyron para el cálculo
de las vigas continuas, considerando como tales a las estructuras lineales formadas
por varios tramos de vigas apoyadas. Este método toma como incógnitas
hiperestáticas los momentos flectores: M2, M3, que actúan en las secciones
transversales correspondientes a los apoyos intermedios.
El teorema de los tres momentos permite el cálculo de los momentos flectores
solicitantes en los apoyos de las vigas continuas. Su deducción está basada en las
condiciones de deformación de las vigas en el régimen elástico.
29
BIBLIOGRAFIA
Ortiz Berrocal, L., Resistencia de materiales, McGraw-Hill, 2002, ISBN 84-481- 3353-6.
Pytel, A. Singer., Resistencia de materiales, Alaomega grupo editor-OXFORD. Mexico 2004.
http://www.monografías.com/
30
ANEXOS
31
Viga continua y la representación del momento flector que actúa en ella
32
Puente construido mediante vigas de acero continúas. El puente consta de tres tramos, y sobre dicho puente se ha construido una carretera con hormigón
(Lausanne, Suiza).
33