Una introducci on a la teor a de campos cl asicos para...

Una introduccion a la teorıade campos clasicos para

bachilleratoDr. Ricardo Torres Andres

19 de enero de 2018

Un acercamiento a la

teorıa de campos clasicos parabachillerato

Indice

1 El concepto de campo y su estructura 51.1 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 El concepto fısico de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Campos escalares y campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Cargas y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Geometrıa de los campos 132.1 Calculo diferencial de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 El operador ~∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Campos escalares a lo largo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Integrales de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Introduccion a la dinamica de los campos vectoriales clasicos 313.1 ¿Que es la dinamica de un campo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Introduccion cualitativa a las ecuaciones de campo . . . . . . 32

3.2.1 Superposicion lineal de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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1El concepto de campo y su estructura

En la fısica moderna, el concepto de campo ha venido a sustituir al concepto newto-niano de fuerza. Recordemos que una fuerza es un vector que nos indica, esencialmente,la direccion de la aceleracion que sufre un objeto cuya masa permanece constante.

Ejercicio 1. ¿Es cierto que la fuerza nos indica la direccion de la aceleracion para un objeto cuya masavarıa con el tiempo?

No debemos pasar por alto que la propia naturaleza vectorial de la fuerza ya nos estaindicando una valiosa informacion: un vector no es cualquier cosa, es un objeto que secomporta de una manera bien definida al sumarse con otros vectores y multiplicarse porescalares1.

En fısica, ademas, el concepto de vector y el de escalar esta muy asociado a su com-portamiento bajo cambios de observadores, lo que desde un punto de vista matematicoes equivalente a considerar un cambio de base para el espacio vectorial.

La fısica es el estudio del cambio y—como sabemos de nuestro curso de fısica y ma-tematica en primero de bachillerato— el concepto de derivada se establece precisamentepara analizarlo.

Es por esta razon que el concepto fısico de vector surge del enriquecimiento de laspropiedades de la estructura de espacio vectorial a traves de la posibilidad de hacercalculo diferencial sobre el.

Analicemos con algo mas de detenimiento el concepto de vector ligado al de sistemade referencia.

1 En efecto, esto es precisamente lo que definimos cuando nos referimos a ellos como elementos de una estructura que llamamosespacio vectorial. Probablemente a estas alturas ya tendras cierta familiaridad con ello.

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Capıtulo 1. El concepto de campo y su estructura

Sistemas de referencia

Intuitivamente un sistema de referencia siempre esta asociado a un observador comoconcepto basico a la hora de estudiar las propiedades mecanicas de un sistema. De estamanera establecemos un origen de posiciones y tiempos y, con arreglo a ellos, hacemosmecanica a partir de las ecuaciones de Newton.

Desde un punto de vista mas general, podemos definir un sistema de referencia comosigue:

Definicion 1.1: Sistema de referencia

Un sistema de referencia es un origen de posiciones junto con un origen de tiemposen el que hemos anclado una base vectorial de R3.

De esta manera, la descripcion cinematica de un cierto movimiento se hace con arregloa la eleccion de una base para el espacio o para el plano, segun convenga a la naturalezadel sistema que se pretende estudiar.

Ahora que hemos definido lo que es un sistema de referencia surge, de manera casi na-tural, la pregunta acerca de como se relacionan entre sı diferentes sistemas de referenciaque describen el mismo movimiento. ¿Son todos los sistemas de referencia equivalentes?Es decir, ¿la fısica depende del sistema de referencia (observador) que describa un ciertofenomeno?

En el planteamiento de esta pregunta, aparentemente trivial, se esconde una de lasmayores revoluciones cientıficas y filosoficas de los ultimos siglos que, en ultima instancia,darıa lugar a la conocida como relatividad especial, primero; y a su hermana mayor, larelatividad general, algunos anos despues.

Nosotros postergamos el analisis de estas cuestiones hasta que introduzcamos los rudi-mentos basicos de la relatividad especial, algunos temas mas adelante, y nos conformamoscon enunciar las definiciones fısicas de escalar y vector.

Definicion 1.2: Escalar

Un escalar es un objeto matematico que permanece inalterado al cambiar de sistemade referencia inercial.

Recordemos que un sistema de referencia inercial (SRI) es un sistema de referen-cia no acelerado2. Observa que solo vamos a estudiar la relacion entre la fısica que ven

2 La existencia de SRI es un tema interesantısimo, pero no tenemos tiempo y tenemos que conformarnos con esta definicion.La Tierra, por ejemplo, se considera habitualmente un SRI debido a que los efectos de su rotacion son despreciables en la

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los observadores que se mueven entre sı a velocidad constante (sistemas inerciales). Laimportancia de los sistemas inerciales es difıcilmente subestimable en tanto que propor-cionan una clase privilegiada de sistemas de referencia: aquellos en que son validas lasllamadas leyes de Newton3.

Ejemplos de escalares en fısica hay muchos. Para nosotros, por ejemplo, seran im-portantes el tiempo, t; y la masa, m. De esta manera, en la fısica que vamos a estudiarpor el momento (campos clasicos), la masa y el paso del tiempo seran medidos de igualmanera en sistemas que se muevan a velocidad constante entre sı (sistemas inerciales).

Definicion 1.3: Vector

Un vector es un objeto matematico que, bajo cambios de sistemas de referenciainerciales, se modifica segun determine la ley de transformacion de Galileo para lavelocidad

v 7→ v + V,

donde V es la velocidad a la que se mueven entre sı los dos sistemas de referencia.

De esta manera, la fuerza —cuya naturaleza viene dada por la ecuacion de NewtonF = ma— se transforma de igual manera que la aceleracion, puesto que m es un escalary no cambia bajo cambios inerciales. Pero es que si la velocidad cambia segun la ley detransformacion de Galileo, entonces la velocidad cambia de acuerdo con

a =dv

dt7−→ a′ =

d(v + V )

dt=dv

dt+dV

dt︸︷︷︸=0

= a,

de manera que la aceleracion, y por tanto la fuerza, no cambia cuando se considerantransformaciones inerciales de sistemas de referencia.

Ejercicio 2. Suponiendo que la posicion sea un vector, describe matematicamente como estan relacionadaslas posiciones de un mismo objeto que ven dos observadores inerciales moviendose uno respecto al otro avelocidad V cuando uno de ellos ve que el objeto se mueve a velocidad v.

mayor parte de fenomenos de superficie que estudia la fısica. Nota, pues, que la propia definicion de sistema inercial tienealgo de malevola, en cuanto a que hay que establecer un criterio efectivo a la hora de comparar los efectos no inerciales conel fenomeno que se pretende estudiar.

3 Ojo a esto: las leyes de Newton —y me refiero concretamente a la segunda ley— solo son validas en sistemas de referenciainerciales. No debes, ni puedes, aplicar las leyes de Newton si eres un observador colocado en un sistema de referenciaacelerado.

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Ojo entonces, porque ahora entendemos que es lo que significa fısicamente que lafuerza sea un vector. No solo nos estan diciendo que es un conjunto de componentes,sino que nos estan advirtiendo de que cualquier observador inercial respecto a otro ve lamisma mecanica. Y esto es sencillamente brutal: acabamos de establecer lo que se llamaun principio de relatividad.

Resultado 1 (Principio de relatividad de Galileo). Las leyes de la mecanica son lasmismas para todos los observadores inerciales.

El concepto fısico de campo

Ahora que hemos visto lo que es una fuerza, junto con algunos otro rudimentos es-tructurales acerca de las diferencias entre vectores y escalares definidos como elementosde ciertos conjuntos con leyes que nos indican como cambian cuando cambian los obser-vadores que los describen podemos pasar a entender que es un campo.

Definicion 1.4: Campo

Un campo es una funcion que nos indica como se distribuye una determinada mag-nitud en el tiempo y en el espacio.

Desde un punto de vista matematico, un campo es una funcion φ que depende detantas variables como sea necesario para especificar completamente su cambio a lo largodel espacio y del tiempo.

En nuestro curso estudiaremos campos definidos en un espacio 3+1, es decir, con tresvariables espaciales: x, y, z; y una variable temporal, t. De esta manera, un campo esun objeto que tiene la forma φ = φ(x, y, z, t), que, de manera equivalente y para ahorrarescritura, indicaremos como φ = φ(~r, t), puesto que (x, y, z) ≡ ~r.

Ejemplo 1.1: Campo de Hooke

Cualquier magnitud que hayas tratado en fısica puede describirse como un campo. Pongamos porejemplo la llamada fuerza de Hooke, FH = −kx, tan usada para estudiar el comportamiento de losmuelles cuando los deformamos una cantidad x. Este es un campo un poco especial en comparaciona nuestra definicion anterior, por el hecho de que solo esta definido en una recta (observa que nodepende del tiempo y solo aparece una deformacion a lo largo de la direccion x). Se trata, pues, deun campo unidimensional y estacionario (no depende del tiempo).

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Ejemplo 1.2: Campo de temperaturas

Considera ahora la temperatura en cualquier aula un dıa cualquiera de invierno. Esta claro que latemperatura va a variar dependiendo del punto del espacio en el que te encuentres: presumiblementesera mayor en puntos cercanos a los radiadores, y menor en puntos mas alejados de ellos. Pero es quetambien va a variar respecto al tiempo a lo largo del dıa que consideremos: por la noche la calefaccionestara apagada y por el dıa, a partir de cierta hora, los radiadores comienzaran a actuar.

Por supuesto la clase no estara definida en todo el universo, ya que tiene unos lımites bien clarosque vienen dados por las paredes, pero esto no nos indica mas que debemos considerar una funcionde la forma

T = T (~r, t), (x, y, z) ∈ Σ,

donde Σ sera el subconjunto del espacio que forma la clase.

Campos escalares y campos vectoriales

El ejemplo de la temperatura es un caso paradigmatico de lo que se ha dado en llamarcampo escalar, ya que la magnitud cuya variacion se toma en consideracion es un escalarbajo cambios inerciales4. Aunque los campos escalares puedan parecer ajenos a nuestraexperiencia cotidiana, lo cierto es que nos topamos con ellos en muchas ocasiones: unejemplo claro y sencillo lo constituye un mapa del tiempo con temperaturas asociadas acada punto.

Naturalmente, debido a que la variacion de la temperatura se supone continua, notiene ningun interes explicitar la temperatura de todos y cada uno de los infinitos pun-tos que contiene un mapa geografico determinado. Es por esto que habitualmente —como se representa en la figura 1.1— solo se dan las temperaturas asociadas a puntossuficientemente separados, de manera que un observador sensato pueda extrapolar lastemperaturas a puntos mas o menos cercanos de estos lugares.

Por el contrario, el campo de Hooke representa un ejemplo de campo vectorial, encuanto que la magnitud cuya variacion se considera es un vector bajo cambios inerciales(¡recuerda que cualquier fuerza es un vector!). El hecho de que no le pongamos unaflechita se debe a que estamos considerando un campo vectorial unidimensional y, portanto, solo hay que especificar una componente por lo que se suele optar por prescindirde ella.

4 No es facil ver, sin una ecuacion que ligue la temperatura a las velocidades de las partıculas en un sistema, si existe ono diferencia entre la temperatura que mide un cierto observador y la temperatura que mide otro moviendose a velocidadconstante respecto del otro, pero debes creerme si te digo que en nuestras disquisiciones la temperatura es escalar por derechopropio.

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Figura 1.1: Campo escalar de temperaturas en Espana. Se seleccionan solo algunos puntos representativosdel mapa.

Ejemplo 1.3: Campo de Hooke tridimensional

En general, la fuerza de Hooke puede escribirse para deformaciones en las tres dimensiones como uncampo vectorial estacionario cuya forma es

~FH(~r) = −

k11 k12 k13

k12 k22 k23

k13 k23 k33

·xyz

.A la matriz de los coeficientes k —que, por cierto, es simetrica— se la denomina tensor de deforma-ciones. En el caso unidimensional, la fuerza de Hooke se escribe a traves del tensor de deformaciones

FH(x) = −

k 0 00 0 00 0 0

·xyz

= −kx.

En el caso general, las componentes no diagonales de la matriz simetrica asociada al tensor de deforma-ciones son las responsables del cabeceo lateral de los muelles cuando se los estira en una determinadadireccion.

Tambien nos encontramos con campos vectoriales en el terreno de la meteorologıa:los mapas sobre los que se indica la velocidad del viento son, desde el punto de vistafısico, aplicaciones que llevan a un punto del mapa hacia un espacio vectorial en el queviven los vectores velocidad del viento. Dicho de otro modo: se asocia a cada punto unvector que no es sino la velocidad del viento en ese punto (ver figura 1.2).

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Figura 1.2: Mapa de viento para norteamerica, centro america y la zona norte de sudamerica. Notad que,al igual que para el campo escalar y con el fin de no abigarrar el mapa, se eligen solo ciertos puntos

representativos que dan una idea global del comportamiento dinamico del viento.

Cargas y fuerzas

En general, la estructura de un campo fısico es la siguiente: cada magnitud fısica,sea escalar o vectorial, es el efecto o consecuencia de la existencia de una causa quela provoca. En el caso del campo de Hooke, por ejemplo, una deformacion provoca laexistencia de una fuerza. En el caso de la temperatura, es la exposicion a una fuentede calor y a unos ciertos sumideros la que provoca las variaciones a lo largo del espaciodentro de la clase (las fuentes pueden ser radiadores, la propia luz procedente del Solque irradia al aire en el interior del aula; mientras que los sumideros de calor son todosaquellos elementos que provocan la perdida de calor, i.e., las paredes, el suelo, el techo,las ventanas, etc.).

En general, la estructura subyacente a un campo fısico clasico puede resumirse enestos terminos:

un campo fısico es el efecto que se produce en el espacio-tiempodebido a la existencia de una serie de causas o cargas que puedenser fuentes o sumideros.

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Dos de los ejemplos mas paradigmaticos son los siguientes:

Ejemplo 1.4: Campo gravitatorio

Un campo gravitatorio es un campo vectorial que se genera en una region del espacio debido ala existencia de cargas gravitatorias que, comunmente, se denominan masas. Estos campos puedenser estacionarios (si son independientes del tiempo), y no-estacionarios (en el caso en el que lasdistribuciones de las cargas varıen con el tiempo).

Ejemplo 1.5: Campo electrico

Un campo electrico es un campo vectorial que se genera en una region del espacio debido a la exitenciade cargas electricas. Al igual que en el caso gravitatorio, existen campos electricos estacionarios ycampos electricos dependientes del tiempo.

¿Y que pintan las fuerzas en todo esto? Resulta que las fuerzas no son mas que unamanera alternativa de representar la interaccion de una cierta carga externa situada enuna region en la que existe un campo generado por otra carga. Matematicamente estainteraccion se modeliza a traves de una multiplicacion, de forma que se llama fuerzaal producto de una carga externa por el campo generado por otra.

Cuando una carga se introduce en una region en la que existe un cierto campo gene-rado por otra carga se dice que las cargas se acoplan, o, de manera mas precisa, una delas cargas se acopla al campo generado por la otra.

Por ejemplo, la fuerza gravitatoria nos indica la interaccion de una cierta carga gra-vitatoria, m, con un campo gravitatorio generado por otra carga, M . La fuerza electricaentre dos cargas no es otra cosa que la interaccion con la que una carga electrica, digamosq1, se acopla a un campo electrico creado por otra carga q2.

La relacion que existe entre los campos y las fuerzas desde un punto de vista clasicoes clara: los campos son objetos esencialmente equivalentes a las fuerzas, en tanto quepermiten describir la intensidad de una interaccion en una cierta region del espacio-tiempo.

¿Por que el concepto de campo ha reemplazado al de fuerza? Es difıcil abordar es-ta pregunta en este curso: la fısica moderna esta enraizada en una generalizacion delconcepto de campo clasico que introduce transformaciones entre sistemas de referenciamas generales que las transformaciones de Galileo. De una manera informal —para cier-tas magnitudes relacionadas con teorıas mas sofisticadas—, no siempre es tan sencillorelacionar las fuerzas con los campos.

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2La geometrıa de los campos

La propia definicion de campo como objeto extenso en el espacio y en el tiempo—junto con ese enriquecimiento del que hablabamos en la seccion anterior y que nospermite establecer relaciones entre los distintos puntos— da pie a generalizar todas lasherramientas que utilizamos para funciones definidas en la recta real.

Ası, las nociones de continuidad y derivabilidad que ya conoces para funciones defi-nidas en la recta real —que no son otra cosa mas que maneras de comparar el compor-tamiento de la funcion en distintos puntos—, pueden extenderse a un campo vectorialo un campo escalar, sin pagar mas precio que el de considerar variaciones a lo largo denuestro espacio de 3 + 1 dimensiones.

Apareceran, por tanto, tres variaciones espaciales y una variacion temporal; pero,esencialmente, lo que vamos a hacer es lo mismo que si hicieramos calculo diferencial enla recta, a lo largo de varias rectas diferentes.

Calculo diferencial de campos

La naturaleza de los campos que vamos a estudiar es vectorial, es decir, ciertas cargasvan a provocar la existencia de campos definidos en el espacio y que se transforman comovectores bajo cambios inerciales.

Desde un punto de vista mas sencillo —pero menos completo—, puedes considerarque su naturaleza implica que van a requerir de una direccion y un sentido para sucompleta especificacion1.

1 Esta nocion es incompleta desde nuestro punto de vista fısico porque, si te fijas, segun nuestra definicion de vector no estaclaro que cualquier objeto que tenga direccion y sentido lo sea. Esto no es ninguna tonterıa, aunque probablemente en estecurso no entremos a valorar estas diferencias.

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Capıtulo 2. Geometrıa de los campos

Para estudiar las variaciones a lo largo de las tres direcciones espaciales y a travesde la direccion temporal introduciremos las llamadas derivada parciales, que no son masque derivadas ordinarias aplicadas a una direccion concreta. De esta manera para uncierto campo escalar φ(~r, t) definido en todo el espacio pueden calcularse las variacionessiguientes:

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion x del sistema de referenciaconsiderado:

∂φ

∂x(~r, t).

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion y del sistema de referenciaconsiderado:

∂φ

∂y(~r, t).

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion z del sistema de referenciaconsiderado:

∂φ

∂z(~r, t).

Variacion del campo escalar a lo largo de la direccion t del sistema de referenciaconsiderado:

∂φ

∂t(~r, t).

En el caso de un campo vectorial ~E(~r, t) = (E1, E2, E3) cuyas componentes varıan a lolargo del espacio y el tiempo, las variaciones a lo largo de cualquiera de las direcciones delespacio se calculan de igual manera, solo que ahora vamos a tener varias componentes,como corresponde a la naturaleza vectorial del campo. Con todo

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion x del sistema de referenciaconsiderado:

∂ ~E

∂x(~r, t) =

(∂E1

∂x(~r, t),

∂E2

∂x(~r, t),

∂E3

∂x(~r, t)

).

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion y del sistema de referenciaconsiderado:

∂ ~E

∂y(~r, t) =

(∂E1

∂y(~r, t),

∂E2

∂y(~r, t),

∂E3

∂y(~r, t)

).

Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion z del sistema de referenciaconsiderado:

∂ ~E

∂z(~r, t) =

(∂E1

∂z(~r, t),

∂E2

∂z(~r, t),

∂E3

∂z(~r, t)

).

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Variacion del campo vectorial a lo largo de la direccion t del sistema de referenciaconsiderado:

∂ ~E

∂t(~r, t) =

(∂E1

∂t(~r, t),

∂E2

∂t(~r, t),

∂E3

∂t(~r, t)

).

Como ves, la notacion se complica y se aumenta el numero de componentes; perorealmente no estamos haciendo nada nuevo: solo extendemos lo que ya sabıamos parafunciones en la recta real al caso, mas complejo pero no mas complicado, en el quetengamos un espacio mas complicado formado por varias direcciones.

No se a ti, pero a mı me encantarıa que hubiera alguna forma de poder trabajar solocon campos escalares y no tener que definir las distintas variaciones posibles para camposvectoriales.

¿Habra alguna manera de evitar trabajar con tantas componentes? Permıteme quedeje esta cuestion para mas adelante, aunque te adelanto que, por fortuna, sı existe. Lapalabra clave sera potencial. Tatuatela en el brazo izquierdo y tus calculos con camposseran mucho mas sencillos.

De momento, y como paso previo a ulteriores sutilezas, permıteme que introduzca unanotacion muy util cuando estudiamos calculo diferencial en varias variables: el operadornabla, representado por la letra hebrea ∇.

El operador ∇Como ya sabemos que podemos centrarnos en el estudio de campos escalares, vamos

a desarrollar toda la maquinaria centrandonos precisamente en ellos.

Definicion 2.1: Operador ~∇

Se denomina operador ~∇ al vector simbolico

~∇ ≡(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

).

El operador ~∇ es muy util puesto que nos permite estudiar muchas caracterısticasde los campos. De una manera cualitativa, representa la variacion a lo largo de las tresdirecciones espaciales de un cierto campo escalar.

En efecto, cada una de las componentes es precisamente el cambio del campo respectoa cada una de las direcciones de que consta nuestro espacio. Un momento, ¿de todas?¿y que pasa con el tiempo? Bueno, como veremos, en la mayor parte de nuestras disqui-siciones los campos seran estacionarios, ası que no tendremos necesidad de saber cuantocambian con respecto al tiempo, puesto que ya habremos asumido que este cambio esnulo. Sin embargo, en campos mas complicados esta variacion debe considerarse y eloperador ~∇ debe entenderse como un vector de cuatro componentes.

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Ejemplo 2.1: Variacion de un campo de temperaturas

Supongamos que un disco bidimensional de radio R se calienta en su punto central a traves de unsoplete durante un cierto tiempo y despues se deja enfriar dando lugar al campo de temperaturas. Siestudiamos la variacion de temperatura a partir de que el soplete deja de calentar resulta que dichocampo tiene la formaa

T (x, y, t) = e−tx+ y√x2 + y2

, (x, y) ∈ Disco.

Si nos preguntamos como cambia la temperatura a lo largo de las dos direcciones espaciales x ey, podemos utilizar el operador ~∇ en dos dimensiones, es decir, podemos calcular

~∇T (x, y, t) =

(∂T

∂x,∂T

∂y

).

Un calculo algo dispendioso nos indica

~∇T (x, y, t) = e−t

(y2

(x2 + y2)32

,x2

(x2 + y2)32

),

que nos indica como varıa la temperatura a lo largo de las dos direcciones espaciales. Naturalmentevemos que, con el tiempo, el disco se enfriara progresivamente debido al factor exponencial quemultiplica a todo el resultadob.

a Si has aprendido algo acerca de analisis dimensional en este curso puede que algo de la ecuacion siguiente te resultedesagradable. Si lo notas, permıteme que lo considere como un ejercicio matematico sin mayores pretensiones.

b Nuevamente, espero que sepas abstraerte y que consideres que es imposible que el disco se enfrıe hasta el cero absoluto.Un tratamiento cuidadoso del problema —que, por cierto, esta bastante lejos de nuestro curso— tendrıa en cuenta latemperatura ambiente del disco.

Debido a que el operador ~∇ nos muestra el cambio de un campo escalar respecto devariaciones a lo largo de direcciones espaciales, a veces se le llama operador gradiente.Es interesante notar tambien que el operador ∇ actuando sobre funciones escalares nosdevuelve un vector, hecho que no debe caer en el olvido puesto que sera crucial paraentender el concepto de potencial asociado a un campo vectorial.

Variacion de un campo escalar a lo largo de una curva

Acabamos de ver como calcular la variacion de un campo escalar a lo largo de lasdirecciones espaciales, pero ¿como podrıamos hacer mas interesante este resultado ex-tendiendolo a calcular la variacion a lo largo de una cierta curva?

El problema fısico asociado es bastante intuitivo: considera, por ejemplo, que sobre eldisco del ejemplo anterior —cuando la temperatura es lo suficientemente baja como parano achicharrarse— se mueve en lınea recta una hormiguita que porta un termometro.

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El problema entonces es determinar cual es la variacion de la temperatura que mide lahormiguita cuando sigue una lınea recta a traves del disco.

Esta claro que si se mueve por alguno de los ejes del sistema de referencia que hemoselegido la respuesta sera: bien ∂T

∂x , bien ∂T∂y , pero ¿y si lo hace por una recta cualquiera

contenida en el disco? Si pensamos un poco veremos que cualquier recta puede conside-rarse como una especie de mezcla de direccion x y direccion y. De esta manera, cuandola hormiguita va por el eje x va siguiendo la direccion unitaria (1, 0) y cuando va por eleje y, lo hace en la direccion unitaria (0, 1).

En cada uno de estos casos la variacion del campo de temperatura puede calcularsea traves de las expresiones

~∇T (x, y = 0) · (1, 0), ~∇T (x = 0, y) · (0, 1).

¿No es logico pensar que para una direccion cualquiera dada por el vector unitario u lavariacion de la temperatura sea precisamente ~∇T · u? La logica de esta proposicion esaplastante y, en efecto, constituye el resultado buscado.

¡Ricemos algo mas el rizo! ¿Y si la hormiguita sigue un camino que no sea una lınearecta a lo largo del disco? ¡Uf! Aquı el asunto se nos complica, porque tendrıamos quecalcular un vector unitario que, en cada momento, nos indicara cual es la direccion quesigue la hormiguita a lo largo de la recta.

Pero, ¡un momento!, ¿conoces algun objeto que nos diga cual es la direccion ins-tantanea asociada a una funcion? A mı me suena que eso tenıa que ver con la rectatangente a una funcion, que no era otra cosa mas que la derivada de la funcion en elpunto. Dicho desde un punto de vista fısico: la magnitud que nos va a ayudar a deshacerel entuerto no es ni mas ni menos que el vector velocidad de la hormiguita.

Resumiendo, si tenemos una cierta curva sobre el disco cuyos puntos vengan dadosen cada momento como ~r(t) =

(r1(t), r2(t)

), entonces la variacion de la temperatura en

cada punto a lo largo de la curva sera algo como

~∇T(~r(t)

)· 1

||d~r(t)dt ||d~r(t)

dt,

donde ahora la derivada de ~r(t) no es parcial puesto que la curva solo varıa con el tiempo

y se divide por el modulo del vector d~r(t)dt para hacerlo unitario.

Espero que estas cuestiones te hayan ayudado a entender mejor la potencia de laestructura que hemos creado al hacer calculo diferencial sobre campos. En los siguientesapartados iremos un poco mas al grano y veremos como pueden ayudarnos todas estasherramientas a la hora de estudiar caracterısticas fısicas de los campos.

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Divergencia de un campo vectorial

Definicion 2.2: Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial ~E(~r, t) es el producto escalar

div ~E ≡ ~∇ · ~E.

La divergencia de un campo vectorial es un escalar bajo transformaciones inercialesde sistema de referencia y resulta que es util por lo siguiente:

Resultado 2 (Fuentes y sumideros de un campo vectorial). El operador divergenciaactuando sobre un campo vectorial nos indica el caracter de las cargas que lo provocan:

Un campo vectorial tiene mas fuentes que sumideros si div ~E > 0.

Un campo vectorial tiene mas sumideros que fuentes si div ~E < 0.

Un campo vectorial es netamente libre de cargas o solenoidal si div ~E = 0.

¡Ası que el concepto de divergencia nos ayuda a conocer las caracterısticas fısicas deun campo vectorial en terminos de las causas que lo provocan!

Ejemplo 2.2: Divergencia del campo gravitatorio

En unas paginas veremos como se puede calcular un campo gravitatorio provocado por una masapuntual. Por ahora creeme si te digo que podemos definirlo como

~g = −Gmr2

ur,

donde ur es un vector unitario que une el origen de nuestro sistema de referencia, colocado conve-nientemente en el punto donde se situa la masa m, mientras que r es la distancia desde este precisoorigen al punto del espacio en el que se calcula el campo.

En este caso solo tenemos una direccion dada por r, luego el operador ~∇ tiene una sola componentecaracterizada precisamente por esa direccion. Con todo

div~g =∂

∂rur · ~g =

∂

∂r

−Gmr2

= 2Gm

r3> 0,

lo que nos indica que el campo tiene mas fuentes que sumideros. Naturalmente en este caso solo hayuna carga gravitatoria y, por tanto, solo hay una fuente a.

a Por cierto, a la vista de este resultado, ¿se te ocurre por que para el campo gravitatorio siempre se cumple div~g > 0?

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Ejercicio 3. Calcula la divergencia del campo de Hooke unidimensional y establece la relacion del resultadocon los conceptos de fuente y sumidero del campo.

Ejercicio 4. El campo electrostatico creado por una carga puntual q a una distancia r del sistema dereferencia colocado precisamente sobre ella puede calcularse como

~E = Kq

r2ur.

a) ¿Podrıas relacionar div ~E con los conceptos de fuente y sumidero a partir del signo de las carga q?

b) Para el campo gravitatorio siempre se cumple div~g > 0, ¿es este resultado extrapolable al campo

electrostatico ~E?

Rotacional de un campo vectorial

Definicion 2.3: Rotacional de un campo vectorial

El rotacional de un campo vectorial ~E(~r, t) es el producto vectorial

rot ~E(~r, t) ≡ ~∇× ~E(~r, t).

El rotacional de un campo vectorial esta relacionado con el concepto de campo con-servativo. Enunciemos sin demostracion el siguiente resultado

Resultado 3 (Campo conservativo). Un campo estacionario es conservativo si y solo si

rot ~E(~r, t) = 0.

Debido a esto, en ocasiones se denominan campos irrotacionales a los campos con-servativos. Los campos conservativos son verdaderamente importantes en la teorıa decampos porque son precisamente los que nos permiten definir potenciales escalares2.

Ejercicio 5. ¿Es conservativo el campo gravitatorio provocado por una masa puntual? ¿Y el campo elec-trostatico creado por una carga puntual?

Ejercicio 6. Demuestra que un campo definido en la recta (o sea, un campo unidimensional) siempre esconservativo.

Para un campo conservativo, ademas, puede calcularse una nueva magnitud3 deno-minada energıa, que realmente es un objeto que se calcula a partir del potencial.

Las siguiente seccion tiene como objetivo precisamente trabajar un poco mas el con-cepto de campo conservativo. Para ello necesitamos avanzar en nuestra comprension dela geometrıa asociada a los campos, en concreto con el calculo de integrales de campos alo largo de curvas y superficies.

2 Recuerda tu tatuaje en el brazo izquierdo.3 Para ti, a estas alturas, deberıa ser nueva solo en sentido literario...

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Integrales de campos vectoriales

Esta seccion es, probablemente, la mas abstracta de todas estas notas. Soy conscientede que todavıa no conoces lo que es una integral4 ni sabes como calcularla, pero los tema-rios son claros en cuanto al uso de magnitudes como el flujo y la circulacion, conceptosque involucran decisivamente el uso de integrales.

Intentare que estas notas sean lo suficientemente cualitativas para que puedas enten-der que es lo que estamos haciendo5 y, tambien, lo suficientemente potentes como paraque, en algun momento conveniente, puedas utilizarlas para ampliar tus herramientas decalculo.

Comenzaremos nuestras andanzas en este terreno volviendo a traer a colacion el con-cepto de trabajo. La mayor parte de los libros introducen el trabajo de manera operativay comienzan a calcular resultados para el en el contexto de la mecanica. Pero el tra-bajo, como cualquier magnitud, es una construccion y, como cualquier construccion, sehace de manera que responda lo mejor posible a unas necesidades y unos intereses biendeterminados.

En nuestro caso el trabajo se construıa como una magnitud que daba cuenta de lainteraccion entre una carga que se movıa siguiendo una cierta trayectoria y un campodefinido en el espacio6.

La manera mas sencilla de definirlo era a partir de lo que llamabamos trabajo ele-mental, que no era sino una multiplicacion de la fuerza por el desplazamiento elementalrespecto de un cierto sistema de referencia. Esta definicion comenzaba por calcularsepara desplazamientos en una recta y, posteriormente, se definıa el trabajo a lo largo deuna trayectoria como una suma de los trabajos elementales extendida a todos los posiblesdesplazamientos a lo largo de la curva que seguıa la carga en el seno del campo.

Eso es precisamente lo que vamos a generalizar aquı para cualquier campo: vamos aconstruir una magnitud que nos cuantifique como es la interaccion de una carga acopladaa un campo moviendose a lo largo de una trayectoria.

Fıjate que la construccion de la magnitud trabajo involucra tres conceptos: carga,campo7 y trayectoria. Dos de ellos ya nos resultan familiares: una carga se acopla aun campo e interacciona con el. El concepto de trayectoria sobre un campo es facil deentender de manera intuitiva, pero exige un cierto aparte para que todo quede claro.

4 Aunque probablemente ya hayamos hablado acerca del concepto de sumas infinitas de cosas infinitamente pequenas...5 Aunque no sepas como hacerlo.6 Ojo con esto: no todas las cargas se acoplan a todos los campos. Una carga electrica no se acopla a un campo gravitatorio,

y viceversa. Por ejemplo, un neutron —que no tiene carga electrica pero sı tiene masa— nunca se acoplara a un campoelectrico, mientras que un electron —que tiene tanto carga electrica como masa— se acoplara tanto a un campo gravitatoriocomo a un campo electrico.

7 Sı, he hablado antes de fuerza, pero ya sabemos que la fuerza no es mas que el producto del campo por la carga que se acoplaa el.

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Campos definidos en curvas y superficies

Volvamos al ejemplo anterior en el que una incauta hormiguita caminaba por un discosobre el que habıa definido un campo escalar de temperaturas. En aquel caso estabamosinteresado en calcular como cambiaba la temperatura a lo largo de una trayectoria se-guida por la hormiguita, por lo que introducıamos las potentes herramientas del calculodiferencial. Primero veıamos que es lo que pasaba cuando el camino de la hormiga sobreel disco era tan sencillo como podıa ser, es decir, una lınea recta; y luego aumentabamosla complejidad del asunto hasta llegar a la situacion mas complicada posible, es decir, elcaso en que la hormiga viaja siguiendo una cierta curva sobre el disco.

En el problema que nos ocupa la cosa es mas sencilla, puesto que no queremos calcularninguna variacion, sino solo saber cual es el valor de la temperatura para cada uno delos puntos que atraviesa la hormiguita en su camino a lo largo de la trayectoria. Si lahormiguita estuviera quieta en el disco, digamos que en el punto (x0, y0), esta claro quela temperatura que medirıa serıa precisamente

T (~r, t)

∣∣∣∣~r=(x0,y0)

= T (x0, y0, t),

es decir, el valor del campo en ese punto.¿Que sucede si la hormiga comienza a moverse a lo largo de un camino sobre el disco?

La respuesta es bastante intuitiva: si escribimos la trayectoria de la hormiga sobre eldisco a traves de un cierto vector de posicion que depende del tiempo, ~r = ~r(t), entonceslas medidas que hace la hormiga para la temperatura deben responder a los valores delcampo en los puntos que va atravesando, es decir

T (~r, t)

∣∣∣∣curva

= T (~r, t)

∣∣∣∣~r=~r(t)

= T(~r(t), t

),

de manera que el campo pasa de depender de tres variables a solo una variable temporal.Dicho de otra forma: el valor de la temperatura que mide la hormiguita solo depende deltiempo, que nos dice precisamente si se halla en un punto o en otro.

Desde un punto de vista formal decimos que hemos restringido los valores del campoa una cierta curva.

Definicion 2.4: Restriccion de un campo a una curva

La restriccion de un campo a una cierta curva es el conjunto de valores que toma elcampo cuando nos movemos a lo largo de la curva.

En el caso de la hormiga y el disco esta claro que no vale cualquier trayectoria, sinosolo aquellas que estan contenidas en el disco, es decir, aquellas ~r(t) =

(x(t), y(t)

)tal

que x(t)2 + y(t)2 ≤ R2.

21


Ejemplo 2.3: Restricciones sobre el campo de temperaturas del disco

A modo de ejemplo, calculemos la restriccion del campo de temperaturas definido sobre el disco a unatrayectoria contenida en el propio disco. Vamos a crear una trayectoria para la hormiguita que estecontenida en el disco de radio R, por ejemplo, una trayectoria circular de radio R/2.

Como la trayectoria es una circunferencia, debe cumplir x(t)2 +y(t)2 =(R2

)2, de donde un posible

vector posicion es

~r(t) =(x(t), y(t)

)=

(t,

√R2

4− t2

).

El campo de temperaturas que mide la hormiguita es entonces la restriccion del campo a la curva~r(t), es decir

T (~r, t)

∣∣∣∣~r=(t,R

2

4−t2

) = e−tx+ y√x2 + y2

∣∣∣∣(x,y)=

(t,

√R2

4−t2

) = e−tt+√

R2

4− t2

R2

,

que, en efecto, es solo funcion del tiempo.

De igual forma puede calcular el valor de un campo para una superficie. La manerade imaginarse esta situacion es considerar, por ejemplo, la clase en la que calculabamos elcampo de temperaturas. Estaba claro que podıamos calcular la temperatura en cualquierpunto de la clase, pero tambien podemos calcularlo en la superficie de una pelota esfericaque metamos en ella. Tan solo hay que ver como son los puntos de la superficie y calcularla restriccion del campo a ellos.

La descripcion de superficies es un tema algo complicado para este curso, pero no-sotros vamos a utilizar una superficie muy especial y muy sencilla de tratar debido asu simetrıa: la esfera. La esfera se caracteriza por tener un radio constante, es decir, ladistancia de todos los puntos de la superficie al centro de la esfera es constante e igualal radio.

Esto nos facilita mucho la vida, puesto que sabemos que los puntos x, y, z de unaesfera cumplen la ecuacion, analoga a la de la circunferencia pero en tres variables,

x2 + y2 + z2 = R2.

De esta forma, si el campo de temperaturas definido en la clase es, por ejemplo ydesde un cierto sistema de referencia, T (~r, t) = t(x2 + y2 + z2), la temperatura sobre lasuperficie de la pelota definida por x2 + y2 + z2 = R2 sera la restriccion del campo a lasuperficie, esto es

T (~r, t)

∣∣∣∣x2+y2+z2=R2

= t(x2 + y2 + z2)

∣∣∣∣x2+y2+z2=R2

= tR2.

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Definicion 2.5: Restriccion de un campo a una esfera

La restriccion de un campo a una esfera es el valor del campo en los puntos pertene-cientes a la esfera, es decir

T (~r, t)

∣∣∣∣x2+y2+z2=R2

.

La esfera en el espacio tridimensional suele denominarse S2, de manera que a vecesescribiremos esta restriccion como

T (~r, t)

∣∣∣∣~r∈S2

.

Ejemplo 2.4: Reformulacion de la variacion de un campo

Consideremos de nuevo el problema de analizar la variacion de un campo escalar a lo largo de unacurva cualquiera. Vamos a recalcular la variacion del campo escalar φ(~r, t) a lo largo de la curva cuyovector de posicion es ~γ(t) en terminos de restricciones. La variacion del campo escalar a lo largo dela direccion unitaria u podıa calcularse como

~∇φ(~r, t) · u.

Si la direccion unitaria es tangente en cada punto a la curva ~γ, es decir, la direccion unitaria es laderivada normalizada, t ≡ ~γ′(t)/||~γ′||, del vector de posicion tenemos finalmente(

~∇φ(~r, t) · u)∣∣∣∣

~r=~γ,u=t

=

(∂φ

∂x,∂φ

∂y

)· u∣∣∣∣~r=~γ,u=t

=

(∂φ

∂x,∂φ

∂y

) ∣∣∣∣~r=~γ

· t.

En resumen, vemos que la variacion de un campo escalar a lo largo de una curva puede escribirsecomo la restriccion del campo escalar auxiliar ~∇φ(~r, t) · t a la curva ~γ.

Esta variacion del campo escalar φ(~r, t) a lo largo de la direccion tangente instantanea en cadapunto a la curva ~γ(t) se denomina derivada direccional del campo φ en la direccion tangente a lacurva ~γ(t), y representa precisamente la variacion del campo a lo largo de la trayectoria dada por esacurva.

Ejercicio 7. Calcula la derivada direccional del campo escalar T (x, y) = x2 + y2:

a) En la direccion tangente al eje x.

b) En la direccion unitaria 1/√

2(1, 1).

b) En la direccion tangente a la recta ~r(t) = (t, t), que divide el primer cuadrante en dos mitades.

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Ejercicio 8. Si el campo escalar estacionario T (x, y) del ejercicio anterior representa la temperatura sobreuna cierta lamina plana:

a) Calcula y representa graficamente la temperatura que mide una persona que se mueve a lo largo dela recta ~r(t) = (t, t).

b) Una isoterma de un campo de temperatura es una curva sobre la que la temperatura permanececonstante. ¿Cuales son las isotermas del campo T (x, y)?

c) Sin hacer ningun calculo, ¿cuanto vale la derivada direccional del campo T (x, y) en las direccionestangentes a una isoterma?Pista: Dicho de otra forma: ¿cuanto cambia la temperatura que mide una hormiguita que va recorriendo una isoterma

sobre la lamina?

Pasemos ahora a definir integrales sobre las restricciones de campos vectoriales acurvas y superficies. Desde un punto de vista cualitativo lo que vamos a hacer es sumarlos valores de los campos vectoriales a lo largo de todos los puntos pertenecientes a unacurva o a una esfera.

Y como una curva y una esfera tienen infinitos puntos, habra que hacer una suma deinfinitos terminos infinitamente pequenos8, puesto que cada trozo pequenito de curva oesfera dara una contribucion muy pequena.

Esto es precisamente lo que hacıamos cuando construıamos el trabajo de una fuerza alo largo de una trayectoria: dividıamos el camino en todos los pequenos desplazamientoselementales posibles a traves de la curva que seguıa la carga y sumabamos las contribu-ciones de los trabajos elementales. Como el trabajo era una magnitud escalar y debıamosconstruirla a partir de magnitudes vectoriales, introducıamos un producto que nos per-mitiera conseguir un numero a partir de dos vectores: el producto escalar. Veremos queeste producto escalar es realmente importante a la hora de definir magnitudes con lasque extraer propiedades importantes de los campos.

La integral de un campo vectorial a lo largo de una curva

La integral de un campo vectorial ~E(~r, t) a lo largo de una curva ~γ es la suma de lasrestricciones del campo vectorial a lo largo de la direccion tangente a la curva ~γ(t) encada punto. Suele denominarsele integral de lınea del campo a lo largo de la curva, y sesimboliza como ∫

~γ

~E · d~l,

donde d~l = ~v(t) dt es el desplazamiento infinitesimal sobre la curva9.

8 Por favor, no lleves esta analogıa demasiado adelante: el concepto de integral esta muy bien definido desde hace muchos anosy solo pretendo que agarres una idea intuitiva del formalismo.

9 En el contexto de estas notas, estaremos interesados precisamente en que ese desplazamiento sea el desplazamiento de unapartıcula a lo largo de la curva, por eso —anticipando la aparicion de la velocidad— he escrito ~v(t). Fıjate que lo unico que

he hecho para escribir esa ecuacion es despejar d~l en la expresion ~v(t) = d~ldt .

24


En terminos informales, estamos calculando una suma extendida a todos los posiblesvalores de que consta la restriccion del campo ~E a la curva ~γ, es decir∫

γ

~E · d~l ∼∑t

(~E(~r, t) · ~v(t) dt

)∣∣~r(t)=~γ(t)

=∑t

~E(~γ(t), t) · ~γ′(t) dt.

Naturalmente hay que ser muy cuidadoso al definir esta suma, puesto que se extiendea un conjunto muy grande de puntos t. El procedimiento tecnico pasa, como ya vimos10,por hacer una particion del intervalo de valores de t que determina la trayectoria dela partıcula y hacer un paso al lımite suponiendo que las longitudes de las particionestienden a cero. Si la suma existe y no depende de como partamos el intervalo total parat, entonces se dice que la suma es una integral ; en este caso la integral de lınea del campoa lo largo de la curva ~γ.

El trabajo de una fuerza sobre una partıcula que se mueve por el espacio es unamagnitud que ya conoces desde hace unos anos y que, de forma rigurosa, esta definidoa traves de una integral de lınea del campo de fuerza a lo largo de la trayectoria dela partıcula. Ya sabemos que el concepto de fuerza es esencialmente equivalente al decampo en teorıa clasica, ası que podremos generalizar el trabajo ejercido por un camposobre una partıcula de manera casi inmediata.

La idea intuitiva que debemos tener acerca del significado de una integral de lınea esla de una suma de pequenos productos escalares del campo por el desplazamiento de lapartıcula en intervalos de tiempo muy cortos, sumados a lo largo de la trayectoria entredos puntos del espacio. En general esta suma existe y nos da cuenta de lo grande que hasido la interaccion de la carga externa cuando se ha acoplado al campo.

Integral de un campo vectorial a traves de una superficie

Sin entrar en demasiados detalles, la integral de un campo vectorial a traves de unasuperficie es la suma de todos los valores de la restriccion del campo a la superficie. Laintegral de un campo vectorial ~E(~r, t) a traves de una superficie σ suele denominarseintegral de superficie del campo y se representa como∫

σ

~E(~r, t) · d~S,

donde d~S ≡ n·dS es un vector perpendicular a la superficie en cada punto y cuyo modulorepresenta un elemento de area infinitesimal.

En este curso estaremos interesados solo en calcular la integral de un campo vectorialextendida a una esfera, es decir, en el caso en que σ = S2. De acuerdo a esto podemos

10 De hecho cuando hablabamos del trabajo de una fuerza a lo largo de la trayectoria de una partıcula estabamos calculandouna integral de un campo (de fuerza) a lo largo de una curva (la trayectoria).

25


escribir de manera informal∫S2

~E · d~S ∼∑

~E(~r, t) · n(~r) dS

∣∣∣∣~r∈S2

,

donde la suma se extiende, como indica la restriccion, a todos los puntos de la esfera,caracterizados por el vector ~r(t).

Ademas, nuestra atencion se va a centrar exclusivamente en los llamados camposcentrales, que solo dependen de la distancia al origen del sistema de referencia y estandirigidos en la direccion que forma el origen con el punto en el que se calcula el campo(direccion radial), es decir, tales que

~E(~r, t) = ~E(r, t) = E(r, t) ur,

con ur un vector unitario en la direccion radial.Para ellos, resulta que el valor del campo sobre una esfera de radio R es constante,

de manera que los calculos se simplifican enormemente.

Ejemplo 2.5: Integral de superficie de un campo central sobre una esfera

Consideremos el campo vectorial central y estacinario ~E(~r) = E(r) ur sobre una esfera de radio Rcentrada en el origen del sistema de referencia usado para describir el campo. Calculemos la integralde superficie del campo vectorial sobre la esfera:∫

S2

~E(r) · d~S =∑(

E(r)ur · n(r) dS)∣∣∣∣

S2

.

Observemos sin embargo que el vector normal a la esfera, n(r), tiene en cada punto de la esferaprecisamente la direccion de ~r, por lo que al calcular el producto escalar con el campo, que tienedireccion radial, el coseno va a ser identicamente igual a la unidad (recuerda que si dos vectores sonparalelos el angulo que forman tiene un coseno igual a la unidad).

Con todo ∫S2

~E(r) · d~S =∑(

E(r) dS)∣∣∣∣S2

.

Pero es que un campo central sobre una esfera de radio R toma un valor constante e igual a E(R),por lo que sale de la suma y resulta∫

S2

~E(r) · d~S = E(R)∑

dS

∣∣∣∣S2

.

La integral ha resultado ser igual a la suma de todas las porciones infinitesimales de area a lo largode una esfera. ¡Pero es que esta suma debe valer el area de la esfera!, por tanto∫

S2

~E(r) · d~S = E(R) · 4πR2.

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De este ejercicio aprendemos una valiosa leccion:

Resultado 4 (Integral de un campo central estacionario a traves de una esfera). El valorde la integral de superficie de un campo vectorial central a traves de una esfera es igualal valor del campo en la superficie de la esfera por el area de la misma, es decir∫

S2

~E(r) · d~S = E(R) · 4πR2.

Circulacion y flujo. Teorema de Stokes

En el lenguaje de campos a menudo se refiere la integral de lınea de un campo vectoriala lo largo de una curva que une los puntos A y B como su circulacion entre A y B. Esmuy importante calcular la circulacion de un campo a lo largo de una curva cerrada.

Definicion 2.6: Circulacion lo largo de una curva cerrada

Se denomina circulacion de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada a laintegral de lınea extendida a traves de una trayectoria que comienza y acaba en elmismo punto. Se calcula como ∮

~γ

~E(~r, t) · d~l,

donde el sımbolo∮

hace referencia a que la curva ~γ sobre la cual se extiende laintegral de lınea es cerrada.

El concepto de circulacion a traves de lıneas cerradas es fundamental puesto que nospermite relacionar el caracter conservativo de un campo con el valor de las integralesextendidas a curvas cerradas. Dicho de otra manera, es una manera de relacionar lascaracterısticas de un campo con el valor del trabajo que puede medirse siguiendo a unacarga a lo largo de una curva cerrada.

Resultado 5 (Campos vectoriales conservativos). Para un campo vectorial conservativo,~E, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) El campo es irrotacional, es decir, rot ~E = 0.

b) Existe un campo escalar V (~r, t) denominado potencial tal que

~E(~r, t) = −~∇V (~r, t).

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c) Su circulacion a lo largo de cualquier curva cerrada es identicamente nula, i.e.∮~γ

~E(~r, t) · d~l ≡ 0.

Pensando un poco en los apartados a) y c) del resultado anterior puede deducirseque si la circulacion de un campo es nula a lo largo de una curva cerrada particular,debe ser nulo para cualquier curva cerrada11. De otra forma no tendrıa sentido hablar decampos conservativos sin hacer referencia a ciertas trayectorias cerradas particularmenteespeciales.

El calculo de una integral de lınea para un campo y una trayectoria arbitrarias puedeser complejo, pero la pena se reduce notablemente si consideramos la circulacion de uncampo central a lo largo de una circunferencia. La razon se debe a que la circunferenciaes una curva cerrada que tiene una gran simetrıa.

Para la circulacion de un campo central a lo largo de una circunferencia centrada enel origen del sistema de referencia respecto al cual caracterizamos el campo tenemos∮

S1

E(r) ur · d~l =∑(

E(r) ur · ~v(t) dt)∣∣∣∣S1

,

donde S1 es una manera abreviada de denotar a la circunferencia.Pero resulta que si el campo tiene direccion radial significa que es ortogonal a la

velocidad sobre la curva (que siempre es tangente a la circunferencia), de manera que elproducto escalar se anula y tenemos∮

S1

E(r) ur · d~l ≡ 0,

es decir: la circulacion de un campo vectorial central a lo largo de una circunferencia esidenticamente nula.

Resultado 6 (Circulacion de un campo central a lo largo de una circunferencia). La cir-culacion de un campo vectorial central a lo largo de una circunferencia es identicamentenula, i.e. ∮

S1

E(r) ur · d~l ≡ 0,

donde S1 es una forma abreviada de denotar a la circunferencia.

11 Esta es una caracterıstica fundamental de la geometrıa de los campos conservativos que permite establecer una equivalenciaentre distintos tipos de curvas en funcion del resultado de integrales de lınea extendidas a su largo.

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Utilizando los apartados del resultado (5) concluimos que

un campo central es siempre un campo conservativo,

la circulacion de un campo central a lo largo de cualquier curva cerrada es nula,

para todo campo vectorial central puede encontrarse un potencial.

Esta ultima proposicion es particularmente util puesto que permite concentrarse enel potencial, un campo escalar, en lugar de pensar en el campo vectorial original quetiene tres componentes y que, como vimos, puede resultar bastante engorroso de tratar.Debido a esto no es casual que el potencial asociado a un campo conservativo tenga unpapel fundamental en la teorıa de campos clasicos.

Analogamente, en el lenguaje de campos, a la integral de superficie de un campovectorial a traves de una superficie se le denomina flujo del campo a traves de la superficie.Para caracterizar el comportamiento de los campos es importante calcular el flujo a travesde superficies cerradas.

Definicion 2.7: Flujo a traves de una superficie cerrada

El flujo de un campo vectorial a traves de una superficie cerrada Σ es igual a laintegral de superficie del campo a traves de una superficie que encierra un volumen.Se calcula como ∮

Σ

~E(~r, t) · d~S,

donde nuevamente∮

hace referencia a que el flujo se calcula a traves de una superficiecerrada.

En nuestros ejemplos ya hemos calculado el flujo de un campo vectorial a traves deuna superficie cerrada, en concreto hemos calculado el flujo de un campo vectorial centrala traves de una esfera (que encierra un volumen y, por tanto, es una superficie cerrada).

De esta forma podemos reescribir nuestro resultado para campos centrales estaciona-rios como ∮

S2

E(r) ur · d~S = E(R) · 4πR2.

Al igual que sucedıa con la circulacion de un campo a lo largo de curvas cerradas,calcular flujos a lo largo de superficies cerradas nos da informacion acerca del campo.En concreto nos permite relacionar el valor del campo vectorial en la superficie con lasfuentes y sumideros que se encuentran encerradas en el volumen interior, resultado que seconoce como teorema de Gauss y que constituye un caso particular de una herramientapoderosısima en el terreno de la geometrıa diferencial de campos: el teorema de Stokes.

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Este teorema es una verdadera caja de pandora que contiene algunas de las clavespara entender la geometrıa diferencial de campos y las caracterısticas fundamentales delas estructuras en las que se basan muchas teorıas modernas de gravitacion y partıculaselementales. En resumidas cuentas nos indica que el valor de la integral de una ciertafuncion en una cierta region puede expresarse como una suma o una integral de otraaplicacion extendida precisamente a la frontera de la region.

Tendras ocasion de ver que lo que vas a estudiar como teorema fundamental delcalculo, no es otra cosa que un caso especial del teorema de Stokes en una dimension: laintegral de una funcion en un intervalo puede escribirse como la suma de los valores desu antiderivada en la frontera del intervalo.

Si decides estudiar alguna carrera tecnica es probable que encuentres el teorema deStokes para tres dimensiones en forma de tres casos particulares: el teorema de Gauss-Ostrogradski o teorema de la divergencia; el teorema de Stokes y el teorema de Greenque, en realidad, es un caso particular del teorema de Stokes aplicado al plano.

Nosotros no vamos a generalizar estos resultados; pero tendremos ocasion de par-ticularizar el teorema de Gauss para los campos gravitatorio y electrico, por lo quepostergamos su tratamiento en estas notas y ya lo veremos en los temas siguientes.

Ejercicio 9. La presencia de ciertas cargas en el espacio da lugar a la existencia de un potencial estacio-nario V (~r) = k(x2 + y2 + z2), donde k es una cierta constante.

a) Calcula el campo vectorial, ~E, asociado al potencial escalar. ¿Se trata de un campo vectorial central?

b) Calcula el rotacional de ~E. ¿Podıas haber anticipado el resultado sin hacer ningun calculo?

c) Calcula el trabajo necesario para que otra carga externa, qext, efectue un movimiento circular deradio R = 1 empezando y terminando en el origen.

Ejercicio 10. Para el campo vectorial central y estacionario ~P (r) = r−1 ur:

a) Calcula el flujo a traves de una esfera de radio R.

b) El flujo esta relacionado con la intensidad de un campo: si vamos alejando una carga externa delpunto donde esta situada la carga que origina el campo esta claro que este sera cada vez menosintenso. ¿Crees que ~P (r) puede representar un campo fısico razonable?

Ejercicio 11. Muestra que, para un campo gravitatorio creado por una masa puntual M

~g = −GMr2

ur.

se cumple el llamado teorema de Gauss para la esfera:∮S2

~g · d~S = −4πGM,

poniendo ası de manifiesto que el flujo a traves de una superficie cerrada esta ıntimamente relacionadocon la presencia de cargas en su interior.

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3Introduccion a la dinamica

de los campos vectoriales clasicos

Ahora que ya hemos descrito convenientemente los campos ası como su variacion a lolargo de curvas y superficies, es momento de entrar en la cuestion de como se producenlos campos.

En el capıtulo anterior de estas notas hemos hablado de que los campos los generanlas cargas, en un sentido amplio de la palabra, puesto que vimos que la palabra carga serefiere al origen de cualquier interaccion y no solo al concepto habitual de carga electrica.

Sera precisamente este origen el que tendremos que estudiar para conocer como seproducen los campos clasicos.

¿Que es la dinamica de un campo?

Por dinamica nos referiremos a los mecanismos que generan a los campos, es decir,cuando hablemos de la dinamica de un campo estaremos hablando de analizar los procesosque hacen que el campo exista. En un sentido muy general ya sabemos que la dinamicade un campo esta ıntimamente relacionada con la existencia de fuentes y sumideros parala interaccion, es decir, a la presencia de cargas.

Naturalmente, la fısica —como ya sabes— es el estudio del cambio, por lo que lasecuaciones que determinan a los campos explicitan su variacion a lo largo del espacio yel tiempo en terminos de las cargas que los provocan. Las ecuaciones que describen elcomportamiento de los campos son —como viene siendo habitual en este curso de fısica—ecuaciones diferenciales1.

1 Recordatorio: una ecuacion diferencial es una igualdad que relaciona una o varias funciones con sus derivadas.

31

Capıtulo 3. Introduccion a la dinamica de los campos vectoriales clasicos

Introduccion cualitativa a las ecuaciones de campo

Los campos clasicos que vamos a estudiar seran el campo gravitatorio y el campoelectrostatico. Estos campos son campos vectoriales, de manera que asocian a cada puntodel espacio un vector que se denomina campo o intensidad de campo.

En las circunstancias mas sencillas —que son las que vamos a tratar en este curso—estos campos son campos centrales, por lo que seran conservativos y podra asociarselesun potencial, de tal forma que permita trabajar con un solo campo escalar en lugar decon tres componentes espaciales para el vector intensidad de campo.

Como ya sabemos, la variacion de los campos a lo largo del espacio y el tiempo estaıntimamente relacionada con su derivada temporal y con el operador ~∇, que nos indicabala variacion del mismo a lo largo de las tres direcciones espaciales.

Comoquiera que la situacion mas sencilla pasa tambien por que los campos seanestacionarios podremos restringir nuestro analisis a estudiar la generacion de los camposen terminos de la variacion a lo largo del espacial.

Lo que pretendemos hacer es establecer una igualdad entre un operador aplicado alcampo vectorial y las cargas que lo determinan, es decir, analizar la estructura causa-efecto responsable de la generacion del campo.

El siguiente argumento es propio de la fısica moderna y hace uso de la definicionde vector y escalar que ya hemos tratado en apartados anteriores. Como las cargas sonescalares (la masa y la carga no pueden depender de quien las este observando), esta claroque el operador que actue sobre el campo vectorial ha de proporcionar necesariamenteuna cantidad escalar.

De todos los operadores que hemos visto que pueden construirse con el operador nabla,solo uno de ellos es un escalar: la divergencia. No es casual que la hayamos relacionadocon la presencia de fuentes y sumideros: es la opcion mas simple que tenemos de construirun escalar a partir de la intensidad de campo.

Ası que la forma que va a tener nuestra ecuacion va a ser, de manera informal

div ~E(~r, t) ∼ cargas, (3.1)

donde recordamos una vez mas que el termino cargas hace referencia a una carga genericaque provoca la existencia de un campo (en nuestro caso una masa o una carga electrica).

Recordando que para los casos que vamos a tratar —campos estacionarios y centrales—puede encontrarse un potencial escalar V (~r, t) tal que

−~∇V (~r, t) = ~E(~r, t),

32


podemos reescribir la ecuacion (3.1) como

div(−~∇V (r, t)

)∼ cargas, (3.2)

donde ya hemos escrito V (r, t) en lugar de V (~r, t) debido a la hipotesis de trabajo quehemos asumido respecto a usar solamente campos centrales.

Las ecuaciones (3.1) y (3.2) se denominan ecuaciones de campo y son completamente

equivalentes, en tanto que permiten determinar las caracterısticas del campo vectorial ~Ea partir de la configuracion de cargas existente en el espacio.

Naturalmente la ecuacion (3.2) tiene un aspecto mas sencillo puesto que la ecuacion(3.1) involucra la resolucion de tres ecuaciones diferenciales, una por cada componentedel campo vectorial. De cualquier modo, restrigindiendo nuestro estudio a campos cen-trales ambas ecuaciones son esencialmente igual de complicadas (o faciles) de resolverdebido a que la simetrıa que involucra el caracter central permite trabajar con una solacomponente del campo2.

A la ecuacion (3.2) se la denomina ecuacion de Poisson para el potencial y determinaunıvocamente —siempre que se especifique convenientemente la distribucion espacial ytemporal de la configuracion de cargas electrostaticas o gravitatorias— la solucion parala intensidad de campo en cualquier punto del espacio y en cualquier momento.

Ejercicio 12. Se trata de intentar especificar la forma matematica de los campos vectoriales generadospor una sola carga que cumplen con las condiciones que se expresan en cada apartado. Nota que es muyposible que haya muchos campos que cumplan las condiciones.

a) Un campo vectorial constante en el espacio y en el tiempo, proporcional a la carga.

b) Un campo vectorial proporcional al cuadrado de la carga y que decrece espacialmente con el cubo dela distancia a la misma.

c) Un campo conservativo, proporcional a la carga y que se anula en el infinito.

d) Un campo lineal con la carga, inversamente proporcional al cuadrado de su velocidad y que, cuandola carga esta parada, coincide con el campo gravitatorio generado por una carga puntual.

Ejercicio 13. ¿Un campo conservativo es siempre central? ¿Es siempre cierto el recıproco?

Ejercicio 14. Para la funcion V (x, y) = k(x2 − y2):

a) Comprueba que cumple la ecuacion de Poisson.

b) Si V representara un potencial escalar en el plano, ¿que puedes decir de la carga que lo genera?

c) ¿Crees que tiene sentido que V (x, y) represente un potencial electrostatico o gravitatorio?

2 Revisa los ejemplos en el capıtulo anterior si no te lo crees.

33


Nota: De este problema debemos aprender que no todas las soluciones de la ecuacion de Poissonson campos admisibles. Tan importante como la ecuacion misma son las condiciones que determinan lascaracterısticas de la configuracion de cargas.

Ejercicio 15. Desde un punto de vista matematico moderno, una derivacion es cualquier operador lineal,D, que satisface la regla de Leibniz. Es decir, para cualesquiera numeros reales α y β, se cumple

D(αf + βg) = α Df + β Dg, D(f · g) = Df · g + f · Dg

a) Muestra que la derivada de cualquier constante es nula.

b) Comprueba que el operador ∆ es una derivacion.

Estudiemos ahora que sucede si en lugar de una sola fuente generadora tenemos unconjunto de cargas distribuidas en el espacio.

Superposicion lineal de campos

La ecuacion (3.2) puede desarrollarse escribiendo la forma explıcita del operador queactua sobre el potencial, es decir,(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)·(− ∂

∂x,− ∂

∂y,− ∂

∂z

)V (~r, t) ∼ cargas.

Desarrollando el producto escalar que aparece en el primer miembro de la ecuacionanterior resulta que el operador queda(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)·(− ∂

∂x,− ∂

∂y,− ∂

∂z

)= − ∂2

∂x2− ∂2

∂y2− ∂2

∂z2,

de manera que la ecuacion de Poisson queda en terminos de derivadas segundas como

−(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)V (~r, t) ≡ ∆V (~r, t) ∼ cargas, (3.3)

donde hemos definido una nueva cantidad, el operador de Laplace o laplaciano, a travesde la identificacion ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 ≡ ∆.

Esta es una ecuacion diferencial en derivadas parciales que, para cargas complica-das, puede resultar extremadamente difıcil de resolver. No pertenece, ni mucho menos, aun temario de segundo de bachillerato, pero lo importante es notar ciertas caracterısti-cas que nos van a permitir estudiar cualitativamente el comportamiento de los camposgravitatorio y electrostatico en este curso.

Lo primero es ver que se trata de una ecuacion lineal, en el sentido que ya vimos enclase, es decir, esta escrita en terminos de un operador que aplicado sobre una suma defunciones da lugar a la suma de los operadores aplicados sobre cada sumando, es decir,si un operador O es lineal satisface

O(f1 + f2 + f3 + . . . ) = O(f1) +O(f2) +O(f3) + . . . ,

34


y esto que parece una propiedad exclusivamente matematica es algo brutalmente impor-tante en el estudio de los campos que vamos a hacer este curso.

En efecto, el operador ∆ que actua sobre el potencial V (~r, t) en la ecuacion (3.3)es un operador lineal porque, esencialmente, es una suma de derivadas segundas. Y yasabes por tu curso de matematica que la derivada es un operador lineal3.

¿Y para que sirve todo esto? Permıteme considerar el problema en el que, en lugarde una sola carga, Q1, tenemos varias cargas Q2, Q3, . . . . Para este supuesto la ecuacionde Poisson para el potencial se escribira

∆V (~r, t) ∼ Q1 +Q2 +Q3 + . . . ,

de manera que —utilizando el hecho de que el operador ∆ es lineal— podemos considerarque el potencial puede escribirse como una suma de potenciales V1 +V2 +V3 + . . . tal que

∆ (V1 + V2 + V3 + . . . ) = Q1 +Q2 +Q3 + . . . ,

y que representan los potenciales creados individualmente por cada carga, es decir

∆V1(~r, t) = Q1, (3.4)

∆V2(~r, t) = Q2,

∆V3(~r, t) = Q3,...

Si tenemos suerte y sabemos resolver las ecuaciones (3.4), resulta que el potencial encualquier punto del espacio sera

V (~r, t) = V1 + V2 + V3 + · · · =∑i

Vi,

y el campo asociado

~E(~r, t) = −~∇V (~r, t) = −~∇∑i

Vi =∑i

(−~∇Vi

)=∑i

~Ei(~r, t),

con ~Ei los campos creados por cada carga individual.

En resumen:

Resultado 7 (Superposicion lineal de campos). En teorıa de campos clasicos, el potencial(campo) creado por una configuracion arbitraria de cargas es la suma de los potenciales(campos) creados por cada carga individualmente.

3 ¿Te suena eso de que la derivada de la suma es la suma de las derivadas?

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En ocasiones se habla del principio de superposicion lineal, aunque desde mi puntode vista no merece la pena elevarlo a la categorıa de principio debido a que es unacaracterıstica de los campos heredada del comportamiento lineal de los operadores4.

Incluso en este curso —donde estaremos principalmente interesados en cargas pun-tuales, es decir, cargas que no tienen estructura espacial extensa— este principio ayudaenormemente a la resolucion de problemas relacionados con la determinacion de un cam-po a partir de las cargas que lo generan, puesto que bastara sumar las contribuciones delos campos generados por cada carga individualmente en cada zona del espacio dondenecesitemos evaluar la interaccion.

Ejemplo 3.1: Campo gravitatorio creado por cargas puntuales

El campo gravitatorio creado por una carga gravitatoria estatica y puntual, m, en el origen de uncierto sistema de referencia inercial elegido convenientemente puede escribirse como el campo vectorial,central y estacionario,

~g(r) = −Gmr2

ur,

donde r es la distancia de la masa al origen y ur es un vector unitario que indica precisamente ladireccion que forman el origen y la carga.

Si existen dos masas iguales adicionales colocadas a una distancia 2r y 3r de tal manera que ladireccion que forma el origen con cada una de ellas venga determinada por el vector director u′r yu′′r , respectivamente; el campo total provocado por las tres cargas podra escribirse —en virtud de lasuperposicion de campos— como

~gtotal(r) = −Gmr2

ur +Gm

4r2u′r +G

m

9r2u′′r = −Gm

r2

(ur +

u′r4

+u′′r9

).

Si una masa externa,M , se coloca en nuestro origen de referencia, resulta que la fuerza gravitatoriaque experimentara como resultado de la interaccion con el campo creado por las tres cargas vienedada por

~F = M~g = −GMm

r2

(ur +

u′r4

+u′′r9

).

Como el campo gravitatorio es central resulta que solo importa la distancia al origen, r, y soloesta sera relevante como direccion espacial. El potencial gravitatorio asociado a una masa puntualdebe ser una funcion tal que

− d

drV (r) ur = −Gm

r2ur,

condicion que es satisfechaa por

V (r) = −Gmr.

Tendremos ocasion de ver que, al igual que la fuerza mide la interaccion entre una carga externa yla configuracion interna de cargas generadoras del campo; para campos conservativos puede definirseuna magnitud adicional denominada energıa potencial que no es mas que el producto del potencialpor la carga externa.

4 Que estos deban ser lineales por principio es otro cantar.

36


En nuestro caso, la energıa potencial gravitatoria de la masa externa M en el campo generadopor las tres masas es igual a

Ep(r) = MV (r) = −GMm

r

(1 +

1

2+

1

3

)= −11

6

GMm

r.

Observa que las caracterısticas matematicas (en terminos de funciones) del potencial y de laenergıa potencial son identicas: ¡solo hemos multiplicado el potencial por una constante!

La importancia de estas magnitudes es doblemente resenable: por una parte nos permiten olvi-darnos del caracter vectorial del campo y trabajar con un solo campo escalar; por otra, la energıapotencial es parte de la llamada energıa total, una cantidad conservada a lo largo del tiempo para unapartıcula externa que viaja por un campo. Tendremos ocasion de ver lo util que es esta propiedad.

a ¿Unicamente? Veremos todo esto mas detenidamente, pero es buen momento para que pienses en ello.

Ejemplo 3.2: Energıa cinetica de una masa en un campo gravitatorio

Supongamos que una masa M se mueve en un campo gravitatorio, ~g generado por una cierta configu-racion de cargas que permanecen estaticas. El movimiento de la carga a traves del campo debe venirregido por la ecuacion de Newton, de manera que se cumpla

M~a = ~F .

Calculemos el trabajo efectuado por el campo para que la partıcula viaje entre los puntos A y Bde una cierta trayectoria

W =

∫~γ

~F · ~v dt =

∫~γ

Md~v

dt· ~v dt,

es decir

W = M

∫~γ

~v · d~v =1

2M

∫~γ

d(~v 2) =1

2Mv2

∣∣∣∣BA

=1

2M(v2

B − v2A),

que nos indica que el trabajo es proporcional a la variacion del cuadrado de la velocidad entre losdos puntos. Definiendo la energıa cinetica como Ec ≡ 1

2Mv2, la ecuacion anterior nos indica que el

trabajo efectuado por el campo para que la partıcula se mueva en su seno entre los puntos A y B esprecisamente la variacion de energıa cinetica entre esos puntos.

Ejemplo 3.3: Balance energetico de una masa en un campo gravitatorio

Como ya hemos avanzado, la energıa ni se crea ni se destruye por lo que esta variacion en la velocidadha tenido que venir procedente del campo. En efecto, sabemos que la fuerza que sufre la partıculaexterna M en el ejemplo anterior se debe a su acoplo con el campo ~g, de tal forma que puede escribirse~F = M~g, por lo que el trabajo tambien puede indicarse como

W =

∫~γ

M~g · d~l = M

∫~γ

−~∇V · d~l,

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donde hemos escrito ~g = −~∇V porque el campo gravitatorio es conservativo.Sin seguir calculando ya tenemos formulada matematicamente la situacion: la partıcula gana o

pierde velocidad dependiendo de la interaccion con el campo, es decir:

W =1

2M(v2B − v2

A

)︸︷︷︸cambio en la velocidad

= −M∫ B

A

~∇V · d~l︸︷︷︸interaccion con el campo

.

Recordando que Ep ≡MV , podemos escribir la igualdad anterior como

1

2Mv2

∣∣∣∣BA

= −∫ B

A

~∇Ep · d~l,

donde vemos de manera clara que la variacion de energıa cinetica debe corresponder a una variacionde la energıa potencial gravitatoria a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B. Veremos queeste resultado no depende para nada de lo que pase entre medias de esos puntos, sino solo de losextremos A y B.

Para hacer el analisis mas claro supongamos que el problema se restringe a una sola direccion, xpor ejemplo. Entonces

~∇Ep · d~l =dEpdx

dx,

y resulta que1

2Mv2

∣∣∣∣BA

= −∫ B

A

dEpdx

dx = −∫ B

A

dEp = EAp − EB

p ,

resultado que es completamente general y que pone el colofon a nuestro calculo: la variacion de laenergıa cinetica de una partıcula moviendose en un campo es igual a la variacion de energıa potencialcambiada de signoa

∆Ec = −∆Ep.

Reescribiendo esta ecuacion como

∆Ec + ∆Ep = ∆(Ec + Ep) = 0,

y llamando E ≡ Ec + Ep a la energıa total de la partıcula, llegamos a enunciar un resultado absolu-tamente trascendental: la energıa total de una partıcula se conserva a lo largo de un movimiento enel seno de un campo conservativo. ¡Precisamente por eso se llaman conservativos!

El hecho de que la variacion de energıa potencial para una carga que se mueve a lo largo de unacierta trayectoria entre los puntos A y B no dependa del camino que siga es un reflejo del caracterconservativo del campo.

a Ojo: aquı ∆ no es el operador de Laplace, sino el incremento definido sobre cualquier cantidad como ∆f ≡ ffinal−finicial.

Ejercicio 16. Deduce, en el Sistema Internacional, las unidades para la intensidad de campo gravitatorio,la intensidad de campo electrostatico, el potencial gravitatorio y el potencial electrostatico.

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Ejemplo 3.4: Conservacion de la energıa total a lo largo de la trayectoria

Considerando la energıa total de una masa externa M acoplada a un campo gravitatorio creado poruna masa puntual m, es decir,

E =1

2Mv2 −GMm

r,

vamos a mostrar que la energıa se conserva a lo largo de la trayectoria de la partıcula, es decir, que

dE

dt

∣∣∣∣trayectoria

≡ 0.

Al derivar tendremos que calcular d(v 2)/dt que, usando la regla de la cadena, resulta ser proporcionala la aceleracion. Teniendo en cuenta que sobre la trayectoria de la partıcula M debe cumplirse laecuacion de Newton, F = Ma, es probable que tengamos suficiente para llegar a lo que se pide.

Hagamoslo: primero calculemos la contribucion procedente de la energıa cinetica

d

dt

(1

2Mv2

)=

1

2Md(v2)

dt,

por lo que podemos concentrarnos en calcular d(v2)/dt, como anticipabamos. Usando la regla de lacadena encontramos

d(v2)

dt=d(v2)

dv

dv

dt= 2v

dv

dt︸︷︷︸=a

= 2va.

Ahora pasemos a calcular la contribucion de la energıa potencial gravitatoria,

d

dt

(−GMm

r

)= −GMm

d

dt

(1

r

),

que nos indica que podemos restringirnos a analizar como cambia con el tiempo 1/r. Apliquemos denuevo la regla de la cadena

d

dt

(1

r

)=

(dr

dt

d

dr

)1

r=

dr

dt︸︷︷︸=v

d

dr

(1

r

)= − v

r2.

Sumando ambas contribuciones obtenemos

dE

dt=M

22va+GMm

v

r2= Mva+GMm

v

r2,

pero si estamos considerando que v, a y r son la velocidad, la aceleracion y la posicion sobre latrayectoria, entonces ha de cumplirse la ecuacion de Newton F = −GMm/r2 = Ma, de manera quepodemos escribir para la suma de las contribuciones

dE

dt= Mva+ v G

Mm

r2= Mva+ v(−Ma) = 0,

que es precisamente lo que querıamos demostrar. ¡La fısica funciona!

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Una introducci on a la teor a de campos cl asicos para...

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