TRABAJO INTEGRADOR SOLIDO Cono – Esfera - Paraboloide Calculo de volumen y centros de masa Eddy Sinchi – Armando Zúñiga 21/06/2012

OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERAL:

Realizar un sólido, calcular su volumen con triple integral y hallar su centro de masa.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Medir dimensiones del solido Realizar mediciones del peso del solido Plantear las ecuaciones del sólido con para graficarlo Encontrar las ecuaciones paramétricas de nuestras ecuaciones y

representarlos en un software matemático Plantear la tiple integral de forma correcta para encontrar su

correspondiente volumen y momento de inercia. Con los momentos de inercia correspondientes plantear la ecuación y

hallar su centro de masa. Verificar mediante algún software el resultado.

MATERIALES E INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

1. Calibrador 2. Solido de pino 3. Software matematico (derive,Winplot) y de dibujo (Auto CAD)

MEDICIONES Altura cono 140mm

Radio de la esfera 4.05mm

Diámetro del paraboloide intersectada con la esfera 32mm

Profundidad del paboloide 60mm

ECUACIONES A PARTIR DE LAS MEDICIONES

Esfera 2 2 2 2 (x - h) + (y - k) + (z - l) = r Radio = 4.05

Desplazamiento en z = 4.33 2 2 2 2 x + y + (z - 4.33) = 4.05

Cono Ecuación de la recta z = m (x-x1) 14 m = - 4.05 ⎛ 14 ⎞ z = ⎜- ·(x - 5.12) ⎝ 4.05 ⎠ Despejando x ⎛ 4.05 ⎞ z·⎜- + 5.12 = x ⎝ 14 ⎠ Revolucionando ⎛ ⎛ 4.05 ⎞ ⎞2 2 2 ⎜z·⎜- + 5.12⎟ = x + y ⎝ ⎝ 14 ⎠ ⎠ ⎛ 4.05 ⎞ 2 2 z·⎜- + 5.12 = √(x + y ) ⎝ 14 ⎠

Paraboloide

2 (x - h) = 4·p·(z - k) Desplazamiento en z 2 x = 4·p·(6 - z) Reemplazando punto (1.6,0) 32 4·p = 75 Revolucionando 2 2 32 x + y = ·(6 - z) 75 ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Esfera

2 2 2 2 x + y + (z - 4.33) = 4.05 x = 4.05·SIN(u)·COS(t) y = 4.05·SIN(u)·SIN(t) z = 4.05·COS(u) + 3.7

con: z = 0 3.7 COS(u) = - 4.05 u = 2.72 Limites de u y t

≤ u ≤ 2.72 2 0 ≤ t ≤ 2 Cono

⎛ 4.05 ⎞ 2 2 z·⎜- + 5.12 = √(x + y ) ⎝ 14 ⎠ x = u·COS(t) y = u·SIN(t) despejando z z = - 3.45·(u - 5.12) Limites de u y t

0 ≤ u ≤ 4.05 0 ≤ t ≤ 2

Paraboloide

2 2 32 x + y = ·(6 - z) 75 x = u·COS(t) y = u·SIN(t) despejando z 75 2 z = 6 - ·u 32

Limites de u y t 0 ≤ u ≤ 1.6 0 ≤ t ≤ 2

GRAFICAS DEL SOLIDO

Esfera

Cono

paraboloide

Solido

VOLUMEN 2· ⌠ 1.6 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) v = ⎮ ⎮ ∫ r dz dr dt + ⎮ ⌡ 6 - 2.343·r^2 ⌡ 0 0 2· ⌠ 4.05 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) ⎮ ⎮ ∫ r dz dr dt ⎮ ⌡ √(4.05^2 - r^2) + 4.33 ⌡ 1.6 0

⎛ 693239899 38759·√113 ⎞ v = · - ⎝ 10000000 12000 ⎠ v = 109.9227711 MOMENTOS CON RESPECTO A LOS TRES PLANOS Myz=∫∫∫x*ρ(x,y,z)dV Mxz=∫∫∫y*ρ(x,y,z)dV Mxy=∫∫∫z*ρ(x,y,z)dV 2· ⌠ 1.6 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) Myz = ⎮ ⎮ ∫ (r·SIN(t))·r dz dr dt + ⎮ ⌡ 6 - 2.343·r^2 ⌡ 0 0 2· ⌠ 4.05 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) ⎮ ⎮ ∫ r·(r·SIN(t)) dz dr dt ⎮ ⌡ √(4.05^2 - r^2) + 4.33 ⌡ 1.6 0 Myz = 0 2· ⌠ 1.6 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) Mxy =⎮ ⎮ ∫ (r·COS(t))·r dz dr dt + ⎮ ⌡ 6 - 2.343·r^2 ⌡ 0 0 2· ⌠ 4.05 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) ⎮ ⎮ ∫ r·(r·COS(t)) dz dr dt ⎮ ⌡ √(4.05^2 - r^2) + 4.33 ⌡ 1.6 0 Mxz = 0

2· ⌠ 1.6 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) Mxy = ⎮ ⎮ ∫ z·r dz dr dt + ⎮ ⌡ 6 - 2.343·r^2 ⌡ 0 0 2· ⌠ 4.05 ⎮ ⌠ - 3.45·(r - 5.12) ⎮ ⎮ ∫ r·z dz dr dt ⎮ ⌡ √(4.05^2 - r^2) + 4.33 ⌡ 1.6 0 ⎛ 1870369085229169 16782647·√113 ⎞ Mxy = · - ⎝ 4000000000000 1200000 ⎠ Mxy = 1001.929140 · (ρ) Aplicando la densidad del caoba ρ= 560 kg/m^3 Mxy = 1001.929142(0.00056 kg/cm^3) Mxy = 0.5610803195 GRAFICA EN AUTO CAD

RESULTADOS EN AUTO CAD

---------------- SOLIDOS ---------------- Masa: 354187.5642 Volumen: 354187.5642 Cuadro delimitador: X: -40.5000 -- 40.5000 Y: -40.5000 -- 40.5000 Z: 0.0000 -- 177.2055 Centro de gravedad: X: 0.0000 Y: 0.0000 Z: 56.3216 Momentos de inercia: X: 1600858469.5001 Y: 1600858469.5001 Z: 207443199.4358 Productos de inercia: XY: 0.0000 YZ: 0.0000

ZX: 0.0000 Radios de giro: X: 67.2295 Y: 67.2295 Z: 24.2010 Momentos principales y direcciones X-Y-Z alrededor del centro de gravedad: I: 477333901.5086 a lo largo de [1.0000 0.0000 0.0000] J: 477333901.5086 a lo largo de [0.0000 1.0000 0.0000] K: 207443199.4358 a lo largo de [0.0000 0.0000 1.0000] Analisis de resultados Como se puede observar en el programa tenemos unos calculos de centro de masa y volumenes diferentes que los obtenidos calculando con el programa. Esto se debe a que en el programa la densidad no se pudo ingresar entonces obtenemos unas medidas diferentes.