Solucionario Calculo Vectorial.

7/24/2019 Solucionario Calculo Vectorial.

1/32

CALCULO

VECTORIA

LCURVAS EN R2 Y ECUACIONES

PARAMETRICAS


2/32


3/32

10.1 CNICAS Y CALCULO.

1y2=4x

4p=4 c (0,0)

p=1 f(1,0)

D x=1

2(x+4)2=2(y+2)

c (4,2)

4p=2

p=1/2

f(4,1.5)

DY=2.5

3(x+4)2=2(y2)

c (4,2)

4p=2

p=1/2

f(4,1.5)

DY=2.5

4 (x2)2

16+(y+1)2

4=1

a2=16 a=4 c (2,1)

b2=4 b=2 v (24,3)

c2=164 f(223 ,3)

c=12


4/32

c=23

e=238

=3

4

5x2

4+

y 2

9=1

a2=9

a=3

F(0,5)

b2=4

b=2 c (0,0)

c2=94

c=5

6x

2

9+

y2

9=1

a2=9 a=3 c (0,0)

b2=9 b=2

7y

2

16

x2

1=1

a2=16 a=4 c (0,0)

b2=1 b=1 F(15 ,0)

c2=161

c=15

4,0

v )

8(x2)2

9

y2

4=1


5/32

a2=9 a=3

b2=4 b=2

c (2,0)

9y2=8x

c (0,0)

4p=8

p=2

f(2,0)

D x=2

11 (x+5 )+(y3)2=0

(y3)2=(x+5) F(51

4,3)

v (5,3) D x=43

4

4p=1

p=14

13y24y4x=0

(y24y+4 )=4x

y2

v(1,2 )

4p=4

p=1


6/32

D x=2

15

x2+4x+4y4=0

(x2+4x+4 )=4y+4+4

x+2

v(2,2 )

4p=4

p=1

Hallar ecuacin de la parbola

21vertice(5,4)

Foco(3,4)

(xh)2=4p(yk)

(x5 )2=4 (2 ) (y4 )

x210x+25=8y32

x210x8y+25+32=0

x2108y+57=0

22vertice (2,1)

Foco(2,1)

(xh)2=4p (yk)

(x+2 )2=8 (y1 )

x2+4x+4=8y+8

x2+4x+8y4=0

23vertice(0,5)


7/32

Directriz y=3

P=4

Foco(0,1)

(xh)2

=4p(yk)

(x0 )2=4 (4) (y5)

x2=16(y5)

x2=16y80

x216y+80=0

Hallar centro, oco, !"rtice # e$centricidad de la elip%e # tra&ar %u 'raica

2916x2

+y2

=16

x2+y

2

16=1

C (0,0) v (0,4) f(0,15)

a2=16 a=4 c (2,1)

b2=1 b=1

c2

=161

c=15

c=3 53


8/32

e=3 534

31(x3)2

16+(y1)

2

25=1

C (3,1) v (35,1) f(33,1)

a2=25 a=5 c (2,1)

b2=16 b=4

c2=2516

c=9c=3

e=3

5

339x2+4y2+36x24y+36=0

4y224y+

9x

2

+36

x++x

9( 2+2)2

36+4 (y23 )

2

36=

36

36

x

( 2+2)2

36

9

+4 (y23)

2

36

4

=1

x

( 2+2)2

4+4 (y23)

2

9=1


9/32

C (-2,3) v (2,33) f(2,35)

a2=9 a=3 c (2,1)

b2=4 b=2

c2=94

c=5 e=5

3

Hallar una ecuacin de la elip%e().* Centro (0,0)

Foco (5,0)Vrtice (6,0)

x

2

36+y2

6 =1 a2=36

a=6 b2

=6 b=6

6x2+36y2

216=1 e=

0

6

6x2+36y2=216

6x2+36y2216=0

+.* -oco 0,/ )Lon'itud del ee 2a#or3

Centro (0,0)

a2=121 b

2=12181=40

c2=81 b

2=40=210

x2

40+ y2

121=1

40(121) [ x2

40+

y2

121=1]


10/32

121x2+40y2=4840

121x2+40y24840=0

Hallar el centro, oco, !"rtice de la 4ip"rbola # 'raicar

45y2x

2

9=1

C (0,0) v (0,1) f(0, 10)

a2=1 a=1 c (2,1)

b2=9 b=3

c2=9+1

c=10

47(x1)2

4

(y+2)2

1=1

C (1,-2) v(1 2,2 ) f(15 ,2)

a2=4 a=2 c (2,1)

b2=1 b=1

c2=4+1

c=5

499x2y236x6y+18=0


11/32

9x

y2+6y+

x9(24x+4)(y2+6y+9 )=18+36+9

x

9( 22)2

27+

(y2+3 )2

27=

27

27

x

( 22)2

27

9

+ (y2

+3 )2

27=1

C (2,-3) v (21,3) f(210 ,3)

a2=3 a=3

b2=27 b=27=33

c2=3+27

c=30 e=53

51x29y2+2x54y8=0

x

9y2+54y+

( 2+2x+1)

(x+1)29 (y2+6y+9 )=8+81+1

(x+1)2

90

9 (y+3 )2

90=90

90


12/32

(x+1)2

90

(y+3)2

90

9

=1

(x+1)2

90 (y+3)

2

10=1

C (-1,-3) v (1310 ,3) f(145 ,3)

a2=90 a=90=310

b2=10 b=10

c2=9010=80=4 5

10.2 CURVAS PLANAS Y

PARAMETRICAS.

1. Considerar las siguientes ecuaciones para mtricas x=t , y-3-ta) Construir una tabla de valores para t=0,1,,3, y !b) "ra#ar los puntos $x,y) y tra#ar la orientaci%n gra&icac)d) 'allar la ecuaci%n rectangular

"ra#ar la curva (ue representa las ecuaciones paramtricas, darecuaci%n rectangular $indicar la orientaci%n de la curva)

1= x*t-3 y=3t*1

Despejando t

Y-a = 4 t=3-y

Sustituyendo x

X=t x=(x-y) Ec.

Rectangula

Despejando t

y=3 t+11y3

Sustituyendo

x=2 (133 )+1

x=22y

+11+2y

t + y

0

0 3

1 1

1

3

3

0

! -1

t x y

-

-1 -3

-1 - -

0 -3 1

1 -1 !

1 1


13/32

1. x=sec y=cos

1. x= /cos"

liminar el parmetro y obtener la &orma estndar o canon2ca de la ecuaci%nrectangular

3. ecta (ue pasa por $x,y) y $x, y1)

+=x1*t $x-x1) y=y 1+t(y2y1)

!1. lipse x=h+acosy=k+bsen

Despejando "

x=sec=secx

sustituyendo en y

y=cos

Despejando "

x=8cos =arccosxx

Sustituyendo en y

arccosx8

y=8 sen

cos=x1

a

cos2=(xh )2

a2

sen=yk

b

yk2

" x y

45 1 0

6 -1

45 -1 0

4 1

" x y

45 0 /

6 -/ 0

45 0 -/

4 / 0


14/32

sen2+cos2=1

(xk)2

a2 +

(yk)2

b2 (xh)2+(yk)2=(ab)2

'allar con7unto de ecuaciones parametricas para la recta o para la conica

!3. ecta8 pasa por $0,0) y $!,-)x1x2=m(y2y1)

(o4 )=m (o+7 )

4=m (7 )

m=47

!. Circulo9 centro $3,1) r=

(x3 )2+(y1)2 =4

x

2

6x+9+y2

2y+1=4


15/32

11. x=t3y= tt3

13.x=2 t y=2 l

1. x=ety=e3 t *1

Despejando t

x=t3 t=x+3

Sustituyendo en y

y= (x+3)(x+3 )3

y=x+3

x

Despejando t

x=2 t t=x2

Sustituyendo en y

y=x22

Ec. ectangula

Despejando t

x=ett= (x )

Sustituyendo en y

y=e3 (inx )+1

Ecuaci!n ectangula

t x y

- - 5

-1 -! :

0 -3 0

1 - -15

-1 -

t x y- -! !

-1 - 3

0 0

1 1

! 0

t x y

01

1 .1/

1.0/

.3

10!.!

3 0.0/

! !.;0


16/32

!. lipse9 vertices $


17/32

@ar una integral (ue represente la longitud de arco de la curva en el intervalo dado

!.- x= 3t - t2

y= t3 /2

1 !t !3

dxdt=32 t

dyd t = t

1

2

!.-x= et+2 t*1 - !t !2

dxdt=et

dydt=2

'allar la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.

S=

2 t1

2

32 t2+

1

3

s

22

dte

t+ 2


18/32

!.- x 3 t+5 y 72t -1

!t !3

dx=3

dy=-

1.- x=;

t2

y=

t3

1!t !4

dx =1t

dy=;t

S=

22 dt32+

1

3

= 1

3

9+4dt

3

S=

6 t2dt12t2+

1

4

= 1

4

144 t2+36 t2 dt

= 1

4

180t2 dt

=

180 t2 1

2 dt


19/32

#$.4 %&&RDE'DS &*RES Y +R,%S

&*RES.En los ejecicios #3 y / epesenta g01ca2ente el punto dado en

coodenadas polaes y alla las coodenadas ectangulaes.

1. (8,"2 ) x=rcos#8cos

"2=0

y=rsen# 8 sen"2=8

3. (4, 34 ")x=rcos#4cos (34 ")=2.82

y=rsen# 4 sen(34 ")=2.82

5. (2 ,2.36 )

x=rcos#2cos (2.36 )=1.003

y=rsen#2 sen (2.36 )=.996

En los ejecicios y 5 enconta las coodenadas ectangulaes del punto

dado en coodenadas polaes. +01ca.

1. (7, 5 "

4) x=rcos#7cos( 5"4)=4.9


20/32

y=rsen#7 sen(5 "4)=4.9

2. (4.5,3.5 )

x=rcos#4.9cos (3.5 )=4.21

y=rsen# 4.9 sen (3.5 )=1.57

En los ejecicios ## #3 y #/ locali6a g01ca2ente el punto y alla 7

conjuntos de coodenadas polaes del punto con 0!# !2"

11.(2,2 )

r2=x2+y2 r=(22+22 )=8=2.8 (2.8,"4 )c1 (2.8,5"4)c2

tan#=yx

# arctan2

2=45$=

"4

13.(3, 4 )

r=(32+42 )=5 (5,.70 " rad)c1

tan#=yx# arctan 4

3=53.1 $+180$=126.86 $ (5,1.7 "rad)c2

15.(1,3)


21/32

r=(12+(3 )2 )=2 (2,

4

3")c1

tan #=yx

# arctan31

=60$+180 $=240 $ (2,1

3")c

2

En los ejecicios # y #5 enconta conjunto de coodenadas polaes del

punto dado en coodenadas ectangulaes.

#. (3,2 )

r=(32+22 )=13 (13 ,.187 ") %oodenas

polaes

#=arctanyx

arc tan23

=33.69$

#. ( 74 , 52 )

r=(1.752+2.52 )=3.05 (3.05,.305 "rad) %oodenas

polaes

#=arctanyx

arc tan 2.5

1.75=55$

En los ejecicios 7 3# 33 y 3/ tans8o2a la ecuaci!n ectangula a la

8o2a pola y ta6a su g01ca.


22/32

27. x2+y2=9

(r cos# )2+(r sen #)2=9

r2cos

2#+r2 sen2 #=9

r2=9 r=3

31. y=8

rsen#=8r= 8

sen#r=8csc# ,o2a pola

33. 3xy+2=0

#r cosrsen#+2=0

3

3 r cos#rsen#+2=0

#sen#3cos=2

r

r= 2

3cos#sen# ,o2a pola

35. y2=9x

#rsen

r=9cos#csc2# ,o2a pola

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y


23/32

En los ejecicios 4# y 43 pasa la ecuaci!n pola a la 8o2a ectangula y

ta6a su g01ca.

41. r=#

r=arc tan yx

yx

arctan

r2=

x2+y2=(arc tanyx)2

(x2+y2 )=arctanyx

43. r=3 sec#

r cos#=x

r=3 sec#

rsec#

=3

r cos#=3

x=3

6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

x

y


24/32

11.6 SUPERFICIES EN EL PLANO

En los ejercicios 1 al 6 asociar la ecuacin con su grafica a) !)

c) ") e) # f)


25/32

1-.x

2

9+

y2

16+

z2

9=1 lipse con centro en el origen, gr&ica ACB

-. 15x24y2+15z2=4

'iprbola de dos o7a, Dra&ica AB

3-. 4x2y2+4z2=4 'iprbola de una o7a. Dra&ica AEB


26/32

!-. y2=4x2+9z2

@espe7e9 4x2y2+9z2=0 Cono el2ptico e7e en , gra&ica A?B

-. 4x24y+z2=0 Faraboloide con e7e en AyB, Dra&ica A@B


27/32

;-. 4x2y2+4z=0 Faraboloide iperb%lico con e7e en A#B, gra&ica A>B

En los ejercicios $ % 111& # 1' "escri!ir # "i!ujar la su(erficie.

-. y=


28/32

-. y2+z2=9

11-. x2y=0


29/32

1-. #-seny=0

1 y 3 Gdenti&icar y dibu7ar la super&icie cuadrica.

1-. x2+

y2

4+z2=1


30/32

3-. 4x2y2z2=1 iperboloide de o7as.

11.$

7ercicios !!, !0, 3, , /, 0,.

)p=

'*)H=345!


31/32

'&)p=!cos H

'')p=csc H

+%)r=


32/32

%*)H=45!

)0=45!

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