GUIA 5 Calculo Vectorial
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7/23/2019 GUIA 5 Calculo Vectorial
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CLCULO VECTORIAL
GUIA UNIDAD 5:Campos vectorialesGRUPOS: G ING! ELECTR"NICADOCENTE: I#$! #$el %er#a#&o Soto S!
Nom're: %er#a#&o Arcos c!1. Describa el campo vectorial=que se muestra en la grfica con respecto asu magnitud y direccin. (Sugerencia halle algunas curvas de nivel.
F(x , y )=(y )2+(x )
2
F(x , y )=y
2
+x
2
=|x|la magnitud esigualal radiodelacircunferencia
x . F(x , y )=y ix j> .xyxy=0
estodemuestraquees perpendicular al vectorde posicion porlo tantoestangente
a lacircunferencia , puedeser la rotaciondeunarueda
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2. Dado el campo escalar: f(x , y , z )=y z2+x z2+xy Calcule la siguiente
operacin mediante el operador nabla: (f)
( f) porpropiedadeses igualaO
f(x , y , z )=y z2+x z2+xy
fx=z2+y
fy=z2+x
fz=y2z+y2z
f(x , y , z )= f x
, f
y,
f
z
z
z
( 2+x)j+(4yz ) k
(2
+y )i+ f(x , y , z)=
=
x,
y,
z
( f)=[ i j k
x
y
z
z2+y z2+x 4yz
]= [2z2z ] i+ [2z2z ]j+ [11 ] k
( f)=[ i j k
x y z
z2+y z2+x 4yz ]=0i+0j+0k
( f)=0
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Calcular el trabajo = ! reali"ado por una part#cula $ue se mue%een el campo %ectorial = (2& 2) & (2& 2)! a tra%'s de la cur%a
mostrada en la gura.
W=F ! dr=c 1
F ! dr+c2
F ! dr
F=(2xy+y2) i+ (2xy+x2 )j
recta
r ( t)
r (t)
2" t "2
circunferencia
r ( t)
r (t)
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0"t "$
2
(2 ( t)0+t2 ) i+2 ( t)0+ t2
F ! dr=2
2
>
W=
t2 i+ t2j>
2
2
t2dt+
0
$/ 2
(t2 sen (t)+t2cos ( t))dt
20
2
16+204=32ne%tons
&
y=
'
x
F=(2xy+y2) i+ (2xy+x2 )j
(2xy+y2 ) (
+ (2xy+x2 )
x
(2x+2y )= (2x+2y )
campoconservativo noimportala trayectoria , escontinuo
c=x
y=x
dy=dx
&dx+'dy
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(2xx+x2 ) dx+ (2xx+x2 ) dx
20
2
6x2dx
32ne%tons
. Calcule el *rea de la regin mediante una integral de l#nea.
y=0
x
16+y9=1
d)=12xdy+ydx
d)=12c 1
xdy+ydx+1
2c2
xdy+ydx
d)=0+ 12c2
xdy+ydx
Describa el campo %ectorial = 2& $ue se muestra en la gr*ca conrespecto a su magnitud + direccin. (,ugerencia -alle algunas cur%as deni%el)
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F(x , y )=(2x )2
+ (y )2
F(x , y )=4x2+y2=|x|
la magnitud esel do*le que a
x . F(x , y )=2x iyj> .2x2y2=(2x=y )
esto demuestraquees perpendicular al vectorde posicion porlo tanto estangente
a las elipses, descri*e la radiacionqueva desdeel exterior de laselipses ,
puede ser una explosion .
Dado el campo vectorial = x2
+ y2
+ z2
. Calcule la siguiente
operacin mediante el operador nabla ( )
=
x,
y,
z
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f(x , y , z )=(x2+y2+z2)
f(x , y , z )=(x2+y2+z2)
x ,
(x2+y2+z2) f y
,(x2+y2+z2)
z
f(x , y , z )= f
x,
f
y,
f
z
fx=2x
fy=2y
fz=2z
f(x , y , z )=2x+2y+2z
=
x,
y,
z
( . f)=( x, y, z ) (2x+2y+2z )=
( . f)=( (2x+2y+2z ) x , (2x+2y+2z )
y ,
(2x+2y+2z )z )=6
. /allar la masa total de dos %ueltas de un muelle de densidad
+=1
2(x2+y2+z2)
$ue tiene la forma de la -'lice circular = 0cos()& 0sen()& 2.
+=1
2(x2+y2+z2)
m=c 1
+ (x , y , z ) ds
ds=fx
2
+ fy2
+ fz2
dt
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ds=(3 sen ( t))2
+ (3cos (t))2
+22 dt
ds=9+4dt
ds=13dt
m=20
2$1
2(3cos (t)2+3sen(t)2+2 t2)13dt
m=130
2$
(9+2 t2)dt
13( [9 t]2$
0
+
[2
3
t3
]2$
0
)
m=
m=13(18 $+4
3$
3)
Calcular el trabajo = 1 ! reali"ado por una part#cula $ue se mue%een el campo %ectorial = ( & 2) & (3 2)! a tra%'s de la cur%amostrada en la gura
&
y=
'
x
(arctgx+y2) y
=(eyx2)
x
2y=2x
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campono conservativo, importala trayectoria, es continuo
4plicamos el teorema de 5reen
'
x
&
y( )d)F dr=
(eyx2) x
(arctgx+y2)
y
()d)
F dr=
(eyx2) x
(arctgx+y2)
y()d)
2x2y()d)
0
2
0
4x2
(2x2y ) dxdy+2
0
0
x2
(2x2y)dxdy
Dado el campo %ectorial F=x i+y j+z k el resultado de la operacin .
es :
F=x i+y j+z
k
=
x,
y,
z
.F=( x, y, z ) .(x i+yj+z k)
.F=((x i+y
j+z
k) x + (x i+y
j+z
k) y + (x i+y
j+z
k) z )
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. F=1+1+1
. F=3
a.6) 7
b.6) 0
c.6) 60
Dado un campo %ectorial introducimos al campo escalar di% + un campo%ectorial rot 8stos pueden definirse de manera simblica con di% =
. F + rot x F
,ea = f(x , y ) i+g (x , y )juncam*o *idimencional , i f
y= g
x se conclu+e $ue
es un campo %ectorial conser%ati%o.
Dado el campo escalar f(x , y , z )=xyz .-a interpretacion de laoperacion (f)
es:
( f) porpropiedadeses igualaO
f(x , y , z )=xyz
fx=yz
fy=xz
fz=xy
f(x , y , z )= f
x,
f
y,
f
z
f(x , y , z )=yzi+xzj+xyk
= x, y, z
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( f)=[ i j k
x
y
z
yz xz xy]= [xx ] i+ [yy ]j+ [zz ] k
( f)=[ i j k
x y z
yz xz xy ]=0 i+0j+0k
( f)=0
,i es un campo escalar! la operacin ( . ) tiene signicado 9 si
es asi indi$ue el resultado si el campo es escalar o %ectorial . si no tienesignicado epli$ue la ra"n.
(x , y , z)= x
,
y,
z
=
x,
y,
z
.=2
x2+
2
y2+
2
z2
( . )=
[
i j k
x
y
z
2
x2
2
y2
2
z2
][ 3 z2 y 3 y2z ]i[ 3 z2 x 3 x2 z ]j+[ 3 y2 x 3 x2y]k esun campo vectorialrot(F) que es rotacional .
8n el siguiente campo %ectorial F=x i+y j tiene direccin :
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F(x , y )=(x )2+ (y )
2
F(x , y )=y2+x2=|x|
la magnitud esigual al radiodelacircunferencia
x . F(x , y )=xi+y j>.x2+y2=(x=y)
esto demuestraquees perpendicular al vectorde posicion porlo tanto estangente
a lacircunferencia , puedeser la rotaciondeunarueda
a.6)paralelo al eje
b.6)perpendicular al plano +
c.6)radial
d.6)direccin del eje "
,i F=(x3y3 )i3x y2j es un campo de fuer"as en el plano ! entonces el
trabao reali"ado por F al mo%er un objeto a lo largo de la tra+ectoria c :
y=x3 esta dado por la epresin :
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%=c 1
F . dr=&dx+'dy
(x3y3 ) y
= (3x y 2)
x
3y2=3y2
y=x3
dy=
3x2
2x3 dx
conservativo
(x3x9 /2 ) dx+9x3
2 dx
0
1
x3dxx9/2dx+
9x3
2 dx
188
x4(16x
3
2+77)10
9388
'W/O'
Con el campo de fuer"as F=(e2y )i+2xe2yj el trabajo reali"ado sobre la
siguiente tra+ectoria es:
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( e2y ) y
=(2x e2y)
x
2e2y=2x e2y
y=3
dy=dx
2y
2x e
2
0
e2y
dx+()dy
2
0
e2(3)dx+(2x e2 (3 ))dx
2
0
e6dx+(2xe6)dx
2e6+4 e6
2e6
Describa el campo de %elocidadx
2+y2
v=4 ) en un tubo de cilindro largo de
radio 2
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Describe el ;ujo en direccin del eje " como saliendo del centro del cable-acia sus etremos
,ea r=xi+y j entonces la operacin %ectorial .(|r|r ) da como
resultado:
|r|=(x )2+(y )
2
x2+y2=|r|
|r|
2
=x2
+y2
(|r|r )2=(x2+y2)(xi+yj)
(|r|r )2=(x3+y3) .
. (|r|r )2
=(x3+y3)
x ,
(x3+y3) y
3x2
+3y2
= . (|r|r )2
3|r|
8l trabajo desarrollado por el campo de fuer"as F=(y+exln (y ) )i+(
ex
y)j
atre%es de la tra+ectoria dada es:
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(y+ex ln (y )) y
=(
ex
y)
x
ex
y=e
x
y
y=1
dy=dx
1
0
(y+ex ln (y ))dx+( ex
y)dy
Calcular para F0FFFFFFFFFFF=x2i0iiiiiiiiiii +y2j0jjjjjjjjjjj +z2k0kkkkkkkkkkk donde S es la supercie
del paraboloide z=5x2y2 limitado por el plano z=1 .
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