Teorema de Torricelli.doc

8/11/2019 Teorema de Torricelli.doc

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Teorema de Torricelli

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia elfujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño oricio,bajo la acción de la gravedad ! partir del teorema de Torricelli se puedecalcular el caudal de salida de un líquido por un oricio "#a velocidad de unlíquido en una vasija abierta, por un oricio, es la que tendría un cuerpocualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido $asta elcentro de gravedad del oricio"%

&onde%

es la velocidad teórica del líquido a la salida del oricio

es la velocidad de apro'imación

es la distancia desde la supercie del líquido al centro del oricio

es la aceleración de la gravedad

(ara velocidades de apro'imación bajas, la mayoría de los casos, la e'presiónanterior se trans)orma en%

&onde%

es la velocidad real media del líquido a la salida del oricio

es el coeciente de velocidad (ara c*lculos preliminares en aberturas depared delgada puede admitirse +,- en el caso m*s des)avorable

tomando ./

E'perimentalmente se $a comprobado que la velocidad media de un c$orro deun oricio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a laviscosidad del fuido y otros )actores tales como la tensión supercial, de a$í elsignicado de este coeciente de velocidad

Teorema de Torricelli: “La velocidad de un líquido que fluyendo por un orificio a través de una

pared delgada es igual a la velocidad que tendría un cuerpo en caída libre de una altura “h”.



Biograa de Torricelli

B0123!40! &E T13305E##0

6uedó $uér)ano a edad temprana, por lo que )ue educado bajo la tutela de sutío, 7acobo Torricelli, un )raile camaldulense que le enseñó $umanidades En/89: )ue enviado a 3oma para que estudiara ciencias con el benedictinoBenedetto 5astelli ;/-:</8=->, llamado por ?rbano @00 para enseñarmatem*ticas en el colegio de Aapiena y uno de los primeros discípulos de2alileo

#a lectura cuidadosa de la obra de 2alileo &ialog$i delle nuove sciene;&i*logo de la nueva ciencia, en español> ;/8C+>, le inspiró algunos desarrollosde los principios mec*nicos allí establecidos que recogió en su obra &e motuEn /8C9, 5astelli se puso en contacto con 2alileo para mostrarle el trabajo desu pupilo y solicitarle que le acogiera, propuesta que 2alileo aceptó, por lo que

Torricelli se trasladó a !rcetri, donde ejerció de amanuense de 2alileo losDltimos tres meses de la vida del sabio italiano, que )alleció a principios del añosiguiente Tras la muerte de 2alileo, Torricelli, que deseaba volver a 3oma,cedió a las distinciones de 4ernando 00 de Toscana, y nombrado lóso)o ymatem*tico del gran duque y pro)esor de matem*ticas en la !cademia de

4lorencia, se estableció denitivamente en esta ciudad

En /8=C realió el descubrimiento que lo $aría pasar a la posteridad% elprincipio del barómetro que demostraba la e'istencia de la presiónatmos)érica, principio posteriormente conrmado por (ascal realiandomediciones a distinta altura #a unidad de presión torr se nombró en sumemoria Enunció, adem*s, el teorema de Torricelli, de importancia)undamental en $idr*ulica

Teorema de Bernoulli

#a ecuación de continuidad e'presa el cambio de rapide de un fuido al variarla sección del tubo por el que circula &ic$a variación en el valor de lavelocidad también a)ecta a los valores de presión ste )ue uno de los temas en



los que trabajó el )ísico suio &aniel BerFnoulli ;/:++</:G9> y que presentó ensu obra Hydrodynamica ;/:CG>

#a presión din*mica o presión $idrodin*mica es la presión del fuido debida asu movi<miento, y que depende de su velocidad &ic$a presión se e'presamatem*ticamente como%

(ara el caso de un fuido en régimen estacionario, incompresible y no viscoso,Bernoulli dedujo el teorema que $oy lleva su nombre El Teorema de Bernoulli

establece matem*tica<mente que%

El teorema puede enunciarse diciendo que% la di)erencia de presión ; p> que

e'iste entre dos puntos donde el fuido se desplaa con di)erentes velocidades,se puede $allar mediante la e'presión%

!plicaciones del teorema de Bernoulli



El agua ingresa en una casa por una tubería con una rapide de = mIs y unapresión absoluta de = < /+- (a ;apro'imadamente = atm> ?na persona se est*bañando en su departamento de un segundo piso, cuyo duc$ador est* a 8 mde altura con respecto a la base del edicio Aabiendo que la rapide del aguaque sale de la duc$a es de /8 mIs, Jcu*l es la presión del aguaK

&e la ecuación anterior puede deducirse que%

!plicaciones especiales de la ecuación de Bernoulli

?n caso muy especial en el que se puede aplicar el Teorema de Bernoulli seproduce cuando el tubo se ubica $oriontalmente, de tal manera que la alturadel fuido puede considerarse constante y, por lo tanto la di)erencia de alturaes cero En esta situación particular, se tiene que%

donde p es la presión absoluta a la que est* sometido el fuido, G ;densidad> esla densidad y v la rapide del fuido

(uede observarse entonces que en la ona donde la rapide de un fuido esalta, el valor de la presión absoluta es necesaFriamente bajo, para que elresultado siga siendo idéntico !n*logamente, si la rapiFde del fuido es baja,



entonces la presión absoluta es alta Ai un tubo por el que cirFcula el agua seangosta, la rapide en su interior aumenta y entonces disminuye la presión enesa ona

Este $ec$o puede observarse, por ejemplo, en las c$imeneas

En el e'tremo superior de las c$imeFneas se $acen pequeñas ventanas ElvienFto que circula por la ona superior de la c$imenea lo $ace a una rapidemayor que la del aire que se encuentra adentro En lo alto de la c$imenea segenera entonces una ona de baja presión, que impulsa el $umo $acia arriba

1tra aplicación muy importante se observa en el vuelo de los aviones #as alaspresentan un perl en el que la corriente de aire que circula por la carasuperior lo $ace a una rapide mayor que la que cirFcula por la cara in)erior&e esta manera, se genera una presión din*mica en la cara in)erior mayor que

la de la cara superior, lo que da por resultado una )uera ascensional o desustentación que eleva el avión del suelo

!plicaciones del (rincipio de Bernoulli

5$imenea

#as c$imeneas son altas para aprovec$ar que la velocidad del viento es m*sconstante y elevada a mayores alturas 5uanto m*s r*pidamente sopla elviento sobre la boca de una c$imenea, m*s baja es la presión y mayor es ladi)erencia de presión entre la base y la boca de la c$imenea, en consecuencia,los gases de combustión se e'traen mejor

Tubería

#a ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que sireducimos el *rea transversal de una tubería para que aumente la velocidaddel fuido que pasa por ella, se reducir* la presión

Latación

#a aplicación dentro de este deporte se ve refejado directamente cuando lasmanos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayorpropulsión

5arburador de automóvil



En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpodel carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento !l disminuirla presión, la gasolina fuye, se vaporia y se mecla con la corriente de aire

4lujo de fuido desde un tanque

#a tasa de fujo est* dada por la ecuación de Bernoulli

&ispositivos de @enturi

En o'igenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito altoutilian dispositivos de tipo @enturi, el cual esta basado en el principio deBernoulli

!viación

#os aviones tienen el e'tradós ;parte superior del ala o plano> m*s curvado queel intradós ;parte in)erior del ala o plano> Esto causa que la masa superior deaire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión, creando así una succiónque ayuda a sustentar la aeronave

Lavegacion a vela

#as velas de un barco tienen un comportamiento similar al ala de un avion,aumentando la velocidad del paso del aire por la proa del barco y permitiendoa los veleros navegar con angulos contra el viento

Teorema de Bernoulli%

El estudio de la din*mica de los fuidos )ue bautiado $idrodin*mica por el)ísico suio &aniel Bernoulli, quien en /:CG encontró la relación )undamentalentre la presión, la altura y la velocidad de un fuido ideal El teorema deBernoulli demuestra que estas variables no pueden modicarseindependientemente una de la otra, sino que est*n determinadas por laenergía mec*nica del sistema



Loten que, como los puntos / y 9 son puntos cualesquiera dentro de la tubería,Bernoulli pudo demostrar que la presión, la velocidad y la altura de un fuidoque circula varían siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada

por%

Ecuación importante para observar el comportamiento de un c$orro adi)erentes alturas de un tanque

!dem*s sabemos que en un fuido ideal se cumple que el volumen que pasapor dos puntos es igual ;conservación del caudal>, por esto se produce unarelación entre el *rea por donde pasa el fuido y su velocidad, claramente en un*rea mayor la velocidad es menor para que pase el mismo caudal o volumenque en un punto con menor *rea ;E)ecto @enturi>



(or esto es posible que al variar las *reas de los agujeros en el )ondo deltanque, los c$orros tengan distinta velocidad

&in*mica de fuidos o $idrodin*mica%

Esta rama de la mec*nica de fuidos se ocupa de las leyes de los fuidos enmovimientoM estas leyes son enormemente complejas

Teorema de Bernoulli

Flujos incompresibles y sin rozamiento. Estos flujos cumplen el llamado

teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo DanielBernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo

incompresible y no viscoso sin rozamiento! es constante a lo largo de una línea

de corriente. "as líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre

son paralelas a la direcci#n del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme

coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema

de Bernoulli implica una relaci#n entre los efectos de la presi#n, la velocidad y la

gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presi#n disminuye. Este

principio es importante para la medida de flujos, y tambi$n puede emplearse para

predecir la fuerza de sustentaci#n de un ala en vuelo.

%eorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminuci#n de la

presi#n de un fluido líquido o gas! en movimiento cuando aumenta su velocidad.

Fue formulado en &'() por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, y

anteriormente por "eon*ard Euler. El teorema afirma que la energía total de un

sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la

trayectoria de flujo. +uede demostrarse que, como consecuencia de ello, el

aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminuci#n de

su presi#n.

El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avi#n o las*$lices de un barco. "as alas están diseadas para que obliguen al aire a fluir con

mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la

presi#n sobre esta -ltima es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de

presi#n proporciona la fuerza de sustentaci#n que mantiene al avi#n en vuelo.

na *$lice tambi$n es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En

este caso, la diferencia de presi#n que se produce al girar la *$lice proporciona el



empuje que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli tambi$n se emplea en las

toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo, con la

consiguiente caída de presi#n. /simismo se aplica en los caudalímetros de

orificio, tambi$n llamados venturi, que miden la diferencia de presi#n entre el

fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de entrada y el fluido a alta

velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina lavelocidad de flujo y, por tanto, el caudal.

0uando una pelota se tira con efecto, su trayectoria se curva debido a las fuerzas

que surgen al girar sobre sí misma. "a superficie rugosa arrastra el aire adyacente

y lo *ace girar. Esto crea una zona de alta presi#n en un lado y de baja presi#n en

el otro1 la diferencia de presiones *ace que su trayectoria se curve.

// J6ué es la $idrost*ticaK#a $idrost*tica es una rama de la )ísica que se encarga del estudio de losfuidos carentes de movimiento

#eer m*s% $ttp%IINNNmonograascomItrabajosC-I$idrostatica<$idrodinamicaI$idrostatica<$idrodinamicas$tmlOi'9HPqcr'ly

Bernoulli, &aniel ;/:++ < /:G9>5ientíco $olandés que descubrió los principios b*sicos del comportamiento delos fuidos Era $ijo de 7ean Bernoulli y sobrino de 7acques Bernoulli, dosinvestigadores que $icieron aportaciones importantes al primitivo desarrollo delc*lculo

&esde muy pronto mani)estó su interés por las matem*ticas !unque consiguióun título médico en /:9/, )ue pro)esor de matem*ticas en la !cademia 3usa deAan (etersburgo en /:9- (osteriormente dio clases de loso)ía e'perimental,anatomía y bot*nica en las universidades de 2roningen y Basilea, en Auia

Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva )ísica del cientícoinglés 0saac LeNton Estudió el fujo de los fuidos y )ormuló el teorema segDnel cual la presión ejercida por un fuido es inversamente proporcional a suvelocidad de fujo ?tilió conceptos atomísticos para intentar desarrollar laprimera teoría cinética de los gases, e'plicando su comportamiento bajocondiciones de presión y temperatura cambiantes en términos de probabilidad



Ain embargo, este trabajo no tuvo gran repercusión en su época Bernoullimurió el /: de maro de /:G9 en Basilea

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