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7/25/2019 teorema de Bell.pdf

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RevistaMexicana de Fca29 no. 4 (1983) 619-638

EL TEOREMA DE BELL,

LA NO-LOCALIDAD Y

LAS VARIABLES OCULTAS

EN LA MECANICA CUANTICA

H. A r c e

Departamento de Fsica. Facultad de Ciencias, UNAN

Apartado Postal 70-542. 04510 - Mxico, D.F.

( r eci bi do oct ubr e 21, 1982; acept ado mayo 17, 1983)

R E SUMEN

619

El t eor ema de Bel l es un i nt ent o de pr o bar po r r educc i n a l ab-sur do l a i mposi bi l i dad de compl et ar l a descr i pci n cunt i ca con var i abl esocul t as.

En est e t r abaj o se muest r a que l as v ar i abl es o cul t as no so nesenci al es al r esul t ado de Bel l , y adems que en l as demost r aci ones t pi -cas de est e t eor ema est i mpl c i t a una hi pt esi s que l a mecni ca cunt i cano sat i sf ace par a l os casos exper i ment al es pr opuest os.

ABSTRACT

Bel l ' s t heor em i s an at t empt t o pr ove, by r educt i on ad absur dum,t he i mpossi bi l i t y of compl et i ng a quant um- mechani cal descr i pt i on of r eal -i t y by means of hi dden var i abl es.

I n t h i s paper we show t hat h i dden v ar i abl es ar e not essent i a lt o Bel l ' s r esul t , and mo r eov er t hat i n t he t y pi ca l pr o of o f t h i s t heo r emt her e i s i mpl i c i t ao hypot hesi s whi ch quant um mechani cs does not sat i sf yf or t he pr oposed exper i ment al si t uat i ?ns.


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1 . I N TR O ru C CI O N

1. 1 1 An.teoeden.tu genvu'.u

De n t r o d e l a pr e n di z a j e d e a l g un as r a ma s d e l a f s i c a , e l d e l a

mecnica cuntica (m.c.) es en la mayora de los casos un proceso dogma-

t i z a nt e Y . a me n ud o , g e ne r a d o r d e f r u s t r a c i o n es p a r a e l a l u mn o .

A un n i v e l i n t e r me d i o * l a e x p er i e n c i a p u ed e p a r e c e r m g i c a , d e -

p e nd i e n do d e l a h a bi l i d a d d e l p r o f e s o r e n l a i n t r o d uc c i n d e c o n c e p t o s

c o mo " d u a l i d a d o n d a - p a r t c u l a " , " c o l a p s o d e l a f u n c i n d e a r d a " , e t c .

Al l l e g ar a l o s c u r s o s a v an z a do s - - e n l o s c u al e s s e s u po ne q ue l o s n ue v os

c o n c e p t o s q u e d a r n c l a r o s - - e l e s t u d i a n t e e n c u e n t r a a n t e s u s p r e g u n t a s

q u e d e be a p r e n de r t o d a u n a s e r i e d e p r i n c i p i o s q u e n o a d mi t e n e x p l i c a c i n .

P a r a p o ne r l o e n l a s p al a b r a s d e F . Dy s o n( l ) c i t a da s p or A. L a nd ( 2 ) :

"El estudiante empieza por aprender las triquiuelas del ofi-

cio ... Luego comienza a preocuparse pues no comprende lo que

hace. De repente se d ice a s mismo 'comprendo la mecnica

cuntica'. o ms b ien. 'comprendo que no hay nada que compren-

der'" .

P a r t e d e l a r e s p o ns a b i l i d a d d e e s t a s i t u a c i n l a t i e n e n l o s

p r o f e s o r e s d e l a s ma t e r i a s e n c u e s t i n . S i n e mb a r g o . e l l o s n o h a c e n m s

q ue r e f l e j a r l a p os i c i n q ue a l r e s p ec t o d e l a m . c . e x i s t e e n e l me d i o :

e s u n a t e o r a c o mp l e t a , a l a c u a l l a c o n c e p c i n o r t o d o x a d a u n a i n t e r p r e -

t a c i n adec uada .P e r o , ~l e d e d a r s e p o r t e r mi n a d o e l d e b a t e s o b r e l a i n t e r p r e t a -

c i n d e l a m. c . i n i c i a do p or I ~i s e nb er g y S c h r o di n ge r e n 1 92 6? ( 3 ) . Y e n

c a s o d e s e r a s , e s e l s a l d o f a v o r a b l e a l a i n t e r p r e t a c i n o r t o d ox a ?

Me p a r e c e q u e e s d i f c i l d a r u n a r e s p . l e s t a c a t e g r i c a a e s t a s c u e s t i o n e s ,

s o b r e t o d o a l a l u z d e l t e o r e ma d e E i n s t e i n , P o d ol s k y y R os e n ( E _ P _ R) ( 4 )

s ob r e l a i n c omp l e t c l d e l a m. c .E s c l a r o q u e l a v i g e nc i a d e d o s i n t e r p r e t a c i o n e s p a r a l a m. c .

p l a n t e a a l a e n s e a n z a d e e s t a c l i s c i p l i n a p r o b l e ma s c o mp l i c a d o s ; s i n e m-

~~r g o . e l q u e s e t o me u n a u o t r a i n t e r p r e t a c i n i l n p l i c a mu y d i f e r e n t e s

* Que en l a car r er a de F si ca de l a UNAM cor r esponde a F si ca Moder na I

y II.


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a c t i t u d es f i 1 0s 6 f i c 3 s a n t e l a f s i c a , p o r 1 0 c u a l me p a r e c e q ue e s u na

s i t u a c i n d i f c i l d e o b v i a r .

S i n q u e s e a e l o b j e t i v o d e e s t e a r t c u l o e l d i s c u t i r l a s d i f e -

r e n t e s i n t e r p r e t a c i o n e s d e l a m. c . , y a q u e a l r e s p e c t o e x i s t e n e x c e l e n -

tes trabajos COO1O el de Ballantine(S). el de Bunge(6) o el de Brody et

a l . ( 7 ) , q u i s i e r a h a c e r n o t a r q u e - - c n t r e o t r a s c a r a c t e r s t i c a s c o mo

a q u el l a q u e l a c o n s i d e r a u n a t e o r a a c a b a da q u e d e s c r i b e s i s t e ma s i n d i v i -

d u a l e s - - l a i n t e r p r e t a c i 6 n o r t o d o x a l i mi t a a l a m. c . a l a d e s c r i p c i n d e

l o s r e s u l t a d o s e x p e r i me n t a l e s , c o n s i d e r a n d o q u e e s i mp o s i b l e t r a s c e n d e r

e s t e n i v e l d e c o n o c h n i e n t o , d a n do b a s e c o n e s t o a p o S I c I o n e s f i l o s f i c a s

que convierten a la m.c. en "sustento cientfico" de la tclepata(S) o

l a l l e g ad a d e i n f o r ma c i n d e l f u t u r o ( 9 ) . E n t a n t o a l a c e p t a r a l a m. c .c o mo u n a t e o r a i n c o mp l e t a , l a i n t e r p r e t a c i n e s t a d s t i c a a b r e l a p o s i b i -

l i d a d d e u n c o n o c i mi e n t o m s p r o f u n do e n l a f s i c a .

De t o d o l o a n t e r i o r me p a r e c e c l a r o q u e e s n e c e s a r i o mo s t r a r a

l o s e s t u d i a n t e s q u e e n l a m. c . e x i s t e n v a r i a s i n t e r p r e ~~c i o n e s p o s i b l e s ,

a s c o mo p un t o s q ue n o h an s i d o a c l a r a do s d ef i n i t i v a me nt e . Un o d e l o s

p u n t o s q u e h a r e a v i v a d o l a c o n t r o v e r s i a a l t i ma s f e c h a s ( h a n a p a r e c i d o

e n 1 98 2 a l me n os s i e t e a r t c u l o s a l r e s p e c t o e n e l P h ys i c a l Re v i e w L e t -

t e r s ( 1 0 , 1 1 ) ) e s e l t e o r e ma d e B el l .

'.21 An1eceden.tu dei TeMema de Beil

E n e l t e o r e mJ d e Be U c o n f l u y en d o s p r o b l c . . .' m3 t i c a s d e l o s f u n d a -

me n t o s d e l a m. c . : e l E - P - R y l a e x i s t e n c i a d e v a r i a b l e s o c u l t a s ( v . o . )

q ue c o mp l e t e n l a d e s c r i p c i n c u nt i c a . S o br e e l p r o b l e ma d e l a s v . o . *

d a r e mo s a l g u n o s a n t e c e d e n t e s .

E n l a m. c . l a i d e a d e l a s v . o . a p a r e c i d e s d e u n a e t ; : p a t e m-

p r a n a . ( l l a n d o B o r n p r o p u s o l a i n t e r p r e t a c i n e s t ; : d s ti c a d e l a f u n c i n

d e o n d a , h i z o l a s s i g u i e n t e s c o n s i d e r a c i o n e s : " De s d e l u e g o , c u a l q u i e r a

Par a pr eci sar l os t nni nos, habl amos de var i abl es ocul t as V' , cuandodada una t eor a T podemos obt ener l os val or es de l as var i abl es de est at eor a, o de f unci ones de st as, pr omedi ando sobr e l as V' . Es c l ar oque no podemos conocer l as V' en el mar co de T( 14) .


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q u e e s t i n c o n f o r r n c c o n e s t a s i d e as , e s l i b r e d e s u p on e r q u e e x i s t e n p a -

r me t r o s a d i c i o n a l e s q u e t o d a v a n o s o n i n t r o d u c i d o s a l a t e o r a , y q u e

de t e r mi n an l o s r e s u l t a d o s i n d i v i d ua l e s , , ( 1 2 ) .

No o b s t a n t e , l a s t e o r a s d e v . o . p a r a l a m. c . n o s e d e s a r r o l l a -r o n d u r a n t e u n l a p s o r e l a t i v a me n t e l a r g o , d e b i d o p r i n c i p a l me n t e a u n t r a -

b a j o d e J o h n v o n Nc u ma n n q u e d e mo s t r a b a s u i mp o s i b i l i d a d . v o n Xc u ma n n

obtuvo esta denostracin como un corolario, en el que se establece que

n o p u ed e n e x i s t i r p a r a l a m. c . e s t a d o s d e d i s p e r s i n c e r o , q u e c o r r e s p o n-

d e r a n a e n s a mb l e s e n l o s c u a l e s l o s v a l o r e s d e l a s v . o . e s t a r a n f i j o s .

E l p u n t o f u e r e d i s c u t i d o p o r d i f e r e n t e s a u t o r e s , e n t r e l o s c u a -

l e s J . S . B e! ! ( 1 3) mo s t r - - e n b a s e a u n mo d el o d e v . o . c r e a do p o r l - -

q u e e l t r a b a j o d e v a n Ne u ma n n , a u n q u e ma t e m t i c a me n t e c o r r e c t o , t i e n e c n -t r e s u s p o s t u l a d o s u n o q u e n o h ay p o r q u e x i g i r a l o s e s t a d o s d e d i s p e r -

s i n c e r o : q u e e l v a l o r e s p e r a d o d e l a s u ma d e d o s ( o m s ) o p e r a d o r e s

s e a i g u a l a l a s u ma d e l o s v a l o r e s e s p e r a d o s d e c a d a u n o.

E x i s t e a d e m s o t r a ma n e r a d e e v a d i r l a d e mo s t r a c i n d e v a n

Ne u ma n n q u e t i e n e l a v e n t a j a d e t o ma r l a e n p o s i t i v o ( 1 5 ) . Co n s i s t e e n n o -

t a r q u e e n e l c o r o l a r i o q u e d i s c u t i mo s l a s v . o . u t i l i z a d a s s o n d e t e r mi n i s -

t a s , e s d e c i r , a q u e l l a s e n q u e l a s i t u a c i n f s i c a h a c e f i j o s l o s v a l o r e s

d e l a s v . o . De s d e e s t a p e r s p e c t i v a l o q u e e l t r a b a j o d e v o n Ne u ma n n e s -t a r a i n d i c a n d o e s q u e l a s v . o . e n l a . m. c . t i e n e n n a t u r a l e z a d i s p c r s i v a ,

l o c u a l p o r o t r a p a r t e e s e n t e r a me n t e p l a u s i b l e .

P o d r a e s p e r a r s e q u e u n a v e z e l i mi n a d a l a d i f i c u l t a d q u e r e p r e -

s e n t a e l c o r o l a r i o d e v a n ~c u ma n n , l a p o s i b i l i d a d d e l a s v . o . e n l a m. c .

e s t a r a ab i e r t a . 1 . . . 1 . r e a l i d a d n o e s a s . d e b i d o a l t e o r e ma d e B el l ( 1 6) ,

l a s v . o . t e n d r a n c a r a c t e r s t i c a s n o - l o c a l e s , l o c u a l l a s p o n d r a e n c o n -

t r a d i c c i n c o n u n o d e l o s p o s t u l a d o s b s i c o s d e l a r e l a t i v i d a d .

2. TEORE.~\DE BELL

P a r a e l e s t a b l e c i mi e n t o d e s u t e o r e ma , B e l l u t i l i z a e l d i s p o s i -

t i v o e x p e r i me n t a l p r o p u e s t o p o r B o hm p a r a e l E - P - R. P e n s e mo s e n u n s i s -

t e ma d e s p i n c e r o q u e d e c a e n a t u r a l me n t e e n d o s p a r t c u l a s . E n e s t a s i -


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t u ac i n p od emo s me di r l a p r o y ec c i n d e l o s s r i n es d e c ~d a u na d e l a s p ar -

t c u l a s ( c o n l a a y u da d e u n a p ar a t o S t e r n - Ge r l a c h o a l g n o t r o d i s p o s i t i -

v o ) e n d i r e c c i o n e s a r b i t r a r i a s a y b . B au t i z a mo s a l o s r e s u l t a d os c o mo

A y B, q ue c o nv e ni mo s v a l g an : : t 1 ,d ep en di e nd o d e s i l a s p r o y ec c i o ne s s o n

p a r a l e l a s o a n t i p a r a 1 el a s a l a s d i r e c c i o n es c o r r e s p o nd i e n t e s ( F i g . 1 ) .

t-- medidor 1

I Pa rt.c u la d eS P I n c e r o 1-'(1)"--- T

medidor 2-

Fi g. 1 Esquema sobr esi mpl i f i cado del exper i ment o de Bohm par a el E- P- R.

S i a n t e s d e ~1 c e r l a s me d i d a s n o s o t r o s q u i s i r a mo s p r e d e c i r l a s ,

n o e s t a r a mo s e n c o nd i c i o ne s d e h ac e r l o , p ue s t o q ue l a m. c . n o p ue de d ar

p r e d i c c i o n es e x a c t a s d e e v e nt o s i n di v i d ua l e s . E n h ; , s ca e s t o , Be 1 1 p r o -

p on e e s t u di a r q u s u c ed e a l c a np l c t a r l a m. c . i n t r o du c i e nd o u na v a r i a bl eo c u l t a ( o c o n j u n t o d e v a r i a b l e s o c u l t a s ) " A " , q u e a g r e g . ' 1 d a a l a d e s c r i p -

c i n a n t e r i o r d e c a d a s i s t e ma , n o s d e t e r mi n e e l r e s u l t a d o d e l a s me d i d a s .

E s t a l t i ma p r o p o s i c i n l a p o d e mo s i n t r o d u c i r e n l a n o t a c i n s u b s t i t u y e n -

do A y B po r A ( a , A ) y B ( 6 , A ) .

E s i mp o r t a n t e s u po n er q ue l a s me d i d a s t i e n en u n c a r c t e r l o c a l ,

e s t o e s , l ~e e l r e s u l t a do A d el p r i me r me di d or n o d ep en de d e 13 d i r ec -


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c i " 6 d e l s e gundo , v que e l r es ul t ado B d el s e gu nd o me di d or n o d ep en de

de l a d i r e c c i n a d e l p r i me r o . A e s t a h i p t e s i s q ue e s t a r i mp l c i t a e n

la demostracin, la llamaremos hiptesis de localidad.

P l a n t e a d a s l a s h i p t e s i s a n t e r i o r e s , s u p o ne mo s q u e s e mi d e n p a -r a mu c h o s p a r e s d e p a r t c u l a s l a s p r o } ~c c i o n es d e s u s s p i n e s e n l a s d i -

r ec c i o ne s a y 6 .

P ar a ma ne j a r l o s r e s u l t a do s , s e o bt i e ne e l c o e f i c i e nt e d e c o -

rrelacin entre las meJidas toma.das a las partculas lIs y las medidas

t o ma d as a l a s p a r t c u l a s 2 ' 5 . E s t e c o e f i c i e n t e p a r a u na s e r i e d e N e x pe -

rimentos tcnlra la siguiente fonna:

f t IA( a, A) B( b, A)J=l

S i e l r u n c r o d e e x p e r i me n t o s e s mu y g r a n d e y l a d e s c r i p c i 6 n a d e c u a d a:

e ~ y ( A ( a , A) B( b , A ) o ( A) d A ab ah J .

r

(2.1.1)

No s p l a n t e a mo s a h o r a e s t a b l e c e r r e l a c i o n e s e n t r e l o s c o e f i c i e n -

t e s , p ar a l o c u al me di mo s p r o y ec c i o ne s e n a , h y e , d e t a l ma n er a q ue p o -

d a mo s o h t e n er Yab y Y a c . Co n e s t o s c o e f i c i e nt e s t o ma r e mo s s u d i f e r e n c i a :

Yab - Yac; i A( a , A) B( b , A) O( A) dA - 1 A( a, A ) B( c , A) O( A) dAr r

(2.1.2)

y u s a ndo que B ' ( b , A )

i A( a, A ) B( c , A) O( A) dAr

1 , r e e sc r i b i mos e l se ~nd o t r mi no como

f A( a, A) B( b, A ) B( b, A ) B( c , A1o ( A) dAr

l o q ue n o s p e r mi t e c s t a h l e c e r q ue

y - y ; f A ( a , A ) B ( b , A ) [ 1 - B ( b , A ) B ( c , A ) ] o ( A ) dAah ac

(2.1.3)

* Donde p( A) es l a di st r i buci n que obedecen l as A' S y r es su espaci o.


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l u eg o , t o ma n do v a lo r es a b so l ut o s y u sa nd o l a de si gu al da d d el t ri n gu lo ,

e st a lt im a r el ac i n n os p e r mi te p la nt ea r q ue

IYab - YacI


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n c s . y a l c u al r e pr e s e nt a mo s p or e l k e t l~}. Como que r emos a ve r i g ua r

u n a p r o p i e d a d e s t a d s t i c a d e t o d o e l e n s a mb l e , b u s c a mo s e l v a l o r e s p e r a ~

do del operador correspondiente a esa propiedad. En este caso el opera.d or e s e l p r o du c t o d e l a s v a r i a bl e s d e p r o y ec c i n d e s p i n . p ar a l a p a r t -

cula 1 en la direccin a y de la proyeccin del spin de 2 en la direc-

cin h:

P a r a f a c i l i t a r e l c l c u l o d e e s t e c o e f i c i e n t e , s u p on g amo s q u e a y b s on

c ap l ana r es y un i t ar i os , y a d e m s q u e a c o i n c i d e c o n e l e j e z , t a l c o mo

s e r e p r e s e n t a e n l a F i g . 2 .

t

x

y - . - - - - ,1/

-


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(~ IS sS I~) = Olz 2x

(~Is sS I~)=-11 z 2z

627

d e t a l ma n e r a q u e e l c o e f i c i e n t e d e c o r r e l a c i n q u ed a c o mo

Yab = - cos 8ah

S i s ubs t i t u l l noS es t e r e s u l t a d o e n ( 2 . 1 . 8 ) o b t e n e mo s

I - cos 8ah + cos 8ac I :s;; 1 - cos abe

Es t a d es i g ua l da d no s e c umpl e pa r a t o do s l o s v al o r e s de l o s ng ul o s . E n

partirolar pcxlemosproponer que 8 b = Tr / Z, 8 = e y abe = r r / 2 - e , quea ac

r e p r e s e n t a r a e l a r r e g l o d e v e c t o r e s ( F i g . 3 ) .

b

F i g. 3 Co n e s t a di s pos i c i n v ec t or i al . l a de s i gual dad de Bel l s e v i ol apara 8E: (n,2n).

Ba j o e s t a s c o n di c i o n e s l a d e s i g u al d a d d e B e! ! q u ed a r a c o mo

I cos 8 1 .;; 1 - sen 8

q ue s e v i o l a pa r a 8 E( r r , 2 r r ) , c o n l o q u e h e mo s l l e ga d o a u n a c on t r ad i c c i n .

Be ! 1 c on c l u y e d e e s t a c on t r adi c c i n q ue n o s e p ue de c omp l e t a r

l a m. C. c o n v ar i a bl e s o c ul t a s l o c al e s . As , e n c a s o d e e xi s t i r l a s v a-


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r i a bl e s o c u l t a s , d e be n t e n er u na n at u r a l e z a t a l q ue l o s r e s u l t a do s d e u n

me d i d o r d e pe n da n i n s t a n t n e ame n t e d e l a p o s i c i 6 n d e l o t r o . E s t o o b l i g a -

r a a l a t e o r i a q u e l a s d e s c r i b i e s e a n o s e r i n v a r i a n t e b a j o t r a n s f o r ma -

c i o ne s d e L a T en ! z . S e h a g en e r a do a l g un a d i s c u s i 6 n e n t o r n o a e s t e p un -(17) I " " "6 - "t o , pe r o c o mo v er e mo s e n a s I gu i e nt e s e CCl T I , e s t a no e s n ec e s ar i a

c o n r e s p e c t o a l a s V. O. , p or q ue e s t a s v a r i a bl e s n o s o n e l mo t i v o d e l a

c o n t r a d i c c i n e n c o n t r a d a p o r B e l l .

3 . T EO RIM A D E B EL L S IN V AR IA BL ES O CU LT AS

C omo p o dr c o mp r o b a r e l l e c t o r , e n l a s e c c i n a n t e r i o r h a y t r e s

h i p t e s i s e x p l c i t a me n t e f o r mu l a d as e n e l t e o r e ma d e B el l : a ) L a e x i s t e n -

c i a d e v . o . q u e d e t e r mi n e n 105 r e s u l t a d o s i n d i v i d u al e s ; b ) q u e e x i s t a l o -

c a l i d a d ; e ) q u e l o s r e s u l t a d o s e x p e r i me n t a l e s c o i n c i d a n e s t a d s t i c a me n t e

c on l a m. c .

Ut i l i z a n d o e l e s q u e ma e x p e r l i n e n t a l d e B e l l , e l i mi n a r e mo s l a h i -

p t e s i s d e v . o . , l l e g an d o n u ev a me n t e a u n a c o n t r a d i c c i n , p a r a 1 0 c u a l

n o s a p o y ar e mo s e n u n t r a b aj o d e P e r e s ( 1 8 ) .

S up on ga mo s q ue s e mi d e n l a s p r o y ec c i o ne s d el s p i n e n 1 p ar a

l as d i r ec c i ones a y a l J y e n 2 p a r a l a s d i r e c c i o n es 6 y 6 ' . Te ndr emos

e nt o nc e s u na c o l e c c i n d e 4 r e s u l t a do s q ue s e d en o t a r n c o mo A, A "a a

' \ y 1\. r e s p e c t i v a me n t e . De b i d o a q u e l o s r e s u l t a d o s s l o : : o e d e n t o ma r

l o s v a l o r e s ! 1 , e x i s t i r n t a n s 6 1 0 1 6 p o s i b l e s c o mb i n a c i o n e s d e r e s u l t a -

d o s e x p e r i me n t a l e s ( q u e h e mo s e n l i s t a d o e n e l A p n d i c e ) . C o ns t r u Y a mJ s

a h o r a l a s i g u i e n t e e x p r e s i n :

(3.1.1)

S u b s t i t u y e n d o c u a l q u i e r a d e l a s 1 6 p o s i b l e s c o mb i n a c i o n e s , e n c o n t r a mo s

q ue l a e x pr e s i n ( 3 . 1 . 1 ) t a n s l o p ue de v a l e r ! 2 :

T a&l n do v a l o r e s a bs o l u t o s :

2

(3.1.2)

(3.1.3)


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62 9

y s i r e a l i z a mo s u n n me r o d e e x p e r i me n t o s t a l q u e e n c o n t r e mo s N c o l e c c i o -

nes de resultados -cada uno de los OJales etiquetaremos por el ndice

j - podemos sumarlos:

(3.1.4)

L u e go , p o r l a d e s i g ua l d a d d e l t r i n gu l o :

1 NI ,(AaBb.

]"" ] J

de lo que se concluye que

(3.1.5)

1 N

IN Lj=l

1 N- LN j o'

1 N

- LN j o'

1 N- - LNj=l

(3.1.6)

Ha c i e n do a h or a q ue N s e a mu y g r a n de :

(3.1.7)

y c o l o c a n do e n l u ga r d e l a s y ' s l o s c o e f i c i e n t e s p r e d i c h o s p o r l a m. c .

l l e g amo s a u na c o n t r a d i c c i n , y a q ue e x i s t e n n gu l o s p a r a l o s c u a l e s l a

d es i g ua l d ad ( 3 . 1 . 7 ) n o s e c u mp l e * , d e d on de s e i n f i e r e q ue l a s v . o . n o

s o n l a f u e nt e d e c o n t r a d i c c i n e n e l t e o r e ma d e Be l ! p ue s h e mo s o b t e n i d o

l o s mi s mo s r e s u l t a d o s s i n a p e l a r a e l l a s .

S i n e mb a r g o n o s e n c o n t r a mo s a n t e u na s i t u a c i 6 n e n l a q ue d e be -mo s r e c o n o c e r c o mo f a l s a a l g u na d e l a s d o s h i p t e s i s r e s t a n t e s . C o mo

existen experimentos que (segn algunos autores) confinnan al coeficien-

te de correlacin cuntico comouna adecuadadescripci6n para este caso,

* Pueden encont r ar se desi gual dades con cual qui er nmer o de ngul os mayoro i gua l a t r es . F . s e l l er i enc o nt r un mt o do pa r a ha c er l o ( 19) queadems r ecuper a l as desi gual dades ya encont r adas.


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e s c o m n a f i r ma r q u e l a h i p t e s i s d e l o c a l i d a d e s f a l s a * .

E s t a c o n c l u s i n e s mu y f u e r t e . 1 \ d e I T k 1 sd e c o n t r a d e c i r u n p o s t u -

l a d o d e l a t e o r a d e l a r e l a t i v i d a d , p o n e e n d i f i c u l t a d e s n u e s t r a n o c i 6 n

de s i s t CI Tk ~. b s i c a p a r a t o d a l a f s i c a * * .

Ant e e s t a s d i f i cu l t ades ~~r e cc c l a r o que ms que i n t en t a r e l i .

mi n a r h i p t e s i s , s e d e be e s t u d i a r c u i d a do s amen t e l a d emo s t r a c i n d e e s t e

t e o r ema . A unque n o h emo s r e a l i z a d o u n a n l i s i s e x h au s t i v o p o demo s d e c i r

que existe una hiptesis implcita en la demostracin, que no es ctunpli-

da po r l a m. C. e n l a s c o nd i c i o n es e x per Un cn t a l e s p r o pue s t a s .

4. [J\ IIIPOTESIS I~IPLICITA

4.1) En fu demM>Utac..i6n -6-1 va...u:ablu ocu.Ua6

E l s u j e t o p r i n c i ~~l d e l t e o r ema d e Be ! 1 e s e l c o e f i c i e n t e d ecorrelacin.

E l c o e f i c i e n t e s e c o n s t r u y e a p a r t i r d e l a s med i d a s s o b r e u n

e x pe r i me nt o q ue s e r e pi t e N v e c es : a l d ec a e r e l s i s t e ma d e s p i n c e r o , me -

dUna s l a p r o y e c c i n d e l s p i n e n u na d i r e c c i n p a r a l a p a r t c u l a t y en

o t r a pa r a l a pa r t cu l a 2 . U~~ vez ob t en i do s e s t o s r e su l t ado s l o s mu l t i -

p l i c amo s e n t r e s , y e l p r o d uc t o e s e l p r i me r t r mi n o d e n u es t r o c o e f i -

c i e n t e d e c o r r e l a c i n . R epe t i mo s e s t e p r o c e d i mi e n t o N v e ce s , c o n l o c u a l

ob t enemos N p r oduc t o s que ~s y d i v i d i mos ent r e N.

De 10 a n t e r i o r s e a d vi e r t e q u e e s e s e n c i a l p a r a e l c o e f i c i e n t e

d e c o r r e l a c i n q u e l a s med i d a s q u e s e mu l t i p l i q u en e n t r e s v a y an a p ar e -

j adas , es t o es , que pr ovengan de l a mi s ma pnr t c u l a de s pi n c e r o, l o

cua l e s na t u r a l , pues e s t amos e s t ud i an J o e l compo r t ami en t o e s t ad s t i co

d e l a s p r o y e c c i o n es d e l s p i n , med i d a s e n p a r t c u l a s ( ~e f o r maban u n s o l o

* Es t a s i t uac i n de no- l oc al i dad ha s i do di s cut i da en l a l i t er at ur a l l e-vando a desar r ol l os i nt er esant es(20, 21) .

** Par a ver est o, supongamos que ai sl amos ci er t a par t e del uni ver so endonde deseamos hacer experi ment os con al gunas part cul as. Debi do a

que el uni ver s o es di nmi c o, es t as par t c ul as i nt er ac t uar on c on ot r as

en el pasado, de t al maner a que si al gui en est haci endo exper i ment os

con esas par t cul as, debi do a l a no- l ocal i dad, nuest r os r esul t ados de-penden de ese al gui en arbi t r ari ament e l ej ano.


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sistema. Este hecho es de vital importancia.

E n l a d e mo s t r a c i n d e l a s e c c i n 3 , t e n e mo s e n l a d e s i g u a l d a d

f i n a l c u a t r o c o e f i c i e n t e s d e c o r r e l a c i n :

N

1 1 . 1Nj=1

A Ba, b.

J J

N

+ 1 1 j=1

1 N

+ - 1Nj=1

1 N

- - 1N j=1

A na l i z a n d o e l p r i me r c o e f i c i e n t e , o b s e r v a mo s q u e c a d a A a e s t

a s o c i a d a c o n s u c o r r e s p o n di e n t e Bb , 1 0 c u al e s t a s e gu r a do p or e l n di c e

j. E n e l s e g u nd o c o e f i c i e n t e n o s e n c o n t r a mo s t a mb i n q u e c a d a A a e s t

asociada con su correspoooiente Bb" pero el hecho interesante es que la

A a de l p r i me r c o e f i c i e n t e y l a d e l s e g u n d o s o n n e c e s a r i a me n t e l a mi s ma ,

surnan:lopor sumando(j por j), 10 cual no tan slo est asegurado por el

n d i c e , s i n o p o r q u e s i n e s t e h e c h o , n o e s v l i d a l a r e l a c i n ( 3 . 1 . 2 ) e n

l a q u e e s t b a s a d a t o d a l a d e mo s t r a c i n .

L u e g o c a d a p r o y e c c i n e n a p a r a l a s u b p a r t c u l a 1 e s t a s o c i a -

d a c o n d o s p r o y e c c i o n e s p a r a l a s u b pa r t c u l a 2 , q u e n e c e s a r i a me n t e t u v i e -

r o n q ue p r o v e ni r d e l a mi s ma p a r t c u l a . E s t o e s , s e d e be p o de r me d i r l a

p r o y e c c i 6 n d e l s p i n d e u na p a r t c u l a e n d o s d i r e c c i o n es d i f e r e n t e s a l

mi s mo t i e mp o . E s t a c o n d i c i n , q u e l l a ma r o n d e " me d i b i l i d a d c o n j u n t a "q ui e n es p r n ne r o l a o b s e r v a r o n ( 2 2) , n o p ue d e s e r a s e g ur a d a p o r l a m. c .

L a h i p t e s i s q u e h e mo s e n c o n t r a d o e n l a d e mo s t r a c i 6 n d e P e r e s

e s c o m n a t o d a s l a s d e mo s t r a c i o n e s d e l t e o r e ma d e B el l . P a r a c o n f i r ma r

e s t o r e v i s a r e mo s e n s e g u i d a l a d e mo s t r a c i 6 n o r i g i n a l d e l t e o r e ma d e B el l

d i s c u t i d a e n l a s e c c i 6 n 2 * .

E n l a s e c c i n 2 l o p r i me r o q u e n o t a mo s e s q u e e l c o e f i c i e n t e

d e c o r r e l a c i n t i e n e l a f o r ma ( 2 . 1 . 1 ) , e n l a c u a l s e h a i n t r o d u c i d o e l

s mb o l o A p a r a p o ne r d e ma n i f i e s t o l a h i p t e s i s d e v . o . E s t o n o a l t e r a

* Rest ar a, par a compl et ar el anl i s i s de l as t r es demost r aci ones t pi casque del t eor ema exi st en, que est udi r amos l a de Hol t y Pi pki n( 23) , per oel l ect o r i nt er esado puede hacer l o l eyendo e l ar t i cul o que so br e e l t e -ma escr i bi er on Br ody y de l a Pea en 1979( 22) .


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la discusin que hemos realizado al principio de ~.1 sobre el coeficien-

t e d e c o r r e l a c i n . P o r l o a n t e r i o r p a s a r e mo s d i r e c t a me n t e a d i s c u t i r l a

demostracin.

E l pr i mer paso es t ~1r l a d i f e r e n c i a e n t r e y y y ( E c .ab ae

(2.1.1)). En el laboratorio esta expresin la pudimos obtener de dos se-

ries experimentales, o dicho de otra forma, rudimos realizar un mJ11cro N

de experimentos (N Im .ly grande) en los cuales medimos las proyecciones en

a y [l. y otros N experimentos donde se midiesen las proyecciones en ii y

en c. Parecera entonces que la A(ii,A) en el coeficiente YabJ no tiene

por qu ser la misma que la A(3,\) en el coeficiente y .ac

Sin embargo, en el siguiente paso (Ee. (2.1.3)) hacemos una

factorizacin que obliga a que la A(3,\) sea la misma en ambos coeficien-

tes. Dado que el primer coeficiente asocia A(,X) con B(6,X) y el segun~

do asocia A(,X) con B(c,X), tenc'lTlOSque la A(,X) est aparejada a dos

medidas en la partcula 2. De aqu estaramos tentados a decir que para

que esto suceda debe cumplirse la medibilidad conjunta, pero en este ca-

so hay que tener ms cuidado.

Observarrlo con atencin las hiptesis del trabajo de Bell, no-

tamos que al intnx:l.ucir X se canpleta la descripcin del sistema, por lo

que una vez dado a, y un valor de X, A(a,A) queda perfectamente detenni-

nada sin que la afecte la medida que realicerros en el sistema 2 (debido

a la hiptesis de localidad). Lo que asocia a A(a,A) dos medidas no es

la hiptesis de mcdibilidad conjunta, sino el valor de la variable X.

Pasemos a la situacin en el laboratorio: tomamos las proyec-

ciones en la direccin a en la primera partcula y 6 en la segunda, en

las que 1:1variable X es la misma por venir de una misma partcula de

spin cero; luego intent


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r e j a s d e me d i d a s e s r e a l i z a r l a s s o b r e l a mi ~~ p a r c j a d e p a r t c u l a s , 1 0

c u a l 5 61 0 e s p os i b l e s i s e c u mp l e l a c o n di c i n d e me di b i l i d ad c o n j u nt a .

E n c u a nt o a l a s i t u a c i n t e r i c a e s c l a r o q ue n o s b as t a r a c o n s i d er a r

una ). continua para que la probabilidad de repetir el mismo valor en una

s e c u en c i a f i n i t a d e p r u e ba s s e a p r c t i c a me n t e c e r o .

5 . C O NC W S IO N ES y PERSPECTIVAS

5.1 J Ac.eJtca. de. la .6Ww.ci6t1 expvUmen.t:al

Desde la aparici6n del teor em .. '1 de Bell se ha realizado un es-

f ue r z o r e l a t i vament e l i npo r t an t e pa r a compr oba r l o exper i ment a l ment e . E l

o b j e t i v o q ue s e p er s i g u e e s d i s c r i mi n a r e n t r e l a v a l i d ez d e l a d es i g u al -

dad de Be11 o la de la mecnica cuntica, dando por hecho que el teorema

es correcto y haciendo las modificaciones necesarias para el manejo de

l o s d at o s . S e g n Cl a u s e r y S h i r n o ny , h a s t a 1978 ( 24 ) s e r e a l i z a r o n nu e v e

e x pe r i me n t o s a l o s q ue h ab r a q ue a g r e g ar e l r e a l i z a do r e c i e n t e me n t e p o r

As p ec t ( 1 1) , c i n c o d e s t o s h an u t i l i z a d o f o t o n es p r o v en i e n t e s d e l a d e s -

e x i t a c i 6 n d e a l g n g a s , t o m n do s e c o mo l a p r o pi e da d e qu i v a l e n t e a l s p i n ,

l a p o l a r i z a c i 6 n , q u e s e o b s e r v a c o n p o l a r i z a d o r e s 6 p t i c o s . Un e s q u ema

mu y s i mp l i f i c a do de e s t e e x pe r i me n t o s e r a e l J T K ) s t r a do e n l a F i g . 4 .

FUENTE

-o -D --o --Q ~ (;)~D --o -Q -o -~ L ENTE POLARIZ AD OR

FOTO MUL TIPLICADOR

M E D I D OR D E C OIN CI D EN C IA S

Y P RO CE SA M IE NT O D E D AT OS

Fi g. 4 Esquema exper i ment al par a f ot ones. La f uent e gener al ment e es demer Cur i o.


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Ot r o s c u a t r o e x p e r t me n t o s h a n u t i l i z a d o f o t o n e s d e a l t a e n e r -

g a p r o v e n i e n t e s d e l a a n i q u i l a c i n p o s i t r n - e l e c t r n c a l c u l a n d o s u p o l a -

r i z a c i 6 n a p a r t i r d e l a s me d i d a s q u e s e h a c e n s o b r e l a d i s p e r s i 6 n e n

p l s t i c o d e c e nt e l l e o . P o r l t Un o , s e h a r e a l i z a r l o u n e x p e r i me n t o c o np r o t o n es , e n e l q ue s e o b s e r v a l a d i s p er s i 6 n d e s t o s e n l mi n a s d e c a r -

bn.

E n c u a nt o a s u s r e s u l t a d os , o c h o d e e s t o s e x p er i me n t o s c o i n c i -

d e n c o n l a m. c . y d os c o n l a d es i g ua l d ad d e Be l l . S i n e mb ar g o, corno h e -

mo s mo s t r a d o e n l a s e c c i 6 n 3 . l a s v . o . n o s o n l a e s e n c i a d e l r e s u l t a d o

d e Be l l , p or 1 0 c u al s u p o s i b l e e x i s t e nc i a n o e s a f e c t a da p or l o s a nt e -

r i o r e s r e s u l t a d os e x p er i me n t a l e s . P o r o t r a p a r t e , e s t o s l t Un o s n e c e s i -

t a n d e h i p t e s i s a d i c i o n a l e s q u e h a n r e c i b i d o s e v e r a s c r t i c a s ( 2 S ) .

5.21 Conc.l.u.6.ionu

A p es a r d e s u d i v e r s i d a d, t o da s l a s e x pe r i e nc i a s q ue s e h an

r e a l i z a d o p a r a c o mp r o b a r e l t e o r e ma d e B e 11 t i e n e n u n a c a r a c t e r s t i c a e n

c omn : l e s r e s u l t a Ur r p o s i b l e t oma r en c u en t a l a h i p t e s i s d e med i b i l i d ad

c o n j u nt a , p ue s a l me di r l a p ol a r i z a c i n o l a p r o y ec c i n d el s p i n e n u na

d i r e c c i n , e l e s t a d o d e l s i s t e n k ~ r e s u l t a mo d i f i c a d o ; e n p a r t i c u l a r , p a r a

e l e x pe r i me nt o p r o p ue s t o p or Be l l a l p as a r l a p ar t c u l a p o r e l c a mp o d el

a p a r a t o me d i d o r ( u n S t e r n - Gc r l a c h ) , s e o r i e n t a c o n s t e , p e r d i e n d o s e n t i -

d o e l r e a l i z a r o t r a me d i d a e n l a mi s ma p a r t c u l a . De 1 0 a n t e r i o r c o n -

c l u i mo s q u e l o s e x p e r i me n t o s h a s t a h o y r e a l i z a d os s o n i r r e l e v a nt e s c o n

r e s p e c t o a l a s v . o . y l a n o - l o c a l i d a d e n l a m. c .

P o d r a a r g u me n t a r s e q u e e l p r o b l e ma e s d e e q ui p o , y que mi en -

t r a s n o s e c u e nt e c o n u n a p a r a t o c a p a z d e h a c e r l a s me d i d a s c o n j u n t a s

q u e s e r e q ui e r e n , e l t c o r e ma d e Be l 1 e s u n i mp e di me n t o t e r i c o p a r a l a

l o c a l i d a d e n l a m. c . P e r o p a r a a r g u me n t a r c o n s i s t e n t e me n t e e n e s t a d i -

r e c c i n , h a br a q u e d e mo s t r a r a p a r t i r d e l a p r o p i a m. C . q u e e l s i s t e ma

f s i c o q u e s e p r o p o n e c u mp l e c o n l a c o n d i c i 6 n d e me d i b i l i d a d c o n j u n t a .

E s t o n o s e ~l r e a l i z a d o h a s t a l a f e c h a .

E n r e ~e n, d es p u s d e e s t u di a r c o n u n p oc o d e a t e nc i n e l t e o-

r e ma d e B el l , s e n o t a q u e a p e s a r d e s e r ma t e m t i c a me n t e c o r r e c t o , l a s

c o nc l u s i o n es q ue d e l s e o bt i e ne n s o n f a l s a s , d eb i d o a l p oc o c u i d ad o


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635

q u e s e p o n e e n l a d i s c u s i 6 n d e s u c o n t e n i d o f s i c o .

5.3) PeMpec.UVM

E l a s p e c t o p o s i t i v o d e l t r a b aj o d e Be ! 1 c o n s i s t e e n q u e s u e s -

t u d i o h a rJDtivado r n . J c v o s p r o b l e mas , c u y a s o l u c i 6 n p r o f u nd i z a r n ue s t r o

c o n o c l l n i e n t o d e l a m. c . A l e s t a b l e c e r l a s c o n c l u s i o n e s d e l a s e c c i n ano

t e r i o r l l e g a mo s n a t u r a l me n t e a v a r i a s p r e g u nt a s : J l u s i g n i f i c a l a me d i -

b i l i d a d c o n j u n t a ? S e r p o s i b l e d i s e n ar a l g n t i p o d e d i s p o s i t i v o s p a r a

e f ec t ua r es e t i po de med i das en mi c r os i s t emas ? Ex i s t en s i s t emas c l s i -

cos en que no sea posible hacer "medidasconjuntas"? Cul es el reflejo

t e 6r i c o d e l a n o - me d i b i l i d a d c o n j u n t a e n l a t e o r a c u nt i c a ? P o de mo s e n -f o c a r l a s o l u c i n a e s t a s p r e g u nt a s d e s d e d i f e r e n t e s n g u l o s . e n r i q u e c i e n -

d o c o n e l l o a s p e c t o s r e l e v a nt e s d e l a t e o r a . a s c o mo l a d i s c u s i n d e

s u s i n t e r p r e t a c i o n e s . P o r e j e mp l o , s e p u e d e r e t o ma r - - e n e s t e c o n t e x t o - -

l a d i s c u s i n d e l a s d e s i g L k ~l d a de s d e He i s e n be r g , o i n d ag a r e n l a n a t u r a -

l e z a d e l s p i n . Co mo e s o q u ed a f u e r a d e l a s p o s i b i l i d a de s d e e s t e a r t c u -

l o , s l o h a r e mo s me n c i n d e d o s l i n e as d e t r a b a j o : l a d i s c u s i n s o b r e

l o s v e c t o r e s d e e s t a d o d e s e g un d o t i p o y l a b s que da d e l a s c a r a c t e r s t i -

c a s d e l a f u n c i n d e c o r r e l a c i 6 n q u e c u mp l e c o n e l t e o r e ma d e Be l l .c a p a s s o e t a l . ( 2 6 ) y a , r a c c a e t a l . ( 2 7 ) e s t u d i a r o n l a d e s i g u a l -

d a d d e B el l d e s d e u n p u nt o d e v i s t a f o r ma l , a i s l a n do e l e l e me n t o r e s p o n-

s a b l e d e l a v i o l a c i n d e e s t a d e s i g u a l d a d . &1 a n l i s i s p a r t e d e l c o e f i -

c i e n t e d e c o r r e l a c i n , q u e e n g e ne r a l p u ed e s e r e s c r i t o d e l a s i g u i e n t e

forma:

(5.3.1)

d on de A l e s e l o pe r a do r c o r r e s p on di e nt e a u na o bs e r v a bl e d e l s u bs i s t e ma 1y B

T Ie s e l o pe r a do r c o r r e s p on di e nt e a l s u bs i s t e ma 2 . P o r t r a t a r s e d e u n

s i s t e ma d e d o s p a r t e s , e l v e c t o r d e e s t a d o e s

I~) = L C . . I~.)I;'>. . l J 1 )1,J

(5.3.2)

c or r es po nd i end o

q u e d e s c r i b e a l

I \ ~ . ) a l v e c t o r1

s u bs i s t r nl


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636

p u ed e n t e n e r s e d o s

c oe f i c i e nt e Ci j

e s

c i I mo s t r a r q u e e l

t i p o s d e v e c t o r e s d e e s t a d o I~),d ep en di e nd o d e s i e l

f act or i z abl e como C. C~. En C3S0 d e s e r a s , e s 5-1J

c o ef i c i e nt e (5.3.1) puede es c r i b i r s e c omo

( 5. 3. 3 )

t en i endo un t r mi no ad i c i o na l s i ~o e s f a c t o r i z a b l e :

( 5. 3 . 4)

A l o s v e c t o r e s d e e s t a d o e n l o s c u a l e s s e p u ed e f a c t o r i z a r e l

t r mi n o Ci j O s e l e s c o n o c e c omo v e c t o r e s d e e s t a d o d e l p r i me r t i p o ,

s i e n do l o s d e s e gu nd o t i p o e n l o s q ue n o s e p ue de h a c e r e s t o . A p ar t i rd e l a p r o p i e d a d ( 5 . 3 . 3 ) y d e a l g u na s h i p t e s i s a d i c i o n al e s , B ar a c c a e t a l .

r u e de n o b t e n er l a d e s i g u al d a d d e B eU, mo s t r a n do a d e m. 1 s q u e a l g u no s v e c -

t o r e s d e e s t a d o d e s e g u n do t i p o n o l a c ump l e n .

E s c l a r o q u e e s t a v i o l a c i n e s d e b i d a a l t r mi n o I T ( ~ . ~. ) d e1 J

( 5 . 3 . 4 ) , c o n l o c u a l s e i d e nt i f i c a e l e l e me n t o a l q u e h a br a q u e a d j u d i -

c a r d es d e u n p un t o d e v i s t a f o r ma l e l r e s u l t a d o d e Be l l . E l p r o b l e ma

q ue s e a br e e s e nt e nd er p or q u h ac e n f a l t a v e c t o r e s d e e s t a do d e s e gu n-

d o t i p o p a r a d e s c r i b i r c i e r t o s s i s t ema s . Un a v a d e a t a q u e s e r a e s t u -d i a r l o s p r o c e s o s de s i me t r i z a c i n y an t i s i me t r i z a c i n de l a f un c i n de

o o o a .

E l s e g un d o p r o b l e ma a l q u e h i c i mo s r e f e r e n c i a a p a r e c e a l e s t u -

d i a r l o s r e s u l t a do s o bt e ni d os p or F . s e 11 er i e n 1 97 8( 1 9) . E s t e a ut o r e n -

c u e nt r a u n p r o c e d l i n i e n t o p a r a g e ne r a r t o d a s l a s d e s i g u al d a de s d e B e1 1 c o -

n o c i d a s , a s c o mo d e s i g u al d a de s c o n u n n me r o ma y o r d e c o e f i c i e n t e s d e

c o r r e l a c i n . Su m t odo l e pe r mi t e en c on t r a r una s e r i e de c a r a c t e r s t i -

c a s g e om t r i c a s d e l a f u n c i n d e c o r r e l a c i n q u e c ump l e c o n l a d e s i g u a l -dad de Be1l:

1 . - E s s i m t r i c a c on r e s pec t o a e o .

2. - En e = . / 2 v a l e O.

3 . - E s an t i s i m t r i c a c on r e s pec t o a e = n/ 2.

4 . - E s s i m t r i c a a l r e d e do r d e n .

5 . - L a c u r v a q u e d e s c r i b e l a f u n c i n d e c o r r e l a c i n n u nc a e s


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may or q ue la re cta

R ( e ) - 1 [ y ' ( e ) J e

6 .- L a de ri va da d e l a f un ci n d e c o rr el ac i n e n e = o e s m a y o r

que 2/ .

A p o y n d o s e e n e s t a s a s e v e r a c i o n e s s e p u e d e d e l i m i t a r l a r e g i n

d el p la no e n l a q ue e vo lu ci on ar a e l co ef ic ie nt e d e c or re la ci 6n . U sa nd o

hip6tesis adicionales se :uedenbosquejar algunas grficas, lo cual mues-

tra que el trabajo de Selleri abre algunas posibilidades para precisar

e l t ip o d e c oe fi ci en te d e c or re la ci n q ue c um pl e c on l a d es ig ua ld ad d e

Bell.

AGRADECI~lIENfOS

E l a u to r a gr ad ec e l a p ac ie nc ia d e T om s B ro dy y L ui s d e l a Pe a ,

(~ec on s us d is cu si on es l e p er mi ti er on l a c om pr en si n d el t em a, a s c om o

l os va li os os c om en ta ri os d e G us ta vo ~br t nez y R a f a e l ~br t ne z en l a e l a-

boracin final del manuscrito.

APENlJICE

Conjunto A a /\n , Bb Bb'

1.- . 1 +1 +1 +1

2. - +, +1 +1 - 13. - +, +1 - 1 +1

4 . - +1 +1 - 1 - 1

5 . - +1 - 1 +1 +1

6 . - +1 - 1 +1 - 17. -

+1 - , - 1 +1

8.- +, - 1 - 1 - 1

9. - - 1 +, +, +1, 0.- - 1 +, +1 - 1

'1.- - 1 +1 - , +1, 2. - - 1 +1 - 1 - 1

13. - - 1 - 1 +, +1

1 4 . - -1 - 1 +1 - ,1 5 . - - , -1 - , +11 6 . - - , - 1 - 1 - 1


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638

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