FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICACARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

“TEOREMA DE NORTON”

Curso - Sección:Electrónica industrial - 4212

Profesor:Ing. Dionicio Augusto Valdivia Garate

Alumno(s) - Código:Huanca Escalante, Lizbeth – 1512695

Huamani Romero, Oscar Rolando – 1512580

Ciclo: V

Turno:Noche

Arequipa, 15 de febrero de 2017

ÍNDICE

Introducción............................................................................................................................3

Objetivos.................................................................................................................................4

1. Objetivo general...........................................................................................................4

2. Objetivos específicos...................................................................................................4

Capítulo I.................................................................................................................................5

1. Introducción histórica..................................................................................................5

1.1 Edward Lawry Norton...............................................................................................5

2. Descripción teórica......................................................................................................9

3. Experimentos realizados............................................................................................11

Capítulo II.............................................................................................................................17

1. Aplicaciones...............................................................................................................17

Referencias bibliográficas.....................................................................................................22

Introducción

Un circuito eléctrico, es la interconexión de dos o más componentes que contiene una

trayectoria cerrada, entonces si observamos nuestro mundo actual vemos que los circuitos

eléctricos son utilizados en cada uno de los aparatos eléctricos que se usamos a diario,

muchos de estos circuitos son muy complejos y disponen de una gran variedad de

elementos que en conjunto, en teoría sería bastante complicado poder resolverlo si la ayuda

de dos teoremas como son Thevenin y Norton.

El teorema de Norton que lleva ese nombre en memoria de su creador Edward Larry

Norton y nos permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos terminales.

El presente trabajo se desarrolla de la siguiente manera: El primer capítulo detalla la

introducción historia, descripción teórica y experimentos realizados que explican el

teorema de Norton, el segundo capítulo trata sobre las aplicaciones, donde se explica un

ejercicio de circuitos con su respectiva resolución en base al teorema de Norton,

desarrollado en el sistema Livewire, para finalmente las respectivas conclusiones.

Objetivos

1. Objetivo general

Investigar sobre el teorema de Norton.

2. Objetivos específicos

a) Realizar una introducción histórica y descripción teórica sobre el teorema de

Norton.

b) Investigar sobre los experimentos realizados por Norton.

c) Describir y resolver un ejercicio aplicativo sobre el teorema de Norton, haciendo

uso de programa Livewire.

d) Dar conclusiones referentes al ejercicio aplicativo del Teorema de Norton.

Capítulo I

1. Introducción histórica

1.1 Edward Lawry Norton

No se escribió ninguna biografía formal sobre Norton; sin embargo AT & T.

(American Telephone & Telegraph), realizo una recopilación de algunos

archivos sobre su trabajo de la cual para el presente trabajo tomo como

referencia.

Edward Lawry Norton nació el 29 de julio de 1898 en Rockland, Maine,

EE.UU. fue un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es

conocido principalmente por enunciar el Teorema de Norton, que lleva su

nombre.

Un poco sobre la historia de la familia fue que comenzó con Edward Payson

Norton (3 de mayo de 1841-14 de junio de 1885) de Industry / New Vineyard,

Maine, el se casó con Mary Ann Cobb (11 de noviembre de 1840) de Rockland,

Maine. Ellos tuvieron cuatro hijos, de los cuales sólo Francis Cobb Norton (31

de diciembre de 1869) sobrevivió a la infancia, el sobreviviente se casó con

Katherine E. Lawry (10 de febrero de 1885- mayo de 1970) y tuvieron dos hijos:

Marrin o Marion Hayes Norton (10 de marzo de 1900-no se sabe el año de

fallecimiento) y Edward Lawry Norton (29 de julio de 1898-28 de enero de

1983). Edward se casó con Blanche L. (19 de enero de 1905-28 de septiembre

de 1992) y tuvieron un hijo, John Lockwood Norton (10 de enero de 1934).

Sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919. Asistió a la

Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio

durante la guerra, luego fue trasladado a M.I.T.

5

En 1920, recibiendo su S.B. Grado (ingeniería eléctrica), en 1922. Empezó a

trabajar en 1922 en la Western Electric Corporation (el predecesor de Bell

Telephone Laboratories) en la ciudad de Nueva York, que más tarde se

convirtieron en los laboratorios Bell en 1925. Mientras trabajaba para la

Western Electric, M.A. obtuvo un grado en ingeniería eléctrica de la

Universidad de Columbia en 1925.1

Aunque su principal interés estaba en la Teoría de red, sistemas acústicos,

aparatos electromagnéticos, transmisión de datos una comunicación, teoría de

circuitos y la transmisión de datos de las líneas telefónicas, Edward L. Norton es

universalmente reconocido para el desarrollo del dual del circuito equivalente

Thevenin. Norton a principios de la década de 1920 fue uno de los primeros

científicos que uso el circuito equivalente de Thevenin para simplificar las

redes; entonces se dio cuenta de que puede ser conveniente utilizar un método

alternativo.

"Norton era algo de una figura legendaria en el trabajo de la teoría de la red,

realizo varios diseños armados sólo con una regla de deslizamiento y su

intuición. Muchas anécdotas sobreviven. En una ocasión T.C. Fry llamó a su

equipo de trabajo, que incluía en ese momento a Bode, Darlington y R.L.

Dietzold entre Otros, y les dijo: "Ustedes compañeros, es mejor que no se

inscriban en cualquier grado, curso u otros trabajos hasta el año que viene,

porque ustedes van a tomar el control del diseño de red que Ed Norton ha estado

haciendo solo.2

El 11 de noviembre de 1926, él escribió la nota técnica Diseño de Redes para

frecuencia uniforme finita característica, que se reproduce por cortesía de los

Archivos de AT & T, que contiene el siguiente párrafo en la página 9.

1 Maloberti, F. y Davies, A. (2016). A Short History of Circuits and Systems. Editorial River Publishers. The Netherlands. Pág. 38-39. Recuperado de: http://ieee-cas.org/sites/ieee-cas.org/files/a_short_history_of_circuits_and_systems-_ebook-_web.pdf2 Una historia de la ingeniería y la ciencia en el sistema de Bell: Transmisión Tecnología (1925-1975). Pág. 210.

6

“El ejemplo ilustrativo considerado anteriormente proporciona la solución para

la relación de la corriente de entrada a salida, ya que esto parece ser de interés

más práctico. Una red eléctrica suele requerir la solución para el caso de una

tensión constante en serie con una impedancia de salida conectada a la entrada

de la red. Esta condición requeriría que las ecuaciones de la tensión divididas

por la corriente en la carga fueran tratadas como anteriormente. Sin embargo,

normalmente es más fácil hacer uso de un teorema simple que pueda

demostrarse fácilmente que el efecto de una tensión constante E en serie con una

impedancia Z y la red es la misma que una corriente I = E / Z en una Paralela de

la red y la impedancia Z. Si, como suele ser el caso, Z es una resistencia pura, la

solución de este caso se reduce al caso tratado anteriormente para la relación de

las dos corrientes, con la complicación adicional de una resistencia Shunt a

través de los terminales de entrada de la red. Si Z no es una resistencia el

método todavía se aplica, pero aquí la variación de la corriente de entrada E / Z

debe ser tomada en cuenta”.

Dicho párrafo define claramente lo que hoy es conocido como el circuito Norton

equivalente, el mismo resultado también fue derivado por Hans Ferdinand

Mayer, pero apareció que Norton los había divulgado primero, en un informe

interno. Norton nunca publicó este resultado o mencionado en ninguna de sus 18

patentes y 3 publicaciones. En Europa, es conocida como el circuito Mayer -

Norton equivalente. El ingeniero de telecomunicaciones alemán Hans Ferdinand

Mayer publicó el mismo resultado en el mismo mes que Norton su memoria

técnica. Es cierto que los teoremas de Thevenin o Norton se refieren a las dos

caras de un circuito equivalente, pero para hacer la vida realmente un poco más

fácil, es sabio usar alguno.

Además Norton escribió 92 memorandos técnicos (TMs en Bell Laboratories).

Norton debido a la falta de publicaciones, prefirió trabajar y dejar de darse

notoriedad. Aplicó sus conocimientos profundos de análisis de circuitos a

muchos campos, y después de la Segunda Guerra Mundial trabajó en los

sistemas de guía de misiles Nike.Norton, realizo pocas publicaciones ya que

7

prefirió permanecer en segundo plano. Sin embargo sus capacidades fueron

reconocidos y altamente valorados. Dentro de sus tres publicaciones, ninguna de

ellas menciona el teorema enunciado por él:

Sus tres publicaciones fueron las siguientes:

En abril de 1937: Redes de resistencia constante con aplicaciones a

grupos de filtro. Publicado en el diario Bell System Technical Journal.

Tomo 16. Págs. 178-193.

En junio de 1942: Contador de fluidos magnéticos. Publicado en el

diario Bell Laboratories Record. Tomo 20. Págs. 245-247

Y en abril de 1945: Mediciones dinámicas de dispositivos

electromagnéticos. Publicado en el diario Transacciones AIEE. Tomo

64. Págs. 151-156.3

Se retiró en 1961 y falleció el 28 de enero de 1983 en la King James Nursing

Home en Chatham, Nueva Jersey. EE.UU.

Figura 1: Laboratorio de E. L. Norton. Fotografía tomada en octubre 13, 1925.

Recuperada por AT&T Archive.

3 Edward Lawry Norton (1898-1983). Recuperado de: http://www.ece.rice.edu/~dhj/norton/

8

2. Descripción teórica

El teorema de Norton es aplicado en el cálculo y diseño de circuitos eléctricos, fue

desarrollado por vez primera por el ingeniero de los Laboratorios Bell “Edward

Lawry Norton”.

El teorema de Norton permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos

terminales planteando lo siguiente:

“Un circuito que tenga dos terminales, se comporta respecto de una resistencia de

carga colocada entre ellos como un simple generador de intensidad Ix en paralelo

con una resistencia Rx”.4

Entonces el Teorema de Norton establece que cualquier circuito lineal puede ser

sustituido por una fuente equivalente de intensidad en paralelo con una impedancia

equivalente. Al ser sustituida una fuente de corriente por una de tensión el terminal

positivo de la fuente de corriente tiene que coincidir con el terminar positivo de la

fuente de tensión en el momento de aplicar el teorema de Norton.

Se tiene el siguiente circuito inicial:

Aplicando el teorema de Norton nos da el siguiente circuito equivalente:

4 Charles, K. y Sadiku, M. (2000). Fundamentos de circuitos eléctricos 3ra edición. Editorial Mc graw Hill Companies. Mexico. Pág. 426.

9

El valor de Ix lo obtenemos cortocircuitando los terminales A y B, obteniendo el

circuito siguiente:

R34 es el resultado del paralelo de las resistencias 3 y 4:

R 34=R 3∗R 4R 3+R 4

Y la intensidad que circulará por este circuito será:

Ix= V 1

R 1+ R 2+ R 3∗R 4R 3+R 4

Para hallar la intensidad que circula en RL, volvemos al circuito equivalente

10

La intensidad Ix se repartirá por las dos ramas cumpliendo la siguiente igualdad:

Ix=I 1+ I 2

Además, sabemos que al estar en paralelo Rx y RL están sometidas a la misma

tensión y se cumple que:

I 1∗Rx=I 2∗RL

3. Experimentos realizados

Dentro de los aportes científicos que se le atribuye a Edward L. Norton son las 20

patentes en los campos de investigación de circuitos integrado, y otros. Teoría de

redes, relés, redes acústicas, direcciones de tiro (durante la Segunda Guerra

Mundial) y misiles guiados y el Teorema de Norton.

Norton fue conocido mundialmente por el teorema que lleva su nombre, que incluyó

en un memorándum escrito para el departamento de patentes de la Bell Telephone,

teorema apareció publicado por primera vez en 1937 en el libro de texto

Communication Engineering, del profesor W. L. Everitt. Es un teorema dual del de

Thévenin, e indica que se puede sustituir una red cualquiera por un generador de

corriente en paralelo con una admitancia. Norton se convirtió en un miembro de la

Acoustical Society de América y del IRE (estos últimos en 1961). En su biografía

de 1954, que se reproduce por cortesía de los Archivos de AT & T, dice que él tenía

19 patentes; De los cuales sólo 18 han sido encontrados en el registro U. S. PTO.

Una forma de biografía mecanografiada en los archivos de AT & T del 20 de julio

de 1954 indica que él tenía 19 patentes. Un manuscrito Biografía fechada dos años

11

después declara "aproximadamente veinte". Solamente 18 podrían encontrarse en la

patente de los Estados Unidos y Registros de la Oficina de Marcas.5

A continuación una tabla donde figuran sus respectivas patentes:

Fecha de

presentación

Fecha de

aprobación

Número de

patente

Título Comentario

24/11/1924 21/08/1928 1,681,554 Filtro de onda -

25/11/1924 07/04/1931 1,799,634 Transmisión en onda -

12/05/1925 16/04/1929 1,708,950 Filtro de ondas eléctricas -

18/05/1925 02/07/1929 1,719,484 Sistema de transmisión

portadores

-

31/03/1926 03/04/1928 1,664,755 Red eléctrica -

23/09/1926 13/09/1927 1,642,506 Sistema de transmisión de

onda

-

30/10/1926 29/10/1929 1,733,554 Dispositivo magnético -

14/05/1927 17/02/1931 1,792,497 Dispositivo vibrador de

sujeción

Conjunta

con A. C.

Keller

16/04/1929 13/01/1931 1,788,538 Filtrado de circuitos -

31/05/1929 17/02/1931 1,792,655 Reproductor de sonido -

29/07/1932 17/04/1934 1,954,943 Red de transmisión de

onda

-

19/05/1934 05/11/1935 2,019,624 Atenuación ecualizador -

16/08/1934 06/04/1937 2,076,248 Filtro de onda -

30/09/1936 03/05/1938 2,115,826 Impedancia transformador -

12/05/1937 16/08/1938 2,126,915 Red de transmisión de

onda

-

18/10/1938 21/05/1940 2,201,296 Sistema telefónico Conjunta

5 Don H. Johnson. Scanning our Past. Origins of the Equivalent Circuit Concept: he Current-Source Equivalent. Proceedings of the IEEE, Vol. 91, Nº 5, mayo 2003, pp. 817-821. Recuperado de: https://pdfs.semanticscholar.org/b55d/3f11daa8943d76fbe645b13020d4b1602648.pdf

12

con A.A.

Lundstrom

17/09/1941 20/07/1943 2,324,797 Amplificador de

diferencial

-

07/07/1947 15/02/1955 2,702,186 Acelerómetro Conjunta

con G.A.

Head

Fuente: Edward Lawry Norton (1898-1983). Recuperado de:

http://www.ece.rice.edu/~dhj/norton/

3.1. Filtro mecánico

Es un filtro procesador de señales frecuentemente utilizado en vez de un filtro

electrónico de radiofrecuencias. Su propósito es el mismo que el de un filtro

electrónico normal: pasar un rango de frecuencias de la señal, bloqueando todas

las demás. El filtro actúa en las vibraciones mecánicas, las cuales son el análogo

de la señal eléctrica. En la entrada y salida del filtro, los transductores convierten

la señal eléctrica en vibraciones mecánicas, y luego estas son transformadas de

nuevo en la primera forma.

Todos los componentes de un filtro mecánico son directamente análogos a los

distintos elementos encontrados en los circuitos eléctricos. Los elementos

mecánicos obedecen a las funciones matemáticas, las cuales son idénticas a sus

elementos eléctricos correspondientes. Esto hace posible aplicar análisis de

circuitos eléctricos y métodos de diseño similares en los filtros mecánicos. La

teoría eléctrica ha desarrollado un amplio catálogo de formas matemáticas que

producen filtros con respuestas de frecuencia útiles, por lo cual el diseñador de

éstos puede hacer uso directo de aquellas. Solo es necesario ajustar los

componentes mecánicos a valores apropiados para producir un filtro con una

respuesta idéntica a la de su contraparte eléctrica. La teoría de los filtros

mecánicos fue aplicada primero para mejorar las partes mecánicas de los

fonógrafos de los años 20. Alrededor de los años 50 los filtros mecánicos se

encontraban siendo manufacturados como componentes independientes para

13

aplicaciones en los radiotransmisores y receptores de gama alta. El elevado nivel

de factor de calidad "Q" conocido en inglés como quality factor que pueden

alcanzar los resonadores mecánicos, es mucho más alto que el de un circuito

RLC, el cual hace posible la construcción de filtros mecánicos con una excelente

selectividad. La buena selectividad, factor esencial en los receptores de radio, le

dio un gran atractivo a dichos filtros. Los investigadores contemporáneos se

encuentran trabajando en filtros microelectromecánicos, los cuales son

dispositivos mecánicos correspondientes a los circuitos electrónicos integrados.

Reproducción del sonido, una de las primeras aplicaciones de estas herramientas

teóricas nuevas se utilizó en la reproducción del sonido fonográfico. Un

problema recurrente con los primeros diseños de fonógrafos fue que las

resonancias mecánicas en la pastilla y en el mecanismo de transmisión causaban

crestas y valles excesivamente grandes en la respuesta de frecuencia, lo cual

resultaba en una calidad de sonido baja. En 1923, Harrison de Western Electric

Company registró una patente de un fonógrafo en el cual el diseño mecánico se

encontraba completamente representado como un circuito eléctrico. La bocina de

un fonógrafo se representa como una línea de transmisión, transformándose en

una carga resistiva para el resto del circuito, mientras que las partes mecánicas y

acústicas (desde la aguja de la pastilla hasta la bocina) son traducidas como

elementos agrupados de acuerdo con la analogía de la impedancia. El circuito

obtenido consiste en una tipología de escalera de una serie de circuitos

resonantes acoplados por medio de capacitores en paralelo. Esto puede ser

considerado como el circuito de un filtro pasó banda. Harrison diseñó a los

valores de los componentes para que tuvieran una banda de paso correspondiente

con la del audio deseado (en este caso de 100 Hz a 6 kHz), así como de

frecuencia plana. Al traducir estos valores de los elementos eléctricos a las

magnitudes mecánicas se proporcionaron las especificaciones para los

componentes mecánicos en términos de la masa y la rigidez, lo cual también

pudo ser traducido a las dimensiones físicas para su manufactura. El fonógrafo

resultante tenía una respuesta de frecuencia plana en su banda de paso, además

de ser libre de las resonancias experimentadas previamente. Poco tiempo

14

después, Harrison registró otra patente usando la misma metodología en los

transductores de transmisión y recepción en el teléfono. Harrison utilizó la teoría

del filtro de K constante de George Ashley Campbell, la cual era la más avanzada

de aquella época. En esta teoría, el diseño de filtros es visto esencialmente como

un problema de adaptación de impedancias.

Figura 2: Filtro mecánico de Norton y su circuito equivalente.

Se le dio validez a teoría de filtros más avanzada para este problema por Norton

en 1929 en los Laboratorios Bell. Norton siguió el mismo acercamiento general,

aunque el mismo le describió su propio filtro a Sidney Darlington como

"totalmente plano". El diseño mecánico de Norton se aprovechó de la

investigación de Stephen Butterworth, el cual es usualmente acreditado como el

primero en describir el filtro electrónico totalmente plano. Las ecuaciones que

Norton da para su filtro corresponden a un filtro de Butterworth con una sola

terminal, es decir, uno alimentado por una fuente ideal de voltaje con ninguna

impedancia, mientras que la forma más frecuente en los textos es para el filtro

15

con doble terminal con resistores en ambas, haciendo el diseño difícil de

reconocer por lo que es. Otra característica inusual del diseño de filtros de

Norton surge del capacitor en serie, el cual representa la rigidez del diafragma.

Este es el único capacitor en la representación de Norton, y sin ella el filtro

podría ser analizado como un prototipo de filtro paso bajo. Norton mueve el

capacitor fuera del cuerpo del filtro a la entrada, a expensas de introducir un

transformador en un circuito equivalente. Norton utilizó aquí la transformación

de impedancia de "girar la L" para lograr esto.

Norton también usó la teoría del filtro para modelar sistemas mecánicos. Empleó

el mismo enfoque general utilizado para describir el filtro electrónico "máximo

plano".

Figura 3: Norton en su laboratorio

16

Capítulo II

1. Aplicaciones

Ejercicio explicativo.

a) Calcular la IL cuando RL = 1,5 kW.

b) Calcular la IL cuando RL = 3 kW.

c) Calcular la IL cuando RL = 4,5 kW.

Resolviendo el ejercicio por el teorema de Norton.

1. Quitar la carga RL y poner un cortocircuito (RL = 0).

2. Aplicamos la teoría de mallas de Kirchhoff y calculamos VN:

17

IN=Corriente Norton o corriente en cortocircuito

-72+2I1+2(I1-I2)=0 I1=

2(I2-I1)+I2+2(I2-I3)=0 I2=

2(I2-I3)+I3+2(I3-I4)=0 I3=

2(I4-I3)+0.5I4+1.5I4=0 I4=IN=6mA

3. Cortocircuitar las fuentes de tensión independientes y abrir las fuentes de corriente independientes.

RN=1.5k

4. Unir la carga al circuito equivalente conseguido.

Ahora aplicando Norton es mucho más fácil resolver el problema que teníamos.

a) Calcular la IL cuando RL = 1,5 kW.

Por la ley de Ohm:

V=6*0.75=4.5V

IL= 4.5/1.5=3mA

18

Livewire 1.- simulación

b) Calcular la IL cuando RL = 3 kW.

Por laley de Ohm:

V=6*1=6V

IL=6/3=2mA

19

Livewire 2 simulación.-

c) Calcular la IL cuando RL = 4,5 kW.

Por la ley de Ohm:

V=6*1.125=6.75V

IL=6.75/4.5=1.5mA

20

Livewire 3 simulación:

Conclusiones

Los primeros científicos eléctricos no pensaron en la relación del equivalente de

corriente-fuente aparentemente por la imposibilidad de una fuente de corriente

existente, más tarde Norton se da cuenta de que el equivalente en la fuente actual

era más fácil de usar en el trabajo teórico en situaciones como cuando la carga

consiste en una combinación paralela.

El teorema de Norton permitirá simplificar un circuito comprendido entre dos

terminales, reemplaza una fuente por una fuente Norton con una resistencia Norton

en paralelo a dicha fuente.

21

Referencias bibliográficas

Charles, K. y Sadiku, M. (2000). Fundamentos de circuitos eléctricos 3ra edición. Editorial

Mc graw Hill Companies. Mexico. Pág. 426. Recuperado de:

https://hellsingge.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-

elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf

Don H. Johnson. Scanning our Past. Origins of the Equivalent Circuit Concept: he Current-

Source Equivalent. Proceedings of the IEEE, Vol. 91, Nº 5, mayo 2003, pp. 817-

821. Recuperado de:

https://pdfs.semanticscholar.org/b55d/3f11daa8943d76fbe645b13020d4b1602648.p

df

Edward Lawry Norton (1898-1983). Recuperado de: http://www.ece.rice.edu/~dhj/norton/

-_web.pdf

Harry E. Stockman: Mayer´s and Norton´s Theorems. IEEE Circuits and Systems

Magazine, december 1982, pp. 14-15.

Maloberti, F. y Davies, A. (2016). A Short History of Circuits and Systems. Editorial River

Publishers. The Netherlands. Pág. 38-39. Recuperado de:

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Normas APA actualizadas. (2016). Recuperado de http://normasapa.com/

Teorema de Norton (s.f.) .Recuperado de:

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/2750/2954/html/

46_teorema_de_norton.html