TEMA 4 TransformadaDeLaplace
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5/24/2018 TEMA 4 TransformadaDeLaplace
1/32CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada deTransformada de LaplaceLaplace
-
5/24/2018 TEMA 4 TransformadaDeLaplace
2/32CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Laplace
[ ]
Laplacedecomplejale variabjs
dte)t(f)s(F)t(f0
st
+=
==
L
f(t) funcin temporal
f(t) = 0 para t < 0t
f(t)
[ ] [ ]
)s(G)s(F
)t(g)t(f
)t(gf(t)si
=
==LL Cambio de
variable t s
-
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3/32CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Laplace
Si la ecuacin algebraica se resuelve en s, se puede
encontrar la solucin de la ecuacin diferencial(Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla detransformadas, o bien mediante la tcnica de expansin en
fracciones parciales.
La Transformada de Laplace es un mtodo operacional que
puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas
de una variable complejas
.
-
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4/32CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Laplace
[ ] [ ])s(G)s(F
)t(g)t(f
)t(gf(t)si
==
=
LL
Cambio de
variable t s
Resolucin del problema en el dominio s X(s)
Interpretacin y expresin de la solucin en el
dominio t
Cambio de
variable s t[ ]
==j
j
st1 dse)s(X)s(X)t(x L
-
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Transformada de LaplaceDominio temporal Dominio de Laplace
Tomar(TABLA)
Tomar-1
(TABLA)
PASO 4
PASO 1
Factorizar D(s)
Descomponer en
fracciones simples
PASO 3
Resolver
Y(s)=N(s) / D(s)
PASO 2
Solucin
y (t)
Cond. Inic.
Ec.Dif.Ord.
-
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Propiedades de la T. Laplace (I)
[ ]
s
)(f
s
)s(F
dt)t(f
dt
)(df)(sf)s(Fs
dt
)t(fd)(f)s(sF
dt
)t(df
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
)(t +
=
=
=
+=+
0
000
1
0
22
2
L
LL
L
Linealidad
Diferenciacin en el dominio del tiempo
[ ] ==0
stdte)t(f)s(F)t(fL
Integracin en el dominio del tiempo
-
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Propiedades de la T. Laplace (II)
)s(sFlim)t(flim0st
=
[ ] )s(Fe)dt(f sd
=- -
L
Desplazamiento en el tiempo
Teorema del valor final
Teorema de convolucin
NOTA: Este teorema slo es vlido si s F(s) no tienepolos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.
Es vlido solamente si, existe
lim f t t ( )
Teorema del valor inicial
sF(s)limf(t)lim s0t =
)s(G)s(Fd)t(g)(f0
=
-t
L
-
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Propiedades de la T. Laplace (III)Transformacin de variables. Cambio de escala
Traslacin en el campo complejo
( )[ ] s)F(t/fL =
( )[ ] ( )
s/F1
tfL =: Constante positiva
[ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 =
(t)fe(t)f 1t2m=
: Constante
Diferenciacin en el campo complejo
[ ] dsdF(s)
tf(t)L =
-
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Propiedades I
[ ]
[ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
0
st
0
st
0
st +=+=+=+
+=+
L
L
[ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt
)t(df
dt
)t(df
dtsedu)t(fveudtdt
)t(dfdvduvuvdvu
dtedt
)t(df
dt
)t(df)0(f)s(sF
dt
)t(df
0
st
00
stst
stst
0
st
+=+==
=====
=
=
L
LL
[ ]
==0
stdte)t(f)s(F)t(fL
-
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Propiedades II[ ]
[ ]
)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f
t;d0tdtdte)dt(f)dt(f
)s(Fe)dt(f
sd
0
ssd
0
ssd
d
)d(s
0
st
0
st
sd
+
====
======
=
L
L
)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f
)0(fdttd
)t(fd)0(fdte
td
)t(fdlim)s(sFlim
)0(fdtetd
)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim
0
00
st
0s0s
0
st
0st
=+=+=
=+=+=
+==
-
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Propiedades III
)s(G)s(Fde)(gde)(f
de)(gde)(fde)(gde)(f
dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f
t;0tt
dted)t(g)(fd)t(g)(f
)s(G)s(Fd)t(g)(f
0
s
0
s
s
0
ss
0
s
0
)(s
0 0
st
0
st
0
0
st
00
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=====
=
=
+
L
L
-
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Transformada de Laplace de
funciones bsicas (I)
[ ]sk
sekdtkedte)t(f)s(F)t(f
0
st
0
st
0
st =====
L
f(t) funcin escaln
f(t) = 0 para t < 0
f(t) = k para t >= 0t
f(t)=k
f(t) funcin rampa
f(t) = 0 para t < 0
f(t) = kt para t >= 0
t
f(t)=kt
2
0s
Kdte.Kt)s(F st ==
-
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t
+
+===
0 0
t)s(stt
s
KdteKdte.e.K)s(F
f(t) funcin exponencial
f(t) = 0 para t < 0
f(t) = ke-t para t 0
Tablas de transformadas de lasfunciones mas comunes
Transformada de Laplace de
funciones bsicas (II)
-
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Tabla de las transformadas ms
comunes
tn
e-t
e-t
t n
1
1Impulso unitario
F(s)f(t)
s
1
1ns
!n+
+s1
1++ n)s(
!n
-
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Tabla de las transformadas ms
comunes
wtAsen. A w
s w.
2 2+
A wt.cos A s
s w.
2 2+
A e wtat
. sen
A
w
s a w( )+ +2 2
A e wtat. cos A
s a
s a w
+
+ +
( )
2 2
f(t) F(s)
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales
F sN s
D s
N s
s p s p s p s pn( )
( )
( )
( )
( )( )( )...( )= =
+ + + +1 2 3
En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una
ecuacin diferencial de coeficientes constantes, la funcin F(s) tienenormalmente la forma:
s p
s p
s pn
=
=
=
1
2
...son las races del polinomio D(s)donde:
Estas races podrn ser: reales simples, reales mltiples, complejas
simples, complejas mltiples.
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales
RAICES REALES SIMPLES:
- La funcin F(s) se podr descomponer en la siguiente forma:
-Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de
Laplace
==
+=
+++
++
+=
+==
n
1i i
i
n
n
2
2
1
1
n
1i
ips
A
ps
A...
ps
A
ps
A
)p(s
N(s)
D(s)
N(s)F(s)
[ ]
+++
++
+==
n
n
psA
psA
psAsFtf 1-
2
21-
1
11-1- ....)()(
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales
RAICES REALES SIMPLES:
- Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:
- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la
siguiente:
ipsiisFpsA
=+= )()(
= =n
itpi ieAtf
1.)(
ip-polodelresiduo
polo
i
iA
p
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 1:
Hallar la antitrasformada de Laplace de:SOLUCION
La funcin F(s) la podemos poner en la forma:
A continuacin calculamos los valores de Ai
Por tanto la transformada inversa de Laplace es:
( ) ( )( ) ( ) ( )652 43)( +++ ++= ssss sssF
( ) ( )( ) ( ) ( ) 652652 43)(3210
++++++=+++ ++= sAsAsAsAssss sssF
41
6s6)F(s)(s3152
5s5)F(s)(s2A
121
2s2)F(s)(s1A51
0sF(s)s0A
==+===+=
==+====
A
f t e e et t t( )= + 1
5
1
12
2
15
1
42 5 6
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 2:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCION
Vamos a calcular los Ai de otra forma:
Igualando los coeficientes:
Por tanto la solucin es:
)3()1()2(10)( ++ += ss ssF
31)3()1(
)2(10
)(21
+++=++
+
= S
A
S
A
ss
s
sF
212121 AA3s)AA(20s10)1s(A)3s(A)2s(10 +++=++++=+
55320
1021
21
21 ==
+=
+=AA
AA
AA
tt eetf 355)( +=
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales RAICES REALES MLTIPLES:
- Los coeficientes A1...An se calculan segn lo visto
anteriormente y los arde la siguiente manera:
ri
r
iin
n
ri
ps
a
ps
a
ps
a
ps
A
ps
A
pspsps
sN
sD
sNsF
)(...)()()(...)(
))...()((
)(
)(
)()(
2
21
1
1
21
+++++++++=
=+++
==
i
ii
ps
r
i1r
1r
1
ps
r
i1r
ps
r
ir
)ps()s(D
)s(N
ds
d
)!1r(
1
a
)ps()s(D
)s(N
ds
da)ps()s(D
)s(Na
=
=
=
+=
+=+=
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales RAICES REALES MLTIPLES:
- Teniendo en cuenta que:
- Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) ser de la forma:
-11
1
1
( ) ( )!s p
t
r
e
i
r
rp ti
+
=
[ ]f t F s A e A e A e
a
rt
a
rt a t a e
p t p t
n
p t
r r r r p t
n
i
( ) ( ) . . ... .
( )! ( )!... .
= = + + + +
+
+
+ + +
-11 2
1 1 2
2 1
1 2
1 2
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 3:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCIN
Lo ponemos en la forma:
F ss
s s s( )
( ) ( )( )=
+
+ + +
1
2 4 32
2)3s)(s(FA
43)4s)(s(FA
3s
A
4s
A
2s
a
)2s(
a
)3s)(4s()2s(
1s
)s(F
3s2
4s1
211
2
2
2
=+=
=+=+++++++=+++
+
=
=
=
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 3:
- Por lo tanto la solucin ser:
t2t3t4 et2
1
4
5e2e
4
3)t(f
+=
4512s7s
1s
ds
d)2s)(s(Fds
da
21)2s)(s(Fa
2s
2
2s
2
1
2s
2
2
= +++
=+=
=+=
==
=
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 4:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCIN
F s s s
s( )
( )= + +
+
2
3
2 3
1
2C;0B;1A
CBA3
BA22
A1
C)1s(B)1s2s(A3s2s
C)1s(B)1s(A3s2s
)1S(
C
)1S(
B
1S
A
)1s(
3s2s)s(F
22
22
323
2
===
++=
+=
=
+++++=++
++++=++
++
++
+=
+
++=
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 4:
Por lo tanto la solucin queda:
Y finalmente, la funcin temporal es:
F s s s( ) ( )= + + +
1
1
2
1 3
)t1(e)t(fete1)t(f 2tt2t +=+=
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:
- Supongamos el denominador de 2 orden cuyas races son: +jwd- Los pasos a dar son los siguientes:
1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyasraces son
complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.
2. Obtener los valores de A y B
3. Descomponer y trasformar la fraccin en transformadas de Laplace
cuya
antitransformada est en las tablas.
0122 asasa
BAs
++
+
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 5:
- Hallar la antitransformada de Laplace de la funcin:
SOLUCIN
Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B yC:
)52(
3)(
2 ++=
ssssF
52)52(
3)(
22 +++
+=++
=ss
CsB
s
A
ssssF
56
53
5353
20
0
=
=
==
+=
+=
C
B
AA
CA
BA
-
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Mtodo de reduccin en
fracciones parciales EJEMPLO 5:
- Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:
- Y la solucin ser:
++++
+=
+++
= 22222 2)1(2
2
1
2)1(
11
5
3
52
21
5
3)( ss
s
sss
s
ssF
= tetetf tt 2sen2
12cos1
5
3)(
-
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Resolucin de ecuaciones
diferencialesEjemplo:
tdtdtd
=
u.ud
Lyydyd
L
0tparae)t(u;td
)(yd;)(yu.tdudy
tdyd
tdyd t
=
++
===++
502
0000502
2
2
2
2
2
)s(sU)s(Y)s(Y)s(Ys U(0)-0.5U(s)=++2s2 10.5)U(s)(s1)2sY(s)(s2 =++
2s
1U(s)
+
=
2)1)(s2s(s
2.5Y(s)
2
+++
=
[ ])s(YL)t(y == 12)(s1)(s
2.5Y(s)
2
++
=
...=
++
2)(s1)(s
2.5L
21
dominio t dominio s dominio t
-
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Descomposicin en fracciones simples
( )( ) ( )2222
)2s(1s)2s(c
)2s()1s()2s)(1s(b
)2s(1s1sa
++ ++++ +++++ +
++ ( )21sc
1s
b
2s
a +++
( )ttt2
2
1 te5.2e5.2e5.21s
5.2
1s
5.2
2s
5.2L)t(y
+=
+
+
++
+
=
[ ]1 )s(YL)t(y ==
++
2)(s1)(s
2.5L
21
=++
2)(s1)(s
2.52
=++
2)(s1)(s 2.52
0ba =+
0cb2a =++ 3
2.52c2ba =++
-2.5a= 2.5b= -2.5c=
-
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PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MS COMUNESLinealidad [ ] )()()()( sbGsaFtbgtaf +=+L f(t) F(s)
Impulso unitario 1Diferenciacin en eldominio del tiempo
dt
dfsfsFs
dt
tfd
fssFdt
tdf
)0()0()(
)(
)0()()(
2
2
2
=
=
L
L
)0(...)0('
)0()()(
102
1
=
nn
nnn
n
fsfs
fssFsdt
tfdL
1s
1
Integracin en eldominio del tiempo s
f
s
sFdttf
t )0()(
)(
)1(
0
+
=L [ ] )0(1)(
)()(
11
)( +
=+
=i
n
iinn
n
fss
sF
tfL n
t 1!+ns
n
Desplazamiento en eltiempo [ ] )()( sFedtf
sd=L ate as+
1
Teorema del valorinicial
sF(s)limf(t)lims0t
= atnet 1)(
!++ nas
n
Teorema del valor final sF(s)limf(t)lim 0st = Asenwt 22 ws wA +
Teorema deconvolucin
)()()()(0
sGsFdtgtf =
L Acoswt22 ws
sA
+
( )[ ] s)F(t/fL = Transformacin devariables. Cambio de
escala ( )[ ] ( )
s/F1tfL = = constante positiva
senwtAe
at
22)( was
wA
++
Traslacin en el campocomplejo
Si [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 = siendo = constante, entonces(t)fe(t)f 1
t
2
m= wtAe at cos 22)( was
asA
++
+
Diferenciacin en elcampo complejo
[ ]ds
dF(s)tf(t)L =