1

TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN

Yon Hendri1*

, Asmara Karma2, Musraini

2

1Mahasiswa Program S1 Matematika

2Dosen JurusanMatematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

*iyon_tbh@ymail.com

ABSTRACT

This paper discusses a tecnique to solve a system of first order nonhomogeneous linear

differential equations with constants-coefficient by writing it in a matrix form. Then

order nonhomogeneous linear differential equations are formed which have coefficients

involving matrix coefficient that have been formed and solved using variation of

parameter method, hance the general solution is obtained from the differential equations

discussed. This solution is focused only for and .

Keywords: general solutions, system of linear differential equations, variation of

parameter method.

ABSTRAK

Artikel ini membahas teknik mendapatkan solusi sistem persamaan diferensial linear

orde satu nonhomogen koefesien konstanta dengan terlebih dahulu menyatakan system

tersebut dalam bentuk matriks. Selanjutnya dibentuk persamaan diferensial linear

nonhomogen orde n yang koefisiennya melibatkan koefisien matriks yang sudah

dibentuk dan diselesaikan dengan metode variasi parameter, sehingga diperoleh solusi

umum dari persamaan diferensial yang didiskusikan. Pembahasan makalah ini

difokuskan untuk kasus dan .

Kata kunci: metode variasi parameter, sistem persamaan diferensial linear, solusi

umum.

1. PENDAHULUAN

Persamaan diferensial adalah salah satu bidang studi matematika yang banyak

dikembangkan baik dalam matematika murni maupun matematika terapan. Dibidang

matematika murni diteliti tentang ekstensi dan ketunggalan solusi persamaan

diferensial, sedangkan di dalam matematika terapan dicarakan teknik mendapatkan

solusinya, sehingga dapat menjawab persoalan yang dimodelkan oleh persamaan

diferensial tersebut.

Pembahasan solusi persamaan diferensial linear yang berbentuk sistem persamaan

tersebut yang banyak didiskusikan dalam buku teks diantaranya adalah metode matriks

2

eksponensial dan metode Fulmer [1, h. 307]. Pada artikel ini dibahas teknik lain dalam

menyelesaikan sistem n persamaan diferensial linear koefisien konstanta nonhomogen

yang merupakan pembahasan detail dari artikel Jwamer K. H. F dan Rashid A. M [2],

dengan judul ’’ New Technique For Solving System of Order Linear Differential

Equations’’. Dalam pembahasan artikel ini difokuskan untuk kasus dan .

2. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU

NONHOMOGEN DAN METODE VARIASI PARAMETER

Pada bagian ini dibahas bentuk normal sistem persamaan diferensial linear orde satu

nonhomogen, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen

dan metode variasi parameter.

2.1 Bentuk Normal Pada Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Satu.

Bentuk normal sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen dapat

ditulis, diabawah ini. [3, h. 510].

,

)(

)(

)(

2211

222221212

112121111

tfxaxaxadt

dx

tfxaxaxadt

dx

tfxaxaxadt

dx

nnnnnnn

nn

nn

untuk adalah fungsi terhadap . Juga

merupakan fungsi terhadap dengan , merupakan

konstanta. Sistem persamaan diferensial pada persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk

sebuah matriks,

),(tfAXdt

dX (2)

dengan

,,,, 21

T

n

dt

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dX

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

,

dan untuk

)).(,),(),(()( 21 tftftftf n

Bentuk sebuah persamaan diferensial linear orde-n dapat dibentuk menjadi

sistem persamaan diferensial linear orde satu,ditulis

n

n

dt

xd1

1

n

n

dt

xd

dt

dx (3)

(1)

3

Persamaan (2) dan persamaan (3) berhubungan sebagai berikut.

,dt

dx2

2

dt

xd ,

2

2

n

n

dt

xd,

dan

,1

1

n

n

dt

xd (4)

persamaan (4) diperoleh

,1

dt

dx

dt

dx,2

2

2

dt

dx

td

xd, ,1

1

1

dt

dx

td

xd n

n

n

(5)

dan

n

n

dt

xd

dt

dxn (6)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4) dan (5) dapat di transformasikan

persamaan (5) berikut :

dt

dxn (7)

Persamaan (7) adalah sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen.

2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Satu Nonhomogen. Permasalahan yang muncul pada sistem persamaan diferensial linear orde satu

nonhomogen pada persamaan (2).

dt

dX

adalah menentukan fungsi-fungsi sehingga sistem persamaan

diferensial linear tersebut terpenuhi. Langkah pertama untuk menyelesaikan persamaan

(2), ditentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial homogennya

dt

dX

sehingga diperoleh sebagai himpunan fundamentalnya.

Teorema 1.[3, h. 532]. Jika adalah vektor penyelesaian persamaan diferensial

nonhomogen persamaan(2) dan himpunan fundamentalnya pada

penyelesaian homogen persamaan

,Axdt

dX

dengan nccc ,, 21 adalah konstanta.

4

1. Maka fungsi vektor dari n

k

kkc1

adalah solusi persamaan diferensial

nonhomogen pada persamaan (2) untuk sebarang

2. solusi persamaan diferensial linear nonhomogen pada persamaan (2) dari n

k

kkc1

0 untuk nccc ,, 21 sebarang.

Teorema 2[3, h. 537].Jika adalah matriks fundamental sistem persamaan diferensial

linear orde satu homogenya ,AXdt

dxpada maka didefinisikan dengan

Dimana adalah penyelesaian sistem persamaan diferensial

),(tFAXdt

dx

2.3 Metode Variasi Parameter

Misalkan persamaan diferensial linear nonhomogen orde dua dibawah ini

(8)

dengan fungsi , dan kontinu pada interval terbuka, maka penyelesaian secara

homogennya adalah

(9)

dan adalah solusi bebas linear persamaan homogennya, maka solusi

umumnya

(10)

penggantian konstanta dan merupakan konstan dengan fungsi dan

yang harus ditentukan, maka solusi partikular dari persamaan diferensial

nonhomogen mempunyai bentuk :

(11)

Untuk menentukan fungsi dan diperlukan dua syarat,yaitu :

1. Fungsi dan harus memenuhi persamaan (11)

2. Syarat sebarang, yang memenuhi

(12)

persamaan (11) diturunkan terhadap , maka diperoleh

atau

(13)

Jika persamaan (13) diturunkan terhadap , maka akan diperoleh

(14)

subtitusikan persamaan (11), (13) dan (14) ke persamaan (8), maka diperoleh

,

,

karena , maka

(15)

5

Persamaan (12) dan (15) sistem persamaan linear untuk fungsi yang tidak diketahui

dan , penyelesaian diperoleh dengan aturan Cramer, sehingga menjadi

dan

dengan , merupakan Wronskians. dan adalah solusi

bebas linear dari persamaan homogen yang terkait. Hasilnya disubtitusikan pada

persamaan (11), diperoleh solusi partikular dari persamaan nonhomogen pada

persamaan (8), yaitu

3. TEKNIK BARU MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN

DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU NONHOMOGEN

Pada bagian ini diperoleh teknik baru untuk menyelesaikan sistem persamaan

diferensial linear orde satu nonhomogen.

Untuk kasus

Berdasarkan persamaan (1) bentuk sistem dua persamaan diferensial linear orde satu

nonhomogen ini ditulis :

(16)

dengan dan adalah fungsi kontinu pada interval I. Persamaan (16) dapat

disusun dalam bentuk matriks

(17)

Dari persamaan (17) dapat menentukan dan sehingga memenuhi persamaan (17)

tersebut. Pada penyelesaian teknik ini persamaan (17) dibentuk menjadi sebuah

persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen, sebagai berikut :

(18)

dengan , cara membentuk persamaan (18) sebagai

berikut. Persamaan (17) dapat diperoleh,

, (19)

dengan menurunkan ruas kiri dan kanan persamaan (19) terhadap , diperoleh

(20)

Persamaan (17) diperoleh juga

(21) subtitusikan persamaan (21) kepersamaan (20), maka akan diperoleh

(22)

Persamaan (19) dapat dibentuk menjadi

subtitusikan kepersamaan (22), maka diperoleh

6

dengan , sedangkan dan

. Maka terbukti bahwa bentuk persamaan (17) dapat

dibentuk menjadi sebuah persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen. Pada

persamaan (18), yaitu.

Misalkan persamaan (18) ditulis konstanta maka

diperoleh.

(23)

Selanjutnya persamaan (23) dapat diselesaikan dengan metode variasi parameter.

Misalkan dan adalah penyelesaian persamaan diferensial homogennya pada

persamaan (23) maka diperoleh penyelesaian umumnya.

(24)

dengan dan adalah konstanta, penyelesaian khususnya. Misalkan dan

adalah fungsi variabel , sehingga terbentuklah penyelesaiannya.

(25)

jika persamaan (25) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh

(26)

dengan menentukan syarat pada persamaan (26).

(27)

diperoleh

(28)

jika persamaan (28) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh

(29)

subtitusikan persamaan (25), (28) dan (29) kepersamaan (23), maka akan diperoleh

atau

sehingga diperoleh

Dari persamaan (27) dan (30) diperoleh

dan

subtitusikan persamaan (31) kepersamaan (25), maka dapat dibentuk penyelesaian

umumnya

Persamaan (16) didapatkan

7

atau

dengan

.

Untuk kasus

Proposisi 1 [2]. Misalkan sistem persamaan diferensial linear orde satu nonhomogen,

adalah

(32)

dengan dan adalah fungsi kontinu. Jika atau

maka sistem tiga persamaan diferensial linear orde satu

nonhomogen pada persamaan (32) dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan

diferensial linear orde tiga nonhomogen

dengan nilai dari,

Bukti

Jika diasumsikan atau Persamaan (32)

dapat diperoleh bentuk sebuah matriks. Misalkan matriks

Persamaan (32), dapat diperoleh , maka diperoleh

turunan keduanya (33)

jika persamaan (33) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh

(34)

jika persamaan (32) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh

(35)

dan

(36)

subtitusikan persamaan (35) dan (36) ke persamaan (34), maka akan diperoleh

,

oleh karena itu diperoleh

selain itu dari persamaan (32) didapatkan juga

,

subtitusikan ke persamaan (36), maka akan diperoleh

8

dengan , akan diperoleh

dari persamaan (32) dapat diperoleh maka

dan untuk

dapat diperoleh

dengan

maka akan membentuk sebuah persamaan diferensial linear orde tiga nonhomogen

atau

Terbukti bahwa persamaan (32) dapat dibentuk sebuah persamaan diferensial linear

orde tiga nonhomogen.

3. CONTOH SOAL UNTUK KASUS

Diberikan

,2

1334' tyxx

,22' tyxy

9

(40)

Penyelesaian

.

22

13

12

34'

'

t

t

y

x

y

x

(37)

Dari persamaan (37) diperoleh

(38)

jika persamaan (38) diturunkan terhadap t, maka akan diperoleh

(39)

Persamaan (37) juga diperoleh

jika persamaan (40) disubtitusikan ke persamaan (39), maka akan diperoleh

,

untuk nilai dapat diperoleh dari persamaan (38)

(41)

Persamaan (41) merupakan persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen, dengan

menggunakan metode variasi parameter untuk memperoleh solusi umumnya, persamaan

(38) dapat diperoleh penyelesaian umum homogennya

dan ,

(42)

. (43)

Gunakan persamaan (31), maka akan diperoleh

,),(

)()(

21

21 dt

yyW

tgytv

dan

,),(

)()(

21

12 dt

yyW

tgytv

dengan Wrongskiannya dapat diperoleh

,

dan

10

(44)

Dari persamaan (42) dan (44) diperoleh penyelesaian umum sistem persamaan

diferensial

jika diturunkan terhadap , maka akan diperoleh

untuk memperoleh nilai subtitusikan dan pada persamaan (38) dengan dan

sebarang,

dapat diperoleh

DAFTAR PUSTAKA

[1] Cullen, C. G. 1990. Linear Algebra and Differential Equations, second Edition,

University Of Pittsburgh. Springer: New York.

[2] Jwamer, K. H .F & Rashid, A. M. 2012. New Technique For Solving System Of First

Order Linear Differential Equations. Journal Applied Mathematical Sciences, 64: 3177-

3183. [3] Ross, S. L. 1984. Differential Equations, Thirt Edition. University Of New Hamphirs:

New York.

[4] Stewart, J. 2011. Kalkulus. Terj. dari Calculus, Edisi Lima Buku dua, oleh Sungkono,

C. Penerbit Salemba Teknika: Jakarta.