Akar Persamaan Qu
-
Upload
arif-kurnia-raharja -
Category
Documents
-
view
252 -
download
0
Transcript of Akar Persamaan Qu
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 1/75
METODE NUMERIK
BUKU REFERENSI :
1. Metode Numerik oleh Dr. Ir. Bambang
Triatmodjo
MATERI :
1. Akar akar persamaan
2. Interpolasi3. Integrasi Numerik
4. Penyelesaian Persamaan Differential
dengan Finite Difference
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 2/75
AKAR-AKAR
PERSAMAAN
Kuliah Matematika 4 (Metode Numerik)
Grafis/ Tabel
Bi-Section
False Position Iterasi Sederhana
Newton Raphson
Secant
Linier
Kuadrat
Kubik Polinomial
Lagrange
Spline
INTERPOLASI
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 3/75
Mencari Akar Akar Persamaan :- Adalah mencari nilai X sehingga F(X)=0 (memotong sumbu X)
- Misal untuk Persamaan kuadrat : F(X)=a.X2 + b.X + c
- Nilai akar akar persamaannya bisa dicari dgn rumus abc sbb :
- X1,2 = [-b ± (b2 – 4a.c)]/2.a
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 4/75
- Jika F(X) mempunyai pangkat 3 atau lebih, maka untuk mencari nilai X
yang menghasilkan F(X)=0 bisa dilakukan dengan beberapa metode,
yaitu :1. Metode GRAFIS
2. Metode Bagi Dua (Bi-Section)
3. Metode Falsi (False Position)
4. Metode Iterasi Sederhana
5. Metode Newton Rapshon
6. Metode Secant
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 5/75
Metode yang PALING sederhana untuk memperoleh
taksiran atas akar persamaan f ( x ) = 0 adalah :
•membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di manaia memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x
untuk mana f ( x ) = 0, memberikan aproksimasi
(hampiran) kasar dari akar yang dicari.
•Jika diperlukan lebih teliti, nilai interval x untukpengeplotan di perkecil lagi (misal menjadi DX/10).
Demikian seterusnya sampai diperoleh ketelitian nilai
akar yang dicari.
METODE GRAFIS
(GRAPHICAL METHOD)
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 6/75
Nilai praktis dari Metode Grafis sangat terbatas karena
kurang tepat. Namun, metode grafis dapat di manfaatkan
untuk memperoleh taksiran kasar dari akar.
Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan sebagai terkaan
awal untuk metode numerik yang di bahas di sini.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 7/75
Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar,
taksiran grafis merupakan sarana yang pentinguntuk memahami sifat-sifat fungsi dan
mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang
tersembunyi dari metode-metode numerik seperti
discontinuity, divergence.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 8/75
F (x)
F (x)
F (x)
F (x)
(a)
(b)
(d)
(c)
(x i) (x ii)
x
x
x
x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 9/75
GAMBAR 1. Ilustrasi sejumlah cara umum bahwa suatuakar mungkin terjadi dalam selang yang di tentukan oleh
batas bawah xl dan batas atas xu.
Bagian (a) dan (c) menunjukan bahwa jika f ( xl ) dan f ( xu)
keduanya bertanda sama, maka di dalam selang tidak
akan terdapat akar ATAU terdapat akar sebanyak bilangan
genap.
Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa jika fungsi
berbeda pada tanda titik-titik ujung, maka dalam selang
akan terdapat akar sebanyak bilangan ganjil.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 10/75
METODE BAGI DUA(Bi-section Method)
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 11/75
Bi-section (Bagi Dua)Ide awal metode ini adalah METODE TABEL, dimana area [xl,
xu] dibagi menjadi N bagian.
Dalam metode BISEKSI, range [xl, xu] dibagi menjadi 2
bagian. Dua bagian ini dipilih bagian mana yang
mengandung nilai akar dan bagian yang tidak mengandung
akar dibuang.
Hal ini dilakukan terus hingga diperoleh akar persamaan
dengan ketelitian tertentu.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 12/75
Langkah – langkah dalam menyelesaikan
Metode Bagi Dua :
Langkah 1 :Pilih a sebagai batas bawah dan
b sebagai batas atas untuktaksiran akar sehinggaterjadi perubahan tandafungsi dalam selang interval[a,b].
Atau periksa apakah benarbahwa
f(a) . f(b) < 0
f(b)
f(a)
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 13/75
Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :
2
bac
Langkah 2 :
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 14/75
Menentukan daerah yang berisi akar
fungsi:Langkah 3 :
Jika z merupakan akar fungsi,
maka f(x < z) dan f(x > z)saling berbeda tanda.
f(a)*f(c) negatif, berarti diantara a & c ada akar fungsi.
f(a)*f(c) positif, berarti diantara b & c ada akar fungsi
f(a)
f(c)
f(b)
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 15/75
Menentukan kapan proses pencarian akarfungsi berhenti:
Langkah 4 :
Proses pencarian akar fungsi dihentikan Sampai
keakuratan yang diinginkan dicapai. Keakuratandapat diketahui dari kesalahan relatif semu sbb :
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 16/75
Contoh :
Carilah salah satu akar persamaan
berikut:
xe- x +1 = 0
disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa)
=0.001
dengan menggunakan range x=[−1,0]
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 17/75
Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b
(xr) = nilai tengah = xmaka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
2
ba
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 18/75
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738
dan f(x) = -0.00066Untuk menghentikan iterasi, dapatdilakukan dengan menggunakan toleransi
error atau iterasi maksimum.
Catatan :
Dengan menggunakan metode biseksi dengan
tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakinteliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar
jumlah iterasi yang dibutuhkan.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 19/75
“ METOD POSISI S L H T U P LSU “
False Position)
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 20/75
False Position
Prinsip:
• Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi
merupakan garis lurus
• Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan
sebagai akar fungsi.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 21/75
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 22/75
LANGKAH -LANGKAH1.Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara memplot fungsi).
2. Tentukan batas awal yang mengurung akar fungsi.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 23/75
3. Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi diantara kedua batas,
lalu cari titik potongnya dengan sumbu x=nol yaitu c.Nilai c dihitung dengan persamaan
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 24/75
4. Geser salah satu batas ke titik potong itu, sementara batas lain tidak
berubah. Ulangi langkah 3.
5. Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup.
6. Titik potong garis nol dan garis lurus yang terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 25/75
•Metode False Position juga menggunakan
dua batas seperti metode Bisection.
•Namun, berbeda dari metode Bi-section,
pada metoda False Position hanya satu
batas yang berubah.
•Pada contoh sebelum ini, batas a berubah
sementara batas b tetap.
•
Pada contoh berikut terjadi sebaliknya.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 26/75
Menghitung akar fungsi dengan metode false
position, menggunakan a dan b sebagai batas-
batas awal:• jika batas a tetap, batas b berubah:
• jika batas b tetap, batas a berubah:
• kesalahan relatif semu:
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 27/75
Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu
sudah mencapai / memenuhi batas keakuratan yang
diinginkan.
Catatan: (Metoda Posisi Palsu)
Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan
metoda secant.
Dalam penyelesaian f (x) = 0, ditentukan suatu interval[a,b] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f(a).f(b) < 0
(berlawanan tanda).
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 28/75
Metode Iterasi Satu Titik
Sederhana
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 29/75
Metode iterasi sederhana adalah metodeyang memisahkan x dengan sebagian x yang
lain sehingga diperoleh : x = g(x). Dikenal juga sebagai metode x = g(x)
Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan
dalam bentukx(n+1)=g(xn)
Dimana n= 0,1,2,3,....
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 30/75
Contoh
Gunakan metode iterasi satu titik untukmendapatkan akar dari
Langkah – langkah penyelesaian
02033 x x
02033
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 31/75
menyusun kembali pers.
dalam bentuk x=g(x) .
3 )203( x x
3
203
x
x
3
202
x
x
)20
3( x
x
………. (1)
………. (2)
………. (3)
………. (4)
02033 x x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 32/75
Dari rumusan pertama dapat dinyatakanpersamaan iterasinya sebagai
dengan n = 1,2,3,..... Jika diambil dari nilai xo = 1, maka:
Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut
3)1( )203( nn x x
055686.3)20843867.23(
843867.2)2013(
32
3
1
x
x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 33/75
Nilai Iterasi dari persamaan 1
iterasi x g(x) Ea
1 1 2.843867
2 2.843867 3.055686 6.931961
3 3.055686 3.078205 0.731565
4 3.078205 3.08058 0.077088
5 3.08058 3.08083 0.008122
6 3.08083 3.080856 0.000856
7 3.080856 3.080859 9.02E-05
8 3.080859 3.080859 9.5E-06
9 3.080859 3.080859 1E-06
10 3.080859 3.080859 1.05E-07
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 34/75
Nilai Iterasi dari persamaan 2
iterasi x g(x) Ea
1 1 -6.33333
2 -6.33333 -91.3457 93.06663
3 -91.3457 -254070 99.96405
4 -254070 -5.5E+15 100
5 -5.5E+15 -5.4E+46 100
6 -5.4E+46 -5E+139 100
7 -5E+139
8
9
10
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 35/75
Nilai Iterasi dari persamaan 3
iterasi x g(x) Ea
1 1 -10
2 -10 0.206186 4950
3 0.206186 -6.7625 103.049
4 -6.7625 0.46804 1544.854
5 0.46804 -7.19182 106.508
6 -7.19182 0.41049 1852.007
7 0.41049 -7.0634 105.8115
8 -7.0634 0.426516 1756.071
9 0.426516 -7.09702 106.0098
10 -7.09702 0.422229 1780.847
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 36/75
Nilai Iterasi dari persamaan 4
iterasi x g(x) Ea
1 1 4.795832
2 4.795832 2.677739 -79.1
3 2.677739 3.235581 17.24086
4 3.235581 3.030061 -6.78272
5 3.030061 3.098472 2.207889
6 3.098472 3.074865 -0.76773
7 3.074865 3.082913 0.26104
8 3.082913 3.080158 -0.08944
9 3.080158 3.081099 0.030566
10 3.081099 3.080777 -0.01045
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 37/75
Dari hasil di atas nampaknyapersamaan 2 dan 3 memberikan hasil
yang TIDAK Konvergen alias Divergen.
Persamaan 4 dan persamaan 1,mampu memberikan nilai akar yang
kita cari (Konvergen).
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 38/75
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 39/75
Pengertian
Salah satu metode penyelesaianakar-akar persamaan non linier
f (x ), dengan menentukan satu nilaitebakan awal dari akar yaitu x i
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 40/75
Grafik Pendekatan MetodeNewton-Raphson
)( x f
0 x
1
ii x x
)( i x f
)( i x f
i x
Kemiringan )(' 1i x f
1i x
)( 1i x f
Kemiringan )(' i x f
1i x
)( 1i x f
2i x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 41/75
Langkah-langkah penyelesaianMetode Newton-Raphson
Langkah 3
Lakukan i terasi x i = x
0dengan persamaan : )('
)(1
i
iii
x f
x f x x
Langkah 1
Cari f’ x dan f” x dari f(x)
Langkah 2Tentukan titk x
0 dan Uji sesuai :
Apakah memenuhi syarat persamaan?
Jika tidak, cari nilai x o baru.
100
00 ) ).f '(x f '(x
) ).f"(x f(x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 42/75
Contoh Soal:
Pernyataan Masalah:
Gunakan Metode Newton-Raphson untukmenaksir akar dari :
f (x) = e -x -x
menggunakan sebuah tebakan awal x 0 = 0 .
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 43/75
Solusi :
Langkah 1:
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x dapat dievaluasikan sebagai :
1)(' xe x f
xe x f )(''00 x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 44/75
Langkah 2:
Lakukan uji syarat persamaan
1)(').('
)(").(
00
00 x f x f
x f x f
1)2).(2(
)1.(1
14
1
14
1
1)(''
21)('
10)(
0
0
0
0
0
0
e x f
e x f
e x f
memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-
akarnya dapat dicari dengan metode Newton-
Raphson
L k h 3
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 45/75
Langkah 3:Lakukan Iterasi dengan :
Iterasi, i xi f(xi )=e-x-x f ’(xi )=-e-x-1
0
1
2
3
4
0
0,500000000
0,566311003
0,567143165
0,567143290
1
0,106530659
1,304510116x10-3
1,96536x10-7
6,43x10-10
-2
-1,60653066
-1,567615513
-1,567143362
-1,567143291
)(')(
1
i
iii
x f x f x x
Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin
mendekati 0
akar x 4 f(x 4 ) dekat dengan harga 0
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 46/75
Kelemahan
Metode Newton-Raphson
1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik)
penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut
tidak dapat dicari secara bersamaan.
2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak
memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun
ada akar penyelesaiannya.
4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks,pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan
menjadi sulit.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 47/75
METODE SEC NT
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 48/75
METODE SEC NT
Waktu di SMA, kita sering menyelesaikanpersamaan kuadrat yaitu berbentuk
f(x) = a. x²+ b.x+ c misalnya persamaan kuadrat x²- 9 = 0,
maka akar-akarnya dapat ditentukan denganpersamaan abc
x = (-b ± √ b² -4.ac)/2a
Maka akar x2- 9 = 0 adalah x1= + 3 dan x2=- 3
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 49/75
Metode Secant merupakan perbaikan dari Metode Newton
Raphson, yaitu nilai turunan f'(x) didekati dengan beda hingga
(∆)
gambar 1. Penentuan nilai turunan fungsi dengan metode Secant.
xk-1 xk xk+1xk+2
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 50/75
Dimana,
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 51/75
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 52/75
Algoritma program untuk metode Secant:
Tentukan X0, X1, toleransi, dan jumlahiterasi maksimum.
Hitung Xbaru = X1 - f(X1)( X1- X0)/[f(X1) –
f(X0)]. Jika nilai mutlak (Xbaru - X1) < toleransi,
diperoleh tulisan xbaru sebagai hasilperhitungan.
jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum,
akhiri program. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (2).
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 53/75
Contoh 1: hitung akar persamaan dari :f(x) = x³ - 3x - 20,
Perkiraan awalX 1= 6, f(6)=178X 2= 2, f(2)=-18iterasi pertama:
x3=178-6 =2.3673469iterasi kedua:X 2= 2 , f(2)=-18x3=2.3673469, f(2.3673469)= -13.83464426
x4= 2.3673469--13.83464426 =3.587438053
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 54/75
Iterasi X1 X2 X3 f(x1) f'(x2) f(x3)
1 6 2 2.367346900 178 -18 -13.83464426
2 2 2.367346900 3.587438053 -18 -13.83464426 15.40697963
3 2.367346900 3.587438053 2.944590049 -13.83464426 15.40697963 -3.302376572
4 3.587438053 2.944590049 3.058058742 15.40697963 -3.302376572 -0.576057128
5 2.944590049 3.058058742 3.082034087 -3.302376572 -0.576057128 0.029936467
5 3.058058742 3.082034087 3.080849690 -0.576057128 0.029936467 -0.000248906
5 3.082034087 3.080849690 3.080859456 0.029936467 -0.000248906 -1.06044E-07
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 55/75
Contoh 2
hitung akar persamaan dari :
y = x³+ x²- 3x-3
dengan menggunakan metode secant,disyaratkan bahwa batas kesalahan
relatif < 0.01%.
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 56/75
Hasil :
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 57/75
01201 a x x x f ( x f ( x
Iterasi x 0 x1 x2 F(x0) F(x1) εa(%)
1 1 2 1,571429 -4 3
2 2 1,571429 1,705411 3 -1,36443 7,856304
3 1,571429 1,705411 1,735136 -1,36443 -0,24775 1,713119
4 1,705411 1,735136 1,731996 -0,24775 0,029255 -0,18126
5 1,735136 1,731996 1,732051 0,029255 -0,00052 0,003137
6 1,731996 1,732051 1,732051 -0,00052 -1E-06 6,34E-06
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 58/75
Keuntungan: cepat konvergenKerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen)
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 59/75
METODE TERBUKA
AKAR GANDA
Akar ganda berpadanan dengan
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 60/75
Akar ganda berpadanan dengansuatu titik dimana fungsi
menyinggung sumbu x.Misalnya, akar ganda-dua
dihasilkan dari persamaan
113)( x x x x f
375)( 23 x x x x f
x=1
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 61/75
Akar ganda
Akar ganda dua
Akar ganda tiga
Akar ganda empat
Dan seterusnya
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 62/75
Penyelesaian akar ganda
Ralston danRabinowitz (1978)
Kelemahan:
multiplisitas akar
harus diketahui
)('
)(1
i
iii
x f
x f m x x
Dimana m adalah bilangan multiplisitas akarMisalnya : akar tunggal, m = 1
akar ganda dua, m = 2akar ganda tiga, m = 3, dst
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 63/75
Penyelesaian akar ganda Ralston dan Rabinowitz mendefinisikan
suatu fungsi baru yaitu:
yaitu untuk mengembangkan suatu bentuk
alternatif dari metode Newton-Rapshonmenjadi:
i
i
ii xu
xu x x
'1
)('
)(
)( x f
x f
xu
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 64/75
Penyelesaian akar ganda Persamaan tersebut dideferensialkan
untuk memberikan:
dan setelah disubtitusikan ke persamaansemula menjadi:
2)(')('')()(')('')('
x f x f x f x f x f xu
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 65/75
Penyelesaian akar ganda
Metode Newton-Rapshon yangdimodifikasi untuk akar ganda
)('')()('
)(')(21
iii
iii
x f x f x f
x f x f x x
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 66/75
6/18/2014 66
STUDI KASUSDESAIN RANGKAIAN LISTRIK
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 67/75
6/18/2014 67
Latar belakang
Hukum Kirchoff untuk mempelajarikeadaan mantap (tidak berubah terhadap
waktu) dari rangkaian listrik. Masalah lainnya adalah keadaan transien
mencangkup rangkaian dimana
perubahan periode secara mendadak
Saat tercapai steady state baru terjadi
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 68/75
6/18/2014 68
Dalam rangkaian listrik, bila sakelar ditutup, arusakan mengalami osilasi sampai tercapai steady state
baru.
Saat tercapai steady state baru, terjadipenyesuaian diikuti penutupan sakelar
Lama periode penyesuaian, tergantungpada:
1) sifat penyimpan muatan (kapasitor)
2) sifat penyimpan energi (induktor)
C q
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 69/75
6/18/2014 69
Rumus
Arus tahanan penurunan tegangan (VR )
Arus induktor perubahan tegangan (VL)
Besar perubahan tegangan sepanjang kapasitor (Vc)
dt
di L
VR =iR
VL = dt
di L
VC=
C
q
C
q
6/18/2014
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 70/75
HKM KIRCHHOFF II :
PENJUMLAHAN ALJABAR DARI TEGANGAN DI SEKELILING
RANGAKAIAN TERTUTUP ADALAH NOL
Setelah sakelar ditutup:
Arus dihubungkan dengan muatan:
Karenanya:
70
0C
q Ri
dt
di L
dt
dqi
02
2
C
q
dt
dq R
dt
qd L
S l i dib ik
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 71/75
6/18/2014 71
Solusi yang diberikan:
Dimana: t=0, q=qo=VoC, Vo=teg. Muatan baterai. Q(t) digambarkan:
Ket: Muatan pada sebuah kapasitor sebagai fungsiwaktu diikuti penutupan sakelar
t
L
R
LC
Coseqt q L Rt
2
2/
0
2
1)(
Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputi
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 72/75
6/18/2014 72
Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa meliputipenentuan harga tahanan yang layak untukmendisipasikan energi pada suatu kelajuan tertentu
dengan harga L dan C yang diketahui. Untuk studikasus sekarang, dianggap muatan harusdidisipasikan hingga 1% dari harga awalnya (q/q0 =0.01)dalam waktu t = 0.05 detik , dengan L = 5Hdan C = 10-4F.
Solusi : Perlu diselesaikan Persamaan(6.11) untuk R dengan harga-hargayang diketahui yaitu q,q0,L dan C .
Metode bagi dua akan digunakan untukkeperluan ini.
DENGAN MENGATUR KEMBALI
6/18/2014
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 73/75
DENGAN MENGATUR KEMBALI
PERSAMAAN SEBELUMNYA:
Atau memakai harga numerik:
Pemeriksaan terhadap persamaan ini menyarankan
bahwa bentangan awal bagi R yang cukup pantasadalah 0 sampai 400( karena 2000-0.01R 2 harus lebihbesar dari nol) Gambar 6.7 yaitu suatu grafik dariPersamaan (6.12) memastikan hal ini.Dua puluh iterasimetode bagi dua memberikan R = 328.1515dengan
suatu kesalahan yang lebih kecil dari 0.0001% 73
02
1)(
2
2/
q
qt
L
R
LC Cose R f L Rt
01.005.001.02000)( 205.0 RCose R f R
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 74/75
6/18/2014 74
Ket: Grafik ini dipakai untukmemperoleh tebakan awal bagi R yangmengurung R
7/22/2019 Akar Persamaan Qu
http://slidepdf.com/reader/full/akar-persamaan-qu 75/75