Menyelesaikan*par-al*DE* · An*elas-c*string*is*stretched*between*two* ... persamaan garis lurus....
54
Menyelesaikan par-al DE An elas-c string is stretched between two points 40 cm apart. Its centre point is displaced 2 cm from its posi-on of rest at right angles to the original direc-on of the string and then released with zero velocity. Find u(x,t) by applying the wave equa-on below. where ! 2 u !x 2 = 1 c 2 ! 2 u !t 2 c 2 = 4
Transcript of Menyelesaikan*par-al*DE* · An*elas-c*string*is*stretched*between*two* ... persamaan garis lurus....
Menyelesaikan par-al DE An elas-c string is stretched between two
points 40 cm apart. Its centre point is displaced 2 cm from its posi-on of rest at right angles to the original direc-on of the string and then released with zero velocity. Find u(x,t) by
applying the wave equa-on below.
where
!2u!x2
=1c2!2u!t2
c2 = 4
Step Pertama – Kumpul Maklumat Am
• Terdapat seutas tali yang bole “stretchable” ditarik sepanjang 40 cm.
• Kemudian tali itu ditarik dalam keadaan straight (lurus)
• Ditengah-‐tengah tali yang ditarik tersebut, kita tarik ke arah atas se-nggi 2 cm dan kemudian kita lepaskan pada kelajuan kosong (zero).
• Carikan persamaan gelombang(vibra-on)
40 cm panjang
X (cm)
u(x, t)
2 cm
*mungkin nampak kurang realis-k kerana 2 cm -nggi dan 40 cm panjang macam tak logik tetapi ini untuk mudahkan pengiraan dan kamu nampak grafnya macam mana
2 cm
u(0, t)
u(40, t)
Step Kedua – Lakar Graf
Step Ke-ga: Maklumat dari graf
Step Ke-ga – Maklumat dari graf Kita mendapa- bahawa Terdapat beberapa nilai awal yang perlu dicatatkan berdasarkan soalanPertamau(0, t) = 0disebabkan pada paksi y, ianya bersamaan dengan 0Keduau(40, t) = 0disebabkan ianya juga bersamaan 0 pada paksi y
Step Ke-ga – Maklumat dari graf Sambungan
Kemudian, terdapat perkara lain iaitupersamaan garis lurus. Dan ada dua:a) satu pada (saya namakannya f(x) atau y)0 ! x ! 20cmf (x) = y = 0.1xb) dan satu lagi pada20 ! x ! 40cmf (x) = y = "0.1x + 4
Step Ke-ga – Maklumat dari graf Sambungan lagi…
Dan ada lagi...iaitu pada halaju kosong (0)!u!t t=0
= g(x) = 0
Dan saya gelarkannya sebagai g(x)
Step Keempat: Separa-on of Variables Technique
Step Keempat – Separa-on of Variables
Maka -ba acara menggunakan kaedah baru iaitu Separa-on of Variables. Apakah itu Separa-on of Variables? Kita akan tengok menerusi jalan kira nan-.
Step Keempat -‐ Separa-on of Variables
Difahamkan
Kita ada persamaan iaitu u(x,t)Danu(x, t) =U(X,T )Kita buat persamaan assumptionU(X,T ) =U = XT = X(x)T (t)Jadi kita boleh darabkan X(x) dan T(t)
Step Keempat -‐ Separa-on of Variables
Untuk pengetahuan, kita juga boleh lakukan "pembezaan" pada persamaan U=XT tersebut!!x
(XT ) = X 'T
!!t
(XT ) = XT '
dan
!2
!x2 (XT ) = X ''T
!2
!t2 (XT ) = XT ''
Step Keempat -‐ Separa-on of Variables
Next
Maka, saya gantikan persamaan sebelum ini iaitu!2u!x2 =
1c2!2u!t2
Dengan
X ''T = 1c2 XT ''
dan saya kekalkan 1 / c2 disebelah kanan persamaan
Step Keempat -‐ Separa-on of Variables
Apa lagi perlu buat? Dengan
X ''T = 1c2 XT ''
kita asingkan X disebelah kiri dan T disebelah kananX ''X=
1c2T ''T
gantikan c2 dengan 4X ''X=
14T ''T
Step Keempat -‐ Separa-on of Variables
seterusnya
X ''X=
14T ''T
saya samakan persamaan berikut dengan satu nilai pemalarkerana mesti bersamaan dengan suatu nilai,dan saya namakan nilai itu sebagai pX ''X=
14T ''T= p
Step Keempat -‐ Separa-on of Variables
dan saya pecahkan kerana kedua-duanya sama dengan p
p = X ''X
atau X ''! pX = 0
saya bawakan semuanya ke sebelah kiridan
p = 14T ''T
atau T''! p4T = 0
maka kita ada dua persamaan untuk diselesaikan
Step Kelima: Menyelesaikan X(x)
Step Kelima – Selesaikan X(x) berdasarkan X ''! pX = 0saya perlu wakilkan p dengan sesuatumaka assumption seterusnya adalahp = !! 2
maka persamaan menjadiX ''+! 2X = 0jika diingat table 1 dalam topik 2nd Order De.m2 = X '' , m = X ',1= X dan seterusnya, makam2 +! 2 = 0
Step Kelima – Selesaikan X(x) Jadi, kita adam2 +! 2 = 0dan dengan menggunakan "Table 1 tersebut"m = ±!ikita juga berpandukan Table 1 tersebut, makakita akan dapat persamaan complex conjugateX(x) = e"x (Acos!x +Bsin!x)tetapi disebabkan " = 0, makaX(x) = Acos!x +Bsin!x
Step Kelima – Selesaikan X(x) seterusnyaX(x) = Acos!x +Bsin!xboleh dicari nilainya berpandukan maklumat awalu(0, t) = 0u(40, t) = 0makau(0, t) = X(0) = Acos(0)+Bsin(0) = 0diringkaskanX(0) = A = 0
Step Kelima – Selesaikan X(x)
disebabkanA = 0X(x) = Bsin!x = 0kemudian kita uji pula dengan u(40,t)X(40) = Bsin 40! = 0dan Assumption B tidak boleh equal to zerosebab kita tidak mahu kedua-dua A dan B kosongKita dah tahu A = 0 , maka B tidak boleh = 0
Step Kelima – Selesaikan X(x) diketahuiBsin 40! = 0dansinn" = 0makaApabila B didarabkan dengan sin 40! ianya menjadi 0B! sin 40! = 0sin 40! yang menjadikan jawapannya kosong sedangkan Bada nilai
Step Kelima – Selesaikan X(x)
Makasin 40! = sinn"!40! = n"dan
! =n"40
Kita berbalik kepada persamaan asal
X(x) = Bsin!x = Bsin n" x40
Step Keenam: Menyelesaikan T(t)
Step Keenam – Dapatkan T(t) Sekarang kita hendak selesaikan persamaan keduaT''! p4T = 0Info yang kita ada adalah"u"t t=0
= g(t) = 0
Maka agak sukar untuk menentukannya kecuali selepasdimasukkan dalam persamaan u(x,t)Kita gunakan teknik "Table 1" yang sama seperti mencari X(x)
Step Keenam – Dapatkan T(t) Sekarang kita hendak selesaikan persamaan keduaT''! p4T = 0diketahuip = !! 2
Jadi, kita adam2 + 4! 2 = 0dan dengan menggunakan "Table 1 tersebut"m = ±2!i
Step Keenam – Dapatkan T(t)
dan dengan menggunakan "Table 1 tersebut"m = ±2!ikita juga berpandukan Table 1 tersebut, makakita akan dapat persamaan complex conjugateT (t) = e"t (Acos2!t +Bsin2!t)tetapi disebabkan " = 0, makaT (t) = Acos2!t +Bsin2!t
Step Ketujuh: Dapat persamaan biasa U(x,t)
Step Ketujuh – Dapatkan U(x,t)
Kita telah tahuT (t) = Acos2!t +Bsin2!tdan
X(x) = Bsin n" x40
!U =U(x, t) = XT = X(x)T (t)
U(x, t) = Bsin n" x40
(Acos2!t +Bsin2!t)
Step Ketujuh – Dapatkan U(x,t) Saya hendak wakilkan
U(x, t) = Bsin n! x40
(Acos2"t +Bsin2"t)
P=BA dan Q=BB
!U(x, t) = sin n! x40
(Pcos2"t +Qsin2"t)
dan gantikan " = n!40
U(x, t) = sin n! x40
Pcos 2n! t40
+Qsin 2n! t40
"
#$
%
&'
Step Kelapan: Dapat General U(x,t)
Step Kelapan – Dapatkan Un(x,t)
U(x, t) = sin n! x40
Pcos 2n! t40
+Qsin 2n! t40
!
"#
$
%&
berdasarkan persamaan di atas, Saya hendak selesaikannyasaya jadikannya bentuk "General terlebih dahulu"di mana
Un (x, t) = sin n! x40
Pn cos n! t20
+Qn sin n! t20
!
"#
$
%&
n=1
'
(
Step Kelapan – Dapatkan Un(x,t)
disini ianya nampak seperti Fourier series
Un (x, t) = sin n! x40
Pn cos n! t20
+Qn sin n! t20
!
"#
$
%&
n=1
'
(maka kita akan selesaikan menggunakanFourier Series
Step Kesembilan: Dapat Pn
Step Kesembilan – Pn
Maka
Pn =2L
f (x)sin n! xL0
L!
gantikan
Pn =240
0.1x( )sin n! x40
dx0
20! + "0.1x + 4( )sin n! x
40dx
20
40!
#
$%&
'(
maka anda perlu selesaikan menggunakanintegration by parts...(Don't give up!!)
Step Kesembilan – Pn selesaikan yang ini dahulu
0.1x( )sin n! x40
dx0
20! = 0.1 xsin n! x
40dx
0
20!
saya wakilkan n!40
= k
menjadikan
0.1 xsinkx dx0
20! =
0.1 "xcoskxk
+sinkxk2
#
$%&
'(0
20
Step Kesembilan – Pn
0.1 !xcoskxk
+sinkxk2
"
#$%
&'0
20
= 0.1 !20cos20k
k+sin20kk2
(
)*
+
,-! 0( )
"
#$
%
&'
= 0.1 !20cos20 n!40
(
)*
+
,-
(
)*
+
,-.40n!
+ sin20 n!40
(
)*
+
,-
(
)*
+
,-.
400n2! 2
(
)*
+
,-
"
#$
%
&'
= 0.1 !800cos0.5!nn!
+400sin0.5!n
n2! 2
(
)*
+
,-
"
#$
%
&'
Step Kesembilan – Pn
= 0.1 !800cos0.5!nn!
+400sin0.5!n
n2! 2
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-
= 40 !2cos0.5!nn!
+sin0.5!nn2! 2
"
#$
%
&'
jum selesaikan yang satu lagi...
Step Kesembilan – Pn
selesaikan yang ini dahulu
0.1x + 4( )sin n! x40
dx20
40!
= 0.1 xsin n! x40
dx20
40! + 4 sin n! x
40dx
20
40!
saya wakilkan n!40
= k
Step Kesembilan – Pn !0.1 xsinkx dx
20
40" =
!0.1 !xcoskxk
+sinkxk2
#
$%&
'(20
40
= !0.1 !40cos40k
k+sin 40kk2
)
*+
,
-.! !
20cos20kk
+sin20kk2
)
*+
,
-.
#
$%
&
'(
= !0.1 !1600cosn!n!
+1600sinn!
n2! 2
)
*+
,
-.
#
$%
&
'(
+0.1 !800cos0.5n!n!
+400sin0.5n!
n2! 2
)
*+
,
-.
#
$%
&
'(
Step Kesembilan – Pn
= !0.1 !1600cosn!n!
+1600sinn!
n2! 2
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-
+0.1 !800cos0.5n!n!
+400sin0.5n!
n2! 2
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-
= 40
4cos!nn!
!4sin0!nn2! 2
"
#$
%
&'
+!2cos0.5!n
n!+sin0.5!nn2! 2
"
#$
%
&'
(
)
****
+
,
----
Step Kesembilan – Pn
= 40
4cos!nn!
!4sin!nn2! 2
"
#$
%
&'
+!2cos0.5!n
n!+sin0.5!nn2! 2
"
#$
%
&'
(
)
****
+
,
----
Step Kesembilan – Pn
4 sin n! x40
dx20
40!
= 4 "40n!cosn!
#
$%
&
'(" "
40n!cos0.5n!
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
=160n!
"cosn!( )+ cos0.5n!( ))* ,-
Step Kesembilan – Pn
Digabungkan
Pn =120
40 !2cos0.5!nn!
+sin0.5!nn2! 2
"
#$
%
&'
+40
4cos!nn!
!4sin!nn2! 2
"
#$
%
&'
+!2cos0.5!n
n!+sin0.5!nn2! 2
"
#$
%
&'
(
)
****
+
,
----
+160n!
!cosn!( )+ cos0.5n!( )() +,"
#$
%
&'
(
)
**********
+
,
----------
Step Kesembilan – Pn
simplify
Pn = 2
!2cos0.5!nn!
+sin0.5!nn2! 2
+4cos!nn!
!4sin!nn2! 2 !
2cos0.5!nn!
+sin0.5!nn2! 2 !
4cos!nn!
+4cos0.5n!
n!
"
#
$$$$$$
%
&
''''''
Step Kesembilan – Pn
Pn = 2+
sin0.5!nn2! 2 !
4sin!nn2! 2
+sin0.5!nn2! 2
"
#
$$$$
%
&
''''
Pn =4
n2! 2 sin0.5!n! 2sin!n( )
dan difahamkan... sin!n = 0
Pn =4
n2! 2 sin n!2
"
#$
%
&'
Step Kesepuluh: Dapat Qn
Step Kesepuluh – Qn
Bagaimana mencari Qn
Tricky!!!Back....to...
Un (x, t) = sin n! x40
Pn cos n! t20
+Qn sin n! t20
!
"#
$
%&
n=1
'
(kita perlu differentiatekan persamaan diatas)u)t= sin n! x
40*Pn
n!20
sin n! t20
+Qnn!20
cos n! t20
!
"#
$
%&
n=1
'
(
Step Kesepuluh – Qn
!u!t= sin n! x
40"Pn
n!20
sin n! t20
+Qnn!20
cos n! t20
#
$%
&
'(
n=1
)
*maka diketahui apabila t = 0;!u!t= g(x) = 0
!u!t= sin n! x
40"Pn
n!20
sin(0)+Qnn!20
cos(0)#
$%
&
'(
n=1
)
*
Step Kesepuluh – Qn
diketahui sin(0) = 0, cos(0) =1!u!t= sin n! x
40Qn
n!20
"
#$
%
&'
n=1
(
) = g(x)
g(x) = !20
Qnnsin n! x40n=1
(
)
Qnn!20
"
#$
%
&'is twice as mean value of g(x)sin n! x
40between x = 0, and x= 40
Step Kesepuluh – Qn
Qnn!20
!
"#
$
%&is twice as mean value of g(x)sin n! x
40between x = 0, and x= 40
i.e. Qn =20n!
2L!
"#
$
%& g(x)sin n! x
40dx
0
L'
or Qn =1n!
g(x)sin n! x40
dx0
40'
but g(x) = 0
Qn =1n!
(0)sin n! x40
dx0
40' = 0
Step Terakhir (Kesebelas) Dapatkan penyelesaian!!!
Penyelesaian Un (x, t) = sin n! x
40Pn cos
n! t20
+Qn sinn! t20
!
"#
$
%&
n=1
'
(diketahui
Pn =4
n2! 2 sinn!2
!
"#
$
%&
Qn = 0maka
Un (x, t) = sin n! x40
4n2! 2 sin
n!2
!
"#
$
%&cos
n! t20
+(0)sin n! t20
!
"
####
$
%
&&&&
n=1
'
(
Penyelesaian
Un (x, t) = sin n! x40
4n2! 2 sin
n!2
!
"#
$
%&cos
n! t20
!
"#
$
%&n=1
'
(
Un (x, t) =4! 2
1n2sin n! x
40sin n!
2!
"#
$
%& cos
n! t20
!
"#
$
%&
n=1
'
(Tamat
La-han Self Study
