Presentacion Ruta Critica

Mtodo del camino crtico

Contenido

1. Introduccin i. Algunos mtodos de ruta crtica ii. Diferencias y ventajas

2. Procedimientos y terminologa i. Anlisis del proyecto ii. Construccin de la red iii. Determinacin de la ruta crtica

PERT (Program Evaluation and Review Technique) y CPM (Critical Path Method).

Las tcnicas proporcionan la siguiente informacin:

Qu trabajos sern necesarios primero. Qu trabajos hay y cuntos sern

requeridos en cada momento. Cul es la situacin del proyecto

respecto a la fecha programada. Cules son las actividades crticas.

Ventajas

Cules son las actividades no crticas y cunto se les permite de holgura si se retrasan.

Si el proyecto est atrasado, dnde se puede reforzar la marcha y qu costo produce?

Cul es la duracin del proyecto de costo mnimo y duracin ptima.

Ventajas

Procedimientos y terminologa

Planeacin. Seleccionar un mtodo y orden en que se puede efectuar el proyecto.

Programacin. Determinar tiempos de realizacin de actividades para determinar duracin del proyecto.

PROBLEMA DE RUTA CRTICA.

En la realizacin de un proyecto es muy importante hacer la programacin de sus actividades, as como llevar un seguimiento o control de stas.

Para la programacin se debe tomar en cuenta: La duracin de cada actividad. El conjunto de relaciones de precedencia de cada

actividad, (Actividades que se deben haber concluido antes del inicio de una nueva actividad).

En general, los problemas de ruta crtica determinan una programacin ptima de las actividades de un proyecto, con base en la duracin de las actividades y respetando las relaciones de precedencia.


Para representar un proyecto se puede utilizar la red PERT, definida de la siguiente forma:

Sean G=(V,A) una grfica dirigida y d una aplicacin

d:A. Cada vrtice xV corresponde a una etapa del

proyecto, la cual es un instante privilegiado en la ejecucin del proyecto.

En cada etapa del proyecto un conjunto de actividades habrn terminado, las cuales son necesarias para el inicio de otras; todas ellas estando asociadas a los arcos adyacentes a x.


Cada arco (i,j) A corresponde a una actividad del proyecto. Por medio de la inclusin de actividades ficticias, la red PERT puede representar correctamente las restricciones de anterioridad de las actividades.

La funcin d:A asocia a cada arco (i,j)A la duracin d(i,j) de la actividad representada por (i,j).

1. Se inicia con la actividad A. 2. Las actividades B y C comienzan

simultneamente cuando termina A. 3. Las actividades B y C preceden a D. 4. La actividad E comienza cuando termina B. 5. F y G inician cuando terminan D y E. 6. H inicia al terminar G. 7. I empieza cuando termina F. 8. Al terminar H e I inicia la actividad J, con lo que

se termina el proyecto.

Ejemplo. Considerar que un proyecto tiene las actividades A, B, C, D, E, F, G, H, I, J; con las siguientes relaciones entre stas:

0 1

2

3

5

4 6

7 8 A

B

C

D

E F

G

H

I

J


Principales caractersticas de los problemas de ruta crtica:

1. Formulacin PERT, o Formulacin PERT

determinista. La duracin de cada actividad es conocida y el

objetivo del problema es minimizar la duracin del proyecto, mediante la programacin de las actividades, de manera que cada una inicie lo ms temprano que las restricciones de anterioridad le permitan.


2. Formulacin PERT probabilista. Las duraciones de las actividades no son conocidas

y se suponen aleatorias. El objetivo del problema es minimizar la esperanza de la duracin del proyecto, mediante la estimacin de la duracin esperada de cada actividad y programando las actividades de manera que inicien lo ms temprano que las restricciones de anterioridad les permitan.


3. Formulacin CPM. Las duraciones de las actividades son

variables y se pueden establecer dentro de cierto intervalo, por medio de un incremento en su presupuesto.

Se supone que el costo de cada

actividad depende en forma lineal de su duracin.

El objetivo del problema es minimizar la duracin del proyecto, determinando la duracin de cada actividad, respetando el presupuesto total disponible y programando las actividades de manera que inicien lo ms temprano que las restricciones de anterioridad les permitan.

Formulacin PERT determinista Determinar la duracin de un proyecto

ALGORITMO PERT ( BELLMAN ) Sea t(x) la fecha mnima (ms temprana) en la

cual la etapa x puede ser alcanzada, Sea t*(x) la fecha mxima (ms tarda) en la cual la

etapa x puede ser alcanzada sin que esto origine un retraso en el proyecto,

S V es el conjunto de etapas para las cuales ya se ha calculado la fecha ms temprana.


ALGORITMO PERT ( BELLMAN). Etapa 0 (Etapa Inicial). Tomar t(0)=0, S={0} Etapa 1. (Bsqueda de Vrtice a Etiquetar). Buscar un vrtice fuera de S teniendo todos sus

predecesores en S: Si no existe ese vrtice, tomar S ={F}; t*(F) = t(F) y

pasar a la etapa 3. Si existe ese vrtice j, pasar a la etapa 2.


ALGORITMO PERT ( BELLMAN). Etapa 2. (Etiquetacin del vrtice seleccionado) Tomar (j) = Max {t(i)+d(i,j) : iS, (i,j)A}, S:=S {j} Marcar el arco (i,j) seleccionado. Regresar a la etapa 1.


ALGORITMO PERT ( BELLMAN). Etapa 3. (Bsqueda de Vrtice a Etiquetar). Buscar un vrtice fuera de S teniendo todos sus

sucesores en S: Si no existe ese vrtice, pasar a la etapa 5. Si existe ese vrtice x, pasar a la etapa 4.

ALGORITMO PERT ( BELLMAN). Clculo del tiempo lo ms tarde permisible. Etapa 4. (Etiquetacin del vrtice seleccionado) Tomar t*(x) = min {t*(j) - d(x,j) : jS, (x,j)A }, S:=S {x} Marcar el arco (x,j) seleccionado. Regresar a la etapa 3.


ALGORITMO PERT ( BELLMAN). Etapa 5. (Clculo de las holguras) A cada arco u = (x,y) de la grfica asociar (u) = t*(y) - t(x) - d(x,y)

Fin.

Criterio para acortar la duracin de un proyecto Primero se identifican las actividades crticas

0

1

2

3 4

5

6 7

10

3

10

4 11

5

11

2

6

8

2

1

0

1

2

3 4

5

6 7

10

3

10

4 11

5

11

2

6

8

2

1

t(0)=0

t(1)=10

t(3)=14

t(2)=10

t(4)=21

t(5)=27

t(6)=29 t(7)=30

0

1

2

3 4

5

6 7

10

3

10

4 11

5

11

2

6

8

2

1

t(0)=0 t*(0)=0

t(2)=10 t*(2)=10

t(3)=14 t*(3)=16

t(2)=10 T*(2)=25

t(4)=21 t*(4)=21

t(5)=27 t*(5)=27

t(6)=29 t*(6)=29

t(7)=30 t*(7)=30

Ahora se disminuye la duracin de las actividades crticas que causen menos problemas, es decir, las que hagan que se conviertan en crticas el menor nmero posible de las actividades no crticas

En el ejemplo: i. Reducir la duracin de la actividad

(4,5) implica que hay que reducir tambin la duracin de la actividad (4,6).

ii. Reducir la duracin de la actividad (1,4) en dos unidades, teniendo en cuenta que la subrruta 1-3-4 tiene de holgura 2, covierte a las actividades (1,3) y (3,4) en crticas.

iii. La duracin de la actividad (0,1) se puede disminuir lo que haga falta sin convertir en crticas otras actividades.


ALGORITMO PERT PROBABILISTICO. Para cada actividad uA, la duracin es la variable

aleatoria D(u), para la cual se conocen tres estimaciones de su valor:

m(u), duracin ms probable de la actividad. b(u), mxima duracin posible de la actividad. a(u), mnima duracin posible de la actividad.


ALGORITMO PERT PROBABILISTICO. HIPTESIS: H1. Para cada actividad uA, el rango de la estimacin

abarca aproximadamente seis desviaciones estndar de la distribucin de D(u), esto es:

6D(u) = b(u) - a(u) de donde: V(D(u)) = {[b(u) - a(u)]/6}2


ALGORITMO PERT PROBABILISTICO. H2. D(u) es una variable aleatoria que sigue una

distribucin beta con media: te(u) = {2m(u) + [a(u) + b(u)]/2}/3 H3. Para toda uA, las variables aleatorias D(u) son

estadsticamente independientes. H4. La ruta crtica obtenida en trminos de las te(u),

siempre requiere un tiempo de realizacin ms largo que el cualquier otra ruta.


ALGORITMO PERT PROBABILISTICO. H5. Para cada etapa x V, t(x) es la variable aleatoria

que representa la fecha ms temprana en que la etapa x puede ser alcanzada.

t(x) sigue una distribucin normal, cuyas media y varianza E(t(x) ) y V(t(x) ), se obtienen resolviendo el problema de ruta crtica en trminos de las te(u).

En particular E(t(F) ) y V(t(F) ) correspondern a la duracin media del proyecto y a la varianza de la duracin del proyecto, respectivamente.

Ejemplo: Un proyecto consta de 10 actividades A1,A2,, A10 con restricciones A3 y A4 se pueden realzar despus de A1. A5 y A8 son precedidas por A2, A3 y A4. A2 y A4 son necesarias para efectuar A6. A7 y A9 son precedidas respectivamente por A2 y A5. A10 es precedida por A6 y A7.

Actividad Duracin Optimista Duracin normal Duracin pesimista

A1 2 2 8

A2 1 3.5 9

A3 0.5 1 7.5

A4 1 1.5 11

A5 2 5 8

A6 2 3 4

A7 0.25 2 3.75

A8 5 8 11

A9 2 3 4

A10 3 4 11

ACTIVIDAD Te Varianza

A1 3 1.00

A2 4 1.77

A3 2 1.36

A4 3 2.77

A5 5 1.00

A6 3 0.11

A7 2 0.34

A8 8 1.00

A9 3 0.11

A10 5 1.77

0

1

2

3

4

5

6 7

A1 3

A2 4

A3 2

A4 3 A5 5

A6 3

A7 2

A8 8

A9 3

A10 5

0

1

2

3

4

6 7

A1 3

A2 4

A3 2

A4 3 A5 5

A6 3

A7 2

A8 8

A9 3

A10 5

5

t(7)=14 t*(7)=14

Las varianzas de las tres rutas crticas encontradas son:

4.8822223.

4.772222.

5.6522221.

9541

23

841

22

10641

21

=+++=

=++=

=+++=

AAAA

AAA

AAAA

Entonces t(7) ~ N(14,5.65), si se quiere calcular la probabilidad de que el proyecto se termine antes de 15 semanas. Se procede a calcular: 0.66500.420715)7(

65.51415

65.514)7(15)7(

=)P(Z=)P(t

tP=)P(t

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44

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