Pr. Dr. Xavier Bonnairebonnaire/download/ARQ_3_Algebra de Boole.pdfSSlliiddee 33 Pr. Dr. Xavier...

Pr. Dr. Xavier Bonnaire - Universidad Tecnica Federico Santa MarPr. Dr. Xavier Bonnaire - Universidad Tecnica Federico Santa María – Departamento de Informáticaía – Departamento de InformáticaSlide Slide 11

Pr. Dr. Xavier Bonnaire


Temario

● Introducción● Axiomas Básicos● Definiciones● Teoremas● Funciones● Compuertas Lógicas● Minimización de Funciones


Álgebra de Boole

● Álgebra de Boole– Es une herramienta matemática que permite modelar los Sistemas

Digitales– Desarrollada por el matemático Ingles George Boole (1815) en un

libro llamado “Una Investigación sobre las Leyes del Pensamiento”

● Es un sistema matemático cerrado que consiste en:– Un conjunto P de dos o más elementos– Dos operaciones OR (notación +) y AND (notación .) que cumplen

los siguientes axiomas:


Axioma 1

● Ax1: Conmutatividad

∀ A , B∈PAB=BAA⋅B=B⋅A


Axioma 2

● Ax2: Asociatividad

∀ A , B∈PABC =ABCA⋅B⋅C =A⋅B ⋅C


Axioma 3

● Ax3 Distributividad

∀ A , B ,C∈PAB⋅C =AB ⋅AC A⋅BC =A⋅B A⋅C


Axioma 4

● Ax4

Existen dos elementos neutros 0 y 1

∀ A∈PA0=AA⋅1=A


Axioma 5

● Ax5

Existencia de complemento

∀ A∈PAA=1A⋅A=0


Álgebra de Conmutación

● Postulado de Hungtinton:– Considera al conjunto P como P={0,1}– Define un caso especial de la Álgebra de Boole llamado Álgebra de

Conmutación– De aquí en adelante es esta álgebra la que se utilizará para la

modelación de los sistemas digitales


Definiciones

● Def1 - Variable– Es un símbolo que puede representar cualquier valor de P– El valor de un variable puede cambiar en el tiempo– El concepto es igual a los variable de los lenguajes de

programación

● Def2 - Constante– Es un símbolo que representa un solo valor de P para cualquier

instante del tiempo– El concepto es igual a concepto de constante en los lenguajes de

programación


Definiciones

● Def3 - Expresión de Conmutación– Es una combinación de un número finito de variables y constantes

relacionadas mediante operaciones OR y AND– Para simplificar el uso de paréntesis, se aplican reglas de

precedencia de operadores al igual que las expresiones del álgebra normal considerando el OR como suma y el AND como producto

– Ejemplo:

A⋅BCB⋅D0D


Definiciones

● Def4 – Literal– Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin

complementar, en una expresión de conmutación– Ejemplo:

A⋅BCB⋅D0DExisten 4 Variables: A, B, C y D

Existen 6 Literales: A , B ,C , B , D ,D


Definiciones

● Def5 – Expresión Dual– Es la expresión que se obtiene intercambiando las operaciones

AND por OR, OR por AND y las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en una expresión de conmutación

– Ejemplo:

AB⋅C 0 A⋅BC ⋅1


Teoremas

● Los siguientes teoremas se deducen– Aplicando los Axiomas anteriores– Por Inducción

● Se verán un conjunto de teoremas que sirven para trabajar con las expresiones de conmutación con un sentido práctico


Teorema 1

● Teorema 1 – Operaciones Básicas

1+0 = 10+0 = 0

1.1 = 10.1 = 0

∀ A∈PA0=AA⋅1=A

Axioma 4

● Se demuestra con el Axioma 4– A+0 = A A.1 = A


Teorema 2

● Teorema 2 – Operaciones Básicas

A+1 = 1 A.0 = 0

● Se demuestra aplicando axiomas

A1=A1⋅1= A1⋅ AA A1⋅ AA=A1⋅A=1


Operaciones AND, OR, NOT

AND

00.0 = 00.1 = 01.0 = 01.1 = 1

OR

00+0 = 00+1 = 11+0 = 11+1 = 1

AND 0 1

0

1

0 0

0 1

OR 0 1

0

1

0 1

1 1

NOT

00 = 1

1 = 0

NOT

0

1

1

0

AND: A∧BOR: A∨BNOT :¬A

Otra Notación


Teorema 3

● Teorema 3 – El complemento de A es único– Supongamos que existen dos complementos A1 y A2 para A:

AA1=1 AA2=1A⋅A1=0 A⋅A2=0A1=A1⋅1=A1⋅AA2=A1⋅AA1⋅A2A1=0A2⋅A1A1=A⋅A2A1⋅A2=AA1⋅A2A1=A2


Teoremas 4 y 5

● Teorema 4

A=A● Teorema 5

AA=AA⋅A=A


Teorema 6

● Teorema 6 - Absorción

AA⋅B=AA⋅BA=A

– Demostración

AA⋅B=A⋅1A⋅B=A⋅1B=A


Teorema 7 y 8

● Teorema 7 - Simplificación

AA⋅B=ABA⋅AB=A⋅B

● Teorema 8 – Teorema de Morgan

ABC...=A⋅B⋅C⋅...

A⋅B⋅C⋅...=ABC...


Teorema de Morgan

● Ejemplo:

A⋅BC =AB⋅C


Funciones

● Una función de conmutación se define como una relación de Pn en P. Formalmente es:

P={0,1}f : PnP

● Se puede expresar de tres maneras:– En forma algebraica– Por una tabla de verdad– En forma canónica


Tablas de Verdad

● La forma más intuitiva de represantar una función de conmutación (FC) es por medio de una Tabla de Verdad

● La Tabla de Verdad expresa el valor de salida de una función para cada combinación de entrada.

● La Tabla de Verdad permite modelar un tipo especial de sistema Digital llamado Sistema Combinacional


Ejemplo de Tablas de Verdad

● Forma Algebraica: f x1 , x2 , x3=x1⋅x2x2⋅x3

x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Tabla de Verdad


Formas Canónicas

● Problema: Dada una Tabla de Verdad, Obtener la forma algebraica

● Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1– La variable aparece sin complementar si vale 1 para la combinación

en la cual la salida vale 1– La variable aparece complementada si vale 0 para la combinación

en la cual la salida toma el valor 1


Formas Canónicas

x1⋅x2⋅x3

x1⋅x2⋅x3

x1⋅x2⋅x3

x1⋅x2⋅x3

x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

– La forma algebraica queda:F x1, x2, x3=x1⋅x2⋅x3x1⋅x2⋅x3x1⋅x2⋅x3x1⋅x2⋅x3


Forma Canónica - Mintérminos

● Se denomima mintérmino a un factor de una expresión booleana que está formado por el AND de todas las variables.– Ejemplo: x1⋅x2⋅x3

● Una función de conmutación corresponde al OR de mintérminos. La función generada de esta manera se denomina OR canónico de AND

f x1, x2, x3=∑ m1,m2, ... ,mn


Forma Canónica - Mintérminos

x1⋅x2⋅x3

x1⋅x2⋅x3

x1⋅x2⋅x3

x1⋅x2⋅x3

x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

m1

m0

m2

m3

m4

m5

m6

m7

f x1, x2, x3=∑ m1,m3,m5,m6


Forma Canónica - Maxtérminos

● Una forma alternativa de expresar la función es examinando las combinaciones en las cuales vale 0

● Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 0– La variable aparece sin complementar si vale 0 para la combinación

en la cual la salida vale 0– La variable aparece complementada si vale 1 para la combinación

en la cual la salida toma el valor 0



x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3

x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

f x1, x2, x3=x1x2x3⋅x1x2x3⋅x1x2x3⋅x1x2x3



● Se denomina maxtérmino expresión booleana que está formado por el OR de todas las variables

● Una función de conmutación corresponde al AND de maxtérminos. La función generada de esta manera se denomina AND canónico de OR

f x1, x2, x3=∏ M 0,M 1, .......M n



x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3

x1 x2 x3 f0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0

M1

M0

M2

M3

M4

M5

M6

M7


Obtención de Formas Canónicas

f A ,B ,C , D=∑ m6,m8,m9,m10,m11,m12,m13

f A ,B ,C , D=A⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C⋅DForma algebraica:

Obtener una forma con terminos con todas las variables:

...=A⋅C⋅BB⋅DDA⋅B⋅C⋅DDA⋅B⋅C⋅D1 1 1

Distribuyendo los terminos:

...=A⋅BC⋅DDA⋅BC⋅DDA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅D

...=A⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅DA⋅B⋅C⋅D

Quendan 7 Mintérminos:


Obtención de Formas Canónicas

● Explicación

MinTérmino : A⋅B⋅C⋅D

1 1 0 1 = 23 + 22 + 20 = 13

m13

A⋅B⋅C⋅D

0 1 1 0 = 22 + 21 = 6

m6MinTérmino :


Conversión entre Formas Canónicas

● Dada una función en OR canónico de AND, obtener la forma canónica AND canónico de OR

f A ,B ,C =∑ m0,m1,m2,m7

NOT f = f A , B ,C , D=∑ m3,m4,m5,m6

...=A⋅B⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0

f A ,B ,C =ABC ⋅ABC ⋅ABC ⋅ABC


Funciones Equivalentes

● Dos funciones de conmutación son equivalentes cuando sus expansiones en formas canónicas son idénticas, es decir tienen el mismo valor de salida para las mismas combinaciones de entradas

● Una forma similar de expresar lo mismo es que dos funciones de conmutación son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad


Funciones Equivalentes

● ¿Cuántas funciones de n variables existen?● ¿Cuántas Tablas de verdad existen con n variables?● La respuesta está en observar la columna de salida. El

número de funciones es:

22n


Funciones de Una o Dos Variables

● Función NOT

f x =x● Función OR

f x , y =x y● Función AND

f x , y =x⋅y● Función NAND

f x , y =x y


Funciones de Una o Dos Variables

● Función NOR

f x , y =x⋅y● Función XOR – OR Exclusivo

f x , y =x⋅yx⋅y● Función XAND – AND Exclusivo

f x , y =x⋅yx⋅y● Ejercicio: Construir las tablas de verdad de estas

funciones


Operadores Funcionalmente Completos

● Las funciones anteriores se pueden expresar por medio de operadores: AND, OR, NAND, NOR, NOT, XOR, XAND

● Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente completo si cualquier función se puede expresar sólo con los operadores del conjunto

● El conjunto {AND, OR, NOT} es funcionalmente completo por definición del álgebra, pero {AND,NOT} también es funcionalmente completo


Operadores Funcionalmente Completos

● Demostrar que {AND,NOT} es funcionalmente completo

● Para la demostración sólo falta construir el OR sólo con AND y NOT. Esto se puede hacer de la siguiente manera:

x⋅y=x y● Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR},

{NAND}. ¡Demostrarlo!


Compuertas Lógicas

● Compuertas Lógicas– Es una forma alternativa de representar funciones– Se construyen físicamente con electrónica integrada en sustratos

de silicio

● El éxito de los sistemas digitales– Se debe al bajo costo que se logra con este proceso– A la alta densidad de integración de los circuitos actuales

● Millones de compuertas en un circuito de 1cm2

● Una red de compuertas logicas se denomina circuito combinacional

● Son partes importantes de una CPU moderna


Compuertas Lógicas

NOT

AND NAND

OR NOR XOR


Compuertas Lógicas

F A , B ,C , D=A⋅CA⋅B⋅CA⋅B⋅C⋅D

A

B

C

D

F(A,B,C,D)


Minimización de Funciones

– Minimizar una función de conmutación F(x1,x2,.....xn) es encontrar una función G (x1,x2,.....xn) equivalente a F y que contenga el mínimo número de términos y literales en una expresión OR de AND

– Ejemplo:

F A , B ,C , D =A⋅C⋅DA⋅C⋅DA⋅C DA⋅C⋅DA⋅B⋅D...=AA⋅C⋅DAA⋅C⋅DA⋅B⋅D...=C⋅DC⋅DA⋅B⋅D=CC ⋅DA⋅B⋅DF A , B ,C , D =DA⋅B⋅D



A

B

C

D

Circuito Inicial



A

B

C

D

Circuito Minimal



● ¿Por que minimizar funciones / circuitos?– Para diseñar / construir circuitos con costo más bajo

● Importante para la producción de circuitos ASICs para artículos electrónicos corrientes

– Computadores– Lector de CD, DVD, MP3, TV– Cámaras Digitales– Microondas, Lavadoras, etc...

– Circuitos con un mejor desempeño● Más rapido

– Circuitos que emiten menos calor– Para integrar más funciones en el mismo circuito

● Más espacio disponible


Métodos de Minimización

● Tablas de Karnaugh– Permiten minimizar funciones de hasta 5 o 6 variables– Se usa un código gray para construir una tabla óptima

● Idea– Construir grupos de variables adyacentes

● Grupos de 1 (subcubos) en la tabla de Karnaugh

– La Función se expresa como la suma de los subcubos para cubrir todo los 1 de la tabla

– Para que la función sea mínima, hay que buscar el mínimo numero de subcubos posible

● Método manual– No sirve para funciones de más de 6/7 variables


Métodos de Minimización

● Método de Quine y McCluskey– Se puede aplicar con más variables– Tambien es un método manual

● Difícil de aplicar con cientos de variables

● Los métodos que se usan para un gran número de variables– Programacion linear

● Método del SIMPLEX

– Redes Neuronales– Algoritmos Genéticos– BDD – Binary Decision Diagrams

Pr. Dr. Xavier Bonnairebonnaire/download/ARQ_3_Algebra de Boole.pdfSSlliiddee 33 Pr. Dr. Xavier...

Documents

Transcript of Pr. Dr. Xavier Bonnairebonnaire/download/ARQ_3_Algebra de Boole.pdfSSlliiddee 33 Pr. Dr. Xavier...