ÔÅÄÅ�ÀËÜÍÎÅ À�ÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁ�ÀÇÎÂÀÍÈÞ

�îñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå

âûñøåãî ïðî�åññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ

ÎÌÑÊÈÉ �ÎÑÓÄÀ�ÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅ�ÑÈÒÅÒ

èì. Ô.Ì. ÄÎÑÒÎÅÂÑÊÎ�Î

�.Ë. Áóõáèíäåð

Çàäà÷è ïî îáùåé �èçèêå

Ìåõàíèêà. Ìîëåêóëÿðíàÿ �èçèêà è

òåðìîäèíàìèêà

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå

2017

ÓÄÊ 530.1

�åêîìåíäîâàíî ê èçäàíèþ

ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì Îì�Ó

�åöåíçåíòû:

äîêòîð. �.-ì.í, ïðî�åññîð �.È. Êîñåíêî (ÎÀÁÈÈÒ)

êàíä. �.-ì.í., äîöåíò Ñ.À. Ñû÷åâ (Îì�Ó)

Çàäà÷è ïî îáùåé �èçèêå Ìåõàíèêà. Òåðìîäèíàìèêà

è ìîëåêóëÿðíàÿ �èçèêà: ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå / �.Ë.

Áóõáèíäåð � Îìñê: Èçä-âî Îì. ãîñ. óí-òà, 2017. � 69ñ.

Äàííîå ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ñîäåðæèò çàäà÷è èç ðàçäåëîâ

"Ìåõàíèêà, òåðìîäèíàìèêà è ìîëåêóëÿðíàÿ �èçèêà"äëÿ ðåøåíèÿ

íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ, à òàêæå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû

ñòóäåíòîâ.

Äëÿ ñòóäåíòîâ íå�èçè÷åñêèõ ñïå6öèàëüíîñòåé Îì�Ó.

ÓÄÊ 530.1

ISBN

©Áóõáèíäåð �.Ë., 2017

©�ÎÓ ÂÏÎ ¾Îìñêèé ãîñóíèâåðñèòåò

èì. Ô.Ì. Äîñòîåâñêîãî¿, 2017

Ñîäåðæàíèå

1. Êèíåìàòèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Äèíàìèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Êîëåáàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà . . . . . . . . . . . . . 43

7. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Òåïëîåìêîñòü . . . . . . . . 48

8. �àç Âàí-äåð-Âààëüñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9. Ýíòðîïèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ïðèëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Çàäà÷è

1. Êèíåìàòèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè

�àäèóñ-âåêòîð. Âåêòîð, èäóùèé èç �èêñèðîâàííîãî íà÷àëà îò-

ñ÷åòà â íåêîòîðóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì -

âåêòîðîì ýòîé òî÷êè. Ïîëîæåíèå ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî íåêîòî-

ðîé ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ

ðàäèóñîì-âåêòîðîì

r = xex + xey + zez

ãäå x, y, z - êîîðäèíàòû ÷àñòèöû, à ex ey ez - åäèíè÷íûå âåêòîðû

âäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé.

Âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ. Åñëè ÷àñòèöà äâèæåòñÿ òàê, ÷òî åå ðàäèóñ-

âåêòîð èçìåíÿåòñÿ îò r1 äî r2, òî âåêòîð

∆r = r2 − r1

íàçûâàåòñÿ ïåðåìåùåíèå ÷àñòèöû èëè ïðèðàùåíèåì ðàäèóñ-âåêòîðà.

Ñðåäíÿÿ è ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòè. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû

â òå÷åíèå èíòåðâàëà ∆t åñòü

υ

ñð

=∆r

∆t,

ãäå ∆r = r(t+∆t)−r(t) ïåðåìåùåíèå òî÷êè. Êîãäà ∆t ñòðåìèòñÿ

ê íóëþ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ -

ìãíîâåííîé ñêîðîñòè â ìîìåíò t, ðàâíîé

υ =dr

dt.

Âåêòîð ñêîðîñòè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

υ = υxex + υyey + υzez ,

Êèíåìàòèêà 5

ãäå υx = x, υy = y, υz = z. Ñêîðîñòü íàïðàâëåíà âäîëü êàñàòåëü-

íîé â òîé òî÷êå òðàåêòîðèè, ãäå íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà, à åå âåëè÷èíà

ðàâíà

υ = |υ| = ds

dt,

ãäå s - äëèíà ïóòè ïðîéäåííîãî âäîëü òðàåêòîðèè.

Óñêîðåíèå.

a =dυ

dt,

Óñêîðåíèå òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âåêòîðíîì âèäå êàê

a = axex + ayey + azez ,

ãäå ax = υx, ay = υy, az = υz.

Ïóòü ïðîéäåííûé òî÷êîé.Ïóòü, ïðîéäåííûé âäîëü ïðîèçâîëü-

íîé òðàåêòîðèè:

s =

t2∫

t1

υdt ,

ãäå υ = |υ| - ìîäóëü ñêîðîñòè.

Íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå.

an =υ2

Raτ = υ

Äâèæåíèå òî÷êè ïî îêðóæíîñòè. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü è óãëîâîå

óñêîðåíèå òî÷êè ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè:

ω = ϕ ε = ω ,

ãäå ϕ - óãîë ìåæäó ðàäèóñîì òî÷êè, èñõîäÿùèì èç öåíòðà îêðóæ-

íîñòè è íåêîòîðûì �èêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì (íàïðèìåð, îñüþ

x). Ïðè ðàâíîóñêîðåííîì âðàùåíèè óãîë è óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìå-

íÿþòñÿ ïî çàêîíó

ϕ =εt2

2+ ω0t+ ϕ0 ω = ǫt+ ω0 ,

6 Çàäà÷è

ãäå ϕ0, ω0 - íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ óãëà è óãëîâîé ñêîðîñòè.

Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R ïåðèîä

T êðóãîâîãî äâèæåíèÿ T = 2π/ω. ×àñòîòà êðóãîâîãî äâèæåíèÿ

(êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ â åäèíèöó âðåìåíè) ν = ω/2π.

�åøåíèå çàäà÷

1.1. Ïåðâóþ ïîëîâèíó âðåìåíè ñâîåãî äâèæåíèÿ àâòîìîáèëü äâè-

ãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ υ1 = 80êì/÷, à âòîðóþ ïîëîâèíó âðåìåíè - ñî

ñêîðîñòüþ υ2 = 40êì/÷. Êàêîâà ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü υ äâèæåíèÿ àâ-

òîìîáèëÿ?

�åøåíèå: Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ðàâíà υ =s

t

, ãäå s ïðîéäåííûé

ïóòü, à t - çàòðà÷åííîå íà ïåðåìåùåíèå âðåìÿ.  äàííîì ñëó÷àå

s = υ1t

2+ υ2

t

2= (υ1 + υ2)

t

2.

Îòêóäà

υ =s

t=

(υ1 + υ2)

2= 60êì/÷ .

1.2. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ

a

vog

h

x

y

l

a

�èñ. 1.

υ0 ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó. Íà

êàêóþ âûñîòó h ïîäíèìåòñÿ òåëî?

Íà êàêîì ðàññòîÿíèè l îò ìåñòà

áðîñàíèÿ îíî óïàäåò íà çåìëþ? Êà-

êîå âðåìÿ îíî áóäåò â äâèæåíèè?

Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ

òåëà.

�åøåíèå: Òåëî äâèæåòñÿ ñ ïî-

ñòîÿííûì óñêîðåíèåì g íàïðàâëåí-

íûì âäîëü îñè y ê çåìëè (ñì. ðèñ. 1). Òàê êàê âäîëü îñè x óñêî-

ðåíèå îòñóòñòâóåò, òî âäîëü ýòîé îñè òåëî ñîâåðøàåò ðàâíîìåðíîå

äâèæåíèå. Òàêèì îáðàçîì, çàêîí äâèæåíèÿ èìååò âèä

x = υ0t cosα y = −gt2

2+ υ0t sinα . (1)

Êèíåìàòèêà 7

Ïðè ýòîì ñêîðîñòè âäîëü îñåé ðàâíû

υx = x = υ0 cosα υy = y = −gt+ υ0 sinα .

Åñëè r = (x , y) - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè, à υ = (υx , υy) - âåêòîð ñêî-

ðîñòè, òî äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà ìîæíî çàïèñàòü â âåêòîðíîì

âèäå

r = −1

2gt2 + υ0t υ = −gt+ υ0 ,

ãäå υ0 - âåêòîð íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, à g = (0 , g).

Íàéäåì ìîìåíò âðåìåíè t1, â êîòîðûé òåëî áóäåò íàõîäèòñÿ

íà ìàêñèìàëüíîé âûñîòå. Òàê êàê â òî÷êå ìàêñèìàëüíîãî ïîäúåìà

υy = 0, òî ïîëó÷èì

−gt1 + υ0 sinα = 0 è t1 =υ0 sinα

g.

Îòêóäà

h = y(t1) =υ20sin2 α

2g.

Íàéäåì ìîìåíò âðåìåíè t2, â êîòîðûé òåëî óïàäåò íà çåìëþ, èç

óñëîâèÿ y = 0,

y = −gt22

2+ υ0t2 sinα = 0 .

Îòêóäà t2 = 2t1 = (2υ0 sinα)/g è

l = x(t2) =υ20

gsin 2α .

Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ïîëó÷èì èñêëþ÷àÿ âðåìÿ t èç ðàâåíñòâ (1).

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

y = x tg α− g

2υ20cos2 α

x2 .

Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïàðàáîëû.

8 Çàäà÷è

1.3. Êàìåíü áðîøåí ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ υx = 15ì/ñ. Íàé-

òè íîðìàëüíîå an è òàíãåíöèàëüíîå aτ óñêîðåíèÿ êàìíÿ ÷åðåç

t = 1 ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ.

�åøåíèå: Óñêîðåíèå, êîòîðûì îáëàäàåò êàìåíü ðàâíî g. Èç

ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî an = g cosϕ, aτ = g sinϕ. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå

�óíêöèè ìîæíî íàéòè èç òðåóãîëüíèêà ïîñòðîåííîãî íà ñêîðî-

ñòÿõ:

cosϕ =υxυ

=υx

√

υ2x + υ2y

sinϕ =υyυ

=gt

√

υ2x + υ2y

Îòêóäà an = gυxυ

= 8, 2ì/ñ, aτ = ggt

υ= 5, 4ì/ñ .

1.4. Êîëåñî, âðàùàÿñü ðàâíîóñêîðåí-

g

vv

v

y

x

vx

anat

jj

�èñ. 2.

íî èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, äîñòèãëî óãëî-

âîé ñêîðîñòè ω = 20ðàä/ñ ÷åðåç N = 10

îáîðîòîâ ïîñëå íà÷àëà âðàùåíèÿ. Íàé-

òè óãëîâîå óñêîðåíèå êîëåñà ε.

�åøåíèå:Ïðè ðàâíîóñêîðåííîì âðà-

ùåíèè èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ óãîë ïîâîðî-

òà êîëåñà (òî÷êè íà îáîäå) ìåíÿåòñÿ ïî

çàêîíó ϕ = εt2/2 = ωt/2 ãäå ω = εt.

Ïóñòü â ìîìåíò t1 êîëåñî ñîâåðøèëî N

îáîðîòîâ. Òîãäà

2πN =ωt12

ω = εt1 .

Âûðàæàÿ èç âòîðîãî ðàâåíñòâà t1 è ïîäñòàâëÿÿ â ïåðâîå, ïîëó÷èì

ε =ω2

4πN.

Çàäà÷è

1.5. Ïåðâóþ ïîëîâèíó ñâîåãî ïóòè àâòîìîáèëü äâèãàëñÿ ñî ñêî-

ðîñòüþ υ1 = 80êì/÷, à âòîðóþ ïîëîâèíó ïóòè - ñî ñêîðîñòüþ

Êèíåìàòèêà 9

υ2 = 40êì/÷. Êàêîâà ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü υ äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ?

Îòâåò: υ = 53, 3êì/÷.

1.6. Íàéòè ñêîðîñòü êàòåðà, äâèæóùåãîñÿ ïî ðåêå (îòíîñèòåëüíî

áåðåãà), åñëè: à) êàòåð äâèæåòñÿ ïî òå÷åíèþ; á) ïðîòèâ òå÷åíèÿ;

â) ïîä óãëîì α = 90◦ ê òå÷åíèþ. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè u = 1ì/ ,

ñêîðîñòü êàòåðà îòíîñèòåëüíî âîäû υ0 = 2ì/ñ.

Îòâåò: a)3ì/ñ; á)1ì/ñ; â)

√5ì/ñ.

1.7. Ñàìîëåò ëåòèò îò ïóíêòà A äî ïóíêòà B, ðàñïîëîæåííîãî

íà ðàññòîÿíèè l = 300êì ê âîñòîêó. Íàéòè ïðîäîëæèòåëüíîñòü

ïîëåòà t, åñëè: à) âåòðà íåò; á) âåòåð äóåò ñ þãà íà ñåâåð; â) âåòåð

äóåò ñ çàïàäà íà âîñòîê. Ñêîðîñòü ñàìîëåòà îòíîñèòåëüíî âîçäóõà

υ = 600êì/÷, ñêîðîñòü âåòðà u = 20ì/ñ.

Îòâåò: a)0,5÷; á)0,504÷; â)26,8.ìèí

1.8. Êàòåð, äâèãàÿñü âíèç ïî ðåêå, îáîãíàë ïëîò â ïóíêòå A. ×åðåç

τ = 60ìèí ïîñëå ýòîãî îí ïîâåðíóë îáðàòíî è çàòåì âñòðåòèë ïëîò

íà ðàññòîÿíèè l = 6, 0êì íèæå ïóíêòà A. Íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ,

åñëè ïðè äâèæåíèè â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ ìîòîð êàòåðà ðàáîòàë

â îäíîì ðåæèìå.

Îòâåò: υ = l/2τ = 3êì/÷.

1.9. Òåëî, áðîøåííîå âåðòèêàëüíî ââåðõ, âåðíóëîñü íà çåìëþ

÷åðåç âðåìÿ t = 3 . Êàêîâà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü υ0 òåëà è íà êàêóþ

âûñîòó h îíî ïîäíÿëîñü?

Îòâåò: υ0 = gt/2 = 14, 7ì/ñ; h = gt2/8 ≈ 11ì.

1.10. Äâà òåëà áðîñèëè îäíîâðåìåííî èç îäíîé òî÷êè: îäíî - âåð-

òèêàëüíî ââåðõ, äðóãîå - ïîä óãëîì θ = 60◦ ê ãîðèçîíòó. Íà÷àëü-

íàÿ ñêîðîñòü êàæäîãî òåëà υ0 = 25ì/ . Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó

òåëàìè ÷åðåç t = 1, 70ñ.

Îòâåò: l = υ0√

2(1− sin θ) == 22ì.

1.11. Ñ àýðîñòàòà, íàõîäÿùåãîñÿ íà âûñîòå h = 300ì, óïàë êà-

ìåíü. ×åðåç êàêîå âðåìÿ t êàìåíü äîñòèãíåò çåìëè, åñëè: à) àýðî-

ñòàò ïîäíèìàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ υ = 5ì/ñ; á)àýðîñòàò îïóñêàåòñÿ

ñî ñêîðîñòüþ υ = 5ì/ñ; â) àýðîñòàò íåïîäâèæåí.

Îòâåò: à) t = (υ+√

υ2 + 2gh)/g = 8,4 ; á)t = (−υ+√

υ2 + 2gh)/g

= 7,3 ; â) t =√

2h/g = 7,8 .

10 Çàäà÷è

1.12. Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè ðàâíî υ1 = ex+3ey+5ez (ì/ñ),

ãäå ex, ey, ez - îðòû ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, êîíå÷íîå

- υ2 = 2ex + 4ey + 6ez (ì/ñ). Íàéòè: à) ïðèðàùåíèå ñêîðîñòè ∆υ;

á) ìîäóëü ïðèðàùåíèÿ ñêîðîñòè |∆υ|; â)ïðèðàùåíèå ìîäóëÿ ñêî-

ðîñòè ∆υ.

Îòâåò: à)∆υ = (1, 1, 1); á) 1,73ì/ñ; â)1,57ì/ .

1.13. ×àñòèöà ïîêèäàåò íà÷àëî êîîðäèíàò ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ

υ = 3ex(ì/ñ) è ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a = −ex − 0, 5ey(ì/ñ

2).

Íàéòè ñêîðîñòü è ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû, êîãäà îíà äîñòèãíåò

ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ñâîåé êîîðäèíàòû x.

Îòâåò: υ = −1, 5ey(ì/ñ); r = 4, 5(ex − 0, 5ey)(ì/ñ

2).

1.14. ×àñòèöà äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ïî îêðóæ-

íîñòè ðàäèóñà R, äåëàÿ çà âðåìÿ τ îäèí îáîðîò. Îêðóæíîñòü ëå-

æèò â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xy, ïðè÷åì öåíòð îêðóæíîñòè íà-

õîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò.  ìîìåíò t = 0 ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â

òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x = 0, y = R. Íàéòè âåêòîð ñðåäíåé ñêîðî-

ñòè υ

ñð

òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè; à) îò 0 äî τ/4; á) îò 0 äî

τ/2; â) îò τ/4 äî 3τ/4.

Îòâåò: à)(4R/τ)(ex − ey); á) (−4R/τ)ey ; â)−(4R/τ)ex.

1.15. �àäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì r = 3t2ex

+ 4t2ey + 7ez (ì). Âû÷èñëèòü: à) ïóòü s, ïðîéäåííûé ÷àñòèöåé çà

ïåðâûå 10 ñåê äâèæåíèÿ; á) ìîäóëü ïåðåìåùåíèÿ |∆r| çà òîæå

âðåìÿ; â) îáúÿñíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû.

Îòâåò: à)s = 500ì; á) |∆r| = 500ì.

1.16. �àäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó

r = 3t2ex + 2tey + ez (ì). Íàéòè: à) ñêîðîñòü υ è óñêîðåíèå a

÷àñòèöû; á) ìîäóëü ñêîðîñòè υ â ìîìåíò t = 1ñ; â) ïðèáëèæåííîå

çíà÷åíèå ïóòè s, ïðîéäåííîãî ÷àñòèöåé çà 11ñ äâèæåíèÿ.

Îòâåò: à)υ = 6tex + 2ey, a = 6ex; á) 6,3ì/ñ.

1.17. ×àñòèöà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ υ = at(2ex+3ey +4ez), ãäå

a - íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Íàéòè: à) ìîäóëü ñêîðîñòè υ ÷àñòèöû

â ìîìåíò t = 1 ; á) óñêîðåíèå ÷àñòèöû a è åãî ìîäóëü; â) ïóòü s,

ïðîéäåííûé ÷àñòèöåé ñ ìîìåíòà t1 = 2 äî ìîìåíòà t2 = 3 .

Îòâåò: à) υ = a√29; á)a = a(2ex + 3ey + 4ez), |a| = a

√29;

Êèíåìàòèêà 11

â) s = 5a√29/2.

1.18. Êàìåíü áðîøåííûé ãîðèçîíòàëüíî, ÷åðåç t = 0, 5 ïîñëå

íà÷àëà äâèæåíèÿ èìåë ñêîðîñòü υ, â 1,5 ðàçà áîëüøóþ ñêîðîñòè

υx â ìîìåíò áðîñàíèÿ. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ υx áûë áðîøåí êàìåíü.

Îòâåò: 4,47 ì/ñ.

1.19. Êàìåíü áðîøåí ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ υx = 10ì/ñ.

Íàéòè ðàäèóñ êðèâèçíû R òðàåêòîðèè êàìíÿ ÷åðåç t = 3c ïîñëå

íà÷àëà äâèæåíèÿ.

Îòâåò: R =1

gυx

[

υ2x + (gt)2]

3/2= 305ì.

1.20. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ

oj v

AA

o

�èñ. 3.

υ0 = 14, 7ì/ñ ïîä óãëîì α = 30o ê

ãîðèçîíòó. Íàéòè íîðìàëüíîå an

è òàíãåíöèàëüíîå aτ óñêîðåíèÿ òå-

ëà ÷åðåç t = 1, 25ñ ïîñëå íà÷àëà

äâèæåíèÿ.

Îòâåò: an = 9, 15 ì/ 2, aτ = 3, 52ì/ 2.

1.21. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ

υ = 10ì/ñ ïîä óãëîì α = 45◦ ê ãîðèçîíòó. Íàéòè ðàäèóñ êðèâèçíû

R òðàåêòîðèè òåëà, ÷åðåç âðåìÿ t = 1ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ.

Îòâåò: R ≈ 6, 3ì.

1.22. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ υ0 ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó.

Íàéòè ñêîðîñòü υ0 è óãîë α, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âûñîòà ïîäúåìà

òåëà h = 3ì è ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè òåëà â âåðõíåé òî÷êå

òðàåêòîðèè R.

Îòâåò: tgα =

√

2h

R=

√2, υ0 =

√gR

cosα

; υ0 ≈ 9, 35ì/ñ.

1.23. Îñü ñ äâóìÿ äèñêàìè, ðàñïîëîæåííûìè íà ðàññòîÿíèè l =0.5 ì äðóã îò äðóãà, ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé ν = 1600

îá/ìèí (ðèñ. 3). Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ âäîëü îñè, ïðîáèâàåò îáà äèñêà;

ïðè ýòîì îòâåðñòèå îò ïóëè âî âòîðîì äèñêå ñìåùåíî îòíîñèòåëü-

íî îòâåðñòèÿ â ïåðâîì äèñêå íà óãîë ϕ = 12◦. Íàéòè ñêîðîñòü

ïóëè υ.

Îòâåò: υ = 2πνl/ϕ = 419ì/ñ.

1.24. Êîëåñî, âðàùàÿñü ðàâíîóñêîðåííî èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, äî-

12 Çàäà÷è

ñòèãëî óãëîâîé ñêîðîñòè ω = 20ðàä/c ÷åðåçN = 10îá ïîñëå íà÷àëà

âðàùåíèÿ. Íàéòè óãëîâîå óñêîðåíèå êîëåñà ε.

Îòâåò: ε = ω2/4πN = 3, 2ðàä/2.

1.25. Ïîä êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó íàäî áðîñèòü øàðèê , ÷òîáû:

à) ðàäèóñ êðèâèçíû åãî òðàåêòîðèè áûë â η = 8 ðàç áîëüøå, ÷åì

â âåðøèíå; á) öåíòð êðèâèçíû âåðøèíû òðàåêòîðèè íàõîäèëñÿ íà

çåìíîé ïîâåðõíîñòè?

Îòâåò: à) cosα = 1/η1/3; á)tgα =√2.

2. Äèíàìèêà

Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà (çàêîí èíåðöèè). Åñëè òåëî íå ïîä-

âåðæåíî äåéñòâèþ äðóãèõ òåë, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ñèñòåìû îò-

ñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ òåëî èëè ïîêîèòñÿ èëè ðàâíîìåð-

íî è ïðÿìîëèíåéíî äâèæåòñÿ. Òàêèå ñèñòåìû îòñ÷åòà íàçûâàþòñÿ

èíåðöèàëüíûìè. Ñèñòåìû îòñ÷åòà, â êîòîðûõ ïåðâûé çàêîí Íüþ-

òîíà íå âûïîëíÿåòñÿ íàçûâàþòñÿ íåèíåðöèàëüíûìè.

Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Ñèëà F , äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ñ ìàññîé

m è èìåþùèì óñêîðåíèå a îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû

îòñ÷åòà, ðàâíà

F = ma

èëè â ïðîåêöèÿõ íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:

Fx = max Fy = may Fz = maz .

Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà òàêæå çàïèñûâàåòñÿ â �îðìå óðàâíåíèÿ

äâèæåíèÿ (îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè)

mdυ

dt= F

èëè â ïðîåêöèÿõ

mx = Fx my = Fy mz = Fz .

Äèíàìèêà 13

Ïðîåêöèè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íà êàñàòåëüíóþ è íîðìàëü ê òðà-

åêòîðèè èìåþò âèä

mυ = Fτmυ2

R= Fn ,

ãäå Fτ , Fn - ïðîåêöèè ñèëû.

Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà. Åñëè òåëî 1 äåéñòâóåò íà òåëî 2 ñ ñèëîé

F21, òî ñèëà ñ êîòîðîé òåëî 2 äåéñòâóåò íà òåëî 1 ðàâíà

F12 = −F21

Ñèëà òÿæåñòè. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ê Çåìëå âñå òå-

ëà ïàäàþò ñ îäèíàêîâûì îòíîñèòåëüíî ïîâåðõíîñòè Çåìëè óñêî-

ðåíèåì, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ è

îáîçíà÷àåòñÿ êàê g.

 ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé íà âñÿêîå òåëî äåéñòâó-

åò ñèëà

P = mg ,

íàçûâàåìàÿ ñèëîé òÿæåñòè.

�åàêöèÿ íà íîðìàëüíîå äàâëåíèå. Åñëè òåëî ïîêîèòñÿ íà îïî-

ðå èëè ïîäâåøåíî, òî ñî ñòîðîíû ïîäâåñà èëè îïîðû íà òåëî äåé-

ñòâóåò ñèëà, íàçûâàåìàÿ ðåàêöèåé îïîðû èëè ïîäâåñà. �åàêöèÿ íà

íîðìàëüíîå äàâëåíèå - ïåðïåíäèêóëÿðíà ïîâåðõíîñòè îïîðû.

Âåñ òåëà. Âåñîì òåëà íàçûâàåòñÿ ñèëà W , ñ êîòîðîé òåëî äåé-

ñòâóåò íà îïîðó (èëè ïîäâåñ). Åñëè N - ðåàêöèÿ îïîðû, òî W =−N . Ïî âåëè÷èíå âåñ ðàâåí ìîäóëþ N = |N |.

Ñèëà òðåíèÿ. Êîãäà âíåøíÿÿ ñèëà ñòðåìèòñÿ ïåðåìåñòèòü òå-

ëî ïî íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè, ñî ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè âîçíèêà-

åò ñèëà òðåíèÿ, ïðåïÿòñòâóþùàÿ äâèæåíèþ. Ýòà ñèëà ëåæèò â

êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê òðóùèìñÿ ïîâåðõíîñòÿì è íàïðàâëåíà

ïðîòèâ âíåøíåé ñèëû. Åñëè òåëî îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì, òî ñèëà

òðåíèÿ íàçûâàåòñÿ ñèëîé òðåíèÿ ïîêîÿ. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå

ñèëû òðåíèÿ ïîêîÿ ðàâíî

(F

òð ï

)max = µ0N ,

14 Çàäà÷è

ãäå N - ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ, ïðèæèìàþùàÿ òåëî ê ïî-

âåðõíîñòè, µ0 - êîý��èöèåíò òðåíèÿ ïîêîÿ. Åñëè âíåøíÿÿ ñèëà

ïðåâûñèò ýòî çíà÷åíèå, òî òåëî ïðèäåò â äâèæåíèå

Åñëè òåëî ñêîëüçèò ïî ïîâåðõíîñòè, òî ñèëà òðåíèÿ íàçûâàåòñÿ

ñèëîé òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ è ðàâíà

F

òð

= µN .

Êîý��èöèåíò µ íàçûâàåòñÿ êîý��èöèåíòîì òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ.

Ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëå-

íèþ äâèæåíèÿ.

Âíóòðåííåå òðåíèå. Ïðè äâèæåíèè òåëà â æèäêîñòè èëè ãàçå

âîçíèêàþò ñèëû, òîðìîçÿùèå äâèæåíèå òåëî. Ýòè ñèëû, íàçûâàå-

ìûå òàêæå ñèëàìè òðåíèÿ, ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ òåëà v îïè-

ñûâàþòñÿ ñîîòíîøåíèåì

F

òð

= −kυ ,

ãäå k - êîý��èöèåíò òðåíèÿ.

�åøåíèå çàäà÷

2.1. Êàêîé ìàññû ∆m áàëëàñò íàäî ñáðîñèòü ñ ðàâíîìåðíî îïóñ-

êàþùåãîñÿ àýðîñòàòà, ÷òîáû îí íà÷àë ðàâíîìåðíî ïîäíèìàòüñÿ

ñ òîé æå ñêîðîñòüþ? Ìàññà àýðîñòàòà ñ áàëëàñòîì m = 1600 êã,

ïîäúåìíàÿ ñèëà àýðîñòàòà F = 12 êÍ. Ñ÷èòàòü ñèëó ñîïðîòèâëå-

íèÿ F

ñ

âîçäóõà îäíîé è òîé æå ïðè ïîäúåìå è ñïóñêå.

�åøåíèå: Òàê êàê àýðîñòàò äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî, òî ðàâíî-

äåéñòâóþùàÿ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåãî, ðàâíà íóëþ. Ïóñòü

F

ñ

- ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ. Òîãäà â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ èìååì,

ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñïóñêà è ïîäúåìà

mg − Fc − F = 0

F − (m−∆m)g − Fc = 0 ,

ãäå ∆m - ìàññà áàëëàñòà. Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì

∆m = 2

(

m− F

g

)

= 752êã .

Äèíàìèêà 15

2.2. Ìàøèíà Àòâóäà. Äâà ãðóçà ñ ìàññàìè m1 = 2êã è m2 = 1êã

ñîåäèíåíû íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç

íåâåñîìûé áëîê (ðèñ. 4). Íàéòè óñêîðåíèå a, ñ êîòîðûì äâèæóòñÿ

ãðóçû, è ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè T . Òðåíèåì â áëîêå ïðåíåáðå÷ü.

�åøåíèå: Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþ-

mm1 2

gg

TT

a

T

T1

2

DM

�èñ. 4.

òîíà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìàëîãî ýëåìåí-

òà íèòè ìàññû ∆M : ∆Ma = T2 − T1

(ñì. ðèñ.4), ãäå T1 è T2 ñèëû, ñ êîòî-

ðûìè îñòàâøèåñÿ ÷àñòè íèòè äåéñòâó-

þò íà âûáðàííûé ýëåìåíò. Ïîñêîëüêó

íèòü íåâåñîìà ∆M → 0, òî T1 = T2,

ò.å ñèëà íàòÿæåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ íèòè

îäèíàêîâà. Ïîñêîëüêó íèòü íåðàñòÿæè-

ìà, òî óñêîðåíèÿ ãðóçîâ òàêæå îäèíà-

êîâû. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

äëÿ ãðóçîâ

m1a = m1g − T

m2a = T −m2g .

�åøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî a è T , ïîëó÷èì

a =g(m1 −m2)

m1 +m2

T =2gm1m2

m1 +m2

.

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå, ïîëó÷èì a = 3, 27ì/ñåê2, T =13Í.

2.3. Íåâåñîìûé áëîê óêðåïëåí íà êîíöå ñòîëà (ðèñ. 5). Òåëà ìàñ-

ñû m1 = m2 = 1êã ñîåäèíåíû íèòüþ è ïåðåêèíóòû ÷åðåç áëîê.

Êîý��èöèåíò òðåíèÿ òåëà î ñòîë k = 0, 1. Íàéòè óñêîðåíèå a,

ñ êîòîðûì äâèæóòñÿ òåëà, è ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè T . Òðåíèåì â

áëîêå ïðåíåáðå÷ü.

16 Çàäà÷è

�åøåíèå: Ïóñòü òåëî 1 äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî âíèç. Çàïèøåì

âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ îáîèõ òåë â íàïðàâëåíèè èõ äâèæåíèÿ

m1a = m1g − T

m2a = T − F

òð

.

Òàê êàê âòîðîå òåëî â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè íå ïåðåìåùàåò-

ñÿ, òî ñèëà òÿæåñòè óðàâíîâåøèâàåòñÿ ðåàêöèåé îïîðû N = mg.

Îòêóäà äëÿ ñèëû òðåíèÿ íàõîäèì F

òð

= −kN = −kmg. Ñêëàäû-

âàÿ äâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ, íàéäåì óñêîðåíèå

a = gm1 − km2

m1 +m2

= 4, 4ì/ñ2 .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå, íàïðèìåð, â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó-

÷èì

T =m1m2(1 + k)

m1 +m2

= 5, 4Í .

Çàäà÷è

2.4. Àýðîñòàò ìàññû m = 250êã íà÷àë îïóñêàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì

a = 0.2ì/ñ2. Îïðåäåëèòü ìàññó áàëëàñòà, êîòîðûé ñëåäóåò ñáðî-

ñèòü çà áîðò, ÷òîáû àýðîñòàò ïîëó÷èë òàêîå æå óñêîðåíèå, íî íà-

ïðàâëåííîå ââåðõ. Ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ ïðåíåáðå÷ü.

Îòâåò: ∆m = 2ma/(a+ g)

T

T

gm1

2m g

N

FТР

�èñ. 5.

2.5. Ê íèòè ïîäâåøåí ãðóç ìàññû m =1êã. Íàéòè ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè T , åñ-

ëè íèòü ñ ãðóçîì: à)ïîäíèìàòü ñ óñêî-

ðåíèåì a = 5ì/ñ2; á) îïóñêàòü ñ òåì

æå óñêîðåíèåì.

Îòâåò: à) T = 14,8Í; á)T= 4, 8Í.

2.6. Òåëî ñ ìàññîé m = 0, 5êã äâèæåò-

ñÿ ïðÿìîëèíåéíî, ïðè÷åì çàâèñèìîñòü

ïðîéäåííîãî òåëîì ïóòè s îò âðåìåíè

t äàåòñÿ óðàâíåíèåì s = A − Bt + Ct2 − Dt3, ãäå C = 5ì/ 2 è

Äèíàìèêà 17

D = 1ì/ 3. Íàéòè ñèëó ñèëó F , äåéñòâóþùóþ íà òåëî â êîíöå

ïåðâîé ñåêóíäû äâèæåíèÿ.

Îòâåò: F = 2Í.

2.7. Íà àâòîìîáèëü ìàññîé m = 1ò âî âðåìÿ äâèæåíèÿ äåéñòâóåò

ñèëà òðåíèÿ ñ êîý��èöèåíòîì òðåíèÿ µ = 0, 1. Êàêîâà äîëæíà

áûòü ñèëà òÿãè F , ðàçâèâàåìàÿ ìîòîðîì àâòîìîáèëÿ, ÷òîáû àâòî-

ìîáèëü äâèãàëñÿ: à) ðàâíîìåðíî; á) ñ óñêîðåíèåì a = 2ì/ñ.

Îòâåò: à) f = 0, 98êÍ; á)F = 2, 98êÍ.

2.8. Íà àâòîìîáèëü ìàññîé m = 1ò âî âðåìÿ äâèæåíèÿ äåéñòâóåò

ñèëà òðåíèÿ ñ êîý��èöèåíòîì òðåíèÿ µ = 0, 1. Íàéòè ñèëó òÿãè

F , ðàçâèâàåìóþ ìîòîðîì àâòîìîáèëÿ, åñëè àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ

ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ: à) â ãîðó ñ óêëîíîì 1ì íà êàæäûå 25ì

ïóòè; á) ïîä ãîðó ñ òåì æå óêëîíîì.

Îòâåò: a) F = mg(sinα + µ cosα) = 1, 37êÍ, α - óãîë óêëîíà;

á)F = mg(µ cosα− sinα) = 590Í.

2.9.. Òåëî ñêîëüçèò ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé ñ ãî-

ðèçîíòîì óãîë α = 45◦. Ïðîéäÿ ïóòü s = 36, 4ñì, òåëî ïðèîáðåòàåò

ñêîðîñòü v = 2ì/ñ. Íàéòè êîý��èöèåíò òðåíèÿ µ òåëà î ïëîñ-

êîñòü.

Îòâåò: µ =2gs sinαv2

2gs cosα= 0, 2.

2.10. Íåâåñîìûé áëîê óêðåïëåí â âåðøèíå íàêëîííîé ïëîñêîñòè ,

ñîñòàâëÿþùåé ñ ãîðèçîíòîì óãîë α = 30◦. Òåëà ìàññû m1 = m2 =1êã ñîåäèíåíû íèòüþ è ïåðåêèíóòû ÷åðåç áëîê. Íàéòè óñêîðåíèå

a, ñ êîòîðûì äâèæóòñÿ òåëà, è ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè T . Êîý��è-

öèåíò òðåíèÿ òåëà î íàêëîííóþ k = 0, 1.

Îòâåò: a = g(1 − sinα − k cosα)/2 = 2, 02ì/ñ2; T = m(g − a) =7, 78í.

2.11. Áðóñîê ìàññû m òÿíóò çà íèòü, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α ñ íà-

ïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ, òàê, ÷òî îí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðî-

ñòüþ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ êîý��èöèåíòîì òðåíèÿ µ.

Íàéòè óãîë α, ïðè êîòîðîì íàòÿæåíèå íèòè F ìèíèìàëüíî. ×åìó

îíî ðàâíî?

Îòâåò: tgα = µ, F = µmg/√

1 + µ2

.

18 Çàäà÷è

R R

�èñ. 6.

2.12. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïî êðóãîâîìó

õîëìó, à çàòåì ïî êðóãîâîé âïàäèíå (ðèñ. 6). Íà âåðøèíå õîëìà íà

âîäèòåëÿ ñî ñòîðîíû ñèäåíèÿ äåéñòâóåò ñèëà ðåàêöèè íà íîðìàëü-

íîå äàâëåíèå, ðàâíàÿ íóëþ. Ìàññà âîäèòåëÿ m = 70êã. Íàéòè ñèëó

ðåàêöèè ñèäåíèÿ, êîãäà àâòîìîáèëü áóäåò ïðîõîäèòü äíî âïàäè-

íû.

Îòâåò: N = 2mg = 1, 37êÍ.

2.13. Ñàìîëåò äåëàåò "ìåðòâóþ ïåòëþ"ðàäèóñà R = 500ì ñ ïîñòî-

ÿííîé ñêîðîñòüþ v = 360êì/÷. Íàéòè âåñ ëåò÷èêà ìàññû m = 70êã

â íèæíåé, âåðõíåé è ñðåäíåé òî÷êàõ ïåòëè.

Îòâåò: 2,1 êÍ, 0,7 êÍ, 1,5 êÍ.

3. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû ìàòåðè-

àëüíûõ òî÷åê âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî èìïóëüñà

ñèñòåìû

P = m1υ1 +m2υ2 + · · · = onst .

Åñëè ñèñòåìà íå çàìêíóòà, íî ïðîåêöèÿ ðåçóëüòèðóþùåé âíåøíåé

ñèëû íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå l ðàâíà íóëþ, òî áóäåò ñîõðàíÿòü-

ñÿ ïðîåêöèÿ ïîëíîãî èìïóëüñà íà äàííîå íàïðàâëåíèå

Pl = onst .

�àáîòà ïîñòîÿííîé ñèëû íà ïðÿìîëèíåéíîì ïóòè. �àáîòà

ïîñòîÿííîé ñèëû F ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû íà ðàññòîÿíèå s

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 19

âäîëü ïðÿìîëèíåéíîãî ïóòè s ðàâíà

A = Fs cos θ = Fτs = F · s ,

ãäå θ - óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñèëû è íàïðàâëåíèåì ïåðåìåùåíèÿ

s, à Fτ = F cos θ - ïðîåêöèÿ ñèëû íà íàïðàâëåíèå ïåðåìåùåíèÿ.

�àáîòà ñèëû íà êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè. Åñëè ÷àñòèöà

íàõîäèòñÿ â ñèëîâîì ïîëå, òî ðàáîòà ñèë ïîëÿ, ïðè ïåðåìåùåíèè

÷àñòèöû èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 ðàâíà

A =

s2∫

s1

Fτ (s)ds ,

ãäå s - ðàññòîÿíèå âäîëü òðàåêòîðèè, à Fτ - ïðîåêöèÿ ñèëû, äåé-

ñòâóþùåé íà ÷àñòèöó â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå òðàåêòîðèè, íà êàñà-

òåëüíóþ â ýòîé òî÷êå, s1 è s2 ñîîòâåòñòâóþò íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé

òî÷êàì ïóòè.

�àáîòà óïðóãîé ñèëû. Åñëè îäèí èç êîíöîâ ïðóæèíû çàêðåï-

ëåí, à âòîðîé äå�îðìèðóåòñÿ âäîëü íåêîòîðîé îñè ñ ïîñòîÿííîé

ñêîðîñòüþ, òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè äå�îðìàöèè ïðóæèíû,

ïîä÷èíåííîé çàêîíó �óêà, ðàâíà

A =kx2

2,

ãäå x = l−l0 - óäëèíåíèå ïðóæèíû, l0 - íåäå�îðìèðîâàííàÿ äëèíà

ïðóæèíû, l - äëèíà ðàñòÿíóòîé (ñæàòîé) ïðóæèíû.

Ìîùíîñòü. �àáîòà, ñîâåðøàåìàÿ â åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ

ìîùíîñòüþ ñèëû

P =dA

dt= Fυ .

�àáîòà è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé

ýíåðãèè ∆T ÷àñòèöû ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç íåêîòîðîãî ïîëîæå-

íèÿ 1 â íåêîòîðîå äðóãîå ïîëîæåíèå 2 ðàâíî ðàáîòå A ðåçóëüòè-

ðóþùåé ñèëû ñîâåðøåííîé ïðè òàêîì ïåðåìåùåíèè

∆T =mv2

2

2− mv2

1

2= A

20 Çàäà÷è

Êîíñåðâàòèâíûå ñèëû. Ñèëà (ñèëîâîå ïîëå), äåéñòâóþùàÿ íà

÷àñòèöó, íàçûâàåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, åñëè ðàáîòà ñîâåðøàåìàÿ

ýòîé ñèëîé ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç îäíîãî ïðîèçâîëüíîãî

ïîëîæåíèÿ â äðóãîå, íå çàâèñèò îò òîãî ïî êàêîé òðàåêòîðèè ïðî-

èñõîäèëî ïåðåìåùåíèå. Äëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ýòà ðàáîòà çàâè-

ñèò òîëüêî îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû. �àáîòà

êîíñåðâàòèâíûõ ñèë íà ëþáîì çàìêíóòîì ïóòè ðàâíà íóëþ.

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû UP

â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå P â ïîëå êîíñåðâàòèâíîé ñèëû åñòü ðàáîòà

APO ñèë ïîëÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè P â íåêîòîðóþ

�èêñèðîâàííóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà O, â êîòîðîé ïîòåíöèàëüíàÿ

ýíåðãèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé íóëþ

UP = APO ,

 ïîëå êîíñåðâàòèâíîé ñèëû èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

U1 − U2 = A12 ,

ãäå A12 - ðàáîòà ñèë ïîëÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè 1 â

òî÷êó 2.

Ñâÿçü ìåæäó ñèëîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé.

F = −gradU = −∂U

∂xex −

∂U

∂yey −

∂U

∂zez .

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Åñëè ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ñòàöèî-

íàðíîì êîíñåðâàòèâíîì ñèëîâîì ïîëå, òî âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñî-

õðàíåíèÿ ýíåðãèè

E =mv2

2+ U = onst ,

ãäå E íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ýíåðãèåé.

 çàìêíóòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðà-

íåíèÿ ýíåðãèè

E = T + U = onst ,

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 21

ãäå T êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû, à U - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö.

Ïðèðàùåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Åñëè ïîìèìî

êîíñåðâàòèâíûõ ñèë, íà ÷àñòèöó äåéñòâóåò íåêîíñåðâàòèâíûå ñè-

ëû, òî ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû åå ïîëíàÿ ýíåðãèÿ íå ñîõðàíÿ-

åòñÿ è åå ïðèðàùåíèå (ñ ó÷åòîì çíàêà) ðàâíà ðàáîòå ðåçóëüòèðó-

þùåé íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë íà äàííîì ïåðåìåùåíèè

∆E = Ai .

Öåíòð ìàññ. Öåíòð ìàññ (öåíòð èíåðöèè) ñèñòåìû n ÷àñòèö îïðå-

äåëÿåòñÿ êàê òî÷êà, êîîðäèíàòû êîòîðîé ðàâíû

X =1

m

∑

mixi Y =1

m

∑

miyi Z =1

m

∑

mizi

èëè

r =1

m

∑

miri ,

ãäå m =∑

mi - ïîëíàÿ ìàññà ñèñòåìû.

Åñëè a - óñêîðåíèå ö.ì., òî

ma = F ,

ãäå F - ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ âíåøíèõ ñèë.

Ìîìåíò ñèëû. Ìîìåíò ñèëû N îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé �èê-

ñèðîâàííîé òî÷êè O åñòü âåêòîð, îïðåäåëÿåìûé êàê âåêòîðíîå

ïðîèçâåäåíèå

N = [r, F ] ,

ãäå F - ñèëà äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, à r - ðàäèóñ- âåêòîð ÷àñòè-

öû îòíîñèòåëüíî òî÷êè O. Âåëè÷èíà N åñòü

N = rF sinα = lF ,

ãäå α åñòü óãîë ìåæäó r è F è l = r sinα - ïëå÷î ñèëû - äëèíà

ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç O íà íàïðàâëåíèå äåéñòâèÿ ñè-

ëû. Âåêòîð N ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè âåêòîðîâ r è F è åãî

íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì ïðàâîé ðóêè.

22 Çàäà÷è

Ìîìåíò èìïóëüñà.Ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû (óãëîâîé ìîìåíò)

M îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé �èêñèðîâàííîé òî÷êè O åñòü âåêòîð,

îïðåäåëÿåìûé êàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå

M = [r, p] = [r, mυ] ,

ãäå p - èìïóëüñ ÷àñòèöû, à r - ðàäèóñ- âåêòîð ÷àñòèöû îòíîñè-

òåëüíî òî÷êè O. Âåëè÷èíà M åñòü

M = rp sinα = lp ,

ãäå α åñòü óãîë ìåæäó r è p è l = r sinα - ïëå÷î èìïóëüñà - äëè-

íà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç O íà íàïðàâëåíèå èìïóëüñà.

Âåêòîð M ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè âåêòîðîâ r è p è åãî íà-

ïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì ïðàâîé ðóêè.

Ïðîèçâîäíàÿ îò ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû ðàâíà ìîìåíòó ñè-

ëû

dM

dt= N .

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Â çàìêíóòîé ìåõàíè-

÷åñêîé ñèñòåìå ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû

M = M1 +M2 + · · ·+Mn = onst ,ãäå Mi - ìîìåíò èìïóëüñà i-é ÷àñòèöû.

�åøåíèå çàäà÷

3.1. Àâòîìîáèëü ìàññû m = 2ò ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ â ãîðó ñ

óêëîíîì 4ì íà êàæäûå 100ì ïóòè. Êîý��èöèåíò òðåíèÿ k = 0, 08.

Íàéòè ðàáîòó A, ñîâåðøàåìóþ äâèãàòåëåì àâòîìîáèëÿ íà ïóòè

s = 3êì è ìîùíîñòü P ðàçâèâàåìóþ äâèãàòåëåì, åñëè èçâåñòíî,

÷òî âåñü ïóòü áûë ïðîéäåí çà âðåìÿ t = 4ìèí.

�åøåíèå: Ïóñòü äâèãàòåëü ðàçâèâàåò ñèëó òÿãè F (ðèñ. 7). Òî-

ãäà, ðàáîòà ñèëû òÿãè ðàâíà A = Fs. Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 23

óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ, ïîýòîìó, ïðîåêòèðóÿ âñå ñèëû íà íàïðàâ-

ëåíèå äâèæåíèÿ, ïîëó÷èì

F = F

òð

+mg sinα .

Ñèëà òðåíèÿ ïî âåëè÷èíå ðàâíà F

òð

= kN , ãäå N ðåàêöèÿ íà

íîðìàëüíîå äàâëåíèå, ðàâíîå

N = mg cosα .

Ïîýòîìó

F = mg(sinα+ k cosα) .

Îòêóäà

A = Fs = mgs(sinα+ k cosα) .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî sinα = 0, 04 è cosα =√

1− (0, 04)2 = 0, 999, íà-

õîäèì A = 7ÌÄæ. Îòêóäà äëÿ ìîùíîñòè íàõîäèì P =A

t=

29, 2êÂò.

3.2. Ñ áàøíè âûñîòîé h = 25ì ãî-

a

N F

Fтр

mg

x

y

�èñ. 7.

ðèçîíòàëüíî áðîøåí êàìåíü ñî ñêî-

ðîñòüþ υ0 = 15ì/ . Íàéòè êèíåòè-

÷åñêóþ T è ïîòåíöèàëüíóþ U ýíåð-

ãèè êàìíÿ ÷åðåç t = 1ñ ïîñëå íà÷àëà

äâèæåíèÿ. Ìàññà êàìíÿ m = 0, 2êã

�åøåíèå: Íàéäåì êèíåòè÷åñêóþ

ýíåðãèþ T

T =mυ2

2=

m(υ2x + υ2y)

2.

Òàê êàê â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âðåìåíè t υx = υ0 è

υy = −gt, òî

T =m[υ2

0+ (gt)2]

2= 32, 2Äæ .

24 Çàäà÷è

Âûñîòà êàìíÿ â ìîìåíò t îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé y = h −gt2

2

, ïîýòîìó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà

U = mgy = mg(

h− gt2

2

)

= 39, 4Äæ .

3.3. ßâëÿåòñÿ ëè ñèëà F = (y2 − x2)ex +3xyey êîíñåðâàòèâíîé.

�åøåíèå: Ïî îïðåäåëåíèþ ñèëà

x

y

O

A

B

1

1

p/4

�èñ. 8.

F êîíñåðâàòèâíà, åñëè ðàáîòà ñèëû

íà ïåðåìåùåíèè èç îäíîé òî÷êè â

äðóãóþ íå çàâèñèò îò ïóòè, âäîëü

êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå.

�àññìîòðèì ðàáîòó ñèëû ïðè ïå-

ðåìåùåíèè èç òî÷êè O â òî÷êó B

âäîëü äâóõ ïóòåé - OAB è OB â

ïëîñêîñòè (xy) (ðèñ. 8). Íàéäåì ðà-

áîòó âäîëü OAB

AOAB = AOB +AAB .

Íà îòðåçêå OA y = 0, ïåðåìåùåíèå ds = dx è ïðîåêöèÿ âåêòîðà

ñèëû íà íàïðàâëåíèå ïåðåìåùåíèÿ ðàâíà Fτ = Fx. Îòêóäà

AAO =

∫ A

OFτds =

∫

1

0

Fxdx =

∫

1

0

(−x2)dx = −x3

3

∣

∣

∣

1

0

= −1

3.

Íà îòðåçêå AB ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñèëû íà îñü y ðàâíà íóëþ,

Fτ = Fy = 0, ïîýòîìó AAB = 0, îòêóäà ïîëó÷àåì

AOAB = −1

3.

Íàéäåì ðàáîòó âäîëü OB. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñèëû íà ïåðåìåùå-

íèå âäîëü OB ðàâíà Fτ = FOB = FeOB, ãäå eOB åäèíè÷íûé âåê-

òîð âäîëü OB

eOB =

−−→OB

|−−→OB|.

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 25

Òàê êàê

−−→OB - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè B, òî åãî ïðîåêöèè ðàâíû−−→

OB = (1, 1, 0) è |−−→OB| =√2. Òîãäà âåçäå íà OB

Fτ = FeOB = Fx1√2+ Fy

1√2+ Fz · 0 =

1√2(y2 − x2) = 0 .

ïîñêîëüêó íà OB x = y. Îòêóäà AOB = 0. Òàê êàê AOAB 6= AOB,

ñèëà íå êîíñåðâàòèâíà.

3.4. Ïóëÿ ìàññû m = 9, 5ã, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíàëüíî, ïîïàäàåò â

äåðåâÿííûé áëîê ìàññû M = 5, 4êã, âèñÿùèé íà äâóõ äëèííûõ

íèòÿõ, è çàñòðåâàåò â íåì (ñì. ðèñ. 9). Ïîñëå ýòîãî áëîê, âðàùàÿñü

íà íèòÿõ, ïîäíèìàåòñÿ íà âûñîòó h = 6, 3ñì. a) Íàéòè ñêîðîñòü

ïóëè υ; á) ïîòåðþ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïðè ñòîëêíîâåíèè.

�åøåíèå: à)  äàííîì ñëó-

hMm

�èñ. 9.

÷àå ñòîëêíîâåíèå ïóëè è è áëî-

êà àáñîëþòíî íåóïðóãîå. Åñëè

ñêîðîñòü áëîêà ñ ïóëåé íåïî-

ñðåäñòâåííî ïîñëå ñòîëêíîâå-

íèÿ îáîçíà÷èòü ÷åðåç u, òî èç

çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà áó-

äåì èìåòü

mυ = (m+M)u ,

îòêóäà

u =mυ

m+M.

Ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.Òàê

êàê íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåð-

ãèÿ ðàâíà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè áëîêà ñ ïóëåé, à íà âûñîòå h ïî-

òåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, òî

1

2(m+M)u2 = (m+M)gh

èëè, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ u,

m2υ2

2(m+M)= (m+M)gh .

26 Çàäà÷è

Îòêóäà íàõîäèì äëÿ ñêîðîñòè ïóëè

υ =(m+M)

m

√

2gh = 633ì/ñ.

á) Ïîòåðÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíà ðàçíîñòè êèíåòè÷åñêîé

ýíåðãèè áëîêà ñ ïóëåé íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ è íà-

÷àëüíîé ýíåðãèåé ïóëè

∆E =m2υ2

2(m+M)− mυ2

2= −

(

1− m

m+M

)mυ2

2= −1, 9êÄæ .

3.5. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññû m

v0

ax

y

z

vrmg

lO

e

�èñ. 10.

áðîøåíà ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó

ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ υ0 (ðèñ. 10).

Òðàåêòîðèÿ ïîëåòà ÷àñòèöû ëåæèò

â ïëîñêîñòè x y. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðî-

òèâëåíèåì âîçäóõà, íàéòè â ïðîèç-

âîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t: à) ìî-

ìåíò N ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷à-

ñòèöó, îòíîñèòåëüíî òî÷êè O; á) ìî-

ìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû M îòíîñè-

òåëüíî òî÷êè O.

�åøåíèå: à) Âåëè÷èíà ìîìåíòà ðàâíà N = lmg, ãäå l - ïëå÷î

ñèëû òÿæåñòè, ðàâíîå äëèíå ïóòè òî÷êè âäîëü îñè x, ò.å. x =υ0t cosα. Îòêóäà N = mgυ0t cosα. ÂåêòîðN íàïðàâëåí çà ÷åðòåæ,

ïîýòîìó

N = −mgυ0t cosα ez ,

ãäå ez - îðò âäîëü îñè z.

á) Ìîìåíò èìïóëüñà ðàâåí M = [r,mv], ãäå

r = υ0t−1

2gt2 υ = υ0 − gt

è g = (0, g) (g - óñêîðåíèå ñâîáîäíî ïàäåíèÿ). Òîãäà, èñïîëüçóÿ

ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîëó÷èì

M = m[υ0t−1

2gt2, υ0−gt] = mt2[υ0, g]+

1

2mt2[g, υ0] =

1

2mt2[υ0, g] .

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 27

c

F F

1 2

R2

O

a a

aa

2r1

N

N

N

cO

r1

2

�èñ. 11. �èñ. 12.

Ìîäóëü ìîìåíòà ðàâåí

M =1

2mt2υ0g sin(α +

π

2) =

1

2mgυ0t

2 cosα .

Òàê êàê ìîìåíò íàïðàâëåí çà ÷åðòåæ, òî M = −1

2mgυ0t

2 cosα ez.

3.6. Ê êðàþ îäíîðîäíîé ïëàñòèíêè øèðèíû 2R ïåðïåíäèêóëÿð-

íî åå ïëîñêîñòè è ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåíòðà èíåðöèè C

ïðèëîæåíû äâå ðàâíûå ñèëû F (ðèñ. 11) Íàéòè ðåçóëüòèðóþùèé

ìîìåíò ñèë.

�åøåíèå: Ìîìåíòû ñèë, ïðèëîæåííûõ â òî÷êàõ 1 è 2, ëåæàò

â ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè (ñì. ðèñ. 12) è ðàâíû N1 = N2 = rF , ãäå

r1 = r2 = r. �åçóëüòèðóþùèé ìîìåíò ëåæèò âäîëü îñè CO è ðàâåí

ïî âåëè÷èíå N = 2rF cosα. Òàê êàê r cosα = R, òî N = 2RF .

Çàäà÷è

3.7. Ïðè ïîäúåìå ãðóçà m = 2êã íà âûñîòó h = 1ì ñèëà F ñî-

âåðøàåò ðàáîòó A = 78, 5Äæ. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì ïîäíèìàåòñÿ

ãðóç?

Îòâåò: a = 29, 4ì/ñ2.

3.8. Êàêóþ ìîùíîñòü P ðàçâèâàåò äâèãàòåëü àâòîìîáèëÿ ìàññû

m = 1ò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî àâòîìîáèëü åäåò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðî-

ñòüþ υ = 36êì/÷: à) ïî ãîðèçîíòàëüíîé äîðîãå; á)â ãîðó ñ óêëîíîì

5ì íà êàæäûå 100ì ïóòè; â)ïîä ãîðó ñ òåì æå óêëîíîì? Êîý��è-

öèåíò òðåíèÿ k = 0, 07.

Îòâåò: à)P = 6, 9êÂò; á)P = 11, 8êÂò; â)P = 2êÂò.

28 Çàäà÷è

3.9. Íåáîëüøîå òåëî ìàññû m ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ âòàùèëè

íà ãîðêó, äåéñòâóÿ ñèëîé F , êîòîðàÿ â êàæäîé òî÷êå íàïðàâëåíà

ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè (ðèñ. 13). Íàéòè ðàáîòó ýòîé ñèëû,

åñëè âûñîòà ãîðêè h, äëèíà îñíîâàíèÿ l, êîý��èöèåíò òðåíèÿ k.

Îòâåò: A = mg(h + kl).

3.10. Êàêóþ ðàáîòó A íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû çàñòàâèòü äâèæó-

ùååñÿ òåëî ìàññîé m = 2êã: à) óâåëè÷èòü ñêîðîñòü ñ υ = 2ì/ äî

υ = 5ì/ ; á)îñòàíîâèòüñÿ ïðè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè υ0 = 8ì/ .

Îòâåò: à) A = 21Äæ; á) A = −64Äæ.

3.11. Äëÿ ÷àñòèöû ìàññû m èçâåñòíà çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè åå

ñêîðîñòè υ = atex + bt2ey + ct3ez, ãäå a, b, c - ïîñòîÿííûå. Íàéòè

ìîùíîñòü P (t), ðàçâèâàåìóþ ñèëîé, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó.

Îòâåò: P = a2t+ 2b2t3 + 3c2t5.

3.12. Êàìåíü, ïóùåííûé ïî ïîâåðõíîñòè ëüäà ñî ñêîðîñòüþ υ =3ì/ , ïðîøåë äî îñòàíîâêè ðàññòîÿíèå s = 20, 4ì. Íàéòè êîý��è-

öèåíò òðåíèÿ k êàìíÿ î ëåä.

Îòâåò: k =υ2

2gs= 0, 02.

3.13. Âàãîí ìàññîé m = 20ò, äâèãàÿñü ðàâíîçàìåäëåííî ñ íà÷àëü-

íîé ñêîðîñòüþ υ0 = 54êì/÷, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òðåíèÿ F

òð

=

6êÍ ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ îñòàíàâëèâàåòñÿ. Íàéòè ðàáîòó A ñèë

òðåíèÿ è ðàññòîÿíèå s, êîòîðîå âàãîí ïðîéäåò äî îñòàíîâêè.

h

l

F

Hh

�èñ. 13. �èñ. 14.

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 29

Îòâåò: A = −2, 25ÌÄæ; s =mυ2

0

2F

òð

= 375ì.

3.14.Êàìåíü ïàäàåò ñ íåêîòîðîé âûñîòû â òå÷åíèå âðåìåíè t =1, 43ñ. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ T è ïîòåíöèàëüíóþ U ýíåðãèè êàìíÿ

â ñðåäíåé òî÷êå ïóòè. Ìàññà êàìíÿ m = 2êã.

Îòâåò: T = U = 98Äæ.

3.15. Êàìåíü áðîøåí ñî ñêîðîñòüþ υ = 15ì/ ïîä óãëîì α = 60◦

ê ãîðèçîíòó. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ T è ïîòåíöèàëüíóþ U ýíåðãèè

êàìíÿ: à) ÷åðåç âðåìÿ t = 1ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ; á) â âûñøåé

òî÷êå òðàåêòîðèè. Ìàññà êàìíÿ m = 0, 2êã.

Îòâåò: à) T = 6, 6Äæ, U = 15, 9Äæ; á) T = 5, 6Äæ, U = 16, 9Äæ

3.16. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû èìååò âèä:à) U = ax3 +bx2 + cz; á) U = axyz, ãäå a, b, c ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòü ñèëó F,

äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó.

Îòâåò: à)(3ax2 + 2bx, 0, c); á)(ayz, axz, axy).

3.17.Øàéáà ìàññû m ñîñêàëüçûâàåò ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v1 ñ

âåðøèíû ãîðêè âûñîòû H è çàòåì ïîäíèìàåòñÿ íà ãîðêó âûñîòû

h < H (ðèñ. 14). Ïðè ýòîì ñèëà òðåíèÿ ñîâåðøàåò íàä øàéáîé

ðàáîòó A

òð

. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ãîðêè ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïëàâíî,

îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ ñêîðîñòü øàéáû.

Îòâåò: v2 =√

v21+ 2A

òð

/m+ 2g(H − h).

3.18.Íåáîëüøàÿ ìó�òî÷êà ìàññûm = 0, 15êã

R

F

1

2

�èñ. 15.

äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîìó ïðîâîäó , èçîãíóòî-

ìó â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè â âèäå äó-

ãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R = 50ñì (ðèñ. 15,

âèä ñâåðõó).  òî÷êå 1, ãäå ñêîðîñòü ìó�-

òî÷êè v0 = 7, 5ì/ñ, íà íåå íà÷àëà äåéñòâî-

âàòü ïîñòîÿííàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ñèëà F =30Í. Íàéòè ñêîðîñòü ìó�òî÷êè â òî÷êå 2.

Îòâåò: v =√

v20+ 2FR/m = 16ì/ñ.

3.19. Ìÿ÷, ëåòÿùèé ñî ñêîðîñòüþ υ1 = 15ì/ , îòáðàñûâàåòñÿ

óäàðîì ðàêåòêè â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ

υ2 = 20ì/ . Íàéòè èçìåíåíèå èìïóëüñà m∆υ ìÿ÷à, åñëè èçâåñòíî,

÷òî èçìåíåíèå åãî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ∆T = 8, 75Äæ.

30 Çàäà÷è

Îòâåò: m∆υ =2∆T

υ2 − υ1= 3, 5 êã · ì/ .

3.20. Èç ðóæüÿ ìàññîé m1 = 5êã âûëåòàåò ïóëÿ ìàññîé m2 = 5ã

ñî ñêîðîñòüþ υ2 = 600ì/ñ. Íàéòè ñêîðîñòü υ1 îòäà÷è ðóæüÿ.

Îòâåò: υ1 =m1

m2

υ2 = 0, 6ì/ñ.

3.21. ×åëîâåê ñ ìàññîé m1 = 60êã, áåãóùèé ñî ñêîðîñòüþ υ1 =8êì/÷, äîãîíÿåò òåëåæêó ìàññîé m2 = 80êã, äâèæóùóþñÿ ñî ñêî-

ðîñòüþ υ2 = 2, 9êì/÷, è âñêàêèâàåò íà íåå. à) Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ

u áóäåò äâèãàòüñÿ òåëåæêà? á) Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u′ áóäåò äâè-

ãàòüñÿ òåëåæêà, åñëè ÷åëîâåê áåæàë åé íàâñòðå÷ó?

Îòâåò: à) u = 5, 14 êì/÷; á) u′ = 1, 71êì/÷.

3.22. Êîíüêîáåæåö ìàññîé M = 70êã, ñòîÿ íà êîíüêàõ íà ëüäó,

áðîñàåò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè êàìåíü ñ ìàññîé m = 3êã

ñî ñêîðîñòüþ υ = 8ì/ñ. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå s îòêàòèòñÿ ïðè ýòîì

êîíüêîáåæåö, åñëè êîý��èöèåíò òðåíèÿ êîíüêîâ î ëåä k = 0, 02?

Îòâåò: s =m2υ2

2M2kg= 0, 3ì.

3.23. Òåëî ìàññîé m1 = 1êã, äâèæóùååñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêî-

ðîñòüþ υ1 = 1ì/ñ, äîãîíÿåò âòîðîå âòîðîå òåëî ìàññîé m = 0, 5êã

è íåóïðóãî ñîóäàðÿåòñÿ ñ íèì. Êàêóþ ñêîðîñòü u ïîëó÷àò òåëà,

åñëè: à) âòîðîå òåëî ñòîÿëî íåïîäâèæíî; á) âòîðîå òåëî äâèãàëîñü

ñî ñêîðîñòüþ υ2 = 0, 5ì/ñ â íàïðàâëåíèè, ÷òî è ïåðâîå òåëî; â)

âòîðîå òåëî äâèãàëîñü ñî ñêîðîñòüþ υ2 = 0, 5ì/ñ â íàïðàâëåíèè,

ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ïåðâîãî òåëà.

Îòâåò: à)u = 0, 67 ì/ ; á)u = 0, 3 ì/ ; â)u = 0, 5 ì/

3.24. Òåëî ìàññû m1 = 2êã äâèæåòñÿ íàâñòðå÷ó âòîðîìó òåëó

ìàññîé m2 = 1, 5êã è àáñîëþòíî íåóïðóãî ñîóäàðÿåòñÿ ñ íèì.

Ñêîðîñòè òåë íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä óäàðîì áûëè υ1 = 1ì/ñ è

υ2 = 2ì/ñ. Êàêîå âðåìÿ t áóäóò äâèãàòüñÿ ýòè òåëà ïîñëå óäàðà,

åñëè êîý��èöèåíò êîý��èöèåíò òðåíèÿ k = 0, 05/

Îòâåò: t =m2υ2 −m1υ1kg(m1 +m2)

= 0, 58c.

3.25. Òåëî ñ ìàññîé m = 2êã äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ υ1 = 3ì/ñ è

íàãîíÿåò òåëî ìàññîé m2 = 8êã, äâèæóùååñÿ ñî ñêîðîñòüþ υ2 =1ì/ñ. Ñ÷èòàÿ óäàð öåíòðàëüíûì, íàéòè ñêîðîñòè u1 è u2 òåë ïîñëå

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ 31

r

o

m v

b n ha

n

O

�èñ. 16. �èñ. 17.

óäàðà, åñëè óäàð à)íåóïðóãèé; á) óïðóãèé.

Îòâåò: à)u1 = u2 = 1, 4 ì/ ; á) u1 = −0, 2ì/ñ, u2 = 1, 8ì/ñ.

3.26. Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî, ïîïàäàåò â øàð, ïîäâåøåí-

íûé íà íåâåñîìîì æåñòêîì ñòåðæíå, è çàñòðåâàåò â íåì. Ìàññà

ïóëè â 1000 ðàç ìåíüøå ìàññû øàðà. �àññòîÿíèå îò öåíòðà øàðà

äî òî÷êè ïîäâåñà ñòåðæíÿ l = 1ì. Íàéòè ñêîðîñòü υ, åñëè èç-

âåñòíî, ÷òî ñòåðæåíü ñ øàðîì îòêëîíèëñÿ îò óäàðà ïóëè íà óãîë

α = 10◦.

Îòâåò: υ = 550ì/ñ.

3.27. Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî, ïîïàäàåò â øàð, ïîäâåøåí-

íûé íà íåâåñîìîì æåñòêîì ñòåðæíå, è çàñòðåâàåò â íåì. Ìàññà

ïóëè m1 = 5ã, ìàññà øàðà m2 = 0, 5êã. Ñêîðîñòü ïóëè υ = 550ì/ñ.

Ïðè êàêîì ïðåäåëüíîì ðàññòîÿíèè l îò öåíòðà øàðà äî òî÷êè

ïîäâåñà ñòåðæíÿ øàð îò óäàðà ïóëè ïîäíèìåòñÿ äî âåðõíåé òî÷êè

îêðóæíîñòè?

Îòâåò: l =m2

1υ2

4g(m1 +m2)= 0, 64ì.

3.28.×àñòèöà ìàññûm äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ñî ñêîðîñòüþ υ (ðèñ. 16).

Íàéòè ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî òî÷êè O, îòñòîÿ-

ùåé îò ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèè b ( n - åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëü-

íûé çà ïëîñêîñòü ðèñóíêà).

Îòâåò: M = mυbn.

3.29.Íåáîëüøîå òåëî ìàññû m íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ñ âåðøèíû íà-

êëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 17). ×åðåç n îáîçíà÷åíà íîðìàëü ê ïëîñ-

êîñòè ÷åðòåæà. Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ:

à) ìîìåíòà N ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òåëî, îòíî-

32 Çàäà÷è

ñèòåëüíî òî÷êè O;

á) ìîìåíòà èìïóëüñà M òåëà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O.

Îòâåò: à) N = 1

2mgh sin 2α · n; á) M = 1

2mght sin 2α · n.

4. Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà

Óãëîâàÿ ñêîðîñòü. Ïóñòü òâåðäîå âðàùàåòñÿ â äàííûé ìîìåíò

âðåìåíè t âîêðóã íåêîòîðîé îñè l (îñü âðàùåíèÿ) è óãîë ϕ, îòñ÷è-

òûâàåìûé îò íåêîòîðîãî �èêñèðîâàííîãî íàïðàâëåíèÿ, îïðåäå-

ëÿåò ïîâîðîò òåëà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ.

Óãëîâîé ñêîðîñòüþ òåëà íàçûâàåòñÿ âåêòîð ω, âåëè÷èíà êîòîðîãî

ðàâíà

ω = |ω| = dϕ

dt= ϕ

è íàïðàâëåííûé âäîëü îñè âðàùåíèÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èç åãî

êîíöà âðàùåíèå òåëà áûëî âèäíî ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé

ñòðåëêè. Åñëè îñü âðàùåíèÿ â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ïðîõîäèò

÷åðåç íåïîäâèæíóþ òî÷êó òåëà, òî îíà íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííîé

îñüþ âðàùåíèÿ.

Ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà. Ìîìåíò èìïóëüñà (óãëîâîé

ìîìåíò) òâåðäîãî òåëà âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè z:

Mz = Iω .Ìîìåíò èíåðöèè. Ìîìåíòîì èíåðöèè òåëà, ñîñòîÿùåãî èç äèñ-

êðåòíûõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, îòíîñèòåëüíî îñè l íàçûâàåòñÿ âå-

ëè÷èíà

Jl =∑

mir2

i ,

ãäå mi - ìàññà i-é òî÷êè, à ri åå ðàññòîÿíèå äî îñè l.

Ïðè íåïðåðûâíîì ðàñïðåäåëåíèè ìàññû âíóòðè îáúåìà òåëà ìî-

ìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè l îïðåäåëÿåòñÿ êàê

Jl =

∫

r2 dm ,

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 33

ãäå r ðàññòîÿíèå ýëåìåíòà ìàññû dm äî îñè l è èíòåãðàë îçíà÷àåò

ñóììèðîâàíèå ïî ýëåìåíòàì ìàññû dm.

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè z èìååò

âèä

Jzε = Nz ,

ãäå ε = ω - óãëîâîå óñêîðåíèå è Nz ïðîåêöèÿ íà îñü z ñóììàðíîãî

ìîìåíòà âíåøíèõ ñèë.

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâåðäî-

x

xD

D mO x

y

�èñ. 18.

ãî òåëà.Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâåð-

äîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã íåïî-

äâèæíîé îñè

T = Jω2/2 .

�åøåíèå çàäà÷

4.1. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè òîíêîãî îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ äëè-

íû l è ìàññû m îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð

ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòåðæíþ.

�åøåíèå : Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 18.

�àçîáúåì ñòåðæåíü íà ìàëûå ýëåìåíòû äëèíû∆x. Åñëè∆m ìàññà

ýëåìåíòà, îòñòîÿùåãî îò îñè y íà ðàññòîÿíèè x, òî ìîìåíò èíåðöèè

ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî îñè y ðàâåí

Jy =∑

x2∆m,

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì îòðåçêàì ∆x. Òàê êàê ñòåð-

æåíü îäíîðîäíûé è åãî ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà, òî

m

l=

∆m

∆x,

îòêóäà ∆m =m

l∆x. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â ñóììó è ïåðåõîäÿ

ê ïðåäåëó ∆x → 0, ïîëó÷èì

Jy =m

l

∑

x2∆x → m

l

∫ l/2

−l/2x2 dx =

m

l

x3

3

∣

∣

∣

l/2

−l/2=

ml2

12.

34 Çàäà÷è

4.2.Ê îáîäó îäíîðîäíîãî òîíêîãî äèñêà ðàäèóñîì R = 0, 2ì è ìàñ-

ñû m = 7, 36êã ïðèëîæåíà êàñàòåëüíàÿ ñèëà F = 98, 1Í (ðèñ. 19).

Äèñê âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, ñîïðèêàñàÿñü â íèæ-

íåé òî÷êå ñ íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòüþ, è èñïûòûâàåò ñèëó òðåíèÿ

F

òð

= 49, 05Í. Çíà÷êîì ⊙ îáîçíà÷åí åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè

n. Íàéòè óãëîâóþ ñêîðîñòü ω âðàùåíèÿ äèñêà ÷åðåç t = 1ñ ïîñëå

íà÷àëà äâèæåíèÿ.

�åøåíèå : Äëÿ ðåøåíèÿ èñïîëüçóåì óðàâíåíèå âðàùàòåëüíîãî

äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè

Jε = N +N

òð

,

ãäå ε = ω - óãëîâîå óñêîðåíèå, J = mR2/2 - ìîìåíò èíåðöèè

äèñêà, à N è N

òð

- ìîìåíòû ñèë îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ. Íà-

ïðàâëåíèå ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî öåíòðà èíåðöèè èíåðöèè

ïîêàçàíû íà ðèñóíêå. Òàê êàê N = FRn è N

òð

= −F

òð

Rn, òî ïðî-

åêöèè ìîìåíòîâ íà îñü âðàùåíèÿ (íàïðàâëåííóþ âäîëü n) ðàâíû

N = FR, N

òð

= −F

òð

R. Îòêóäà

Jω = R(F − F

òð

) .

Òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ïîñòîÿííà, òî

ω =2tR(F − F

òð

)

mR2= 66, 6ðàä/c2 .

F

Fтр

R

N

Nтр

n

L 2/

C

O

1

2

�èñ. 19. �èñ. 20.

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 35

4.3. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü, îäèí êîíåö êîòîðîãî çàêðåïëåí, ñâî-

áîäíî âðàùàåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè âîêðóã îñè, ïðîõîäÿ-

ùåé ÷åðåç òî÷êó O (ðèñ. 20). Ñòåðæåíü íà÷èíàåò äâèæåíèå èç

ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Íàéòè óãëîâóþ ñêîðîñòü, êîãäà ñòåð-

æåíü çàéìåò âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå.

�åøåíèå : Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñòåðæ-

íÿ îò åå çíà÷åíèÿ êîãäà ñòåðæåíü íàõîäèòñÿ â âåðòèêàëüíîì ïî-

ëîæåíèè, ò.å. â ýòîì ïîëîæåíèè ñòåðæåíü èìååò íóëåâóþ ïîòåí-

öèàëüíóþ ýíåðãèþ. Êîãäà ñòåðæåíü íàõîäèòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì

ïîëîæåíèè óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñòåðæíÿ ðàâíà íóëþ. Ýòî

ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà ω = υ/L = 0, ãäå υ - ñêîðîñòü ïðàâîãî êîí-

öà ñòåðæíÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè. Ïîýòîìó

êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñòåðæíÿ â ýòîì ïîëîæåíèè (ïîëîæåíèå 2)

ðàâíà íóëþ

T =Jω2

2

2= 0 ,

ãäå J = ML2/3 - ìîìåíò èíåðöèè ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî âåðòè-

êàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

ñòåðæíÿ â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè ðàâíà

U = MgL

2,

ò.ê. âûñîòà öåíòðà èíåðöèè ðàâíà L/2. Êîãäà ñòåðæåíü äîñòèãà-

åò íèæíåãî ïîëîæåíèÿ, ýíåðãèÿ ñòåðæíÿ ðàâíà åãî êèíåòè÷åñêîé

ýíåðãèè Jω2

1/2. Òîãäà, èñïîëüçóÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè

1

2Jω2

1+ 0 = 0 +Mg

L

2,

ïîëó÷àåì

ω1 =

√

MgL

J=

√

MgL1

3ML2

=

√

3g

L.

4.4. Ìàÿòíèê Ìàêñâåëëà. Íåáîëüøîé äèñê ìàññû m è ðàäèóñà R,

íàñàæåííûé íà îñü, îïóñêàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè íà

36 Çàäà÷è

T

T

ve

N

AA

C

C

C

ss j

�èñ. 21. �èñ. 22.

äâóõ íèòÿõ, ïðåäâàðèòåëüíî íàìîòàííûõ íà îñü äèñêà (ðèñ. 21).

Íàéòè óñêîðåíèå a öåíòðà ìàññ äèñêà è íàòÿæåíèå íèòåé T .

�åøåíèå: Ïðè äâèæåíèè äèñêà âíèç íèòè ðàçìàòûâàþòñÿ äî

ïîëíîé äëèíû. Äîñòèãíóâ ìàêñèìàëüíîé äëèíû íèòè, äèñê ïðî-

äîëæàåò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå â òîì æå íàïðàâëåíèè è íà÷è-

íàåò íàìàòûâàòü íèòè íà îñü, âñëåäñòâèå ÷åãî îí ïîäíèìàåòñÿ

ââåðõ, çàìåäëÿÿ ïðè ýòîì ñâîå âðàùåíèå. Äîéäÿ äî âåðõíåé òî÷-

êè, äèñê îïÿòü áóäåò îïóñêàòüñÿ âíèç è.ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, äèñê

áóäåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ ââåðõ è âíèç, ïîýòîìó òàêîå óñòðîé-

ñòâî è íàçûâàþò ìàÿòíèêîì.

Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ öåíòðà èíåðöèè C è óðàâ-

íåíèå äëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè äèñêà.

ma = mg − 2T (1)

Jε = N , (2)

ãäå ε - óãëîâîå óñêîðåíèå âîêðóã îñè äèñêà, à N = 2TR - ìîìåíò

âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî òîé æå îñè. (ñì. çàäà÷ó 3.6). Íàéäåì

ñâÿçü ìåæäó óñêîðåíèåì a è óãëîâûì óñêîðåíèåì ε. Äëÿ ýòîãî

çàìåòèì, ÷òî öåíòð ìàññ C îïóñêàåòñÿ íà òàêîå ðàññòîÿíèå, íà

êàêóþ äëèíó ðàçìàòûâàåòñÿ íèòü (ñì. ðèñ. 22 ). Åñëè çà âðåìÿ

t ö.ì. ñìåñòèëñÿ íà ðàññòîÿíèå s, à äèñê ïîâåðíóëñÿ íà óãîë ϕ,

Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 37

òî s = Rϕ. Ïîýòîìó äè��åðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî äâà ðàçà ïî t,

ïîëó÷èì

a = Rε. (3)

�åøàÿ óðàâíåíèÿ (1), (2) è (3) îòíîñèòåëüíî òðåõ ïåðåìåííûõ T ,

a è ε, íàõîäèì óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ

a =mg

m+ J/R2

è ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè

T =mg

2

J

J +mR2.

Ïîñëåäíèå äâå �îðìóëû îïðåäåëÿþò óñêîðåíèå è ñèëû íàòÿæå-

íèÿ âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî ââåðõ èëè âíèç äâèæåòñÿ äèñê. Ïðè

êîëåáàíèÿõ òîëüêî ñêîðîñòü ìåíÿåò çíàê, à óñêîðåíèå è ñèëû íà-

òÿæåíèÿ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè.

Çàäà÷è

4.5. Âû÷èñëèòü ìîìåíò èíåðöèè ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî îñè, ïåð-

ïåíäèêóëÿðíîé ñòåðæíþ è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî êîíöîâ

äâóìÿ ñïîñîáàìè: à) èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, êàê â çàäà÷å 4.1; á)

ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Øòåéíåðà. Ìàññà ñòåðæíÿ - m, äëèíà - L.

Îòâåò: J = mL2/3

4.6.Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíû l = 1ì

eN

�èñ. 23.

è ìàññîé m = 0, 5êã âðàùàåòñÿ â âåðòè-

êàëüíîé ïëîñêîñòè âîêðóã âåðòèêàëüíîé

îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ñòåðæ-

íÿ (ðèñ. 23). Ñ êàêèì óãëîâûì óñêîðåíè-

åì ε âðàùàåòñÿ ñòåðæåíü, åñëè íà íåãî

äåéñòâóåò ìîìåíò ñèë N = 98, 1ìÍ·ì.

Îòâåò: ε =12

ml2= 2, 35ðàä/c2.

38 Çàäà÷è

4.7. Îäíîðîäíûé äèñê ðàäèóñîì R = 0, 2ì è ìàññîé m = 0, 5êã

âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð, ïåðïåíäèêó-

ëÿðíî åãî ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì êàñàòåëüíîé ñèëû F . Çàâèñè-

ìîñòü óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ω îò âðåìåíè äàåòñÿ �îðìóëîé

ω = A+Bt, ãäå B = 8ðàä/c2. Íàéòè êàñàòåëüíóþ ñèëó F .

Îòâåò: F = mBR/2 = 0, 4Í.

4.8. Îäíîðîäíûé äèñê, ìîìåíò èíåðöèè êîòîðîãî îòíîñèòåëüíî

åãî îñè J = 63, 6êãì2

âðàùàåòñÿ âîêðóã ýòîé îñè ñ ïîñòîÿííîé

óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = 31, 4 ðàä/ñ. Íàéòè ìîìåíò N ïîñòîÿííîé

ñèëû òîðìîæåíèÿ, êîòîðóþ íàäî ïðèëîæèòü ê äèñêó, ÷òîáû îí

îñòàíîâèëñÿ ÷åðåç âðåìÿ t = 20c.

Îòâåò: N ≈ 100Íì.

4.9. Ê îáîäó êîëåñà ðàäèóñîì R = 0, 5ì è ìàññîé m = 50êã ïðè-

ëîæåíà êàñàòåëüíàÿ ñèëà F = 98, 1Í. Íàéòè óãëîâîå óñêîðåíèå ε

êîëåñà. ×åðåç êàêîå âðåìÿ t ïîñëå íà÷àëà äåéñòâèÿ ñèëû êîëåñî

áóäåò èìåòü ÷àñòîòó âðàùåíèÿ ν = 100îá/ñ? Êîëåñî ñ÷èòàòü îä-

íîðîäíûì äèñêîì. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü.

Îòâåò: t = 2πν/ε = 80ñ.

4.10. Ê îáîäó îäíîðîäíîãî äèñêà ðàäèóñà R =

m

�èñ. 24.

0, 2ì ïðèëîæåíà êàñàòåëüíàÿ ñèëà F = 98, 1Í.

Ïðè âðàùåíèè íà äèñê äåéñòâóåò ìîìåíò ñèë

òðåíèÿ N

òð

= 98, 1Íì. Íàéòè ìàññó äèñêà m,

åñëè èçâåñòíî, ÷òî äèñê âðàùàåòñÿ ñ óãëîâûì

óñêîðåíèåì ε = 100ðàä/ñ2.

Îòâåò: m =2(RF −N

òð

)

εR2= 7, 36êã.

4.11. Íà îäíîðîäíûé öèëèíäð ìàññû m0 íà-

ìîòàíà íèòü, ê êîíöó êîòîðîé ïðèâÿçàí ãðóç ìàññû m = 2êã

(ðèñ. 24). Íàéòè óñêîðåíèå a ãðóçà.

4.12. Íà äèñê ðàäèóñîì R = 0, 5ì íàìîòàíà íèòü, ê êîíöó êîòîðîé

ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé m = 10êã. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè äèñêà J ,

åñëè èçâåñòíî, ÷òî ãðóç îïóñêàåòñÿ ñ óñêîðåíèåì a = 2, 04ì/ñ2.

Îòâåò: J =mR2(g − a)

a= 9, 5êãì2

.

Êîëåáàíèÿ 39

5. Êîëåáàíèÿ

Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ òåëà íàçûâà-

åòñÿ òàêîå åãî ïîëîæåíèå, â êîòîðîì ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåé-

ñòâóþùàÿ íà òåëî, ðàâíà íóëþ. Ïóñòü äâèæåíèå òåëà îïèñûâàåòñÿ

îäíîé êîîðäèíàòîé X è ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ åñòü X0. Ñìåùå-

íèåì èç ðàâíîâåñíîãî ïîëîæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü

x = X −X0 .

�àðìîíè÷åñêîå êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. �àðìîíè÷åñêèì êî-

ëåáàòåëüíûì äâèæåíèåì (ïðîñòûì ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì)

íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ñìåùåíèå èç ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó

x(t) = A cos(ωt+ α) .

Çäåñü A - àìïëèòóäà êîëåáàíèé, ω - óãëîâîé ÷àñòîòà êîëåáàíèé,

ωt+α - �àçà êîëåáàíèÿ è α - íà÷àëüíàÿ �àçà. ×àñòîòà êîëåáàíèÿ

ñâÿçàíà ñ ïåðèîäîì êîëåáàíèé ðàâåíñòâîì

T =2π

ω.

×èñëî êîëåáàíèé â åäèíèöó âðåìåíè (÷àñòîòà êîëåáàíèé) ðàâíî

ν =ω

2π.

Ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè ñìåùåíèå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå-

íèþ

x+ ω2x = 0 .

Òåëî, ñîâåðøàþùåå ïîñòîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, íàçûâàåòñÿ

ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì.

Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Åñëè ñìåùåíèå x(t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâ-

íåíèþ âèäà

x+ 2βx+ ω2

0x = 0 ,

40 Çàäà÷è

òî êîëåáàíèå íàçûâàåòñÿ çàòóõàþùèì. Êîý��èöèåíò β íàçûâàåò-

ñÿ êîý��èöèåíòîì çàòóõàíèÿ, ω0 - ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèë-

ëÿòîðà. ×àñòîòîé çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé ðàâíà

ω =√

ω2

0− β2 .

Ñìåùåíèå ïðè çàòóõàþùèõ êîëåáàíèÿõ ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó

x = Ae−βt cos(ωt+ α) .

Ëîãàðè�ìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ.

λ = βT =2πβ

ω,

ãäå T = 2π/ω - ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé.

�åøåíèå çàäà÷

5.1. Àìïëèòóäà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ A = 5ñì, ïåðèîä T =4ñ. Íàéòè ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü v

max

êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè è åå

ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå a

max

.

�åøåíèå:Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå òî÷-

m

xxx x = 0

m

m-

�èñ. 25.

êè, ñîâåðøàþùåé êîëåáàòåëüíîå äâè-

æåíèå îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè

v = x = −Aω sin(ωt+ α)

a = x = −Aω2 cos(ωt+ α) .

Ýòè âåëè÷èíû èìåþò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå êîãäà ñèíóñ è êîñè-

íóñ ðàâíû ±1. Îòêóäà v

max

= Aω = 2πA/T = 7, 85 · 10−2

ì/ñ è

a

max

= 0, 12ì/ 2.

5.2. Ïðîñòîé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ñîñòîèò èç áëîêà ìàññû

m = 2, 00êã, ïðèêðåïëåííîãî ê ïðóæèíå æåñòêîñòè k = 100Í/ì

(ðèñ. 25). Â ìîìåíò t = 1, 00ñ ïîëîæåíèå áëîêà ðàâíî x = 0, 129ì,

Êîëåáàíèÿ 41

à åãî ñêîðîñòü v = 3, 415ì/ñ. Íàéòè: à)àìïëèòóäó êîëåáàíèé ;

á)ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü áëîêà ïðè t = 0 .

�åøåíèå: à) Òàê êàê â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t

x = A cos(ωt+ α) , v = −ωA sin(ωt+ α) ,

òî

tg(ωt+ α) = − v

ωx.

Îòêóäà

ωt+ α = arctg

(−v

ωx

)

.

Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâåíñòâî ω =√

k/m = 7, 07ðàä/ñ è t = 1ñ, íàé-

äåì �àçó êîëåáàíèé â ýòîò ìîìåíò, ωt+α = −1, 31ðàä. Àìïëèòóäó

íàõîäèì èç ðàâåíñòâà

A =x

cos(ωt+ α)= 0, 5ì

ïðè t = 1ñ è x = 0, 129ì;

á)Èç ðàâåíñòâà ωt + α = −1, 31ðàä ïðè t = 1ñ íàéäåì íà÷àëü-

íóþ �àçó α = −8, 38ðàä. Îòêóäà x0 = A cosα = −0, 251ì è

v0 = −ωA sinα = 3, 06ì/ñ.

5.3. Íà ðèñ. 26 äâå îäèíàêîâûå ïðóæè-

m

�èñ. 26.

íû æåñòêîñòè k = 7580Í/ì ïðèêðåïëå-

íû ê áëîêó ìàññû m = 0, 245êã. Íàéòè

÷àñòîòó êîëåáàíèé áëîêà, ñêîëüçÿùåãî

ïî ïîâåðõíîñòè ïîëà.

�åøåíèå: Ïóñòü x1 - óäëèíåíèå ëåâîé ïðóæèíû, à x2 - ïðàâîé.

Òàê êàê ñóììàðíàÿ äëèíà ïðóæèí ïîñòîÿííà, òî x1 = −x2. Ïî

çàêîíó �óêà ñî ñòîðîíû ëåâîé ïðóæèíû íà áëîê äåéñòâóåò ñèëà

F1 = −kx1, ñî ñòîðîíû ïðàâîé - ñèëà F2 = kx2 = −kx1 (åñëè

ïðàâàÿ ïðóæèíà ñæàòà, òî x2 < 0 è ñèëà íàïðàâëåíà íàëåâî, åñëè

ðàñòÿíóòà, òî x2 > 0 è ñèëà íàïðàâëåíà âïðàâî). �åçóëüòèðóþùàÿ

ñèëà ðàâíà F = F1+F2. Åñëè x0 - ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ áëîêà, òî

42 Çàäà÷è

åãî òåêóùàÿ êîîðäèíàòà x ðàâíà x = x0+x1 = x0−x2 è óñêîðåíèå

åñòü a = x1 = −x2. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà òîãäà äàåòmx1 = −2kx1 .

Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå x = A cos(ωt+ α), ïîëó÷èì äëÿ êðó-

ãîâîé ÷àñòîòû ω2 = 2k/m. Îòêóäà ÷àñòîòà f = ω/2π ðàâíà f =39, 6�ö.

5.4. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè äàíî â âèäå x = 2cos(πt/2+π/4).

Íàéòè ïåðèîä êîëåáàíèé T , ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü v

max

è ìàê-

ñèìàëüíîå óñêîðåíèå a

max

òî÷êè.

Îòâåò: T = 4ñ , v

max

= 3, 14 · 10−2

ì/ñ, a

max

= 4, 93 · 10−2

ì/ñ

2

.

5.5. Òåëó, ñîâåðøàþùåìó ïðîñòîå ãàðìîíè÷åñêîå äâèæåíèå, òðå-

áóåòñÿ 0,25 ÷òîáû ïåðåìåñòèòüñÿ èç îäíîé òî÷êè â äðóãóþ, â êî-

òîðûõ îíî èìååò íóëåâóþ ñêîðîñòü. �àññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè

ðàâíî 36ñì. Âû÷èñëèòü: à) ïåðèîä; á) ÷àñòîòó; â) àìïëèòóäó äâè-

æåíèÿ.

Îòâåò: à) T = 0, 5 ; á) à f = 2, 0�ö; â)A = 18ñì.

5.6. Òåëî ìàññû m = 0, 12êã ñîâåðøàåò ïðîñòîå ãàðìîíè÷åñêîå

äâèæåíèå ñ àìïëèòóäîé A = 8, 5ñì è ïåðèîäîì T = 0, 2ñ. à)Íàéòè

âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíîé ñèëû äåéñòâóþùåé íà òåëî; á)åñëè êîëå-

áàíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ âñëåäñòâèå äå�îðìàöèè ïðóæèíû, íàéòè

æåñòêîñòü ïðóæèíû.

Îòâåò: à)10Í; á) 120Í/ì.

5.7. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàòåëüíîãî äâèæå-

íèÿ ñ àìïëèòóäîé A = 5ñì, åñëè çà âðåìÿ t = 1ìèí ñîâåðøàåòñÿ

150 êîëåáàíèé è íà÷àëüíàÿ �àçà êîëåáàíèé α = π/4. Íà÷åðòèòü

ãðà�èê ýòîãî äâèæåíèÿ.

Îòâåò: x = 0, 05 sin(5πt+ π/4).

5.8. ×åðåç êàêîå âðåìÿ îò íà÷àëà äâèæåíèÿ, òî÷êà ñîâåðøàþùàÿ

ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, ñìåñòèòüñÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ

íà ïîëîâèíó àìïëèòóäû? Ïåðèîä êîëåáàíèé T = 24ñ, íà÷àëüíàÿ

�àçà α = 0.

Îòâåò: t = 2ñ.

Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà 43

5.9. Îñöèëëÿòîð ñîñòîèò èç áëîêà ìàññû 0,5 êã, ñîåäèíåííîãî ñ

ïðóæèíîé (ðèñ. 25). Êîãäà ñèñòåìà ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ àìïëè-

òóäîé 0,35 ñì, îñöèëëÿòîð ïîâòîðÿåò êàæäîå ñâîå äâèæåíèå ÷åðåç

êàæäûå 0,5 ñ. Íàéòè: à)ïåðèîä; á) ÷àñòîòó; â) óãëîâóþ ÷àñòîòó;

ã)æåñòêîñòü ïðóæèíû; ä) ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü; å) âåëè÷èíó

ìàêñèìàëüíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà áëîê ñî ñòîðîíû ïðóæèíû.

Îòâåò: a) 0,5 ; á) 2ñ

−1

; â)12,6 ðàä/ñ; ã) 79,0 Í/ì; ä) 4,40 ì/ñ;

å)77,6 Í.

5.10. Ê ïðóæèíå ïîäâåøåí ãðóç ìàñ-

mk k

�èñ. 27.

ñîé m = 10êã. Èçâåñòíî, ÷òî ïðóæèíà

ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = 9, 8Í ðàñòÿ-

ãèâàåòñÿ íà l = 1, 5ñì. Íàéòè ïåðèîä

âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé ãðóçà.

Îòâåò: T = 2π√

ml/F = 0, 78ñ.

5.11. Íà ðèñ. 27 äâå ïðóæèíû ñîåäèíåíû âìåñòå è ïðèêðåïëåíû

ê áëîêó ìàññû m = 0, 245êã, êîòîðûé ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ íà

ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè Æåñåêîñòü êàæäîé ïðóæèíû k = 6430Í/ì.

Íàéòè ÷àñòîòó êîëåáàíèé f .

Îòâåò: f = (2π)−1√

k/2m = 18, 2�ö.

5.12. Íàéòè êîý��èöèåíò çàòóõàíèÿ β ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíè-

êà äëèíû l, åñëè çà ïåðèîä àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøèëàñü â

2 ðàçà.

Îòâåò: β = (1/2π)√

g/l(

ln 2/√

4π2 + ln2 2)

.

6. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà

Èäåàëüíûé ãàç. Èäåàëüíûì ãàçîì íàçûâàåòñÿ ãàç, äëÿ êîòîðîãî

óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä

pV = νRT

ãäå p - äàâëåíèå, V - îáúåì, çàíèìàåìûé ãàçîì, T - òåìïåðàòóðà,

èçìåðÿåìàÿ â êåëüâèíàõ, ν = m/M - ÷èñëî ìîëåé, m - ìàññà ãàçà,

44 Çàäà÷è

M - ìîëÿðíàÿ ìàññà, R = 8, 31Äæ/(ìîëü ·K) - ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.

Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî òàêæå â âèäå

pV = kNT ,

ãäå N - ÷èñëî ÷àñòèö â îáúåìå V , k = R/NA = 1, 38 · 10−23

Äæ/K -

ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, NA = 6, 022·1023ìîëü−1- ÷èñëî Àâîãàäðî.

Çàêîí Äàëüòîíà. Ïóñòü ñìåñü èäåàëüíûõ ãàçîâ íàõîäèòñÿ â îáú-

åìå V ïðè òåìïåðàòóðå T . Ñîãëàñíî çàêîíà Äàëüòîíà äàâëåíèå p

ñìåñè èäåàëüíûõ ãàçîâ ðàâíî ñóììå èõ ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé:

p =∑

i

pi =RT

V

∑

i

mi

Mi,

ãäå pi = (mi/Mi)RT/V - ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå i-ãî ãàçà, mi - åãî

ìàññà, à Mi - ìîëÿðíàÿ ìàññà.

�åøåíèå çàäà÷

6.1. Êàêóþ òåìïåðàòóðó T èìååò ìàññà m = 2ã àçîòà, çàíèìàþ-

ùåãî îáúåì V = 820ñì3

ïðè äàâëåíèè p = 0, 2 ÌÏà?

�åøåíèå: Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ

PV =m

MRT

ïîëó÷àåì

T =M

m

PV

R.

Ìîëÿðíàÿ ìàññà àçîòà (N2) M = 0028êã/ìîëü. Îòêóäà, ïîäñòàâ-

ëÿÿ ÷èñëåííûå äàííûå, íàõîäèì

T =0, 2 · 106 · 820 · 10−6 · 0, 028

2 · 10−38, 34= 275K .

6.2. ñîñóäå îáúåìîì V = 30ë ñîäåðæèòñÿ èäåàëüíûé ãàç ïðè

òåìïåðàòóðå 0◦Ñ. Ïîñëå òîãî êàê ÷àñòü áûëà âûïóùåíà íàðóæó,

äàâëåíèå â ñîñóäå ïîíèçèëîñü íà ∆p = 0, 78àòì (áåç èçìåíåíèÿ

Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà 45

òåìïåðàòóðû). Íàéòè ìàññó m âûïóùåííîãî ãàçà. Ïëîòíîñòü äàí-

íîãî ãàçà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ

1 ρ = 1, 3ã/ë .

�åøåíèå: Ïóñòü ïåðâîíà÷àëüíî ìàññà ãàçà áûëà m1, äàâëåíèå

p1 ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0◦Ñ. Ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû óðàâíåíèåì

ñîñòîÿíèÿ

p1V =m1

MRT0 ,

ãäå M - ìîëÿðíàÿ ìàññà è T0 - òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Êåëüâèíà.

Ïîñëå òîãî êàê ÷àñòü ãàçà ìàññû m1 áûëà âûïóùåíà, èìååì

(p1 −∆p)V =m2

MRT0 .

Âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà âòîðîå, ïîëó÷èì

∆p V =m1 −m2

MRT0 ,

îòêóäà

∆m = m1 −m2 =MV

RT0

∆p .

Íàéäåì íåèçâåñòíóþ ìîëÿðíóþ ìàññó. Òàê êàê ïðè íîðìàëüíûõ

óñëîâèÿõ â îáúåìå V ñîäåðæèòñÿ ìàññà m0 = ρV è

p0V =m0

MRT0 =

ρV

MRT0 ,

òî

M

RT0

=ρ

p0.

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

∆m = ρV∆p

p0= 0, 03êã

1

Ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ñîñòîÿíèå ãàçà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåìïåðàòóðîé

t = 0◦

C è äàâëåíèåì p0 = 1àòì = 1, 013 · 105Ïà

46 Çàäà÷è

Çàäà÷è

6.3. Êàêîé îáúåì V çàíèìàåò ìàññàm = 10ã êèñëîðîäà ïðè äàâëå-

íèè p = 100êÏà è òåìïåðàòóðå t = 20◦C. (M(O2) = 0, 032êã/ìîëü).

Îòâåò: V = 7, 6 · 10−3

ì

3

.

6.4. Áàëëîí îáúåìîì V = 12ë íàïîëíåí àçîòîì ïðè äàâëåíèè p =8, 1ÌÏà è òåìïåðàòóðå t = 17◦C. Êàêàÿ ìàññà m àçîòà íàõîäèòñÿ

â áàëëîíå?

Îòâåò: m = 1, 13êã.

6.5. Êàêèì äîëæåí áûòü íàèìåíüøèé îáúåì V áàëëîíà, âìåùàþ-

ùåãî ìàññóm = 6, 4êã êèñëîðîäà, åñëè åãî ñòåíêè ïðè òåìïåðàòóðå

t = 20◦C âûäåðæèâàþò äàâëåíèå p = 15, 7ÌÏà?

Îòâåò: V = 31ë.

6.6. Â áàëëîíå íàõîäèëàñü ìàññà m1 = 10êã èäåàëüíîãî ãàçà ïðè

äàâëåíèè p1 = 10ÌÏà. Êàêóþ ìàññó ∆m ãàçà âçÿëè èç áàëëîíà,

åñëè äàâëåíèå ñòàëî ðàâíûì p2 = 2, 5ÌÏà? Òåìïåðàòóðó ãàçà ñ÷è-

òàòü ïîñòîÿííîé.

Îòâåò: ∆m = 7, 5êã.

6.7. Íàéòè ìàññó m âîçäóõà, çàïîëíÿþùåãî àóäèòîðèþ âûñîòîé

h = 5ì è ïëîùàäüþ ïàëà S = 200ì2

. Äàâëåíèå âîçäóõà p =100êÏà, òåìïåðàòóðà ïîìåùåíèÿ t = 17◦Ñ. Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîç-

äóõà M = 0, 029êã/ìîëü.

Îòâåò: m = 1, 2 · 103êã.

6.8. Ìàññó m = 5ã àçîòà, íàõîäÿùåãîñÿ â çàêðûòîì ñîñóäå îáúå-

ìîì V = 4ë ïðè òåìïåðàòóðå t = 20◦Ñ íàãðåâàþò äî òåìïåðàòóðû

t = 40◦Ñ. Íàéòè äàâëåíèÿ p1 è p2 äî è ïîñëå íàãðåâàíèÿ.

Îòâåò: p1 = 109êÏà, p1 = 116êÏà.

6.9. Íåêîòîðûé èäåàëüíûé ãàç ïðè òåìïåðàòóðå t = 10◦C è äàâëå-

íèè p = 20êÏà èìååò ïëîòíîñòü ρ = 0, 34êã/ì3

. Íàéòè ìîëÿðíóþ

ìàññó ãàçà.

Îòâåò: M = 0, 04êã/ìîëü.

6.10. Â çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì V = 1ì3

íàõîäèòñÿ m1 = 1, 6êã

êèñëîðîäà è ìàññà m2 = 0, 9êã âîäû. Íàéòè äàâëåíèå p â ñîñóäå

ïðè òåìïåðàòóðå t = 500◦C, çíàÿ, ÷òî ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå âñÿ

âîäà ïðåâðàùàåòñÿ â ïàð. Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäÿíîãî ïàðà 0,018

Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà 47

êã/ìîëü.

Îòâåò: p =RT

V

(m1

M1

+m2

M2

)

= 642êÏà.

6.11. Â ñîñóäå 1 îáúåìà V1 = 3ë íàõîäèòñÿ ãàç ïîäàâëåíèåì p1 =0, 2ÌÏà. Â ñîñóäå 2 îáúåìà V1 = 4ë íàõîäèòñÿ òîò æå ãàç ïîä äàâ-

ëåíèåì p2 = 0, 1ÌÏà. Òåìïåðàòóðû ãàçà â îáîèõ ñîñóäàõ îäèíà-

êîâû. Ïîä êàêèì äàâëåíèåì p áóäå íàõîäèòñÿ ãàç, åñëè ñîåäèíèòü

ñîñóäû 1 è 2 òðóáêîé.

Îòâåò: p =p1V1 + p2V2

V1 + V2

= 143êÏà.

6.12. ×èñëî Ëîøìèäòà. Íàéòè ÷èñëî ìîëåêóë â êóáè÷åñêîì ñàí-

òèìåòðå ëþáîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ (t =0◦C, p = 1àòì = 1, 013 · 105Ïà).

Îòâåò: N = 2, 68 · 1019 ìîëåêóë.

6.13. Â áàëëîíå îáúåìîì V = 7, 5ë ïðè òåìïåðàòóðå T = 300K

íàõîäèòñÿ ñìåñü èäåàëüíûõ ãàçîâ: ν1 = 0, 10 ìîëü êèñëîðîäà, ν2 =0, 20 ìîëü àçîòà, ν3 = 0, 30 ìîëü óãëåêèñëîãî ãàçà. Ñ÷èòàÿ ãàçû

èäåàëüíûìè íàéòè:

à) äàâëåíèå ñìåñè;

á) ñðåäíþþ ìàëÿðíóþ ìàññó M äàííîé ñìåñè, êîòîðàÿ âõîäèò â

óðàâíåíèå åå ñîñòîÿíèÿ pV = (m/M)RT , ãäå m - ìàññà ñìåñè.

Îòâåò: à) p = 1, 968àòì; á)M =M1ν1 +M2ν2 +M3ν3

ν1 + ν2 + ν3= 36, 7ã/ìîëü;

M1 = M(O2), M2 = M(N2), M3 = M(CO2) = M(C) +M(O2).

6.14. Â ñîñóäå íàõîäèòñÿ ìàññà m1 = 10ã óãëåêèñëîãî ãàçà è ìàññà

m2 = 15ã àçîòà. Íàéòè ïëîòíîñòü ρ ñìåñè ïðè òåìïåðàòóðå t =27◦C è äàâëåíèè p = 150êÏà.

Îòâåò: ρ =p

RT

m1 +m2

m1/M1 +m2/M2

= 1, 98êã/ì3

.

6.15. Ìàññà m = 12ã ãàçà çàíèìàåò îáúåì V = 4ë ïðè òåìïåðà-

òóðå t1 = 7◦C. Ïîñëå íàãðåâà ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè åãî

ïëîòíîñòü ñòàëà ðàâíîé ρ = 0, 6êã/ì3

. Äî êàêîé òåìïåðàòóðû t2

íàãðåëè ãàç.

Îòâåò: T2 = mT1/V1ρ = 1400K.

6.16. Ìàññà m = 10ã êèñëîðîäà íàõîäèòñÿ ïðè äàâëåíèè p =304êÏà è òåìïåðàòóðå t1 = 10◦C. Ïîñëå ðàñøèðåíèÿ âñëåäñòâèå

48 Çàäà÷è

íàãðåâàíèÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè êèñëîðîä çàíÿë îáúåì V2 =10ë. Íàéòè îáúåì V1 ãàçà äî ðàñøèðåíèÿ, òåìïåðàòóðó t2 ãàçà ïî-

ñëå ðàñøèðåíèÿ, ïëîòíîñòè ρ1 è ρ2 ãàçà äî è ïîñëå ðàñøèðåíèÿ.

Îòâåò: V1 = 24·10−3

ì

3

, ρ1 = 4, 14êã/ì3

, T2 = 1170K, ρ2 = 1êã/ì3

.

6.17. Ñîñóä îáúåìîì V = 20ë ñîäåðæèò ñìåñü âîäîðîäà è ãåëèÿ

ïðè òåìïåðàòóðå t = 20◦C è äàâëåíèè p = 2, 0àòì. Ìàññà ñìåñè

m = 5, 0ã. Íàéòè îòíîøåíèå ìàññû âîäîðîäà m1 ê ìàññå ãåëèÿm2 â

äàííîé ñìåñè (M(H2) = M1 = 2ã/ìîëü, M(He) = M2 = 4ã/ìîëü).

Îòâåò: m1/m2 =1− a/M2

a/M2 − 1= 0, 5, a = RT/pV

6.18. Â ñîñóäå íàõîäèòñÿ ñìåñü m1 = 7, 0ã àçîòà è m2 = 11ã óã-

ëåêèñëîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T = 290Ê è äàâëåíèè p0 = 1àòì.

Íàéòè ïëîòíîñòü ýòîé ñìåñè, ñ÷èòàÿ ãàçû èäåàëüíûìè (M(N2) =M1 = 28ã/ìîëü, M(CO2) = M2 = 44ã/ìîëü).

Îòâåò: ρ = (m1 +m2)/V =m1 +m2

(m1/M1 +m2/M2)RT= 1, 5êã/ì3

.

6.19.Íàéòè ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ òåìïåðàòóðó èäåàëüíîãî ãà-

çà â êàæäîì èç íèæåñëåäóþùèõ ïðîöåññîâ:

à) p = p0 − αV 2

; á) p = p0eβV

,

ãäå p0, α è β - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, V - îáúåì ìîëÿ ãàçà.

Îòâåò: à)T

max

=2√

p30

3R√3α

; á)T

max

=p0eβR

.

7. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Òåïëîåì-

êîñòü

Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â

òåðìîäèíàìè÷åñêîì ïðîöåññå �îðìóëèðóåòñÿ â âèäå ïåðâîãî çà-

êîíà òåðìîäèíàìèêè è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

Q = ∆U +A ,

ãäå Q êîëè÷åñòâî òåïëà, ïîëó÷åííîãî òåëîì, ïðè ïåðåõîäå èç íà-

÷àëüíîãî â íåêîòîðîå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå ðàñõîäóåòñÿ íà

èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ∆U è ñîâåðøåíèè òåëîì ðàáîòû

Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Òåïëîåìêîñòü 49

A; Q - ïîëîæèòåëüíî, åñëè òåëî ïîãëîùàåò òåïëî è îòðèöàòåëüíî,

åñëè îòäàåò; A - ïîëîæèòåëüíà, åñëè òåëî ñîâåðøàåò ðàáîòó íàä

âíåøíèì îêðóæåíèåì è îòðèöàòåëüíà, åñëè âíåøíèå ñèëû ñîâåð-

øàþò ðàáîòó íàä òåëîì. �àáîòà A è òåïëîòà Q çàâèñÿò îò ïðîöåññà

èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ, èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè îò ïðîöåññà

íå çàâèñèò.

�àáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì. Ïðè îáðàòèìîì ïðîöåññå, ðàáîòà

ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè (ñæàòèè) ðàâíà

A =

V2∫

V1

pdV ,

ãäå p - äàâëåíèå ãàçà, V - åãî îáúåì.

Òåïëîåìêîñòü. Òåïëîåìêîñòüþ C òåëà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ýëå-

ìåíòàðíîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû d′Q, ñîîáùåííîãî òåëó â êàêîì-

ëèáî ïðîöåññå, ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èçìå6íåíèþ òåìïåðàòóðû òå-

ëà:

C =d′Q

dT.

Òåïëîåìêîñòü çàâèñèò îò ìàññû òåëà, åãî õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà,

òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ è âèäà ïðîöåññà ñîîáùåíèÿ òåï-

ëîòû.

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà.

U =m

MCV T =

m

M

RT

γ − 1=

PV

γ − 1,

ãäå γ = Cp/CV - ïîêàçàòåëü àäèàáàòû, Cp è CV - ìîëÿðíûå òåï-

ëîåìêîñòè, ñîîòâåòñòâåííî, ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è îáúåìå.

Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà

Cp = CV +R .

�èïîòåçà î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâî-

áîäû. Ñîãëàñíî ãèïîòåçå î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ

ìîëåêóëû ðàâíà

< ε >=i

2kT ,

50 Çàäà÷è

çäåñü i = z

ïîñò

+ z

âð

+2z

êîë

, ãäå z

ïîñò

- ÷èñëî ïîñòóïàòåëüíûõ, zâð

- âðàùàòåëüíûõ è z

êîë

- êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêó-

ëû.

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ìîæåò áûòü

çàïèñàíà â âèäå

U =i

2RT ,

à ìîëÿðíûå òåïëîåìêîñòè êàê

CV =i

2R Cp = CV +R =

i+ 2

2R .

�åøåíèå çàäà÷

7.1.Ìàññàm = 10ã êèñëîðîäà íàõîäèòñÿ ïðè äàâëåíèè p = 0, 3ÌÏà

è òåìïåðàòóðå t = 10◦C. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ ïðè p = onst ãàç çàíÿë

îáúåì V2 = 10ë. Íàéòè êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, ïîëó÷åííîå ãàçîì,

åñëè òåïëîåìêîñòü ãàçà Cp = 29, 1Äæ/(ìîëü ·K).

�åøåíèå : Èç ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêà êîëè÷åñòâî òåï-

ëîòû, ïîëó÷åííîå ãàçîì ðàâíî

Q = ∆U +A ,

ãäå ∆U - èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè U = νCV T , ν - ÷èñëî

ìîëåé è A - ðàáîòà ñîâåðøåííàÿ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè

A = p∆V = p(V2 − V1) .

Òàê êàê

∆U = νCV∆T = ν(Cp −R)(T2 − T1) ,

òî

Q = ν(Cp −R)(T2 − T1) + p(V2 − V1) .

Íåèçâåñòíûå T2 è V1 íàéäåì èç óðàâíåíèÿ Êëàïåéðîíà â íà÷àëü-

íîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèÿõ: pV1 = (m/M)RT1, pV2 = (m/M)RT2.

Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Òåïëîåìêîñòü 51

Îòêóäà V1 = mRT1/(Mp) è T2 = MpV2/(mR). Â ðåçóëüòàòå ïîëó-

÷àåì

Q = (Cp −R)(pV2

R− m

MT1

)

+ p(

V2 −m

M

RT1

p

)

= 7, 9êÄæ .

7.2. Äâà òåëà ñ òåìïåðàòóðàìè T1 > T2 > 0 è òåïëîåìêîñòÿìè C1,

C2 ïîìåùåíû â òåïëîèçîëèðóþùèé êîíòåéíåð è ðàçäåëåíû òåïëî-

èçîëèðóþùåé ïåðåãîðîäêîé. Êàêàÿ òåìïåðàòóðà T0 â ðåçóëüòàòå

óñòàíîâèòñÿ â ñîñòàâíîì òåëå ïîñëå ñíÿòèÿ ïåðåãîðîäêè è ïðèâå-

äåíèÿ òåë â òåïëîâîé êîíòàêò?

�åøåíèå : Ïîñêîëüêó âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íå èçìåíèò-

ñÿ ïîñëå ïðèâåäåíèÿ òåë â òåïëîâîé êîíòàêò, òî èçìåíåíèå âíóò-

ðåííåé ýíåðãèè äîëæíî áûòü ðàâíî íóëþ

∆U1 +∆U2 = 0 ,

ãäå U1, U2 - âíóòðåííèå ýíåðãèè òåë. Òàê êàê êàæäîå èç òåë íå

ñîâåðøàåò ðàáîòû, òî ∆Ui = Qi = Ci(T0 − Ti), ãäå Qi - òåïëî,

ïîëó÷åííîå i-ì òåëîì. Òîãäà

Q1 +Q2 = C1(T0 − T1) + C2(T0 − T2) .

Îòêóäà ïîëó÷àåì

T0 =C1T1 + C2T2

C1 + C2

.

Çàäà÷è

7.3. Ìàññà m = 12ã àçîòà íàõîäèòñÿ â çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì

V = 2ë ïðè òåìïåðàòóðå t = 10◦C. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ äàâëåíèå â

ñîñóäå ñòàëî ñòàëî ðàâíûì p = 1, 33ÌÏà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåï-

ëîòû Q ñîîáùåíî ãàçó ? (CV = 20, 8Äæ/(ìîëü ·K)).

Îòâåò: Q = 4, 15êÄæ.

7.4.  ñîñóäå îáúåìîì V = 2ë íàõîäèòñÿ àçîò ïðè äàâëåíèè p =0, 1ÌÏà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íàäî ñîîáùèòü àçîòó, ÷òî-

áû: à) ïðè p = onst îáúåì óâåëè÷èëñÿ âäâîå; á) ïðè V = onst

52 Çàäà÷è

äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü âäâîå?

Îòâåò: à) Q = CppV/R = 0, 7êÄæ; á) Q = CV pV/R = 0, 5êÄæ.

7.5. Â çàêðûòîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ ìàññà m = 14ã àçîòà ïðè äàâ-

ëåíèè p1 = 0, 1ÌÏà è òåìïåðàòóðå t = 27◦C. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ

äàâëåíèå â ñîñóäå ïîâûñèëîñü â 5 ðàç. Äî êàêîé òåìïåðàòóðû t2

áûë íàãðåò ãàç? Íàéòè îáúåì V ñîñóäà è êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q

ñîîáùåííîå ãàçó.

Îòâåò: T2 = 1500K, V = 12, 4ë, Q = 12, 4êÄæ.

7.6. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íàäî ñîîáùèòü ìàññå m = 12ã

êèñëîðîäà, ÷òîáû íàãðåòü åãî íà ∆t = 50◦C. ïðè p = onst (CV =20, 8Äæ/(ìîëü ·K)).

Îòâåò: Q = (mCp/M)∆T = 545Äæ.

7.7. Àçîò íàõîäèòñÿ â çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì V = 3ë ïðè òåì-

ïåðàòóðå t1 = 27◦C è äàâëåíèè p1 = 0, 3Ìïà. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ

äàâëåíèå â ñîñóäå ïîâûñèëîñü äî p2 = 2, 5ÌÏà. Íàéòè òåìïåðàòó-

ðó t2 àçîòà ïîñëå íàãðåâàíèÿ è êîëè÷åñòâî Q òåïëîòû, ñîîáùåííîå

àçîòó.

Îòâåò: T2 = (p2/p1)T1 = 2500K, Q =CV V (p2 − p1)

R= 16, 5êÄæ.

7.8.Ìàññàm = 10ã êèñëîðîäà íàõîäèòñÿ ïðè äàâëåíèè p = 300êÏà

è òåìïåðàòóðå t = 10◦C. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ ïðè p = onst ãàç çàíÿë

îáúåì V = 10ë. Íàéòè êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, ïîëó÷åííîå ãàçîì ,

èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ∆U ãàçà è ðàáîòó A, ñîâåðøåííóþ

ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè.

Îòâåò: Q =Cp

MR(MpV2 − mRT1) = 7, 9êÄæ, ∆U = 5, 66êÄæ,

A = 2, 26êÄæ.

7.9. �åëèé, íàõîäÿùèéñÿ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ, èçîòåðìè÷å-

ñêè ðàñøèðÿåòñÿ îò îáúåìà V1 = 1ë äî V2 = 2ë. Íàéòè ðàáîòó

A, ñîâåðøåííóþ ãàçîì ïðè ðàñøèðåíèè, è êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q,

ñîîáùåííîå ãàçó.

Îòâåò: A = p1V1 lnV2

V1

= 70Äæ: Q = 70Äæ.

7.10. Äâà òåïëîèçîëèðîâàííûõ áàëëîíà 1 è 2 íàïîëíåíû âîçäóõîì

è ñîåäèíåíû êîðîòêîé òðóáêîé ñ âåíòèëåì. Èçâåñòíû îáúåìû áàë-

ëîíîâ, à òàêæå äàâëåíèå è òåìïåðàòóðà âîçäóõà â íèõ: (V1, p1, T1),

Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Òåïëîåìêîñòü 53

(V2, p2, T2). Íàéòè òåìïåðàòóðó è äàâëåíèå âîçäóõà, êîòîðûå óñòà-

íîâÿòñÿ ïîñëå îòêðûòèÿ âåíòèëÿ.

Îòâåò: p =p1V1 + p2V2

V1 + V2

, T = T1T2

p1V1 + p2V2

p1V1T2 + p2V2T1

.

7.11. Ìåäíûé øàðèê ìàññû m1 ñ óäåëüíîé òåïëîåìêîñòüþ c1 íà-

ãðåâàþò â ëàáîðàòîðíîé ïå÷è äî òåìïåðàòóðû T1. Çàòåì îí ïîìå-

ùàåòñÿ â ñòåêëÿííûé ñîñóä, ñîäåðæàùèé âîäó ìàññîé m2, óäåëü-

íàÿ òåïëîåìêîñòü êîòîðîé c2. Òåïëîåìêîñòü ñòàêàíà C

. Íà÷àëü-

íàÿ òåìïåðàòóðà âîäû è ñîñóäà T2. Ïðèíèìàÿ, ÷òî øàðèê, âîäà

è ñîñóä âìåñòå îáðàçóþò òåïëîèçîëèðîâàííóþ ñèñòåìó, è âîäà íå

èñïàðÿåòñÿ, íàéòè êîíå÷íóþ òåìïåðàòóðó T ñèñòåìû ïîñëå óñòà-

íîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ.

Îòâåò: T =c1m1T1 +m2c2T2 +C

T2

c1m1 + c2m2 + C

.

7.12. �àçîîáðàçíûé âîäîðîä (γ = 1, 41), íàõîäèâøèéñÿ ïðè íîð-

ìàëüíûõ óñëîâèÿõ (òåìïåðàòóðà T0, äàâëåíèå p0) â çàêðûòîì ñî-

ñóäå îáúåìîì V = 5ë, îõëàäèëè íà ∆T = 55K. Íàéòè ïðèðàùåíèå

âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà è êîëè÷åñòâî îòäàííîãî èì òåïëà.

Îòâåò: Q = ∆U = − p0V

γ − 1

∆T

T0

= −0, 25êÄæ.

7.13. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëà Q íàäî ñîîáùèòü àçîòó ïðè èçîáà-

ðè÷åñêîì íàãðåâàíèè, ÷òîáû ãàç ñîâåðøèë ðàáîòó A = 2, 0Äæ?

Ïîêàçàòåëü àäèàáàòû γ = 1, 4.

Îòâåò: Q =γA

γ − 1= 7Äæ.

7.14. Íàéòè ìîëÿðíóþ ìàññó ãàçà, åñëè ïðè íàãðåâàíèè m =0, 50êã ýòîãî ãàçà íà ∆T = 10K èçîáàðè÷åñêè òðåáóåòñÿ íà ∆Q =1, 48êÄæ òåïëà áîëüøå, ÷åì ïðè èçîõîðè÷åñêîì íàãðåâàíèè.

Îòâåò: M = mR∆T

∆Q= 28ã/ìîëü.

7.15. Îäèí ìîëü èäåàëüíîãî ãàçà èçîáàðè÷åñêè íàãðåëè íà ∆T =72K, ñîîáùèâ åìó êîëè÷åñòâî òåïëà Q = 1, 60êÄæ. Íàéòè ïðèðà-

ùåíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè è âåëè÷èíó γ = Cp/CV .

Îòâåò: ∆U = 1êÄæ, γ =Q

Q−R∆T= 1, 6.

7.16.Äâà ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 300Ê îõëà-

54 Çàäà÷è

äèëè èçîõîðè÷åñêè, â ñëåäñòâèå ÷åãî åãî äàâëåíèå óìåíüøèëîñü â

n = 2, 0 ðàçà. Çàòåì åãî èçîáàðè÷åñêè ðàñøèðèëè òàê, ÷òîáû â êî-

íå÷íîì ñîñòîÿíèè åãî òåìïåðàòóðà ñòàëà ðàâíîé ïåðâîíà÷àëüíîé.

Íàéòè êîëè÷åñòâî òåïëà Q, ïîãëîùåííîãî ãàçîì â äàííîì ïðîöåñ-

ñå.

Îòâåò: Q = νRT0(1− 1/n).

7.17. Â âåðòèêàëüíîì öèëèíäðå ïîä íåâåñîìûì ïîðøíåì íàõî-

äèòñÿ îäèí ìîëü íåêîòîðîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T .

Êàêóþ ðàáîòó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ìåäëåííî ïîäíèìàÿ

ïîðøåíü, èçîòåðìè÷åñêè óâåëè÷èòü îáúåì ãàçà ïîä íèì â n ðàç.

Òðåíèÿ íåò.

Îòâåò: A = RT (n− 1)−RT lnn.

7.18. Îáúåì ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ èç-

ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó V = a/T , a = onst. Íàéòè êîëè÷åñòâî òåïëà,

ïîëó÷åííîå ãàçîì â ýòîì ïðîöåññå, åñëè åãî òåìïåðàòóðà èñïûòàëà

ïðèðàùåíèå ∆T .

Îòâåò: Q =R∆T (2− γ)

γ − 1

.

7.19.Òðè ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà, íàõîäèâøåãîñÿ ïðè òåìïåðàòó-

ðå T = 273K, èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðèëè â n = 5, 0 ðàç è çàòåì

èçîõîðè÷åñêè íàãðåëè òàê, ÷òî åãî äàâëåíèå ñòàëî ðàâíûì ïåð-

âîíà÷àëüíîìó. Çà âåñü ïðîöåññ ãàçó ñîîáùèëè êîëè÷åñòâî òåïëà

Q = 80êÄæ. Íàéòè γ äëÿ ýòîãî ïðîöåññà.

Îòâåò: γ = 1 +n− 1

Q/νRT0 − lnn= 1, 4.

Ñòåïåíè ñâîáîäû

7.20. Íàéòè âíóòðåííþþ ýíåðãèþ U ìàññû m = 20ã êèñëîðîäà

ïðè òåìïåðàòóðå t = 10◦C. Êàêàÿ ÷àñòü ýòîé ýíåðãèè ïðèõîäèò-

ñÿ íà äîëþ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë è êàêàÿ íà äîëþ

âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë. Ìîëåêóëû ðàññìàòðèâàòü êàê

æåñòêèå.

Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Òåïëîåìêîñòü 55

�åøåíèå : Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ν ìîëåé ãàçà ðàâíà

U =i

2νRT =

i

2

m

MRT

è i = z

ïîñò

+ z

âð

. Äëÿ äâóõàòîìíûõ æåñòêèõ ìîëåêóë i = 5, òàê

êàê z

ïîñò

= 3, z

âð

= 2. Ïîýòîìó

U =5

2

m

MRT = 3, 7êÄæ, U

ïîñò

=3

2

m

MRT = 2, 2êÄæ

,

U

âð

=m

MRT = 1, 5êÄæ .

7.21. Íàéòè óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü êèñëîðîäà äëÿ: à)V = onst;

á) p = onst. Óïðóãîñòüþ ìîëåêóë ïðåíåáðå÷ü.

�åøåíèå : Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñâÿçàíà ñ ìîëÿðíîé ñîîòíî-

øåíèåì c = C/M .

à) Ïðè V = onst

cV =CV

M=

i

2MR =

5

2MR = 650Äæ/(êã ·Ê) ;

á) Ïðè p = onst, Cp = CV +R, îòêóäà

cp =Cp

M=

CV +R

M=

i+ 2

2MR =

7

2MR = 910Äæ/(êã ·Ê) .

7.22. Íàéòè âíóòðåííþþ ýíåðãèþ U ìàññû m = 1ã âîçäóõà ïðè

òåìïåðàòóðå t = 15◦C. Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõàM = 0, 029êã/ìîëü.

Âîçäóõ ñ÷èòàòü äâóõàòîìíûì ãàçîì æåñòêèõ ìîëåêóë.

Îòâåò: U = 206, 4Äæ.

7.23. Íàéòè ñðåäíþþ ýíåðãèþ U

âð

âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìî-

ëåêóë, ñîäåðæàùèõñÿ â ìàññå m = 1êã àçîòà ïðè òåìïåðàòóðå

t = 7◦C.

Îòâåò: U

âð

= 83êÄæ.

7.24. Íàéòè âíóòðåííþþ ýíåðãèþ èäåàëüíîãî ãàçà äâóõàòîìíûõ

æåñòêèõ ìîëåêóë, íàõîäÿùåãîñÿ â ñîñóäå îáúåìîì V = 2ë ïîä

56 Çàäà÷è

äàâëåíèåì p = 150êÏà.

Îòâåò: U = 5pV/2 = 750Äæ.

7.25. Ìàññà m = 1êã äâóõàòîìíîãî ãàçà æåñòêèõ ìîëåêóë íàõî-

äèòñÿ ïîä äàâëåíèåì p = 80êÏà è èìååò ïëîòíîñòü ρ = 4êã/ì3

.

Íàéòè ýíåðãèþ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ U ìîëåêóë ãàçà ïðè ýòèõ

óñëîâèÿõ.

Îòâåò: U = 50êÄæ.

7.26. Êàêîå ÷èñëî N æåñòêèõ ìîëåêóë äâóõàòîìíîãî ãàçà ñîäåð-

æèò îáúåì V = 10ñì3

ïðè äàâëåíèè p = 5, 3êÏà è òåìïåðàòóðå

t = 27◦C? Êàêîé ýíåðãèåé òåïëîâîãî äâèæåíèÿ U îáëàäàþò ýòè

ìîëåêóëû?

Îòâåò: N = 1, 3 · 1019; U = 5NkT/2 = 0, 133Äæ.

7.27. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü íåêîòîðîãî èäåàëüíîãî ãàçà äâóõ-

àòîìíûõ æåñòêèõ ìîëåêóë cp = 14, 7êÄæ/êãÊ. Íàéòè ìîëÿðíóþ

ìàññó M ãàçà.

Îòâåò: M = 0, 002êã/ìîëü.

7.28.Ìîëÿðíàÿ ìàññà íåêîòîðîãî ãàçàM = 0, 03êã/ìîëü, îòíîøå-

íèå óäåëüíûõ òåïëîåìêîñòåé γ ′ = cp/cV = 1, 4. Íàéòè óäåëüíûå

òåïëîåìêîñòè cp è cV .

Îòâåò: cV =R

M(γ ′ − 1)= 693Äæ/(êã Ê); cp = cV + R/M =

970Äæ/(êã Ê)

7.29. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû íàäî ñîîáùèòü ìàññå m = 12ã

êèñëîðîäà, ÷òîáû íàãðåòü åãî íà ∆t = 50◦C ïðè p = onst.

Îòâåò: Q = 7mR∆T/2M = 545Äæ.

7.30. Íàéòè ìîëÿðíóþ ìàññó è ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóë

èäåàëüíîãî ãàçà, åñëè èçâåñòíû åãî óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè: cV =0, 65Äæ/ã·K è cp = 0, 91Äæ/ã·K.

Îòâåò: M = R/(cp − cV ); i = 5.

7.31. Íàéòè ïðèðàùåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè 16ã âîäîðîäà ïðè

óâåëè÷åíèè åãî òåìïåðàòóðû îò 70 äî 300K. Èìåòü ââèäó, ÷òî ïðè

ýòîì ïðîèñõîäèò "ðàçìîðàæèâàíèå"âðàùàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâî-

áîäû.

Îòâåò: ∆U = (5T2 − 3T1)mR/2M = 43êÄæ.

�àç Âàí-äåð-Âààëüñà 57

7.32. Ìîëåêóëû èäåàëüíîãî ãàçà, ó êîòîðîãî γ = 1, 40 è äàâëåíèå

p = 100êÏà, èìåþò ñðåäíþþ ýíåðãèþ < ε >= 2, 5·10−20

Äæ. Íàéòè

÷èñëî ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà.

Îòâåò: n ==< ε >

p(γ − 1)

.

7.33. Íàéòè ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà, ìî-

ëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü êîòîðîãî:

à) ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè Cp = 29Äæ/(ìîëü Ê);

á) â ïðîöåññå pT = onst ðàâíà C = 29Äæ/(ìîëü Ê).

Îòâåò: à)i = 5; á) i = 2(C/R − 2) = 3.

7.34. Íàéòè ïðèðàùåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè 16ã âîäîðîäà ïðè

óâåëè÷åíèè åãî òåìïåðàòóðû îò T1 = 70K äî T2 = 300K. Èìåòü â

âèäó, ÷òî ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò "ðàçìîðàæèâàíèå"âðàùàòåëüíûõ

ñòåïåíåé ñâîáîäû.

Îòâåò: ∆U = (5T2 − 3T1)mR

2M

.

8. �àç Âàí-äåð-Âààëüñà

�àç Âàí-äåð-Âààëüñà. �àçîì Âàí-äåð-Âààëüñà íàçûâàòñÿ ãàç,

óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ êîòîðîãî èìååò âèä

(

p+ν2a

V 2

)(

V − νb

)

= νRT .

Êîíñòàíòû a è b íàçûâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè Âàí-äåð-Âààëüñà. Ïî-

ïðàâêà a/V 2

õàðàêòåðèçóåò òó äîáàâêó ê âíåøíåìó äàâëåíèþ, êî-

òîðàÿ âîçíèêàåò èç-çà âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ ìîëåêóë äðóã ê äðó-

ãó.  ñèëó òîãî, ÷òî ìîëåêóëû îáëàäàþò êîíå÷íûì îáúåìîì, ïðî-

ñòðàíñòâî, äîñòóïíîå äëÿ äâèæåíèÿ ìîëåêóë, îêàçûâàåòñÿ ìåíü-

øå, ÷åì îáúåì ñîñóäà V . Êîíñòàíòà b õàðàêòåðèçóåò òó ÷àñòü îáú-

åìà, êîòîðàÿ íåäîñòóïíà äëÿ äâèæåíèÿ ìîëåêóë.

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âàí-äåð-âààëüñîâñêîãî ãàçà.

U = νCV T − νa

V.

58 Çàäà÷è

�åøåíèå çàäà÷

8.1. Êàêóþ òåìïåðàòóðó èìååò ìàññà m = 2ã àçîòà, çàíèìàþùåãî

îáúåì V = 820ì3

ïðè äàâëåíèè p = 0, 2ÌÏà? �àç ðàññìîòðåòü

êàê: à) èäåàëüíûé; á) ðåàëüíûé. Ïîñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà äëÿ

àçîòà: a = 0, 136 Ïà · ì6/ìîëü2, b = 3, 85 · 10−5

ì

3/ìîëü.

�åøåíèå : à) Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà PV =(m/M)RT ïîëó÷àåì T = MpV/mR = 276K;

á) äëÿ ðåàëüíîãî ãàçà (ãàç Âàí-äåð-Âààëüñà)

(

p+ν2a

V 2

)(

V − νb)

= νRT ,

îòêóäà

T =1

νR

(

p+ν2a

V 2

)(

V − νb)

= 276K .

Ïðè äàííîì äàâëåíèè ãàç âåäåò ñåáÿ êàê èäåàëüíûé.

8.2.Íàéòè ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ îäíèì ìîëåì ãàçà Âàí-äåð-Âààëüñà

ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè åãî îò îáúåìà V1 äî V2 ïðè òåì-

ïåðàòóðå T .

�åøåíèå : Ïî îïðåäåëåíèþ ðàáîòû èìååì

A =

∫ V2

V1

pdV =

∫ V2

V1

( RT

V − b− a

V 2

)

dV = RT lnV2 − b

V1 − b+a

( 1

V2

− 1

V1

)

.Çàäà÷è

8.3. Êàêóþ òåìïåðàòóðó T èìååò ìàññà m = 3, 5ã êèñëîðîäà, çà-

íèìàþùåãî îáúåì V = 90ñì3

ïðè äàâëåíèè p = 2, 8ÌÏà. �àç

ðàññìàòðèâàòü êàê: à)èäåàëüíûé; á)ðåàëüíûé. Ïîñòîÿííûå Âàí-

äåð-Âààëüñà äëÿ êèñëîðîäà: a = 0, 136Ïà · ì6/ìîëü2, b = 3, 16 ·10−5

ì

3/ìîëü.

Îòâåò: à) T = 277K; á) T = 285, 7K.

8.4. Êàêóþ òåìïåðàòóðó T èìååò ìàññà m = 10ã ãåëèÿ, çàíèìàþ-

ùåãî îáúåì V = 100ñì3

ïðè äàâëåíèè p = 100ÌÏà. �àç ðàññìàòðè-

âàòü êàê: à)èäåàëüíûé; á)ðåàëüíûé. Ïîñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà

�àç Âàí-äåð-Âààëüñà 59

äëÿ ãåëèÿ: a = 0, 00343Ïà · ì6/ìîëü2, b = 2, 34 · 10−5

ì

3/ìîëü.

Îòâåò: à) T = 482 K; á) T = 204 K.

8.5. Êîëè÷åñòâî ν = 1êìîëü óãëåêèñëîãî ãàçà íàõîäèòñÿ ïðè òåì-

ïåðàòóðå t = 100◦C. Íàéòè äàâëåíèå p ãàçà, ñ÷èòàÿ åãî: à) ðå-

àëüíûì; á) èäåàëüíûì. Çàäà÷ó ðåøèòü äëÿ îáúåìîâ V1 = 1ì3

è

V1 = 0, 05ì3

(a = 0, 364Ïà · ì6/ìîëü2, b = 4, 26 · 10−5

ì

3/ìîëü.)

Îòâåò: à) ïðè V = V1, p = 3, 09ÌÏà, ïðè V = V2, p = 271ÌÏà á)

ïðè V = V1, p = 2, 87ÌÏà, ïðè V = V2, p = 61, 8ÌÏà.

8.6. çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì V = 0, 5ì3

íàõîäèòñÿ êîëè÷åñòâî

ν = 0, 6êìîëü óãëåêèñëîâîãî ãàçà ïðè äàâëåíèè p1 = 3ÌÏà. Ïîëü-

çóÿñü óðàâíåíèåì Âàí-äåð-Âààëüñà, íàéòè âî ñêîëüêî ðàç íàäî

óâåëè÷èòü òåìïåðàòóðó ãàçà, ÷òîáû äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü âäâîå.

Îòâåò: T1/T2 = 1, 85.

8.7.Äëÿ âîäîðîäà ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè íåçíà-

÷èòåëüíû; ïðåèìóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþò ñîáñòâåííûå ðàçìåðû

ìîëåêóë. Ïîýòîìó â óðàâíåíèè Âàí-äåð Âààëüñà ìîæíî ïðåíå-

áðå÷ü ïîñòîÿííîé a. Êàêàÿ îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà δ áóäåò äîïóùå-

íà ïðè íàõîæäåíèè êîëè÷åñòâà âîäîðîäà ν, íàõîäÿùåãîñÿ â íåêî-

òîðîì îáúåìå ïðè òåìïåðàòóðå t = 0◦C è äàâëåíèè p = 280ÌÏà íå

ó÷èòûâàÿ ñîáñòâåííîãî îáúåìà ìîëåêóë. (b = 2, 63·10−5

ì

3/ìîëü2).

Îòâåò: δ = 0, 33.

8.8. Îäèí ìîëü êèñëîðîäà ðàñøèðèëè îò îáúåìà V1 = 1ë äî V2 =5ë ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå T = 280K. Âû÷èñëèòü êîëè÷åñòâî

ïîãëîùåííîãî ãàçîì òåïëà. �àç ñ÷èòàòü âàí-äåð-âààëüñîâñêèì.

Îòâåò: Q = RT lnV2 − b

V1 − b= 3, 8êÄæ.

8.9. Êîëè÷åñòâî ν = 0, 5 êìîëü íåêîòîðîãî ãàçà çàíèìàåò îáú-

åì V1 = 1ì3

. Ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà äî îáúåìà V2 = 1, 2ì3

áû-

ëà ñîâåðøåíà ðàáîòà ïðîòèâ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë A =−5, 684êÄæ. Íàéòè ïîñòîÿííóþ a Âàí-äåð-Âààëüñà.

Îòâåò: a = − AV1V2

ν2(V2 − V1)= 0, 136Ïà · ì6/ìîëü2.

8.10. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëà íàäî ñîîáùèòü ν = 3, 0 ìîëü óãëå-

êèñëîãî ãàçà, ÷òîáû ïðè ðàñøèðåíèè â âàêóóì îò îáúåìà V1 = 5ë

äî V2 = 10ë òåìïåðàòóðà åãî íå èçìåíèëàñü. �àç ñ÷èòàòü âàí-äåð-

60 Çàäà÷è

âààëüñîâñêèì.

Îòâåò: Q =ν2a(V2 − V1)

V1V2

= 0, 33êÄæ.

8.11. ñîñóäå îáúåìîì V = 10ë íàõîäèòñÿ ìàññà m = 0, 25êã àçîòà

ïðè òåìïåðàòóðå t = 27◦C. Êàêóþ ÷àñòü äàâëåíèÿ ãàçà p ñîñòàâ-

ëÿåò äàâëåíèå pi, îáóñëîâëåííîå ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ.

Îòâåò: pi/p = 1/(RTV/νa − 1) = 0, 96.

9. Ýíòðîïèÿ

Ýíòðîïèÿ. Ýíòðîïèåé íàçûâàåòñÿ �óíêöèÿ S ñîñòîÿíèÿ ìàêðî-

ñèñòåìû, ïðèðàùåíèå êîòîðîé â ýëåìåíòàðíîì îáðàòèìîì ïðîöåñ-

ñà ðàâíî îòíîøåíèþ êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ñîîáùåííîãî ñèñòåìå, ê

àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ïîñëåäíåé

dS =d′Q

T.

Ïðè ïðîèçâîëüíîì îáðàòèìîì ïåðåõîäå ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ 1 â

ñîñòîÿíèå 2 èçìåíåíèå ýíòðîïèè ðàâíî

∆S = S2 − S1 =

2∫

1

d′Q

T.

Ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè ïðè ïåðåõîäå ñèñòåìû èç îäíîãî ðàâíîâåñ-

íîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå â ðåçóëüòàòå íåîáðàòèìîãî ïðîöåññà ðàâ-

íî ïðèðàùåíèþ, êîòîðîå ïîëó÷àåò ýíòðîïèÿ ïðè ëþáîì îáðàòè-

ìîì ïðîöåññå ìåæäó òåìè æå ñîñòîÿíèÿìè.

Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Â èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå ýí-

òðîïèÿ ìîæåò èëè ðàñòè äëÿ íåîáðàòèìûõ ïðîöåññîâ, èëè îñòà-

âàòüñÿ ïîñòîÿííîé äëÿ îáðàòèìûõ ïðîöåññîâ

∆S > 0 .

Ñâÿçü ìåæäó ýíòðîïèåé è ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîì. Åñëè W -

ñòàòèñòè÷åñêèé âåñ äàííîãî ìàêðîñîñòîÿíèÿ, ò.å. ÷èñëî ìèêðîñêî-

ïè÷åñêèõ ñïîñîáîâ, êîòîðûì äàííîå ìàêðîñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü

Ýíòðîïèÿ 61

îñóùåñòâëåíî, òî

S = k lnW .

�åøåíèå çàäà÷

9.1. Íàéòè ýíòðîïèþ S äëÿ ν ìîëåé èäåàëüíîãî ãàçà, çàíèìàþùå-

ãî îáúåì V ïðè òåìïåðàòóðå T .

�åøåíèå : Çàïèøåì ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè ïðè áåñêî-

íå÷íî ìàëîì èçìåíåíèè ñîñòîÿíèÿ

d′Q = dU + pdV

ãäå d′Q êîëè÷åñòâî òåïëà, ïîëó÷åííîå ãàçîì ïðè òåìïåðàòóðå T ,

U = νCV T - âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ è p - äàâëåíèå. Ïðè îáðàòèìîì

ïðîöåññå d′Q = TdS, îòêóäà

dS = νCVdT

T+

p

TdV .

Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà p/T = νR/V , ïîýòîìó

dS = νCVdT

T+ νR

dV

V= d

(

νCV lnT)

+ d(

νR lnV)

=

= d(νCV lnT + νR lnV ) .

Îòêóäà, èç ðàâåíñòâà äè��åðåíöèàëîâ ïîëó÷àåì

S(T, V ) = νCV lnT + νR lnV + S0 ,

ãäå S0 - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûðàæàåò

ýíòðîïèþ â ïåðåìåííûõ (S, V ). Èçìåíåíèå ýíòðîïèè ïðè ïåðåõîäå

ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî

∆S = S2 − S1 = νCV lnT2

T1

+ νR lnV2

V1

.

9.2. Çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýíòðîïèè èäåàëüíîãî ãàçà â ïåðå-

ìåííûõ òåìïåðàòóðà -äàâëåíèå (T , p).

62 Çàäà÷è

�åøåíèå : Èñõîäèì èç âûðàæåíèÿ

S = νCV lnT + νR lnV + S0 .

Èñêëþ÷èì îáúåì ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ V = νRT/p,

òîãäà

S = νCV lnT + νR lnνRT

p+ S0 =

= ν(CV lnT +R lnT )− νR ln p+ S0 + νR ln νR

èëè, ââîäÿ êîíñòàíòó S1 = S0+νR ln νR è ó÷èòûâàÿ ÷òî CV +R =Cp, ïîëó÷èì

S(T, p) = νCp lnT − νR ln p+ S1 .

Äëÿ èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè áóäåì èìåòü â ýòîì ñëó÷àå

∆S = S2 − S1 = νCp lnT2

T1

− νR lnp2p1

.

9.3. Çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýí-

12

34

p

V

Q1

Q2‘

T

Q1

1

T2

�èñ. 28.

òðîïèè èäåàëüíîãî ãàçà â ïåðåìåí-

íûõ äàâëåíèå-îáúåì (p,V ).

�åøåíèå : Èñõîäèì èç âûðàæå-

íèÿ

S = νCV lnT + νR lnV + S0 .

Èñêëþ÷èì òåìïåðàòóðó ñ ïîìîùüþ

óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ T = pV/νR,

ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ïîñëåäíåå ðà-

âåíñòâî ïîëó÷èì

S(p, V ) = νCV ln p+ νCp lnV + S2 ,

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå äëÿ êîíñòàíòû S2 = S0 − νCV ln νR.

Ýíòðîïèÿ 63

9.4. Èäåàëüíûé ãàç ñîâåðøàåò öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, ñîñòîÿùèé

èç äâóõ èçîòåðì (1 → 2, 3 → 4) è äâóõ àäèàáàò (2 → 3, 4 → 1)

(ñì ðèñ. 28). Íà âåðõíåé èçîòåðìå ãàç ïîëó÷àåò òåïëî îò âíåøíåãî

îêðóæåíèÿ , à íà íèæíåé îòäàåò (Öèêë Êàðíî). Íàéòè êîëè÷åñòâî

òåïëîòû Q, êîòîðîå â ýòîì öèêëå ïðåâðàùàåòñÿ â ðàáîòó, åñëè

èçìåíåíèå ýíòðîïèè íà ó÷àñòêå ìåæäó äâóìÿ àäèàáàòàìè ðàâíî

∆S = 4, 19êÄæ/K, à ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ìåæäó äâóìÿ èçîòåð-

ìàìè ∆T = T1 − T2 = 100K.

�åøåíèå :Ïîñêîëüêó ïðîöåññ çàìêíóòûé, èçìåíåíèå âíóòðåí-

íåé ýíåðãèè ðàâíî íóëþ. Òîãäà. ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó òåðìî-

äèíàìèêè, ðàáîòà ðàâíà A = Q1 − Q′

2

(Q′

2> 0). Âäîëü èçîòåðìû

1 → 2 ïîëó÷åííîå òåïëî ðàâíî

Q1 =

∫ S2

S1

TdS = T1(S2 − S1) = T1∆S ,

ãäå S1,2 - ýíòðîïèè ñîñòîÿíèé 1 è 2.

Ïîñêîëüêó âäîëü àäèàáàò ãàç òåïëîèçîëèðîâàí, òî âäîëü ó÷àñòêîâ

2 → 3 è 4 → 1 dS = d′Q/T = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ýíòðîïèÿ íå

ìåíÿåòñÿ. Òàê, ÷òî â ñîñòîÿíèè 3 ýíòðîïèÿ ðàâíà S2, à â ñîñòîÿíèè

4 - S1. Ïîýòîìó, òåïëî îòäàííîå íà íèæíåé èçîòåðìå ðàâíî

−Q′ =

∫ S1

S2

TdS = T2(S1 − S2) = −T2∆S .

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì

A = Q1 −Q′

2= ∆T∆S = 419êÄæ .

Çàäà÷è

9.5. Íàéòè èçìåíåíèå ∆S ýíòðîïèè ïðè ïåðåõîäå ìàññû m = 8ã

êèñëîðîäà îò îáúåìà V = 10ë ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 80◦C ê îáúåìó

V = 40ë ïðè òåìïåðàòóðå t2 = 300◦C.

Îòâåò: ∆S = 5, 4Äæ/K.

9.6. Íàéòè èçìåíåíèå ∆S ýíòðîïèè ïðè ïåðåõîäå ìàññû m = 6ã

âîäîðîäà îò îáúåìà V1 = 20ë ïîä äàâëåíèåì p1 = 150êÏà ê îáúåìó

64 Çàäà÷è

V2 = 60ë ïîä äàâëåíèåì p2 = 100êÏà.

Îòâåò: ∆S = 71Äæ/K.

9.7. Ìàññà m = 6, 6ã âîäîðîäà ðàñ-p

V

p

p

V V1

1

2

2

A D

C B

�èñ. 29.

øèðÿåòñÿ èçîáàðè÷åñêè îò îáúåìà V1

äî îáúåìà V2 = 2V1. Íàéòè èçìåíå-

íèå ýíòðîïèè ∆S ïðè ýòîì ðàñøèðå-

íèè, åñëè âîçáóæäåíû ïîñòóïàòåëü-

íûå è âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáî-

äû.

Îòâåò: ∆S = 66, 3Äæ/K.

9.8. Íàéòè èçìåíåíèå ∆S ýíòðîïèè

ïðè èçîáàðè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ìàñ-

ñû m = 8ã ãåëèÿ (îäíîàòîìíûé ãàç) îáúåìà V1 = 10ë äî îáúåìà

V2 = 25ë.

Îòâåò: ∆S = (m/M)(5/2)R ln(V2/V1) = 38, 1Äæ/K.

9.9. Íàéòè èçìåíåíèå ∆S ýíòðîïèè ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðå-

íèè ìàññû m = 6ã âîäîðîäà îò äàâëåíèÿ p1 = 100êÏà äî äàâëåíèÿ

p2 = 50êÏà

Îòâåò: ∆S = 17, 3Äæ/K.

9.10. Ìàññà m = 10ã êèñëîðîäà íàãðåâàåòñÿ îò òåìïåðàòóðû t1 =50◦C äî òåìïåðàòóðû t2 = 150◦C. Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè ∆S,

åñëè íàãðåâàíèå ïðîèñõîäèò: à) èçîõîðè÷åñêè; á) èçîáàðè÷åñêè.

Îòâåò: à)∆S =5

2

m

MR ln

T2

T1

= 1, 75Äæ/K; á)∆S =7

2

m

MR ln

T2

T1

=

2, 45Äæ/K.

9.11. Èäåàëüíûé ãàç ïåðåõîäèò èç ñîñòîÿíèÿ A, â êîòîðîì îí çà-

íèìàë îáúåì V1 ïðè äàâëåíèè p1, â ñîñòîÿíèå B ñ îáúåìîì V2 è

äàâëåíèåì p2 (ñì. ðèñ. 29). Íàéòè èçìåíåíèå ýíòðîïèè, åñëè ïåðå-

õîä ñîâåðøàëñÿ: à) ïî ó÷àñòêó ACB; á) ïî ó÷àñòêó ADB.

Îòâåò: (∆S)ACB = (∆S)ADB = νCp ln(V2/V1) + νCV ln(p2/p1).

9.12. Âîçäóõ, íàõîäÿùèéñÿ ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 0◦C è äàâëåíèè

p1 = 98êÏà, èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðèëñÿ îò îáúåìà V1 = 1ì3

äî

îáúåìà V2 = 2V1. Íàéòè èçìåíåíèå ∆S ýíòðîïèè ïðè ýòîì ïðî-

öåññå.

Ýíòðîïèÿ 65

Îòâåò: ∆S =p1V1

T1

lnV2

V1

= 249Äæ/K.

9.13. ×åòûðå ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà â îáðàòèìîì ïðîöåññå èçîòåð-

ìè÷åñêè ðàñøèðèëè îò îáúåìà V1 äî îáúåìà V2 = 2V1. Íàéòè: à)

ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ãàçîì; á) ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè. Êàêîâî èç-

ìåíåíèå ýíòðîïèè ïðè îáðàòèìîì àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè.

Îòâåò: 9,22êÄæ; 23,1Äæ/Ê; 0.

9.14. Äâà ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ñíà÷àëà èçîõîðî÷åñêè îõëàäèëè,

à çàòåì èçîáàðè÷åñêè ðàñøèðèëè, òàê ÷òî òåìïåðàòóðà ãàçà ñòàëà

ðàâíîé ïåðâîíà÷àëüíîé. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè ãàçà åñëè

åãî äàâëåíèå â äàííîì ïðîöåññå èçìåíèëîñü â n = 3, 3 ðàçà.

Îòâåò: ∆S = 2R lnn

9.14. Íàéòè ïðèðàùåíèå ýíòðîïèè äâóõ ìîëåé èäåàëüíîãî ãàçà ñ

ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ = 1, 3, åñëè â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî ïðî-

öåññà îáúåì ãàçà óâåëè÷èëñÿ â α = 2, 0 ðàçà, à äàâëåíèå óìåíüøè-

ëîñü â β = 3, 0 ðàç.

Îòâåò: ∆S = νR(γ − 1)−1(γ lnα− ln β).

9.15. Èäåàëüíûé ãàç ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ ñîâåðøàåò ïðîöåññ

p = p0−αV , ãäå p0 è α ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, V - îáúåì. Ïðè

êàêîì çíà÷åíèè îáúåìà ýíòðîïèÿ ãàçà îêàæåòñÿ ìàêñèìàëüíîé.

Îòâåò: V

extr

=γp0

α(γ + 1)

.

66 Ïðèëîæåíèÿ

Òàáëèöà 1. Ïîñòîÿííûå ãàçîâ (ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ)

�àç ìîëÿðíàÿ ìàññà(ã/ìîëü) γ = Cp/CV

He 4 1.67

Ar 40 1.67

H2 2 1.41

N2 28 1.40

O2 32 1.40

CO2 44 1.30

HO2 18 1.32

Âîçäóõ 29 1.40

Òàáëèöà 2. Ïîñòîÿííûå Âàí-Äåð-Âààëüñà(ïðè íîðìàëüíûõ óñëî-

âèÿõ)

�àç a(Ïà · ì6/ìîëü2) b · 10−6(ì3/ìîëü)

Ar 0,132 32

H2 0,024 27

N2 0,137 39

O2 0,137 32

CO2 0,367 43

HO2 0,554 30

Ëèòåðàòóðà 67

Ëèòåðàòóðà

1. Âîëüêåíøòåéí Â.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáùåìó êóðñó �èçèêè.

 2-õ êí. Ì.: "Îëèìï": ÎÎÎ "Ôèðìà "Èçäàòåëüñòâî ÀÑÒ 1999.

2. Èðîäîâ È.Å. Çàäà÷è ïî îáùåé �èçèêå. Ì.: ÍÒÖ "ÂËÀÄÈÑ 1997.

3. Ñàâåëüåâ È.Â.Êóðñ îáùåé �èçèêè ÑÏá.: Èçäàòåëüñòâî "Ëàíü 2008.

4. Èðîäîâ È.Å. Ìåõàíèêà. Îñíîâíûå çàêîíû, 5-å èçä. Ì.: Ëàáîðà-

òîðèÿ áàçîâûõ çíàíèé, 2000.

5. Walker J., Halliday D., Resni k R. Fundamentals of Physi s. John

Willey and Sons, In ., 2014.

Ó÷åáíîå èçäàíèå

ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ

Áóõáèíäåð

�åííàäèé Ëüâîâè÷

Ñàíèòàðíî-ãèãèåíè÷åñêèé ñåðòè�èêàò �

�åäàêòîð ???

Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Í.Ñ. Ñåðîïÿí

Äèçàéí îáëîæêè ???

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü ??? Ôîðìàò 60× 84 1/16.Ïå÷. ë. ???. Óñë. ïå÷. ë. ??. Ó÷.-èçä. ë. ??. Òèðàæ ??ýêç. Çàêàç

Èçäàòåëüñòâî Îìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà

644077, Îìñê-77, ïð. Ìèðà, 55à