ARICA COLLEGE GRADE : NINTHMATHEMATICS DEPARTMENT TEACHER:: CINDY SAMIT ELGUETAARICA-CHILE 2011 PAULA HUARACHE HUMIRE

MARIELA PALMA HERNÁNDEZ MARIA LILY BUNEDER JORRAT

Vamos a recordar el proceso de máximo común divisor, ya que es muy útil para poder continuar con la factorización. Hay dos formas de realizar éste proceso:

1º forma de calcular el máximo común divisor:

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se

sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

Esto sirve para números pequeños, pero para números grandes hay otra manera:

La descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).

Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las  reglas divisibilidad . Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40

 

2 60

 

220 2 30 210 2 15 35 5 5 51   1  

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 2010: 1, 2, 5 y 10

Luego de recordar como se realiza el máximo común divisor, vamos a ejercitar.

M.C.D. 40 = 2x2x2x5

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

Una vez ejercitado el m.c.d., vamos a comenzar conocer el proceso de Factorización.

FACTORIZACIÓNDefinición: Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadasfactores de ella y, la determinación de estas cantidades es llamada factorización.

FACTOR COMÚN MONOMIOEs el factor que está presente en cada término del polinomio.

Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un factor común, la expresión puede ser simplificada dividiendo cada término separadamente por este factor y encerrando la cantidad que resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente.

Ejemplo 1: Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a.,luego: 3a² - 6ab = 3a(a - 2b) .

Determina el FACTOR COMÚN de cada término.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA FACTOR COMÚN1) 5a²b + 15ab =2) 8x – 4x² + 24x³ =3) 14m²n + 21m³n= 4) 28p²q³ – 7pq² + 32qp³ =5) 36 x³y³z³ + 54x²y – 72yz³ =

Ejercicios: Factoriza

1) a² + ab =

2) b + b² =

3) x – x² + x³ =

4) 3a³ - a² =

5) 4x³ - 4x =

6) 5m² + 15m³=

7) ab – bc =

8) x²y + x²z =

9) 2b²x + 6bx² =

10) 8m² - 12mn =

11) 9a³x² - 18ax³=

12) 15c³d² + 60c²d³ =

13) 35m²n³ - 70m³ =

14) abc + abc² =

15) 24a²xy² - 36x²y =

16) a³ + a² + a =

17) 4x² - 8x + 2 =

18) 15y³ + 20y² - 5y =

19) a³ - a²x + ax² =

20) 2a²x + 2ax² - 3ax =

21) 3x³ + 18x – 6x³ =

22) 14x²y² - 28 x³ + 56x =

23) 34ax² + 51ay² - 68ay² =

24) 96 – 48mn² + 144n³ =

FACTOR COMÚN POLINOMIO

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

Ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio  ( x – y ), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

FACTOR COMÚN POR AGRUPAMIENTO DE TÉRMINOS

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser arreglados en grupos que tengan un factor común.Ejemplo 1: factorizar x² - ax + bx - abNotemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los dos últimos tienen factor común b, entonces agrupamos los dos primeros términos entre paréntesis y los dos últimos también.x² - ax + bx - ab = x(x - a) + b(x - a) = (x - a)(x + b)

Ejemplo 2: factorizar 6x² - 9ax + 4bx - 6ab6x² - 9ax + 4bx - 6ab = (6x² - 9ax) + (4bx - 6ab) = 3x(2x - 3a) + 2b(2x - 3a) = (2x - 3a)(3x + 2b)

CASO 2: Factor común por agrupamiento de términos

Ejemplos:

a) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + ( ay + by)

= x(a + b) + y(a + b)

= (a +b) (x + y)

b) 3m2 – 6mn + 4m – 8n = (3m2 – 6mn) + (4m – 8n)

= 3m(m – 2n) + 4(m – 2n)

= (m – 2n) (3m +4)

c) 2x2 – 3xy – 4x + 6y = (2x2 – 3xy) – (4x – 6y)

= x(2x– 3y) – 2(2x – 3y)

= (2x – 3y) (x- 2)

Ejercicios:

1) 3ax – 3x + 4y – 4ay =

2) a2 + ab + ax + bx =

3) am – bm + an – bn =

4) ax – 2bx – 2ay + 4by =

5) x2 – a2 + x – a2x =

6) 4a3 – 1 – a2 + 4a =

7) x + x2 – xy2 – y2

8) 3a2 –7b2x + 3ax –7ab2 =

9)2am – 2an +2a – m + n – 1 =

10)3ax – 2by – 2bx –6a +3ay + 4b =

2. Factorizo las siguientes expresiones algebraicas, para ello agrupo adecuadamente:

a) a(x + 1) + b ( x + 1 ) =

b) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

c) x2( p + q ) – y2( p + q ) =

d) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =

e) ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

f) a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

g) (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =

h) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

i) a( a + b ) - b ( a + b ) =

j) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )=

k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =

l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by =

n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =

FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS

Para factorizar binomios que sean una diferencia de cuadrados, usaremos el producto notable SUMA POR SU DIFERENCIA.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Cuadrados perfectos

¿Qué es cuadrado perfecto?

En este caso la factorización será el producto de dos binomios que se diferencian sólo en el signo entre sus términos.

EJEMPLO:

a2 – 49 = (a + 7)(a - 7)

(a)2 (7)2

225 a2 – 81 b2 = (15a3 + 9b2)( 15a3 - 9b2 )

(15a3)2 (9b2)2

CASO 3: Diferencia de cuadrados perfectos

Ejemplos: a) 1 – a2 = (1 + a) (1 – a)

b) 16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) (4x – 5y2)

c) 4a2 – 9 = (2a + 3)(2a – 3)

d) 25 – 36x4 = (5 +6x2) (5 – 6x2)

e) 16 – n2 = (4 +n)(4 –n)

Ejercicios:

1) 25y6-9 =

2) 9z2-1 =

3) 121h2 - 144k2 =

4) =

5) =

6) 100 – x2y6 =

7) 4x2 – 81y4 =

8) 25x2y4 – 121 =

9) 100m2n4 – 169y6 =

10) a2 – 25 =

3. Factorizo las siguientes expresiones algebraicas, si es necesario, más de una vez:a) m2 – 64 = b) 144y2 – 256 = c) 144 – 9x2 =

d) 25x6 – 4y4 = e) 4a2p2 – 16b2q2 = f)( xy)2 – 36 =

g) 81x4 – 16y4 = h) 225 - 25x6 = i) x2y4 –

x4y4 =

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recordemos las expresiones para cuadrados de binomios:

Desde la geometría puedes observar lo siguiente:

Los trinomios y son trinomios cuadrados perfectos porque son cuadrados de un binomio.

Luego, un trinomio es cuadrado perfecto si: El 1º y 3º término del trinomio ordenado son cuadrados perfecto; El 2º término es el doble producto de los valores del 1º y 3º

término.

Ejemplo: es trinomio es cuadrado perfecto, pues el 1º y 3º término del son cuadrados perfecto, y y el 2º término es

En los ejemplos anteriores obtienes que: a2 + 6a + 9 = (a + 3)2 y 4m2 – 4mn2 + n4 = (2m - n2)2

Ahora te toca a ti, demostrar lo aprendido:

CASO 4: Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:a) m2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1)

= (m + 1)2

b)4x2 – 20xy + 25y2 = (2x – 5y)(2x- 5y)

= (2x – 5y)2

c) 1 – 16x2 + 64a2x4 = (1 – 8ax2)(1- 8ax2) = (1- 8ax2)2 d) x2 + bx + b 2 = (x + b )(x + b) = (x + b )2

4 2 2 2

Ejercicios:

1) 9 – 6x + x2 =

2) a2 – 10a + 25 =

3) 16 + 40x2 + 25x4 =

4) 4x2 – 12xy + 9y2 =

5) 9b2 – 30a2b + 25a4 =

6) 9a2+6a+1 =

7) 25m2-70mn +49n2 =

8) 400x10 + 40x5 + 1 =

4. Expreso como un producto los siguientes trinomios:

a) x2 + 6x + 8= b) x2 – 16x + 63 =

c) x2 + 10x – 56= d) x2 –13x – 48 =

e) y2 – 7y – 30= f) x2 – 14x + 48=

g) x2 – 5x – 84= h) x2 + 27x + 180=

i) x2 + 7x – 120= j) x2 – 30x + 216=

k) x2 – 7x – 60 = l) x2 + 14x - 51=

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA:

Recordemos que el binomio con término en común es:

Luego el trinomio podría ser factorizado en dos binomios

de la forma , donde p = a + b y q = ab , es decir, a y b son tales que sumados den “p” y multiplicados den “q” .

Ejemplo:

Para factorizar se buscan dos números que sumados den 5 y multiplicado den 6, es decir, 2 y 3.

utilizando los 2 mismos números,

en éste caso el 2 y el 3.

Ósea, a = 2 y b = 3, el 2 y el 3 los encuentras tú, sabiendo que a b = p y a + b = q Luego formamos los dos binomios (2 términos), que son

Queda así

Otro Ejemplo:

Para factorizar se buscan dos números que multiplicado den -14 y sumados den 5 , es decir, 7 y -2 .

Otra forma de buscar los números a y b sería:

Es decir, y sólo nos queda armar los binomios

.

Bien, ahora prueba tú.Busca, dos números, que multiplicados den el 3º término, y sumados den el 2º término de:

x2 + 5x – 14 = 7 (-2) = -14

7 + (-2) = 5 (x + 7)(x – 2)

x2 + 9x + 18 = y2 –8y + 15 = x2– 2x –15= x2 – 7x+ 12= x4 – 5x2 – 50 = x6 + 11x3 – 44 =

Ejercicios:

Resuelve los siguientes trinomios de la forma

CASO 5 : Trinomio de la forma x2 + bx + c

Ejemplos:

a) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) b) x2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)

c) y2 –8y + 15 = (y – 5) (y – 3)

1) x2 – 5x – 14=

2) x2 – 13x + 40 =

3) y2 – 9y + 20 =

4) n2 – 6n – 40 =

5) x2 – 7x – 30 =

6) 14 + 5n – n2 =

7) 21a2 + 4ax – x2 =

8) x6 – 6x3 – 7 =

9) x8 + x4 – 240 =

10) x4 + 5x2 + 4 =

11) x4 + 7ax2 – 60a2 =

12) a4b4 –2a2b2 – 99 =

13) 48 + 2x2 – x4 =

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MARIELA PALMA HERNÁNDEZ MARIA LILY BUNEDER JORRAT

Evaluation of factoring mathematics

Name: __________________Date:_________ Level _______

1. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:

a) 3b – 6x =

b) 5x – 5 =

c) 20u2 – 55u =

d) 16x – 12 =

e) 6x –12y + 18=

f) 15x + 20y – 30=

g) 14c – 21d – 30=

h) 152x2yz – 114xyz2=

i) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =

j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=

k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =

l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=

n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =

ñ) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 =

o) 4g2 + 2gh =

p) 25a – 30ab + 15ab2 =

q) m2 – 64 =

r) 144y2 – 256 =

s) 144 – 9x2=

t) 25x6 – 4y4 =

u) ap + aq + bm + bn=

v) xy – x + 3z – 6 =

w) x2 + xy + xz + yz=

x) 15 + 5x + 3b + xb =

y) ab + a – b – 1 =

z) 25z + 30yz – 45xz = 2 2 2

2. Expresar como un producto:

a) x2 + 6x + 8= b) x2 – 16x + 63=

c) x2 + 10x – 56= d) x2 –13x – 48 =

e) y2 – 7y – 30= f) x2 – 14x + 48=

g) x2 – 5x – 84= h) x2 + 27x + 180=

i) x2 + 7x – 120= j) x2 –30x + 216=

3. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:

a) x2 + 10x + ......... b) y2 –18y + ...........

c) m2 – ......... + 36n2 d) p2 + ............ + 64p2

e) ......... + 42x + 49 f) .......... – 390y + 225

g) 289z2 + 340 z + ........... h) 64x2 – 80xy + ............

4. Expresar como un cuadrado de binomio:

a) g2 + 2gh + h2 =

b) 225 – 30b + b2 =

c) x2 + 2xy + y2 =

d) p2 – 2pq + q2 =

e) a2 – 2a + 1 =

f) m2 – 6m + 9=

g) 9x2 –12xy + 4y2 =

h) 36n2 + 84pn + 49p2 =

5. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:

Completa el recuadro, con el factor común y su factorización:

Expresión algebraica

Factor común

Factorización por factor común

24a3b2 - 12a3b3

5xy2 - 15y =xy2 - y2w =4xy - 8xy2 - 12xy3

16a4b5 - 20a3b2 - 24a2b6

xa + 2 - 3xa + 3 - 5xa

Factorización por diferencia de cuadrados

Factorización por cuadrado perfecto

Factorización de Trinomios de la forma

Factoriza según el caso que identificas: