06 Factorización - Copia DISCUPEN...

8/18/2019 06 Factorización - Copia DISCUPEN...

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Factorización


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La factorización oescríbelo como una

multiplicaciónFactor común,

factorización por agrupación y

por fórmula.


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Las ocho factorizaciones

básicas.

Se inventaron como unprocedimiento para convertir lassumas y restas de polinomios en

productos o multiplicaciones.


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Las ochofactorizaciones.

Factor común.

or

fórmula

or agrupación.

!iferencia de cuadrados "# $ y# % &"' y(&" $ y(!iferencia de cubos ") $ y) % &" $ y(&"' "y ' y#(Suma de cubos ") ' y) % &" ' y(&"# $

"y ' y#( *rinomio cuadrado perfecto.

*rinomio de la forma "# ' b"' c. *rinomio de la forma a"# ' b" '

c.


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FACTOR COMÚN


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Factorizaci n port+rmino o factor

común.Las reglas para encontrar el factor común son:

1)Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en

todos los términos pero que sea la de menor exponente.

2)Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que

divida a todos los coeficientes o números del polinomio.

)!on los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos el

que llamaremos el término o factor común, luegodividiremos al polinomio entre el factor común y el resultado

de la divisi"n ser# el otro factor.

i i


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común.1) a2 $ a% &2) % $ %2 &

) x2 $ x &

') a ( a2 &) x ( 'x' &

*) m2 $ 1m &

+) a% ( %c &

) x2y $ x2- &

) 2a2x $ *ax2 &

1/)ax2 ( 1ax &

a0a $ %)%01 $ %)x

a2 0a ( 1)x 01 ( 'x)

m201 $ m)

%0a ( c)

x2 0y $ -)

2ax 0a $ x)ax2 0a2 ( 2x)

0x $ 1)

i i


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común.1) 1cd2 $ */c2d &2) m2n ( +/m &

) a%c ( a%c2 &

') 2'a2xy2 ( *x2y' &) 1'x2y2 ( 2x $ *x' &

*) m2nx$11/m2nx2(22/m2y&

+) x ( x2 $ x ( x' &

) 12m2n$2'mn2(*m'n$'mn' &

) 1*xy2(x2y(2'x'y2('/x2y&

1/)a2

%$*a%(a

%2

$a2

%x &

1c2d2 0c $ 'd)m20n ( 2m)

a%c

12xy202a2 ( xy2)1'x20y2 ( 2x $ 'x2)

m20nx$2nx2('y)

x 01 ( x $ x2 ( x)

12m2n01 $ 2mn ( m2n2 $ 'mn)

x2y 02xy(1(x2y(y2)

a%0a $ * ( a2

% $ ax)

01 ( c)

- l d d l


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-emplos donde elfactor común es un

polinomio.a0x$1) $ %0x$1) & 0x$1)0a$%)x0a$1) ( 0a$1) & 0a$1)0x()

20x(1) $ y0x(1) & 0x(1)02$y)

m0a(%) $ 0a(%)n & 0a(%)0m$n)

2x0n(1) ( y0n(1) & 0n(1)02x(y)a0n$2) $ n$2 & 0n$2)0a$1)a0n$2) $ 10n$2) &

a2$1 ( %0a2$1) & 0a2$1)01(%)10a2$1) ( %0a2$1) &

- l d d l


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-emplos donde elfactor común es un

polinomio.1(x $ 2a01(x) & 101(x) $ 2a01(x) & 01(x)01$2a)(m(n$x0m$n) & (10m$n)$x0m$n) &0m$n)0x(1)

a0a(%$1)(%20a(%$1) & 0a(%$1)

'm0a2$x(1)$n0x(1$a2) & 0a2$x(1)

0a(%2)

0'm$n)

x02a$%$c)(2a(%(c & 02a$%$c)0x(1)

0x$y)0n$1)(0n$1) & 0n$1)0x$y()

0x$1)0x(2)$y0x(2) & 0x(2)0x$1$y)

0a$)0a$1)('0a$1) & 0a$1)0a$(') & 0a$1)0a(1)


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FACTORIZACIÓN PORAGRUPACIÓN


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Factorización poragrupación.

Factorizar

a2 $ a% $ ax $ %x

a0a $ %) $ x0a $ %) & 0a $ %)0a $ x)

Factorizar

am ( %m $ an ( %n

m0a ( %) $ n0a ( %) &0a ( %)0m $ n)

Factorizar

ax ( 2%x ( 2ay $ '%y

x0a ( 2%) ( 2y0a ( 2%) & 0a ( 2%)0x ( 2y)


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Factorizar

m ( 2n ( 2nx' $ mx'

m $ mx' ( 2n ( 2nx' & m01 $ x') ( 2n01 $ x') &

& 01 $ x')0m ( 2n)

Factorizar

'a ( 1 ( a2 $ 'a

'a $ 'a ( 1 ( a2 & 'a01 $ a2) ( 01 $ a2) &

& 01 $ a2)0'a ( 1)


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Factorizar

x $ x2 ( xy2 ( y2

x2 $ x ( xy2 ( y2 & x0x $ 1) ( y20x $ 1) &

& 0x $ 1)0x ( y2)

Factorizar

a2x2 ( %x2 $ a2y2 ( %y2

a2x2 $ a2y2 ( %x2 ( %y2 & a20x2 $ y2) ( %0x2 $ y2) &

& 0x2 $ y2)0a2 ( %)


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Factorizar

2a2x ( a2y $ 1%y ( *%x

2a2x ( *%x ( a2y $ 1%y & 2x0a2 ( %) ( y0a2 ( %) &

& 0a2 ( %)02x ( y)

Factorizar

*m ( n $ 21nx ( 1'mx

*m ( n ( 1'mx $ 21nx & 02m ( n) ( +x02m ( n) &

& 02m ( n)0 ( +x)


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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULADIFERENCIA DE

CUADRADOS.


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!iferencia decuadrados.

actori-ar.x2 ( y2 & 0x $ y)0x ( y)

*x' ( 'x1/ & 0*x2 $ +x)0*x2 ( +x)

1*a2 ( 2%* & 0'a $ %)0'a ( %)

1 ( 'm2 & 01 $ 2m)01 ( 2m)

a2% ( c2 & 0a%' $ c)0a%' ( c)

'a2 ( & 02a $ )02a ( )

1// ( x2y* & 01/ $ xy)01/ ( xy)

2x

2

y

'

( 121 &0xy2 $ 11)0xy2 ( 11)


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2 ( *x' & 0 $ *x2)0 ( *x2)

1//m2n' ( 1*y* & 01/mn2 $ 1y)01/mn2 ( 1y)

1*x2y' ( 22-12 & 01'xy2 $ 1-*)01'xy2 ( 1-*)

2*a12 ( 2%'m1/ & 01*a* $ 1+%2m)01*a* ( 1+%2m)

1 ( a2%'c*d & 01 $ a%2cd')01 ( a%2cd')

11*

( 'x2

'

& 0 1' $ 2x+ )0 1' ( 2x+ )a2

*

(x*

2

& 0a

*

$x

)0a

*

(x

)


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!aso especial.

0a $ %)2 ( c2 & 0a $ %) $ c30a $ %) ( c3 &

& 0a $ % $ c)0a $ % ( c)

a* ( 0a $ 1)2 & a $ 0a $ 1)3a ( 0a $ 1)3 &

& 0a $ a $ 1)0a ( a ( 1)

0x $ y)2 ( a2 & 0x $ y) $ a30x $ y) ( a3 &

& 0x $ y $ a)0x $ y ( a)

' ( 0a $ 1)2 & 2 $ 0a $ 1)32 ( 0a $ 1)3 &

& 02 $ a $ 1)02 ( a ( 1)


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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULADIFERENCIA DE CUBOS.


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!iferencia de cubos.

actori-ar.x ( y & 0x ( y)0x2 $ xy $ y2)

a ( & 0a ( 2)0a2 $ 2a $ ')

2+a ( %* & 0a ( %2)0a2 $ a%2 $ %')

*'a ( +2 & 0'a ( )01*a2 $ *a $ 1)

x

y*

( 21*y

& 0xy2

( *y

)0x2

y'

$ *xy

$ *y*

)

a%x ( 1 & 0a%x ( 1)0a2%2x2 $ a%x $ 1)

a ( 2+%* & 02a ( %2)0'a2 $ *a%2 $ %')


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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULASUMA DE CUBOS.


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Suma de cubos.

actori-ar.x $ y & 0x $ y)0x2 ( xy $ y2)

a $ & 0a $ 2)0a2 ( 2a $ ')

2+a $ %* & 0a $ %2)0a2 ( a%2 $ %')

*'a $ +2 & 0'a $ )01*a2 ( *a $ 1)

x

y*

$ 21*y

& 0xy2

$ *y

)0x2

y'

( *xy

$ *y*

)

a%x $ 1 & 0a%x $ 1)0a2%2x2 ( a%x $ 1)

a $ 2+%* & 02a $ %2)0'a2 ( *a%2 $ %')


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*rinomio uadradoerfecto

Regla para conocer si un trinomio es cuadradoperfecto.

4n trinomio ordenado en relaci"n con una letra es

cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer

términos son cuadrados perfectos o tienen ra5-

cuadrada exacta positiva y el segundo término es

el do%le producto de sus ra5ces cuadradas.

6or e7emplo: el trinomio a2 ( 1/a $ 2 sus ra5cesson a y 5, su do%le producto es 20a)0) & 10a que

es el segundo término, luego es trinomio cuadrado

perfecto.


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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULATRINOMIO CUADRADO

PERFECTO.


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Regla para conocer si un trinomio es cuadradoperfecto.

6or e7emplo: el trinomio 'm* ( +/amn2 $ 2a2n'

sus ra5ces son 7m3 y 5an2, su do%le producto es20+m)0a2n') & 70am3n2 que es el segundo

término, luego es trinomio cuadrado perfecto.

6or e7emplo: el trinomio %2 ( a2% $ 2a' susra5ces son 3b y 5a2, su do%le producto es 20%)

0a2) & 30a2b que no es el segundo término, luego

no es trinomio cuadrado perfecto.


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actori-aci"n de un trinomio cuadrado perfecto.x2 8 2xy $ y2 & 0x 8 y)2

9stando ordenado se toma la ra5- del primero el

signo del segundo y la ra5- del tercero.

actori-ar

%2 ( /a2% $ 2a' & 0% ( a2)2

'a2 ( 1'a $ 1 & 0+a ( 1)2

* $ 12m2 $ m' & 0* $ m2)2

y' $ 1 $ 2y2 & y' $ 2y2$ 1 & 0y2 $ 1)2


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actori-ar

( *x $ x2 & 0 ( x)2

1 ( 2a $ a* & 01 ( a)2

'x2 ( 12xy $ y2 & 02x ( y)2

1 $ 1'x2y $ 'x'y2 & 01 $ +x2y)2

1 $ a1/ ( 2a & 1 ( 2a $ a1/ & 01 ( a)2

a2' ( a% $ %2 & 0a2 ( %)2


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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULATRINOMIO DE LA FORMA

X2+BX+C.


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*rinomio de la forma"#'b"'c

Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c.

Se ordena en forma descendente se saca ra5- al

primer término y se coloca la misma como el

primer término en un par de paréntesis, luego se

%uscan dos números que sumados o restados den

el coeficiente del segundo término, pero que

multiplicados los mismos números den elcoeficiente del tercer término con todo y signo.

9sos números son respectivamente los segundos

términos del par de paréntesis.


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actori-ar

x2

$ +x $ 1/ & 0x $ 2)0x $ )

Se o%serva que:

2 $ & 7 y 2 x & 10

actori-ar

x2 $ x $ * & 0x $ 2)0x $ )Se o%serva que:

2 $ & 5 y 2 x & 6

actori-ar

x2 ( +x $ 12 & 0x ( )0x ( ')Se o%serva que:

( (' & 7 y

0()x0(') & 12


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actori-ar

x2

$ 2x ( 1 & 0x ( )0x $ )

Se o%serva que:

( $ & 2 y

0()x0) & 15

actori-ar

x2 ( x ( 1' & 0x ( +)0x $ 2)Se o%serva que:

(+ $ 2 & 5 y

0(+)x02) & 1!actori-ar

a2 ( 1a $ '/ & 0a ( )0a ( )Se o%serva que:

( ( & 13 y

0()x0() & !0


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actori-ar

m2

( 11m ( 12 & 0m ( 12)0m $ 1)

Se o%serva que:

(12 $ 1 & 11 y

0(12)x01) & 12

actori-ar

n2 $ 2n ( 2 & 0n ( 1)0n $ 2)Se o%serva que:

(1 $ 2 & 2" y

0(1)x02) & 2#actori-ar

x2 $ *x ( 21* & 0x ( 12)0x $ 1)Se o%serva que:

(12 $1 & 6 y

0(12)x01) & 216


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Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c en casos especiales.

actori-ar

x'

( x2

( / & 0x

2

( 1/)0x

2

$ )

Se o%serva que:

(1/ $ & 5 y

0(1/)x0) & 50

actori-ar

x* $ +x ( '' & 0x ( ')0x $ 11)Se o%serva que:

(' $ 11 & 7 y

0(')x011) & !!actori-ar

a2%2 ( a% ( '2 & 0a% ( +)0a% $ *)Se o%serva que:

(+ $ * & 1 y

0(+)x0*) & !2


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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULATRINOMIO DE LA FORMA

AX2+BX+C.


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*rinomio de la formaa"#'b"'c

Regla para factorizar un trinomio de la formaax2+bx+c.

$%todo de las ti&eras.;rdenado el polinomio se descompone el primer y tercer

términos, en cuatro términos que se colocan en lasesquinas de un rect#ngulo, los primeros del lado i-quierdo

y los segundos del lado derec


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actori-ar

*x2

( +x ( &2x

x

(

1

( x

2x

( +xSegundo!"#$no

02x ( )0x $ 1)


38/51


actori-ar

2/x2

$ +x ( * &'x

x

( 2

1x

( x

+xSegundo!"#$no

0'x $ )0x ( 2)


39/51


actori-ar

1a

2

( 1a ( &a

1a

( 1

( 1a

a

( 1aSegundo!"#$no

0a ( 1)01a $ )


40/51


actori-ar

1x

'

( 11x

2

( 12 &x2

x2

( '

( 2/x2

x2

( 11 x2Segundo!"#$no

0x2 ( ')0x2 $ )


41/51


actori-ar

12x

2

y

2

$ xy ( 2/ &xy

'xy

'

(

1*xy

( 1xy

xySegundo!"#$no

0xy $ ')0'xy ( )

i i d l f


42/51


actori-ar

*x

2

( 11ax ( 1/a

2

&2x

x

( a

2a

( 1ax

'ax

( 11axSegundo!"#$no

02x ( a)0x $ 2a)

i i d l f


43/51


actori-ar

2/ ( x ( x

2

&x

( x

' ( 1x

12x

( xSegundo!"#$no

0 $ x)0' ( x)


44/51

FACTORIZACIÓN PORFÓRMULACOMBINADAS.

l trinomio cuadrado


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l trinomio cuadradoperfecto y la diferencia

de cuadradosactori-ar a2 ( *ay $ y2 ( 'x2 &

6rimero se factori-a el trinomio cuadrado perfecto.

a2 ( *ay $y2 ( 'x2 & 0a ( y)2 ( 'x2

Segundo se factori-a la diferencia de cuadrados.

0a ( y)2 ( 'x2 & 0a ( y) $ 2x30a ( y) ( 2x3 &

Finalmente

a2 6a' +#'2 !x2 ( )a 3' + 2x*)a 3' 2x*


46/51

l trinomio cuadrado


47/51

l trinomio cuadradoperfecto por suma o

restaactori-ar x' $ x2y2 $ y' &

=o es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y

restamos x2

y2

.x' $ x2y2 $ y' & x' $ x2y2 $ y' $ x2y2 ( x2y2 &

inalmente se resuelve como los anteriores:

x' $ 2x2y2 $ y' ( x2y2 & 0x2 $ y2)2 ( x2y2 &

x' $ 2x2y2 $ y' ( x2y2 &

0x2 $ y2) $ xy 30x2 $ y2) ( xy 3 &

x! + x2'2 + '! ( )x2 + '2 + x'*)x2 + '2 x'*

l trinomio cuadrado


48/51

l trinomio cuadradoperfecto por suma o

restaactori-ar 'a' $ a2%2 $ %' &

=o es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y

restamos 'a2

%2

. Se o%tiene de 202)0) ( & '.'a' $ a2%2 $ %' & 'a' $ a2%2 $ %' $ 'a2%2 ( 'a2%2 &

inalmente se resuelve como los anteriores:

'a' $ 12a2%2 $ %' ( 'a2%2 & 02a2 $ %2)2 ( 'a2%2 &

'a' $ 12a2%2 $ %' ( 'a2%2 &

02a2 $ %2) $ 2a%302a2 $ %2) ( 2a%3 &

!a! + "a2b2 + #b! ( )2a2 + 3b2 + 2ab*)2a2 + 3b2 2ab*

i d


49/51

Factorizar una suma dedos cuadrados.

actori-ar

a' $ %' &

9n general una suma de cuadrados no tienefactori-aci"n, pero


50/51

Factorizar una suma dedos cuadrados.

actori-ar

'm' $ 1n' &

6ara formar un trinomio cuadrado perfecto le falta202m2)0n2) & *m2n2

'm' $ *m2n2 $ 1n' ( *m2n2 & 02m2$ n2)2 ( *m2n2 &

Finalmente

!m! + "1n! ( )2m2 + #n2 + 6mn*)2m2 + #n2 6mn*


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