1,0,1

1

nxn

XdxX

nn

0,||ln xCxx

dx

1,0,ln

aaCa

adxa

xx

Cedxe xx

Cxdxsenx cos.

Csenxdxx .cos

Cxdxx )sec(ln)tan(

Cxxdxx )tan()sec(ln)sec(

Cxxecdxxec )cot()(cosln)(cos

Cxsendxx )(ln)cot(

Cxx

dx)tan(

)(cos2

Cxxsen

dx )cot(

)(2

Cxdxx tan.sec2

Cxdxx cot.csc2

Cxdxxx )sec()tan(*)sec(

Cxecdxxanxec )(cos)(cot*)(cos

Cxdxxsenh cosh..

Cxsenhdxx ...cosh

Cxdxxh tanh.sec 2

Cxdxxh coth.csc 2

Cxarcsenx

dx)(

1 2

Ca

xarcsen

xa

dx22

, |x|<|a|

Cxx

dx)arccos(

1 2

Cxx

dx)arctan(

12

Ca

x

aax

dxarctan

122

, a=0

Cxarcxx

dx)sec(

)1( 22

Cax

ax

aax

dx

ln2

122

, a=0

Cxa

xa

axa

dx

ln2

122

, a=0

Caxxax

dx

22

22ln ,a=0

Caxxax

dx 22

22ln ,|x|>|a|

Ca

xarcsenaxaxdxxa )(*

2

1**

2

1 22222

Caxxaaxxdxax 2222222 ln**

2

1**

2

1

Caxxaaxxdxax 2222222 ln**

2

1**

2

1

Identidades trigonometricas e hiperbólicas mas usadas

Sen2 (x) + cos2(x) =1

1 + tan2(x) = sec2(x) csc2(x) + 1 = cot2(x)

sen2(x) = 2

1 ( 1 - cos (2x) )

cos2(x) = 2

1 ( 1 + cos (2x) )

sen(x)*cos(x) = 2

1 sen(2x)

1- cos(x) = 2*sen2 (1/2 x)

1+cos(x) = 2*cos2 (1/2 x)

sen(a + b) = sen(a)*cos(b) + cos(a)*sen(b) sen(a - b) = sen(a)*cos(b) – cos(a)*sen(b) cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)

cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sen(a)*sen(b) para ángulo doble

sen(2a) = 2*sen(a)cos(a) cos(2a) = cos2(a) - sen2(a)

tan(2a) = )(tan1

)tan(*22 a

a

identidades hiperbolicas

cosh²x - senh²x = 1

sech²x + tgh²x = 1

cotgh²x - cosch²x = 1

senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y

cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y

tgh (x ± y) =

senh (2x) = 2 senh x cosh x

cosh (2x) = cosh²h + senh²x

senh a + senh b = 2 senh

cosh a + cosh b = 2 cosh

2senh² = cosh x - 1

2cosh² = cosh x + 1

(senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Fórmula de Moivre

para medio ángulo

2

)cos(1

2

aasen

2

)cos(1

2cos

aa

)cos(1

)cos(1

2tan

a

aa

productos de senos y cósenos

sen(a)*cos(b) = )()(2

1basenbasen

cos(a)*sen(b) = )()(2

1basenbasen

cos(a)*cos(b) = )cos()cos(2

1baba

sen(a)*sen(b) = )cos()cos(2

1baba

Sustitución Trigonometrica

Para integrandos de la forma 222222 ,, axxaxa mas general como aparece en la siguiente tabla.

para Usar Para obtener

222 xba

)(zsenb

aX

)cos(*)(1 2 zazsena

222 xba

)tan(zb

aX

)sec(*)(tan1 2 zaza

222 axb

)sec(zb

aX

)tan(*1)(sec2 zaza

Ejemplo integrando de la forma 222 xba

1.- Hallar 22 4 xx

dx usando la tabla anterior sea x = 2 tang(z) fig .1 entonces dx = 2*sec2(z) dz

además sabemos que tan2(z)+1=sec2(z)

entonces

)(*4

1)cos(*)(

4

1

)(tan

)sec(

4

1

)sec(2(*))(tan*4(

)(sec*2

4

2

22

2

22 zsendzzzsendz

z

z

zz

dzz

xx

dx

pero de la figura 33.1 vemos que sen(z)=24 x

x

por lo tanto C

x

x

xx

dx

4

4

4

2

22

formulas de reducción para funciones trigonometricas

integrales de la forma

senm(x) , cosn(x) con m,n N

Estas integrales se deducen utilizando el método de integración por partes

dxxsenxsendxxsen mm )(*)()( 1

Haciendo u=senm-1(x) du=(m-1)*(senm-2(x))*(cos(x)) dx dv=sen(x) dx v= - cos(x)

dxxxsenmxxsen mm )(cos*)()1()cos(*)( 221 utilizando la identidad cos2(x)=1-sen2(x)

dxsenmdxxsenmxxsen mmm )1()()1()cos(*)( 22 pasando este ultimo miembro del

otro lado y sumando y despejando m se llega al siguiente resultado:

dxxsenm

mxxsen

mdxxsen mmm )(

)1()cos(*)(

1)( 21 .

Haciendo un procedimiento análogo para el coseno se llega a

dxxn

nxsenx

ndxx nnn )(cos

)1()(*)(cos

1)(cos 21

12122 )1(*

)1(2

11

)1)(1(2)1( nnn x

dx

nxn

x

x

dx n N

dxx

x

nxn

xsendx

x

xsennnn

11

)cos(

1

1

)1(

)()( n N

integrando por partes se tiene que

Haciendo un proceso similar para el coseno se tiene que

dxx

xsen

nxn

xdx

x

xnnn

11

)(

1

1

)1(

)cos()cos( n N

1.-

dxxsenx

nm

m

nm

xsenxdxxsenx nm

nmnm )(*)(cos

1)(*)(cos)(*)(cos 2

11

con m,n N

Dos reglas de sustitución útiles en ciertos casos simples. con m,n N

dxxxsenpara nm )(cos*)(.1 . Si m es impar, sustituir u = cos(x).Si n es impar u = sen(x).

dxxxpara nm )(sec*)(tan.2 . Si n es par sustituir u = tan(x).Si m es impar sustituir u = sec(x).

Integrales del tipo

1.- dx ]ß)x - (sen +ß)x +(sen [ 2

1 )cos(*)( dxxxsen

2.- dxxxdxxsenxsen cos( cos [2

1)(*)(

3.- dxdxxx ]ß)x - cos( +ß)x +cos( [ 2

1)cos(*)cos(

con α , β ε R

la reducción anterior se hace tomando en cuenta las identidades cos(a+b) y sen(a+b) desarrollándolas.

Integrales del tipo (25.6) dxdcx

bax

dcx

baxxF

srr

)..,,.........,(1

Con r1,........,rs Q además a,b,c,d R. y 0dc

ba, se reduce a integrales de funciones racionales

Sea m Z no negativo tal que existen p1,p2.........,ps Z. Tal que m

pr

m

pr s

s .,,.........11 haciendo el

cambio de variable dcx

baxt m

entonces mmm dtbaxxctbaxtdcx ;)( despejando “x”

)(tFact

dtbx

m

m

, F(t) es una función racional de “t” y f(t) también es una función racional de “t” (f(x) es la

derivada de F(x)) y dx =f(t) dt como dcx

baxt m

entonces Si

dcx

baxt

i

i

p

mr....2,1

luego

dttftt

ct

dtbFdx

dcx

bax

dcx

baxxF pspi

m

mrsr

)(,.....,,..........,

1

que es una función racional

ejemplos 1

calcular 4 1212 xx

dx donde a=2, b=1, c=0, d=1 y r1=1/2 r2=1/4 ahora verificamos que el

determinante de la matriz formada por a,b,c,d sea distinto de cero ya que sino, no se puede aplicar este método

210

12 continuando vemos que las “r” deben de ser de la forma r1=p1/m , r2=p2/m...........rs=pi/m ahora

para que esto suceda con r1 , r2 multiplicamos a r1 por 1 o sea por 2/2 entonces r1=2/4, r2=1/4 y claramente se observa que m= 4 por lo tanto hacemos la siguiente sustitución t4=2x-1 2x =1 + t4 x = (1+ t4)/2 y dx = 2t3 dt sustituyendo;

ctttt

dtdtt

tt

dtt

tt

dtt

xx

dx1ln22

12)1(22

)()(

2

1212

2

2

3

)4/1(4)2/1(4

3

4

como t4 = 2x+1 42 1212 xtxt entonces el resultado buscado es

cxxxxx

dx

112ln212*212

1212

44

4

ejemplo 2

calcular

dxx

x 4 donde a=1,b=4, c=0, d=1 y r1=1/2 además 1

dc

ba entonces si se puede aplicar

este método. Vemos que m=2 entonces t2 = x+4 x =t2 – 4, dx =2t dt sustituyendo tenemos que

dt

t

ttdt

t

tdx

x

x

422

4

42

2

2

2

que ya se puede resolver como las integrales de funciones

racionales.

Nota: las integrales del tipo dxbaxbaxxF rsr

)......()(, 1 y las del tipo dxxxxF rsr ,.....,, 1 con r Q

se reducen a integrales de funciones racionales mediante una sustitución análoga a la anterior.

Integrales del tipo dxbxax ))((

que ya puede ser calculada por el método de fracciones racionales

integrales del tipo dxcbxaxxR ),( 2, con a 0

se reduce a integrales de funciones raccionales mediante la sustitución de Euler. Casos posibles:

1) a > 0 2) ax2 + bx + c tiene raices reales 3) c > 0

primer caso: a > 0 demostración.

segundo caso: ax 2 + bx + c tiene raíces reales demostración.

R3 puede ser calculada mediante la sustitución )(

)(

1

22

xx

xxat

que en nuestro caso da

(x-x1)t = ))(( 21 xxxxa

o tomando t>0 cuando x x1 y t<0 cuando x x1,(x-x1)t = cbxax 2

te rcer caso: c > 0 demostracion.

ejemplos de los tres casos de la sustitución de Euler.

Ejemplo caso a>0

Calcular cx

dx

2 sol.

Sea cx 2 = -x + t elevando al cuadrado ambos lados x2 + c = x2-2xt + t2 eliminando las “x” cuadras y

despejando la “x “ que sobra se tiene que: t

ctx

2

2 , y dt

t

ctdt

t

ctttdx

2

2

2

2

24

2*)()2*2(

Ahora sustituyendo “x”en parte derecha de cx 2 = -x + t se tiene que cx 2 =t

ctt

t

ct

22

22

Ahora sustituimos en la integral a calcular y (tambien de esta ultima parte se depaja “t” para sustituirlo al final ya que la integral quedara en terminos de “t”)

Se sigue que

CcxxCtt

dtdt

t

ct

t

ct

cx

dx 2

2

2

2

2lnln

2

2

Ejemplo caso 2: ax2 + bx + c tiene raices reales Condición 1 que x1 = x2 (siendo estas raices del polinomio)

Calcular dxxx 242 2 dividiendo entre 2 y factorizando 12)1(2 2 xx luego

dxxdxxdxxx 1212242 2 pero se sabe que x-1= x-1 si x 0 ò x-1= -(x-1) si x0

pero esta ultima nos dice que –(x-1)=x-1 si x 1 ò -(x-1) =1-x si x 1 entonces concluimos que

1,,22

22422

2 xsiCxx

dxxx pero si x<1 entonces el resultado es Cx

x 2

222

condicion 2 x1 x2 ejemplo:

calcular 432 xx

dx sol.

Sus raices son x1= - 4, x2 =1 sea (x+4)t = )1)(4( xx elevando al cuadrado ambos lados

(x+4)2t2 = (x+4)(x-1) (x+4)t2 =(x-1) depejando “x” se tiene que dtt

tdx

t

tx

222

2

)1(

10,

1

41

Regresando un poco sabiamos que (x+4)t = )1)(4( xx sustituyendo el valor anterior de “x” en la parte

izquierda se tiene que )1)(4( xx = tt

t

4

1

412

2

ahora haciendo calculos concluimos que

2

2

1

543

t

txx

tomando este ultimo valor y el de “dx” sustituimos en;

C

t

t

t

dtdt

t

t

t

t

xx

dx

1

1ln

12

1

5

)1(

10

432

2

2

2 ya solo falta despejar “t” de (x+4)t = )1)(4( xx

y sustituirlo en este ultimo resultado para que quede en terminos de “x” y no de “t”.

Tercer caso c 0

Ejemplo: calcular

dx

xx

xx

2

2

1

11 sol.

Haciendo xtxx 11 2 elevando al cuadrado ambos lados 1+ x + x2 = 1 + 2xt +x2t2

Se sigue que x2 + x = 2xt +x2t2 x + 1 = 2t + xt2 despejando “x” 21

12

t

tx

dt

t

tdx

22 )1(

22

Ahora sustituimos a “x” en la parte derecha de xtxx 11 2 t

t

txx

2

2

1

1211

Se concluye que 2

22

1

131

t

ttxx

ahora regresando tenemos que;

dt

t

t

t

tt

t

tt

dxxx

xx22

2

2

2

2

2

2

)1(

22

1

13

1

131

1

11 que al simplificar se convierte en una funcion racional

que se puede integrar según lo visto de funciones racionales.

Integrales del binomio diferencial del tipo dxbXaX pnm )(

Con a,b R, a0, b0 , p Q y m,n Z con n0 se reducen a integrales de funciones racionales

unicamente cuando

1 ) p Z y 11

n

mq Q

2 ) p Q y q Z

3 ) p+q Z

caso 1 dem.

Como q Q, entonces, haciendo xn = t x = t 1/n

dttn

dx n 1/11

Ahora sustituyendo en:

dttbtan

dttbtan

dttbtatn

dxbXaX qpn

m

pnpn

m

pnm )(1

)(1

)(1

)(1

11

1

Caso 2 Dem.

Sea p = r/s con r,s Z y s0 haciendo (a + bxn) = ts despejando “x” bxn = ts-a

dtstatn

bdxb

atx snsn

ns11)/1()/1(

1

)(1

,

ahora sustituyendo se tiene que

dttatn

bsdttat

n

bs

dtstatn

btatbdxbXaX

srqssspnn

m

s

snsnspmnsnpnm

111

1

11)/1()/1()/1()/1(

)()(

)(1

)()(

la cual es una integral de una función racional

caso 3 Dem. Sea

dxxX

bXadxx

X

bXaXdxbXaX npm

p

n

nnp

p

n

nmpnm

)(

Haciendo )/1(/1

1

)( nsnn

s

nns

n

ns bta

bt

axabxxt

x

bxat

Ademas dtstbtnadx snsn 11)/1(/1 ))(/1(

Haciendo el cambio de variable o sustitución en :

dttbtn

sadttbt

n

sa

dtstbtn

abtat

dxxX

bXadxx

X

bXaXdxbXaX

srqpsqp

srpnn

ms

pnnm

snsnnpmnsnsp

npm

p

n

nnp

p

n

nmpnm

)1()2()1(

111)/1()/(

11)/1(/1)/1(/1 ))(1

()(

)(

que es una integral de una función racional. Chebishev mostro que para los exponentes m,n,p que no satisfacen alguno de los casos anteriores la integral no se expresa atraves de funciones elementales.

Ejemplos:

Caso 1 p Z q Q

Calcular )1( 3 23 2 xx

dx sol.

Tambien se puede espresar como

dxxx

xx

dx 1)3/2()3/2(

3 23 2)1(

)1( donde se observa que m=(-2/3),

n =(2/3), p = -1 y q = (m+1/n)-1 = (-1/2) que es el primer caso. Haciendo x2/3 = t2 x = t3 dx = 3t2 dt entonces haciendo el cambio de variable se tiene que;

CxCtt

dtdttdttttdxxx

xx

dx 3

2

1221221)3/2()3/2(

3 23 2arctan3)arctan(3

13)1(33)1()1(

)1(

caso 2 p Q

calcular

dxx

x

2

3

1 sol. también se puede expresar como

dxxxdxx

x )2/1(23

2

3

)1(1

donde m=3

n=2, p=(-1/2) y q = 1. haciendo 1-x2 = t2 x=(1-t2)(1/2) dtt

tdx

21 sustituyendo;

Ct

tdtdttdttdt

t

ttt

3)1(

1)()1(

322

2

)2/1(2)2/3(2 como t2 = 1-x2 t =21 x

por lo tanto Cxxdxx

x

2)2/3(2

2

3

1)1(3

1

1.

Caso 3 p+q Z

Calcular 322 )1( xx

dx sol.

dxxxxx

dx )2/3(22

322)1(

)1( donde m= -2, n=2,

p= -3/2 y q = -3/2 p+q = -3.

Haciendo

tdttdxtt

xxxtx

xt 2)1(

2

1,)1(

1

1,1

1 )2/3(22/12

2/1

2

222

2

22

Sabemos que

dxx

x

xdxx

x

xxdxxx

xx

dx 52

3

2

23

2

3

2

22)2/3(22

322

11)1(

)1(

Ahora sustituyendo en esta ultima parte se tiene

dtt

tdttttdtttt

2

222)2/3(2)2/5(23 1

)1(2)1)(2/1()1( esta ultima integral ya es muy sencilla

de calcular por funciones racionales y desoues dejar todo en terminos de “x” y no de “t” y eso es todo.

Integrales del tipo dxxsenxF )cos,(

Se reducen a integrales de funciones racionales con -<x< Dem.

Sen(x) = sen(x/2+x/2) = sen(x/2)*cos(x/2)+cos(x/2)*sen(x/2) = 2sen(x/2)*cos(x/2)

Ahora dividimos entre 1=sen2(x/2)+cos2(x/2) y multiplicamos por 1 =)2/(cos

)2/(cos2

2

x

xluego simplificamos;

1)2/(tan

)2/tan(2

)2/(cos

)2/(cos

)2/(cos

)2/(

)2/cos(

)2/cos(*

)2/cos(

)2/(2

)2/(cos)2/(

)2/cos(*)2/(2*

)2/(cos

)2/(cos

)2/(cos)2/(

)2/cos()2/(2)(

2

2

2

2

2222

2

22

x

x

x

x

x

xsen

x

x

x

xsen

xxsen

xxsen

x

x

xxsen

xxsenxsen

haciendo algo análogo a lo anterior se llega a )2/(tan1

)2/(tan1)cos(

2

2

x

xx

haciendo u = tan(x/2) x = 2arctanu 21

2

u

dudx

entonces

21

2)(

u

uxsen

y 2

2

1

1)cos(

u

ux

de esta forma la integral 22

2

2 1

2

1

1,

1

2)cos,(

u

du

u

u

u

uFdxxsenxF

que es una integral de una

función racional.

Ejemplos:

Solo sustituimos a sen(x),cos(x) y dx por 21

2)(

u

uxsen

,

2

2

1

1)cos(

u

ux

,

21

2

u

dudx

respectivamente.

1.- Calcular )(1 xsen

dx sol.

2

2

2

2

2

2

)1(2

1

)1(

1

1

2

1

21

1

2

)(1 u

dudu

u

u

udu

u

uu

xsen

dx haciendo t = 1+u,,dt = du.

entonces

CtCt

dttt

dt

u

du 11

2

222

1222

)1(2

como t = 1+u y u = tan(x/2) t = 1+ tan(x/2)

por lo tanto Cx

CxCtxsen

dx

)2/tan(1

2))2/tan(1(22

)(1

11

2.- Calcular x

dx4cos

sol

duu

udu

u

u

udu

u

u

u

x

dx42

32

42

42

2

4

2

2

2

4 )1(

)1(2

)1(

)1(

1

1

2

1

1

1

2

cos esta integral se ha convertido en una mas

complicada a veces este metodo complica algunas integrales como la anterior que se puede resolver

utilizando la siguiente transformación,

dxxxxdxxxx

dx

x

dx 2222

224sec*)tan1(sec*sec

cos*coscos

Haciendo t = tanx dt = sec2xdx

Ct

tdttdxx

dx

3)1(sec*)tan1(

cos

3222

4 como t = tanx

Cx

xCt

tx

dx 3

tantan

3cos

33

4 fue mas facil que con el metodo, a veces el metodo anterior no sera

conveniente.

Observación: las siguientes integrales su primitiva no es una función elemental o una combinación de

funciones elementales no se pueden resolver en términos de funciones elementales, es decir no se pueden

resolver por ningun metodo de los anteriores mencionados.

con n ε N

Deducción de las formulas que aparecen en rojo

1.-