INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

7/24/2019 INTEGRACION INDEFINIDA_INMEDIATAS

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1.- CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

Entre los propsitos de este material se encuentra el de

presentar el proceso de integracin como una operacin inversa

al proceso de derivacin.

Algunos autores utilizan los trminos antidiferenciacin o

antiderivacin como sinnimos de integracin; mientras que

otros hacen referencia al trmino antiderivada, como el

resultado de aplicar el proceso de integracin.

La diferencia entre integraciny antiderivada,se pone de

manifiesto mediante la siguiente afirmacin: la integracines

el proceso que permite otener antiderivadas.

!sando el hecho de que los procesos mencionados son

inversos, se puede otener la funcin que se ha integrado

, a partir de una antiderivada . "ara ello, asta con derivar

sta #ltima funcin. Es por esto que se acostumra a

escriir .

$e estalece como definicin de antiderivada, la siguiente:

!na funcin para la cual , es una antiderivada

de . %onde recorre todo el dominio de .

1.1 Notacin Bsica!

Al momento de resolver integrales se presenta una

estructura como la siguiente:

%onde:

El s&molo es el signo integral.

es el integrando o funcin primitiva.

indica que el proceso de integracin se efect#a

respecto a la variale .

representa la antiderivada.


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es la constante de integracin.

Nota 1:La expresin , no representa una sola antiderivada, sino elconjunto de todas las posibles antiderivadas que puede tener el integrando.Esto es posible debido a que cada vez que se le asigne un valor a la constante

de integracin C, se tendr una expresin que constituye una antiderivada.

1." #$todos de Reso%&cin de integra%es.

1.".1 Reso%&cin de Integra%es Por Integracin

In'ediata!

'omo su nomre lo indica, el mencionado mtodo consiste

en la aplicacin inmediata de una o varias reglas de integracin

ya estalecidas y que son de f(cil aplicacin, aunque ) en

algunos casos* ser( necesaria el desarrollo de operacionesalgeraicas (sicas y que se supone el estudiante posee como

redes conceptuales previas.

A continuacin se presenta un con+unto de e+emplos, cuya

funcin es ilustrar la teor&a epuesta hasta el momento, e

introducir este primer mtodo de integracin.

E(e')%o1

Resolver la siguiente integral:

Solucin

Mtodo a emplear: Integracin inmediata de funciones potenciales.

Regla de integracin:

Ecuacin 1.1

Desarrollo:

Determinar el valor de n. Para ello se debe comparar la integral dada,

con la regla de integracin. l realizar dic!a comparacin, se obtiene

que"

n#$.

%iguiendo la regla de integracin, se debe realizar la siguiente

operacin:


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n&'

(omo n#$, se tendr el siguiente resultado"

n&'#$&'#)

La regla de integracin que se est aplicando, para resolver este

ejercicio, indica que *ste resultado debe colocarse tanto en elexponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. s+

se obtiene"

!ora, si a *sta expresin se le agrega la constante de integracin c, se

tendr que"

(oncluy*ndose que"

=

eri-cacin" %i se deriva el resultado, ,se obtiene , que

constituye la uncin primitiva u original/ poni*ndose de mani-esto que

la diferenciaciny la integracinson procesos inversos.

* De lo realizado en la veri-cacin, se establece que" Para comprobar si elresultado obtenido al resolver una integral es o no correcto basta conaplicarle el proceso de derivacin a dic!o resultado. La respuesta se consideracorrecta si la derivada coincide con el integrando, resultando incorrecta encaso contrario.Es responsabilidad del lector, realizar la mencionada veri-cacin para cadaejercicio que analice o resuelva y por tanto, este punto no se incluir en losejemplos subsiguientes.

E(e')%o "


Solucin
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#mhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#mhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#mhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#m


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Mtodo a emplear: Integracin de la sumatoria de funciones e Integracin

inmediata de funciones potenciales.

Reglas de integracin:

Ecuacin 1.2

yEcuacin1.1

Antes de presentar el desarrollo de la integral dada, es necesario recordar que la

integral es un operador lineal y por tanto cumple con las siguientes propiedades:

1.Las constantes pueden ser extradas del smbolo integral.

2.Si el exponente del integrando es uno y est conormado por t!rminos "uese estn sumando o restando entre s# la integral original puede separarse en

tantas integrales como t!rminos posea el integrando.

Desarrollo:

(omo el integrando tiene exponente ' y est conormado por

dos t*rminos que se estn restando, se puede aplicar la

propiedad 0 de un operador lineal 12.L3, es decir, la integral original

puede ser reemplazada por dos integrales parciales, como se muestra a

continuacin:

$

s+, se !a simpli-cado el ejercicio original y bastar con resolver

cada una de las integrales parciales para obtener la respuesta

pedida.

En las integrales parciales, se observa la presencia de

constantes por lo cual, en atencin a la propiedad ' de

un 12.L3, se procede a extraer dic!as constantes de cada unode los s+mbolos integrales. s+"

El dierencial indica que se debe integrar con respecto a la

variabley, razn por la cual, se !ace pertinente transormar
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#nhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#rhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#rhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#nhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#rhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#r


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el radical en exponente raccionario y a su vez, colocar

en el numerador, cambiando el signo de su exponente de

acuerdo a de las reglas de potenciacin, seccin0.

2bteni*ndose"

!ora, basta con recordar y aplicar los pasos desarrollados en

el ejercicio anterior para obtener"

4esolviendo las operaciones bsicas indicadas en la expresin

anterior, se tiene que:

+

%e tomar como norma de uniormidad la siguiente"

5Los resultados nales de una integral, no debern

contener exponentes fraccionarios ni exponentes

negativos6

1er" redes conceptuales previas, seccion -y seccion /

plicando este criterio, se obtiene"

(oncluy*ndose que"

Si bien es cierto "ue cada integral aporta una constante# es correcto escribir una

sola %c "ue representa la sumatoria de todas las constantes "ue puedan surgir

en un e'ercicio.
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag2.htm#e


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E(e')%o *


Solucin

Mtodo a emplear: Integracin de suma de trminos no

semejantes, funciones eponenciales y potenciales.


Ecuacin 1.(

y lasEcuacin 1.1y 1.2

Desarrollo:

plicando la Ecuacin 1.2y de acuerdo a lo

explicado en el ejemplo anterior, se puede

escribir"

Obsrvese que se aplicaron las propiedades

de los 2.L se convirti el radical en

exponente fraccionario!

Por potenciacin, se obtiene:

plicando la Ecuacin 1.(y la Ecuacin 1.1,

respectivamente, se tendr el siguiente

resultado"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#c


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4esolviendo las operaciones bsicas

indicadas en la expresin anterior yaplicando el criterio de uniormidad, se

tiene que"

(oncluy*ndose que"

E(e')%o +


Solucin

Mtodo a emplear: Integral de la suma de trminos no semejantes,

Integracin inmediata de funciones potenciales.


Ecuacin 1.)

Ecuacin 1.*

y lasEcuacin 1.1y1.2

Desarrollo:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#d


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plicar las propiedades de los 2.Ly

la Ecuacin 1.2, para obtener""

Obsrvese que no se convirti el radical en

exponente fraccionario, debido a que, de

acuerdo al diferencial, se debe integrar con

respecto a y" por lo tanto, se co#porta

co#o una constante, quedando fuera de la

integral!

!ora se tienen tres integrales por

resolver. Para resolver la primera seaplica la Ecuacin 1.). La segunda ya ha

sido resuelta en los ejemplos anteriores

(Ecuacin 1.1). Para resoler la tercera

integral, se de!e aplicar la Ecuacin 1.*. "s#,

se o!tiene:

E(e')%o ,


Solucin

Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin inmediata

de funciones potenciales.

Regla de integracin:Ecuacin 1.1# 1.$y1.%

Desarrollo:

l aplicar la Ecuacin 1.2 y las propiedades de los 12.L3, se obtiene"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag3.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#b


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$

!ora se tienen cuatro integrales por resolver. La primera se puede

resolver aplicando laEcuacin 1.*.&anto la segunda como la cuarta integral ya han

sido resueltas en los ejemplos anteriores (Ecuacin 1.1). Para resoler la tercera integral, se

de!e sacar e2de la integral por tratarse de una constante, ya 'ue no depende de la

aria!le u,y aplicar la Ecuacin 1.). "s#, se concluye 'ue:

E(e')%o


Solucin



Regla de integracin: Ecuacin 1.1#1.$#1.) y1.% Desarrollo:

l dividir los elementos del numerador por el denominador, se

obtiene"

$

l aplicar la Ecuacin 1.2 y las propiedades de los 12.L3, se

obtiene"

!ora se tienen tres integrales por resolver. La primera se

puede resolver aplicando la Ecuacin 1.).La segunda se resuele

mediante la Ecuacin 1.*. La tercera ya ha sido resuelta en los ejemplos

anteriores (Ecuacin 1.1). "s#, se concluye 'ue:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag4.htm#c


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E(e')%o


Solucin

Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracininmediata de funciones potenciales.

Regla de integracin: Ecuacin 1.1 y1.$.

Desarrollo:

%i se aplica propiedad distributiva y se

dividen los elementos del numerador por

el denominador, se obtiene"

l agrupar y ordenar los t*rminos

semejantes, aplicar la $cuacin 1!%y las

propiedades de los2.L, se obtiene"

!ora se tienen tres integrales por

resolver y esto puede !acerse aplicando

la Ecuacin 1.1.y simpliicando. "s#, se concluye

'ue:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#c


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E(e')%o /


Solucin

Mtodo a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integracin

inmediata de funciones potenciales.

Regla de integracin: Ecuacin 1.1 y1.$

Desarrollo:

%i se aplica propiedad distributiva y se

resuelve la multiplicacin de igual base

1ver"potenciacin),se obtiene"

l aplicar la Ecuacin '.0, se obtiene"

!ora se tienen dos integrales por

resolver y este tipo de ecuaciones ya ue

resuelto anteriormente 17rabajar con

exponentes raccionarios y aplicar

la Ecuacin 1.1.). "s#, se concluye 'ue:

E(e')%o 0

http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag5.htm#c


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Solucin


de funciones eponencialesy potenciales.

Regla de integracin:Ecuacin 1.1y1.2y1.(

Desarrollo:

l aplicar la Ecuacin 1.2y2.L, se obtiene"

*

!ora se tienen tres integrales por resolver y este tipo de ecuaciones ya

ue resuelto anteriormente 17rabajar con exponentes raccionarios y

aplicar las Ecuaciones 1.1 y1.(). "s#, se o!tiene 'ue:

* $

(oncluy*ndose que"

$

E(e')%o 1


Solucin



Regla de integracin: Ecuacin 1.1y1.2y 1.)

Desarrollo:

l aplicar la Ecuacin 1.2,2.Ly reglas de potenciacin, se

obtiene"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ahttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#dhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#e


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!ora se tienen tres integrales por resolver y este tipo de

ecuaciones ya ue resuelto anteriormente 17rabajar conexponentes raccionarios y aplicar la Ecuacin 1.1y la Ecuacin

1.)# respectiamente). "s#, se concluye 'ue:

$

'on el o+eto que el lector verifique el aprendiza+e que sore el

mtodo anterior ha adquirido, se presenta a continuacin e+erciciospropuestos y su respuesta, los cuales deen ser resueltos antes de

empezar a estudiar el primo mtodo.

Ejercicios Propuestos de Mtodo # 1

1.

2.

3.

4.

5.

6.
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#ehttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag6.htm#c


14/40

7.

8.

9.

10.

1."." Reso%&cin de Integra%es )or Ca'2io de 3aria2%e

'onsiste en igualar una parte del integrando a una nueva

variale, por e+emplo &, llamada variale auiliar. Luego de

esto, se dee calcular la derivada de la variale auiliar y

realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando

ni en el diferencial, aparezca alguna epresin en trminos de la

variale original. A esto se le denomina camio de variale0'%1/.

Luego de hacer efectivo el '%1, por lo general, se otienen

integrales m(s sencillas que la original, las cuales se resuelven

aplicando lo aprendido en el mtodo anterior. "or esta razn, es

necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho

mtodo puesto que en la solucin de los e+emplos de esta parte

de la ora, no se incluye una eplicacin espec&fica de este

contenido que ya dee ser parte de sus redes conceptuales.

Es importante se2alar que el resultado de la integracin,

dee estar en funcin de las variales originales por lo que se

acostumra a emplear el trmino 3devolviendo el camio de


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variale4 para rese2ar el proceso mediante el cual la variale

auiliar desaparece de la respuesta definitiva.


funcin es introducir este segundo mtodo de integracin.

E(e')%o 1


Solucin

Mtodo a emplear: Integracin por cam!io de "aria!le.

Regla de integracin:Ecuacin 1.1

Desarrollo:

En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente igualdad"

u$ 2x+, -1

Debido a -1, la integral original se transorma, momentneamente en"

$ -2

(omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la variable

original, se debe expresar adx,en uncin de duy para ello se"

Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener"

du#0dx

Divide la expresin anterior entre 0, obteni*ndose"

-(

%i en -2# se reemplaza a dx por la expresin o!tenida en -(y adems se aplica

la propiedad 1de los2.L, se o!tiene:

$ $

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata.Para su solucin !astacon aplicar laEcuacin 1.1. "s#:

Devolviendo el (D, u$2x+, # se obtiene la respuesta -nal. Por tanto"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#c


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E(e')%o "


Solucin

Mtodo a emplear: Integracin por -.

Regla de integracin: Ecuacin 1.1

Desarrollo:

En atencin a la teor+a expuesta, construir la siguiente

igualdad"

u$ )x /1 -1 Debido a -1, la integral original se transorma,

momentneamente en"

$ -2

(omo la integral a resolver no debe quedar en uncin de la

variable original, se debe expresar adx,en uncin de duy

para ello se"


du#8dx


-(

%i en -2# se reemplaza a dx por la expresin o!tenida en -(y

adems se aplica la propiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

$ $

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata."plicando

e/ponente raccionario y laEcuacin 1.1., se o!tiene:

Devolviendo el (D, u$ )x /1# se obtiene la respuesta -nal. Por

tanto"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag9.htm#b


17/40

E(e')%o *


Solucin


Regla de integracin:Ecuacin 1.(

Desarrollo:


u$ 1/x -1


$ -2


original, se debe reemplazar a dx,en uncin duy para ello se"


du#9'dx

Divide la expresin anterior entre 9', obteni*ndose"

9'du#dx -(

%i en -2# se reemplaza a dx por la expresin o!tenida en -(y adems se aplica

la propiedad 1de los2.L, se o!tiene:

$ $

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata .0ecuerde 'ue para su

solucin !asta con aplicar la Ecuacin 1.(. "s#:

Devolviendo el (D, u $ 1/x# se obtiene la respuesta -nal. Por tanto"
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18/40

E(e')%o +


Solucin


Regla de integracin: Ecuacin 1.(

Desarrollo:


igualdad"

u $ x2 -1

Debido a -1, la integral original se transorma,

momentneamente en"

$ $ -2

0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima integral.


variable original, se debe expresar axdx,en uncin duy para

ello se"


du#0xdx


-(

%i en -2# se reemplaza a xdx por la expresin o!tenida en -(y

adems se aplica la propiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

$ $

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata.0ecuerde

'ue para su solucin !asta con aplicar la Ecuacin 1.(. "s#:

Devolviendo el (D, u $ 1/x# se obtiene la respuesta -nal. Por

tanto"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag10.htm#c


19/40

E(e')%o


Solucin



Desarrollo:

En atencin a la teor+a expuesta,

construir la siguiente igualdad"

u$ t2 +1 -1

Debido a -1, la integral original se

transorma, momentneamente en"

-2

0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima

integral.

(omo la integral a resolver no debequedar en uncin de la variable

original, se debe expresar a tdt,en

uncin duy para ello se"

Deriva ambos miembros de 1'3 para

obtener"

du#0tdt

Divide la expresin anterior entre 0,

obteni*ndose"

-(

%i en -2# se reemplaza a tdt por la

expresin o!tenida en -(y adems se aplica
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#c


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la propiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

$ $

Eectuado el (D se obtiene unaintegral inmediata.0ecuerde 'ue para su

solucin !asta con aplicar la Ecuacin 1.1. "s#:

Devolviendo el (D, u$ t2 +1 # se obtiene

la respuesta -nal. Por tanto"

E(e')%o


Solucin



Desarrollo:

En atencin a la teor+a expuesta,

construir la siguiente igualdad"

-1

Debido a -1, la integral original se

transorma, momentneamente en"

-2

0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag11.htm#c


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integral.

(omo la integral a resolver no debe

quedar en uncin de la variable

original, se debe expresar a x0

dx,enuncin de duy para ello se"

Deriva ambos miembros de 1'3 para

obtener"

Divide la expresin anterior entre 0,

obteni*ndose"

-(

%i en -2# se reemplaza a por la

expresin o!tenida en -(y adems se aplica

lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

Eectuado el (D se obtiene una

integral inmediata.Para su solucin !asta conaplicar e/ponente raccionario y la Ecuacin 1.1.

"s#:

Devolviendo el (D, u$ x(+1 # se obtiene

la respuesta -nal. Por tanto"

E(e')%o


Solucin
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Regla de integracin:Ecuacin 1.*

Desarrollo:


u$ y*+1 -1


$ -2


original, se debe expresar a y8d,en uncin de duy para ello se"

Deriva ambos miembros de 1'3 para obtener" du#$ y8 dy

Divide la expresin anterior entre $, obteni*ndose"

-(

%i en -2# se reemplaza a y)dypor la expresin o!tenida en -(y adems se

aplica lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

$ $

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata.Para su solucin !asta

con aplicar laEcuacin 1.*. 4s:

$

&evolviendo el '&(, u$ y*+1 # se obtiene la respuesta nal! )or

tanto:

E(e')%o /


Solucin



Desarrollo:

http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag12.htm#c


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igualdad"

u$ x2+2x+* -1


momentneamente en"

$ $ -2

0bs!rvese la agrupacin de t!rminos# "ue se io en la 3ltima integral.


variable original, se debe expresar a 1x&'3dx,en uncin

de duy para ello se"

Deriva ambos miembros de -1para obtener"

du$-2x+2 dx$2 -x+1 dx (El $ es actor comn)


-(

%i en -2# se reemplaza a 1x&'3dx por la expresin o!tenida

en -(y adems se aplica lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

$

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata .Para su

solucin !asta con aplicar laEcuacin 1.1. "s#:

Devolviendo el (D, u$ x2+2x+* # se obtiene la respuesta -nal.

Por tanto"

E(e')%o 0


Solucin
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Regla de integracin:Ecuacin 1.*

Desarrollo:

En atencin a la teor+a expuesta, construir la

siguiente igualdad"

u$ x*+*x)+15x+12 -1


momentneamente en"

$

$ -2

0bs!rvese "ue en el numerador# se sac actor com3n -67 el (.

(omo la integral a resolver no debe quedar enuncin de la variable x, se debe expresar

a-x)+)x(+2dx,en uncin de duy para ello se"


du $ -*x)+25x(+15dx# *-x)+)x(+2dx ("'u#, se sac el % como 2)

Divide la expresin anterior entre $,

obteni*ndose"

-(

%i en -2# se reemplaza a por la

expresin o!tenida en -(y adems se aplica la propiedad 1de

los 2.L, se o!tiene:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#b


25/40

Eectuado el (D se obtiene una integral

inmediata.Para su solucin !asta con aplicar laEcuacin 1.*."s#:

Devolviendo el (D, # se obtiene la

respuesta -nal. Por tanto"

E(e')%o 1


Solucin


Regla de integracin: Ecuacin 1.*

Desarrollo:


igualdad"

-1

0bs!rvese "ue en este e'ercicio no es conveniente utiliar la letra %u& como

variable auxiliar# debido a "ue la variable originalmente dada en la integral es

precisamente u# ran por la cual# en este e'ercicio# se utilia %z& como variable

auxiliar.
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26/40


momentneamente en"

-2

0bs!rvese "ue en el numerador# se sac actor com3n -67 el (.

(omo la integral a resolver no debe quedar en uncin

de la variable original, que en este caso es 5u6se debe

expresar a ,en uncin de d*y para ello se"


("'u#, se sac el $ como 2)


-(

%i en -2# se reemplaza a por la expresin o!tenida

en -(y adems se aplica lapropiedad 1de los 2.L, se o!tiene:

Eectuado el (D se obtiene una integral inmediata .Para

su solucin !asta con aplicar laEcuacin 1.1."s#:

Devolviendo el (D, # se obtiene la respuesta

-nal. Por tanto"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag13.htm#c


27/40

'on el o+eto que el lector verifique el aprendiza+e que * sore este

segundo mtodo de integracin * ha adquirido, se presenta a

continuacin e+ercicios propuestos y su respuesta, los cuales deen ser

resueltos antes de empezar a estudiar el primo mtodo.

Ejercicios Propuestos de Mtodo # 2

1.

$.

3.

4.

%.

5.

*.

6.

7.

18.


28/40

1.".* Reso%&cin de integra%es )or )artes

%e la frmula para la derivada del producto de dos

funciones, se otiene el mtodo de integracin por partes. $i f y

g son funciones diferenciales, entonces:

Ahora, si se aplican integrales a cada miemro de esta

ecuacin, se tiene que:

5ntegrando, lo que es posile integrar, se otiene:

La Ecuacin 456 se llama frmula para integracin por

partes. 6recuentemente, se utiliza una epresin equivalente

a 456, la cual se otiene al realizar los siguientes camios de

variale:

y

Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se

otiene:

y

As& que la ecuacin 07/ se transforma en:

0Ecuacin 1.6)


29/40

La Ecuacin 1.6 epresa la integral en trminos de

otra integral, , la cual por lo general, se resuelve m(s

f(cilmente que la integral original.

"ara aplicar la integracin por partes, es necesario elegir

adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar

como &. Es importante resaltar que una vez hecha la eleccin

de &, todo lo que queda dentro la integral es dv. "ara efectos de

hacer la mencionada eleccin, es conveniente tener en cuenta

los dos criterios siguientes:

-. la parte que se iguala a dv dee ser f(cilmente

integrale.

. no dee ser m(s complicada que

En la pr(ctica, el proceso de elegir una epresin para u y

otra para dv no es siempre sencillo y no eiste una tcnica

general para efectuar dicho proceso. $in emargo, en el

desarrollo de la presente ora se har( uso de una

8egla E#PIRICAde gran ayuda pero de car(cter NO

GENERAL, denominadaI.L.A.T.E., para hacer la mencionadaeleccin.

La #nica deficiencia de I.L.A.T.E., es que * en algunos

casos * al hacer la eleccin de &, indicada por la mencionada

regla, el proceso de desarrollo del e+ercicio puede entrar en un

ciclo infinito, que no permite otener la solucin

correspondiente. $i esto ocurre, se dee detener el proceso y

hacer una eleccin contraria a la hecha originalmente.

Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:

I9 6unciones 5nversas.

L 9 6unciones Logar&tmicas.

A9 6unciones Algeraicas.


30/40

T9 6unciones rigonomtricas.

E9 6unciones Eponenciales.

La regla I.L.A.T.E., se utiliza 7nica 8

e9c%&siva'entepara realizar la mencionada eleccin, teniendoque recurrir a la ec&acin 1.y los mtodos ya epuestos,

para resolver cualquier e+ercicio relativo al presente tpico. "or

esta razn, es conveniente que el lector haya estudiado *

detalladamente * los dos mtodos anteriores, puesto que en la

solucin de los e+emplos de esta parte de la ora, no se incluye

una eplicacin espec&fica de esos contenidos.

"ara ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la

siguiente situacin:

$upngase que piden resolver la siguiente integral:

Obsrvese que el integrando est co!uesto !or dos

"unciones# una Algebraica(x) $ otraExponencial(ex). %e

buscan las iniciales A$ Een la !alabra !.".A..E.&oo en ella#

le$endo de i'quierda a derec(a# a!arece !riero la letra A# se

elige coo ula "unci)n Algebraica# es decir# u* x. +or lo tanto#

lo que queda dentro de la integral es dv. ,s-


funcin es introducir este tercer mtodo de integracin.

E(e')%o 1


Solucin

Mtodo a emplear: Integracin por #artes.

Regla de integracin:Ecuacin 1.(y 1.,

Desarrollo:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#c


31/40

Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes elecciones"

u / -1 y -2

Derivar ambos miembros de +1para obtener"

du#dx

plicar integrales a ambos miembros de +%,para obtener"

-(

:sando integracin directa en el t*rmino de la izquierda y el m*todo

de (D, en el t*rmino de la derec!a de +-,para obtener"

-)

4eemplazar en la Ecuacin 1.,, cada uno de sus actores por las e/presiones

o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

9 -* Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se obtiene una

integral inmediata.Para su solucin, se aplica la Ecuacin 1.(. "s#:

-,

%ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin. s+"

9

Por tanto, se concluye que:

E(e')%o "


Solucin


Regla de integracin: Ecuacin 1.(y1.,

Desarrollo:

Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguienteselecciones"

u / -1 y -2

http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#c


32/40

du#dx


-(

:sando integracin directa en el t*rmino de la izquierda y el

m*todo de (D, en el t*rmino de la derec!a de +-,para

obtener"

-)

4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las

e/presiones o!tenidas en -1# -2 y-), para o!tener:

-*

Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y seobtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplicala Ecuacin 1.(. "s#:

-,

%ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin.s+"

9 Por tanto, se concluye que:

E(e')%o *


Solucin


Regla de integracin:Ecuacin 1.(y 1.,

Desarrollo:


-1 y -2


du#9dx

http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag16.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#c


33/40

-(

:sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros de +-,paraobtener"

-)

4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las e/presiones o!tenidasen -1# -2 y-), para o!tener:

9 -*

Para resolver la ;ltima integral, se aplica laEcuacin 1.(. "s#:

-,


: Por tanto, se concluye que:

E(e')%o +


Solucin


Regla de integracin: Ecuacin 1.(y1.5

Desarrollo:

Por la teor+a expuesta, conviene !acer las siguientes

elecciones"

-1 y -2


du#90dx


-(

:sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#c


34/40

de +-,para obtener"

-)



: -*

Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se

obtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplica

la Ecuacin 1.(. "s#:

-,

%ustituir -,en-*y ordenar el resultado usandoactorizacin.

s+"

: Por tanto, se concluye que:

E(e')%o ,


Solucin


Regla de integracin:Ecuacin 1.1y 1.,

Desarrollo:


-1 y -2



-(

:sar la Ecuacin 1.1para integrar ambos miembros de +-y obtener"

-)

4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las e/presiones o!tenidas

en -1# -2 y-), para o!tener:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag17.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#c


35/40

9 -*

Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se obtiene una

integral inmediata.Para su solucin, se aplica la Ecuacin 1.(. "s#:

-,


9

s+:

E(e')%o Resolver la siguiente integral:

Solucin


Regla de integracin: Ecuacin 1.(y1.5

Desarrollo:


elecciones"

-1 y -2



-(

:sar la Ecuacin 1.1para integrar ambos miembros de +-y

obtener"

-)



9 -*
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#c


36/40

Para resolver la ;ltima integral, se aplica la Ecuacin 1.1. "s#:

-,


s+"

9

Por tanto, se concluye que:

E(e')%o


Solucin


Regla de integracin:Ecuacin 1.1y 1.5

Desarrollo:


u / -1 y -2


du#dx


-(

:sando el m*todo de (D, integrar ambos miembros de +-,paraobtener"

-)

4eemplazar en la Ecuacin 1.5, cada uno de sus actores por las e/presiones o!tenidas

en -1# -2 y-), para o!tener:

= -*

Para resolver la ;ltima integral, se eect;a un (D y se obtiene una

integral inmediata.Para su solucin, se aplica la Ecuacin 1.1. "s#:
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag18.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#c


37/40

-,


(oncluy*ndose que"

9

E(e')%o /


Solucin


Regla de integracin: Ecuacin 1.1y1.5

Desarrollo:


elecciones"

-1 y -2


du#dx


-(


de +-,para obtener"

-)

4eemplazar en la Ecuacin 1.,, cada uno de sus actores por las


9 -*



la Ecuacin 1.1. "s#:
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38/40

-,

%ustituir -,en-*y ordenar usandoactorizacin. s+, se

concluye que"

9

E(e')%o 0


Solucin



Desarrollo:


elecciones"

u / -1 y -2


du#dx


-(


de +-,para obtener"

-)



9 -*



la Ecuacin 1.1. "s#:

-,
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag19.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#c


39/40

%ustituir -,en-*y ordenar usandoactorizacin. s+ se

concluye que"

9

E(e')%o 1


Solucin



Desarrollo:


elecciones"

u / -1 y -2


du#dx


-(

:sando el m*todo de (D, integrar ambos miembrosde +-,para obtener"

-)



9 -*


obtiene una integral inmediata.Para su solucin, se aplicala Ecuacin 1.1. "s#:

-,

%ustituir -,en-*y ordenar usandoactorizacin. s+ se

concluye que"
http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag20.htm#bhttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#chttp://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag21.htm#b


40/40

'on el o+eto que el lector verifique el aprendiza+e que * sore este

tercer mtodo de integracin * ha adquirido, se presenta a continuacinuna serie de e+ercicios propuestos, los cuales deen ser resueltos antes

de estudiar el primo mtodo.Ejercicios Propuestos de Mtodo # $

1.

$.

3.

4.

%.

5.

*.

6.

7.

-.

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