Matrices y Deterrminantes 2.pdf

8/16/2019 Matrices y Deterrminantes 2.pdf

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1. MATRICES Y DETERMINANTES

1.1 DEFINICION DE MATRIZ

En algunas ocasiones es necesario trabajar con arreglos rectangulares o tablas de

doble entrada, en los cuales la interpretación de los datos es dependiente de su

ubicación en el arreglo. Así por ejemplo, la siguiente tabla muestra la venta diaria de

diferentes tipos de zapatos en una tienda, durante una semana en particular, con el

objeto de determinar el grado de aceptación de cada tipo y los días de mayor venta:

DíaLUNES MARTES MIERC. JUEVES VIERNES SABADO DOM.

zapatilla 1 1 0 3 3 4 3Mediabota 1 2 1 2 3 2 2

bota 0 1 2 0 7 3 4Deporti-

vo 0 2 3 3 5 5 3

Los elementos en el arreglo, guardan una posición “fija” de acuerdo con la información

que representan. Por ejemplo, el número 7 ubicado en la columna “de viernes” y fila “debota” no podría ubicarse en otra posición, ya que el suceso que representa es “el día

viernes se vendieron siete pares de botas”.

Matemáticamente a este tipo de arreglos se le conoce con el nombre de matriz, cuya

definición, características, tipos, operaciones y aplicaciones a las Ciencias Económicas,

son el objeto de esta unidad.

Notación:

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en

filas y columnas, y que generalmente se expresa encerrado entre corchetes o entre

paréntesis. Los elementos de la matriz, pueden ser números reales, números complejos

o funciones, y pueden representar muchas cosas: notas, costos, producción, etc..


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2

Se utilizan letras mayúsculas del alfabeto para nombrar las matrices, y la

correspondiente letra minúscula para nombrar los elementos agregándole

como subíndice la fila y columna de su ubicación.

Al primer elemento en una fila, diferente de cero, se le conoce como

“elemento distinguido” de dicha fila.

Ejemplo: La siguiente es una matriz de m filas y n columnas: matriz de orden

o tamaño mxn

A =

nmx mna..........ma ma ma

na............a a ana............a a a

na............a a a

321

3333231

2232221

1131211

columna 2 columna n

columna 1

o también:

mxnmnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

....:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

....

....

....

= A

321

3333231

2232221

1131211

Ejemplo: a23 es el elemento ubicado en la fila 2 y columna 3 .


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3

Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden, dimensión o

tamaño mxn, tal es el caso de la anteriormente ejemplificada matriz A.

Ejemplo:

33627

05

632

=B

x

La matriz B es de orden 3x3.

A este tipo de matrices, en que el número de filas es igual al número de columnas, se

le conoce como MATRIZ CUADRADA.

Los elementos de cualquier matriz se pueden identificar por su ubicación

fila-columna, por ejemplo:

aij: es el elemento de la matriz A ubicado en la fila i – columna j.

Ejemplo: Para la matriz B se puede observar que:

2. columna y3 filalaenubicadoelemento eles,2b b)

3. columna y2 filalaenubicadoelementoeles ,0b a)

32

23

En el caso de las matrices cuadradas, los elementos que se ubican en la intersección

de las filas y columnas que tienen el mismo número constituyen la diagonal principal.

Para el caso que la matriz A fuese cuadrada, m = n, la diagonal principal estaría

constituida por los elementos a11, a22 , a33 , ....,ann.

Ejemplo: La diagonal principal de la matriz B está constituida por los elementos:

b11 = 2, b22 = 5, b33 = 6


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4

Ejemplo: La matriz

243-0

1-2

5

2

C )2

x

es de orden 4x2 (no es una matriz cuadrada).

Algunos de sus elementos son:

a) c31 = 2 b) c12 = c) c42 = -3

Ejemplo: Construir la matriz A, con las siguientes características:

a) Que sea de orden 3x3

b) Que sus elementos aij sean tales que

ji si j,-2i

ji si ,2 j aij

Solución:

Sea

33333231

232221

131211

x aaa

aaa

aaa

A

Los elementos donde j i son los correspondientes a la diagonal

principal : a11, a22, a33, y su correspondiente valor es 2 j aij , o sea que

a11 = 12 = 1, a22 = 22 = 4, a33 = 32 = 9


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5

Los restantes elementos, donde i j, son: j i aij 2

a12 = 2(1) - 2 a21 = 2(2) - 1 a31 = 2(3) - 1

= 0 = 3 = 5

a13 = 2(1) - 3 a23 = 2(2) - 3 a32 = 2(3) - 2

= -1 = 1 = 4

Luego:

33945

143

101

x

A

Ejemplo: Construir una matriz B, con las siguientes características:

a) De orden 3x4

b) Sus elementos bij sean tales que:

b

ji si 1,-

ji si ,

22 jiij

La solución se le deja al lector.

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Matriz Vector Fila: es aquella que tiene una sola fila y cualquier número de columnas.

Ejemplo:

51721 x U


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7

Matriz Diagonal: es aquella matriz cuadrada en la que todos sus elementos son

ceros, excepto alguno de la diagonal principal.

Ejemplo:

500

00

000

D b)

0000

0300

0000

0000

) C a

Matriz Unidad o Identidad:

Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal

principal son todos iguales a 1. Por lo general, se designa con la

letra “I” y el subíndice que especifica el orden.

Ejemplo:

10

01I b)

1000

0100

0010

0001

I ) 24a

NOTA:

Toda matriz identidad es cuadrada.

Toda matriz identidad cumple que AxI = A e IxA = A,

siempre que estos productos puedan efectuarse.

Matriz Cero o Matriz Nula:

Es aquella en la cual todos sus elementos son ceros. Puede

ser de cualquier orden y no necesariamente cuadrada.

Por lo general se designa con la letra “O” y el subíndice que indica el orden.


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8

Ejemplo: Son matrices nulas.

00000

00000

00000

00000

00000

O B)

00

00

00

O ) 53x 2a

Es interesante hacer notar que si A x B = O, no significa que necesariamente A = O ó B = O, donde O es la matriz nula.

Ejemplo: Dadas las matrices:

01-

04

B b) 00

41

A)a ,

ambas diferentes de la matriz cero o nula, verificar que AxB = O.

La solución se deja al lector.

Matriz Traspuesta: Es aquella que resulta de cambiar las filas a columnas y las

columnas a filas, en una matriz dada. Se denota por AT a

la traspuesta de la matriz A.

Ejemplo: Dada la matriz:

516

8531

0422

A

580

154

632

12

T

A

Nótese que en la transposición de matrices los elementos

a11, a22, a33, ..............,ann

siempre mantienen su posición en la matriz traspuesta. Para el ejemplo

anterior dichos elementos son a11 = 2, a22 = 3, a33 = -1.

Nótese que ( AT )T = A


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10

Ejemplo:

-2 5 0 3 5

1)A = 0 -12 2) B = 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 2

3) C = 0 0

0 0 0

A los primeros elementos distintos de cero en cada fila se les conocecomo elementos distinguidos (en recuadro en los ejemplos anteriores).

Las siguientes matrices no son escalonadas, ¿porqué?

1 2 3 4 2 4 0 0 0

0 0 3 13 0 0 0 2 0D = E =

0 0 2 6 0 0 0 0 0

0 0 0 5 0 0 0 0 1

1 2 3 4

2 1 3 2F =

0 0 3 2

0 0 0 4

3

13

5

1

3

5


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11

Matriz Canónica:

Es una matriz escalonada cuyos elementos distinguidos son

los únicos diferentes de cero en su respectiva columna y son

todos iguales a 1.

Ejemplo:

0 1 0 8 0 0 1 0 0

0 0 1 9 0 2) B = 0 0 0 11) A =

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 2 5

3) I3x3 = 0 1 0 4) C = 0 1 3 6

0 0 1 0 0 0 0

La matriz identidad es un caso particular de la matriz canónica (ver matriz I3x3 delejemplo anterior).

GUÍA DE EJERCICIOS

I. Resolver los siguientes ejercicios:

1. Dada la matriz A =

03201

18012

73421


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12

a) Cuál es su orden ?

b) Cuál es el elemento a21 ?

c) Cuál es el elemento a34 ?

i + j, si i = j

2. Encuentre la matriz A2x4 para la cual aij =

0, si i j

3. Escribir A = [aij ] si A es 3x4 y aij = 2i +3j

4. Escribir B = [bij ] si B es 2x2 y bij = (-1)i+j ( i2 + j2 )

5. Si A = [aij ] es 12x10

a) ¿Cuántos elementos tiene A ?

b) Si aij = 1 para i = j y aij = 0 para i j, determine a33, a52,

a10,10 y a12,10

6. Encuentre la diagonal principal de las siguientes matrices:

A = ; B =

3

2

9

1 2 1 3

0 2 3 5

9 8 7 6

4 2 1 0

1 0

5 4

2 1


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13

II. Leer detenidamente cada cuestionamiento y resolver

1. Dadas las matrices:

2

1-

3

F ;26E ;00

01

33

22

11

C ;

01-7

654

321

B ;124261

M

A

300

050

004

=P ;

100

319

261

=S ;

100

319

261

=H ;

0000

2000

06104321

=G

000

000

=L ;

0000

3100

1010

3001

=K ;

100

010

001

=J

A) Exprese el orden de cada matriz.

B) Identifique las matrices que son:

a) Vector Fila e) Identidad

b) Vector Columna f) nula

c) cuadradas g) Escalonada

d) Diagonal h) Canónica


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14

Ejemplo: Dadas las matrices

3232

1

323

21

1

02B

12

3

x x z z

z

x

x x A

,

encontrar el valor de las incógnitas si se cumple que A = B.

Solución:

Si A = B, entonces deberá ser cierto que los elementos de ambas matrices

son mutuamente iguales en sus mismas posiciones, o sea que:

x1 = 2, x2 = 0, x3 = -1, z1 = -3, z2 = 2, z3 = -1

Ejemplo: Dadas las siguientes matrices:

233x2w2

3z2

6x

B

532

3

612

x w

z y

x

A

,

Encontrar los valores de x, y, z, w; que satisfacen la ecuación matricial A = B.

Solución:

A = B

Igualdad de Matrices: se dice que dos matrices son iguales si, y solo si,

son del mismo orden y además sus elementos son mutuamente iguales en

las mismas posiciones.


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15

233x2w2

3z2

6x

532

3

612

x w

z y

x

,

Por definición de igualdad de matrices se tiene que:

a) 2x – 1 = x b) y = 2 c) z + 3 = 3z d) 3w – 5 = w,

de donde, resolviendo estas ecuaciones se encuentra la solución:

x = 1, y = 2, z =23 , w =

25

1.2 OPERACIONES CON MATRICES

Suma y Resta de Matrices:

Es la adición o sustracción entre los elementos que ocupan las

mismas posiciones en dos o más matrices del mismo orden. Esto

da como resultado una matriz cuyo orden es igual al orden de

las matrices que se suman o restan.

Ejemplo: Encontrar la matriz A - B, si

333x 3632

71-7-

2-53

B

65

123

1001

x

A


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16

Solución:

33

33

1222

6310

852

)6()6()3()5()2()(

)7()1()1()2()7()3(

)2()10()5()0()3()1(

x

x

B A

Producto de un Número Real por una matriz

En el producto de una matriz por un número real k, dicho número k multiplica a cada

elemento de la matriz. Este producto es conmutativo, o sea que:

kA = Ak,

donde A es una matriz cualquiera.

Ejemplo: Encuentre la matriz resultante kA si:

k = 3 y

32250

1312

x

A

Solución:

6150

316

)2(35303

)1(33

1323

250

13

12

)3(

32

kA

x x x

x x x

kA

x


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17

Ejemplo: Encontrar la matriz A, que satisfaga la ecuación matricial:

3232321

235 342

561 )2(3

x x

A

Solución:

La matriz A deberá ser de orden 2x3, para que pueda efectuarse la resta de

matrices, o sea que:

32232221

131211

x aaa

aaa A

Al sustituir en la ecuación y efectuar las operaciones indicadas se obtiene:

323232232221

131211

321

235

342

561

)2()3( x x x

aaa

aaa

323232232221

131211

321

235

684

10122

333

333

x x x aaa

aaa

3232232221

131211

321

235 638343

10312323

x x aaa

aaa


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18

Por igualdad de matrices se obtienen las ecuaciones que propician la solución al

problema propuesto:

3a11 – 2 = 5 a11 = 37

3a12 – 12 = 3 a12 = 5

3a13 – 10 = 2 a13 = 4 3a21 – 4 = -1 a21 = 1

3a22 – 8 = -2 a22 = 2 3a23 – 6 = 3 a23 = 3

Luego, la matriz A que se busca es:

32321

453

7

x

A

Producto de Matrices.

El producto AxB de dos matrices, en ese orden, puede efectuarse siempre que el

número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

Si A es una matriz de orden mxn y B es de orden nxp, entonces

el producto AxB , en ese orden, da como resultado una matriz C cuyo

orden es mxp:

No columnas de A = No filas de B

mxn x Bnxp = Cmxp

orden de la matriz resultante


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19

O sea que la matriz resultante C tiene el mismo número de filas que A

y el mismo número de columnas que la matriz B,

si el producto es en el orden AxB.

Ejemplos: Si A3x5, B5x4 y C4x6, son matrices, determinar el orden de la matriz

producto resultante en cada caso, si el producto en ese orden es posible:

a) A x B e) A x B x C

b) B x A f) B x A x C

c) B x C g) B x C x A

d) C x B h) C x B x A

Solución:

a) A3x5 x B5x4 = ??

= Dado que el número de columnas de la matriz A es igual

al número de filas de la matriz B, es posible efectuar el producto en ese orden:

A 3x5 x B 5x4 = P3x4

orden

La matriz resultante, será de orden 3x4.


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20

g) B5x4 x C4x5 x A3x5 = ??

Asociando puede escogerse cual producto efectuar primero:

(B5x4 x C4x5) x A3x5 =??. Lo anterior indica que primero debe efectuarseel producto BxC:

B5x4 x C4x5 = ??

=

se observa que sí es posible de llevar a cabo (# columnas de B = # filas de C),

resultando:

B 5x4 x C4x5 = (BxC)5x5

orden

Luego:(BxC)5x5 x A3x5 = ??

(BxC)5x5 x A3x5 = ??

Este producto no es posible de efectuar en ese orden, ya que el número de

columnas de la matriz resultante (B x C)5x5 es diferente al número de filas de la

matriz A.

Nota: Los restantes literales se dejan al lector.


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21

En general, para efectuar el producto mxn x Bnxp = Cmxp, en ese orden, se procede de

la siguiente manera:

AxB = C b11 b12 b13 .......... b1p

b21 b22 b23 .......... b2p

a11 b11 b31 b32 b33 .......... b3p B: : : :

a12 b21 : : : :: : : :

a13 b31 bn1 bn2 bn3 .......... bnp

a1n bn1

a11 a12 a13 ......... a1n c11 c12 c13 .......... c1p

a21 a22 a23 ......... a2n c21 c22 c23 .......... c2p

a31 a32 a33 ......... a3n c31 c32 c33 .......... c3p C

A : : : : : : : :: : : : : : : :: : : : : : : :

am1 am2 am3 .......... amn cm1 cm2 cm3 .......... cmp

Cada elemento de la matriz resultante C se calcula como sigue:

1) c11 es el resultado de operar los elementos de la fila 1 de la matriz A con los

de la columna 1 de la matriz B, tal como se muestra:

c11 = a11xb11 + a12xb21 + a13xb31 + .............. + a1n xbn1

2) Para calcular cm2 se combinan, de manera similar, la fila m de la matriz A

con la columna 2 de la matriz B:

cm2 = am1x b12 + am2xb22 + am3xb32 + .............. + amn xbn2


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22

3) c 2 3 = a21xb13 + a22xb23 + a23xb33 + .............. + a2nxbn3

columna de B

fila de A

Nota: En general, se tiene que el producto de matrices no es conmutativo:

AxB BxA

Ejemplo: Dadas las matrices A y B encontrar, si es posible, los productos:

1) AxB 2) BxA

40

23-

1-0

2-3

B 420

213 A

Solución:

1) A2x3 x B4x2 = ??

NO columnas de A: 3 NO filas de B: 4 No es posible efectuar el producto AxB, en

ese orden

2) B4x2 x A2x3

NO columnas de B: 2 = NO filas de A: 2 Es posible efectuar el producto BxA, en eseorden

O sea que cualquier elemento cij, de la matriz producto resultante, es el resultado

de la sumatoria de los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A, con

su “correspondiente” elemento de la columna j de la matriz B:

cij = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + ai 3 b3j + ... + ai n b n j


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23

Se procede entonces a colocar las matrices en la posición que facilita identificar con

facilidad las operaciones que propician encontrar los elementos de la matriz producto

resultante:

Para el caso:

a) El elemento de la matriz C ubicado en la fila 1 columna 1, o sea c11 = 9, se

calcula operando los elementos de la fila 1 de B con los elementos de la

columna 1 de A como se muestra:

columna 1 de A

3 (3)(3)(3)(3) + (-2)(0) = 9 = c11

0 (-2)(0)

fila 1 de B 3 -2 9

1680

1419-

4-2-0

14-1-9

BxA

:que sea

1680

1419-

4-2-0

14-1-9

40

23

10

23

B

4 2 0

21 3

CBxA)2

O

C BxA

A


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24

b) El elemento de la matriz C ubicado en la fila 2 columna 3, o sea c23 = -4, se

calcula con los elementos de la fila 2 de B y los elementos de la columna 3 de

A, operando como se muestra:

columna 3 de A

-2 (0)(-2)

(0)(-2) + (-1)(4) = c23 4 (-1)(4)

fila 2 de B 0 -1 -4

De igual manera se calculan los demás elementos de la matriz resultante B x A = C.

Propiedades de las Operaciones con Matrices

Sean las matrices A, B, C y D y sean k, m números reales cualesquiera, entonces:

a) Si las sumas es posible efectuarlas, se verifica que:

1) A + B = B + A, “la suma de matrices es conmutativa”

2) A + (B + C) = (A + B) + C, “la suma de matrices es asociativa”

3) Si A + B = A + C, entonces necesariamente B = C

4) (m + k)A = m A + k A, “el producto de una matriz sobre lasuma de números reales es distributivo”

5) k (A + B) = k A + k B, “el producto de un número real sobre la suma de matrices es distributivo”


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b) Si los productos y sumas es posibles efectuarlos, se verifica que:

1) En general AxB BxA , “en general, el producto de dosmatrices es no conmutativo”

Ejemplo: Si A2x3 y B3x2 son matrices, entonces:

a) el producto A2x3 x B3x2 = C2x2 es de orden 2x2

A2x3xB3x2 B3x2x A2x3 b)el producto B3x2 x A2x3 = D3x3 es de orden 3x3

2) A(B+C) = A x B + A x C, “Ley distributiva del producto sobrela suma”

(B + C )A = B x A + C x A.

3) A(BxC) = (AxB)C , “el producto de matrices es asociativo”

4) Si AxB = AxC, no significa que necesariamente B = C.

Ejercicio: Dadas las matrices

00

86=C

43

00=B

00

21= A , donde B C,

verificar que A x B = A x C, a pesar que B C .

Se deja al lector.


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26

GUIA DE EJERCICIOS

I. Lea cuidadosamente las instrucciones y resuelva los ejercicios dados:

1. Determine los valores de las variables, para los cuales las ecuaciones

matriciales siguientes son válidas:

a) =1

3

x

y

2

3

2

9

14

2+y =

0

13 b)

z

w

x

c) =w -1

5

4 3

1 2

2 3

1 2

x

y

x

z

150

325

172

=

21-

243

11

+

31

12

43

d) w

v

z

y

x

e) + 2

3

1

4

=

6

v +1

7

x

z

y w

1 2 3

4 1 2

1 2

1 2

2 3

1 0

2 7

5 7

0

2. Efectúe las operaciones indicadas.

203

412-

312

2- b) 31

42 3 a)


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27

821

210 +

741-

312 d)

01

32 3 +

31

21 2 c)

e)

3 1 4

2 5 3

0 1 2

2 5

2 4

2 1

-

1

2

-3

f) 3 - 2

1

2

-3

2 1

1 3

4 7

2

3

0

g) 2 + 3

0

3

-1

1 2 3

2 1 0

4 5 6

1 2

2 4

0 3

h) 4 - 5

2

1

3

1 0 3 4

2 1 5 1

3 2 0 2

1 2 3

0 3 4

1 0 5

3. Si A es una matriz de orden 3x4,

B es una matriz de orden 4x3,

C es una matriz de orden 2x3 y

D es una matriz de orden 4x5,

Determinar el orden de las matrices producto siguientes:

a) A.B c) B.A. e) C.A

b) A.D d) C.A.D f) C.B.A


28/99

28

4. Efectúe las operaciones indicadas.

a) .4

52 3

b) .

4

5

6

3 0 1

2 4 0

c) .

3

2

-1

1 0 2

0 2 1

2 1 0

2

1

3

d) .0

1

3

2 0 1

2

1

0

e) .

-1

20

.

3

-2

1 2 3

4 5 6

0

43

1

1

32-

13

24-

+

32

01

65

.123

214 f)

2102 3-

1221 .

13

20

12

g)


29/99

29

5. En los siguientes ejercicios, encuentre la matriz A que satisface la ecuaciónmatricial dada.

a) 2A - = 33

2

1 2 3

2 1 2

0 5

1 4

b) 3A + = 2

2

1

1

1 1

2 3

1 2

1

3

4

c) - 2A =23

1

2 1 31 3 2

1 2 1

3 11 2

2 1

d) A =3

-3

2 1

0 3

0

6

e) 2A - 3 = -21

2 1 33 2 1

3 34 3


,213=C ;21-

10

42

=B ;

52-1

203

164

= A

encuentre los productos que estén definidos:


30/99

30

a) AxB d) A² g) AxAT

b) BxA e) B² h) AT x A

c) AxBxC f) BxCxA i) CxAxB

Nota: A2 = A x A y B2 = B x B

7.. Sean

175

263-=B y

876-

543= A

Verificar que:

a) (A+B)T = AT + BT b) (3A)T = 3 (AT )

b) A+ O = O + A = A, donde O es la matriz nula de orden 2x3

8. Sean

04-

13

24

=B y123

563 = A

Verificar que: (AxB)T = BT x AT

9. Dadas:

a)

20

10 =B y

00

12 = A


31/99

31

2 -3 -5 -1 -3 5

b) A = -1 4 5 y B = 1 -3 -5 ,

1 4 5 -1 3 5

comprobar en ambos casos que AxB = O, donde O = matriz nula, a pesar de que ni A

ni B son matrices nulas.


1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 -2

A = 2 1 -3 ; B = 2 1 1 1 ; C = 3 -2 -1 -1

4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0

donde B C, verificar que A x B = A x C

II. Resolver los siguientes ejercicios:


A = ; B =1

0 ; C =

4

-5

2 7 6

5 9 3

4 0

1 6

5 1

2 4

,

comprobar las siguientes propiedades:

a) A +B = B + A b) (A+B)+C = A+(B+C)

c) 5(A+B) = 5A +5B d) 3A+2A = 5A e) -5(3A) = -15A


32/99

32

2. Dadas las siguientes matrices:

A = ; B =6

4 ; C =

3

5

3 4

5 8

7 6

7 9

3 1

4 7

6 8

,

comprobar que:

a) A(B+C) = AxB + AxC b) (B+C)A = BxA. + CxA


A = ; B =

4

5

-1

; C =

3

4

5

3 4 5

6 7 8

2 3

4 1

6 0

4

1

0

,

compruebe que :

a) A(BxC) = (AxB)C b) 5(AxB) = (5A)B = A(5B) c) AxC CxA

4. Un laboratorio farmacéutico produce un cierto medicamento. Los costos en

dólares por la compra y transporte de cantidades específicas de las sustancias

necesarias para su elaboración, adquiridos en dos localidades distintas, son dados

por los arreglos matriciales siguientes:

LOCALIDAD 1

Sustancia Precio de compra Costo de transporte

a 5 12

b 17 4

c 3 1


33/99

33

LOCALIDAD 2

Sustancia Precio de compra Costo de transporte

a 7 13

b 15 3

c 2 2

a) Determinar la matriz C que representa los costos totales de compra y

transporte de cada una de las sustancias a, b, y c.

b) En la matriz resultante ¿Qué representa la primera columna?

¿ y la segunda?

c) ¿Qué representa el elemento C22 ?

d) ¿ Qué representa cada una de las filas?

5. . Un fabricante de zapatos, los produce en color negro, blanco y café, para

niños, damas y caballeros.

La capacidad de producción (en miles de pares) en las plantas de Soyapango y San

Marcos está dada por la matriz siguiente:

SOYAPANGO SAN MARCOS

hombres mujeres niños hombres mujeres niños

negro 30 34 20 35 30 26

Café 45 20 16 52 25 18

blanco 14 26 25 23 24 32

a) Determine la representación matricial de la producción total de cada

tipo de zapato en ambas plantas.

b) Si la producción en Soyapango se incrementa en un 50 % y la de San

Marcos en un 25%, encuentre la matriz que representa la nueva

producción total de cada tipo de calzado.


34/99

34

6. Una compañía tiene plantas en tres localidades X, Y, Z, y cuatro bodegas en los

lugares A, B, C y D. El costo en dólares de transportar cada unidad de su

producto de una planta a una bodega, esta dada por la matriz siguiente.

X Y Z

A

B

C

D

10 12 15

13 10 12

8 15 16

16 9 10

Si a los costos de transporte se les aplica el IVA (13%) escriba los nuevos costos en

forma matricial.

7. Un comerciante de televisores a color tiene 5 televisores de 26 pulgadas, ocho de

20; cuatro de 18 y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en $ 300

cada uno, los de 20 a $ 250 cada uno, los de 18 en $ 200 cada uno y los de 12 en $

150 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el

producto de dos matrices.

8. En un curso de matemática se hacen seis evaluaciones denotadas como N1, N2, N3,

L1, L2, L3 cuyas respectivas ponderaciones son 20%, 25%, 25%, 10%, 10% y 10% .

Las notas obtenidas por cuatro alumnos de este curso son:

Pedro: 5.0, 6.0, 8.0, 4.0, 7.0, 5.0

Fran : 3.0, 2.0, 5.0 6.0, 7.0, 5.0

Luis : 7.0, 10.0, 6.0, 8.0, 5.0, 9.0

Carmen: 6.0 7.0, 6.0, 8.0, 4.0, 7.0

A) Determinar las representaciones matriciales de:

i) Las notas obtenidas por los cuatro estudiantes

ii) Las ponderaciones correspondientes a cada evaluación

B) Exprese la nota final de los estudiantes como el producto de dos matrices

C) Encuentre la nota final de cada estudiante


35/99

35

9. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M1, M2, M3 y M4 en la

elaboración de su producto. El número de unidades de M1, M2, M3 y M4 usadas por

unidad del producto son 4, 3, 2 y 5 respectivamente. El costo por unidad de las cuatro

materias primas es de $ 5, $ 7, $ 6 y $ 3 respectivamente. Exprese el costo total de las

materias primas por unidad del producto como el producto de dos matrices.

10.Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1, M2 y M3 en la elaboración de

dos productos P1 y P2. El número de unidades de M1, M2 y M3 usados por cada

unidad de P1 son 3, 2 y 4, respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3,

respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades

de P2a la semana. Exprese las respuestas a las preguntas siguientes como producto

de matrices.

a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas?

b) Si los costos por unidad(en dólares) para M1, M2 y M3son 6, 10 y 12,

respectivamente, ¿Cuáles son los costos de las materias primas por unidad de

P1 y P2?

c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la

producción de P1 y P2?

MATRICES EQUIVALENTES

Definición: se dice que una matriz A es equivalente a otra matriz B

si esta última puede obtenerse a partir de la matriz A, por medio

de una sucesión finita de operaciones elementales entre filas.

Estas operaciones elementales entre filas se pueden resumir así:

1) Intercambio, entre si, de dos filas cualesquiera,

2) Multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar (número)

diferente de cero,

3) Suma de una fila con un múltiplo escalar de otra fila.


36/99

36

Ejemplo: La matriz

A =3 3 11 4 5

0 1 2

,

Es equivalente a las siguientes matrices:

210

133

541

=B a)

f 1f 2 f 2 f 1 En la matriz A se intercambiaron las filas f 1 y f 2 : “fila 1 a fila 2 y fila 2 a fila 1”.

b)

12/10

15123

133

=C

-3f 2 f 2 ½f 3 f 3

En la matriz A se multiplicó la fila 2 por -3 y la fila 3 por ½: “-3 veces fila 2 a fila 2 y ½ fila 3 a fila3”.

c)

)5(32)4(31)1(30

153431

133

=D

f 2 +f 1 f 2 f 3 - 3f 2 f 3

En la matriz A se sumó la fila 2 con la fila 1 yEl resultado se ubicó en la fila 2.


37/99

37

Se efectuó la fila 3 menos 3 veces la fila 2El resultado se ubicó en la fila 3 :“fila 2 más fila1 va a fila2 y fila 3 menos tres veces

fila 2 va a fila 3”

Esta equivalencia basta con expresarla de manera directa a partir de la

matriz original escribiendo por debajo de ella las operaciones

elementales entre filas que se están llevando a cabo, tal como se muestra

para las mismas matrices del ejemplo anterior:

a) B : “ es equivalente a B”

210

541

133

~

1 4 5

3 3 10 1 2

f 1f 2 f 2 f 1

a. C: “ es equivalente a C”

210

541

133

~

3 3 1

3 12 150 1 2 1

/

3f 2 f 2 1/2f 3 f 3

c) también se puede representar la equivalencia D: “A esequivalente a D”

Con este método es posible transformar una matriz cualquiera en otra

equivalente con características particularmente especiales que se requieran.

Por ejemplo: Transformar cada uno de las matrices dadas en una matriz

equivalente cuyos elementos a11 , a22 , a33, ............,ann

sean iguales a 1 y cuyos elementos por debajo de éstos sean ceros.


38/99

38

0120

2133

1-012-

=C c)

21-3

102

315

32-1

=B b)

210

541

233

= Aa)

Solución:

A =

3 3 2

1 4 5

0 1 2

~

210

233

54

f 2 f 1 f 1 f2

Con estas primeras operaciones se logra que el primer elemento, a11 = 3, se“transforme” en 1 . (En recuadro en la matriz equivalente).

A ~

210

233

541

~

2 3- 3

2

5 4 1

f 2f 3 f 3f 2

Estas operaciones propician que el elemento a22 = -3 se “transforme” en 1 y a21 = 3se transforme en cero (en recuadro en la nueva matriz equivalente).

A ~

233

210

541

~

1315

21 0

54 1

f 3 - 3f 1 f 3

Esta operación, transforma en cero al elemento a31 = 3 (en recuadro en la nueva matrizequivalente).

1

1

0

0


39/99

39

A ~

1 4 5

0 1 2

0 15 13

~

170

210

541

f 3 +15 f 2 f 3

Esta operación transforma en cero al elemento a32 = 3 (en recuadro en lanueva matriz equivalente).

A ~

1700

210

541

~

00

210

541

1/17 f 3 f 3

Finalmente esta operación propicia que el último elemento, a32 = 17, se transforme en 1(en recuadro en la matriz equivalente).

La última matriz equivalente encontrada tiene las características de la matriz que se

busca:

los elementos a11, a22, a33 son “unos” y los elementos por debajo de éstos, son “ceros”.

Se tiene entonces que:

A =

3 3 2

1 4 5

0 1 2

~

1 4 5

0 1 2

0 0 1

Los ejercicios b)

c) se dejan al lector.

Algunas aplicaciones de las operaciones elementales entre filas son :

Reducir una matriz cualquiera a otra equivalente con cualesquiera

características que se requieran (escalonada, canónica, etc.)

Resolver sistema de ecuaciones lineales

Encontrar la inversa de una matriz.

0


40/99

40

El Método del Pivote:

Esta es una forma mecánica y abreviada de aplicar las operaciones elementales entre filas.

Propicia reducir matrices a las formas escalonada y canónica, mediante productos cruzados

sucesivos iniciados desde un elemento de referencia o “pivote” escogido apropiadamente

dentro de la matriz.

De preferencia se toman como pivote los elementos a11, a22 , a33 ,...........

¡¡ El pivote no debe ser cero

En el siguiente ejemplo se resume e ilustra la operatividad de este método

para una matriz A cualquiera.

Ejemplo: Reduzca las matrices A y P a una equivalente que tenga la forma:

a) Escalonada,

b) Canónica.

39-03

102-4

23-12-

P 2)

0301-

312-4

03-12-

A)1

Solución:

0301-

312-4

03-12-

A)1

Paso 1 :

Se toma el elemento a11 = - 2 como pivote.


41/99

41

Paso 2:

La fila del pivote se mantiene igual y los elementos de la columna del pivotese transforman en ceros, excepto el pivote:

0301

3124

0312

= A ~ B

bbb0

bbb0

0312

343332

242322

Paso 3:

Los elementos que faltan, en las demás filas, se encuentran calculando

los determinantes de orden 2 que resultan alrededor del pivote; estosdeterminantes son tales que su diagonal principal está constituida por

el elemento pivote y el elemento que se va a sustituir, así:

0301

3124

0312

= A ~ B

01-

02-

31-

3-2-

01-

12- 0

34

02-

14

32

2-4

12- 0

0 3 1 2

de donde resulta:

0301

3124

0312

= A ~ B

09-10

6-1000

0312


42/99

42

Al final del paso 3 se obtiene esta matriz equivalente B, cuyos elementos de la

primera columna son ceros excepto el pivote que se utilizó : -2; y la fila del pivote

permanece intacta (no sufrió cambios).

Con esta matriz B se repiten los pasos del 1 al 3 tomando como nuevo pivote

el elemento b22. Ya que b22 es cero, se hace necesario efectuar una operación

entre filas para eliminar dicho inconveniente:

0910

61000

03 12

=B

~ C

61000

0910

0312

: la matriz escalonada que se busca

f 2 f 3 f 3 f 2

Utilizando como pivote el elemento c22 = 1 de la nueva matriz equivalente C

y repitiendo los pasos del 1 al 3 se tiene que:

61000

090

0312

=C

~ D

dd0d

0910

dd0d

343331

141311

,

o bien:

61000

090

0312

=C

~ D

6-0

01

100

9-1 0

00

01

09 1 0

01

01

3-1

9-1 0

2-0

11

,

1

1


43/99

43

Nótese que la fila del pivote permanece inalterable mientras que en su columnatodos se vuelven “cero”, excepto el pivote.

Calculando los determinantes de orden 2 que resultan alrededor del

pivote, se obtiene:

d11 = -2; d13 = 6; d14 = 0; d31 = 0; d33 = 10; d34 = -6

de donde:

61000

0910

0602

=D

Repitiendo el procedimiento, tomando el último elemento d33 = 10 como pivotese obtiene:

6 00

0 910

0 6 02

=D ~ E

61000

0

0

242221

141211

eee

eee

Los elementos que faltan, en las demás filas, se encuentran calculando

los determinantes de orden 2 que resultan alrededor del pivote, tal como

en el caso ya visto:

e11 = -20; e12 = 0; e14 = 36; e21 = 0; e22 = 10 ; e24 = -54,

de donde

E =

20 0 0 36

0 10 0 54

0 0 10 6

Para obtener la matriz canónica, a partir de esta última matriz

equivalente, se divide cada fila por el valor de su

elemento distinguido:

10


44/99

44

61000

540100

360020

=E ~ F

5/3100

5/27010

5/9001

-1/20 f 1 f 1 1/10 f 2 f 21/10 f 3 f 3

Las dos matrices que se buscan, equivalentes a la matriz A, son:

son EyD matriceslas(tambien escalonada

61000

0910

0312

=C

Escalonadas)

canónica

5/3100

5/27010

5/9001

=F

La solución para la matriz P se deja al lector.

Matriz aumentada: La matriz aumentada de A es el arreglo matricial:

( A I ),

donde A es una matriz cuadrada de orden n e I es la matriz identidad del

mismo orden que A.

Ejemplo:

,

221

4500

4101

131

A

cuadradamatrizlaes A

Si


45/99

45

su matriz aumentada es el arreglo matricial:

1000 221

0100 4500

0010 4101

0001131

A

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ: METODO DE GAUSS.

Recordar que:

- Solamente las matrices cuadradas tienen inversa

- No todas las matrices cuadradas tienen inversa

- Si una matriz cuadrada tiene inversa, ésta es única

- Toda matriz identidad es cuadrada.

Descripción del método:

El método de Gauss se basa en la aplicación de las operaciones elementales entre

filas para llegar de la matriz aumentada:

( A I )

a la matriz equivalente:

( I A-1 ),

donde I es la matriz identidad del mismo orden que A y, obviamente, A-1 es la matriz

inversa de A, o sea, ¡la matriz que se busca!


46/99

46

Ejemplo:

Encontrar la inversa, si es que existe, de las matrices:

903

312

124

P 2)

301-

12-4

3-12-

A)1

¡¡Recordar que solamente las matrices cuadradas tienen la posibilidad de tener inversa

Solución:

301-

12-4

3-12-

A)1

a) Partiendo de la correspondiente matriz aumentada y utilizando operacione

elementales entre filas:

( A I )

100

010

001

301-

12-4

3-12-

~

001312

010124

100301

f 1 f 3 f 3 f 1 f 2 + 4f 1 f 2 f 3 -2f 1 f 3

~

201910

4101320

100301

~

4101320

201910

100301

f 2 f 3 f 3 f 2 f 3 + 2f 2 f 3


47/99

47

~

012500

201910

100301

~

05/15/2100

201910

100301

-1/5 f 3 f 3 f 1 - 3f 3 f 1 f 2 + 9f 3 f 2

~

05/15/2100

25/95/13010

15/35/6001

~

05/15/2100

25/95/13010

15/35/6001

-f 1 f 1

1-A

La inversa es entonces:

05/15/2

25/95/13

15/35/6

=A 1-

b) Partiendo de la correspondiente matriz aumentada y utilizando

el método del pivote:

( A I )

100301

010124

001312-

~

201910

0241000

001312


48/99

48

201910

0241000

001312

~

0241000

201910

001312

f 2 f 3 f 3 f 2

0241000

20190

001312

~

0241000

201910

200602

02400

201910

200602

~

0241000

2018260100

2012240020

02-4-

2018-26-

201224

1000

0100

0020-

~

05/12/5-

25/913/5-

15/36/5-

100

010

001

-1/20 f 1 f 1 1/10 f 2 f 2

1/10 f 3 f 3 ( I A-1)

La inversa es entonces:

05/15/2

25/95/13

15/35/6

=A 1- El resultado es el mismo, ¡lo cual era de esperarse ¡

La solución 2) se deja al lector.

1

10


49/99

49

GUIA DE EJERCICIOS

.I. Utilizando cada uno de los elementos a11 , a22 , a33 ....... como pivote,

encuentre la matriz equivalente canónica de:

82134

32311

61213

23121

6)

1234

912-1

21-13

5)

132-1

111

232

)4

831

011 3)

0152

224-3

61-11

2) 711

723 )1

7

1 1 6

4 2 2

5 1 0

2 5 1 1

1 1 1 1

2 4 2 1

1 3 2 2

1 1 3

1 1 0

3 4 1 8

)

1

3

2

8)

1

2

3

1

9)

1

2

Ii. Resolver los siguientes ejercicios:

1. Determine cuales de los siguientes pares de matrices son inversas una de

la otra:

253

121-

2-4-3

B ,

131

101

021

) Aa


50/99

50

4/100

03/10

001

=B ,

400

03-0

001

=A c)

2/11-

01=B ,

22

01=A b)

2. Utilizando el método de Gauss, calcule la inversa de las siguientes matrices,

si existen (se puede utilizar operaciones por fila o el pivote)

134

023

112

=C f)

654

021

432

=B e)

012

130

201

=B d)

46-

23=A c)

43-

21=B b)

43

52 =A a)

g) B =

-1

2

3

h) C =

1 -1

2 -3

1 1

3 0

2 3

1 1

1 2

1 2

0 3

1 1

1 2

3, Dadas la matrices:

13-

12=B ;

42

31= A , verifique que (AxB)-1 = B-1 x A-1


51/99

51

1.6 SOLUCION DE SISTEMAS DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS

Un sistema de dos ecuaciones lineales con 3 incógnitas (sistema 2x3)

3x – 2y + z = 1-2x + y – 2z = -3

se puede escribir en forma matricial como “el producto de la matriz de coeficientes por la matrizde incógnitas igual a la matriz de terminos independientes”.

Asi:

3 -2 1 x 1y =

-2 1 -2 z -3

Esto se puede verificar multiplicando las dos matrices del miembro izquierdo:

3x - 2y + z 1=

-2x + y -2z -3

Luego por igualdad de matrices, se obtiene el sistema original:

3x – 2y + z = 1-2x + y – 2z = -3

Un recurso para resolver sistemas nxn de ecuaciones lineales no homogéneas es utilizar la matrizinversa y su definición:

A- 1 A = I.

Así, si se tiene un sistema de ecuaciones de este tipo cuya representación matricial es:

An x n Xn x 1 = Bn x 1 ,

Matriz de Coeficientes Matriz de términosIndependientes

Matriz de Incógnitas

Al multiplicar ambos miembros por la matriz inversa de A se obtiene:


52/99

52

A A X A B

I X = A B

X = A B

n x n n x n n x 1 n x n n x 1

n x n n x 1 n x n

-1

n x 1 n x 1

n x 1 n x n

- 1

n x 1 n x 1

1 1

de donde, por igualdad de matrices, se obtiene la solución de manera directa.

Ejemplo: Resolver el sistema 3 x 3 de ecuaciones lineales no homogéneo:

- 2x + y - 3z = 44x - 2y + z = 2

- x + 3z = - 10

La representación matricial de este sistema de ecuaciones

10-3z+x-

2=z 2y-4x

4=3z-y+2x-

10-

2

4

=

3z+x

z2y -4x

z3y2x-

resulta X porArmultiplicaalqueya

B

10-

2

4

=

X

z

y

x

A

301

124

312

3x13x133

x

Solución: Utilizando la matriz inversa de A, la cual está calculada en el ejemplo anterior, setiene:


53/99

53

A A X = A B

- 6 / 5

- 13 / 5

-2

4

-1

x

y

z

=

-6 /5

4

2

-10

1

x

y

z

= - 1

- 1 - 1

3 5 1

9 5 2

2 5 1 5 0

1 3

2 1

0 3

3 5 1

13 5 9 5 2

2 5 1 5 0

0 0

0 1 0

0 0 1

/

/

/ /

/

/ /

/ /

/ 56

13

2

4

2

-10

3 5

9 10

1 0

x

y

z

= - 1 / 5

-20

-30

10

x = 4

y = 6

z = - 2

Esta manera de resolver sistemas de ecuaciones es muy poco utilizada tanto por lo tedioso queresulta calcular la inversa de una matriz como también por el hecho que se limita solo a sistemasnxn. Una manera más versátil y menos trabajosa se describe a continuación:

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sistema mxn) es de la forma.

a11 x1 + a12 x2 + ............. + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ............. + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + ............. + a3n xn = b3 : : : :: : : :am1 x1 + am2 x2 + ............. + amn xn = bm ,

y puede escribirse en forma matricial así:


54/99

54

lineales.

ecuacionesdemxnsistemael

ymatricialformaestaentre

enciacorrespondlamatrices,

deigualdade producto

por ,verificar puedelectorel: Nota

:

:

: =

:

:

:

.....

:::

:::

:::

.....

.....

.....

3

2

1

3

2

1

21

33231

22221

12211

mnmnmm

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

aaa

( A ) ( X ) = ( B )

donde:

sistemadelescoeficientdematriz

.....21

:::

:::

:::

3.....3231

2.....2221

1.....2211

=A

mnamama

naaa

naaa

naaa

incógnitasdematriz

:

:

:=

3

2

1

n x

x

x

x

= matriz de terminos independientes

b

bb

bm

1

2

3

:

:

:


55/99

55

Ejemplo:

Escribir en forma matricial el sistema

-2x + y - 3z = 0

4x - 2y + z = 32x + y - z = 1- x + 3z = 0

Solución:

En la última ecuación el coeficiente de la variable “y” es cero.

2 1 3

4 2 1

2 1 1

1 0 3

0

3

1

0

=

x

y

z

matriz de término independientes

matriz de incógnitas

matriz de coeficientes

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen cadauna de las ecuaciones de dichos sistema.Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Ejemplo:

Los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x + 2y + z = 2 b) x + 2y + z = 23x + y - 2z = 1 y + z = 14x - 3y - z = 3 -11 y - 5z = - 52x + 4y + 2z = 4

son equivalentes, ya que para ambos la solución es la misma: x = 1 , y = 0 , z = 1 .


56/99

56

Verificando la solución para el sistema a) se tiene:

- sustituyendo en la primera ecuación del sistema

(1) + 2 (0) + (1) = 2

2 = 2

- sustituyendo en la segunda ecuación

3 (1) + ( 0 ) - 2 (1) = 1

1 = 1

- sustituyendo en la tercera ecuación

4 (1) - 3 ( 0 ) - 1 = 3

3 = 3

- sustituyendo en la cuarta ecuación

2 ( 1 ) + 4 ( 0 ) + 2 ( 1 ) = 4

4 = 4

Todas las ecuaciones del sistema a) se satisfacen.

Se deja al lector verificar la solución para el sistema b).

Si todos los términos independientes b1 , b2 , b3 , ................, bm de un sistema mxn sonceros, se dice que el sistema es homogéneo. Si al menos uno de ellos es diferente de cero sedice que el sistema es no homogéneo.

Ejemplo:

1) x + 2y - z = 0 sistema homogéneo 4 x 3 de ecuaciones-9x - y + 5z = 0 lineales.4x - y - 3z = 0x + y = 0

2) 2x + 3y - z = 0 sistema no homogéneo 3 x 3 de ecuaciones3x - y - 2z = 3 lineales.4x - y = -1


57/99

57

Solución de Sistemas mxn no Homogéneos.

Un sistema mxn no homogéneo de ecuaciones lineales puede ser que tenga:

a) Solución única, b) Múltiples soluciones,c) Ninguna solución.

Si el sistema tiene solución única o múltiples soluciones, se dice que es un sistema compatiblede ecuaciones. En caso de no tener solución se dice que el sistema es incompatible.

Método de la Matriz Aumentada para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales mxn .

Una descripción de este método es como sigue:a) Se parte de la matriz aumentada

( A B )

matriz de coeficientes matriz de términos independientes

b) Mediante operaciones elementales entre filas o por el método del pivote se reduce la matrizaumentada a una equivalente en la cual la matriz de coeficientes se ha llevado a la forma

canónica.c) De la matriz equivalente se obtiene el sistema de ecuaciones equivalente del cual se puedeobtener la solución del sistema original, si la hay.

Sistemas mxn que no tienen solución. (sistemas incompatibles).

Si al efectuar el paso c), en alguna de las ecuaciones del sistema equivalente se llega a un“absurdo” de la forma 0 = k , donde k es cualquier número real distinto de cero, el sistema notiene solución (es incompatible).

Ejemplo de un sistema mxn no homogéneo que no tiene solución.

Resolver el sistema 4x3 de ecuaciones lineales

- 2 x + y - 2z = 71/3x + y + 1/3z = 10/3- 4x + 4y + 8z = 4

x + 2y = 9


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58

Solución:

a) Se escribe el sistema en forma matricial

A X = B

=

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / / x

y

z

y se identifica la matriz aumentada

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / /

b) Por medio de operaciones elementales entre filas, o por medio del método del pivote, se llegade la matriz aumentada a la matriz equivalente en la cual la matriz de coeficientes está en formacanónica:

i) Por medio de operaciones elementales entre filas

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / / ~

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

3f 2 f 2 ¼f 3 f 3


59/99

59

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

~

0 7 0

1 3 1

0 4 3

0 1 1

27

10

11

1

f 1 + 2f 2 f 1 f 3 + f 2 f 3 f 4 - f 2 f 4

0 7 0

1 3 1

0 4 3

0 1 1

27

10

11

1

~

1 3 1

0 1 1

0 4 3

0 7 0

10

1

11

27

f 2 f 1 , f 2 f 4, f 4 f 2

1 3 1

0 1 1

0 4 3

0 7 0

10

11

27

-1~

1 0 2

0 1 1

0 0 1

0 0 7

7

1

7

20

f 1 + 3f 2 f 1 , f 3 + 4f 2 f 3, f 4 + 7f 2 f 4

1 0 2

0 1 1

0 0 1

0 0 7

7

7

20

-1

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

7

2

7

29

f 1 - 2f 3 f 1 , f 2 - f 3 f 2, f 4 - 7f 3 f 4


60/99

60

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

7

7

29

-8

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

7

8

7

29

- f 2 f 2 - f 3 f 3

matriz de coeficientes llevadaa la forma canónica.

c) Se obtiene el sistema de ecuaciones

x + 0y + 0z = - 7 x = -70x + y + 0z = 8 o bien y = 80x + 0y + z = -7 z = -7

0x + 0y + 0z = -29 0 = -29

¡¡absurdo!

Se ha llegado a un absurdo, 0 = - 29, por lo que se concluye que el sistema original

- 2x + y - 2z = 71/3x + y + 1/3z = 10/3- 4x + 4y + 8z = 4

x + 2y = 9

no tiene solución ( es un sistema incompatible de ecuaciones lineales).

El lector puede verificar que la aparente solución, x = - 7 , y = 8, z = - 7, no satisface a todaslas ecuaciones del sistema.

Es importante notar que no es imprescindible ni obligatorio llegar a la matriz aumentadaequivalente, cuya matriz de coeficientes es canónica, para determinar que el sistema de

ecuaciones lineales no tiene solución. Por ejemplo, de la última fila de la penúltima matriz se puede obtener la ecuación lineal correspondiente

0x + 0y + 0z = - 29 0 = - 29¡¡absurdo!!


61/99

61

ii) Utilizando el método del pivote

2 1 2

1 3 1 1 3

4 4 8

1 2 0

7

10 3

4

9

/ / / ~

2 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 0

7

10

1

9

3f 2 f 2 ¼ f 3 f 3

Estas operaciones es obvio que harán más fácil la aplicación del método del pivote:

2 1 21 3 1

1 1 2

1 2 0

710

1

9

~

2 1 2

0 7 0

0 1 6

0 5 2

7

-27

5

-25

~

14 0 14

0 7 0

0 0 420 0 14

-22

-27

-6240

~

588 0 0

0 294 0

0 0 420 0 0

56

1134

62812

1/588 f 1 f 1 , 1/-294 f 2 f 2

1/42 f 3 f 3 , 1/812 f 4 f 4

~

1 0 0

0 1 00 0 1

0 0 0

2 21

63 1331 21

1

/

//


62/99

62

matriz de coeficientes llevada a la forma canónica.

c) Se obtiene el sistema de ecuaciones.

x + 0y - 0z = - 2/21 x = - 2/210x + y + 0z = 63/13 o bien y = 63/130x + 0y + z = -31/21 z = - 31/210x + 0y + 0z = 1 0 = 1

¡¡absurdo!!

Nuevamente se ha llegado a un absurdo, 0 = 1, por lo que se concluye que el sistema original deecuaciones lineales

- 2 x + y - 2z = 71/3x + y + 1/3z = 10/3- 4x + 4y + 8z = 4

x + 2y = 9

es incompatible.

Se puede verificar que la aparente solución, x = - 2/21 , y = 63/13 . z = - 31/21 , no satisface atodas las ecuaciones del sistemas. Nótese que las “aparentes soluciones”, obtenidas por operaciones entre filas y por el método del pivote, no tienen por qué ser iguales precisamente porque no son soluciones del sistema.

Obsérvese que la incompatibilidad del sistema pudo determinarse a partir de la última fila de la penúltima matriz equivalente:

0x + 0y + 0z = 812 0 = 812¡¡absurdo!!

b) Sistemas mxn que tienen solución (sistemas compatibles)

Si en la matriz obtenida en el paso b),“Mediante operaciones elementales entre filas o por el método del pivote se reduce la

matriz aumentada a una equivalente en la cual la matriz de coeficientes se ha llevado a laforma canónica”, el número de filas diferente de cero es igual al número de incógnitas el sistema tiene soluciónúnica, si es que no resulta algún “absurdo”. Si dicho número de filas diferente de cero es menorque el número de incógnitas el sistema tiene infinito número de soluciones, si es que no resultaalgún “absurdo”.


63/99

63

Ejemplo de un sistema mxn no homogéneo que tiene solución única:

Resolver el sistema 3x3 de ecuaciones lineales.

- 2 x + y - 3z = 0

4x - 2y + z = 3- x + 3z = 0

Solución:

a) Se escribe el sistema en su forma matricial

0

30

=

z

yx

301-

12-43-12-

=


2 1 3

4 2 1

1 0 3

0

3

0

b) Por medio de operaciones elementales entre filas, o por medio del método del pivote, se llegaa la matriz equivalente en la cual la matriz de coeficientes está en forma canónica:

i) Por operaciones elementales entre filas:

2 1 3

4 2 1

1 0 3

0

3

0

-1 0 3

4 -2 1

-2 1 -3

0

3

0

-1 0 3

0 -2 13

0 1 -9

0

3

0

f 1 f 3 f 3 f 1 f 2 + 4f 1 f 2 f 3 f 2 f 2 f 3 f 3 - 2 f 1 f 3


64/99

64

-1 0 3

0 1 -9

0 -2 13

0

0

3

-1 0 3

0 1 -9

0 0 -5

quinta matriz equivalente

0

0

3

f 3 + 2 f 2 f 3 - 1/5 f 3 f 3 , - f 1 f 1

1 0 -3

0 1 -9

0 0 1

0

0

3 5 /

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

9 5

27 5

3 5

/

/

/

f 2 + 9 f 3 f 2 ,

f 1 + 3 f 3 f 1 Matriz de coeficientes llevada a la forma canónica

En la última matriz aumentada equivalente se observa que el número de las filas diferentes decero ( 3 filas ) es igual al número de incógnitas (x,y,z) y que el sistema de ecuaciones obtenidode dicha matriz aumentada no presentará algún “absurdo”. De lo anterior se concluye que elsistema tiene solución única.

ii) Utilizando el método del pivote

-2 1 -3

4 -2 1

-1 0 3

0

3

0

-2 1 -3

0 0 10

0 1 -9

0

6

0

f 2 f 3 , f 3 f 2

-2 1 -3

0 1 -9

0 0 10

3 matriz equivalentea

0

0

6


65/99

65

~

-2 0 6

0 1 -9

0 0 10

0

0

-6

~

-20 0 0

0 10 0

0 0 10

36

54

6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

9 5

27 5

3 5

/

/

/

-1/20 f 1 f 1 , 1/10 f 2 f 2 1/10 f 3 f 3 Matriz de coeficientes llevado

a la forma canónica.

Nótese que esta última matriz aumentada equivalente es exactamente igual a la obtenida poroperaciones entre filas, lo cual era de esperarse ya que el sistema tiene solución única.


x + 0y + 0z = - 9/5 x = - 9/50x + y + 0z = - 27/5 o bien y = - 27/50x + 0y + z = -3/5 z = - 3/5

El lector puede verificar que ésta, x = -9/5 , y = - 27/5 , z = - 3/5 , es la solución del sistemaoriginal

-2x + y - 3z = 04x - 2y + z = 3- x + 3z = 0

sustituyendo los valores de las incógnitas en cada una de las ecuaciones.

Obsérvese que en este caso también ocurre que no es imprescindible ni obligatorio llegar a lamatriz aumentada equivalente descrita en el paso b), para obtener la solución del sistema.

Por ejemplo, en la solución por operaciones elementales entre filas, a partir de la quinta matrizequivalente encontrada se puede obtener fácilmente la solución por álgebra:

quinta matriz equivalente Sistema de ecuaciones equivalente al original

- x + 0y + 3z = 0 (1)

1 0 3

0 1 9

0 0 5

0

0

3

0x + y - 9z = 0 (2)

0x + 0y - 5z = 3 (3)


66/99


67/99

67

3 4 10

2 1 1

5 5 9

9

1

8

b) Por operaciones elementales entre filas o por el método del pivote se lleva la matrizaumentada a una equivalente en la cual la matriz de coeficientes es canónica.

Combinando ambos métodos, operaciones entre filas y el pivote, se tiene:

3

-2

5

4 10

1 1

5 9

9

1

8

~

3 -4 10

0 -5 23

0 5 -23

9

21

21

~

3 -4 10

0 -5 23

0 0 0

9

21

0

f 3 + f 2 f 3

~

0

21

39

000

2350

42015

~

0

5/21

5/13

000

5/2310

5/1401

-1/15 f 1 f 1 , -1/5 f 2 f 2

Matriz de coeficientesllevada a la forma canónica

El sistema tiene múltiples soluciones, ya que en la última matriz aumentada equivalente seobserva que el número de filas diferentes de cero (dos filas) es menor que el número deincógnitas (tres incógnitas), y no surgió “absurdo” alguno.

c) Se tiene el sistema de ecuaciones.

x + 0y - 14/5 z = - 13/50x + y - 23/5 z = - 21/5

o bien,

x - 14/5 z = - 13/5 x = 14/5 z - 13/5

y - 23/5 z = - 21/5 y = 23/5 z - 21/5


68/99

68

La solución del sistema es la que está en recuadro y se ve que tanto x como y dependen del valorque se le asigne a z; por ejemplo:

i) Si z = 0 , entonces x = 14/5 z - 13/5

x = - 13/5

y = 23/5(0) - 21/5

y = - 21/5

ii) Si z = 1 , entonces x = 14/5(1) - 13/5

x = 1/5

y = 23/5(1) - 21/5

y = 2/5

Así sucesivamente se puede obtener tantas soluciones como se quiera, asignando diferentesvalores a z.

Solución de sistemas mxn homogéneos.

Cualquier sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales:

a11 x1 + a12 x2 + ............... + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + ............... + a2n xn = 0: : : :: : : :am1 x1 + am2 x2 + ............... + amn xn = 0

siempre se satisface con la solución:

x1 = 0 , x2 = 0 , ................ , xn = 0 , de lo cual se concluye que todo sistema mxnhomogéneo de ecuaciones lineales es compatible.


69/99

69

A esta solución, x1 = 0 , x2 = 0 , ........ , xn = 0 , se le conoce como solución trivial. Acualquier otra solución, si la hay, se le conoce como solución no trivial.Un sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales puede ser que tenga:

a) Solución única (la solución trivial),

b) Múltiples soluciones (entre ellas está la trivial).Las condiciones para solución única o múltiples soluciones , son las mismas que se consideran para los sistemas mxn no homogéneos.

Ejemplo: Resolver el sistema mxn homogéneo de ecuaciones lineales

- 2x + y - 2z = 01/3x + y + 1/3z = 0

-4x + 4y + 8z = 0x + 2y = 0

Solución:

a) Se escribe el sistema en forma matricial

A X O-2 1

1/ 3 1

-4 4

1 2

x

y

z

=

2

1 3

8

0

0

0

0

0

/


O

1 -2

1 1 / 3

4 8

2 0

2

1 3

4

1

0

0

0

0

/

b) Combinando operaciones entre filas y el método del pivote se llega de la matriz aumentada ala matriz equivalente cuya matriz de coeficientes está en forma canónica:


70/99

70

2

1 3

4

1

0

0

0

0

1 -2

1 1 / 3

4 8

2 0

/ ~

2 1 -2

1 3 1

-1 1 2

1 2 0

0

0

0

0

3 f 2 f 2 , 1/4f 3 f 3

~

-2 1 -2

0 -7 0

0 -1 -6

0 -5 2

0

0

0

0

~

14 0 14

0 -7 0

0 0 42

0 0 -14

0

0

0

0

~

588 0 0

0 -294 0

0 0 42

0 0 0

0

0

0

0

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

0

0

1/588 f 1 f 1 , 1/-294 f 2 f 2 1/42 f 3 f 3 Matriz de coeficientes llevado

a la forma canónica.

En la última matriz aumentada equivalente se observa que el número de filas diferentes de cero (3 filas ) es igual el número de incógnitas (x,y,z ) y que el sistema que se obtenga de dicha matrizaumentada no presentará algún “absurdo”. De lo anterior se concluye que el sistema tienesolución única (la solución trivial)


x + 0y + 0z = 0 x = 00x + y + 0z = 0 o bien y = 00x + 0y + z = 0 z = 00x + 0y + 0z = 0

En efecto, la solución resultante resultó ser la solución trivial.


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GUIA DE EJERCICIOS:

I. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de la matrizaumentada ( Puede utilizar operaciones elementales entre filas o el método del Pivote)

1) 2x + 3y = -2 2) 5x + 2y - z = - 7x + y = 1 x - 2y + 2z = 0x - 2z = 13 3y + z = 17

3) 1/3x + 2/3y = 0 4) x + y = 0

2/3x + 1/3y = 1 3x - 4y = 0

5) 2x - 3y + 2z = -3 6) 2x - y = 5-3x + 2y + z = 1 x - 7z = 34x + y - 3z = 4 5y + 3z = - 2-

7) x + 3y + z = 0 8) x + y + z = 0x + y - z = 0 - z = 0x - 2y - 4z = 0 x - 2y - 5z = 0

9 ) x + 2y - z - 3w = 23x + y - 2z - w = 6x + y + 3z - 2w = -3

4x - 3y - z - 2w = -8

10) x + y + z = 0 11) 2x - 4z = 85x - 2y - 9z = 0 x - 2y - 2z = 143x + y - z = 0 x + y - 2z = - 13x - 2y - 7z = 0 3x + y + z = 0

12) x - y = 0 13) w - x - y + 4z = 52x + 2y = 3 2w - 3x - 4y + 9z = 135x - y = 1 2w + x + 4y + 5z = 1


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II. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Las ecuaciones de oferta y demanda de cierto artículo son: 3p + 5x = 200 y

7p - 3x = 56, respectivamente. Determine los valores de x y p en el punto deequilibrio del mercado.

2. Resuelva y comente la solución, cuando las ecuaciones de demanda y de oferta de ciertoartículo

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