Matrices y determinantes.pdf

Vectores y MatricesDefiniciones

MatrizDefinicion de Matriz

Tipos de MatricesOperacion con matrices

Productos Vectorial y Matricial

Algebra Lineal

LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez

Instituto Tecnologico Superior de Libres

[email protected]

2015

LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez Calculo Integral





Contenido

1 Vectores y Matrices

2 Definiciones

3 Matriz

4 Definicion de MatrizSimbologa de una matrizEjemplo

5 Tipos de Matrices

6 Operacion con matricesSuma de Matrices

7 Productos Vectorial y MatricialProducto Matricial






Introduccion

Historia

El estudio de vectores y matrices es la medula del algebra Lineal.Comenzo esencialmente con el trabajo del gran matematicoirlandes Sir William Hamilton (1805 1865).

En la actualidad casi todas las ramas de la fsica clasica y modernase representan mediante el lenguaje de los vectores. Los vectorestambien se usan, cada vez mas, en las ciencias biologicas y sociales.






Vector renglon de n componentes

Un vector de n componentes se define como un conjuntoordenado de n numeros escritos de la siguiente manera:

(x1, x2, x3, , xn)

Vector columna de n componentes

Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenadode n numeros ordenados escritos de la siguiente manera:

x1x2...xn






Ejemplos de Vectores

Los siguientes son vectores:

(3, 6) es un vector renglon (o un 2-vector).

x1x2...xn

es un vector columna (o un 3-vector).(2, 1, 0, 4) es un vector renglon (o un 4-vector).

00000

es un vector columna o un vector cero.








(3, 6) es un vector renglon (o un 2-vector).x1x2...xn

es un vector columna (o un 3-vector).

(2, 1, 0, 4) es un vector renglon (o un 4-vector).00000











00000











00000

es un vector columna o un vector cero.LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez Calculo Integral





El espacio Rn

Se usa el smbolo Rn para denotar al conjunto de todos losn-vectores

a1a2a3...an

donde cada ai es un numero real






El espacio Cn

Se usa el smbolo Cn para denotar al conjunto de todos losn-vectores

c1c2c3...cn

donde cada ci es un numero complejo






Matriz

Una matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn numerosdispuestos en m renglones y n columnas.

A =

a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n

......

......

ai1 ai2 aij ain...

......

...am1 am2 amj amn






El smbolo m n se lee m por n. A menos que se establezca locontrario, se supondra que los numeros en una matriz o vector sonreales. El vector renglon (ai1, ai2, aij , , ain) se llama renglon i yel vector

(a1ja2j

)






Simbologa de una matrizEjemplo

Definicion de matriz

Conjunto de elementos, ya sean numeros o caracteres agrupadosen m filas y en n columnas.

Ano Consumo MMD PBI Deflactor PBI Tasa de descuento

1972 737.1 1185.9 1.00 4.5

1973 812.0 1326.4 1.0575 6.44

1974 808.1 1434.2 1.1508 7.83

1975 976.4 1549.2 1.2579 6.25

1976 1084.3 1718.0 1.3234 5.5

1977 1204.4 1918.3 1.4005 5.46

1978 1346.5 2163.9 1.5042 7.46

1979 1507.2 2417.8 1.6342 10.28

1980 1667.2 2633.1 1.7804 11.77







A =

1972 737.1 1185.9 1.00 4.51973 812.0 1326.4 1.0575 6.441974 808.1 1434.2 1.1508 7.831975 976.4 1549.2 1.2579 6.251976 1084.3 1718.0 1.3234 5.51977 1204.4 1918.3 1.4005 5.461978 1346.5 2163.9 1.5042 7.461979 1507.2 2417.8 1.6342 10.281980 1667.2 2633.1 1.7804 11.77







Una matriz se representa con la letra mayuscula, y si se quiererepresentar la matriz en forma total sin necesidad de escribir todoslos elementos, se escribe:

Amn, Amn

donde m indica la cantidad de filas y n la cantidad de columnas.Estos subndices son llamados dimension u orden de la matriz.







A =

1972 737.1 1185.9 1.00 4.51973 812.0 1326.4 1.0575 6.441974 808.1 1434.2 1.1508 7.831975 976.4 1549.2 1.2579 6.251976 1084.3 1718.0 1.3234 5.51977 1204.4 1918.3 1.4005 5.461978 1346.5 2163.9 1.5042 7.461979 1507.2 2417.8 1.6342 10.281980 1667.2 2633.1 1.7804 11.77

es una matriz A95







S nos interesa algun elemento de la matriz, entonces este serepresenta por medio de una letra igual a la letra de la matriz, soloque en minuscula y con los subndices de la fila y la columna a lacual pertenece dicho elemento aij que estarta situado en lainterseccion de la fila i y la columna j .Ejemplo: Nos interesa el dato de Deflactor en el ao 1977,entonces los representamos de la siguiente manera.







A =

1972 737.1 1185.9 1.00 4.51973 812.0 1326.4 1.0575 6.441974 808.1 1434.2 1.1508 7.831975 976.4 1549.2 1.2579 6.251976 1084.3 1718.0 1.3234 5.51977 1204.4 1918.3 1.4005 5.461978 1346.5 2163.9 1.5042 7.461979 1507.2 2417.8 1.6342 10.281980 1667.2 2633.1 1.7804 11.77

a64 = 1.4005







Informacion que puede contener una matriz

Resultado de una encuesta realizada a m individuos sobre npreguntas.

La tecnologa lineal que emplea m factores en n procesosproductivos.

Los coeficientes de las incognitas de un modelo lineal de mecuaciones con n incognitas.

Una aplicacion lineal de Rn en Rn.Una base de datos.











Una aplicacion lineal de Rn en Rn.

Una base de datos.











Una aplicacion lineal de Rn en Rn.Una base de datos.







Ejemplo

Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), decobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de1, 1.5, 2 y 2.5cm con los precios respectivos siguientes:

Clavos A 0.2 0.3 0.4 0.5 Euros

Clavos B 0.3 0.45 0.6 0.75 Euros

Clavos C 0.4 0.6 0.8 1 Euros

Presentar la informacion en una matriz de 4 3 que recoja losprecios.







Precios

Tamano Clavos A Clavos B Clavos C

1 0.2 0.3 0.4

1.5 0.3 0.45 0.6

2 0.4 0.6 0.8

2.5 0.5 0.75 1.00

M =

0.2 0.3 0.40.3 0.45 0.60.4 0.6 0.80.5 0.75 1.00

En la matriz M se observa que cada fila representa el tamano delclavo, mientras que cada columna representa el tipo de clavo, y suselementos son sus precios correspondientes.






Tipos de Matrices

Matriz Nula

Todos sus elementos son cero, aij = 0 i , j Ejemplo:

B =

0 0 00 0 00 0 0

Matriz Cuadrada

Matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas, Ejemplo:

B =

1 3 55 0 1/30 4 2

C = (1 35 0

)






Tipos de Matrices

Matriz Nula

Todos sus elementos son cero, aij = 0 i , j Ejemplo:

B =

0 0 00 0 00 0 0

Matriz Cuadrada

Matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas, Ejemplo:

B =

1 3 55 0 1/30 4 2

C = (1 35 0

)LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez Calculo Integral





Tipos de Matrices Continuacion

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos cero exceptolos que pertenecen a la diagonal principal. Ejemplo:

B =

2 0 00 3 00 0 1

Matriz Escalar

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principalson todos iguales, Ejemplo:

Q =

(2 00 2

)






Tipos de Matrices Continuacion

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos cero exceptolos que pertenecen a la diagonal principal. Ejemplo:

B =

2 0 00 3 00 0 1

Matriz Escalar

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principalson todos iguales, Ejemplo:

Q =

(2 00 2

)LMA. Yahira M. Suarez Gonzalez Calculo Integral





Matriz Identidad

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principalson todos la unidad, Ejemplo:

I =

1 0 00 1 00 0 1






Matriz Triangular superior

Es una matriz cuadrada cuyos elementos que se encuentran debajode la diagonal principal son todos cero, Ejemplo:

A =

1 3 50 1 30 0 1

Matriz Triangular inferior

Es una matriz cuadrada cuyos elementos que se encuentran porarriba de la diagonal principal son todos cero, Ejemplo:

A =

1 0 02 1 05 1 1






Matriz simetrica

Es una matriz cuadrada donde los elementos simetricos soniguales, es decir aij = aji , Ejemplo:

A =

1 4 24 5 32 3 1

Matriz antisimetrica

Es una matriz cuadrada que cumple aij = aji , Ejemplo:

A =

1 4 24 5 32 3 1






Matriz rectangular

Es una matriz donde el numero de filas no coincide con el numerode columnas

A =

1 4 24 5 32 3 1






Suma de Matrices

Operacion de matrices

Hemos denotado que una matriz es A de m n puede tener (aij).Y si (bij) denota otra matriz de B de m n, entonces decimos queA y B son iguales y escribimos:A = B si y solo si aij = bij , i , j .Por ejemplo (

1 0 53

8 32 2)

=

((1)2 0 25

2 9 2)






Suma de Matrices

Ejemplo

Hallar a + b + c si (2 a3 b

)=

(c 23 8

)

Respuesta: a + b + c = 8






Suma de Matrices

Ejemplo

Hallar a + b + c si (2 a3 b

)=

(c 23 8

)Respuesta: a + b + c = 8






Suma de Matrices

Ejercicio

Encuentra a + b si

A =

((a/2 + b) 5

5 7

)=

(9 55 (a + b/3)

)






Suma de Matrices

Suma de matrices

Para sumar dos matrices sumamos los elementos que aparecen enlas posiciones correspondientes de cada matriz. Notese que dosmatrices solamente pueden ser sumadas si tienen el mismo numerode filas y de columnas.

(aij) + (bij) = (aij + bij) 4 50 46 1

+ 3 27 42 1

=no es dificil ver que la suma de matrices es asociativa yconmutativa:

A + B = B + A A + (B + C ) = (A + B) + CLMA. Yahira M. Suarez Gonzalez Calculo Integral





Suma de Matrices

Ejemplo de suma

Una empresa tiene tres libreras, y cada una de ellas tiene libros deficcion, de viajes y de deportes. Las cantidades de libros se tabulancomo sigue:

Librera Ficcion Viajes Deportes

1 300 300 100

2 300 100 240

3 50 150 200

Supponga que las entregas a cada librera estan representadas porD, Calcule las existencias actualizadas.

D =

60 40 2060 40 3060 40 30






Suma de Matrices

Escalar por una matriz






Producto Matricial


Suponga que un fabricante produce cuatro artculos. Su demendaesta dada por el vector de la demanda d = (30 20 40 10) (unamatriz de 1 4). El precio por unidad que recibe el fabricante por

los artculos esta dado por por vector de precios p =

$20$15$18$40

(una matriz de 4 1). Si se cumple la demana, cuanto dinerorecibira el fabricante?






Producto Matricial

Este resultado se escribe como (30 20 40 10)

$20$15$18$40

= 2020Producto Escalar

Sean a =

a1a2...an

y b =b1b2...bn

dos vectores. Entonces el Productoescalar de a y b denotado por a b esta dado por:

a b = a1b1 + a2b2 + + anbn






Producto Matricial


$20$15$18$40

= 2020

Producto Escalar

Sean a =

a1a2...an

y b =b1b2...bn


a b = a1b1 + a2b2 + + anbn






Producto Matricial


$20$15$18$40

= 2020Producto Escalar

Sean a =

a1a2...an

y b =b1b2...bn


a b = a1b1 + a2b2 + + anbn






Producto Matricial

Producto matricial

Dos matrices se pueden multiplicar unicamente s el numero decolumnas de la primera matriz es igual al numero de renglones dela segunda. De otro modo, los vectores que forman el renglon i enA y la columna j de B no tendrn el mismo numero decomponentes y el producto punto en la ecuacion no estaradefinido. Dicho de otro modo, las matrices A y B seranincompatibles bajo la multiplicacion.






Producto Matricial

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

...ai1 ai2 ain...

......

am1 am2 amn

b11 b12 b1j b1pb21 b22 b2j b2p

......

......

bn1 bn2 bnj anp






Producto Matricial

Problema de aplicacion

Un fabricante de joyera de diseo tiene ordenes por dos anillos, trespares de aretes, cinco prendedores y un collar. el fabricante estimaque le llevara 1 hora de mano de obra hacer un anillo, 1 12 horashacer un par de aretes, 12 hora para un prendedor y 2 horas para uncollar.

Exprese las ordenes del fabricante como un vector renglon.

Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos dejoyas como un vector columna.

Utilice el producto escalar para calcular el numero total dehoras que requerira para terminar las ordenes.






Producto Matricial

Problema de Aplicacion 2

Un turista regreso de un viaje por America del Sur con divisaextranjera de las siguientes denominaciones: 1000 pesosargentinos, 20 reales de Brasil, 100 pesos colombianos, 5000 pesoschilenos y 50 colones de Costa Rica. En dolares, un peso argentinovala $0.3173, los reales brasileos $0.4962, los pesos colombianos$0.000471, los pesos chilenos $0.00191 y los colones $0.001928

Exprese la cantidad de cada tipo de moneda por medio de unvector renglon.

Exprese el valor de cada tipo de moneda en dolares por mediode un vector columna.

Utilice el producto escalar para calcular cuantos dolares valael dinero extranjero del turista.


Vectores y MatricesDefinicionesMatrizDefinicin de MatrizSimbologa de una matrizEjemplo

Tipos de MatricesOperacin con matricesSuma de Matrices

Productos Vectorial y MatricialProducto Matricial

Matrices y determinantes.pdf

Documents

Transcript of Matrices y determinantes.pdf