Mate2_Manual 2013 Corregido.pdf

MATEMÁTICA II

Segundo ciclo

2013

2

CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC

ÍndiceÍndiceÍndiceÍndice

Presentación 4

Red de contenidos

Unidad de aprendizaje 1

5

1.1. Tema 1 : Matrices, Orden y Operaciones 6

1.1.1

:

Tipos de matrices. Determinante

22


2.1 Tema 2 : El plano cartesiano, Recta, Distancia entre dos

puntosÁngulos, Áreas, Punto medio, baricentro.

49

2.1.1.

2.1.2

La Recta, ecuaciones, Gráficas

Distancia de un punto a una recta

62

71

2.2 Tema 3 : La parábola, Ecuaciones y Gráficas 75


3.1 Tema 4 : Funciones, Dominio, Rango y Regla de correspondencia

Intercepto con los ejes coordenados.

87

3.2 Tema 5 : Funciones básicas: Lineal, Valor Absoluto, Raíz cuadrada

Funciones Cuadrática.

97


4.1 Tema6 4.1.1 4.1.2 4.1.3

: Límites de funciones Límites indeterminados : Polinómicas Límites indeterminados con radicales Límites en el infinito

109

4.2 Tema 7 : Límites laterales. Continuidad de una función 121

MATEMÁTICA II 3

CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES


5.1 Tema 8 : Derivadas,Fórmulas de derivación 134

5.1.1 Derivada de funciones algebraicas

138

5.2 Tema 9

5.2.1

: Ecuación de la recta tangente

Interpretación geométrica de la derivada

151

151

5.3 Tema 10 5.1.1 5.1.2 5.1.3

: Derivada de funciones especiales Derivada de orden superior Derivada de funciones logarítmicas Deriva de funciones exponenciales

163 164 166

4


Presentación

MatemáticaII pertenece a la línea formativa, analítica y de solución de problemas, propios del cálculo diferencial y se dicta en todas las Carreras Profesionales de Cibertec. El curso brinda un conjunto de herramientas algebraicas y geométricasque permitirán el desarrollo de las capacidades de abstracción y de resolución de problemas. La forma didáctica en que presentamos los temas permitirá que sea un material complementario para afianzar el aprendizaje de nuestros alumnos.

El presente manual de matemática II, ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje (UA), las que se desarrollarán durante las 15 semanas de clasesprogramadas. En cada una de ellas, se hallarán los logros que se deben alcanzar al final del desarrollo de la unidad.El tema tratado de cada UA, será ampliamente desarrollado tanto en el fundamento teórico del tema, como en la parte práctica, los mismos que tendrán problemas desarrollados, problemas propuestos y auto-evaluaciones que en su mayoría son problemas de evaluaciones continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados.Las sesiones de aprendizaje fomentarán la participación activa de los alumnos mediante ejercicios dirigidos, dinámicas individuales y grupales, además de la práctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen un nivel óptimo de aprendizaje. Se utilizarán controles de desempeño con el fin de promover el trabajo en equipo, el pensamiento critico, la argumentación y justificación de sus ideas así como la comunicación El curso es de naturaleza práctica. Se inicia manejando las herramientas básicas del algebra matricial, efectuando las operaciones básicas con matrices: la adición, multiplicación y otras aplicaciones; seguidamente, en el plano cartesiano, aprenderemos a construir gráficas de rectas y cónicas como circunferencias y parábolas, así como reconocer dichas cónicas a partir de sus ecuaciones.Del mismo modo, se analizarán las gráficas y el comportamiento en el plano de funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Finalmente, se analizarán la continuidad o discontinuidad de funciones algebraicas resolviendo los diferentes casos de límites indeterminados, a fin de hallar y manejar las diferentes aplicaciones del cálculo diferencial.

RED DE CONTENIDOS

MATRICES

MATEMATICA II

GEOMETRÍA ANALITICA

FUNCIONES LÍMITES Y CONTINUIDAD

DERIVADAS

MATRICES Y DETERMINATES LOGRODE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de operaciones con matrices y calcula el determinante de una matriz aplicando las propiedades de matrices y las leyes del álgebra básica.

TEMARIO

MATRICES Y DETERMINANTES Matrices :Definición Igualdad de matrices Operaciones con matrices Tipos de matrices , matrices especiales Determinante de orden 2 y 3

Regla de Cramer

ACTIVIDADES PROPUESTAS

• Escribe explícitamente matrices de orden mxn

• Efectúa operaciones con matrices: Adición, producto de un escalar por una matriz, multiplicación de matrices.

• Identifica las diferentes clase de matrices

• Halla el determinante de una matriz de orden 2 y orden 3

• Aplica la Regla de Cramer para resolver Sistemas de Ecuaciones.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

1 TEMA

1

MATEMÁTICA II 7


MATRICES Las matrices son herramientas matemáticas de mucha aplicabilidad en el campo de las ciencias económicas, sociales, administrativas entre otras áreas. Durante muchos años, los matemáticos puros fueron los únicos que se dedicaron al estudio de las matrices y de sus propiedades, pero en la actualidad existe un gran interés por el conocimiento de este tema, debido a sus numerosas aplicaciones en el estudio y solución de problemas concretos, sobre todo, por parte de quienes se dedican al estudio de la ciencias administrativas y sociales. Es sumamente importante, para quienes se inician en el estudio de estos temas, tener muy presente que el concepto de matriz es completamente diferente al de “determinante”, tal como lo haremos notar más adelante. La rápida difusión de las calculadoras y, en particular, de las computadoras electrónicas, han creado la necesidad de impulsar el uso de las matrices en el planeamiento y solución de problemas concretos. Una matriz A de orden m por n es un arreglo rectangular de elementosordenados en filas y columnas, que tienen la forma:

columna 1

↓

=

1m

1i

11

a

a

a

A

columna j

↓

mj

ij

j1

a

a

a

columna n

↓

mn

in

n1

a

a

a

← Fila 1

← Fila i

← Fila m

... ...

... ...

... ...

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = ( jia ) nxm , con i =1,2,3, ...,m

j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el

primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Ejemplos:

I. DEFINICIÓN

8


Nota 1. Una matriz usualmente se representa por letras mayúsculas A, B, C, etc. y a sus elementos por letras minúsculas aij, bij y cij,etc. Ejemplos:

=

=

33

23

13

32

22

12

31

21

11

2221

1211

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Baa

aaA

Nota 2. Los elementos aij de una matriz “A” pueden ser números reales, números complejos, funciones, vectores o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo, las fichas de un ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificados en orden alfabético, etc. Ejemplo:

.

,

12

34

columnasdenúmero

aligualfilasde

númerocuadrada

matrizunaEs

A

=

=18

12

6

16

10

4

14

8

2

B

columnasdenúmero

aligualfilasde

númerocuadrada

matrizunaEs

,

=100

010

001

I

=10

01

I

Matrices identidad.

=00

00

00

D

=000

000

000

E

Estas matrices son nulas. .

=15

10

3

D

Está matriz que tiene una columna, se conoce como vector columna.

[ ]2403=E Está matriz que tiene una fila, se conoce como vector fila.

=

73

101

4

9C

=

13

12

11

c

c

c

C

MATEMÁTICA II 9


=

7575

4

3

85,0

73

1 π

A

=

Senx

x

senx

xCosxSenx

B3

−−

=ii

iiH

13

3 2

=Hilario

Cruz

Baldin

Flores

Castro

Abad

I

Nota 3. La matriz no tiene valor numérico; es decir, no puede identificarse con un número. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz es el producto indicado del número de filas por el número de columnas de la matriz. Ejemplo:

3x315

e

5

8

31

5

3

3

A

π=Número de filas

Número de columnas

si la matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces es de orden 3x3. Dos matrices A y B son iguales, si y sólo si, son del mismo orden y sus respectivos elementos son iguales.

[ ] [ ] ijijij ,baBA ∀=⇔=

Ejemplo: Sean:

−−=

πeA

2010

−−=

πeB

2010

Averigüe si son iguales o no

Solución:

A y B tienen el mismo orden (2 x 2). Veamos si tienen los mismos elementos:

II. IGUALDAD DE MATRICES

10


π−==

−======

2222

2121

1212

1111

ba

eba

20ba

10ba

Luego, A = B 1. ADICIÓN DE MATRICES Sean las matrices: A = [aij] y B = [bij], ambas del mismo orden m x n. La matriz suma de A y B es otra matriz C = A + B = [aij + bij], la cual también es de orden m x n. Ejemplos:

1. Sean las matrices: 3232 25

52

3

1

42

65

3

1

xx

BA

−−−−−−−−

====

====

Hallar A + B

Solución Entonces:

32

)2(4

56

52

25

33

)1(1

x

BA

−++

++

+−+

=+

3x2

27

117

6

0BA

=+

2. Sean las matrices:

3333123

321

323

330

111

222

xx

NM

−−−−−−−−

−−−−====

−−−−−−−−====

Hallar M + N

Solución Entonces:

3x3)1(323)3(0

312111

)3(22232

NM

−+−+−+++−+

−+++=+

III. OPERACIONES CON MATRICES

MATEMÁTICA II 11


3x3453

412

145

NM

−−

−=+

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES: Consideremos las matrices A, B y C del mismo orden y “ λ ” es un escalar. Entonces:

a) A + B = B + A , Conmutativa b) A + (B+C) = (A+B) + C, Asociativa c) λ (A+B) = λ A + λ B , Distributiva d) Existe una matriz 0 tal que para todo A, A + 0 = A.

2. SUSTRACCIÓN DE MATRICES Consideremos dos matrices A y B del mismo orden.Entonces, la diferencia de las matrices A y B definiremos por: A - B = A + (-1) B Ejemplos:


−−

−−=

−

−=

312

642

123

B

321

634

132

A

Hallar A - B Solución

A - B = A +(-1) B =

−−

=−→

−−−−−

+

−

−=

031

012

255

BA

312

642

123

321

634

132

3. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sea A = [aij] una matriz de orden m x n, y λ un número. Entonces λ A= [ λ aij]. Ejemplo:

Sea

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A = 5 y

−−=

342

176

532

A

−−

−−−+

−

−

312

642

123

)1(

321

634

132

12


Entonces

−−=

−−=λ

152010

53530

251510

)3(5)4(5)2(5

)1(5)7(5)6(5

)5(5)3(5)2(5

A

4. PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR COLUMNA

Sean: [ ]

==

n

n

b

b

b

ByaaaA

.

.,...,,2

1

21

Entonces: A x B = [ ]

=+++ ∑=

n

iiinn babababa

12211 ...

Ejemplo: Si: A = [4 8 -2] ;B =

−3

2

1

Hallar A.B

Solución

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]18

61646164

322814

3

2

1

284

−−−−====−−−−−−−−====−−−−++++−−−−++++====

−−−−++++−−−−++++====

−−−−−−−−====

BA

BA

BA

.

)()(.

))(())(()(.

5. PRODUCTO DE DOS MATRICES Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas en la otra. Dada las matrices: A = [aij]m x n , B = [bij]n x p y C = [cij]m x p Entonces: CBxA =

MATEMÁTICA II 13


Nº de co lum nadebe ser iguala Nº de filas

[aij ] m x n . [bij ] n x p = [cij ] m x p

La matriz C debe ser de Orden mxp Ejemplo:

Calcular AB si:

=

=703

431

265

By

514

310

432

A

Solución:

=703

431

265

514

310

432

AB

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

=

7

4

2

514

0

3

6

514

3

1

5

514

7

4

2

310

0

3

6

310

3

1

5

310

7

4

2

432

0

3

6

432

3

1

5

432

AB

++++++++++++++++++

=)7(5)4(1)2(4)0(5)3(1)6(4)3(5)1(1)5(4

)7(3)4(1)2(0)0(3)3(1)6(0)3(3)1(1)5(0

)7(4)4(3)2(2)0(4)3(3)6(2)3(4)1(3)5(2

AB

=472736

25310

442125

AB

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES a) AB no es igual BA (no conmuta) b) A· (B · C) = (A·B) ·C

14


c) A· (B + C) = A · B + A · C d) (B + C) A = B. A + C.A e) K (A B) = A · (K · B) , K es un escalar. Suponiendo que las operaciones indicadas están definidas. 6. POTENCIA DE UNA MATRIZ Sea A una matriz cuadrada de orden n x n. Definiremos:

1. Aº = I A3=A.A.A A1 = A A2= A.A An=A.A.A …

2. An.Am = An+m

3. (An)m = An.m

4. A y B se llaman conmutables ↔ AB = BA Afirmación: Si las matrices A y B son conmutables cualquier potencia natural de los

mismos son conmutables y, sarbitrarion,B.A)B.A( nnn Ν∈=

Ejercicios resueltos :

1) Sean las matrices: A=

+11

2

t

ttyB=

++0

112

t

tt

Hallar: A+B Solución:

A+B =

++++

=

++++++

11

12)1(

011

1212 22

tt

tt

tt

ttt

2) Sean: A=

− 141

1010

531

; B =

−−−

−

141

313

272

; C=

−

080

703

7101

Hallar: (A+B ) - C

Solución:

MATEMÁTICA II 15


A+B =

−=

−++−−−+++−

080

703

7101

114411

3101130

257321

( A+B ) - C=

−

080

703

7101

_

−

080

703

7101

=

000

000

000

3) Halle AB, si A=�5 30 5� ; B=��8 0 71 3 2�

Solución:

AB=�5 30 5� ��8 0 71 3 2� = ��5,3�. ��8,1� �5,3�. �0,3� �5,3�. �7,2��0,5�. ��8,1� �0,5�. �0,3� �0,5�. �7,2��

=��40 � 3 0 � 9 35 � 60 � 5 0 � 15 0 � 10�

=��37 9 415 15 10�

4) Halle CA, si C=�1 00 37 1� ;A=�5 30 5� Solución:

CA=�1 00 37 1� �5 30 5�

CA=�1 00 37 1� �5 30 5� = ��1,0�. �5,0� �1,0�. �3,5��0,3�. �5,0� �0,3�. �3,5��7,1�. �5,0� �7,1�. �3,5��=

2635

150

35

5) si A=�5 30 5�,Halle��

Solución: ��= A.A = �5 30 5� �5 30 5� =��5,3�. �5,0� �5,3�. �3,5��0.5�. �5,0� �0,5�. �3,5�� =�25 � 0 15 � 150 � 0 0 � 25 � =�25 300 25�

6) Halle BC, si B= ��8 0 71 3 2� ; C=�1 00 37 1�

16


Solución:

BC=��8 0 71 3 2� �1 00 37 1�

BC=��8,0,7�. �1,0,7� ��8,0,7�. �0,3,1��1,3,2�. �1,0,7� �1,3,2�. �0,3,1� �=��8 � 0 � 49 0 � 0 � 71 � 0 � 14 0 � 9 � 2� BC= �41 715 11� 7). Halle�� , si IXXf X −−= 2

)( , A= �2 1 13 1 21 �1 0� Solución: Hallando��

�2 1 13 1 21 �1 0� �2 1 13 1 21 �1 0� � � �2,1,1�. �2,3,1� �2,1,1�. �1,1, �1� �2,1,1�. �1,2,0��3,1,2�. �2,3,1� �3,1,2�. �1,1, �1� �3,1,2�. �1,2,0��1, �1,0�. �2,3,1� �1, �1,0�. �1,1, �1� �1, �1,0�. �1,2,0��

�� =

+−+−+−++−+++++−+++

021011032

023213236

022112132

�� =

−− 101

5211

426

, Nota: I=

100

010

001

Se tiene IXXf X −−= 2)( �� A� � � � "

−−=

101

5211

426

)( Af -

− 011

213

112

-

100

010

001

=

−−−++−−−−−−−−−−−−−−−

101010011

0251120311

014012126

f(A)=

−− 212

308

313

MATEMÁTICA II 17


EEEEjercicios propuestosjercicios propuestosjercicios propuestosjercicios propuestos 1) Halle x + y + z, si A = B

Siendo A =

+=

−−43

42;

3

1 yB

x

zyx

2) Escriba explícitamente la matriz A y halleA-2B

Si A= [ ]

>=+

<=

jisij

jisiji

jisii

aa jixji

,

,

,

/23

B=

2

5

3

0

2

1

3) Si

222 ))(2):

42

11,

32

12

BAbBABAaHalle

BA

+++

=

−=

4) Dadas las matrices A, B y C, donde:

−−=

−−=

−−

=4

0

1

0

2

1

C

503

013

071

B0

5

2

0

7

1A

Verificar que (AB) C = A (BC) 5) Dadas las matrices A, B y C donde:

=

−=

−−=

000

412

111

C

113

112

111

B

213

212

211

A

Verificar que AC = BC

6) Si

++

+

−=

zwz

yx

w

y

wz

yx 24

21

63 halle x + y + z + w

7) Halle a, b, c y d para que satisfaga la ecuación.

18


=

3

5

7

6

9

0

1

1

0100

0010

1100

0201

2931

dcba

8) Si

9) Si

−=

−−

−

3

5

1

z

y

x

013

102

120

Calcule E = x + y + z

10) Hallex, y, z, si

=

2

5

1

Z

Y

X

101

510

021

11) Dadas las matrices:

[ ] [ ]

xyz E halle,

321,

101

352

123

==

−==

−−−

=

CBASi

CyzyxBA

10)Consideramos las siguientes matrices:

−−

−=

−=

−=

=

4

3

8

14

20

62

,

103

015

423

.

1

1

1

0

,

2

3

0

1

.

BAii

BAi

a) Calcule A − B b)Calcule A.B

11) Consideramos las siguientes matrices:

dc b a m :de valor el Halle

1

0

75

511

1100

0030

2103

0211

1

1

2

2

+++=

−−=

⋅

− b

a

c

d

a

b

MATEMÁTICA II 19


−=

−=

=4

0

2

2

11

4

C,

1

2

1

0

3

2

B,

6

4

2

5

3

1

A

Calcule:a) A + B b) A – B c) (A + B) + C d) (A – B) + C

AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación

1) Sean las matrices A =

−−−+

−+

zxy

yx

zx

281

212

1212

; B =

−−−−++−

185z

x2z13z

yx2y23

Si A = B,Halle el valor de xyz.

2) Halle x + y, si A = B

Siendo A =

+=

−−

43

42;

3

2 yB

yx

xyx

3) Dadas las matrices

−=

−=

−−

m

knB

kt

a

e

A

k

05

1

231

,

15

12

4933

22

10 1

calcule el valor de k + m para que las matrices sean iguales 4) Sea M=N

+−−

=

−+

−+=

m

zyN

n

zx

yx

M

10027

60

222

,

223

40

22

3

Calcule: E= )(y

xz

−+

20


5) Escriba explícitamente las siguientes matrices y halle AB.

[ ]( )

[ ]( ) jibbBb

jaaAa

ijij

iijxij

2/)

2/)

43

33

−==

+==

×

6) Escribe explícitamente la matriz B y halle 2BD

Si B= [ ]

>−=+<−

=jisiij

jisiji

jisiji

bb jixji

,

,

,

/23

D=

−32

21

7) Se tienen las matrices: M=[ ]32001 −

N=

−−−−

3

2

4

1

0

Halle NM

8) Resolver las siguientes ecuaciones:

=

−++−

−=

−+

14

03

2

3)

4

4

32

2)

vuyx

vuyxb

y

y

x

xa

( )

−+

=

+−

=

+

01

24

11

02)

91

164

12

3) 2

2

z

w

y

xd

vu

yxc

9) Consideramos las siguientes matrices:

MATEMÁTICA II 21


−−

−−=

−=

−=

=

4

3

8

814

320

162

,

3

1

2

103

015

423

.

1

4

1

1

3

0

,

2

5

3

0

2

1

.

BAii

BAi

Calcule A + B

Resumen

1. Matriz cuadrada :

Número de filas igual al número de columnas

2. Condición para sumar o restar matrices:

mxnmxnmxn RNM =±

Las matrices deben ser del mismo orden

3. Condición para multiplicar matrices:

mxnqxnmxq PNM =

Número de columnas de la matriz M es igual al número de filas de la matriz N. • Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas:

1.http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_entre_matrices

2.http://www.e-torredebabel.com/Psicologia/Conexionismo/Conexionismo-

Matrices.htm.

BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo

Matrices y Determinantes

J.J Servicios Lima

2005

Lázaro, Moisés Colección

22


Vera, Carlos Algebra Lineal Moshera Lima 2004 http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html

a. MATRIZ NULA

Una matriz, en la cual todos sus elementos son ceros, se denomina matriz nula y se denota 0.

Ejemplo:

[ ]

==

=00

00000

000

000

000

0

b. MATRIZ COLUMNA Tiene m filas y una columna. Ejemplos:

[ ]8;

3

3

3

3

;

20

15

10

5

=

=

= PNM

c. MATRIZ FILA Está formada por una fila y n columnas Ejemplos:

IV. TIPOS DE MATRICES

MATEMÁTICA II 23


[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]xxxxC

xxB

A

5413

112

40302010

32

2

−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−====

====

d. MATRIZ CUADRADA Una matriz A es cuadrada, cuando el número de filas es igual al número de columnas, (m = n). Ejemplos:

La matriz

=222

111

111

A es cuadrada de orden 3 x 3

La matriz

=

75

32B es cuadrada de orden 2 x 2

¿Qué es la Diagonal Principal de una Matriz?

La Diagonal principal de una matriz cuadrada, es la línea formada por los elementos a11, a22, a33…, ann.

: Diagonal Secundaria Diagonal principal

Ejemplo: Diagonal principal:

Diagonal secundaria:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

24


MATRICES ESPECIALES 1. MATRIZ DIAGONAL

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a

cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal.

Ejemplos:

=

=

=

0000

0000

0000

0003

1

Cy

1000

000

005

B;

2000

0150

008

A

2. MATRIZ ESCALAR Es aquella matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal

son iguales: Ejemplos:

=

=

3100

0310

0031

N,

3000

0300

0030

0003

M

3. MATRIZ IDENTIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al número uno.

Ejemplos:

=

=

=

1000

0100

0010

0001

100

010

001

;10

01CyBA

MATEMÁTICA II

CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC CIBERTEC

4. MATRIZ TRANSPUESTA La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m,

denotada por AT, cuyas de A.

Ejemplos:

� Si

2x3

entonces

20

5

2

10

8

3

A

=

� Si

44

87

53

41

317

517

23

1

P

=

π

Propiedades de la matriz transpuesta 1.

Ejemplos: Si

=

0

1I

2.

Ejemplo: Si

−=1

1

2

B

II T =

( ) BBTT =

CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES CARRERAS PROFESIONALES

MATRIZ TRANSPUESTA

La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, , cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas

3x2

T

205

108

2

3Aentonces

=

24

7

1

53

41

72

31

T

x

Pentonces

=

Propiedades de la matriz transpuesta

=⇒

10

01

1

0 TI

−

−=

−30

41

12

62

341

01TBentonces

25


La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas

42487

317

51

x

π

6

2

1

26


Luego: ( )

−−=621

341

012TTB

Por tanto: ( ) BBTT =

3. TT BKKB .)( = , “K” es un escalar

- Si 5ky

652

413

B =

=

�

=

=

62510

4515

652

413

5KB

�

=

625

45

1015)KB( t

- Si

=

652

413

B y K = 5

�

=

65

41

23BT

�

=

=

625

45

1015

65

41

235KBT

Por lo tanto verificamos que: (KB) t = KB t

4. ttt BABA ++++====++++ )( Ejemplo:

* Si

−−−

=

=

08

12

12

13BA

�

−=+

16

01BA

MATEMÁTICA II 27


�

−=+

10

61)( tBA

** Si

=

=

11

23

12

13 tAentoncesA

Si

−−−

=

−−−

=01

82

08

12 tBentoncesB

�

−−−

+

=+

01

82

11

23tt BA

�

−=+

10

61tt BA

Por lo tanto: (A + B)t = At + Bt

5. ttt ABAB .)( =

* Si

=→

=→

=

−=

75

75)AB(

77

55AB

22

11B,

41

13A t

* * Si

=→

=

21

21

22

11 tBB

Si

=

−

=→

−=→

−=

75

75

41

13

21

21.

41

13

41

13 ttt ABAA

Luego verificamos que:(AB)t = Bt .At

5. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Una matriz cuadrada A=[aij] se llama triangular inferior si y solo si, sus elementos aij = 0 para i < j

Ejemplos:

====

====

716151

0

0031

318

03

eB

A

ππππ

====

7777

0555

0033

0002

C

28


====

333231

2221

11

0

00

ddd

dd

d

D

6. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Una matriz cuadrada A = [aij] se llama triangular superior si y sólo si, sus elementos aij = 0 para i > j

=

20

45D

=700

54310

324

M

7. MATRIZ SIMÉTRICA Sea la matriz cuadrada A = [aij]. A es simétrica, si y sólo sí Ejemplos:

=⇒

=543

462

321

543

462

321tAA

−−

=⇒

−−=

58

32P

53

82P t

8. MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Sea la matriz cuadrada A = [aij]. A es antisimétrica, si y sólo si, tAA −= Ejemplo:

−

−−=−⇒

−−−=⇒

−

−−=

083

802

320

083

802

320

083

802

320tt AAA

PROPIEDADES DE LA TRAZA Latraza en una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal. Es decir Traz(A)= .............332211 +++ + kkaaaa

1) Traz(λA) = λ Traz(A)

TAA=

=

8000

4200

1400

8702

R

MATEMÁTICA II 29


2) Traz(A ± B) = Traz(A) ± Traz(B)

3) Traz(AB) = Traz(BA)

4) Traz(A) = Traz ( )tA

1. Ejemplo:

Si

−−

=

=

2

5

3

1

4

6

3

1BA

Halle Traz(A+B) Solución: =+ )( BATraz 5-3=2 2. Ejemplo: Sean las matrices:

3x33x3123

321

323

N

330

111

222

M

−−

−=

−−=

Halle Traz(M+N) Solución

2y = 4 x - x

21

( a , b )

( 2 , 5 )

y

x

2415)(

453

412

145

=−+=+→

−−

−=+

NMTraz

NM

30


DETERMINANTES Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número real asociado a dicha matriz.

Se llama determinante de la matriz

=

2221

1211

aa

aaA al número real asociado a ella,

denotado por det A o por A .

2221

1211

aa

aaA = y se define como sigue:

det (A) = |A| = =2221

1211

aa

aaa11 a22 - a12 a21

entonces )()( 21122211 aaaaA −=

1. Ejemplo: Hallar el determinante de:

=

63

52A

Entonces de 31512536263

52−=−=−== xxA � ( ) 3Adet −=

2. Ejemplo

Si

=

23

32B entonces |B| = 2 - 3 = -1.

3. Ejemplo:

Si

−−−−

====

45

23

41

21

B

I. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE

II. DETERMINANTE DE ORDEN 2

MATEMÁTICA II 31


1

8

3

8

5)

4

1)(

2

3()

4

5)(

2

1(

4

5

2

34

1

2

1

)det(

=∴

+=−−=

−

=⇒

B

B

333

222

111

cba

cba

cba

A =

Para desarrollarlo, tomamos referencia a sus dos diagonales con sus respectivos signos. Existen dos maneras de desarrollar esta expresión, veamos: a)REGLA DE SARRUS POR FILAS

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cba

cba

A =

det(A)=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2- (a3 b2 c1+a1b3c2 + a2 b1c3)

b) REGLA DE SARRUS POR COLUMNAS (-) (-) (-)

33333

22322

11111

bacba

bacba

bacba

A =

(+) (+) (+) det(A)=a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 –(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1) Ejemplo: Calcule el|A|

(+)

III. DETERMINANTE DE ORDEN 3

32


−−−=

121

112

211

A

SOLUCION: Por Sarrus, método de columnas

121

112

211

−−−=A

(2) (2) (-2)

21121

12112

11211

−−−−−=A =(8+1-1)- (2+2-2)=6

(1) (-1) (8) TEOREMA En la matriz de tercer orden:

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B =

El determinantede la matriz B se calcula por:

3231

222113

3331

232112

3332

232211 bb

bbb

bb

bbb

bb

bbbB +−=

Ejemplo:

Sea la matriz la siguiente

−=

522

250

201

A , calcule el |A|

Solución:

522

250

201

−=A

MATEMÁTICA II 33


22

502

52

200

52

251 +

−−

−=A

A = 1( - 25 – 4) + 0( 0(-5)-2(2) ) + 2( 0 – 10 )

A = - 49

Ejemplo Calcule el determinante de la matriz:

−−=513

322

674

A

Solución:

Det (A) = |A| = 13

226

53

327

51

324

−+

−−−

−

|A| = ( )[ ] ( )[ ] [ ])2)(3()1)(2(6)3(3527)3(1524 −−+−−−−−− |A| = [ ] [ ])6()2(69107)310(4 −+−++−−+ |A| = 4(13) - 7 (-1) + 6 (-8) |A| = 52 + 7 - 48

11=A

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES I. Si se intercambian las filas de una matriz, el determinante cambia de signo, es

decir, AB −=

II. Al multiplicar todos los elementos de una fila por un mismo número, el

determinante queda multiplicado por dicho número.

Es decir AkB =

III. Si a una fila se le suma un múltiplo de otra fila, el determinante no cambia su valor. Es decir: |B| = |A| IV. El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los

determinantes de las matrices.

34


En general: Para matrices A y B de orden n se cumple que: |A.B| = |A| |B| TEOREMA (REGLA DE CRAMER)

1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

La regla de Cramer da la siguiente solución:

0,; ≠∆∆∆=

∆∆= si

yy

xx

dc

ba

fc

eay

df

bex =∆=∆=∆ ,,

2. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

0,;;

:solución siguiente la daCramer de regla La

333

222

111

≠∆∆∆=

∆∆=

∆∆=

=++=++

=++

siz

zy

yx

x

rzcybxa

qzcybxa

pzcybxa

333

222

111

33

22

11

33

22

11

33

22

111

,,,

cba

cba

cba

rba

qba

pba

z

cra

cqa

cpa

y

cbr

cbq

cbp

x =∆=∆=∆=∆

MATEMÁTICA II 35


333

222

111

33

22

11

333

222

111

33

22

11

333

222

111

33

22

11

;;

cba

cba

cba

rba

qba

pba

z

cba

cba

cba

cra

cqa

cpa

y

cba

cba

cba

cbr

cbq

cbp

x ===

Ejemplo 1

Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones.

923

1134

=+=+

yx

yx

Solución

Por la regla de Cramer

19823

34

3333693

114

5272229

311

−=−==∆

=−==∆

−=−==∆

y

x

∆∆=

∆∆= y

yx

x ;

31

3;5

1

5 −=−

==−−= yx

Ejemplo 2 Resolver el sistema a + b + 2c = 8

2a - b + c = 1

-a + 2b - c = 3

36


Solución: Por la regla de Cramer

6)14(2)12(1)21(1

121

112

211

=−++−−−=−−

−=∆

6)32(2)31(1)21(8

123

111

218

=++−−−−=−

−=∆a

18)16(2)12(8)31(1

131

112

281

=+++−−−−=−−

=∆b

12)14(8)16(1)23(1

321

112

811

=−++−−−=−

−=∆c

a= 16

6 ==∆

∆a, b= 3

6

18 ==∆∆b

, c= 26

12 ==∆∆c

Por lo tanto: a=1, b=3, c=2 Ejemplo 3

Sean las matrices

=

−=

23

10B;

10

32A

Además el sistema

MATEMÁTICA II 37


=++=+−=−+

)......(...........

).....(..........32

).....(..........23

γβα

BAZYX

BZYX

AZYX

Donde: X, Y, Z son matrices de orden 2. Halle la matriz E = 19X Solución: a. Resolviendo el sistema tenemos: (α) + (β)

3X + 2Y -Z = A 2X– 3Y +Z =B 5x - y =A+B …………………. (*)

b. Resolviendo (β) y (γ) (-1) (2X- 3Y + Z) = B (-1) X + Y + Z = AB -2X + 3Y -Z = -B X + Y + Z= A.B -X + 4Y = AB - B …………..(**) De (*) y (**) 4 (5X - Y) = (A +B) 4

-X + 4Y = AB - B 20X– 4Y = 4A + 4B -X + 4Y = AB - B BABAX .3419 ++= …………..(***) c. Remplazando las matrices A y B en (***) tenemos:

−+

+

−=

23

10

10

32

23

103

10

32419X

−−+

+

−=

23

89

69

30

40

12819X

Ejemplo 4

Si,

−−

−−=

4

32

11

xaxb

b

ba

A es una matriz simétrica

Hallar: M = A2 - 4I + 2E; donde E = matriz escalar, k=2

38


Solución : Si A es una matriz simétrica

� a - b = 2 …………………….….……… � b - x = -1 � 1+= bx …….………. �

a- x = b …………………………….….. � Reemplazando (2) en (3) tenemos: a - x = b a - (b+1) = b a-b-1 = b 01b2a =−− …….� De (1) y (4) � -1 (a-b) = (2) (-1) a-2b = 1 -a+b = -2 a-2b = 1 -b = -1 1=b � 2=x 3=a � la matriz A es:

−

−=

411

132

121

A

Nos piden: M = A2 - 4I + 2E

+

−

−

−

−

−=

200

020

002

2

100

010

001

4

411

132

121

411

132

121

M

+

−−

−+

−

−=

400

040

004

400

040

004

1853

5147

376

M

Sumando las tres matrices tenemos:

−

−=

1853

5147

376

M

Ejemplo 5

MATEMÁTICA II 39


Sea una matriz A de orden 3, A = aI + bD, en donde D es una matriz, tal que todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Halla “a” y “b” de manera que A2 = I Solución:

“A” es una matriz de 3x3 �

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

=011

101

110

D

Pero: A = aI + b.D

+

=011

101

110

100

010

001

baA

=

+

=abb

bab

bba

0bb

b0b

bb0

a00

0a0

00a

A

=abb

bab

bba

A

Además: A2 = I � A.A = I

=

100

010

001

.

abb

bab

bba

abb

bab

bba

=

++++++

++++

100

010

001

222

222

22

2222

2222

22222

baabbabb

abbabbab

babbabbba

40


� 1b2a 22 =+ …………… (1) ^ 2ab + b2 = 0 ……..(2) b (b + 2a) = 0 0=b v 02 =+ ab En (1): Si b = 0 � a2 = 1 � 1±=a

Si b = 2a � a2 + 8a2= 1 � a2 = 9

1 �3

1±=a

Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos 1. Sean las matrices:

A =

−y

xyx

1

3 , B =

−−

x

y

61

62 , C =

32

xy

Determine At+C-1, si A = B.

2. Dada la matriz

=

25

13A se le pide que

a) Halle la matriz IAAM t 2..3 −=

MATEMÁTICA II 41


b) Halle la matriz X de:

=−

10

02. 1MX

3. Sean las matrices A y B. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones :

=+

=+

32

2323

23

3232

BA

BA

Halla (AB)-1.

4. Niveles de Colesterol: Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias. Como parte del tratamiento se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruz lleva la dieta I, Jiménez la dieta II y Sanchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses1,2,3 y 4 dichos niveles eran: Cruz: 220, 215, 210 y 205 Jiménez: 220, 210, 200 y 195. Sánchez: 215, 205, 195 y 190. Represente esta información en una matriz 3 x 4.

5. Ingreso en Taquilla: Cinema Center tienen 4 salas, de la I a la IV. El precio de cada función es de S/. 2 por niño, S/. 3 por estudiante y S/. 4 por adulto. La asistencia a la matiné del domingo está dad por la matriz.

====

2252500

11085280

22518075

50110225

A

Si las filas representan a las diferentes salas y las columnas a las personas. a) Escriba un vector columna B que represente el precio de entrada. b) Luego calcule AB, el vector columna que representa el ingreso bruto de cada

sala. c) Por último, encuentre el ingreso total por conceptode entradas de matiné.


[ ] [ ]

≥−<+

==+==ji,j2i

ji,jibdonde,bByji3adonde,aA ij2x2ijij2x2ij

.Xhalla,A4XBSi T2 =

7. Sean las matrices :

[ ]

T

ijxij

ACXBquesabesesiXhalla

CyBjiadondeaA

+=

−−

=

===

2:,

,25

13

87

65),,max(

22

42


−−−−−−−−

++++====

2107

82

3116

xyxE

8. Sean las matrices :

[ ]T

ij2x2ij

AC2XB:quesabesesi,Xhalla

,25

13Cy

87

65B),j,imax(adondeaA

+=

−−

=

===

9. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer

7x - 5y = - 17

2x – y = -1 Rpta: x = 4 , y = 9

10. Halle el valor de x ,en 0

110

011

011

=−

−

x

x


−−−−−−−−

++++

====1043

72

yx

yx

D

Si TRAZ(D)=TRAZ(B) y 2121 ed = ,calcule M=4x-2y

12.Dadas las matrices: -1 0 1 2 -1 1 A= 0 2 -1 ; B= 0 3 -1 1 1 -1 1 -1 0

Halle la traza de: 3AxB – 4 AT + 3I

AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación 1) Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = I

Si ?,

1

06

005

=

= Bhalla

cb

aA

2) Si la matriz

−=

2

1

2

32

3

2

1

B

MATEMÁTICA II 43


Demuestre que IBBt = 3) Dadas las matrices

−=

=

12

11,

22

23DA , si DX=A

calcule 2)( ADDX t +−

4) Halle la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla

de Cramer:

a) 2x - 3y = - 6

3x + 3y = 21 Rpta: x = 3 , y = 4

b) 9x + 5y = 0

2x + y = - 1 Rpta: x = -5 , y = -1

c) x + 4y + 5z = 11

3x - 2y + z = 5

4x + y - 3z = -26 Rpta: x = - 2 , y = - 3 , z = 5

5) Si

−++−

−=

5

50

21

xaxb

b

ab

A

calcule los valores de a, b y x para que la matriz sea simétrica.

Además calculetA

6) Dadas las matrices

−−−

=101

352

123

A

,

[ ]321 −=

= CY

z

y

x

B

44


SI CAB t ==== .HallarE= x + y + z

Rpta: x = 0, y = -2, z = -5

7) Si

−−−=

532

741

654

zy

xA es una matriz triangular superior, calcule la

inversa de la matriz

+=

zxz

yxD

8) Si

−−−

+=

091

203

10

ab

ba

M es una matriz antisimétrica y

−=

0

00

000

2 bb

aN , halla la matriz P = M.N – 3I

9) En la ecuación: 2B A A T ====⋅⋅⋅⋅ , donde A es matriz triangular superior y

B =

200

023

035

calcula la matriz A (considera soluciones positivas).

10) Si A + 2B = ( )240

2321;

10

32 TT BACalculeBA −

=−

11) Resuelve el siguiente sistema de ecuación matricial:

X – Y = A ; X + 2Y = B

MNB

NM A que Sabiendo

⋅=⋅=

además M =

−−

=

21

10N;

23

01

12)

−+−

=8k4

2k2kk

721

A halla el valor de “k” de manera que 0A =

MATEMÁTICA II 45


13) Resuelve: 0;1

1

5

2>

−+

= xsixx

xx

x

x

14) Halla el determinante de ( )TT YX + si X – 2Y = A2 ....... (I)

2X + 3Y = B-1 ....... (II)

−−

=

−−

=232

211;

10

21BAsiendo

15) Halle el valor de x en cada caso:

a) 12

382

021

00

=−x

b) 0

111

11

2

=x

xx

c) 0

03

838

053

2

=xx

d) 5

183

021

012

−=x

16) Si

−−

−=

220

341

01

ba

ab

M es una matriz simétrica y N una matriz escalar con

bak += , halle la matriz abNMP −= 2

17) Mi Vivienda S.A. Empresa de bienes raíces, construye casas en 3

departamentos. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo

por construir en cada departamento está dado por la matriz:

46


====5301510

10603020

401208060

A

Si las filas representan a los departamentos y las columnas a los diferentes

modelos de casas y las ganancias proyectadas son S/. 20 000, S/. 22 000, S/. 25

000 y S/. 30 000 respectivamente para cada modelo de casa del I al IV.

a) Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo de

casa.

b) Encuentre la utilidad total esperada por Mi Vivienda S.A. en cada

departamento si se venden todas las casas.

18) Una compañía tiene cuatro fábricas, cada una cuenta con Administradores,

Supervisores y Obreros calificados en la siguiente forma:

Puestos Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Administradores 2 1 3 2 Supervisores 4 6 5 3 Obreros 80 70 100 60 a) Si los administradores ganan $500, los supervisores $300 y los obreros $200,

establecer la matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la planilla de cada fá brica . b) Si se incrementan los sueldos de todos los trabajadores en un 30%, establecer la nueva matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la nueva planilla.

ResumenResumenResumenResumen 1.El determinante de una matriz es un número que es asociado a ella. Una de los criterios más usado es la regla de Sarrus. 2. La regla de Cramer se usa para resolver un sistema consistente de n de ecuaciones con n incógnitas. 3. Una matriz cuadrada tiene inversa sólo si es una matriz regular(determinante diferente de cero). 4. Una matriz singular no tiene inversa. • Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.

MATEMÁTICA II 47


1.http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_entre_matrices

2.http://www.e-torredebabel.com/Psicologia/Conexionismo/Conexionismo-

Matrices.htm.

BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo

Matrices y Determinantes

J.J Servicios Lima

2005

Lázaro, Moisés Vera, Carlos

Algebra Lineal

Colección Moshera

Lima

2004

http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html

48


GEOMETRÍA ANALÍTICA

LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno utiliza diferentes métodos para resolver problemas geométricos aplicando la ecuación de la recta y de la parábola. Adicionalmente, utiliza el plano cartesiano para la construcción de gráficos e indica los elementos correspondientes de las cónicas.

TEMARIO

PLANO CARTESIANO Regiones en plano, áreas de regiones triangulares y perímetros Distancias entre puntos, punto medio Coordenadas del baricentro de un triángulo


• Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano.

• Calcula perímetros y áreas tanto analítica como geométricamente.

• Calcula lascoordenadas del baricentro del triángulo.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2 TEMA

2

MATEMÁTICA II 49


EL PLANO CARTESIANO

Es aquel sistema que posee dos ejes de coordenadas que se cortan formando un ángulo

de 90°. Al eje horizontal se le denomina abscisa ( x) y al eje vertical ordenada (y). En este

sistema cada punto tiene dos elementos abscisa y ordenada

Ejercicios Propuestos

1. Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano.

2. Grafique las siguientes funciones evaluando los valores de X indicados (tabla de

valores)

Ejemplo :

Grafique utilizan donde los valores de X están dados en la tabla.

12 += xy

( )

( )3,2

1,2

− ( )2,2

1,2

1

−

−A

B

C

D

13 +−= xy 12 += xya) b) c)

X Y

-3

0

2

1

1+x2=y

I. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

xx−−−−

y

y−−−−

50


Evaluando x= -3

Evaluando en x = 0 y en x = 1/2

Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera:

Ubicando los puntos obtenidos, podemos esbozar la gráfica de la ecuación con los

valores indicados.

X Y

-3

0

2

1

( ) 51613212 −=+−=+−=→+= yxy

x -x

y

-y

( )5,3−−

( )1,0

2,2

1

-3

-5

1 2

1

2

( )5,3−−

( )1,0

2,

2

1

MATEMÁTICA II 51


El ∆ P1QP 2 es recto en Q , Entonces, aplicando Teorema de Pitágoras a dicho

triángulo, obtenemos: d2 = (x2 – x1)2+ (y2 – y1)

2 de donde: d = 212

212 )()( yyxx −+− , d

:distancia entre los puntos P1 y P2.

Por lo tanto la fórmula, para determinar la Distancia entre (((( ))))111 yxP ; y (((( ))))222 yxP ; es:

(((( )))) (((( ))))212

212 yyxxd −−−−++++−−−−====

Ejemplo:

1. Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3).

Solución :

d = 22 )35()33( +++ = 22 86 + = 10

2.Demuestre que el triángulo con vértices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es

isósceles. Además halle el perímetro.

Solución:

Demostraremos que el ∆ tiene dos lados iguales.

II. DISTANCIA ENTRE DOS PÚNTOS

52


a) dAB

= 22 )14()52( −+− = 22 33 + = 3 2

dAB

= 3 2

b) dBC

= 2222 )4(1)51()65( −+=−++−

dBC

= 17

c) dAC

= ( ) 2222 1454)62( +=−++− = 17

dBC

= dAC

= 17

ABC∆∴ es isósceles.

El perímetro es la suma de todas las distancias =3 2 +2 17

3.-Calcule la distancia entre los siguientes puntos.

a) A (2, 7) y B (-2, 4) b) T (-2, 5) y R (4,-3)

c) M (4, 0) y N (11, )5

d) L(0,4) y S(- )9,11

e) S( )1,5 y Q (- )15,3

4.-Calcule el perímetro y el área del polígono cuyos vértices son los puntos: a) A(4,1) , B(7, 1) , C(9, 3) , D(7, 5) , E(4, 5) y F(2, 3) b) )1,11()5,9(,)5,2( 321 −−− PyPP

MATEMÁTICA II 53


Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos 1. Demuestre que el triángulo con vértices en A (3, -6), B (8, -2) y (-1, -1) es un triángulo

rectángulo. (Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes de

los lados de un triángulo rectángulo,teorema de Pitágoras).

2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces ¿ Cuál es el

producto de los valores de ”y”?

3. F es el punto simétrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simétrico de (2;-6)

respecto al eje X; C es el punto simétrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el

perímetro del triángulo FAC, entonces ¿cuál es el valor numérico de la expresión

( )2113−p ?.

4. Si M (k,1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.

5. Si M (k, 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.

54


Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y de l punto M ubicado a

igual distancia de los extremos P y Q del segmento PQ.

Para el caso, digamos que se trata de los puntos:

),(),;(,);(2211

yxMQP yxyx

Obtención de la Abscisa X de M:

a.Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X. ( QCMBPA //// por

ser perpendiculares a una misma recta).

b.Aplicando el teorema de Thales se tiene: ,BC

AB

MQ

PM = pero como M es un punto

medio, .MQPM =

Entonces, BC

AB=1

c.Observamos que 1XXAB −= , XXBC −= 2 . Sustituyendo en 2:

12

1 =−

−xx

xx2

2121

xxxxxxx

+=↔−=−↔

II. PUNTO MEDIO DE DOS PÚNTOS

MATEMÁTICA II 55


Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada “y” de Mes 2

21 YYY

+=

(Queda como ejercicio para los alumnos) Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos

: PM ( x, y ) , donde

++++++++====22

2121 yyxxPM ;

Ejemplos:

1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8)

Solución:

Se tiene que:

2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1).

Halle las coordenadas de los tres vértices.

Solución:

Se tiene la gráfica:

P = punto medio de CB

( ) ( ) :;; 2211 sonyxyx y

),(..

;..

32

2

82

2

48

−−−−====∴∴∴∴

++++−−−−++++−−−−====

MP

MP

56


)2......(..........102

5

)1.........(..........42

2

3232

3223

=+=+=

=+=+=

yyyy

xxxx

Q = punto medio de AB

)4.......(..........42

2

)3........(..........82

4

2121

2121

=+=+=

=+=+=

yyyy

xxxx

R = punto medio de AC :

)6........(..........22

1

)5.........(..........22

1

3131

3131

=+=+=

=+=+=

yyyy

xxxx

(1)-(5)

3,1,5

102

8

2

132

2

12

12

=−==

==+=−

xxx

x

xx

xx

(2)-(6):

4,2,6

122

4

8

312

2

12

12

=−==

==+=−

yyy

y

yy

yy

Luego:

A (3,-2) , B = (5,6) y C = (-1,4)

MATEMÁTICA II 57


El baricentro G de un triángulo ABC es el punto notable del triángulo que se obtiene como intersección de las tres medianas del triángulo. Si se tiene una región plana triangular, el baricentro G es el centro de gravedad de dicha región. El baricentro del triángulo se obtiene como promedio de las coordenadas de los tres vértices A, B y C.

3

CBAG

++=

++++=

3;

3CBACBA yyyxxx

G

1. Ejemplo:

Halle la coordenada del baricentro del triángulo cuyos vértices son

A (3,-2), B = (5,6) y C = (-1,4).

Solución:

=

++−−++=

++++=

3

8;

3

7

3

462;

3

153

3;

3CBACBA yyyxxx

G

III. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO

58


Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos

1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los

puntos dados.

a.- A = (–1, 5) B =(2, –3)

b. - E = (0, –1) D =(–3, –1)

c. - Q= (–2, 1) W=(–2, 0)

2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos ( )1,0=A

( )5,3=B ( )2,7=C ( )2,4−=D son sus vértices .También halle el área del

cuadrado construido con sus puntos medios.

3. Dos vértices de un triángulo equilátero son )1,1(−=A ( )1,3=B . Encuentre las

coordenadas del tercer vértice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos).

4. El punto medio de un segmento es ( )2,1−=M y uno de sus extremos es

( )5,2=N , encuentre las coordenadas del otro extremo.

5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se

divida en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) y Q(1,5).

6. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une a ( )1,1−=A y

( )5,4=B en la dirección de AB para que su longitud se triplique?

7. En el triángulo rectángulo con vértices en los puntos A(-2,2),B(4,5) y

C(6.5,0).Calcule el valor de k, si k=AC/BM. M está en AC y BM es la mediana

relativo al vértice B. Halle la coordenada del baricentro.

8. El área de un triángulo es 6u2, dos de sus vértices son: A(3,1) y B(1,-3), si el

tercer vértice C está en el eje Y . Halle las coordenadas del vértice C.Halle la

coordenada del baricentro.

9. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados: X, Y y la recta

L: 5x + 4y - 2 = 0. Construya su gráfica en cada caso

MATEMÁTICA II 59


Autoevaluación

1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes:

a) A(-3;2) y B(5;2) b) E(-2;-1) y F(3;4) c) P(6;4) y Q(8;2)

d) R(-2;-1) y S(7;3) e) )

2

1;0(M y N (9; 0) f) T(2,5; 8) y )

4

3;3(−S

2. Se sabe que 6=EF siendo E(x;2) ,F(5;8) y que 8=CD cuando C(-3;4), D(5;y).

Entonces el valor de 3 )3(2 yx es:

a) 3 152 b) 3 153 c) 3 15 d) 3 154

3. Conociendo que 72=PQ ; P(2;y) ,Q(8;7) y que 25=RS ; R(x;-1) ,S(5;-2). el

producto del mayor valor de “y” por el menor valor de x, es:

a) –24 b) –18 c) -12 d) -26

4. Los vértices del ∆ EFG son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto el triángulo es:

a) Isósceles b) obtusángulo c) equilátero d) rectángulo

5. AC es la base del ∆ isósceles ABC cuyos vértices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C

pertenece al II cuadrante, entonces la distancia de C al origen es:

a) 445 b) 443 c) 130671 + d) 127441 +

6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es:

a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7

60


ResumenResumenResumenResumen

1) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

d = 212

212 )()( yyxx −+− ,

2) PERÍMETRO DE UN POLÍGONO:Es la suma de todas las distancias.

3) PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS

++++++++====22

2121 yyxxPM ;

4) BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

++++++++++++++++====

33CBACBA yyyxxx

G ;

BIBLIOGRAFIA:

Lehmman, Charles

Geometría Analítica Editorial LIMUSA

USA

2001

LARSON Roland; HOSTETLER Robert

Cálculo y Geometría Analítica

McGraw Hill

USA

1993

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera

Lima

2001

�http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm

Aquí encontrará más información sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta

�http://www.zonavirtual.org/EscenasInteractivas/paginas/Plano_Cartesiano.htm Aquí encontrará ejercicios para desarrollar del plano cartesiano. �http://www.iesadpereda.net/thales/suma_ejercicio.htm

Aquí encontrará ejercicios para desarrollar del punto medio.

MATEMÁTICA II 61





TEMARIO

ECUACIONES DE LA RECTA Ángulo de inclinación de una recta, rectas paralelas y perpendiculares Ecuación de recta: Punto-pendiente; dados dos puntos. Distancia de un punto a una recta


• Halla las diferentes formas de la ecuación de la recta.

• Encuentra el ángulo que forma la recta y el eje x.

• Halla la distancia de un punto a una recta

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2 TEMA

3

62


ECUACIONES DE LA RECTA

Dada una recta “ L “ ubicada en el plano cartesiano, se llama ángulo de

inclinación de una recta, al ángulo que forma dicha recta respecto a la horizontal

(eje x), medido en sentido anti horario.

Así, en los gráficos siguientes, α y 1α son los ángulos de inclinación de las rectas L y

L1 respectivamente.

El ángulo de inclinación α (alfa) de cualquier recta está comprendido entre 0°

y 180°.

Pendiente de una recta

La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor está dado por la función

tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación α .

αtgm =

Si la recta es paralela al eje x, su ángulo de incl inación es 0°.

Si la recta es perpendicular al eje x, su ángulo de inclinación es

90°.

00 1800 ≤≤ α

α1α

y

x x

y

L1L

I. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

MATEMÁTICA II 63


NOTAS IMPORTANTES SOBRE PENDIENTES

1. Si α =37° entonces la pendiente de la recta L es m=tg(37 °)=4

3

2. Si α =127° entonces la pendiente de la recta 1L es 1m =tg(127°)=tg(180°-53°)

1m = -tg (53°)=-3

4

3. Si α =120° entonces la pendiente de la recta 2L es 2m =tg(120°)=tg(180°-60°)

2m = -tg(60°)= - 3

4. Si α=30° entonces la pendiente de la recta 3L es 3m =tg(30°)=3

1

α Cateto opuesto

Cateto adyacente

adyacentecateto

opuestocatetotg =α

recorridooavance

elevaciónm=

64


12

12

xx

yym

−−=

La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos ),(),( 222111 yxPyyxP

es el número: 12

12

xx

yym

−−=

Demostración

12 yyQA −= ; 12 xxAP −=

AP

QAtg =α →

12

12

xx

yytg

−−=α

∴

Ejemplo: Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 (1,2) y P2(-3,4). Aplicando la fórmula de la pendiente

Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a l os ejes X e

Y.

En el triángulo rectángulo PAQ: QPA α ( correspondientes)

12

12

xx

yym

−−=

2

1

4

2

)3(1

42;

2

1

4

2

13

24 −=−=−−

−=−=−

=−−

−= mm

II. PENDIENTE DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS

Fórmula Pendiente

MATEMÁTICA II 65


mmLL 2121// =⇔

1. 2121 −=⇔⊥ mmLL

Rectas paralelas

Así:

Rectas perpendiculares

Así:

Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual p endiente.

Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonc es son

paralelas.

Si dos rectas son perpendiculares entonces el produ cto de sus

pendientes es –1.

Si el producto de las pendientes de dos rectas es – 1, entonces

las rectas son perpendiculares.

III. RECTAS PÁRALELAS Y PERPENDICULARES

66


Ejemplo: Se definen 2 pares de rectas

y .

Determine qué rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares.

A. Calculamos las pendientes de L 1 y L 2. Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la condición de

paralelismo (L1 y L2 son rectas paralelas).

B. Ahora, calculamos las pendientes de L 3 y L4.

16

6

24

6

24

393 ========

++++====

−−−−−−−−−−−−====

)(mL 1

2

2

02

204 −−−−====

−−−−====−−−−−−−−====mL

Las pendiente de las rectas no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen

con la condición de Perpendicularidad (L3 y L4 son perpendiculares).

Es aquella expresión matemática que indica la condición que deben cumplir todos los

puntos que pertenecen a una misma recta.

A. PRIMER CASO: CONOCIENDO DOS PUNTOS

DATOS:

),(,),( 222111 yxPyxP ==

L1: (1,3) y (2,5) L2: (3,11) y (-4,-3)

L3: (-2,3) y (4,9) L4: (0,2) y (2,0)

27

14

34

1132 ====

−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−−−−−====mL2

1

2

12

351 ========

−−−−−−−−====mL

IV. ECUACIONES DE LA RECTA

MATEMÁTICA II 67


Por división de segmento con una razón dada: rPP

PP =2

1 luego:

)1.......(2

1

xx

xxr

−−= y

Igualando ambas ecuaciones (1) = (2):xx

xx

−−

2

1 = yy

yy

−−

2

1

y resolviendo, obtenemos la ecuación:

que llamamos Ecuación Punto-Punto.

Ejemplos:

1. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5).

Solución:

Ya que conocemos 2 puntos de la recta, podemos utilizar la ecuación Punto-Punto.

Para aplicar esta ecuación, debemos escoger cuál de los puntos será ),(: 111 yxP y

( )222 ,: yxP . Recordemos que es irrelevante cuál sea P1 y cual P2 a nivel del resultado.

)3,1(:1P ( )5,2:2P

2. Dado el trapecio A (-4;-2), B (8,2), C (4,6) y D (-2,4). Halle las ecuaciones de

sus diagonales. (figura A)

)2.(..........2

1

yy

yyr

−−=

)( 112

121 xx

xx

yyyy −−−−

−−−−−−−−====−−−−

)( 112

353 −−−−

−−−−−−−−====−−−− xy

)1(12

353 −

−−=− xy )1(

1

23 −=− xy 12 ++++==== xy

68


Figura A

Solución:

Primero, calcularemos la ecuación de AC.

( )2,4:1 −−P y ( )6,4:2P

Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la ecuación de la diagonal que pasa

por BD y verificar que es

B. SEGUNDO CASO: CONOCIENDO UN PUNTO Y LA PENDIENTE

Si analizamos las ecuaciones y

Nos damos cuenta que tienen en común la expresión de la pendiente. Entonces, al sustituir

una expresión en la otra nos queda:

a la que llamaremos Ecuación Punto Pendiente.

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el p unto (2,3) y tiene pendiente igual

a 2.

Solución : Aplicando la ecuación Punto Pendiente

( )→−−−−−−=−− )4(

)4(4

)2(6)2( xy )4(

44

262 +

++=+ xy

)4(8

82 +=+ xy 42 +=+ xy 02 =+− yx

0185 ====−−−−++++ yx

12

12

xx

yym

−−

= )( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

(((( ))))11 xxmyy −−−−====−−−−

( )223 −=− xy 423 −=− xy 012 =−− yx

MATEMÁTICA II 69


En los últimos dos ejemplos hemos expresado la ecuación de la recta pedida escribiendo a

x e y en el mismo miembro e igualando toda la expresión a cero. Podemos generalizar

estas expresiones de la forma Ax+By+C=0, siendo ésta la ecuación general de la recta.

C. TERCER CASO: ECUACIÓN PENDIENTE – INTERCEPTO

Conociendo la pendiente y el intercepto con el eje “y”

Datos:

),0(1 bP = Pendiente =m

L: y –b = m(x – 0)

L: y = m x + b ( Ecuación Pendiente Intercepto)

Ejemplo:

Dada la ecuación de la recta L: 3x + 4y = 7, halle la pendiente y el intercepto de dicha

recta.

Solución:

De la ecuación L tenemos: 4y = -3x + 7

4

7

4

3 +−=→ xy Luego: y 4

7=b

4

3−=m

70


22

00

BA

cByAxd

+

++=

Ejemplo: Halle la distancia del punto P0= (1,1) al recta L:3x+4y+2 = 0

Solución: Reemplazando valores en la fórmula anterior:22

00

BA

cByAxd

+

++=

tenemos : 8,15

9

43

2)1(4)1(322

==+

++=d

V. DISTANCIA DE PUNTO A RECTA

MATEMÁTICA II 71



1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )3,2(1

−−P y tiene la misma pendiente que la

recta 2x+ 3y = 1.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )2,3(1

−P y su pendiente es inversa y con

signo contrario de la pendiente de la recta x + 2y = 3.

3. Hallar la ecuación de la mediatriz de un segmento cuyos extremos son:).3,5()1,3(

21−−− PP y

4. Un punto P de abscisa 2, pertenece a una recta cuya pendiente es 1 y que pasa

por Calcule la ordenada de P.

5. Determine la pendiente, la ordenada en el origen y grafique, dadas las rectas:

6. El punto de intersección de las rectas 022:,0: 21 =−−=− yxLyxL , Es el punto medio del segmento cuyos extremos son: M (a,2) y N(2,b) .Halle el valor de a y b.

7.Se tienen las rectas 02054:,04: 21 =−+=−− yxLyxL , encuentre el área de la

región limitada por las rectas 21 , LL y el eje x.

8. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2,-1) y cuyo ángulo de

inclinación es 45°.

9. En las ecuaciones L1: a x + (2 - b) y – 23= 0, L2: (a – 1) x + by =15. Halle los valores

de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P (2,-3).

10. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es 2

1− y que corta al eje de las

y en (0,5).

23

2) −= xya 334) −=− yxb

)1,2(1

−−P

72


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación 1. Halle la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos

A (7,4) y B (-1,-2). 2. Si la recta L1 que contiene a los puntos A(a ,2 ) y B (0 , 2 a) es paralela a la recta L2

que contiene a los puntos C (-a ,3 ) y D(1 ,-2 a ), Hallar el valor de “a”

1. Dado el triángulo de vértices A (-4,3), B (5,-1) y C(7,5). Halle las ecuaciones de las

rectas que pasan por el vértice C y trisecan al lado opuesto AB .

2. Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina

sobre los ejes coordenados es 10. Halle la ecuación de la recta.

3. Calcule la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 y

cuya pendiente es 9/5.

4. El producto de los interceptos de una recta con los ejes coordenadas es igual a -6.

Halle la ecuación de la recta, si su pendiente es igual a 3.

5. Calcule la ecuación de una recta cuya ordenada al origen es el doble de la

ordenada de la recta 2x-3y+5=0, sabiendo que pasa por el punto P, siendo P el

punto medio de A(3,-1) y B(-2,8).

MATEMÁTICA II 73



Pendiente de una recta : αtan=m

Para los puntos: ),(),( 222111 yxPyyxP la pendiente es: 12

12

xx

yym

−−=

Distancia de punto a recta

22

00

BA

cByAxd

+

++=

BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles


USA

2001



McGraw Hill

USA

1993

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera

Lima

2001

http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitic a.html �http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm Aquí encontrará más información sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta.

00 1800 ≤≤ α

mmLL 2121// =⇔ 1. 2121 −=⇔⊥ mmLL

74





TEMARIO

• La parábola Ecuación canónica Ecuación ordinaria Ecuación general


• Halle las ecuaciones canónica y ordinaria de la parábola.

• Encuentre los elementos de la parábola: vértice, foco, directriz y lado recto, a partir de la ecuación general.

• Construya gráficas de la parábola en sus distintos métodos.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

2 TEMA

4

MATEMÁTICA II 75


LA PARÁBOLA

Es el conjunto de puntos ubicados en el plano cartesiano, que equidistan de una recta

fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

ELEMENTOS:

a. Vértice (V): Es el punto de intersección de la parábola con el eje de

simetría.

b. Foco (F): Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría, ubicado a p

unidades del vértice.

c. Eje de simetría o Eje Focal ( l ): Es la recta perpendicular a la directriz y

pasa por el vértice y foco.

d. Cuerda ( AR): Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera

de la parábola.

e. Directriz (d): Es la recta fija perpendicular al eje de simetría ubicada a p

unidades del vértice, en sentido opuesto al foco.

f. Cuerda focal ( AB ):Segmento de recta que une dos puntos de la parábola,

pasando por el foco.

g. Lado recto ( LR ):Es una cuerda focal, perpendicular al eje de simetría.

h. Radio vector ( PF ): Segmento de recta que une el foco con un punto de la

parábola.

76


La ecuación canónica modela parábolas cuyo vértice está en el origen de

coordenadas. El eje de simetría de la parábola puede ser horizontal o vertical.

Ecuación canónica Horizontal

Cuando el eje de simetría coincide con el eje x.

Se sabe que:

PFPQ =

( )( )

( ) ( )22222

222

22

22

2-2

-

0)(

yppxxxpxp

ypxxp

ypxxp

ypxxp

++=+++=+

+−=+

−+−=+

Ecuación de la Parábola: pxy 42 ==== .

Esto es conocido como la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y su eje de simetría coincide con el eje x. El gráfico de la parábola se abre dirigido hacia el eje x, porque en la ecuación se ve que es lineal en la variable x.

Analizando:

pxpxy 24 ±=±=

p y x deben tener el mismo signo, es decir que p< 0 ó p> 0, de donde se concluye que:

a. Si p >0, la parábola se abre hacia la derecha. y el foco está en la parte positiva del eje x.

b. Si p<0 la parábola se abre hacia la izquierda y el foco está en la parte negativa del eje x.

I. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

MATEMÁTICA II 77


pxy 42 ==== pxy 42 −−−−====

Ecuación Canónica Vertical

Cuando el eje de simetría coincide con el eje y.

Se sabe que: PFPQP =:

( )

( )

22222

2222

22

22

2

ppyyxypxp

ppyyxyp

pyxyp

++=++

++=+

+=+

Ecuación de la Parábola: pyx 42 ====

Analizando la ecuación (2):

pypyx 24 ±=±= , de donde se concluye que p y x deben tener el

mismo signo .p>0 ó p<0.

a) Si p >0 la parábola se abre hacia arriba y el foco está en la parte positiva

de y.

b) Si p<0 la parábola se abre hacia abajo y el foco está en la parte negativa

del eje y.

78


pyx 42 ==== pyx 42 ====

Ejemplos:

1. Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas,

sabiendo que es simétrica respecto al eje Y; y que pasa por el punto (4,-8)

Solución:

( ) )8-(44→4: 22 ppyxP ==

2. Halle en la parábola xy 122 −= los puntos cuyos radios vectores son iguales a

6

Solución: Se tiene

312442 −=→−=→= pppxy

2

1→

32-16→−=

=

p

p

yxyx 2-→)21

(4∴ 22 =−=

MATEMÁTICA II 79


6,1 ==+ rrpx

Sabemos que

39

6363

666

11

11

111

−=∨=→−=−∨=−→

−=+∨=+→=+

xx

xx

pxpxpx

)6,3()6,3(

636

)3(122

2

−−∨−→±=→=∴

−−=→

yy

y

Ejercicios Propuestos

1. Una parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje x. Si P

(2,-2) es un punto de la parábola, halle la ecuación de la parábola, las

coordenadas del foco y la ecuación de su directriz.

2. Halle las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son:

3. Una cuerda de parábola 042 =− xy es el segmento de recta 02 =− yx .Hallar

la longitudde dicha cuerda.

a) xy 32 = b) xy 122 −= c) yx 42 = d) yx 82 −=

80


La ecuación ordinariamodela una parábola cuyo vértice está en un punto (x,y) que no

coincide con el origen del sistema de coordenadas. La ecuación canónica es un caso

particular de la ecuación ordinaria cuando las coordenadas del vértice son (0,0). La

forma de la ecuación varia con el eje de simetría de la parábola a la que representa.

Ecuación Ordinaria de la Parábola con eje de simetr ía paralela al eje “y”

Ecuación Ordinaria de la Parábola con eje de simetr ía paralela al eje “x”

II. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA

(((( )))) (((( ))))kyphxFórmula −−−−====−−−− 42:

),(: pkhFoco +pkyDirectriz −=:

(((( )))) (((( ))))hxpkyFórmula −−−−====−−−− 42:

),(: kphFoco +phxDirectriz −=:

MATEMÁTICA II 81


Ejemplo:

1.Calcule el vértice, el foco y la directriz de las siguientes parábolas.

Solución:

A. Resolvamos en primer lugar a

Las parábolas están expresadas en forma de ecuación general

02 =+++ DCyBxAx o 02 =+++ DCxByAy . Para calcular las

coordenadas 0=F+Ey+Dx+2x y 0=F+Ey+Dx+2y de sus elementos

(foco, vértice y directriz) vamos a expresarlas en su ecuación ordinaria

siguiendo los siguientes pasos.

i. Determina si el eje de simetría de la parábola e s Horizontal o

Vertical.

Esto lo puedes determinar analizando cuál es la variable que NO ESTÁ

ELEVADA AL CUADRADO, ya que ésta determina a cuál de los ejes del

sistema de referencia es paralelo el eje de simetría de la parábola.

En el caso concreto de la parábola, el eje de

simetría es paralelo al eje Y.

ii. Escoge la ecuación según el eje de simetría y c ompleta

cuadrado.

En nuestro ejemplo, la ecuación a utilizar es (((( )))) (((( ))))kyphx -4- 2 ==== .

El proceso de completar cuadrado y obtener la ecuación es como sigue:

)2(2)3(

4296

2

6132

2

66

1326

2

2

222

2

-

-

-

-

yx

yyx

yyx

yxx

=+=++

+=

++

=+

Coordenadas del vértice: Vértice (-3,2)

Valor de :

013262 =+−+ yxx 0232246 2 =+++ xyy

013262 ====++++−−−−++++ yxx

02

1 >=p

0=13+y2x6+2x -

82


Coordenadas del vértice:

Recta directriz: 2

3→2

12 ======== yy

Gráfica

B. Aplicando el mismo procedimiento para

Se tiene:

Coordenadas del Vértice:

−2,2

1

Valor de P: 0<121

=p31

=p4 → ( La parábola se abre a la izquierda )

Coordenadas del foco:

−→

−− 2,12

52,

12

1

2

1

Recta Directriz:12

7

12

1

2

1 =→+= xx

Gráfica

)25

,3)21

+2,3 -F(→F(-

0232246 2 ====++++++++++++ xyy

MATEMÁTICA II 83


2.Calcule la ecuación de la recta que pasa por los vértices de las parábolas

026183 2 =++− yxx y 01882 =+++ xyy

Solución:

Calculamos las ecuaciones canónicas de cada parábola.

Utilizando las coordenadas de los vértices y la ecuación Punto-Punto, calculamos la

ecuación de la recta.

(((( ))))

(((( ))))

02-y-

2-

3-1-

3-3-2-

1-4-1-

--

-- 1

12

121

====⇔⇔⇔⇔====⇔⇔⇔⇔====

====

====

x

xy

xy

xy

xxxx

yyyy

( )

( ) ( )( )1,3:

1-3

1-3-

3

1

3-3-

26--18-3

02618-3

2

2

2

2

vertice

yx

yx

yxx

yxx

=

+=

=

=++

( )( ) ( )

( )42

24

24

168168

188

0188

2

2

2

2

2

-,-:

-

--

1--

--

vertice

xy

xy

xyy

xyy

xyy

+=+

=+

+=++

=+

=+++

84


¿Por qué es importante estudiar la Parábola?

Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloide.

Las parábolas tienen una propiedad Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide.

En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirán o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.

MATEMÁTICA II 85


Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios propuestospropuestospropuestospropuestos 1. Calcule la distancia del vértice de la parábola y²+2y+x-4=0 a su punto P(x;4):

2. P(6;y) es un punto de la parábola 2x²-4x-y+6=0. calcule la ecuación de la

circunferencia que pasa por P y cuyo centro es el vértice de la parábola.

3. En los ejercicios a y b, halle la ecuación y gráfica de la parábola, conociendo:

a. Vértice (2, 1) y foco (2, -4)

b. Foco (4, -3) y directriz y = 1

4. Halle las coordenadas del vértice, foco, lado recto, ecuación de la directriz y

gráfica, conociendo

a. x2 – 4x + 8y – 16 = 0

b. y2 +2x+6y-5=0

5. Encontrar los puntos máximos o mínimos, según el caso, en:

a. 4y = x2 – 4x - 4

b. x2 + 4x + 6y – 8 = 0

6. El propietario de un terreno rectangular, donde uno de los lados está cercado,

desea cercar el resto que llega a 200 m. ¿Cuál será el área máxima que podrá

cercarse?

86


Autoevaluación

1. P y Q, ambos de abscisa -21, son puntos de la parábola y²+2y+x+6=0. Calcule la

ecuación de una circunferencia, sabiendo que uno de sus diámetros tiene como

extremos a P y Q.

2. Calcule vértice, foco y directriz de las siguientes parábolas:

• 2y²-20y-x+53=0 • 2x²-8x-y+9=0

• 2y²-12y+x+17=0 • x²+2x+2y+5=0

3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas

L1: x-2y+4=0 y L2:2x-y-4=0; además pasa por P(5, 6)

4. Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto el

(2; 4). Halle su ecuación

5. Una parábola, con vértice en el origen de coordenadas, tiene por directriz 2x - 5=0.

Halle su ecuación.

6. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen, cuyo eje es el Eje Y, y

que pasa por el punto (8,-4)

7. Encuentre el foco y la directriz de la parábola: 0=x7y2 2-

MATEMÁTICA II 87



*) pyx 42 = . Parábola de eje vertical

*) pxy 42 = . Parábola de eje horizontal

*) *)

BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles


USA

2001



McGraw Hill

USA

1993

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera

Lima

2001

http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html

( ) ( )kyphx −=− 42

),(: pkhFoco +pkyDirectriz −=:

( ) ( )hxpky −=− 42

),(: kphFoco +phxDirectriz −=:

88


FUNCIONES: DOMINIO Y RANGO

LOGRODE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE

Al término de la unidad, el alumno, aplica diferentes técnicas y/o métodos de resolución para hallar el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones básicas y funciones seccionadas, utiliza el plano cartesiano y formula las restricciones de dominios de cada función.

TEMARIO

DOMINIO Y RANGO Funciones:conceptos básicos Regla de correspondencia: Dominio y rango de una función. Dominio de una Función Intercepto con los ejes coordenados


- Identifican una función real de variable real y su gráfica en el plano cartesiano.

- Calcula el dominio de funciones Polinómicas, racionales, irracionales y evalúa sus restricciones.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3 TEMA

5

MATEMÁTICA II 89


FUNCIONES

I. Definición Intuitiva: ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN? Caso 1

Supongamos que un cultivo de bacterias se inicia con 5 000 de ellas y la población se duplica cada hora, entonces el número N de bacterias depende del número t de horas transcurridas.

El biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo y trata de determinar la regla ofunción que relaciona ambos.

Un cálculo sencillo nos permite determinar que esta relación se puede expresar como:

tN 25000×=

t (horas) N

0 5 000

1 10 000

2 20 000

3 40 000

……… ………

Caso 2

Un físico se da cuenta que el peso de un astronauta depende de la distancia a la que se encuentra del centro de la tierra, entonces intenta descubrir la regla o función que relaciona el peso F con la distancia h a la superficie de la Tierra.

( )2hR

mMGF

T

T

+=

Siempre que una variable dependa de otra, genera una relación funcional, por ello podríamos definir a la función de la siguiente manera:

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, denotado por f(x), de un conjunto B.

Si x está en el conjunto A , entonces f(x) es llamado la imagen de x bajo f.

El conjunto A es llamado Dominio de la función f y se denota por Dom(f). Al dominio de f, se le llama conjunto de pre imágenes

90


El conjunto Ran(f) = {f(x) / x∈A} es llamado el rango de f ; el cual nos indica el conjunto de las imágenes de x.

Ejemplo:

• Indique cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones.

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ){ }5,1,4,1,3,1,1,1

,,,,,,,

2

1

=

=

f

sdrcqbpaf

Solución: Comencemos analizando 1f . Si representamos este conjunto con un diagrama sagital tendremos lo siguiente: AB

Analicemos ahora 2f .

A B

De donde:

Do (f1) = { a, b, c, d } y Ra (f1) = { p, q, r, s } Do (f2) = { 1 } y Ra (f2) = { 1, 3, 4, 5 }

a b c d

p q r s

En este diagrama, vemos fácilmente que cada elemento del primer conjunto (conjunto de partida) se relaciona con un único elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada).

Luego 1f es una función.

1

1 3 4 5

En este diagrama vemos fácilmente que el elemento del conjunto de partida se relaciona con varios elementos del conjunto de llegada.

Luego 2f no es una función.

MATEMÁTICA II 91


II. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Gráfica de una Función Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos

( )yx, en 2R , para los cuales, ( )yx, es una pareja ordenada en f . (Es un punto de la gráfica y satisface su ecuación). Ejemplo: Grafique la función 2+= xy y verifique que algún punto geométrico de la gráfica satisface la ecuación. Usando esta tabla de valores graficamos la función.

33

213

2

=+=+= xy

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Al trazar cualquierrecta ver tical a la gráfica de f, la gráfica debe ser cortada en un solo punto para que sea función, caso contrario no es la gráfica de una función real.

RESTRICCIÓN DEL DOMINIO:

1. Función Polinómica

Un polinomio es de la forma nnnnn axaxaxaxa +++++ −1

2-2

1-10 ... . Las funciones

lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. son ejemplos de este tipo de funciones.

2. Función Racional

Tiene la forma ( ) ( )( )xQ

xPxf = ,es decir, es el cociente de 2 funciones polinomiales.

Verifiquemos ahora los puntos de

la gráfica, por ejemplo ( )3,1

Restricción de dominio : Cualquier valor real de x genera una imagen real en y . Luego, el dominio de toda función polinómica son TODOS LOS NUMEROS

REALES. RDomf =

92


Ejemplos:

1. Calcule el Dominio de 1

2

++++====

xy

Aplicando la restricción Gráfica Luego el dominio es:

{ }1−−R

2. Calcule el dominio de

(((( ))))92 −−−−

====x

xxf

3

9

092

±≠≠

≠−

x

x

x

Gráfica

{ }3,3−−= RDomf

1

01

−≠≠+

x

x

Restricción de dominio: El polinomio del denominador debe ser distinto de cero. 0≠≠≠≠)( xQ

MATEMÁTICA II 93


3. Función Irracional

Cuando la regla de correspondencia esta afectado por un radical como n xPy )(= .

Ejemplos:

1. Calcule el dominio de la siguiente función (((( )))) xxf ==== Aplicando la restricción

{ }0/ ≥∈= xRxDomf que también se expresa como [[[[ +∞+∞+∞+∞==== ,0Domf

0≥x

Si n es impar positivo, P(x) no tiene restricción p ara calcular el dominio entonces RDomf =

Si n es par positivo, P(x) tiene restricción para c alcular el dominio,

0)( ≥xP entonces Domf=D(f)= }{ 0)(/ ≥∈ xPRx

94


2. Calcule el dominio de la siguiente función: ( ) 42 −= xxf Solución

( )( ) 022

042

≥−+≥−xx

x

Un método interesante para resolver la inecuación es mediante el Método de los puntos críticos , para dos factores, el cual nos dice que el conjunto solución son las regiones laterales, al dividir la recta en tres regiones. + � - ( + -2 2 Dado que la inecuación está definida para valores positivos, se toman como solución las regiones positivas.

]]]] [[[[ ∞∞∞∞∪∪∪∪−−−−∞∞∞∞−−−− ,,: 22Domf

GRAFICA

MATEMÁTICA II 95



1..Sea { }4,3,2,1=A se definen de A en N las funciones f y g tales que:

{ }),(),3,1(),5,3(),5,2(),,1( kpkf = pkxxg 2)( += .

a) Halle la suma de los elementos del rango de g(x)

b) Encuentre el valor de : [ ] [ ] [ ])1(2)4()1()3( fffgfgfE +−+=

2. Sea f(x) una función lineal y .8)( 2 −= xxg Si f(2)=g(3) y la gráfica de f pasa

por el punto (3,4);Halla el rango de f si su dominio es ]6,2)( −=fDom

3. Sea la función { })8,(),9,5(),,7(),,5(),8,7( 2 aammf +=

a) Halle Do(f) ∩ Ra(f). b) Si g es una función definida en el Do(f), mediante g(x)=mx+n tal que f(5)=g(2)

Halle Ra(g)

4. Halle el dominio de las siguientes funciones:

3

2

2

22

19

)21()()

1

1

441)()

xxx

x

x

xxfb

xx

xxxfa

−+−

+−

−=

++

−+−=

( ) xxxxxxxfc 3253)1(32)() 22 −+−−++−=

8)21(

599

2)()

20

3)1(4

5)()

422

421

92

)()

34

2

246

2

22

2

−−

−+−−+

−=

−−+

++−=

−++

−−

−=

x

x

x

xxx

x

xxff

xx

x

x

xxxxfe

x

x

x

x

xxfd

5. Halle el dominio de la función:

2

22

1

2

4

54)(

x

x

x

xxxxf

++

−−+−=

96


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación Halle el dominio de lassiguientes funciones:

1.- 2

22

1

2

4

54)(

x

xxxxxf

++−+−=

2.- 32

1

4

1

16

3)(

22

2

−+

−

−+−+=

xx

x

x

xxxf

3.- xxxx

xxf 39.

2)13(

)( 223

+−−

−=

4.- 22

22

1

2

92

4)(

x

x

x

xx

x

xxf

−−−+

−−= +3x+1

5. 42

41134113)(

22

+

−−+

−−=x

xx

x

xxxf

6. 25

)9(42)(2

2

−+−++=

x

xxxxf

7. 2

2

24

2

3

5

95

2

1

49284

1)(

xx

xx

xx

x

xx

xxf

−+−+

−−+

+−+=

8. Halle el dominio de la función :

32

1

4

13)(

22

−+

−

−+=xx

xxxxf

9. Halle el dominio y la gráfica de la siguiente función:

1)( += xxf

MATEMÁTICA II 97



*) Función racional: ( ) ( )( )xQ

xPxf = dom(f)=R - {x / Q(x)=0 }

*) Función irracional:

( ) { }

( ) RfDomxFxf

xFxRfDomxFxf

impar

par

=→=

≥−=→=

)()(

0)(/)()(

BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo

Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L

Lima

2004



McGraw Hill

USA

1993

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera Lima

2001

http://descartes.cnice.mec.es Se muestra gráficamente algunos conceptos. www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitic a.html Se muestran ejercicios y problemas

98


FUNCIONES:FUNCIONESBÁSICAS


Al término de la unidad, el alumno determina el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones aplicando distintos métodos de resolución y construye sus representaciones gráficas en el plano cartesiano.

TEMARIO

DOMINIO Y RANGO Función Lineal Función Cuadrática Función Raíz Cuadrada Función Valor Absoluto ACTIVIDADES PROPUESTAS

- Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones lineales.

- Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función valor absoluto.

- Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función raíz cuadrada.

- Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función cuadrática.

- Calcula dominio y rango de funciones seccionadas y de funciones cuadráticas.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3 TEMA

6

MATEMÁTICA II 99


ccxf ====)(

xxf ====)(

FUNCIONES BÁSICAS

1. FUNCIÓN CONSTANTE

A la función f , la llamaremos función constante , si su regla de correspondencia es:

,)( Cxf = donde c es una constante.

También la función constante, se puede definir por:

{ }./),( cyRRyxf =×∈= donde c es constante

donde su dominio es RD f ==== , su rango es {{{{ }}}}cR f ==== y su gráfica es:

2. FUNCIÓN IDENTIDAD

A la función f , le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es :

identidad se define : { }./),( xyRRyxf =×∈= También la función

Donde: RD f ====;

RR f ====

Y su gráfica es:

xxf =)(

100


baxxf ++++====)(

xxf ====)(

3. FUNCIÓN LINEAL

A la función f , le llamaremos función lineal , si su regla de correspondencia es : Donde a y b son constantes y 0≠a . También a la función lineal se puede expresar

en la forma: {{{{ }}}}./),( baxyRRyxf ++++====××××∈∈∈∈====

Donde RD f ==== y RRf ==== ; a , b 0≠∈ ayR cuya gráfica es :

4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

A la función f , le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es :

También se puede expresar en la forma: { }xyRRyxf =×∈= /),(

Donde RD f ==== ; [[[[ ∞∞∞∞==== ,0fR

y su gráfica es:

baxxf +=)(

<−≥

==0,

0,,)(

xx

xxxdondexxf

MATEMÁTICA II 101


xxf ====)(

5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

A la función f , le llamaremos función raíz cuadrada , si su regla de correspondencia es :

0)()()( ≥⇔= XUxUxf

Un caso particular es de la forma: { }xyRRyxf =×∈= /),(

Donde [ ∞== + ,00 ff RyRD y su gráfica es:

6. FUNCIÓN CUADRÁTICA

A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:

También, la ecuación cuadrática se expresa así:

La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x en el cual se presenta dos casos.

• Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba. • Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo. El dominio de la función cuadrática es: RD f = . El rango se determina completando

cuadrados.

0,,,)( 2 ≠∈++= aRcbacbxaxxf

{ }0,,,,/),( 2 ≠∈++=×∈= aRcbacbxaxyRRyxf

102


Como

a

bac

a

bxaxf

a

bc

a

bx

a

bxaxfcbxaxxf

44

)2

()(

4)

4()()(

22

2

2

222

−++=

−+++=⇒++=

Luego el vértice de la parábola es: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bV

−−

Si a>0 se tiene :

RD f ====;

+∞+∞+∞+∞

−−−−==== ,a

bacRf 4

4 2

Si a<0 se tiene :

RD f ====;

−−−−∞∞∞∞−−−−====a

bacR f 4

4 2

,

FUNCIONES SECCIONADAS

Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia

∈∈

=22

11

,)(

,)()(

Axsixf

AxsixfxF donde

==

)()()(

)(

21

21

fRafRafRan

AAfDom

U

U

MATEMÁTICA II 103



1. Construya la gráfica y calcule el dominio y rango de:

32,524)( ≤−−−= xparaxxf

2. Halle el dominio y la gráfica de la siguiente función:

1)( −= xxf

3. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

[ ]

>∞<∈>∈−

−∈+−

−−∈−−∞−∈−

=

,6;6

6,0[;4

0,5;3

1

5

1

6,9;

9,;

)(

x

xx

xx

xx

xx

xf

4. Hallar dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

5. Hallar dominio, rango y esbozar la gráfica de la función :

��#� � $#� � 6# � 7 %& 0 ' # ' 3√# � 1 � 1 %& 3 ) # ) 155 � |# � 7| %& # + 15 ,

≥−<≤−+

<≤−−<−

=

8,212

84,42

40,2

0,,2

)(

xsix

xsix

xsixx

xsi

xf

104


APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

a. Un fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por S/. 20 000, costos de

producción de S/. 20 por unidad y un precio de venta unitario de S/. 30.

Determina las funciones de costos, ingresos y ganancias para Rango.

Además indica su punto de equilibrio y gráfica.

b. Juan Manuel es dueño de la panadería “Pan y Sabor” y contrató un consultor

para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus

ganancias P(x) de la venta de “x” unidades de panes están dadas por P(x)

120x – x2. ¿Cuántos panes debe vender para maximizar las ganancias?

¿Cuál es la ganancia máxima?

c. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de

producción es de $ 5 y los costos fijos son de $200 diarios. Si se vende cada

libro a $15

a. ¿Cuántos libros se deberán producir y vender diariamente para mantener el

negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo.

b. Si se producen y venden 75 libros ¿pierde o gana? ¿cuánto?

d. Los impuesto personales en Estados Unidos entre 1960 y 1990 son

aproximados por: (((( ))))

−−−−++++

====199019756361435

1975196045097

adex

adexxf

..

..

Trace la gráfica de la función si x = 0 representa 1960. ¿Qué sucedió a los

impuestos personales en 1975?

MATEMÁTICA II 105


AAAAutoevaluaciónutoevaluaciónutoevaluaciónutoevaluación 1. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

[ ]

>∈

<∪−∪>−−∈

−∞−∈++

∈−∈+

=

9,6[,

]3,22,22,3[,4

3,,2410

6,3,5

30,9,1

)( 2

xx

x

xxx

xx

xx

xf

2. Hallar dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

( ) [ ]

( )

>∞∈<−−

−∈−−

−−∈

−−∈+−−−

=

,4,18

4,2,12

2,4,2

4,13,42

)(2

xx

xx

xx

xx

xf

3. Halle el dominio, rango y esbozar la grafica de la función.

[ ]

[

−≤+−+∞⟩∈+−

∈−

∈−⟩⟨∈−

−∈<+

=

2,63

,10,6

10,8,4

8,4,102

4,2,2

]2,2,44

1

)(

2 xxx

xx

x

xx

xx

xx

xf

4. Dada la siguiente función

+=

+∈=2

2

2

1

4

3/),( xyRyxf

Halle )()( fRangfDomA I=

106


5. Dada la siguiente función ( ) ( )

−=−∈= 22 2

4

14/),( xyRyxf

Halle )()( fRangfDomB I=

6. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

( )

≥−−−∈−−−≤−

=4,4

2,1,42

1,32

)( 2

xx

xxx

xx

xf

7. Hallar la longitud de la cuerda común de 15164)( 2 −+= xxxf y

4

52)( −+−= xxxg

8. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES:

A. Supóngase que el costo de fabricación de “x” artículos diariamente tiene el siguiente modelo: C(x) = 0.2x² + 10x +320 y cada una se vende a S/ 30 .00.

o Determine el punto de equilibrio o Determina el nivel de producción que maximice sus utilidades. o ¿Cuál es la utilidad máxima? o Realiza la gráfica correspondiente

B. Para una fábrica de zapatos, el costo de mano de obra y materiales por cada

par de zapatos es de S/. 20 y los costos fijos son S/. 3000 diarios. Si se vende cada par de zapatos a S/. 35

� Modele matemáticamente el Costo Total y la Venta Total. � Encuentre el punto de equilibrio e interprételo económicamente. � Si vende 800 pares de zapatos diarios, ¿gana o pierde? ¿Cuánto?

C. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de

producción es de $ 5 y los costos fijos son de $500 diarios. Si se vende cada libro a $15

o ¿Cuántos libros se deberán producir y vender diariamente para mantener el negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo.

o Si se producen y venden 100 libros ¿pierde o gana? ¿cuánto?

MATEMÁTICA II 107


MISCELANEA DE PROBLEMAS SOBRE FUNCIONES

I. Asocia cada función con su gráfica:

a) 5xy +−=

b) 3x23

y +=

c) x21

y =

d) 2xy 2 += e) 1xy 2 +−=

f)x2

y −=

g)23

y −=

h) 2x2y =

1. 2.

3. 4.

5. 6. 7.

8.

Rp. a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7)

II.El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función del área del rectángulo en función de la longitud de la base x.

III.Determina el dominio, el rango y esboza la gráfica de las siguientes funciones:

1.

−≥+

−<≤−+−=

5x,9x2

5x10,8x3)x(f

[[ ∞−=

∞−=

,1)x(fRan

,10)x(fDom

≥−

<≤−−−<++

=

3x,1

3x2,1x

2x,1x6x

)x(f

2

[ ∞−==

,8)x(fRan

R)x(fDom

108


ResumenResumenResumenResumen *) Función constante: Cxf =)( *) Función identidad: xxf =)( *)Función lineal: baxxf +=)(

*) Función valor absoluto:

<−

≥=

0,

0,

xx

xx

x

• Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba. • Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo. El dominio de la función cuadrática es: RD f = . El rango se determina completando

cuadrados.El vértice de la parábola es: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bV

−−

1. Si a>0 se tiene :

RD f = +∞

−= ,4

4 2

a

bacRf

2. 3. Si a<0 se tiene :

RD f =

−∞−=a

bacRf 4

4,

2

4. BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo


Lima

2004



McGraw Hill

USA

1993

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera

Lima

2001

LEITHOLD, Louis

Cálculo con Geometría analítica

Editorial Oxford

México

2004


0,,,)( 2 ≠∈++= aRcbacbxaxxfCuadráticaFunción

MATEMÁTICA II 109


FUNCIONES: FUNCIONES ESPECIALES


Al término de la unidad, el alumno determina el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones aplicando distintos métodos de resolución y construye sus representaciones gráficas en el plano cartesiano.

TEMARIO

DOMINIO Y RANGO Función Logarítmica Función Exponencial ACTIVIDADES PROPUESTAS

- Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones exponenciales.

- Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones logarítmicas.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

3 TEMA

7

110


(((( )))) xxf 2====

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Sea “a” un número real positivo diferente de 1, la función exponencial de base “a” está definida por:

(((( )))) Rxaxf x ∈∈∈∈∀∀∀∀==== ;

Como quiera que “a” mayor que cero, por la condición, entonces xa es siempre positivo, para todo Rx ∈∈∈∈ , por lo tanto el rango de la función f está formado por todos los números reales positivos. Por lo tanto, la función exponencial de base “a” es:

RD f ==== [[[[ ∞∞∞∞==== ;0fR

Ejemplo 1 : Sea la función (((( )))) xxf 2==== . Construir su gráfica y hallar el dominio y rango. Dominio: RD f ====

Rango: [[[[ ∞∞∞∞==== ;0fR

MATEMÁTICA II 111


(((( ))))x

xf

====21

Ejemplo 2 : Sea la función (((( ))))x

xf

====2

1. Construir su gráfica y hallar el dominio y

rango. Dominio: RD f ====

Rango: [[[[ ∞∞∞∞==== ;0fR

OBSERVACIONES:

a. Si la base “a” es un número positivo menor que 1, (((( )))) xaxf ==== , disminuye a medida que el valor de “x” aumenta, es decir, la función es decreciente.

b. Si la base “a” es un número positivo mayor que 1, (((( )))) xaxf ==== , aumenta a medida que el valor de “x” aumenta, es decir, la función es creciente.

Problemas Propuestos para la Clase:

A. Algunos tipos de bacteria tienen un crecimiento muy rápido de su población. La bacteria Escherichia coli puede duplicar su población cada 15 minutos. Si se hace un cultivo en el que inicialmente hay 5000 bacterias de este tipo, ¿cuántas habrá al cabo de cuatro horas?

B. Una tienda comercial pone en promoción uno de sus artículos. Suponiendo que la promoción durará 6 días y que cada día se venderá el doble del anterior, calcula:

� El número de artículos que se venderá el tercer día, si el primer día vendieron treinta artículos.

� El número de artículos que se venderá el último día. � El número total de artículos vendidos durante la promoción.

FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE e (Epsilón)

Una función exponencial especialmente importante es (((( )))) xexf ==== cuya base es el número e = 2,718281….

112


Este número irracional se obtiene dando valores muy grandes a “n” en la expresión: n

n

++++1

1

(((( )))) Rxexf x ∈∈∈∈∀∀∀∀==== ;

2. FUNCION LOGARÍTMICA

A la función inversa de (((( )))) xaxf ==== , se le denomina función logarítmica de base “a”.

Esta función logarítmica de base “a” es denotada por xLoga .

Es decir:

(((( )))) xLogxf a====

Donde su dominio y rango es:

∞∞∞∞==== ;0fD RR f ====

Ejemplo 1 : Sea la función (((( )))) xxf log==== . Construir su gráfica y hallar el dominio y rango.

MATEMÁTICA II 113


Dominio: ∞∞∞∞==== ;0fD

Rango: RR f ====

Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos 1. Para medir la intensidad de los terremotos se utiliza una escala logarítmica de

base 10 llamada Ritcher. La magnitud de un terremotose mide por M = log P, donde M es el gardo del terremoto en la escala de Ritcher y P es la potencia queindica cuántas veces ha sido mayor la amplitud de la onda sísmica del terremoto que la onda de referencia en situación normal. ¿Cuántas veces ha sido mayor la potencia de un terremoto de gardo 7 que otro de gardo 5?

2. Grafica y determina su dominio y rango de las siguientes funciones:

A. (((( )))) )( 1++++==== xLogxf

B. (((( )))) 1++++==== )(xLogxf

C. (((( )))) 2−−−−==== )(xLogxf

D. (((( )))) 21 ++++++++==== )(xLogxf

E. (((( )))) )( 3−−−−==== xLogxf

F. (((( )))) )( 1++++−−−−==== xLogxf

G. (((( )))) )( 1++++−−−−==== xLogxf

H. (((( )))) )( 1++++−−−−−−−−==== xLogxf

I. (((( )))) xxf 3====

J. (((( )))) 2++++==== xexf

K. (((( )))) 23 ++++==== xxf

L. (((( )))) 1++++−−−−==== xexf

M. (((( )))) 2++++−−−−==== xexf

N. (((( )))) 2++++−−−−==== xexf

O. (((( )))) )( 5++++−−−−==== xLnxf

P. (((( )))) )( 32 ++++==== xLnxf

3. En una colonia de insectos, cuya población es controlada cada año, se observa que en diez añosno ocurrió ningún sucesoq ue alterase su ley de crecimiento. La población existente cada año era los 4/3 del año anterior. Si el año que empezó el estudio había 7290 ejemplares, ¿cuánto había al cabo de 6 años?

114


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación 1.Grafica y determina su dominio y rango de las siguientes funciones:

(((( )))) )( 32 ++++==== xLogxf

(((( )))) 1++++−−−−==== )(xLogxf

(((( )))) 22 −−−−−−−−==== )( xLogxf

(((( )))) 24 ++++−−−−−−−−==== )(xLogxf

(((( )))) )( 7++++==== xLogxf

(((( )))) 211 /)( −−−−++++==== xLogxf

(((( )))) )/( 31++++==== xLogxf

(((( )))) xxf 4====

(((( )))) 9−−−−==== xexf

(((( )))) 25 ++++==== xexf

(((( )))) 1++++−−−−==== xexf

(((( )))) 22 ++++−−−−==== xexf

(((( )))) 25/−−−−−−−−==== xexf

(((( )))) 15 ++++++++−−−−==== )(xLnxf

(((( )))) 232 ++++++++==== )( xLnxf

MATEMÁTICA II 115


ResumenResumenResumenResumen 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

(((( )))) Rxaxf x ∈∈∈∈∀∀∀∀==== ;

El dominio y rango de función exponencial de base “a” es:

RD f ==== [[[[ ∞∞∞∞==== ;0fR

2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

El dominio y rango de función logarítmica de base “a” es:

(((( )))) xLogxf a====

∞∞∞∞==== ;0fD RR f ====



Lima

2004



McGraw Hill

USA

1993

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera

Lima

2001

LEITHOLD, Louis


Editorial Oxford

México

2004


116


LÌMITES Y CONTINUIDAD


Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de límites indeterminados y de continuidad de una función en un punto dado, utilizando las propiedades de límites, las condiciones de continuidad, las leyes del álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano.

TEMARIO

• Límites de funciones :

- Límites indeterminados

o Algebraicos, de la forma 0

0

o Con radicales, de la forma 0

0

- Límites en el infinito de la forma ∞−∞∞∞

,


• Calcula límites indeterminados de funciones algebraicas, racionales e irracionales.

• Calcula límites indeterminados cuando la variable tiende al infinito.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4 TEMA

8

MATEMÁTICA II 117


LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

I. IDEA DE LÍMITE

2-x

4-4x-23xF(x) = 5 5.75 6.5 7.25 7.7 7.97 7.997 8.003 8.03 8.3 8.75 9.5 10.25

x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5 2.75

82-x

4-4x-23x

2

lim=

→x ; 82)(3x =+→

=+

→ 2

lim

2-x

2)-2)(x(3x

2

lim

xx

II. DEFINICIÓN:

Sea F(x) una función definida en un intervalo que contiene o no al número “a”. Se dice que cuando x se aproxima al número “a” la función F(x) tiende al número L,

que se denota por: F(x)ax

Lim

→=L, sí para todo número positivo ε> 0 existe un

número positivo δ tal que |F(x)-L|<ε siempre que x∈D (F) ∧ 0 <|x-a|<δ

Ejemplos:

1. Si ε = 0.03 halla el valor positivo δ tal que |(3x + 7)-1|<ε siempre que 0 <|x - (-2) |<δ

Solución:

ε<+ 63x , 0 <|x +2 |<δ

3| x +2 |<ε→3

2ε<+x →→→→δ =

3

ε∴∴∴∴δ = 0.01

2.Demuestre que 81

312

1=

−+−

→ x

)x)(x(limx

, a = 1, L = 8,

|F(x) – L |<ε siempre que 0 <|x - a |

34

1

311 2 ++=−

++−= xxx

)x)(x)(x()x(F

755755111151

5154834 22

<+<→<+<→<−<−→=δε<+−

ε<+−→ε<++→ε<−++

xxx;x.x

)x)(x(xxxx

acotando7

11775ε<−→ε<−→=+ xx.x , asumiendo δ =

7

ε

por lo tanto δ = min {1,7

ε }, con lo cual queda demostrado el Límite.

118


III. TEOREMAS SOBRE LÍMITES

1. )()()()()(00

xhLímLxfLímxhxgxfSíxxxx →→

==∧≤≤ LxgLímxx

=∴→

)(0

2. :)()( 21

00

entoncesLxgLímLxfLímSixxxx

=∧=→→

a) ( ) 21

000

LL)x(gLím)x(fLím)x(g)x(flímxxxxxx

±=±=±→→→

b) 21.)().()().(

000

LLxgLímxfLímxgxfLímxxxxxx

==→→→

c) 2

2111

0

00 L)x(gLím)x(g

LímLSí

xxxx

==⇒≠→

→

d) 2

12

0

0

0

0L

L

)x(gLím

)x(fLím

)x(g

)x(fLímLSí

xx

xx

xx==⇒≠

→

→

→

e) RCLCxfLímCxfCLím

xxxx∈==

→→,.)(.)(. 1

00

.

f) CxfLímteConsCxfSi

xx=∴==

→)(tan)(

0

g) Si NmLxfxx

Límxf

xx

Lím m

m

m ∈=

→=

→,)()())(( 1

00

IV. CÁLCULO DE LÍMITES Calcule:

a)

( )( )

( )6

42322

432

432432

2

2

2

2

22

2

2

2

2

=+−=

+−=

+−=+−

→→

→→→→

)(

)x(LímxLím

)(Lím)x(Lím)x(LímxxLím

xx

xxxx

b) ( ) ( ) ( ) 2851355 31

31

31

13

3

13==−=−=−

→→xLímxLím

xx

MATEMÁTICA II 119


V. FORMAS INDETERMINADAS

Las formas indeterminadas que analizaremos en este capítulos son las siguientes:

∞∞

,0

0

VI. LÍMITES ALGEBRAICOS :

1) Calcule:32223241222324

1

lim

−−++++−−

→ xxxx

xxxxx

Solución:

0

0

32223241222324

1

lim=

−−++++−−

→ xxxx

xxxxx

(forma indeterminada)

Factorizando por el Método de Evaluación Binómica o Ruffini

)35233(

)1323(1

lim

)35233)(1(

)1323)(1(1

lim

+++

−−−→

=+++−

−−−−→ xxx

xxx

xxxxx

xxxx

x

3

1123531

1311 4 −==+++−−−= −

, luego3

1

32223241222324

1

lim −=−−++++−−

→ xxxx

xxxxx

2) Calcule:22

22

lim

−−

→ x

xx

Solución:

0

0

22

22

lim=

−−

→ x

xx

Racionalizando tanto el numerador como el denomina dor

++

++

−−

→ 22

22

2

2

22

22

lim

x

x

x

x

x

x

x =

2

1

120


3) Calcule:1

2

1

3

−−−−−−−−++++

→→→→ xxx

x

lim

Solución:

6

5

3

1

2

1

)1)(1(

)1(1

lim

)1(

11

lim

)1)(1(

)1))((1(1

lim

)1)(1(

11

lim

1

11

lim

1

11

lim

0

0

1

21

lim

31

32

31

32

3123

13

1

33

=+=++−

−→

++→

++−

++−→

++−

−→

−−

→+

−−

→==

−−+

→

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

x

x

xx

x

xx

xx

x

4)Calcule: x

xx 412

3

3 −−−−−−−−

→→→→lim

Solución:

==×−

−=−−

→ 0

0

3412

33

412

3

3

lim

x

x

xIndeterminado

Levantamos la indeterminación:4

1

4

1

)3(

)3(

)3(4

)3(33

=×−−=

−−

→→ x

xLim

x

xLim

xx

5) Calcule:x

xLimx

33

0

−−−−++++→→→→

Solución:

00

030333

0=−+=−+

→ xx

Limx

=indeterminado

Levantando la indeterminación:

6

3

33

1

0,)33()33(

3)3(

)33(

)33()33(33

0

00

00

=++

≠++

=++−+

++++×−+=−+

→

→→

→→

xLim

xxx

xLim

xx

xLim

x

x

x

xLim

x

xLim

x

xx

xx

MATEMÁTICA II 121


6)Halle 34

232

2

1 ++++−−−−++++−−−−

→→→→ xx

xxLimx

Solución:

0

0

341

231

34

232

2

1=

+−+−=

+−+−

→ xx

xxLimx

=indeterminado

Levantando la indeterminación:

2

1

2

1

)3(

)2(

1)1)(3(

)1)(2(

34

23

1

12

2

1

=−−=

−−

≠−−−−=

+−+−

→

→→

x

xLim

xxx

xxLim

xx

xxLim

x

xx

VII. LÍMITES AL INFINITO

Casos a) LxfLimx

=+∞→

)( b) LxfLimx

=−∞→

)(

c) ∞= +−+∞→

)(xfLimx

d) ∞= +−−∞→

)(xfLimx

Ejemplos:

1.Calcule:52

124 2

+++

+∞→ x

xxLimx

Solución:

+∞==+

++=∞+∞

∞+∞+=

+

++

+

++

=+

++

++++∞→

+∞→+∞→

0

4

00

00452

124

52

124

52

124

52

124

2

2

2

2

2

2

xx

xxLim

x

xx

xx

Limx

xxLim

x

xx

122


2. Calcule:232

2

2

++

∞→ x

xLimx

Solución:

3

123

21

)23(

)21(

23

2

23

2

22

22

2

2

2

2

=∞+∞+

∞→=

+

+=

++=

++

∞→

∞→∞→

x

Lim

xx

xx

Lim

x

xLim

x

xLim

x

xx

3. Calcule: )))((( xxxLimx

−−−−++++++++∞∞∞∞→→→→++++

−−−−

52

Solución:

∞−∞=−++∞→+

−

))5)(2(( xxxLimx

(Forma indeterminada)

Eliminando la indeterminación:

).xxx(Limx

−++∞→

1072

)107(

))5)(2((2 xxx

xxx

++++++

0,2

7

1107

1

107

)11071(

)107(

107

107

107

107

22

22

22

>=+++

+

∞→=

+++

+

++++=

+++−++

∞→

+∞→∞→

x

xx

xx

Lim

xxx

xxLim

xxx

xLim

xxx

xxxLim

x

xx

4. Calcule: 3342

12346lim

−+++−

∞→ xx

xxxx

Solución:

3

431

2

41

31

23

lim

3342

12346lim6

=−+

++−

∞→=

∞∞=

−+++−

∞→

xx

xxxxxx

xxxx

MATEMÁTICA II 123


5. Calcule: 511243

35

−−−−++++−−−−

∞∞∞∞→→→→ xxx

x))((lim

Solución:

m xfx

m xfx

propiedadlaAplicando

x

xxx

xL

x

xx

xL

)(lim

)(lim

:

;511243

3155lim

511243

)3)(5(lim

∞→=

∞→

−−−+

∞→=

∞∞=

−+−

∞→=

5 11243

1521

511

243

1521

lim5

11243

152lim=

∞−

∞+

∞+−

=−

++−

∞→=

−++−

∞→=

x

xxxx

xx

x

L 3

15243

1 −=−=

6. Calcule: )22(lim

xxxxx

−−+∞→

Solución:

22

22

21

21

22

21

21

22lim

)22(

22lim

)22(

)2(2lim

)mindet()22(lim

==

∞−+

∞+

=

−++∞→

−++∞→=

−++

−−+∞→

∞−∞=−−+∞→

xx

x

xxxx

x

xxxxx

xxxx

x

adaerinFormaxxxxx

124


Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos Calcula los siguientes límites:

1. 1x536

3xx2lím

2

1x −−−+

→ Rp.

34−

2. 31x10

x540lím

48x −+−

→ Rp. 54−

3. 25

23

2x x8x

4x7x3lím

−+−

→ Rp.

61

4. ( )24x 4x

4x4xlím

−+−

→ Rp.

161

5. 1x

3

1x

xlím

21x −−

−→ Rp.

25−

6. xx

xxlím

30x +−

→ Rp. ∞+

7. 2

3

1x x9x61

x124lím

−−−

→ Rp. ∞+

8. ( ) ( )bxaxxlímx

−−−∞→

Rp. 2

ba +

9. x4

1xx3x3x3lím

3222

x

+−++∞→

Rp. 43

10. ( )

( )3

23

3 2

x3x2x5

1x8lím

+++

+∞→

Rp. 4

11. xx2x2x2límx

−++∞→

Rp. ∞−

12. 1222

243lim234

23

+−−−−+−

+∞→ xxxx

xxx

xRp. 0

13. 107

6102lim

+++

+∞→x

xxx Rp. 1/7

MATEMÁTICA II 125


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación I. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:

33

64.1

6 −+

→ x

xLímx

8

8.2

2

2 −+

−→ x

xLímx

xx

xLímx 4

16.3

3

2

4 −−

→

4

2.4

2

23

2 −+

−→ x

xxLímx

4

165.5

4 ++

−→ x

xLímx

25

425.6

2

5

2 −−

→x

xLímx

3

27.7

3

3 ++

−→ x

xLímx

7

49.8

2

7 +−

−→ x

xLímx

8

64.9

2

8 ++−

−→ x

xLímx

xx

xxLímx 4

25.10

2

2

0 −−

→

1

2.11

2

1 −−+

→ x

xxLímx

6

158.12

2

2

3 −+++

−→ xx

xxLímx

543

27212.13

2

2

9 −−+−

→ xx

xxLímx

5112

5214.14

2

2

5 +−+−

→ xx

xxLímx

87

1.15

2

3

1 −+−

→ xx

xLímx

8

81610.16

3

2

2 −−−

→ x

xxLímx

6416

24192.17

2

2

8 +−+−

→ xx

xxLímx

164

1432.18

3

2

4

1 −−−

→ x

xxLímx

16249

43.19

2

2

3

4 ++−+

−→ xx

xxLímx

16

143.20

2

2

3

1 −+−+−

→ xx

xxLímx

II. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:

3x

9+x9x

lim.1

-→

61-

4-

16→lim

.2x

x

x

1x

1x1x

lim.3

-

-

→

8.x

x

x −+−

→ 1

32

1

lim 2

5

5

5

lim.9

−−

→ x

x

x

660

lim..10

−+→ x

x

x

126


3-2

49-

7→lim

.42

x

x

x −

2

4

4

lim.5

−−

→ x

x

x

9

3

9

lim.6

−−

→ x

x

x

7. xxxx

xxx

x 232

123lim257

34

+−++−+

∞→

x51x+53

4x

lim.11

---

→

3k3x

7k7xkx

lim.12

-

-→

13. 4 1024

4 13416lim

++

++∞→ xx

xx

x

RESPUESTAS DE I: 1)2 2)-6/5 3)0 4)-1 5) ∞− 6)4 7)27 8)14 9)16 10)1/2 11)3 12)-2/5 13)1 14)19/9 15)1/3 16)2 17) ∞ 18)1 19)- ∞ 20)2/5

RESPUESTAS DE II:1) ∞ 2)1/8 3)2 4)-56 5)4 6)-1/6 7)0 8)60 9)1/2 10)2 5

11)2 6

MATEMÁTICA II 127


RESUMEN 1. )()()()()(

00

xhLímLxfLímxhxgxfSíxxxx →→

==∧≤≤ LxgLímxx

=∴→

)(0

2. :)()( 21

00

entoncesLxgLímLxfLímSixxxx

=∧=→→

a) ( ) 21

000

LL)x(gLím)x(fLím)x(g)x(flímxxxxxx

±=±=±→→→

b) 21.)().()().(

000

LLxgLímxfLímxgxfLímxxxxxx

==→→→

c)2

2111

0

00 L)x(gLím)x(g

LímLSí

xxxx

==⇒≠→

→

d)2

12

0

0

0

0L

L

)x(gLím

)x(fLím

)x(g

)x(fLímLSí

xx

xx

xx==⇒≠

→

→

→

e) RCLCxfLímCxfCLím

xxxx∈==

→→,.)(.)(. 1

00

.

f) CxfLímteConsCxfSi

xx=∴==

→)(tan)(

0

g) Si NmLxfxx

Límxf

xx

Lím m

m

m ∈=

→=

→,)()())(( 1

00



Lima

2004

VERA, Carlos

Matemática Básica

Colección Moshera

Lima

2001

LEITHOLD, Louis


Editorial Oxford

México

2004

http://descartes.cnice.mec.es

128


CONDICIONESDE CONTINUIDAD


Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de límites indeterminados y de continuidad de una función en un punto dado, utilizando las propiedades de límites, las condiciones de continuidad, las leyes del álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano.

CONDICIONES DE CONTINUIDAD TEMARIO

• Límites laterales • Continuidad de una función en un punto


• Calcula límites laterales. • Evalúa la Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

4 TEMA

9

MATEMÁTICA II 129


LIMITES LATERALES

I. Límites laterales por la derecha

Dada una función )(xf .Si ” 0x ” es un punto de acumulación de ∞∩ ,0xD f

entonces

δ<−<∧∈

ε<−>δ∃>ε∀↔=+→

00

00

0

xxDxquesiempre

,L)x(f/,L)x(f

f

xxLím

y

Xδ+0X0X

ε+L

L

)(xf

x

})(xf

{

{

0

LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA

δ{

δ

}δ−0X

ε−L

ε

ε

)x(fLimxx +→ 0

(Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x0 por la derecha)

EJEMPLOS:

1) Calcule: )(2

xfLimx +−→

11)1(2)(

401

02)1(2)(

2

22

2

2

=−+=

≤<+

≤≤−−+=

++ −→−→xLimxfLim

xx

xxxfSi

xx

130


2)Calcule: )(0

xfLimx +→

[( ) 44²

2,0,4²

0,3,1

)(

0=+→

⟩∈+

⟩⟨−∈+=

+→xLim

xx

xx

xxfSi

x

II. Límite lateral por la izquierda

Dada una función )x(f , si ” 0x ” es un punto de acumulación de

0, xD f ∞−∩ ; entonces

δδδδεεεεδδδδεεεε <<<<<<<<<<<<−−−−>>>>>>>>==== xxDxquesiempreLxfLxf f

xxLím -0∧∈0∃0∀↔ 0→ 0

,)(/,)(

y

Xδ+0X0X

ε+L

L

)(xf

x

})(xf

{

{

0

LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA

δ{

δ

}δ−0X

ε−L

ε

ε

)x(fLimxx −→ 0

(Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x0 por la izquierda)

MATEMÁTICA II 131


Ejemplos:

1) Calcule: )x(fLimx −→8

<−−≥−

=8,)8(

8,)8()(

3

3

xx

xxxfSi

Solución:

0)8( 3

8=−−

−→xLim

x

2) Calcule: )(

)(

xfLimx −−−−−−−−→→→→

2

1

16

15

2

14

2

1

2

14)(

2

1)(

:2

1,32

21,42

1)(

2323

2

1

2

1

23

=

−+

−=

+=

−≥−

−<+=

−− −→−→

xxLimxfLim

Solución

xx

xxxxfSi

xx

3) Calcule: )(xfLimx −−−−−−−−→→→→ 2

12

88)(

:

2,2

5

8

3

222,8

)(

3322

2

3

−=−

−=−=

⟨+−

−≤∨≥⇒≥−

=

−− −→−→ xLimxfLim

Solución

xx

xxxx

xfSi

xx

OBSERVACIÓN:

• Una función f(x) tiene límite en x0⇔ L)x(fLim)x(fLimxxxx

==+− →→ 00

• Si ,)()(00

xfLimxfLimxxxx +− →→

≠ se dice que =→

)x(fLimxx 0

no existe.

132


Ejemplos:

Calcule )(1

xfLimx→

si es que existe.

Si

<+

≥+=

1198

1,)2()(

3

2

xx

xxxf

Solución:

3)(,tan

3198,3)2(

1

3

1

2

1

=

=+=+

→

→→ −+

xfLimtoPor

xLimxLim

x

xx

III. LÍMITES IMPROPIOS

1) ∞∞∞∞==== ++++−−−−

→→→→ ++++)(xfLim

xx 0

2) ∞∞∞∞====++++−−−−

→→→→ −−−−)(xfLim

xx 0

+∞+∞+∞+∞====−−−−−∞−∞−∞−∞====

−−−−+∞+∞+∞+∞====−∞−∞−∞−∞====

====∞∞∞∞−−−−

−−−−====∞∞∞∞−−−−

====∞∞∞∞−−−−

====∞∞∞∞

∈∈∈∈

−−−−++++++++−−−−

++++

0000

0000

aaaa

aaaa

RaSea :

Ejemplos:

Calcule los siguientes límites laterales:

a) +∞==− +→ + 0

1

1

11 x

Limx

b) −∞=−−→ 11

1 xLim

x

c) −∞==+=−+

+=−+

−−→→ −− 0

4

)6)(0(

13

)3)(3(

1

9

1323 xx

xLim

x

xLim

xx

d)

0

04

2164

lim=

−−

−→ xx

x

MATEMÁTICA II 133


−∞=−

=−−

−→=

−−−−→=

−−−→

+

+−−

0

8

2164

lim

)216)4(4

lim

216)4(4

lim

4

)4)(4(216

xx

xxxxxx

x

xxx

IV. CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x0, del dominio de la función, si cumple las siguientes condiciones:

Si cualquiera de las tres condiciones no se cumple, la función no es continua o se dice que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua en un intervalo, si es continua en cada uno de los puntos de dicho intervalo. Una función polinomial es continua en todos los reales y una función racional es continua en todos los reales con excepción de los puntos que anule el denominador.

Ejemplos:

1) Probar si f(x) es continua en x =0 para:

20

20

222022

22000

02

02

0

0

2

0000

00

2

========

====→→→→

⇒⇒⇒⇒

====++++========−−−−====−−−−====

====++++============

>>>>−−−−≤≤≤≤++++====

→→→→

→→→→→→→→→→→→→→→→ −−−−−−−−++++++++

)()()

)(lim

)()()()()

)()()

,

,)(

xfLimfiii

xfx

xLimxfLimyxLimxfLimii

fxfxi

Solución

xx

xxxf

x

xxxx

∴ f(x) es continua en x =0

i) f(x0) existe, es decir, es un número real.

ii) )(0

xfLimxx→

existe, es decir, sus límites laterales son iguales

iii) )()(0

0 xfLimxfxx→

=

134


2) Dada la función:

?¿

,

,

)(

2

22

273

232

====

≠≠≠≠−−−−

++++−−−−

========

xencontinuaSerá

xx

xx

x

xf

Solución

53

52

213

2

273

322

20

2

2

22

00

≠≠≠≠

≠≠≠≠

====−−−−

−−−−−−−−====−−−−

++++−−−−====

============

→→→→

→→→→→→→→→→→→

)()()

)())((

)()

)()()

xfLimxfiii

x

xxLim

x

xxLimxfLimii

fxfxi

x

xxx

Por lo tanto f(x) no es continua en x =2

3) Halle las constantes a y b, para que f(x) sea continua en todo su dominio si

[[

⟩∈−⟩∈+⟩⟨−∈−

=2,1,2

1,0,

0,5,1

)(

xx

xbax

xx

xf

Solución:

La función debe ser continua en 10 == xyx

b

fxfLimiii

xLimii

bbafxfi

xPara

x

x

=−

=

−=−=−=+==

=

→

→ −

1

)0()()

110)1()

)0()0()()

0*

0

0

0

MATEMÁTICA II 135


011

1)

)()()

121)1()()

1**

11

0

0

=→−=−+=−

+=+=−=−==

=

−−→→

aa

baiii

babaxLimxfLimii

fxfi

xPara

xx

4) Calcule los puntos de discontinuidad para la función definida por:

0224

4

1

3

3

2

≠≠≠≠++++−−−−====−−−−

−−−−++++====

))((

)(

xxxxx

Soluciónxx

xxf

La ecuación polinomial del denominador forma una restricción, por ello el dominio:

Df = R - { 0, -2, 2 } Por lo tanto f(x) es discontinua en x =0, x = -2 y x = 2.

5)Calcule los puntos de discontinuidad para la función definida por:

( )( )( )( )

xxf

ndosimplifica

xxx

xxxf

doFactorizan

Soluciónxx

xxf

1)(

:

11

11)(

:

:

1)(

3

2

=

+−+−=

−−=

…..(1)

La ecuación polinomial del denominador (1) forma una restricción, por ello el

dominio es :Df = R - { 0, -1, 1 } Por lo tanto f(x) es discontinua en x =0, x = -1 y x = 1.

136


Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos I. Determina si las siguientes funciones son contin uas en todos los números

reales.

a.

>+−=

<−=

1,1

1,41,26

)(xx

xxx

xf Rp. No es continua

b.

( )

≥−<≤+−

<−=

11x,6

11x5,5x5x,5x

)x(f

2

Rp. Sí es continua

c.

≥

<<+

−

≤−+

=

2x,3x

2x1,1xx38

1x,x23x2

)x(f Rp. Sí es continua

II. Resuelve.

1. Halla los valores de c y k para que la función dada sea continua.

>−≤≤+

<−−+

=

5x,cx2k

5x0,c2kx3

0x,x

x44x

)x(f Rp.

143

k

41

c

−=

=

2. Halle los valores de m y n para que la función dada sea continua.

>−+≤≤+

<+−

−

=

3x,mxnx213

3x1,m2nx

1x,3x2

x1

)x(f

2

3 Rp.

32

n

1m

−=

=

3. Halle los valores de a y b para que la función dada sea continua.

−>+

−−+−≤≤−−−<+−

=1x,

1x6x5x2x

1x5,ax4b5x,13bxax

)x(f23

2

Rp. 2b

1a

−=−=

MATEMÁTICA II 137


4. Halle Rm∈ , de tal manera que:

=

≠+−

−=

1

132

13

xsim

xsix

x

)x(f sea continua en 10 =x

5. Sea la función f(x) definida por:

>−

≤≤−+

−<+

=

13

122

22

xsi,nx

xsi,nmx

xsi,mx

)x(f

Halle el valor de m y n para que la función sea continua en los puntos -2 y 1.

6. Determine los valores de a y b, de modo que la función sea continua en todo su

dominio.

≤≤−

<<−

≤<−−

=

3222

20

031

xsixb

xsiax

xsi

)x(f

7. Determinar los valores de “a” y “b”

Escriba aquí la ecuación.

��#

�

<�=� �>?@?AB=C � D= � E=F � E GH = ) �EFI= � CJ GH �E ' # ) 4C= � KC � √F= � DF GH = + 4

,

138


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación

1.Calcule si existe, )(1

xfx

Lím

→ , Donde:

>+≤+

=1,1

1,3)(

2

xsix

xsixxf

2.Calcule si existe, )(2

xfx

Lím

→ , Donde:

>−≤

=2,28

2,)(

2

xsix

xsixxf

3. En los siguientes ejercicios trace la gráfica y halle el límite si existe. Si no existe,

explique por qué no existe.

<−=−<

=xSi

xsi

xsi

xfa

1,3

1,1

1,2

)()

<−≤≤−−

−<+

=xSix

xsix

xsix

xfb

3,5

33,9

3,5

)() 2

<−−−≤+

=tsit

tsittfc

4,3

4,4)()

≤

<=

tsit

tsittfd

0,

0,)()

3

4.

≤+<+

=xsikx

xsixxfSea

4,5

4,23)( .

Halle el valor de K para que )(4

xfx

Lím

→ exista.

5. Calcule xx

xx

x

Lím

+−

→ + 20

6. Calcule 9

5

3 2 −+

→ − x

x

x

Lím

7. Calcule ( )3

2

2

4

2 −−

→ + x

x

x

Lím

MATEMÁTICA II 139


8.

<−

+−

≥−−

−

=5;

5

3512

5;41

5

)(2

xx

xx

xx

x

xgPara ¿ existe )x(gLimx 5→

?

9. Halle los valores A y B para que la función f(x) sea continua en su dominio.

≥−

<≤−+−<−−

=

3;3

31;

1;43

)(

2

xsix

xsiBAx

xsixx

xf

10. Calcule Rb∈ , de tal manera que:

=

≠−−+=

0

011

)(

xsib

xsix

xxxf sea continua en 00 =x

11. Halle Rc ∈ , de tal manera que:

=

≠−

−+−=

1

11

22)(

23

xsic

xsix

xxxxf sea continua en 10 =x

140



• Una función f(x) tiene límite en x0⇔ L)x(fLim)x(fLim

xxxx==

+− →→ 00

• Si ,)()(00

xfLimxfLimxxxx +− →→

≠ se dice que =→

)x(fLimxx 0

no existe.

+∞=−−∞=−+∞=−∞=

=∞−

−=∞−

=∞

−=∞

∈

−++−

+

0000

0000

:

aaaa

aaaa

RaSea

La función f(x) es continua en el punto x0si cumple las tres siguientes condiciones:

a. f(x0) existe, es decir, es un número real.

b. )(0

xfLimxx→

existe, es decir, sus límites laterales son iguales

c. )()(0

0 xfLimxfxx→

=



Lima

2004

LARSON, Ron

Cálculo

Editorial McGraw-Hill

México

2006

LEITHOLD, Louis


Editorial Oxford

México

2004

STEWART J. Cálculo de una variable trascen-dente temprana

Thompson Edit

México

DF

2001


MATEMÁTICA II 141


LA DERIVADA

Logros de la Unidad de Aprendizaje

Al término de la unidad, el alumno resuelve ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas, elabora la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de una función en un punto dado aplicando las propiedades de la derivación, el álgebra básica y las representaciones gráficas en el plano cartesiano.

TEMARIO

LA DERIVADA

• Definición de la derivada como un límite • Derivada de funciones algebraicas • Derivada de una función en un punto dado


• Calcula la derivada como el límite de una función, siempre que esta exista.

• Interpreta la definición de la derivada como una aproximación de la secante a una tangente.

• Calcula derivadas de funciones algebraicas básicas en un punto dado.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5 TEMA

10

142


DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

I. Conceptos y Aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los

cálculo infinitesimal

ambos están relacionados por el

vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto

de Límite , el cual separa las

Trigonometría o la Geometría Analítica

concepto más importante del

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en

aquellos casos donde es necesario

cambio de una magnitud

fundamental en los estudios de

sociales como la Economía

la gráfica de dos dimensiones de

pendiente de la recta

aproximar la pendiente de esta tangente

entre los dos puntos que determinan una recta

decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta

interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de

los gráficos de funciones, tales como

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos.

Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene

una tangente vertical, una

Afortunadamente, gran cantidad de l

aplicaciones son continuas y su gráfica es una

susceptible de derivación.


Conceptos y Aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del

cálculo infinitesimal . El otro concepto es la «antiderivada» o

ambos están relacionados por el Teorema Fundamental del


, el cual separa las matemáticas previas, como el

Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el

concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.


aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el

magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo

fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias

Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a

os dimensiones de , se considera la derivada como la

pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto

aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia

entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a



los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad



vertical, una discontinuidad o un punto anguloso

Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las

aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es

susceptible de derivación.



dos conceptos centrales del

. El otro concepto es la «antiderivada» o integral;

undamental del Cálculo. A su


previas, como el Álgebra, la

. Quizá la derivada es el


con que se produce el

o situación. Es una herramienta de cálculo

, o en ciencias

. Por ejemplo, cuando se refiere a

, se considera la derivada como la

del gráfico en el punto . Se puede

cuando la distancia

tiende a cero, es



convexidad.



punto anguloso.

as funciones que se consideran en las

, por lo que es

MATEMÁTICA II 143


II. Definición de la Derivada

Sea y = F(x), x pertenece Dom(F ) Entonces F ’(x) representa la derivada de la función F(x) con respecto a “x”, y se define por:

F’(x) = xx ∆

∆+→∆

F(x) - x)F(x

0

lim o F’(x) =

h

h

h

F(x) - )F(x

0

lim +→

Siempre que el límite exista, 0≠=∆ hx

hx =∆ es el incremento o variación de la variable independiente de la función F(x) y como consecuencia la función también se incrementa en yxF ∆=∆ )( , su valor se calcula por: )()()()( xFhxFxFxxFyF −+=−∆+=∆=∆ La nueva funciónF ’(x)es conocido como función derivada o primera derivada de l lafunción F(x). Derivada de una función en un punto dado El valor de la derivada en un punto x0 conocido, se calcula con la expresión:

F’( 0x ) = xx ∆

∆+→∆

)F(x - x) xF(

0

lim00 o F’( 0x ) =

h

h

h

)F(x - )F(x

0

lim00 +

→

Siempre que el límite exista.

La tasax

y

∆∆

es conocida como razón de cambio promedio

y )(0

xfx

y

x

Lím′=

∆∆

→∆es una razón de cambio instantánea.

Otras notaciones de la primera derivada de la funci ón y= f (x)

o

yyDdx

df

dx

dyyxf x ====′=′ )(

144


Ejemplos de Aplicación:

1. Calcule la derivada de xxxf 28)( 2 +=

Por definición de derivada:

h

xfhxfLimxfó

x

xfxxfLimxf

hx

)()()('

)()()´(

00

−+=∆

−∆+=→→∆

…..( 2 )

Calculando )( xxf ∆+ , reemplazando x por ( )xx ∆+ en la función f.

[ ])(22)(8.168

)(22)(.28

)(2)(8)(

22

22

2

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxxf

∆++∆+∆+=

∆++∆+∆+=∆++∆+=∆+

Calculando:

)28()(22)(8.168)()( 222 xxxxxxxxxfxxf +−∆++∆+∆+=−∆+

Simplificando:

)(2)(8.16)()( 2 xxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+

Reemplazando en (2) y factorizando:

0

)´(→∆

=x

Limxfx

xxx

∆+∆+∆ )2)(816(

Cancelando

0)´(

→∆=

xLimxf 208162816 ++=+∆+ )())(( xxx

216)´( += xxf . Esta función es conocida como la función derivada.

2. Halle la derivada de 12)( += xxf , utilizando la definición de la derivada.

Solución:

Por definición

)1.(....................)()(

)´(0 x

xfxxfLimxf

x ∆−∆+=

→∆

:x∆

MATEMÁTICA II 145


x

xxxLimxf

x ∆+−+∆+=

→∆

12122)´(

0

Racionalizando el numerador para obtener un factor común x∆ en el numerador y denominador:

)12122(

12122)(12122()´(

0 +++∆+∆+++∆++−+∆+=

→∆ xxxx

xxxxxxLimxf

x

)(

)()´(

12122

121220 +++∆+∆

+−+∆+=→∆ xxxx

xxxLimxfx

)(

)´(12122

20 +++∆+∆

∆=→∆ xxxx

xLimxfx

, Cancelando x∆ :

12

1

1212

2)´(

+=

+++=

xxxxf

3. Usando definición de la derivada, Calcule f ’(x) y f ’(5) si f(x) = (x2-5x)2

Solución:

Por definición

h

xfhxfLimxfh

)()()('

−+=→0

2222 ))(5)(()(,)5()( hxhxhxfxxxf +−+=+−= , remplazando en la

fórmula estos datos.

h

xxhxhxLimxfh

2222

0

)5())(5)(()('

−−+−+=→

[ ][ ]

h

xxhxhxxxhxhxLimfh

)5()(5)()5()(5)('

2222

0

−−+−+−++−+=→

[ ][ ]h

hhxhxxhxhxLimfh

)(52)5()(5)('

222

0

−+−++−+=→

[ ][ ]52)5()(5)(' 22

0−+−++−+=

→hxxxhxhxLimf

h

)52)(5(2)(' 2 −−= xxxxf ; f ’(5) = 0.

12122

2)´(

0 +++∆+=

→∆ xxxLimxf

x

146


III. DERIVADA DE FUNCIONES

1. Derivada de una Constante

2. Derivada de “x”

3. Derivada de una función lineal

4. Derivada de una potencia

5. Derivada de una raíz

6. Derivada de una raíz cuadrada

7. Derivada de una Adición o Diferencia

8. Derivada de una Constante

9. Derivada de un Producto

10. Derivada de una constante entre una función

DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS : Reglas Prácticas

Derivada de una Constante

Derivada de “x”

Derivada de una función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una Adición o Diferencia

Derivada de una Constante por una Función

Derivada de un Producto

Derivada de una constante entre una función


: Reglas Prácticas

MATEMÁTICA II


11. Derivada de un cociente

12. Regla de la Cadena

IV. Ejemplos:

1. Halle y’ si 23xy ==== (

Solución:

1(4

10)23(´

4

2xy+

+=

2. Halle y’ si 4)(xf ====

Solución:

4 3(4

3)´(

xxf

−=

3 )1(5 xxx +−+

3. Halle )´(xf si ====y

Solución:

)´(´dx

dxfy ==

)(3)´( 3 +−= xdx

dxf

))(3(3)´( 2 +−= xxf


Derivada de un cociente

Regla de la Cadena

4 2512 x++++++++ )

)6(51)5

10 4 2

32xx

x

x +++

5333 1 ).()( xxxxx ++++−−−−−−−−

532 )1()2

13.(

)xxx

xx

x+−

−

34 3

3

24 )(

2

1

12

3xxx

xx

x

x −

++

−

83 3 ++++++++−−−−======== xxxf )(

)8()()3( 3

dx

dx

dx

dx ++−

0)( ++ xdx

d

0)(1 0 ++ x 19)´( 2 +−= xxf

147


148


4. Halle )´(xf si 33

1)( 3 +−== xxxfy

Solución:

)3()()3

1()´(´ 3

dx

dx

dx

dx

dx

dxfy +−==

0)()(3

1)´( 3 +−= x

dx

dx

dx

dxf

0)(1))(3(3

1)´( 02 +−= xxxf

1)´( 2 −= xxf

5. Halle la derivada de: ( )33 32)( xxxf −= Solución:

( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )36323)(

32323)(

32)(

223

323

33

−−=′

′−−=′

′−=′

xxxxf

xxxxxf

xxxf

6. Si y =dtdy

Calculetttuuvv .,, 13 2323 ++++−−−−++++========

Solución:

Utilizando regla práctica para el cálculo de dt

dy

3

223 )13( +−+= ttty entonces y′

3

)163()13(2 23

123 −++−+=

−

ttttt

7. Si 567 )12(40

1

)12(24

1

)12(56

3)(

−−

−−

−=

xxxxf , Calcula:

dx

dy

Solución:

y

Xδ+0X0X

ε+L

L

)( xf

x

})( xf

{

{

0

L Í M I T E L A T E R A L P O R L A D E R E C H A

δ{

δ

}δ−0X

ε−L

ε

ε

MATEMÁTICA II 149


Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos I. Utilizando la definición de la derivada halle y ’ en las siguientes funciones:

a) 1)( 2 +−= xxxf

b) xxf 32)( −=

II.Halle la derivada de f y evalúe f’(2), en las siguientes funciones:

a)1

12 −

=x

)x(f

b) 5)( 2 += xxf

c)5

1

44

12)(

24 3 ++−= x

xxxf

d) 3

3 2

4

21)(

x

xxf

−+=

e)22

5

)14(

3)(

+−+=xx

xxf

150



I.Determine la primera derivada para las siguientes funciones:

105

5024

5024105

3028

5024

)1(

)53()

)53()1()

)138(4)

)53()

++−+−=

−+−++=

−−+=

−+−=

−

xx

xxxyd

xxxxxyc

xxxyb

xxxya

II. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto x=1:

a) 1,012 22)( xxxxf ++−= −

b) 8233)( 3 ++−= xxxxf

c) 7,03 611 43)( −−− −++= xxxxxf d) )2)(13()( 32 xxxf +−+= e) )1)(1()( 122 ++++= −− xxxxxf

f) 1

3)(

2

+=

x

xxf

g) 1

2)(

2

3

++=

−

xx

xxf

h) x

xxxf

1)(

2 −+=

MATEMÁTICA II 151


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación I.Utilizando la definición de la derivada halle y ’ en las siguientes funciones:

a) 3x)x(f =

b) 2

1

x)x(f =

c)1

12 −

=x

)x(f

d) 52 += x)x(f

e) )1(,5

1

44

1)( '

24 3 fhalleademás

x

xxxf ++−=

III. Encuentre el valor de verdad o falsedad en las siguientes proposiciones:

a) La gráfica de la función derivada de y=0.5 2x , es la función identidad.

b) 2,2

4

2

2

=−−

→xenderivadaunaes

x

x

x

Lim.

c) La derivada de f(x) = x

5 , existe en x= 0.

d) El

h

h

h

Lim 33 )5(2)5(2

0

−+→

, es una derivada de f(x)= 2 3x en x= 5.

e) 283

30

3

3

=−

−+→ t

tt

t

Lim

RESPUESTAS: VVFVV

152



Reglas de derivación de funciones algebraicas Sean A, B y E funciones derivables y c una constante

1. Dxc = 0

2. Dxxm = m xm-1

3. )(( xADx ± B(x)) = )(( xADx )± ))(( xBDx = A’(x)± ( B’(x)

4. D x(A(x).B(x)) = A(x)B’(x) + B(x)A’(x)

5. 0)(,)(

)()()()(

)(

)(2

''

≠−= xBxB

xBxAxAxB

xB

xADx

6. Si y = A(v), v = B(u), u = E(x) ;se pide dx

dy

y → v → u → x

dx

du

du

dv

dv

dy

dx

dy..= , se conoce como la regla de derivación en cadena.

7. Dx x = x2

1

8. Dx)(

)(')(

xA

xAxA

2=

9. Dx 2

1

))((

)(')( xA

xA

xA−=

10. Dx 2

11

xx−=

MATEMÁTICA II 153


1.

h

xfhxfh

Limxf )()(

0)(/ −+

→=

2. ax

afxf

ax

Limaf

−−

→= )()(

)(/

3.La derivada en un punto existe si y solo si las derivadas laterales son iguales.



Lima

2004

LARSON, Ron

Cálculo


México

2006

LEITHOLD, Louis


Editorial Oxford

México

2004


Thompson Edit

México

DF

2001


154


ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL



TEMARIO

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL

• Interpretación geométrica de la derivada • Ecuación de la recta tangente y de la recta normal • Aplicaciones de la recta tangente y de la recta normal en un punto de la curva


• Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal en un punto de la curva

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5 TEMA

11

MATEMÁTICA II


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

I. APLICACIONES DE LA DERIVADA

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

En matemáticas, la derivadacon la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independientedecir, se calcula como el en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función Un ejemplo habitual aparece al estudiar el representa la posiciónvelocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántic4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de lrecorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantáneacalcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. El valor de la derivada de una función en un punto puede interpgeométricamente, ya que se corresponde con a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor apunto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la



DE LA DERIVADA

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a

la curva está dibujada en rojo).

derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la

de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántic4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad mediakm/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para

velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpgeométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la

de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la aproximación lineal de la función alrededor de dicho

punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

155



pendiente de la (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a

es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su

. La derivada de una función es un concepto local, es apidez de cambio media de la función

en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de

: si una función , su derivada es la

de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de velocidad media de 750

km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores a ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30

recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para as 15:20, por ejemplo, es necesario

calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase de la recta tangente

de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la de la función alrededor de dicho

punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones .

156


II. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

En la figura podemos apreciar:

1° La pendiente de la RECTA SECANTE L 1 que pasa por los puntos P0(x0,f(x0)) y P(x,f(x)) , es :

00

0 ,)()(

xxxx

xfxfTg ≠

−−=α

2° La pendiente de la RECTA TANGENTE L es : θTg

3° Supongamos que el punto P 0(x0,f(x0)) pertenece a la curva f y es fijo. P(x,f(x)) es un punto de la curva que se mueve acercándose al punto P0(x0,f(x0)).

A medida que P(x,f(x)) se acerca a P0(x0,f(x0)) resultará que la variable x se acerca a x0 cada vez más, de modo que el incremento 0xxx −=∆ tiende a cero , pero

nunca será cero. Este incremento es infinitésimo y se denota :

Si 0)( 00 →−=∆→ xxxentoncesxx

Desde el momento en que el acercamiento (aproximación) es INFINITÉSIMO, entonces se hace uso del concepto de LÍMITE.

4° Así, llegamos a la siguiente conclusión:

Cuando el punto P(x,f(x)) tiende a acercarse a P0(x0,f(x0)) , entonces la RECTA

SECANTE L1 tiende a TRANSFORMARSE EN RECTA TANGENTE L.

MATEMÁTICA II 157


Además, la Pendiente de la recta secante L1= 00

0 xx,xx

)x(f)x(fTg ≠

−−=α , tiende a

convertirse en :

Pendiente de la recta tangente L = 0,0

)0()(

0lim xx

xx

xfxf

xxTg ≠

−

−→

=θ

Además:

0,)()(

lim)´(

,)()(

lim)´(

00

00

00

00

0

≠−+=

≠−−=

→

→

hh

xfhxfxf

xxxx

xfxfxf

h

xx

Donde h = ∆xy la pendiente de la tangente es )(' 0xfmt = entonces:

Ejemplo :

Halle la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 3 de la curva

y= f(x) = 3x 3+2x+1

Solución:

Paso 1: Como la pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva f, entonces derivamos f:

229 ++++====′′′′====′′′′ xxfy )(

Paso 2: Reemplazamos el valor de x = 3 en la derivada de la función:

8322393 ====++++====′′′′====′′′′ )()(fy

x

)f(xx)f(xlimm 00

0xt ∆

−∆+=→∆

158


III. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA

Ecuaciones de las rectas Tangente y normal

- Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y)=0 Sea la recta L T que es tangente a la curva C en el punto

La ecuación de la recta Donde m = Pero la pendiente “m”la DERIVADA DE y CON RESPECTO A x EN EL PUNTO

Es decir: m

Entonces la ecuación de la recta tangente es:

:L t

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA


Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y)=0

que es tangente a la curva C en el punto (x0,y

La ecuación de la recta Ltes: y - y 0 = m (x - x 0).

θTg= pendiente de la Recta Tangente

la pendiente “m” , desde el punto de vista del cá lculo diferencial, es

DERIVADA DE y CON RESPECTO A x EN EL PUNTO (x0,y0).

),( 00 yxdx

dy

=


))(( 000 xxxfyy −−−−′′′′====−−−−



,y0).

lculo diferencial, es


MATEMÁTICA II 159


Si )( 0xf ′′′′ ∞∞∞∞==== ++++−−−− , entonces ecuación de Lt: x-x 0=0

Si ∞∞∞∞====

++++−−−−

),( 00 yxdx

dy , entonces Lt: x-x0=0

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Como la recta normal es perpendicular a la recta s ecante en el

punto de tangencia (x 0,y0), entonces la ecuación de la recta

normal es )(1

: 00 xx

dx

dyyyLN −−=−

Es decir, oxfsi ≠≠≠≠′′′′ )( 0 . La Ecuación de la Recta Normal

)()(

: 00

01

xxxf

yyLN −−−−′′′′

−−−−====−−−−

Si )( 0xf ′′′′ =0 entonces 00 ====−−−− xxLN :

1. Una función es derivable en un punto, si se puede h allar una única recta tangente en dicho punto.

2. Si f es continua en x 0, y )()( 00−+ ′=′ xfxf entonces, se dice que la función

esderivable o diferenciable enx 0 .

3. )( 0+′ xf es la derivada de f al acercarse a x 0por la derecha y )( 0

−′ xf es laderivada de f al acercarsea x 0por la izquierda.

160


EJEMPLOS:

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la grá fica de 1)( 2 ++= xxxf en el

punto cuya abscisa es 2.

Solución:

Por definición; la ecuación de la recta tangente.

)1......(..........).........).(´()( 00 xxxfxfy −=−

Por dato x0=2 …………………………..(2)

)2(57

)1()2(),3(),4(Re

)4....(51)2(2)2()´(12)´(

)´(

)3........(........................................7)(

122)2()(

'0

0

0

20

−=−

=+==⇒+=

=∴++==⇒

xy

enemplazando

fxfxxf

xfdeCálculo

xf

fxf

1. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por

f(x) =x 3+1 en el punto cuya ordenada es 2.

Solución:

Por definición; la ecuación de la recta tangente. )1......(..........).........).(´()( 00 xxxfxfy −=−

Por dato 12)( 30 +== xxf …………....(2)

)3....(..............................11 03 =∴=⇒ xx

Cálculo de f´(x0):

)4.....(..............................3)1(3́)1(

3)´(2

20

==

=

ff

xxf

Reemplazando (4) , (3), (2) en (1)

)1(32 −=− xy

MATEMÁTICA II 161


2y=4x-x

21

(a,b)

(2,5)

y

x

3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva 83)( 2 −= xxf que

pasa por el punto (2,-44)

Solución:

1.- Verificamos si el punto (2,-44) está en la curva 83)( 2 −= xxf

El punto (2,-44) 4448)2(344442 2 ≠−⇒−=−⇒−=∧=⇒ yx

∴ Como no se cumple la igualdad, el punto no está en la curva.

2.- Se sabe que la recta tangente:

))(´( 000 xxxfyyLt −=−= …………(1)

El punto de tangencia es ),( 00 yx

00 6)´(6)´( xxfxxf =⇒=

Reemplazando en (1)

)(6)83( 002

0 xxxxyLt −=−−=

Pero tL pasa por el punto de tangencia (2,-44), entonces éste verifica la ecuación

de Lt:

0)2)(6(0124

6128344)2(6)83(44

00020

200

2000

20

=+−⇒=−−↔

−=+−−⇒−=−−−

xxxx

xxxxxx

4100

26

00

00

=∨=−=∨=

yy

xx

Hay dos respuestas:

0201224124

2264

01163621636100

666100

2

1

=++⇒−−=−+−=−=

=−−⇒−=−−=−=

yxxy

)x)((yL

yxxy

)x)((yL

4. Hay dos tangentes a la curva y = 4x-x 2 que pasan por el punto (2,5).

Encuentre la ecuación general de ambas tangentes.

Solución:

162


Como (a,b) pertenece a la función, entonces se tiene b= 4a - a2 ………………………….(1)

mLt = f’(a), f’(x) = 4 - 2x , mLt =a

b

−−

2

5

f’(a) = 4 – 2a → baaa

ba −=+−⇒

−−=− 5248

2

524 2

2a2 – 8a + 3 + b = 0 ……………….(2)

remplazando (1) en (2)

2a2 – 8a + 3 + 4a – a2 = 0 ⇒ a2 -4a -3 = 0 ⇒ (a - 3) (a - 1) = 0 a = 1 ó a = 3 Entonces, los puntos de tangencia son: P1(1,3), P2(3,3)

b = 3 b = 3 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P1 (1,3) x0 = 3 , y0 = 3 , f ’ (3) = -2 x0 = 1 , y0 = 3 , f ’ (1) = 2 y – y0 = f ’ (x0)(x – x0) ⇒ y – 3 = 2 (x - 1) ⇒ Lt1: 2x – y + 1 = 0 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P2 (3,3) y – y0 = f ’ (x0)(x – x0), ( y – 3) = -2 (x - 3) , Lt2: 2x + y - 9 = 0

MATEMÁTICA II 163



I. PRIMERA PARTE: EJERCICIOS

1. Halle la función derivada para las siguientes funciones :

5323

154)

65

17)4()

65

17)

23

54)

43 3

5 3

5 34

10 291023

5 34

10 29

3 3

5 25

+−−++−=

+−+++−=

+−++=

−+−−=

xxxx

xxyd

xx

xxxxyc

xx

xxyb

xx

xxya

2. Aplicando la derivada, halle la pendiente de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto cuya abscisa se indica.

a) 12 0

22 =−= xsiendoxy

b) 21

40 =

−= xsiendo

xy

c) 13 023 =−= xsiendoxxy

3.Calcule las ecuaciones de la tangente y de la normal, a las curvas

siguientes, en el punto dado.

a) )2,2(;33 xxy −=

b) )5,2(3

12

x

xy

−+=

164


4. Sea G(x) = 43

642 ++

+

xx

x, halle el valor de “m”, para que se cumpla que

G ’(x) = 32 43 )xx(

m

++

5.Determine todos los puntos sobre la curva G(x) = x4 – 4x3 – 12x2 + 32x –16,

tales que la recta tangente en dichos puntos, sea horizontal.

6.Si f(x) = 2

11

−+

x

x, calcule el valor de k en la ecuación

21202

0 23 −−=+

− )(f.k)('fk)(f)('f

k

7.Determine la ecuación de la recta ortogonal a la gráfica g en el punto cuya

abscisa es 0, si g(x) = (x3 – 3x + 2)

MATEMÁTICA II 165


Problemas complementarios :

1. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva :

��#� � 2 � √#9 � √#

En el punto de tangencia correspondiente a x=1.

2. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ��#� � 8√7# � 2

En el punto de tangencia correspondiente a x=2.

3. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : L � 2# � 3√3# � 5M

En el punto de tangencia P(-2,k)

4. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva :

L � N9 � 2#�3# � 5 OP

En el punto de abscisa 2.

5. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva : ��#� � �Q�RSP� T#� � 14U

En el punto de abscisa 3/2.

166


AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación 1. Determina la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación 2xy = ,

y que es paralela a la recta con ecuación x4y = . Rp. 4x4y −=

2. Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 1xy 3 += , que es paralela a la recta de ecuación: 06y12x =−+ .Rp. 086y12x =++

3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 5x3xy 2 +−= en el punto

de abscisa 3x = . Rp. 04yx3 =−− 4. Usa las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes

funciones:

a. 3

5x2x1

)x(f

+

−= Rp. ( )

( )4

2

5x2

x121

+−−

b. 4 23 1t4tt)t(g ++⋅= Rp. ( )4 323 2

2

1t4tt6

2t14t5

++

++

5. Calcula )x('g , si 42 5x

3x2ln)x(g

−+=

Rp. g'(x) = 10x2

x6x4

12 −

−+

6. Si

22

1x1x

)x(f

−+= , determina el valor de k en: )0('f4k5)1(f3 ⋅=+−⋅

Rp. 1k =

7. Halle la ecuación de la tangente y de la normal, a las curvas dadas, en los

puntos indicados.

a) y = x2 + 2x + 2 ; x = 2 b) y = 4x3 – 13x2 + 4x –3 ; x = -1

8. Halle la derivada y’ de las funciones siguientes:

a) y = x x33 2− en x = 2

b) y = ( )42

212

+−+

x

xx , en x = 3

c) y = (4x3 – 3x + 1)4. (2 – x2 – x3)2 ; en x = 0

d) y = ( ) ( )

( )4

3223

34

6534

x

xx

−−−

; en x = 1

MATEMÁTICA II 167


RESUMEN

1. La ecuación de la recta tangente es:

))((: 000 xxxfyyL t −′=−

(x0,y0) es el punto de tangencia.

2. La ecuación de la recta normal es:



Lima

2004

LARSON, Ron

Cálculo


México

2006

LEITHOLD, Louis


Editorial Oxford

México

2004


Thompson Edit

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DF

2001


oxfsixxxf

yyLN ≠′−′

−=− )(,)()(

1: 00

00

168


DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES



DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES

TEMARIO

• Derivadas de orden superior • Derivadas de funciones logarítmicas • Derivadas de funciones exponenciales


• Calcula la derivada de funciones logarítmicas, exponenciales y de orden superior.

UNIDAD DE

APRENDIZAJE

5 TEMA

12

MATEMÁTICA II 169


LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

I. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Notaciones para las derivadas de orden

superior

)(:......:)(:)(:)( xfxfxfxf n′′′′′′

yDyDyDyD NXXXX ;.......;; 32

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

dy....;.........;;

3

3

2

2

Dada la función f, su derivada, si existe, es otra función )(xf ′ . Esta segunda función se puede derivar y se obtiene )(xf ′′ , la cual recibe el nombre de segunda derivada; en forma análoga, la tercera derivada será )(xf ′′′ , y así sucesivamente.

1. Ejemplo :CalculeylVen 2523 256 −−−−++++++++−−−−==== xxxxy

Solución:

xxy

xxy

xxy

xxxy

xxxxy

iv 1201080

60360'''

42090''

54518'

2523

2

23

34

45

256

−=−=

+−=++−=

−++−=

170


2. Ejemplo :Calculey’’’ en 52 ++++==== xy

Solución:

5

´2 +

=x

xy

55

5

5

52

251

222

2

2

++++++++====

++++++++

−−−−++++

====xxx

x

xxx

y)(

.)(

´´

)()(

)()(

´´55

2552

2550

222

2

2

2

++++++++

++++++++

++++++++−−−−

====′′′′xx

xxx

xx

y

Simplificando:

55

15222 ++++++++

−−−−====xx

xy

)(´´´

Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos I.Calcule ylIIde las siguientes funciones:

1. 322

2

1 −+= xxy

2. xxxy −−−= 142

3.223 +−+= xxxy

II. Halle la derivada enésima de

1. y = x20-2x40+1

2. x

xy112 +=

MATEMÁTICA II


II. DERIVADA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial está definida por

Casos particulares:

x

xfya

exfyea

xfya

xfya

==⇒=

==⇒===⇒===⇒=

)(2

1

)(

2)(2

10)(10

REGLA PRÁCTICA DE DERIVACIÓN

� Derivada de la función exponencial

� Derivada de la función exponencial de base “e”

Ejemplos:

1. Calcule y’

62xy = .

Solución:

2ln'66

2'

= xxy

62ln566

2' xxxy =

=⇒


DERIVADA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial está definida por y=f(x)=ax,a>0, Rxa ∈≠ ,1

x

x

x

x

2

1

2

10

,e es la constante neperiana.


la función exponencial

la función exponencial de base “e”

2ln6

2.5 xx

171


R.

la función exponencial de base “e”

172


2. Ejemplo: Calcule y’Si axax

axax

ee

eey −

−

+−=

Solución:

2)(

))()()(()))(()((axax

axaxaxaxaxaxaxax

ee

aeaeeeeeaeae

dx

dy−

−−−−

+−+−−+−−=

Simplificando:22 )1(

4

+=

axe

ae

dx

dy

3.Verifique que la función y = Ae2x + B e-2x + Ce-3x - xe−6

1satisface la ecuación

y ’’’ + 3y ’’ – 4y’ -12y = e-x Solución:

y’ = 2Ae2x – 2Be-2x – 3Ce-3x + xe−6

1

y’’ = 4Ae2x + 4Be-2x – 9Ce-3x - xe−6

1

y’’’ = 8Ae2x – 8Be-2x – 27Ce-3x + xe−6

1

Remplazando en la ecuación dada se obtiene, 0 = 0


1.Derivar: xx exey −=

2. Derivar:1

1)(

+−=

x

x

e

exf

3.Derivar: xxey 2= 4. Derivar: xn nxxf .)( = 5. Derivar: Lntes =

MATEMÁTICA II 173


PROPIEDADES DE LOGARITMO

2

1

3

4

5

6

7

8

cLna =

ae c =

cab

=log ab c =

LnbLnaLnab +=

LnbLnab

aLn −=

BABAbbb

loglog log).( +=

xLnaLna x =

BAB

Abbb

loglog log −=

AnA bn

bloglog =

donde ....7182,2=e

ae c =

6.Encuentre el valor de k ( k = constante ) para que la función xexy 2

2

1= sea

solución de la ecuación xeyyky =+′+′′

7.Calcule:f/ (x), si

+=3

3)(234 xexxf x

8.Dada 4322

2)( +−= xxxf , encontrar )0('f

9.Dada 81824

3)( ++−= xxxf , halle )0('f y la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 0. 10.Halle la derivada enésima de y = xex

III. DERIVADA DE FUNCIÓN LOGARITMO

174



� Derivada de la funci

� Derivada de la función

u

uxF

u

uxF

uxFNOTA a

')('

lnln'

)('

,log)(:

====∴∴∴∴

====

====

Ejemplo:

1.Halle y’, si ( 32 3 −= xLny

Solución:

( )2

6

132

132'

33

3

−=

+−

′+−=x

x

xx

xxy

2.Halle y’, si 3

ln)(3

+=

x

xexf

x

Solución:

ln13

ln)( 323

+=+

= ex

xexf x

x

13

323)('

+−+=

xxxxf

3.Halle y’,si 52

2

1

1

x

xLny

−+=

Solución:


la funci ón logaritmo

la función logaritmo neperiano

au

u

a

a

e

eu

uxFxfu a

ln.'

ln

lnln

log'

)(')(

====

====⇒⇒⇒⇒====

1

)13 +x .

13

32

+−−x

x

1

2

+x

)13ln(ln 2 +− xx =3x+2lnx-ln(3x+1)


MATEMÁTICA II 175


)1(5

1)1(

5

1 22 xLnxLny −−+=

Derivando: )1(5

2

)1(5

2´

22 x

x

x

xy

−−−

+=

=dx

dy

)1(5

2

)1(5

222 x

x

x

x

−+

+ Simplificando

455

4

x

x

dx

dy

−=

4.Halle y/si 4−= xLny

Solución:

4

1

2

1

)4(2

1

−=′

−=

xy

xLny

Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos Halle la derivada de cada función: 1. )ln( xxey =

2.1

1ln)(

+−=

x

x

e

exf

3. )}22(ln{ 2 −= xxey x 4. ).ln()( xn nxxf =

5. x

x

e

eLny

21+=

6. xx

xx

ee

eey −

−

+−= ln

7.

+=3

3)(233 xeLnxf x

176


8. ττ1

)( af = 9. xaxf −=)( 10. f(x)=Log(3x2+x) 11. f(x)=Log3[8x2+x] 12. f(x)=Log3{2[8x2+x](6x3)}

AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación I. Halle la derivada de las siguientes funciones:

1. x

exf

x

ln

1)(

+= +ln(x2+3x-1)

2. 13)( 32 2

++= xexg x

II. Calcule )0´(f en las siguientes funciones.

1. )ln()( 2 exxxf +=

2. x

x

e

ey

−+=

2

31

MATEMÁTICA II 177


7. y

Lnu1=

VI. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva 2x3 + 2 – 9xy = 0 en el punto (2,1)

III. Calcule las derivadas : 1. xLnxy = 2. )( tLntty −=

3. x

Lnxxf =)(

4. ( )xxLogy 22 4

2 += 5. )1log(2)( 3 += xxxf 6. 38)1( 4324 −+−= ttLns

178



[ ]

[ ] [ ] /)()(

'

'

')()(

')()(

))()((.6

ln)(

)())((.5

)(

)())((.4

)(.3

)(.2

´))´´((´´)´(´´´:))´´((´´)(´)(.1

)()( xLnuxvD

axv

xvxvLogD

xv

xvxvLnD

LnaxvaaD

xveeD

xfyyxfyxfyxfy

xvxv

x

ax

x

xvxvx

xvxvx

xuxu =

=

=

=

=

==⇒=⇒′=⇒=

BIBLIOGRAFíA:

LARSON, RON

Cálculo Editorial McGraw Hill

México

2006

STEWART, JAMES

Cálculo de una variable

Thomson México 2001

SOBEL, MAX A.

Precálculo

Pearson México

2006

www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm

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