Martes 6 de marzo de 2012
description
Transcript of Martes 6 de marzo de 2012
![Page 1: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/1.jpg)
Martes 6 de marzo de 2012
![Page 2: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/3.jpg)
Advanced Quantum TheoryPaul Roman.Addison-Wesley, 1965. ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
![Page 4: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/4.jpg)
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
![Page 5: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/6.jpg)
Consideremos una base ortonormal y completade un espacio de Hilbert.
La denotaremos como donde es un
parámetro continuo.Como es ortonormal y completa:
ˆd I
![Page 7: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/7.jpg)
10 2 d
Consideremos una base ortonormal y completa de un espacio de Hilbert.
La denotaremos como donde es un parámetro continuo.
Como es ortonormal y completa:
ˆ y d I
![Page 8: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/8.jpg)
ˆ
donde
I d
d d
![Page 9: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/9.jpg)
donde d
![Page 10: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/10.jpg)
*
ˆ
donde
I d
d d
![Page 11: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/11.jpg)
* donde d
![Page 12: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/12.jpg)
d
d d
![Page 13: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/13.jpg)
d
d d
![Page 14: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/14.jpg)
*
d
d d
![Page 15: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/15.jpg)
d
d d
*
donde
donde
d
d
d d
![Page 16: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/16.jpg)
d
*
donde
donde
d
d
d d
![Page 17: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/17.jpg)
*
d
d
d
![Page 18: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/19.jpg)
En la representación de coordenadasx̂ x
0
0 si indefinido si
x
xf x x f x
x x f x
x xf x
x x
f x x x
![Page 20: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/20.jpg)
ˆEn la representación de coordenadas
ˆLos vectores propios de son x x x
x x x
Son ortonormales:
Es un conjunto completo:
ˆ
x x x x
dx x x I
![Page 21: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/21.jpg)
ˆEn la representación de coordenadas
ˆLos vectores propios de son x x x
x x x
Son ortonormales:
Es un conjunto completo:
x x x x dx x x
x x x x dx x x
![Page 22: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/22.jpg)
ˆ
donde
I dx x x dx x x
dx x x dx x x dx x x x
x
x x
![Page 23: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/23.jpg)
En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son
el estado está especificado por
x x x
dx x x x x
![Page 24: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/24.jpg)
La componente es la
función de onda de Schrödinger.
x x
En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son
el estado está especificado por
x x x
dx x x x x
![Page 25: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/25.jpg)
En la representación de coordenadas
se confunde con el ket simbólico del estado.
x
En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son
el estado está especificado por
x x x
dx x x x x
![Page 26: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/26.jpg)
En la representación de coordenadas
se confunde con el ket simbólico del estado.
x
Es confuso que el mismo símbolo
denota al vector del espacio deHilbert y también una componentedel mismo.
x
![Page 27: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/27.jpg)
es un número, es
el valor de en . es el símbolo de todos
los posibles valores funcionales.
x x
x
El mismo símbolo denota al vector del espacio
de Hilbert y también una componente del mismo.
x
![Page 28: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/28.jpg)
En la representación de coordenadasˆ
ˆ
x x xdp p idx
![Page 29: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/29.jpg)
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p idx
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆ,
x p f x xpf x pxf x
d di x f x i xf xdx dxd d dxi x f x i x f x i f xdx dx dx
i f x
x p i
![Page 30: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/30.jpg)
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p i dx
* *
**
ˆ
ˆ
x
dx x x x dx x x x
dx x x x dx x x x
![Page 31: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/31.jpg)
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p i dx
*
* *
*
ˆ dp dx x i xdx
di x x i dx x xdx
d xdx i x
dx
![Page 32: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/32.jpg)
ˆ
exp
d pp p i p pdx
ip C xp
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p i dx
![Page 33: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/33.jpg)
2 23
1/2
ya que
exp exp 2
Por lo tanto,
1 exp
xp 2
2
e
i ip p C xp xp dx C p p
i p
i
x
d
p
exp ip C xp
![Page 34: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/34.jpg)
1/2
Las funciones propias delmomento son, en la
representación de coordenadas,
12
i px
p
p e
![Page 35: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/35.jpg)
Las funciones propias del momento son ortonormalesen el sentido de la delta de Dirac; es decir,
1 exp exp2i ip p xp xp dx p p
exp 2i d
1/21
2
i pxp e
![Page 36: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/36.jpg)
Constituyen también un conjunto completo,ya que satisfacen la condición de cerradura(de completez)
12
i ixp x pe e dp x x
1/21
2
i pxp e
exp 2i d
![Page 37: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/38.jpg)
*
d
d
d
![Page 39: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/39.jpg)
d
1/ 2 1/ 2
1 12 2
i ipx px
x x x
p e p e
x p
p dx p x x
1/ 2 1/ 2
1 12 2
i ipx pxp x e x x dx e
![Page 40: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/40.jpg)
x p
p dx p x x
1/2
12
i pxp x e
1/2
12
i pxp dxe x
![Page 41: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/41.jpg)
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
12
12
12
12
1 22
12
i px
i i ipx px px
i i ipx px px
i ipx p x x
i px
p dxe x
e p e dxe x
dpe p dp e dxe x
dpe p dx x dpe
dpe p dx x x x
dpe
i pxp x
![Page 42: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/42.jpg)
1/2
12
i pxp x e
1/2
12
i pxx dpe p
x p
p dx p x x
![Page 43: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/43.jpg)
1/ 2
La función de onda en larepresentación de momentos es
12
i pxp dxe x
![Page 44: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/45.jpg)
¿Cómo se ven afectados losoperadores cuando hacemosun cambio de representación?
![Page 46: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/47.jpg)
1 2 3
Consideremos una base ortonormal y completade un espacio de Hilbert separable.Esto quiere decir que la base es numerable,y la denotaremos como
, , ,..., ,....
Como es ortonormal y completa:n n
n m
1
ˆ
nm
n nn
I
![Page 48: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/49.jpg)
n n
![Page 50: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/50.jpg)
n n
1 1 1 2
2 1 2 2 2
1 2
n m
m
n n n m
U
![Page 51: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/51.jpg)
n n
![Page 52: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/52.jpg)
1
donde
; con
ˆ
n n n nn
n n n mn m mn m nm
jl j l
a a
U U
A A
![Page 53: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/54.jpg)
*
*
d
d
d
![Page 55: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/55.jpg)
,
Usando la relación de completez (clausura)ˆ
tenemos
I
A
A
A
![Page 56: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/56.jpg)
,
A A
Los elementos de matriz de en una representación se obtienende los de la otra representaciónmediante una doble transformaciónde Fourier.
A
![Page 57: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/57.jpg)
Si en la representación eloperador es diagonal, en larepresentación tendrá laforma de una suma de operadoresde proyección cada uno
con un peso
A
A
![Page 58: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/58.jpg)
,
A A
, ,
,
A A a
a
a a
A a
![Page 59: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/59.jpg)
*
x p
x dp p x p
1/ 2
12
i pxp x e
1/ 2
12
i pxx dpe p
![Page 60: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/60.jpg)
,
1/2
pero1 exp
2
y
x x
p x p p x x x x x p
ip x px
x x x dx x x x x x x x x
,
A A
![Page 61: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/61.jpg)
/ /
/ /
/ /
/
12
12
12
2
i p x i p x
i p x i p x
i p x i p x
i x p p
p x p dx dx e e x x x
dx e e x
ddx e i edp
i d dx edpdi p pdp
,x x
p x p p x x x x x p
![Page 62: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/62.jpg)
dp i pdp
ddp p p i p pdp
di p pdp
dp x p i p pdp
![Page 63: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/63.jpg)
*1/2 1/2
*
*
*
1 1ˆ2 2
12
12
2
i ipx p x
i ipx p x
i ipx p x
i p p x
x dx dpe p x dp e p
dp p dp p dxe xe
ddp p dp p dxe i edp
i ddp p dp p dxedp
* *
1/2
ˆ ˆ
12
i px
x dx x x x dx x x x
x dpe p
![Page 64: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/64.jpg)
*ˆ2
i p p xi dx dp p dp p dxedp
*
*
ˆ
22
x
i ddp p dp p p pdp
di dp p dp p p pdp
exp 2i d
![Page 65: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/65.jpg)
*ˆ dx i dp p dp p p pdp
ˆAsí que finalmente dx i dp
f x x a dx f a
*ˆ dx i dp p pdp
![Page 66: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/66.jpg)
*1/2 1/2
*
*
*
1 1ˆ2 2
2
2
12
i ipx p x
i ip x p x
i ip x px
i p p x
dx i dx dpe p dp e pdx
i ddp p dp p dxe edx
i idp p dp p dxe p e
dp p dp p p dxe
* *
1/2
ˆ ˆ
12
i px
dp dx x p x i dx x xdx
x dpe p
![Page 67: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/67.jpg)
*1ˆ2
i p p xx dp p dp p p dxe
*
*
ˆ
1 22
p
dp p dp p p p p
dp p dp p p p p
exp 2i d
![Page 68: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/68.jpg)
*p̂ dp p dp p p p p
f x x a dx f a
*p̂ dp p p p
ˆAsí que p p
![Page 69: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/69.jpg)
,
La formula
para la tranformación de un operador de la base
a la base muestra que si el conjunto
es discreto, la representación del operador
en dicha base será una mat
A A
A
riz discreta, aunqueen general infinita, aún cuando en la
representación la representación fuera
continua.
![Page 70: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/70.jpg)
1) Sea el operador de coordenadas .
ˆSabemos que ,
es decir, tiene una representación continua.
2) Supongamos ahora que el sistema con elcual estamos tratando tiene un espectro
A r
r r r r r r
deenergía discreto .
Sea la función de onda de Schrödinger
correspondiente al -esimo estado propio dela energía .
n
n
E
r
nn
![Page 71: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/71.jpg)
* 3 *
3
Ya que los estados propios de las coordenadas están representados por las funciones
, entonces tenemos
yn n
n n
r
r r
n r r r r d r r
r n r r r d r r
![Page 72: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/72.jpg)
* 3 3
* 3
Así que
por lo tanton n
n n
n r n r r r r r d r d r
n r n r r r d r
,
* 3 *
3
ˆ
n n
n n
A A
r r r r r r
n r r r r d r r
r n r r r d r r
![Page 73: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/73.jpg)
* 3
De manera similar
n nn p n r r d ri
,
* 3 *
3
n n
n n
A A
n r r r r d r r
r n r r r d r r
![Page 74: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/74.jpg)
* 3
Ya que todo operador está construidoˆ ˆpor y , tenemos de manera general
en la representación de la energía
n n n n
r p
n n r r d r
,
* 3 *
3
n n
n n
A A
n r r r r d r r
r n r r r d r r
![Page 75: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/75.jpg)
* 3
Ya que todo operador está construidoˆ ˆpor y , tenemos de manera general
en la representación de la energía
.n n n n
r p
n n r r d r
,
* 3 *
3
n n
n n
A A
n r r r r d r r
r n r r r d r r
Esta fórmula establece la equivalencia de la mecánica matricialde Heisenberg con la mecánica ondulatoria de Schrödinger.
![Page 76: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/76.jpg)
22 2
2 22 2
2
2
ˆ 1ˆ ˆ2 2
ˆ
ˆ ˆ
12 2
pH m xmH E
dx x p i dxd m x x E xm dx
x dx
![Page 77: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/77.jpg)
2 22 2
2
1/ 4 2
12 2
1 exp22 !
1 0,1,2,...2
n nn
n
d m x Em dx
m m m xx H xn
E n n
![Page 78: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/78.jpg)
, 1 , 1
, 1 , 1
ˆ 12y
ˆ 12
n m n m
n m n m
n x m m mm
mn p m i m m
1/ 4 21 exp
22 !n nn
m m m xx H xn
![Page 79: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/79.jpg)
, 1 , 1ˆ 12donde
ˆ
n m n m
n m
n x m m mm
n x m x x x dx
1/ 4 21 exp
22 !n nn
m m m xx H xn
![Page 80: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/80.jpg)
, 1 , 1ˆ 12donde
ˆ
n m n m
n m
mn p m i m m
dn p m i x x dxdx
1/ 4 21 exp
22 !n nn
m m m xx H xn
![Page 81: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/81.jpg)
0 1 0 0 0
1 0 2 0 0
0 2 0 3 020 0 3 0 4
x
, 1 , 1ˆ 12 n m n mn x m m mm
![Page 82: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/82.jpg)
0 1 0 0 0
1 0 2 0 0
0 2 0 3 020 0 3 0 4
pi
, 1 , 1ˆ 12 n m n mmn p m i m m
![Page 83: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/83.jpg)
, 1 , 1 , 1 , 1
, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
, 2 , , , 2
,
ˆ ˆ
1 12 2
1 1 1 1 12
1 1 1 1 1 1 12
1 2 12
m
n m n m m l m lm
n m m l n m m l n m m l n m m lm
n l n l n l n l
n l
n x m m p l
mi m m l lm
i m l m l m l m l
i l l l l l l l l
i l l
, 2 , 21n l n ll l
ˆˆxp
![Page 84: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/84.jpg)
, 1 , 1 , 1 , 1
, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
, 2 , , , 2
,
ˆ ˆ
1 12 2
1 1 1 1 12
1 2 1 1 1 12
1 2 12
m
n m n m m l m lm
n m m l n m m l n m m l n m m lm
n l n l n l n l
n l n
n p m m x l
mi m m l lm
i m l m l m l m l
i l l l l l l l l
i l l
, 2 , 21l n ll l
ˆ ˆpx
![Page 85: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/85.jpg)
, , 2 , 2
, , 2 , 2
1ˆ ˆ 2 1 121ˆ ˆ 2 1 12
n l n l n lm
n l n l n lm
n x m m p l i l l l l
n p m m x l i l l l l
,ˆ ˆ, n ln x p l i
![Page 86: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/86.jpg)
1 0 2 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 2 3 01 0 2 0 0 1 0 2 0 0
2 0 1 0 3 40 2 0 3 0 0 2 0 3 0
0 2 3 0 1 00 0 3 0 4 0 0 3 0 4
0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 2 0 0 1 0
0 2 0 3 0
0 0 3 0 4
1 0 2 0 0
2 0 0 0 1 0 2 3 0
0 2 0 3 0 2 0 1 0 3 4
0 0 3 0 4 0 2 3 0 1 0
1 0 2 0 0 11 0 2 0 00 1 0 2 3 0 1
0 1 0 2 3 012 0 1 0 3 4 22 0 1 0 3 4
0 2 3 0 1 00 2 3 0 1 0
0
11
1
22 ii
![Page 87: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/87.jpg)
![Page 88: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/88.jpg)
Si al instante de efectuar una mediciónel vector de estado del sistema es unode los vectores propios del observablemedido entonces el resultado de lamedición será necesariamente unode los correspondientes valores propios.
![Page 89: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/89.jpg)
En el caso general la medición de unobservable físico no da con certeza unvalor definido. Cualquiera de los posibles valorespropios puede ser obtenido, pero condiferentes probabilidades.
![Page 90: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/90.jpg)
El valor esperado del resultado de lamedición de está dado por la expresión
,,
En el caso general la medición de un observable físico no dacon certeza un valor definido. Cualquiera de los posibles valorespropios puede ser obtenido, pero con diferentes probabilidades.
![Page 91: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/91.jpg)
,,
1) El valor esperado no es un operador.
2) El valor esperado es un número real, ya queˆel operador es un operador hermitiano.
3) El valor esperado no tiene porque coincidircon alguno de los valores pr
opios.
![Page 92: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/92.jpg)
Si el sistema está en el estado propio ,entonces
, , ,, , ,
y
i i i i i i ii i
i i i i i i
i
i
,,
![Page 93: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/93.jpg)
,,
*
,*
,
2* *
, ,* * 2
, ,
,,
,,
,
,
i k i ki i k ki ki k
i k i ki i k k i k
i k
i k k i k i k k ik i ii k i k i
i k i k i k ik ii k i k i
c cc c
c cc c
c c c c c
c c c c c
![Page 94: Martes 6 de marzo de 2012](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062501/56816618550346895dd968eb/html5/thumbnails/94.jpg)
2
2
i ii
ii
c
c
222
Por lo tanto,
,i i i iw c