UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI - UFPICENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA - CCNDEPARTAMENTO DE MATEMATICA - DMDISCIPLINA: EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIA- ENG. CIVILPROF.: JOEL RABELONome:

LISTA DE EXERCICIOS

1. Resolva as equacoes diferenciais abaixo:

a)dy

dx=xy + 2y x 2xy 3y + x 3;

b) y2

1 x2dy = arcsinxdx, y(0) = 1;c)

dy

dx= (sin 2x+ cos 3x) sin

y;

d) yexy + 4y3 + (xexy + 12xy2 2y)y = 0, y(0) = 2.2. (funcao Harmonica) Uma funcao f e dita harmonica se esta e duas vezes continua-

mente diferenciavel e tem laplaciano nulo isto e f = 0, quais das funcoes abaixosao hormonicas?

a) u : R3 {0} R, u(x) = 1|x| ;

b) f : R2 R, f e homogenea;

c) h : R2 R, h(x, y) = y2x2

etdt

3. Quanto vale2z

u2+2z

v2, se

2z

x2+2z

y2= 0, onde z = z(x, y), x = eu cos v e y = eu sin v.

4. A funcao

f(x) =

n=0

xn

n!

e solucao para a equacao diferencial f (x) f(x) = 0, isso e veradade? Justifique.5. Uma formiga move-se ao longo da elipse x2 + 4y2 = 1. A abscissa x esta variando a

uma velocidadedx

dt= sin 4t. Mostre que

dy

dt=x sin 4t

4y

1

6. Mostre que se e sao constantes positivas e se b e um numero real qualquer, entaotoda solucao de

y + y = bet

tem a propriedade que y 0 quando t. y = y(t).

7. Na equacao M(x, y) +N(x, y)y = 0, seM

x=N

yeM

y=Nx

. Calcule o fator

integrante.

8. A curvatura de no ponto P da curva e definido como

def=

dds

onde e o angulo de inclinacao da reta tangente em P, como mostrado na figura, e s eo comprimento de arco. Entao, a curvatura e o valor absoluto da taxa de mudanca de em relacao ao comprimento de arco. Esta pode ser considerada como uma medidada taxa de mudanca de direcao em P. Mostre que:

a) Para a curva parametrizada x = x(t), y = y(t),

=|xy yx|

(x2 + y2)32

obs: os pontos representam as derivadas.

b) Considreando y = f(x) como uma curva parametrizada x = x, y = f(x), com

parametro x, a expressao acima se torna =d2y/dx2

[1 + (dy/dx)2]32

9. Mostre que a funcao f(x, y) = ln(ex + ey) e solucao da equacao diferencial

f

x+f

y= 1

2

.10. Mostre que y(x) = xr, onde r e solucao de r2 + (b 1)r + c = 0 e solucao para aequacao x2y + bxy + cy = 0.

11. Mostre que se y1(t) e y2(t) sao solucoes para

dy

dt+ p(t)y = 0

entao y(t) = y1(t) + y2(t), com e constantes reais, tambem o e.

12. Resolva as equacoes diferenciais unsando o metodo adequado:

a) y y cos t = tet2+sin t;b) y

3t2y = et3+t;

c)dy

dx=y 3xx

;

d)dy

dx+x2 + 5y =

x2x2 + 7

;

e) y +x2 + 9

x2y = x2

x2 + 4.

13. Um homem inicialmente parado em um ponto O anda ao longo de um per puxandouma canoa por uma corda de comprimento l. O homem mantem a corda reta eesticada. O caminho percorrido pela canoa e uma curva chamada tractriz, esta tema propriedade de que a corda e sempre tangente a curva. Mostre que se o caminhopercorrido pela canoa e o grafico da funcao y = f(x), entao

dy

dx=l2 x2

x2

14. Em um pedaco de madeira e encontrado1

500da quantidade original de carbono 14.

Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 e de 5600 anos, ou seja,que em 5600 anosmetade do carbono 14 presente transformou-se em carbono 12. Determine a idadedeste pedaco de madeira.

15. O leite esta a 80o C, 10 minutos depois passa para 60o C, em uma cozinha a 30o C.Determine a temperatura do leite em funcao do tempo e o tempo que o leite levapara chegar a 50o C.

16. A populacao de bacterias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao numerode bacterias no instante t. Apos tres horas, observou-se a existencia de 400 bacterias.Apos 9 horas, 2500 bacterias. Inicialmente havia quantas bacterias?

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17. A taxa com que uma gota esferica se evapora e proporcional a sua area. Determineo raio da gota en funcao do tempo, supondo que no instante t = 0 seu raio e r0 umahora depois seu raio seja a metade.

18. Determine a funcao y = f(x), x > 0, tal que f(1) = 2 e goza da propriedade: a areado triangulo de vertices (0, 0), (x, y) e (0,m), m > 0 e igual a 1, para todo (x, y) nografico de f , onde (0,m) e a intersecao da reta tangente em (x, y) com o eixo y

19. Seja c um numero real positivo. A equacao diferencial

dy

dt= ky1+c

e chamada de equacao do juzo final.

a) Qual a solucao que satisfaz a condicao inicial y(0) = y0?

b) Mostre que existe um tempo finito t = T (juzo final) tal que, limtT

y(t) =

20. Seja f uma funcao com a seguinte propriedade, f(0) = f (0) = 1 e f(a+b) = f(a)f(b),para todo a, b R. Mostre que f(x) = f (x), da deduza que f(x) = ex.

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