Edo carrillo diaz

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias[Notas de Clase]

Luis Enrique Carrillo Diaz

Ciclo 2013-I

Luis Enrique Carrillo Dıaz

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

UNMSM

Indice general

1. Introduccion 11.1. Aspectos historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Metodo de Picard 132.1. Aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Existencia de soluciones 233.1. Metodo de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Unicidad de soluciones 354.1. Teoremas de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Inecuaciones diferenciales 455.1. Resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2. Soluciones maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6. Dependencia continua 53

7. Sistemas de ecuaciones diferenciales 617.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8. Teorıa cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias 738.1. Sistemas autonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.1.1. Primer caso: λ1, λ2 ∈ R; λ1 6= λ2; con igual signo . . . . 818.1.2. λ1 y λ2 son reales y de signos opuestos. . . . . . . . . . . 838.1.3. λ1 = λ2 = λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1.4. λ1, λ2 son complejos conjugados . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2. Como dibujar un mapa de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9. Nociones de estabilidad 99

Alumnos con Practica N 1

1. Abad Rojas, Bruce Anderson

2. Arakawa Yagi, Patricia

3. Bartolo Auccatoma, Richard

4. Chavez Lago, Victor Rolando

5. Huayhuas Chipana, Fidel Eduardo

6. Medrano Carrasco, Aracelli Alejandra

7. Mendoza Llanca, Nilton Anibal

8. Ramirez Galindo, Jhonny

9. Ramos Castillo, Ricardo Jesus [Felici-taciones por su Practica N 1]

10. Rayo Acuna, Carla Patricia

11. Rodriguez Valerio, Piere Alexander[Felicitaciones por su excelente Practi-ca N 1]

12. Rojas Mendoza, Erik Antonio [Felici-taciones por su Practica N 1]

13. Torres Castillo, Victor Antonio

14. Vargas Ormeno, Mariana Milagros

15. Yepez Veli, Miguel Angel

Prefacio

Las ecuaciones algebraicas tienen soluciones numericas; sin embargo lasecuaciones algebraicas no son las unicas que nos permiten describir una seriede fenomenos del mundo real, los cuales son modelados por otros tipos deecuaciones, como las ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones son funciones.Ası por ejemplo, en el contexto de la mecanica clasica, el movimiento de unapartıcula que se desplaza en lınea recta con velocidad constante de 3 cm/sesta gobernado por la ecuacion

e′ − 3 = 0 (1)

donde e = e(t) representa el espacio recorrido en el tiempo t en segundos; ′ ≡ d

dt

A estas ecuaciones que describen fenomenos del mundo real, en la terminologıamoderna se las denomina modelos matematicos. Vemos que la ecuacion (1) essatisfecha por la funcion lineal e = 3t, ya que e′ = 3, es decir e′ − 3 = 0. Enotras palabras estamos observando que la solucion de este sistema mecanicoesta dada por la funcion e = 3t cuya grafica se muestra a continuacion

1

3

e = 3t

Sin embargo basta una simple observacion para darse cuenta que esta funcionno es la unica que satisface la ecuacion (1), ya que tambien satisfacen talecuacion las funciones e = 3t+ 1, e = 3t+ 3, y en general e = 3t+ k, donde kes una constante arbitraria; con lo cual de paso se verifica que existe

una cantidad infinita de soluciones para la ecuacion (1); este conjunto infinitode soluciones es la familia de rectas con pendiente igual a 3. A este haz derectas lo llamaremos a grosso modo una solucion general de la ecuacion (1).En el grafico que mostramos a continujacion aparece esta familia de rectas.

1

3

e = 3te = 3t + 1

e = 3t + k

Pero quizas algun lector que por primera vez lee estos temas este pensandoque solo las familias de rectas son soluciones de las ecuaciones diferenciales;pero felizmente no es tan limitado este tema, ya que al preguntarnos cual es lafuncion cuya derivada reproduce la misma funcion, inmediatamente surge ennuestra mente la funcion u(t) = et, pues en efecto u′(t) = et o equivalentemente

u′(t)− u(t) = 0 (2)

es decir esta ecuacion diferencial tiene por solucion la funcion exponencial realu(t) = et, y de manera analoga al caso anterior se tiene que tambien sonsoluciones las funciones u(t) = et + k donde k es una constante arbitraria.

Otro hecho que le da mucho interes a este tema es que no siempre lasecuaciones diferenciales tienen soluciones tan evidentes como las de que hemosmostrado, y por regla general son mas complicadas y sus soluciones no son taninmediatas; asi la ecuacion diferencial

u′′(t) + 2u′(t) + 2u(t) = 0 (3)

que involucra la funcion incognita u(t) ası como la primera y segunda deri-vadas de esta funcion, tiene a las funciones e−t cos t ; e−t sen t ası como a suscombinaciones lineales, es decir a Ae−t cos t+Be−t sen t con A y B constantesarbitrarias, como sus soluciones. Obviamente que en este caso las soluciones

no son evidentes.

Cuando se estudian las Ecuaciones Diferenciales a un nivel introductoriose podria decir que estudiamos las Ecuaciones Diferenciales para desarrollarmetodos con la finalidad inmediata de encontrar soluciones de las mismas. Sinembargo la necesidad de hacer un estudio sistematico sobre los aspectos cua-litativos y cuantitativos de los sistemas dados por ecuaciones diferenciales seacrecienta dia a dıa; ası en el contexto actual de vertiginoso desarrollo cientıfi-co y tecnologico, el estudio de las ecuaciones diferenciales ha adquirido unainusitada importancia. Una de las razones de esta moda es que las ecuacionesdiferenciales se originan de modo natural como modelos de diversas areas delas ciencias, economıa, ingenierıa, biologıa, y muchas otras ramas del conoci-miento humano, es decir las ecuaciones diferenciales se han constituıdo en unapoderosa herramienta para modelar diversos sistemas del mundo real, sobretodo de aquellos sistemas llamados de evolucion, es decir de aquellos que des-criben cambios en funcion del tiempo.

En los ejemplos que hemos visto observamos que existen una infinidadde soluciones para una determinada ecuacion diferencial, sin embargo en lossistemas que modelan fenomenos del mundo real esto no ocurre, y en talescasos el interes se focaliza en obtener de esa infinitud de soluciones una unicasolucion que satisfaga determinadas condiciones, (unicidad de soluciones), quees lo que constituye un Problema de Valor Inicial (PVI) o de Problema Cauchy.En palabras simples, si consideramos a los elementos de la solucion generalcomo trayectorias, lo dicho significa, en terminos geometricos, que en muchasoportunidades es muy importante conocer la trayectoria especıfica de la curvasolucion que pasa por el punto (t0, u0) donde u0 es el estado del sistema en eltiempo t0; esta situacion esta ilustrada en la siguiente figura

En una gran variedad de problemas de aplicacion nos encontraremos conexpresiones de la forma

u′ = f(t, u) (4)

donde u = u(t) donde t es la variable que representa al tiempo. Pero, ası comovimos que la ecuacion (1) representa la pendiente de la recta, en forma analogacabe preguntarse que es lo que significa geometricamente la ecuacion (4).Se observa que en cada punto (t, u) del plano tu, f(t, u) representa la pendiente

u′ de la curva solucion u = u(t) que pasa por el punto (t, u), ya que

u′(t) = f(t, u(t))

Este hecho nos sugiere la forma de construir curvas aproximadas a la cur-va solucion de una ecuacion diferencial; ası a traves de cada punto (t, u) deuna region rectangular del plano tu, trazamos un pequeno segmento de rectade pendiente f(t, u(t)), la coleccion de todas estas mini tangentes es lo queconstituye un campo de direcciones que permiten aproximar graficamente unacurva solucion. Obviamente que ir aproximando directamente la curva usandoel campo de direcciones resulta altamente laborioso y de una gran demandade tiempo, pero afortunadamente existen programas que permiten efectuar talaproximacion en forma muy rapida y con margenes de error muy pequenos.En el siguiente grafico1 mostramos un campo de direcciones y varias curvassolucion de la ecuacion (4) que han sido ajustadas al campo de direcciones.

Se debe observar directamente que un problema de ecuaciones diferencia-les es opuesto a un problema de calculo diferencial, ya que en el problema decalculo se conoce la curva solucion y lo que se busca es encontrar la pendientea dicha curva, en cambio en el problema de ecuacion diferencial conocemos lapendiente y buscamos encontrar las curvas que tengan dicha pendiente.En el contenido de estas Notas de Clases, tambien incluimos las ecuacionesautonomas2 u′ = f(u) cuya simplicidad se manifiesta en su campo de pendien-tes, el cual resulta independiente del tiempo t, y sobre cada recta horizontaldel plano tu, donde u tiene el mismo valor, el campo de pendientes es el mismo.Ası por ejemplo la ecuacion diferencial

u′ = 3u(5− u)

1Este grafico aparece en Logan [7]2Ecuaciones autonomas: ecuaciones que no dependen del tiempo en el segundo miem-

bro

es autonoma, y a lo largo de la recta u = 2 el campo pendiente tiene valor 18,lo cual significa que las curvas solucion cortan la recta u = 2 con una pendienterelativamente pronunciada igual a u′ = 18

Finalizo este prefacio haciendo una observacion: Estas Notas de Clase sehacen a modo de un resumen compilatorio, tomando como base para el desa-rrollo de la estructura didactica, algunos textos de la bibliografıa; no es mipretension ser el autor primigenio de lo que figura en estos apuntes de clase.Es muy probable que este material sea utilizado por el suscrito, en un futuromediato, como base para un Texto de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, cu-yo aporte principal quizas sea la presentacion de un enfoque especial, basado enlos requerimientos del Curso de EDO de la Facultad de Ciencias Matematicasde la Universidad de San Marcos. Agradezco a los alumnos y colegas que estanhaciendo correcciones y crıticas, contribuyendo con ello a minimizar los erroresque de seguro existen, ası como a mejorar la presentacion y el contenido.

Dr. Luis Carrillo Dıaz

Capıtulo 1

Introduccion

En ciencias, ingenierıa, economıa y en muchas otras areas que poseen uncomponente cuantitativo existe un interes muy fuerte en describir la formacomo evolucionan los sistemas, es decir en describir la dinamica de tales sis-temas. En el caso unidimensional el estado de un sistema en cualquier tiem-po t es denotado por una funcion, la cual es frecuentemente denotada poru = u(t). Pensemos en la variable dependiente u como el estado de un sistemaque esta variando con el tiempo t, el cual es la variable independiente. Portanto conocer u es equivalente a conocer el estado de un sistema en el tiempot. Por ejemplo si u(t) representara la poblacion de una especie animal en unecosistema, la concentracion de una sustancia quımica en la sangre o el nume-ro de individuos infectados en una epidemia de gripe, el conocimiento de u(t)nos dirıa exactamente la forma en que cambia el estado de tal sistema con eltranscurrir del tiempo. La siguiente figura muestra una serie de tiempo de unafuncion de estado generica.

u = u(t)

t

u

tiempo

estado

Serie de tiempo de una función de estado genérica u = u(t) paraun sistema

Una manera de obtener el estado u(t) para un sistema dado es tomar medi-ciones en diferentes momentos y ajustar los datos para obtener una formulamanejable para u(t). Se podrıa tambien leer dichos datos o mediciones de un

1

2 Luis Carrillo Dıaz

osciloscopio o de algun otro indicador, obteniendo por ajuste de datos muchascurvas; sin embargo dichas curvas solo nos pueden indicar el comportamien-to de dicho sistema en el tiempo, pero no nos indican el porque un sistemase comporta de la manera en que lo estamos observando. En resumen lo quetratamos de encontrar son modelos explicativos que permitan comprender elcomportamiento de la solucion buscada.

1.1. Aspectos historicos

Por lo general se piensa que el calculo clasico aparecio con Newton y Leib-nitz, sin embargo es conocido historicamente que uno de los principales pro-blemas que mantuvo ocupados a los cientıficos de antano fue el movimiento delos planetas; ası la prediccion del momento exacto en que ocurrirıa un eclipselunar era motivo de prestigio y oportunidad para que los astronomos de la epo-ca puedan mostrar sus habilidades. El antecedente mas lejano lo encontramosen Bhaskara II (486 d.c), quien concibio la diferenciacion de la funcion sen t,y ademas tomo conocimento indirectamente de que una variable alcanzaba suvalor maximo en el punto donde la diferencial se anula. Con tales antecedenteses natural imaginar que las raıces del Teorema del valor medio tambien fueranconocidas por el. Posteriormente Madhava (1340-1429 d.c) desarrollo el pasoal lımite infinito, el cual es el nucleo del analisis moderno clasico. Por lo tanto,es probable que el inicio del calculo diferencial se remonte a por lo menos 12centurias antes del espectacular descubrimiento de Newton-Leibnitz.

1.2. Resultados basicos

Cada vez que se plantea resolver una ecuacion diferencial, por lo general sesupone que existe la solucion a dicha ecuacion; sin embargo la teorıa de exis-tencia y unicidad de soluciones es muy compleja y delicada. En la actualidadse ha incrementado el estudio de la no existencia de soluciones o del Blow-upo explosion de las mismas, ya que una gran cantidad de modelos matematicostienen soluciones cuyo comportamiento tiene que ver con tales conceptos.A lo largo del desarrollo de nuestro Curso estaremos interesados tanto en laexistencia de soluciones, es decir en probar que los sistemas involucrados po-sean al menos una solucion; ası como que bajo determinadas circunstancias lasolucion resulte unica. En resumen daremos respuesta concreta al problema deexistencia y unicidad de soluciones para el problema de valor inicial (PVI)

y′ = f(x, y)y(x0) = y0

(1.1)

donde f(x, y) es considerada una funcion continua sobre un dominio D (esdecir D un abierto y conexo del plano xy) que contiene a (x0, y0)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3

Definicion 1.1. [Concepto de solucion] Una solucion del PVI (1.1)en un intervalo J que contiene a x0 es una funcion y(x) que satisface

i) y′(x) existe para todo x ∈ J

ii) Para todo x ∈ J el punto (x, y(x)) ∈ D

iii) y′(x) = f(x, y(x)) para todo x ∈ J

iv) y(x0) = y0

Si la solucion es valida en un intervalo I ( J entonces se dice que la solu-cion es local, y si es valida en todo J se dice que la solucion es global.

Se probara mas adelante que para garantizar la existencia de al menos unasolucion (local) del PVI (1.1) es suficiente que la funcion f(x, y) sea continuaen una vecindad suficientemente pequena del punto (x0, y0).

Observacion 1.2. Cuando en el PVI (1.1) la funcion f(x, y) no es contınuaen el dominio D que contiene a (x0, y0), la naturaleza de las soluciones esimpredecible; ası puede ocurrir que el PVI no tenga solucion o que existaninfinitas soluciones.

Ilustraremos acerca de la naturaleza de algunas soluciones del PVI (1.1).

Ejemplo 1.3. Para la ecuacion diferencial

y′ = y2 (1.2)

se tiene que cualquier solucion no nula es de la forma

y(x) = −[x + c]−1

con c ∈ R; ademas y(x) = 0 para todo x ∈ R tambien es solucion. Observamosque a pesar de que f(x, y) = y2 es una funcion continua en R2 no existensoluciones globales no nulas; pues las soluciones no nulas existen para x 6= ccon c ∈ R, como se ve en la grafica que aparece a continuacion.

X

Y

x = cc <0

X

Y

x = cc >0


Tambien observamos que por cada punto (0, y0) pasa una unica solucionde y′ = y2. Ademas f(x, y) = y2 satisface |f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2| enR2.(localmente)(!Probarlo!).

Ejemplo 1.4. Sea f : R2 → R una funcion definida por f(t, x) = 3x2/3. Parael problema de valor inicial

x′ = f(t, x), x(0) = x0, x0 ∈ R (1.3)

integrando la ecuacion diferencial se tiene que su solucion general es dada porx(t) = (t+ c)3, donde c es una constante. Esto nos indica que por cada punto(0, x0) pasan infinitas curvas que son las graficas de las soluciones del PVI (1.3).

Cuando x0 = 0, la funcion

ϕ(t) =

(t− b)3 , t > b0 , a ≤ t ≤ b(t− a)3 , t < a

con a, b ∈ R, es solucion de x′ = 3x2/3; x(0) = 0 para a ≤ 0 ≤ b, como semuestra en el grafico siguiente

Para x0 > 0, la funcion ψ(t) definida como

ψ(t) =

(t+ (x0)1/3)3 , t ≥ −(x0)

1/3

0 , a ≤ t < −(x0)1/3

(t− a)3 , t < a

es solucion del PVI x′ = 3x2/3, x(0) = x0, con x0 > 0, como se muestra enla siguiente figura


Ejercicio. Discutir el caso x0 < 0.

Observar que en este caso si existe solucion global, es decir existe solucionen todo el intervalo real R, pero no existe unicidad globalmente. Sin embargodependiendo de la posicion de x0 puede existir unicidad; ası observando losgraficos vemos que si x0 6= 0 entonces existe una vecindad de t0 = 0 tal quepor el punto (0, x0) pasa una unica solucion de x′ = 3x2/3, pero si x0 = 0 pormas pequena que se considere la vencidad de t0 = 0 siempre por (0, 0) pasaraninfinitas soluciones del PVI: x′ = 3x2/3; x(0) = x0.

A continuacion daremos algunos resultados que seran usados para probarla existencia y unicidad de soluciones del PVI (1.1).

Proposicion 1.5. Sea f(x, y) continua en un dominio D, entonces cual-quier solucion de (1.1) es una solucion de

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t))dt (1.4)

y recıprocamente.

Prueba. Cualquier solucion y(x) de la ecuacion diferencial y′ = f(x, y) laconvierte en una identidad en x, es decir

y′(x) = f(x, y(x))

integrando esta igualdad desde x0 hasta x obtenemos

y(x)− y(x0) =

∫ x

x0

f(t, y(t)dt.

Recıprocamente, si y(x) es cualquier solucion de (1.4), entonces y(x0) = y0,y como f(x, y) es continua, entonces al diferenciar (1.4) encontramos que


y′(x) = f(x, y(x))

Observamos entonces que la continuidad de f(x, y) es suficiente para ga-rantizar la existencia de solucion para el problema de valor inicial (1.1) pues deese modo se garantiza la existencia de la integral en (1.4); pero esto no bastapara garantizar la unicidad de la solucion; ası vemos que f(x, y) = y2/3 es unafuncion contınua en el plano xy, sin embargo el problema

y′ = y2/3; y(0) = 0 (1.5)

posee por lo menos dos soluciones: y(x) = 0 y y(x) = x3/27.

Ası tambien el problema de valor inicial

y′ =2

x(y − 1); y(0) = 0 (1.6)

no tiene solucion. Sin embargo el problema

y′ =2

x(y − 1); y(0) = 1 (1.7)

tiene infinitas soluciones las cuales son dadas por y(x) = 1 + cx2, donde c esuna constante arbitraria.

De los ejemplos vistos se intuye que para asegurar la unicidad debemos deexigir alguna condicion adicional a la funcion f(x, y). Comenzaremos exigiendouna condicion de acotacion sobre la variable y. Esta condicion dice que f(x, y)debe satisfacer

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2| (1.8)

para todos (x, y1) , (x, y2) pertenecientes al dominio D.

Definicion 1.6. Se dice que una funcion f(x, y) satisface la condicionde Lipschitz uniformenente sobre cualquier dominio D si satisface (1.8)para cada par de puntos (x, y1) , (x, y2) con el mismo x. La constanteno-negativa L es conocida como constante de Lipschitz.

Vimos que el problema (1.5) no tiene solucion unica, ademas la funciony2/3 no cumple con la definicion de ser una funcion Lipschitz uniformementesobre cualquier dominio que contenga a x = 0 ya que

|f(0, y1)− f(0, y2)| = |y2/31 − y2/32 | = |y1/31 + y

1/32 ||y1/31 − y

1/32 |


mientras que la funcion f(x, y) = x−y satisface la condicion de Lipschitz sobreD = R2 con L = 1

Observamos que si se cumple la desigualdad (1.8) entonces f(x, y) es con-tinua respecto a y en D, sin embargo no es necesariamente diferenciable conrespecto a y, ası por ejemplo la funcion f(x, y) = |y| no es diferenciable en R2

pero satisface (1.8) con L = 1. La diferenciabilidad juega un rol muy impor-tante en este contexto, ya que como veremos a continuacion, si la funcion esdiferenciable entonces esto facilitara el calculo de la constante de Lipschitz.

Teorema 1.7. Sean D un dominio convexo y f(x, y) una funcion diferen-ciable con respecto a y en D. La condicion de Lipschitz (1.8) es satisfechasi y solamente si

supD

|∂f(x, y)∂y

| ≤ L (1.9)

Prueba. Como f(x, y) es diferenciable con respecto a y, siendo el dominio Dconvexo, el teorema del valor medio garantiza que para (x, y1) , (x, y2) en Dexiste y∗ entre y1 y y2 tal que

f(x, y1)− f(x, y2) =∂f(x, y∗)

∂y(y1 − y2) (1.10)

luego por (1.9) la desigualdad (1.8) es inmediata. Recıprocamente, si la de-sigualdad (1.8) se verifica entonces

|∂f(x, y1)∂y1

| = lımy2→y1

|f(x, y1)− f(x, y2)

y2 − y1| ≤ L (1.11)

Para probar teoremas de existencia y unicidad se usan algunos resultadosconocidos como desigualdaes integrales tipo Gronwall como la que que veremosa continuacion, que es una variante del Lema de Gronwall.

Teorema 1.8. Sean u(x), p(x) y q(x) funciones continuas no negativassobre el intervalo |x− x0| ≤ a con

u(x) ≤ p(x) +

∫ x

x0

q(t)u(t)dt; |x− x0| ≤ a (1.12)

entonces se cumple

u(x) ≤ p(x) +

∫ x

x0

p(t)q(t)exp(

∫ s

t

q(s)ds)dt; |x− x0| ≤ a (1.13)


Prueba. Haremos la prueba de (1.13) para el intervalo x0 ≤ x ≤ x0 + a, parala otra parte del intervalo se procedera de manera analoga.

Sea

r(x) =

∫ x

x0

q(t)u(t)dt (1.14)

por tanto r(x0) = 0 y r′(x) = q(x)u(x). Substituyendo r(x) en (1.12) setiene

u(x) ≤ p(x) + r(x)

entonces

r′(x) ≤ p(x)q(x) + q(x)r(x)

Haciendo

F (x) = r(x)exp(−∫ x

x0

q(s)ds)

tenemos

F ′(x) = −q(x)exp(−∫ x

x0

q(s)ds)r(x) + exp(−∫ x

x0

q(s)ds)r′(x)

luego

F ′(x) ≤ exp(−∫ x

x0

q(s)ds)r′(x)

y como r′(x) ≤ p(x)q(x) + q(x)r(x) es decir

F ′(x) ≤ exp(−∫ x

x0

q(s)ds)[p(x)q(x) + q(x)r(x)]

integrando la desigualdad anterior se tiene que

F (x) ≤∫ x

x0

p(t)q(t)dtexp(−∫ x

x0

q(s)ds)dt

finalmente de la definicion de F (x) tenemos

r(x) ≤∫ x

x0

p(t)q(t)dtexp(−∫ x

x0

q(s)ds)dt

y como u(x) ≤ p(x) + r(x) se sigue el resultado.

Corolario 1.9. Si en el Teorema (1.8) la funcion p(x) ≡ 0 entonces u(x) ≡ 0


Corolario 1.10. Si en el Teorema (1.8) la funcion p(x) es no decrecienteen el intervalo [x0, x0+a], y no creciente en el intervalo [x0−a, x0] entonces

u(x) ≤ p(x)exp(

∫ x

x0

q(t)dt) para |x− x0| ≤ a (1.15)

Prueba. La prueba de (1.15) se hara considerando el intervalo x0 ≤ x ≤ x0+a,procediendose luego de manera analoga para el intervalo x0−a ≤ x ≤ x0. Comop(x) es no decreciente, de (1.13) se tiene que

u(x) ≤ p(x)[1 +

∫ x

x0

q(t)exp(

∫ x

t

q(s)ds)dt]

= p(x)[1−∫

x0

d

dtexp( tsq(s)ds)dt]

= p(x)exp[

∫ x

x0

q(t)dt]

Corolario 1.11. Si en el Teorema (1.8) se tiene p(x) = c0 + c1|x− x0| yq(x) = c2, donde c0, c1 y c2 son constantes no negativas entonces

u(x) ≤ (c0 +c1c2)exp(c2|x− x0|)−

c1c2

(1.16)

Prueba. Para las funciones especıficas p(x) y q(x) la desigualdad (1.13) sobreel intervalo [x0, x0 + a] se reduce a

u(x) ≤ c0 + c1(x− x0) +

∫ x

x0

[c0 + c1(t− x0)]c2ec2(x−t)dt

= c0 + c1(x− x0) + −[c0 + c1(t− x0)ec2(x−t)|xx0

− c1c2ec2(x−t)|xx0

= c0 + c1(x− x0)− c0 − c1(x− x0) + c0ec2(x−x0) − c1

c2+c1c2ec2(x−x0)

= (c0 +c1c2)exp(c2(x− x0))−

c1c2

Comentario 1.12. En este capıtulo solo hemos mostrado algunas desigualda-des integrales tipo Gronwall; existen muchas otras desigualdades de este tipo.Al respecto puede verse un tratamiento mas especıfico en Lakshmikantham yLeela [6].


Comentamos al inicio de este capıtulo que en la actualidad se han incre-mentado las investigaciones acerca de la No-existencia de soluciones para de-terminados sistemas. Algunos metodos para no-existencia de soluciones hacenuso de inecuaciones diferenciales como por ejemplo el metodo de Kaplan ba-sado en el primer coeficiente de Fourier, llamado por tal motivo el metodo delprimer autovalor del problema de Dirichlet. Claramente estos temas escapana los objetivos de este curso; y se trataran extracurricularmente como topicosespeciales, incluyendose en los apendices de estas notas de clase.


Practica N 1

1. Muestre que el PVI

y′′ = f(x, y); y(x0) = y0; y′(x0) = y1 (1.17)

donde f(x, y) es una funcion continua en un dominio D que contiene alpunto (x0, y0) es equivalente a la ecuacion integral

y(x) = y0 + (x− x0)y1 +

∫ x

x0

(x− t)f(y, y(t))dt (1.18)

2. Encontrar el dominio en el cual las siguientes funciones f(x, y) satisfacenla condicion de Lipschitz (1.8):

(i) |xy| (ii) x2y2 + xy + 1 (iii) x2 cos2 y + y sin2 x.

3. Calculando las constantes de Lipschitz apropiadas, muestre que las si-guientes funciones satisfacen la condicion de Lipschitz en los dominiosdados:

(i) x sin y + y cosx; |x| ≤ a; |y| ≤ b(ii) x2ex+y; |x| ≤ a; |y| ≤ b

4. Sea u(x) una funcion no-negativa en el intervalo |x−x0| ≤ a, C > 0 unaconstante dada y

u(x) ≤∫ x

x0

Cuα(t)dt; 0 < α < 1.

Pruebe que para todo x en el intervalo |x− x0| ≤ a se tiene que

u(x) ≤ [C(1− α)|x− x0|](1−α)−1

5. Sean c0 y c1 constantes no-negativas, y u(x) y q(x) funciones continuasno-negativas para todo x ≥ 0 que satisfacen

u(x) ≤ c0 + c1

∫ x

0

q(t)u2(t)dt.

.

Probar que para todo x ≥ 0 para el cual se cumple c0c1∫ x

0q(t)dt < 1,

u(x) ≤ c0[1− c0c1

∫ x

0

q(t)dt]−1

Capıtulo 2

Metodo de Picard

E. Picard

Actualmente con el advenimiento de la informaticaes muy recurrente obtener soluciones por aproxima-cion numerica, maxime si para muchas ecuacionesdiferenciales no es posible obtener soluciones exac-tas mediante formulas analıticas o como se dice enla jerga matematica, existen muchas soluciones a lascuales no se les puede ver la cara explıcitamente. Enla antiguedad se uso el argumento de aproximacionpara construir soluciones y probar la existencia delas mismas en un entorno local.

2.1. Aproximaciones sucesivas

Usaremos el metodo de aproximaciones sucesivas debido al matematicofrances Emilie Picard, el cual es basado en el metodo clasico del punto fijopara aproximar soluciones de ecuaciones algebraicas no lineales. Nosotros usa-remos este metodo para resolver la ecuacion integral (1.4), lo cual equivale,por la proposicion (1.5), a obtener la solucion del problema original (1.1). Laiteracion de Picard comienza con la suposicion de una primera aproximacion ala solucion buscada y luego se calculan sucesivamente mejores aproximacionespor un procedimiento iterativo o recursivo; como resultado de tal procedimien-to se obtiene un conjunto de formulas analıticas recursivas que aproximan lasolucion.

Con la intencion de resolver la ecuacion integral (1.4) usando el metodoiterativo de Picard consideremos y0(x) como una funcion contınua cualquiera,por comodidad de notacion llamaremos a y0(x) ≡ y0. Supongamos que y0 sea laaproximacion inicial a dicha ecuacion integral, por lo tanto definimos a partirde y0(x) la siguiente aproximacion

y1(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y0(t))dt

13


Ahora aprovechamos esta y1(x) para nuestra siguiente aproximacion y sus-tituimos este valor para y(x) en el segundo miembro de (1.4) y lo llamamosy2(x); repitiendo este proceso obtenemos lam+1-esima aproximacion ym+1(x),la cual es obtenida de ym(x) por medio de

ym+1(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, ym(t))dt; para m = 0, 1, 2, . . . (2.1)

Si la sucesion (ym(x)) converge uniformemente a una funcion continua y(x)sobre algun intervalo J que contenga a x0, y si para todos los x ∈ J los puntos(x, ym(x)) ∈ D, entonces por el resultado citado al pie de pagina1, podemosconsiderar el lımite en ambos miembros de (2.1) y obtener

y(x) = lımx→∞

ym+1(x) = y0 + lımx→∞

∫ x

x0

f(t, ym(t))dt = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t))dy

por tanto y(x) es la solucion buscada.

Ejemplo 2.1. Como el problema de valor inicial

y′ = −yy(0) = 1

(2.2)

es equivalente a la ecuacion integral

y(x) = 1−∫ x

0

y(t)dt (2.3)

Construyendo las aproximaciones sucesivas consideramos

y0(x) = 1, luego obtenemos

y1(x) = 1−∫ x

0

1dt = 1− x

y2(x) = 1−∫ x

0

(1− t)dt = 1− x+x2

2!

. . .

1Teorema. Sea (ym(x)) una sucesion convergiendo uniformemente a y(x) en [α, β],y sea f(x, y) una funcion continua en el dominio D tal que para todo m y x en [α, β]los puntos (x, ym(x)) pertenecen a D. Entonces

lımm→∞

∫ β

αf(t, ym(t))dt =

∫ β

αlım

m→∞f(t, ym(t))dt =

∫ β

αf(t, y(t))dt


ym(x) =

m∑

i=0

(−1)ixi

i!

Tomando lımite tenemos

lımm→∞

ym(x) = e−x

en consecuencia la funcion y(x) = e−x es solucion del problema de valor inicial(2.2) sobre el intervalo J = R.

Ejemplo 2.2. Consideremos el problema de valor inicial

u′ = 2t(1 + u); u(0) = 0 (2.4)

El esquema iterativo es dado por

uk+1(t) =

∫ t

0

2s(1 + uk(s))ds; k = 0, 1, 2, . . .

Tomamos u0 = 0 luego

u1(t) =

∫ t

0

2s(1 + 0)ds = t2,

u2(t) =

∫ t

0

2s(1 + u1(s))ds =

∫ t

0

2s(1 + s2)ds = t2 +1

2t4,

u3(t) =

∫ t

0

2s(1 + u2(s))ds =

∫ t

0

2s(1 + s2 +1

2

4

)ds = t2 +1

2t4 +

1

6t6.

De esta forma se genera una sucesion de aproximaciones al problema de valorinicial (2.4). Se puede verificar que la solucion analıtica para este problema esu(t) = et

2 − 1. El desarrollo en serie de Taylor de esta funcion es dado por

u(t) = et2 − 1 = t2 +

1

2t4 +

1

6t6 + · · ·+ 1

n!t2n + . . . ,

la cual converge para todo t. Se observa por tanto que las aproximacionessucesivas generadas por la iteracion de Picard son las sumas parciales de estaserie, y que ella converge a la solucion exacta.

Comentario 2.3. El metodo de Picard tiene como una de sus caracterısticasprincipales que es constructivo, ademas las cotas de las diferencias entre lasolucion y las iteraciones son facilmente calculables; tales cotas o estimativasson utiles para obtener aproximaciones de la solucion y para el estudio depropiedades cualitativas de la solucion.


El procedimiento de Picard es especialmente util desde el punto de vistateorico ya que constituye la base para la demostracion de existencia de solucionde un problema de valor inicial no lineal general. El esquema de dicha pruebaconsiste en mostrar que existe un lımite de una sucesion de aproximaciones, yque este lımite es la solucion del problema de valor inicial.Para efectos practicos la iteracion de Picard no es apropiada para problemasde ciencias e ingenierıas, para los cuales se emplean otros algoritmos mas finosque permiten aproximaciones muy precisas.

El siguiente resultado nos provee de las condiciones suficientes para que lasucesion formada por las iteraciones (ym(x)) converga uniformemente a la unicasolucion y(x) de la ecuacion integral (1.4), o equivalentemente del problemaoriginal (1.1).

2.2. Existencia y unicidad

En la seccion anterior hemos visto que es suficiente la continuidad de lafuncion f(x, y) en un dominio que contenga al punto (x0, y0) para que el pro-blema (1.1) tenga al menos una solucion. Tambien hemos comentado sobrela importancia de garantizar que dicho problema posea una unica solucion.En esta oportunidad los resultados que presentamos tienen que ver con aque-llas condiciones adicionales a la continuidad que debe de satisfacer la funcionf(x, y) para que tengamos una unica solucion del problema (1.1).

Teorema 2.4. Supongamos que son satisfechas las siguientes condiciones:

i) f(x, y) es continua en el rectangulo cerrado

S = (x, y) ∈ R2; |x− x0| ≤ a; |y − y0| ≤ b;

por tanto existeM > 0 tal que |f(x, y)| ≤M ; para todo (x, y) ∈ S

ii) f(x, y) satisface uniformemente una condicion de Lipschitz sobre S

iii) y0(x) es continua en |x− x0| ≤ a; y |y0(x)− y0| ≤ b

Entonces la sucesion (ym(x)) generada por el esquema iterativo de Picard(2.1) converge uniformemente a la unica solucion y(x) del problema (1.1).

La solucion encontrada por aplicacion de este Teorema es valida sobre elintervalo Jh : |x− x0| ≤ h, donde h = mina, b/M; ademas para cada x ∈ Jhse cumple la siguiente estimativa de error

|y(x)− ym(x)| ≤ NeLhmin1, (Lh)m

m!; m = 0, 1, . . . (2.5)


donde maxx∈Jh |y1(x)− y0(x)| ≤ N

Prueba. Primero probaremos que las aproximaciones sucesivas ym(x) defini-das por (2.1) existen como funciones continuas sobre Jh y (x, ym(x)) ∈ S paratodo x ∈ Jh. Como y0(x) es continua para todo x del intervalo |x− x0| ≤ a lafuncion F0(x) = f(x, y0(x)) es continua en Jh y por tanto y1(x) es continua enJh. Ademas

|y1(x)− y0| ≤ |∫ x

x0

|f(t, y0(t))|dt| ≤M |x− x0| ≤Mh ≤ b.

Supongamos que la afirmacion es valida para ym−1(x) para m ≥ 2; entonces essuficiente probar que tambien es valida para ym(x). Como ym−1(x) es continuaen Jh, la funcion Fm−1(x) = f(x, ym−1(x)) es tambien continua en Jh. Ademas

|ym(x)− y0| ≤∫ x

x0

|f(t, ym−1(t))|dt ≤M |x− x0| ≤ b

A continuacion mostraremos que la sucesion (ym(x)) converge uniforme-mente en Jh. Como y1(x) y y0(x) son continuas en Jh existe una constanteN > 0 tal que |y1(x)− y0(x)| ≤ N

Afirmacion. Para todo x ∈ Jh se cumple la siguiente desigualdad

|ym(x)− ym−1(x)| ≤ N(L|x− x0|)m−1

(m− 1)!; m = 1, 2, . . . (2.6)

Para m = 1 la desigualdad (2.6) es inmediata, ademas si fuera valida param = k ≥ 1 entonces (2.1) y la hipotesis (ii) nos permiten obtener

|yk+1(x)− yk(x)| ≤∫ x

x0

|f(t, yk(t))− f(t, yk−1(t))|dt

≤ L

∫ x

x0

|yk(t)− yk−1(t)|dt

≤ L

∫ x

x0

N(L|t− x0|)k−1

(k − 1)!dt = N

(L|x− x0|)kk!

por lo tanto la igualdad (2.6) es valida para todo m.

A continuacion, como

N∞∑

m=1

(L|x− x0|)m−1

(m− 1)!≤ N

∞∑

m=1

(Lh)m

m!= NeLh <∞


haciendo uso del Teorema de Weierstrass2 se tiene que la serie

y0(x) +∞∑

m=1

(ym(x)− ym−1(x))

converge uniforme y absolutamente sobre el intervalo Jh, y por tanto sus sumasparciales y1(x), y2(x); . . . convergen a una funcion continua en dicho intervalo,es decir

y(x) = lımx→∞

ym(x)

Como ya hemos visto anteriormente esta y(x) es una solucion de (1.4).

Prueba de la unicidad. Supongamos que z(x) sea otra solucion de (1.4),la cual existe en Jh y (x, z(x)) ∈ S para cada x ∈ Jh. Entonces la hipotesis (ii)es aplicable y se tiene

|y(x)− z(x)| ≤∫ x

x0

|f(t, y(t))− f(t, z(t))|dt ≤ L

∫ x

x0

|y(t)− z(t)|dt

Por la anterior desigualdad integral y el corolario (1.9) se tiene que

|y(t)− z(t)| = 0

para todo x ∈ Jh, de donde se tiene que z(x) = y(x) para todo x ∈ Jh.

Finalmente obtengamos la estimativa de error (2.5).

Para n > m de la desigualdad (2.6) obtenemos

|yn(x)− ym(x)| ≤n−1∑

k=m

|yk+1(x)− yk(x)| ≤n−1∑

k=m

N(L|x− x0|)k

k!≤ N

n−1∑

k=m

(Lh)k

k!

= N(Lh)mn−m−1∑

k=0

(Lh)k

(m+ k)!(2.7)

sin embargo como 1/(m+ k)! ≤ 1

m!k!se sigue que

|yn(x)− ym(x)| ≤ N(Lh)m

m!

n−m−1∑

k=0

(Lh)k

k!≤ N

(Lh)m

m!eLh

y luego cuando n→ ∞ obtenemos

2Teorema (M-test de Weierstrass). Sea (ym(x)) una sucesion de funciones con|ym(x)| ≤ Mm para todo x ∈ [α, β] con

∑

∞

m=0 Mm < ∞. Entonces la serie∑

∞

m=0 ym(x)converge uniformemente en [α, β] a una unica funcion y(x).


|y(x)− ym(x)| ≤ N(Lh)m

m!eLh (2.8)

de la desigualdad (2.7) tambien obtenemos

|yn(x)− ym(x)| ≤ N

n−1∑

k=m

(Lh)k

k!≤ NeLh

y cuando n→ ∞ obtenemos

|y(x)− ym(x)| ≤ NeLh (2.9)

De (2.8) y (2.9) se obtiene la estimativa de error (2.5).

Nota. El Teorema (2.4) es llamado un teorema de existencia local, ya quegarantiza la existencia de solucion unica en una vecindad del punto (x0, y0).


y′ = 1 + y2; y(0) = 0 (2.10)

para el cual la unica solucion y(x) = tanx existe en el intervalo (−π/2, π/2).

Para aplicar el Teorema (2.4) observamos que:

(i) 1+y2 es contınua en el rectangulo S: |x| ≤ a; |y| ≤ b y 1+y2 ≤ 1+b2 =M ;

(ii) En el rectangulo S la funcion 1 + y2 satisface una condicion de Lipschitzcon L = 2b, y

(iii) y0(x) ≡ 0 es continua en |x| ≤ a y |y0(x)| ≤ b. luego por el teorema (2.4)existe una unica solucion de (2.10) en el intervalo |x| ≤ h = mına, b/(1+b2).Sin embargo como b/(1 + b2) ≤ 1/2 (con igualdad para b = 1) el intervalooptimo para el cual el Teorema (2.4) se verifica es |x| ≤ 1/2. Para efectosdidacticos el esquema iterativo para (2.10) es

ym+1(x) = x+

∫ x

0

y2m(t)dt; y0(x) ≡ 0; m = 0, 1, 2, . . . (2.11)

De (2.11) es facil obtener y1(x) = x, y2(x) = x + x3/3, luego la estimativa deerror (2.5) para b = 1; h = 1/2; y m = 2 nos permite obtener

| tanx− x− x3

3| ≤ 1

2emın1, 1/2 =

1

4e; −1

2≤ x ≤ 1

2(2.12)

Obviamente que el segundo miembro de (2.12) es muy burdo.

Si la solucion del problema (1.1) existe en todo el intervalo |x − x0| ≤ aentonces diremos que la solucion existe globalmente.


Teorema 2.6. [Teorema de Existencia Global] Si las siguientes con-diciones son satisfechas:

i) f(x, y) es continua en la banda T = (x, y); |x− x0| ≤ a; y ∈ R

ii) f(x, y) satisface una condicion de Lipschitz (1.8) uniforme en T .

iii) y0(x) es continua en |x− x0| ≤ a.

Entonces la sucesion (ym(x)) generada por el esquema iterativo de Picard(2.1) existe en todo el intervalo |x−x0| ≤ a y converge a la unica soluciony(x) del problema (1.1).

Prueba. Para cualquier funcion y0(x) continua en |x − x0| ≤ a por mediode un facil argumento inductivo se establece la existencia de cada ym(x) en|x− x0| ≤ a con |ym(x)| < ∞. Tambien como en la prueba del teorema (2.4)es simple verificar que la sucesion (ym(x)) converge a y(x) en |x − x0| ≤ a,para ello es suficiente reemplazar h por a en la prueba y considerando que lafuncion f(x, y) satisface la condicion de Lipschitz (1.8) en la banda T .

Corolario 2.7. Sea f(x, y) continua en R2 la cual satisface una condicionde Lipschitz (1.8) en cada banda Ta = (x, y); |x| ≤ a; y ∈ R conconstante de Lipschitz La. Entonces el PVI (1.1) tiene una unica solucionla cual existe para todo x.

Prueba. Para cualquier x existe un a > 0 tal que |x−x0| ≤ a. Como la bandaT esta contenida en la banda Ta+|x0| la funcion f(x, y) satisface las condicionesdel teorema (2.6) en la banda T . Luego el resultado es valido para todo x.


Practica N 2

1. Considerar el PVI

u′ = 1 + u2; u(0) = 0 (2.13)

Aplicar la iteracion de Picard con u0 = 0 y calcular cuatro terminos. Siel proceso se continua, ¿a que funcion converge la serie resultante?

2. Aplicar el Proceso iterativo de Picard al PVI

u′ = t− u; u(0) = 1 (2.14)

para obtener tres iterativas de Picard, considerando u0 = 1. Dibujar cadaiteracion y la solucion exacta sobre el mismo eje de coordenadas.

3. Discutir la existencia y unicidad de soluciones de los siguientes proble-mas de valor inicial:

(i) y′ = (x+ y)x2y2; y(0) = 1(ii) y′ = ex + x/y; y(0) = 1

4. Demuestre que los siguientes PVIs poseen una unica solucion para todoreal x:

(i) y′ + p(x)y = q(x); y(x0) = y0 donde p(x) y q(x) son funcionescontinuas en R(ii) y′ = (cosx)e−y2 + sin y; y(x0) = y0

5. Demuestre que el problema de valor inicial

y′ = (x2 − y2) sin y + y2 cos y; y(0) = 0 (2.15)

tiene una unica solucion y(x) ≡ 0 en el rectangulo cerrado

S = (x, y); |x| ≤ a; |y| ≤ b

6. Pruebe que el teorema garantiza la existencia de una unica solucion delPVI

y′ = e2y; y(0) = 0

en el intervalo (−1/2e, 1/2e). Tambien resuelva este problema y verifiqueque la solucion existe en un intervalo mayor.

Capıtulo 3

Existencia de soluciones

(1858-1932)G.Peano

En este capıtulo abordaremos los teoremas de exis-tencia de soluciones debido a Peano y Cauchy-Peano.Peano fue un matematico italiano quien tuvo impor-tantes contribuciones a la Teorıa de Conjuntos y alas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Peano de-mostro que la continuidad de la funcion f(x, y) erasuficiente para garantizar la existencia de solucionesal PVI (1.1). La ausencia de continuidad de tal fun-cion f(x, y) no permite afirmar categoricamente nadaacerca de la existencia de soluciones y menos acercade la unicidad de las mismas. Corroborando lo dichomostraremos dos ejemplos que ilustran la necesidadde la continuidad como piedra de base para iniciar el

estudio de la estabilidad del problema (1.1), el cual quedara totalmente edifica-do si el sistema estudiado tiene adicional a la existencia de solucion, unicidady dependencia continua de los datos iniciales.

En los ejemplos que se muestran a continuacion se observara que en ausen-cia de continuidad para la funcion f(x, y) es imposible conocer el comporta-miento de las soluciones del PVI (1.1) ası para el PVI

y′ =2

x(y − 1); y(0) = 0 (3.1)

se observa que no existen soluciones; sin embargo el PVI

y′ =2

x(y − 1); y(0) = 1 (3.2)

tiene infinitas soluciones dadas por y(x) = 1 + cx2 donde c es una constante

arbitraria. Notamos que en ambos casos la funcion f(x, y) =2

x(y − 1) no es

continua en x0 = 0, y la ausencia de continuidad ha devenido en un comporta-miento bastante erratico e impredecible acerca de la existencia de soluciones.

23


Teorema 3.1. [Teorema de existencia de Peano] Si la funcion f(x, y)es una funcion continua y acotada sobre la bandaT = (x, y); |x− x0| ≤ a; y ∈ R, entonces el PVI (1.1) tiene al menosuna solucion en |x− x0| ≤ a.

Prueba. Haremos la prueba sobre el intervalo [x0, x0+a], ya que su extensional intervalo [x0 − a, x0] es inmediata.

x x + ax - a

T

Observacion. La banda T se abre hacia arriba y abajo infinitamente. En algu-nas oportunidades se usa la notacion |y| <∞ para indicar que y ∈ R.

Definimos una sucesion de funciones (ym(x)) por el esquema siguiente:

x x + a/m x+ 2a/m x + ab b b b b

ym(x) = y0 : x0 ≤ x ≤ x0 +a

m

ym(x) = y0 +

∫ x−a/m

x0

f(t, ym(t))dt, x0 + ka

m≤ x ≤ x0 + (k + 1)

a

m;

k = 1, 2, . . . , m− 1 (3.3)

El objetivo es probar que la sucesion (ym(x)) converge a la solucion del PVI(1.1).

Observamos que la primera ecuacion de (3.3) define a ym(x) en el inter-valo [x0, x0 + a/m]., y la segunda ecuacion define a ym(x) primero en [x0 +a/m, x0 + 2a/m] ( para k = 1), luego en [x0 + 2a/m, x0 + 3a/m] y ası suce-sivamente. Como f(x, y) es acotada sobre la banda T , podemos suponer que|f(x, y)| ≤M para todo (x, y) ∈ T.


Para cualquier par de puntos x1, x2 ∈ [x0, x0 + a], se tiene que

a)|ym(x2)− ym(x1)| = 0 si x1, x2 ∈ [x0, x0 + a/m]

b)|ym(x2)− ym(x1)| = |∫ x2−(a/m)

x0

f(t, ym(t))dt| ≤M |x2 −a

m− x0|

lo cual se observa mejor con la ayuda del grafico.

b b b b b

x1

x x+ a/m x2x + 2a/m

Luego

|ym(x2)− ym(x1)| = |∫ x2−(a/m)

x0

f(t, ym(t))dt| ≤M |x2 −a

m−x0| ≤M |x2 −x1|

si x1 ∈ [x0, x0 +a

m]; x2 ∈ [x0 + k

a

m, x0 + (k + 1)

a

m]

c)|ym(x2)−ym(x1)| = |∫ x2−(a/m)

x1−(a/m)

f(t, ym(t))dt| ≤M |x2−x1| en caso contrario.

es decir si x1, x2 ∈ [x0 + ka/m, x0 + (k + 1)a/m].

En efecto;

|ym(x2)− ym(x1)| = |∫ x2−a/m

x0

f(t, ym(t))dt−∫ x1−a/m

x0

f(t, ym(t))dt|

= |∫ x2−a/m

x1−a/m

f(t, ym(t))dt

Graficamente esto se ve en el segundo subintervalo como

b b b b

x+ a/m x2x + 2a/mx

1

Luego se sigue que

|ym(x2)− ym(x1)| ≤M |x2 − x1|; x1, x2 ∈ [x0, x0 + a].

Entonces |ym(x2)−ym(x1)| ≤ ǫ si |x2−x1|ǫ/M = δ; es decir la sucesion (ym(x))es equicontinua. Ademas para todo x ∈ [x0, x0 + a] se tiene


|ym(x)| ≤ y0 +M |x− a

m− x0| ≤ |y0|+Ma

es decir la sucesion (ym(x)) es uniformemente acotada en [x0, x0 + a]. Luegopor el Teorema de Ascoli- Arzela1 la sucesion (ym(x)) contiene una subsucesion(ymp

(x)) la cual converge uniformemente en [x0, x0+a] a una funcion continuay(x). Para mostrar que la funcion y(x) es solucion del PVI (1.1), hagamostender p→ ∞ en la relacion

ymp(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, ymp(t))dt−

∫ x

x−(a/mp)

f(t, ymp(t))dt.

como f(x, y) es continua y la convergencia es uniforme, en la primera integralpodemos tomar el lımite dentro de la integral para obtener

∫ x

x0f(t, y(t))dt. La

segunda integral no excede a M(a/mp) y luego tiende a cero. Por tanto y(x)es una solucion de la ecuacion integral (1.4).

Corolario 3.2. Si f(x, y) es continua en S : |x − x0| ≤ a; |y − y0| ≤ b,y por lo tanto existe M > 0 tal que |f(x, y)| ≤ M para todo (x, y) ∈ S,entonces el PVI (1.1) tiene al menos una solucion en Jh : |x− x0| ≤ h =mına, b/M

Prueba. Mutatis mutandis la prueba sigue el mismo esquema del teoremaanterior.

Ejemplo 3.3. La funcion f(x, y) = y2/3 es continua en todo R2. Luego por elCorolario (3.2) el problema de valor inicial

y′ = y2/3; y(0) = 0

tiene al menos una solucion en |x| ≤ h = mına, b1/3. Sin embargo, podemosescoger b suficientemente grande tal que h = a. Luego el PVI en cuestion tieneal menos una solucion en todo x de R.

3.1. Metodo de Cauchy-Euler

En esta oportunidad presentamos el metodo de Cauchy-Euler, el cual esempleado para construir una solucion aproximada del PVI (1.1) que consisteconcretamente en obtener soluciones ǫ-aproximadas para la ecuacion diferencialdel problema de valor inicial correspondiente.

Supongamos que la funcion f(x, y) es continua en un dominio D

1Teorema de Ascoli-Arzela: Un conjunto infinito S de funciones uniformemente aco-tadas y equicontinuas en [α, β], contiene una sucesion la cual converge uniformemente en[α, β].


Definicion 3.4. Una funcion y(x) definida en J es llamada solucion ǫ-aproximada de la ecuacion y′ = f(x, y) si cumple:

i) Si y(x) es continua para todo x de J

ii) Para todo x ∈ J los puntos (x, y(x)) ∈ D

iii) y(x) tiene una derivada seccionalmente continua en J , la cual pue-de no estar definida solo en un numero finito de puntos, digamosx1, x2, . . . , xk, y

iv) |y′(x)− f(x, y(x))| ≤ ǫ; para todo x ∈ J ; x 6= xi; i = 1, 2, . . . , k

Teorema 3.5. Sea f(x, y) continua en S, y por lo tanto existe M > 0tal que |f(x, y)| ≤M para todo (x, y) ∈ S. Entonces para cualquier ǫ > 0existe una solucion ǫ-aproximada de la ecuacion diferencial y′ = f(x, y)en el intervalo Jh tal que y(x0) = y0

Prueba. Como f(x, y) es continua en el rectangulo cerrado S, entonces esuniformemente continua alli. Luego para cada ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que

|f(x, y)− f(x1, y1)| ≤ ǫ (3.4)

para cada (x, y) , (x1, y1) de S, cuando |x− x1| ≤ δ y |y − y1| ≤ δ.

Construiremos una solucion ǫ−aproximada en el intervalo x0 ≤ x ≤ x0+hy por medio de un proceso similar haremos lo mismo en el intervalo x0 − h ≤x ≤ x0.

Comenzamos dividiendo el intervalo x0 ≤ x ≤ x0 + h en m partes

x0 < x1 < . . . < xm = x0 + h

tal quexi − xi−1 ≤ mınδ, δ/M; i = 1, 2, . . . , m (3.5)

A continuacion definimos una funcion y(x) en el intervalo x0 ≤ x ≤ x0+h porla formula recursiva

y(x) = y(xi−1) + (x− xi−1)f(xi−1, y(xi−1)); xi−1 ≤ x ≤ xi, i = 1, 2, . . . , m(3.6)

Observamos que y(x) es continua y su derivada y′(x) = f(xi−1, y(xi−1));xi−1 < x < xi; i = 1, 2, . . . , m es seccionalmente continua, y falla en ser defi-nida solo en los puntos xi; i = 1, 2, . . . , (m− 1). Como en cada subintervalo


[xi−1, xi] i = 1, 2, . . . , m la funcion es una recta, para probar que (x, y(x)) ∈ Ses suficiente verificar que |y(xi)− y0| ≤ b para todo i = 1, 2, . . . , m

Haciendo en (3.6) i = 1 y x = x1 obtenemos

|y(x1)− y0| = (x1 − x0)|f(x0, y0)| ≤Mh ≤ b

Supongamos que la afirmacion es valida para i = 1, 2, . . . , (k − 1) < (m − 1),entonces de (3.6) se tiene:

y(x1)− y0 = (x1 − x0)f(x0, y0)

y(x2)− y(x1) = (x2 − x1)f(x1, y(x1))

. . .

y(xk)− y(xk−1) = (xk − xk−1)f(xk−1, y(xk−1))

por tanto

y(xk)− y0 =

k∑

l=1

(xl − xl−1)f(xl−1, y(xl−1)

de donde obtenemos

|y(xk)− y0| ≤k

∑

l=1

(xl − xl−1)M =M(xk − x0) ≤Mh ≤ b.

Finalmente si xi−1 < x < xi, entonces de (3.6) y (3.5) tenemos

|y(x)y(xi−1| ≤M |x− xi−1| ≤Mδ

M= δ

y luego por (3.4) encontramos que

|y′(x)− f(x, y(x))| = |f(xi−1, y(xi−1))− f(x, y(x))| ≤ ǫ

para todo x ∈ Jh; x 6= xi; i = 1, 2, . . . , (m− 1).es decir se satisface la condicion (iv) de la definicion de solucion ǫ-aproximada,con lo cual se completa la prueba de que y(x) es una solucion ǫ− aproximadade la ecuacion diferencial y′ = f(x, y).

El metodo de construccion que acabamos de mostrar es lo que se conocecomo el metodo de Cauchy-Euler.

A continuacion reiteramos el corolario (3.2) y probamos una consecuenciadel Teorema (3.5).


Teorema 3.6. [Teorema de existencia de Cauchy-Peano] Supon-gamos que las condiciones del Teorema (3.5) son satisfechas. Entonces elPVI (1.1) tiene al menos una solucion en Jh.

Prueba. Haremos la prueba solo en el intervalox0 ≤ x ≤ x0 + h. Sea (ǫm) una sucesion monotona decreciente de numerospositivos tal que ǫm → 0. Para cada ǫm se aplicara el Teorema (3.5) paraconstruir una solucion ǫ − aproximada ym(x). Al igual que en el Teorema(3.1), para cualquier para de puntos x, x∗ en [x0, x0 + h] se obtiene que

|ym(x)− ym(x∗)| ≤M |x− x∗|

de lo cual se sigue que la sucesion (ym(x)) es equicontinua. Ademas comoen el Teorema (3.5) para cada x ∈ [x0, x0 + h], tenemos |ym(x)| ≤ |y0| + b,Por lo tanto la solucion (ym(x)) tambien es uniformemente acotada. Luego porel Teorema de Ascoli-Arzela se tiene que existe una subsucesion (ymp

(x)) de(ym(x)), la cual converge uniformemente en [x0, x0+h] a una funcion continuay(x). Ahora tenemos que demostrar que la funcion y(x)) es una solucion delproblema (1.1), para lo cual definimos

em(x) = y′m(x)− f(x, ym(x)); en los puntos donde y′(x) existe

= 0, en caso contrario.

de donde integrando desde x0 hasta x obtenemos

ym(x) = y0 +

∫ x

x0

[f(y, ym(t)) + em(t)]dt (3.7)

y |em(t)| ≤ ǫm. pues

|em(t)| = |y′m(x)− f(x, ym(x))| ≤ ǫm

por la condicion (iv) de solucion ǫ-aproximada.

Como f(x, y) es continua en S y (ymp(x)) converge a y(x) uniformemente

en [x0, x0+h], la funcion f(x, ymp(x)) converge a f(x, y(x)) uniformemente en

[x0, x0 + h]. Ademas desde que ǫmp→ 0 encontramos que |ǫmp

(x)| converge acero uniformemente en [x0, x0 + h].Luego, reemplazando m por mp en (3.7) yhaciendo p→ ∞ se encuentra que y(x) es una solucion de la ecuacion integral(1.4)


Comentario 3.7. El Corolario (3.2) asegura esencialmente que si en un do-minio D la funcion f(x, y) es continua, entonces para cada punto (x0, y0) enD existe un rectangulo S tal que el problema (1.1) tiene una solucion y(x) enJh. Como S esta en el interior de D, por aplicacion de Corolario (3.2) en elpunto en el cual la solucion pasa fuera de S, podemos extender la region en lacual la solucion existe

Daremos un ejemplo acerca de este comentario.

El PVI

y′ = y2; y(0) = 1

tiene como solucion a y(x) = 1/(1 − x). Observamos que el intervalo de exis-tencia de esta solucion es (−∞, 1).

Para este problema se tiene que S = (x, y) : |x| ≤ a; |y − 1| ≤ b;M = maxS y

2 = (1 + b)2 y h = mına, b/(1 + b)2.

Como b/(1 + b)2 ≤ 1/4 podemos tomar h = 1/4 (independientemente dela forma de escoger a), luego por aplicacion del Corolario (3.2) se garantiza laexistencia de una solucion unica y1(x) en el intervalo |x| ≤ 1/4. Ahora con-sideremos la continuacion de y1(x) a la derecha obtenida por encontrar unasolucion y2(x) del problema y′ = y2; y(1/4) = 4/3. Para este nuevo problemase tiene S = (x, y) : |x − 1/4| ≤ a; |y − 4/3| ≤ b; y maxS y

2 = (4/3 + b)2.Como b/(4/3 + b)2 ≤ 3/16 podemos tomar h = 3/16. Luego y2(x) existe enel intervalo |x− 1/4| ≤ 3/16. Este procedimeinto asegura la existencia de unasolucion

y(x) =

y1(x); −1/4 ≤ x ≤ 1/4

y2(x); 1/4 ≤ x ≤ 7/10

en el intervalo −1/4 ≤ x ≤ 7/10. Este proceso de continuacion de la solucionpuede ser usado ademas a la derecha del punto (7/16, 16/9) o a la izquierda delpunto (−1/4, 4/5). Con el fin de establecer hasta que punto la solucion puedeser continuada se requiere del siguiente lema.

Lema 3.8. Sea f(x, y) una funcion continua en un dominio D consupD |f(x, y)| ≤M .Supongamos que el PVI (1.1) tiene una solucion y(x)en un intervalo J = (α, β). Entonces los lımites lımx→α+ y(x) = y(α+ 0)y lımx→β− y(x) = y(β − 0) existen.

Prueba. Para α < x1 < x2 < β, la ecuacion integral (1.4) implica que


|y(x2)− y(x1)| ≤∫ x2

x1

|f(t, y(t))|dt ≤M |x2 − x1|.

Por lo tanto y(x2) − y(x1) → 0; cuando x1, x2 → α+. Luego por el criteriode convergencia de Cauchy2 el lımx→α+ y(x) existe. Un argumento analogopermite demostrar la existencia del otro lımite.

Teorema 3.9. Supongamos que se cumplen las condiciones del Lema(3.8) y sean (β, y(β − 0)) ∈ D y (α, y(α+ 0)) ∈ D. Entonces la soluciony(x) del PVI (1.1) en (α, β) puede ser extendida sobre el intervalo (α, β+γ]([α− γ, β)) para algun γ > 0.

Prueba. Definimos la funcion y1(x) del modo siguiente: y1(x) = y(x) parax ∈ (α, β) y y1(β) = y(β − 0). Entonces como para cada x ∈ (α, β]

y1(x) = y(β − 0) +

∫ x

β

f(t, y1(t))dt

= y0 +

∫ β

x0

f(t, y1(t))dt+

∫ x

β

f(t, y1(t)dt

= y0 +

∫ x

x0

f(t, y1(t))dt,

y la derivada izquierda y′1(β − 0) existe y y′1(β − 0) = f(β, y1(β)). Luegoy1(x) es una continuacion de y(x) en el intervalo (α, β]. Ahora sea y2(x) unasolucion del problema y′ = f(x, y); y(β) = y1(β) con intervalo de existrencia[β, β + γ], entonces la funcion

y3(x) =

y1(x); x ∈ (α, β]

y2(x); x ∈ [β, β + γ]

es una continuacion de y(x) en el intervalo (α, β + γ]. Por tal motivo essuficiente notar que

y3(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y3(t))dt (3.8)

para todo x ∈ (α, β + γ]. En efecto (3.8) es obvia para x ∈ (α, β], de ladefinicion de y3(x) y para x ∈ [β, β + α] tenemos

y3(x) = y(β − 0) +

∫ x

β

f(t, y3(t))dt

2


= y0 +

∫ β

x0

f(t, y3(t))dt+

∫ x

β

f(t, y3(t))dt

= y0 +

∫ x

x0

f(t, y3(t))dt


Practica N 3

1. Muestre que la solucion del problema y′ = −x/y; y(0) = 1 no puedeser extendida mas alla del intervalo −1 < x < 1

2. Muestre que la solucion del problema y′ = 2xy2; y(0) = 1 existe solo enel intervalo |x| < 1.

3. Encuentre el maximo intervalo en el cual la solucion del problema

y′ + (sin x)y2 = 3(xy)2, y(0) = 2

puede ser extendida.

4. Muestre que la solucion del problema

y′ = 1 + y2; y(0) = 1

no puede ser extendida fuera del intervalo −3π

4< x <

π

4.

5. Sea f(x, y) una funcion continua que satisface |f(x, y)| ≤ c1+c2|y|α paratodo (x, y) ∈ T = (x, y); |x− x0| ≤ a; |y| < ∞, donde c1 y c2 son dosconstantes no negativas y 0 ≤ α < 1. Pruebe que el problema de valolrinicial (1.1) tiene al menos una solucion en |x− x0| ≤ a

6. Resolver el problema de valor inicial

yy′ − 3x2(1 + y2) = 0; y(0) = 1

Hallar tambien el mayor intervalo sobre el cual la solucion esta definida.

Capıtulo 4

Unicidad de soluciones

R. Lipschitz

En los modelos matematicos de aplicacion especıficauno de los aspectos mas importantes es el relacionadocon la unicidad de soluciones, lo cual posteriormenteconstituira uno de los pilares de la estabilidad delos sistemas. Este topico adquiere relevancia desdeel punto de vista practico en el sentido de que paramuchos modelos solo es posible obtener una solucionaproximada, y si la solucion no fuera unica entoncesno se tendrıa certeza a cual de las soluciones nosestarıamos aproximando.

En los capıtulos previos hemos visto que cuando la funcion f(x, y) es conti-nua en un rectangulo cerrado S, entonces eso es suficiente para garantizar laexistencia de al menos una solucion del PVI (1.1) en un intervalo Jh. En estecapıtulo presentamos algunos resultados que nos garantizan la existencia deuna unica solucion.

4.1. Teoremas de unicidad

Para obtener la unicidad de solucion para el problema (1.1) se tiene queadicionar condiciones a la funcion continua f(x, y), una de tales condicioneses la de ser Lipschitz continua como lo veremos en el siguiente teorema.

Teorema 4.1. [Teorema de unicidad de Lipschitz]Sea f(x, y) una funcion continua que satisface la condicion de Lipschitzuniformemente en S, entonces el problema (1.1) tiene a lo mas una solu-cion en |x− x0| ≤ a.

1

1La funcion f(x, y) satisface la condicion de Lipschitz uniformemente en cualquier domi-nio D si para cualquier par de puntos (x, y1) , (x, y2) en D se tiene |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤L|y1 − y2|, donde L es una constante no negativa llamada constante de Lipschitz.

35


Prueba. En el Teorema (2.4) se prueba unicidad de soluciones para el pro-blema (1.1) en el intervalo Jh, siguiendo el mismo esquema se muestra que elintervalo Jh se puede cambiar por el intervalo |x−x0| ≤ a con lo que se pruebaeste Teorema.

Teorema 4.2. [Teorema de unicidad de Peano] Sea f(x, y) una fun-cion continua en S+ = (x, y) : x0 ≤ x ≤ x0 + a; |y − y0| ≤ b y nocreciente en y para cada x fijo en x0 ≤ x ≤ x0 + a. Entonces el problema(1.1) tiene a lo mas una solucion en x0 ≤ x ≤ x0 + a.

Prueba. Supongamos que y1(x) y y2(x) son dos soluciones diferentes de (1.1)en el intervalo x0 ≤ x ≤ x0 + a. Supongamos que y2(x) > y1(x) para x1 < x <x1 + ǫ ≤ x0 + a, mientras que y1(x) = y2(x) en x0 ≤ x ≤ x1, esta situacion lapodemos mostrar en el grafico siguiente

b b bx x1

x1+

y2(x)

y(x)1b

x+ a

es decir x1 es el ınfimo del conjunto A = x; y2(x) > y1(x). Este ınfimo existeporque el conjunto A esta acotado inferiormente al menos por x0. Como porhipotesis se tiene que f(x, y) es no creciente en la variable y, entonces paratodo x ∈ (x1, x1 + ǫ) se tiene

f(x, y1(x)) ≥ f(x, y2(x))

es decir

y′1(x) ≥ y′2(x)

.

Afirmacion. La funcion z(x) = y2(x)− y1(x) es una funcion no creciente.Si z(x) fuera creciente, como en x1 las funciones y1(x) y y2(x) coinciden en-tonces se tendrıa que z(x1) = 0 lo que implica que z(x) ≤ 0 en (x1, x1 + ǫ).Esta contradiccion prueba que y1(x) = y2(x) en x0 ≤ x ≤ x0 + a.


Ejemplo 4.3. La funcion |y|1/2sgn y, donde sgn y = 1 si y ≥ 0 y y = −1 siy < 0, es continua, no decreciente, y el problema de valor inicial

y′ = |y|1/2sgn y; y(0) = 0

tiene dos soluciones y(x) = 0 y y(x) = x2/4 en el intervalo [0,+∞). Estonos dice que en el Teorema (4.2) no se puede reemplazar no creciente por nodecreciente.

Con la finalidad de probar adecuadamente el siguiente Teorema, previa-mente proveeremos del siguiente resultado

Lema 4.4. Sea w(z) una funcion continua y creciente en el intervalo[0,+∞), con w(0) = 0 , w(z) > 0 para z > 0 que ademas satisface

lımǫ→0+

∫

ǫ

dz

w(z)= ∞. (4.1)

Si u(x) es una funcion contınua no negativa en [0, a], que verifica la de-sigualdad

u(x) ≤∫ x

0

w(u(t))dt, 0 < x ≤ a (4.2)

entonces u(x) ≡ 0; en [0, a]

Prueba. Definimos v(x) = max0≤t≤x u(t), y supongamos que v(x) > 0 para0 < x ≤ a, entonces u(x) ≤ v(x), y para cada x existe un x1 ≤ x tal queu(x1) = v(x). De lo cual se tiene

v(x) = u(x1) ≤∫ x1

0

w(u(t))dt ≤∫ x

0

w(v(t))dt;

es decir, la funcion no decreciente v(x) satisface la misma desigualdad que u(x).

Hagamos

v(x) =

∫ x

0

w(v(t))dt,

entonces v(0) = 0; v(x) ≤ v(x); v′(x) = w(v(x)) ≤ w(v(x)), luego para 0 <δ < a tenemos

∫ a

δ

v′(x)

w(v(x))dx ≤ a− δ < a

Sin embargo de (4.1) se tiene que


∫ a

δ

v′(x)

w(v(x)dx =

∫ α

ǫ

dz

w(z); v(δ) = ǫ; v(a) = α

se hace infinita cuando ǫ → 0 (δ → 0). Esta contradiccion muestra que v(x)no puede ser positiva , asi que v(x) ≡ 0, y luego u(x) = 0 en [0, a].

Teorema 4.5. [Teorema de unicidad de Osgood] Sea f(x, y) unafuncion continua en S y para todo (x, y1); (x, y2) en S se satisface

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ w(|y1 − y2|), (4.3)

donde w(z) es la misma funcion del Lema (4.4). Entonces el PVI (1.1)tiene a lo mas una solucion en el intervalo |x− x0| ≤ a.

Prueba. Supongamos que y1(x) y y2(x) son dos soluciones de (1.1) en elintervalo |x− x0| ≤ a. Luego de (4.3) se sigue que

|y1(x)− y2(x)| ≤∫ x

x0

|w(|y1(t)− y2(t)|)|dt.

Para cualquier x ∈ [x0, x0 + a] hacemos u(x) = |y1(x0 + x) − y2(x0 + x)|,entonces la funcion no negativa u(x) satisface la desigualdad (4.2) y luego elLema (4.4) implica que u(x) = 0 en [0, a] es decir y1(x) = y2(x) en [x0, x0+ a].En el caso de que x ∈ [x0 − a, x0], la prueba es la misma, solamente tomandocuidado de definir u(x) como u(x) = |y1(x0 − x)− y2(x0 − x)| en [x0 − a, x0].

El siguiente Lema nos servira de auxilio para el teorema que continua

Lema 4.6. Sea u(x) una funcion continua no negativa en el intervalo|x− x0| ≤ a, con u(x0) = 0 y sea u(x) diferenciable en x0 con u′(x0) = 0,entonces la desigualdad

u(x) ≤∫ x

x0

u(t)

t− x0dt (4.4)

implica que u(x) = 0 en |x− x0| ≤ a

Prueba. Haremos la prueba solo en el lado derecho del intervalo, es decir enel subintervalo x0 ≤ x ≤ x0 + a.Definimos

v(x) =

∫ x

x0

u(t)

t− x0dt


Observamos que esta integral existe debido a que

lımx→x0

u(x)− u(x0)

x− x0= u′(x0) = 0

pues por hipotesis se tiene u(x0) = 0 y u′(x0) = 0

ademas se tiene

v′(x) =u(x)

x− x0≤ v(x)

x− x0

de donde obtenemos que d/dx[v(x)/(x−x0)] ≤ 0 lo que implica quev(x)

x− x0es

no creciente. Como v(x0) = 0 entonces v(x) ≤ 0 lo cual es una contradiccioncon v(x) ≥ 0. Luego v(x) ≡ 0, y luego u(x) = 0 en el intervalo [x0, x0 + a]

Teorema 4.7. [Teorema de Unicidad de Nagumo] Sea f(x, y) unafuncion continua en S y si para todo (x, y1) , (x, y2) de S se cumple

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ k|x− x0|−1|y2 − y1|; x 6= x0; k ≤ 1. (4.5)

Entonces el problema de valor inicial (1.1) tiene a lo mas una solucion en|x− x0| ≤ a.

Prueba. Supongamos que y1(x) y y2(x) son dos soluciones del problema (1.1)en el intervalo |x− x0| ≤ a.

Entonces de (4.5) se tiene que

|y1(x)− y2(x)| ≤ |∫ x

x0

|t− x0|−1|y1(t)− y2(t)|dt|

Hacemos u(x) = |y1(x) − y2(x)|; entonces la funcion u(x) satisface la de-sigualdad (4.4). Ademas como u(x) es continua en el intervalo |x − x0| ≤ a yu(x0) = 0, del Teorema del Valor Medio tenemos

u′(x0) = lımh→0

u(x0 + h)− u(x0)

h

= lımh→0

|y1(x0) + hy′1(x0 + θ1h)− y2(x0)− hy′2(x0)θ2h)|h

; 0 < θ1, θ2 < 1

= (sgn h) lımh→0

|y′1(x0 + θ1h)− y′2(x0 + θ2h)| = 0

Luego las condiciones del Lema (4.6) se cumplen , y u(x) ≡ 0 es decir y1(x) =y2(x) en |x− x0| ≤ a


A continuacion mostramos un ejemplo en el que se confirma que la exigenciahecha en (4.5) del Teorema de Nagumo para la constante k es la mejor posible.

Ejemplo 4.8. Sea f(x, y) la funcion definida por

f(x, y) =

0 , 0 ≤ x ≤ 1; y ≤ 0(1− ǫ)y

x, 0 < x ≤ 1, 0 < y < x1+ǫ; ǫ > 0

(1 + ǫ)x1+ǫ , 0 ≤ x ≤ 1; x1+ǫ ≤ y

Se verifica que esta funcion es continua en S = [0, 1]×R y satisface la condicion(4.5) a excepcion de k = 1 + ǫ > 1. Se verifica que para esta funcion el PVI(1.1) con (x0, y0) = (0, 0) tiene infinitas soluciones de la forma y(x) = cx1+ǫ,donde c es una constante arbitraria tal que 0 < c < 1; en consecuencia enel Teorema de Nagumo (4.7) no se puede reemplazar la constante k por unaconstante k > 1.

Teorema 4.9. [Teorema de Krasnoselki-Krein]Sea f(x, y) una funcion continua en S la cual satisface para todo(x, y1); (x, y2) ∈ S

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ k|x− x0|−1|y2 − y1|; x 6= x0; k > 0 (4.6)

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ C|y2 − y1|α;C > 0, 0 < α < 1, k(1− α) < 1 (4.7)

Entonces el problema (1.1) tiene a lo mas una solucion en |x− x0| ≤ a.

Prueba. Supongamos que y1(x), y y2(x) son dos soluciones de (1.1) en elintervalo |x − x0| ≤ a. Haremos la prueba solo en el subintervalo [x0, x0 + a].De (4.7) se tiene que

u(x) := |y1(x)− y2(x)| ≤∫ x

x0

Cuα(t)dt


Efectivamente: Como y1(x) y y2(x) son dos soluciones de (1.1) entoncesde (4.7) se tiene

|y′1(x)− y′2(x)| ≤ C|y2 − y1|α

integrando de x0 a x tenemos que

∫ x

x0

|y′1(t)− y′2(t)| ≤∫ x

x0

C|y2(t)− y1(t)|αdt

Haciendo u(x) = |y1(x)− y2(x) tenemos entonces que

u(x)− u(x0) ≤∫ x

x0

Cuαdt

pero u(x0) = 0 luego tenemos

u(x) ≤∫ x

x0

Cuαdt

Por tanto, por aplicacion del resultado2 c

En efecto; Como v(x) = u(x)(x− x0)−k entonces

v(x) ≤ C(x− x0)(1−α)−1

(x− x0)−k = C(x− x0)

(1−α)−1−k

Como k(1− α) < 1 es inmediato que lımx→x0v(x) = 0.

Pues por hipotesis se tiene que k(1−α) < 1 con k > 0, de donde obtene-mos que (1− α)−1 − k > 0, por lo tanto lımx→x0

v(x) = 0

Luego si definimos v(x0) = 0 , entonces la funcion v(x) es continua en elintervalo [x0, x0 + a]. Mostraremos que v(x) = 0 en [x0, x0 + a]. Si v(x) > 0 enalgun punto de [x0, x0+a] entonces existe un x1 > x0 tal que 0 < m = v(x1) =maxx0≤x≤x0+a v(x). Sin embargo de (4.6) tenemos

m = v(x1) ≤ (x− x0)−k

∫ x1

x0

k(t− x0)−1u(t)dt

2Resultado. Sea u(x) una funcion no negativa en el intervalo |x− x0| ≤ a y C ≥ 0 unaconstante dada. Si se cumple

u(x) ≤∫

x

x0

Cuα(t)dt, 0 < α < 1

entonces u(x) ≤ [C(1−α)−1 |x− x0|](1−α)−1

; para todo x en|x− x0| ≤ a


En efecto, esta desigualdad se verifica, pues de (4.6) se tiene que

|y′1(x)− y′2(x)| ≤ k|x− x0|−1|y2 − y1|integrando esta desigualdad de x0 hasta x1 obtenemos

u(x1)− u(x0) ≤∫ x1

x0

|t− x0|−1u(t)

ya que hemos considerado u(x) := |y2(x)− y1(x)|Luego

m = v(x1) ≤ |x1 − x0|−k

∫ x1

x0

|t− x0|−1u(t)

pues v(x) = u(x)(x− x0)−k de donde u(x) = v(x)(x− x0)

k.

≤ (x− x0)−k

∫ x1

x0

k(t− x0)k−1v(t)dt

< m(x− x0)−k

∫ x1

x0

k(t− x0)k−1dt

= m(x− x0)−k(x− x0)

k = m

lo cual es una contradiccion. Por tanto v(x) ≡ 0, luego u(x) = 0 en [x0, x0+a].

Teorema 4.10 ([Teorema unicidad de Van Kampen]). Sea f(x, y)una funcion continua en S y para todo (x, y) ∈ S se cumple

|f(x, y)| ≤ A|x− x0|p, p > −1; A > 0 (4.8)

ademas para cada (x, y1), (x, y2) de S se satisface

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤C

|x− x0|r|y1 − y2|q, q ≥ 1; C > 0 (4.9)

con q(1 + p)− r = p, ρ = C(2A)q−1/(p + 1)q < 1. Entonces el PVI (1.1)tiene a lo mas una solucion en |x− x0| ≤ a.

Prueba. Supongamos que y1(x) y y2(x) son dos soluciones de (1.1) en|x − x0| ≤ a. Ahora mostraremos que y1(x) = y2(x) solo en el intervalo[x0 − a, x0].


Consideramos

|y′2(x)− y′1(x)| = |f(x, y2(x))− f(x, y1(x))|

integrando desde x hasta x0 tenemos que

u(x) = |y1(x)− y2(x)| ≤∫ x0

x

|f(x, y1(t))− f(x, y2(t))|dt

y por (4.8) tenemos

≤ 2A

∫ x0

x

(x0 − t)pdt =2A

p+ 1(x0 − x)p+1

de donde obtenemos aplicando (4.9)

u(x) ≤ C

∫ x0

x

1

(x0 − t)ruq(t)dt

≤ C(2A

p+ 1)q∫ x0

x

(x− t)q(p+1)−rdt = ρ(2A

p+ 1)(x0 − x)p+1

de esta nueva estimativa y (4.9) tenemos

u(x) ≤ ρ1+q(2A

P + 1)(x0 − x)p+1.

Continuando de esta manera obtenemos

u(x) ≤ ρ1+q+2+···+qm(2A

p+ 1)(x0 − x)p+1, m = 1, 2, . . .

Como q > 1 y ρ < 1, se sigue que u(x) = 0 en [x0 − a, x0].


PRACTICA N 04

1. Sea f(x, y) una funcion continua que satisface la condicion de Lipschitzgeneralizada

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L(x)|y1 − y2|

para todo (x, y1), (x, y2) ∈ S, donde la funcion L(x) es tal que la integral∫ x0+a

x0−aL(t)dt existe. Probar que el PVI (1.1) tiene a lo mas una solucion

en |x− x0| ≤ a.

2. Sea f(x, y) continua en S+, que para todo (x, y1); (x, y2) en S+, cony2 ≥ y1 satisface una condicion de Lipschitz lateral

f(x, y2)− f(x, y1) ≤ L(y2 − y1).

Pruebe que (1.1) tiene a lo mas una solucion en x0 ≤ x ≤ x0 + a.

3. Dada la ecuacion y′ = xg(x, y) supongamos que g y ∂g/∂y son definidasy continuas para todo (x, y). Muestre que:

(a) y(x) ≡ 0 es una solucion.

(b) Si y = y(x) para x ∈ (α, β) es una solucion y si y(x0) > 0 conx0 ∈ (α, β) entonces y(x) > 0 para todo x ∈ (α, β).

(c) Si y = y(x) para x ∈ (α, β) es una solucion y si y(x0) < 0 conx0 ∈ (α, β) entonces y(x) < 0 para todo x ∈ (α, β).

Capıtulo 5

Inecuaciones diferenciales

En esta oportunidad introducimos el estudio de las llamadas inecuacionesdiferenciales, tema poco difundido a nivel de un Curso de Ecuaciones Dife-renciales Ordinarias. Es natural suponer algunas preguntas que deben hacersealgunos lectores: Si el curso es de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, ¿por-que estudiar inecuaciones diferenciales? Indudablemente que en el contextoactual en que los metodos de aproximacion numerica estan de moda, el estu-diar inecuaciones diferenciales permite establecer un intervalo variable, en elcual oscila la solucion de nuestro problema de valor inicial (1.1); ası muchasveces bastara conocer las soluciones de dos inecuaciones diferenciales, entrelas cuales se encuentra la solucion de una ecuacion diferencial, para conocercon bastante aproximacion el valor de la solucion del PVI (1.1), el cual es unaecuacion diferencial.

Consideramos a f(x, y) una funcion continua en un dominio D.

Definicion 5.1. Decimos que una funcion y(x) es solucion de la inecua-cion diferencial y′ > f(x, y) en el intervalo J = [x0, x0 + a) si

i) y′(x) existe para cada x ∈ J

ii) Los puntos (x, y(x)) ∈ D para cada x ∈ J , y

iii) y′(x) > f(x, y(x)) para todo x ∈ J .

Las soluciones de las inecuaciones y′ ≥ f(x, y), y′ < f(x, y), y′ ≤ f(x, y)son definidas de manera analoga.

Ejemplo 5.2. Es facil verificar que la funcion y(x) = cot x es solucion de lainecuacion diferencial y′ < −y2 en el intervalo J = (0, π)

Efectivamente, vemos que

45


i) y′(x) = − csc2 x; existe para todo x ∈ J = (0, π)ii) (x, y(x)) ≡ (x, cot x) ∈ D; ∀x ∈ Jiii) − csc2 x < − cot2 x; para todo x ∈ J

5.1. Resultados basicos

Teorema 5.3. Sean f(x, y) una funcion continua en el dominio D, yy1(x), y2(x) son soluciones de las inecuaciones diferenciales

y′1 ≤ f(x, y1); y′2 > f(x, y2) (5.1)

sobre J . Entonces y1(x0) < y2(x0) implica que

y1(x) < y2(x); para todo x ∈ J (5.2)

Prueba. Si no se cumpliera (5.2) entonces el conjunto

A = x ∈ J : y1(x) ≥ y2(x) 6= Φ

b bx

x+ a

y2

y1

x*

Sea x∗ la mayor de las cotas inferiores de A, entonces x0 < x∗ y y1(x∗) = y2(x

∗).

Para h < 0 se tiene que y1(x∗ + h) < y2(x

∗ + h), luego

y′1(x∗ − 0) = lım

h→0

y1(x∗ + h)− y1(x

∗)

h≥ lım

h→0

y2(x∗ + h)− y2(x

∗)

h= y′2(x

∗ − 0).


es decir

y′1(x∗) ≥ y′2(x

∗)

pero por (5.1) se obtiene

f(x∗, y1(x∗)) ≥ y′1(x

∗) ≥ y′2(x∗) > f(x∗, y2(x

∗))

de donde f(x∗, y1(x∗)) > f(x∗, y2(x

∗)), y como y1(x∗) = y2(x

∗), esta desigual-dad es contradictoria; en consecuencia el conjunto A es vacıo, con lo cual severifica la desigualdad (5.2).

Observacion 5.4. El teorema (5.3) sigue siendo valido si en (5.1) se cambia≤ por <, y > por ≥; pero no se sigue cumpliendo si se cambian las desigual-dades por igualdades como observamos en el siguiente ejemplo

El problema

y′ = y2/3; y(0) = 0

tiene soluciones y1(x) = x3/27; y2(x) = 0 en [0,+∞), se observa que paraestas ecuaciones si se reemplazan en (5.3) las desigualdades por igualdadesestas se siguen cumpliendo, pero vemos que x3/27 0 en (0,∞).

Corolario 5.5. Sea f(x, y) una funcion continua en un dominio D. Siademas se cumplen:

i) y(x) es una solucion del problema de valor inicial (1.1) en el intervaloJ = [x0, x0 + a)

ii) y1(x) y y2(x) son las soluciones de las inecuaciones diferencialesy′1(x) < f(x, y1(x)) ; y

′2(x) > f(x, y2(x)) en el intervalo J .

iii) y1(x0) ≤ y0 ≤ y2(x0).

Entonces y1(x) < y(x) < y2(x); para x ∈ (x0, x0 + a).

Prueba. Probaremos que y(x) < y2(x); para x ∈ (x0, x0 + a).

Si y0 < y2(x0), entonces de iii) se tendrıa y1(x0) ≤ y0 < y2(x0), es deciry1(x0) < y2(x0), por tanto el resultado se obtiene por aplicacion del Teorema(5.3).

Ahora suponemos que y0 = y2(x0). Hagamos z(x) = y2(x)− y(x), entoncesz′(x0) = y′2(x0) − y′(x0) > f(x0, y2(x0)) − f(x0, y(x0)) = 0, [Por la segundainecuacion de (ii) y por (i) donde se afirma que y(x) es una solucion del PVI


(1.1)]; es decir z(x) es creciente a la derecha de x0 en un intervalo suficiente-mente pequeno [x0, x0 + δ], entonces

z(x0) < z(x0 + δ)

es decir 0 < y2(x0+ δ)−y(x0+ δ) de donde se tiene que y(x0+ δ) < y2(x0+ δ).Por una nueva aplicacion del Teorema (5.3) se tiene que y(x) < y2(x) para todox ∈ [x0 + δ, x0 + a). Desde que δ puede ser escogido suficientemente pequeno,se tiene que el Corolario es valido.

Ejemplo 5.6. Consideremos el PVI

y′ = y2 + x2; y(0) = 1; x ∈ [0, 1) (5.3)

Para la funcion y1(x) = 1 +x3

3, se tiene que y1(0) = 1, y para x ∈ (0, 1) se

tiene

y′1(x) = x2 < (1 +x3

3)2 + x2 = y21(x) + x2.

En forma analoga se tiene para la funcion y2(x) = tan(x+π/4), que y2(0) =1 y para x ∈ (0, π/4) se tiene que

y′2(x) = sec2(x+ π/4) = tan2(x+ π/4) + 1 > y22(x) + x2

Luego por el Corolario (5.5) la solucion del PVI (1.1) queda entre y1(x) y y2(x);es decir

1 +x3

3< y(x) < tan(x+ π/4); x ∈ (0, 1)

El siguiente resultado es una aplicacion del Teorema (5.3)

Teorema 5.7. Sea f(x, y) una funcion continua en el dominio D, y paratodo (x, y), (x, z) ∈ D con x ≥ x0, y ≥ z se verifica

f(x, y)− f(x, z) ≤ L(y − z). (5.4)

Ademas suponemos que las condiciones(i)-(iii) del Corolario (5.5) condesigualdad estricta en (ii) reemplazadas por igualdades son satisfechas.Entonces y1(x) ≤ y(x) ≤ y2(x); ∀x ∈ J.

Prueba. Definimos z1(x) = y1(x)− ǫeλ(x−x0), donde ǫ > 0 y λ > L

Por las hipotesis anteriores se tiene que

z′1(x) = y′1(x)− ǫeλ(x−x0) ≤ f(x, y1(x))− ǫeλ(x−x0)


≤ f(x, z1(x)) + ǫ(L− λ)eλ(x−x0) < f(x, z1(x))

En forma analoga para la funcion z2(x) = y2(x) + ǫeλ(x−x0) se tiene que

z′2(x) > f(x, z2(x)).

Tambien, z1(x0) < y1(x0) ≤ y0 ≤ y2(x0) < z2(x0) es evidente. Por lo tanto lascondiciones del Teorema (5.3) para las funciones z1(x) y z2(x) son satisfechas,por lo cual

z(x) < y(x) < z2(x) para todo x ∈ J (5.5)

haciendo ǫ→ 0 en (5.5) se obtiene lo deseado.

Corolario 5.8. Supongamos que las condiciones del Teorema (5.7) sonsatisfechas con (5.4) sustituida por la condicion de Lipschitz para todox ≥ x0 y si (iii) del Corolario (5.5) es reemplazada por y1(x0) = y0 =y2(x0). Entonces para cualquier x1 ∈ J tal que x1 > x0

y1(x1) < y(x1); (y(x1) < y2(x1)) o y1(x) = y(x)(y(x) = y2(x))∀x ∈ [x0, x1].

Prueba. Para x ≥ x0 y y ≥ z la condicion de Lipschitz es equivalente a

−L(y − z) ≤ f(x, y)− f(x, z) ≤ L(y?z) (5.6)

y luego por el Teorema (5.7) se sigue que y1(x) ≤ y(x) ≤ y2(x).

Como y1(x0) = y(x0) = y2(x0) a menos que y(x) = y1(x)(y(x) = y2(x)), existealgun x1 > x0 en el cual y1(x1) < y(x1)(y(x − 1) < y2(x1)). Sin embargo de(5.6) encontramos que

y′1(x)− y′(x) ≤ f(x, y1(x))− f(x, y(x)) ≤ L(y(x)− y1(x)),

lo cual es equivalente a

d

dx(eLx(y1(x)− y(x))) ≤ 0

luego la funcion eLx(y1(x) − y(x)) no puede ser creciente y para cualquierx > x1

eLx(y1(x)− y(x)) ≤ eLx1(y1(x1)− y(x1)) < 0

Luego, y1(x) < y(x); ∀x > x1. por lo tanto, si y(x1) = y1(x1) en cualquierpunto x1, entonces y(x) = y1(x) en [x0, x1].

Ahora presentaremos otra aplicacion del Teorema (5.3).


5.2. Soluciones maximales y minimales

Definicion 5.9. Una solucion r(x) (respectivamente ρ(x)) del PVI (1.1)la cual existe en el intervalo J , es llamada solucion maximal (respectiva-mente minimal) si para una solucion arbitraria de (1.1) existiendo en J ,la desigualdad

y(x) ≤ r(x); (respectivamente ρ(x) ≤ y(x))

se cumple para todo x ∈ J

Si las soluciones maximales o minimales existen, son unicas.

Teorema 5.10. Si f(x, y) es una funcion continua en S+ = (x, y) : x0 ≤x ≤ x0 + a; |y − y0| ≤ b. Entonces existe una solucion maximal r(x) yuna solucion minimal del PVI (1.1) en el intervalo [x0, x0 + α], dondeα = mına, b/(2M + b); donde M > 0 satisface |f(x, y)| ≤ M para todo(x, y) ∈ S+.

Prueba. Probaremos la existencia de la solucion maximal r(x).

Sea 0 < ǫ ≤ b/2 y consideremos el PVI

y′ = f(x, y) + ǫ; y(x0) = y0 + ǫ. (5.7)

Desde que la funcion fǫ(x, y) = f(x, y) + ǫ es continua en Sǫ = (x, y) : x0 ≤x ≤ x0 + a; |y − y(x0 + ǫ)| ≤ b/2, y Sǫ ⊆ S+, encontramos que |f(x, y)| ≤M+b/2 en Sǫ. Luego del Corolario (3.2) se sigue que el problema (5.7) tiene unasolucion y(x, ǫ) en el intervalo [x0, x0+α], donde α = mına, b/(2M+b). Para0 < ǫ2 < ǫ1 ≤ ǫ, tenemos que y(x0, ǫ2) < y(x0, ǫ1) y y

′(x, ǫ2) = f(x, y(x, ǫ2)) +ǫ2, y

′(x, ǫ1) > f(x, y(x, ǫ1))+ǫ2 para x ∈ [x0, x0+α]. Luego el Teorema (5.3) esaplicable y tenemos y(x, ǫ2) < y(x, ǫ1) para todo x ∈ [x0, x0 + α]. Ahora comoen el Teorema (??) es facil ver que la familia de funciones y(x, ǫ) es equicontinuay uniformemente acotada en [x0, x0 + α], luego del Teorema 7.10 existe unasucesion decreciente ǫn tal que ǫn → 0 cuando n → ∞, y lımn→∞ y(x, ǫn)existe uniformemente en [x0, x0 + α]. Denotamos esta funcion lımite por r(x).Obviamente r(x0) = y0 y la continuidad uniforme de f , con

y(x, ǫn) = y0 + ǫn +

∫ x

x0

[f(t, y(t, ǫn)) + ǫn]dt

nos da a r(x) como una solucion de (1.1).


Afirmacion. r(x) es la solucion maximal de (1.1) en [x0, x0 + α]

Sea y(x) cualquier solucion del PVI (1.1) en [x0, x0 + α], entonces y(x0) =y0 < y0 + ǫ = y(x0, ǫ), y y′(x) < f(x, y(x)) + ǫ; y′(x, ǫ) = f(x, y(x, ǫ)) + ǫpara todo x ∈ [x0, x0 + α] y 0 < ǫ ≤ b/2, luego del Teorema (5.3) se sigueque y(x) < y(x, ǫ), x ∈ [x0, x0 + α]. Por la unicidad de la solucion maximal semuestra que y(x, ǫ) tiende uniformemente a r(x) en [x0, x0+α] cuando ǫ→ 0.

Ejemplo 5.11. Para el problema de valor inicial

y′ = |y|1/2; y(0) = 0

es claro que r(x) = x2/4, ρ(x) = 0; si x ≥ 0; y r(x) = 0, ρ(x) = −x2/4 six ≤ 0 y

Ahora como una aplicacion de la solucion maximal r(x) se probara el si-guiente Teorema.

Teorema 5.12. Sea f(x, y) una funcion continua en un dominio D, y sear(x) la solucion maximal del problema (1.1) en el intervalo J = [x0, x0+a).Sea y(x) una solucion de la inecuacion diferencial

y′ ≤ f(x, y(x)) (5.8)

en J . Entonces y(x0) ≤ y0 implica que

y(x) ≤ r(x); para todo x ∈ J (5.9)

Prueba. Para x1 ∈ (x0, x0+a) un argumento analogo al usado en el Teorema(5.10) muestra que existe una solucion maximal r(x, ǫ) de (5.7) en [x0, x1] paratodo ǫ suficientemente pequeno y ademas lımǫ→0 r(x, ǫ) = r(x) uniformementeen [x0, x1]. Ahora de (5.7) y de (5.8) junto con y(x0) ≤ y0 < r(x, ǫ) se obtieneque

y(x) < r(x, ǫ) (5.10)

en [x0, x1]La desigualdad (5.9) se sigue tomando ǫ→ 0 en (5.10).

Comentario 5.13. Las inecuaciones diferenciales son tambien muy usadaspara obtener resultados de no existencia global y explosion de soluciones entiempo finito de ecuaciones diferenciales parciales; ası en el Metodo de Kaplano del primer coeficiente de Fourier las inecuaciones se muestran muy potentescon el auxilio de la famosa desigualdad de Jensen.

Capıtulo 6

Dependencia continua de losdatos iniciales

En muchos de modelos fısicos representados por el problema de valor inicial(1.1), los diversos parametros que intervienen en su formulacion no pueden sercuantificados de manera exacta, ya sea por los errores materiales y humanosque existen o por el grado de precision de los equipos empleados en hacer lasmediciones correspondientes. Otro factor que interviene en esta introduccionde errores es el ajuste final del modelo matematico a estudiar, esto se presentaal captar datos experimentales del fenomeno estudiado, ası por ejemplo, si elfenomeno real nos provee de valores para f(x, y) los cuales oscilan entre −1 y1,como se muestra en la figura, es muy dificil que exista una funcion f(x, y) quetenga exactamente dichos valores reales, entonces lo que se hace es consideraruna funcion que se ajuste o describa aproximadamente dicho comportameientoreal del fenomeno.

0b

1

b

bbbbbbb b b

bbbbbbb b b

b b bb

bb

bbbb

-1

bbb b

Datos en el laboratorio

Se observa entonces que es muy importante tener la certeza que leves varia-ciones en la toma de los datos iniciales f(x, y) y (x0, y0), nos den soluciones del

53


problema (1.1) las cuales difieran tambien muy levemente. Este comportamien-to es lo que se conoce como dependencia continua de los datos iniciales, quees un ingrediente esencial de lo que se conoce como estabilidad de soluciones.Cuando no existe dependencia continua de los datos iniciales puede ocurrirque pequenas variaciones en los datos iniciales impliquen grandes variacionesen las soluciones resultantes. Por lo general la mayorıa de las soluciones delproblema (1.1) no son exactas y se emplean metodos de aproximacion numeri-cos para obtener soluciones aproximadas, pero si no existe garantıa de queexista dependencia continua de los datos iniciales o que exista unidad de solu-ciones, entonces tampoco habrıa garantıa de que nos estemos aproximando ala solucion correcta.

Teorema 6.1. Si las siguientes condiciones son satisfechas:

i. f(x, y) es continua y acotada por M sobre un dominio D el cualcontiene los puntos (x0, y0) y (x1, y1).

ii. f(x, y) satisface una condicion de Lipschitz uniforme sobre D.

iii. g(x, y) es continua y acotada por M1 en D.

iv. y(x) y z(x) son soluciones del problema (1.1) y se cumple que

z′(x) = f(x, z) + g(x, z); z(x1) = y1

existe en un intervalo J conteniendo a x0 y x1.

Entonces para todo x ∈ J , la siguiente desigualdad se cumple

|y(x)−z(x)| ≤ (|y0−y1|+(M+M1)|x1−x0|+1

LM1)×exp(L|x−x0|)−

1

LM1

(6.1)

1

Prueba. De la Proposicion (1.5) se tiene que para todo x ∈ J

z(x) = y1 +

∫ x

x1

[f(t, z(t)) + g(t, z(t))]dt

= y1 +

∫ x

x0

f(t, z(t))dt+

∫ x0

x1

f(t, z(t))dt+

∫ x

x1

g(t, z(t))dt

Luego tenemos

1La funcion f(x, y) satisface la condicion de Lipschitz uniformemente en cualquier domi-nio D si para cualquier par de puntos (x, y1) , (x, y2) en D se tiene |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤L|y1 − y2|, donde L es una constante no negativa llamada constante de Lipschitz.


y(x)− z(x) = y0 − y1 =

∫ x

x0

[f(t, y(t))− f(t, z(t))]dt

+

∫ x1

x0

f(t, z(t))dt−∫ x

x1

g(t, z(t))dt. (6.2)

de (6.2) tenemos

|y(x)−z(x)| ≤ |y0−y1|+(M+M1)|x1−x0|+M1|x−x0|+L∫ x

x0

|y(t)−z(t)|dt(6.3)

La desigualdad de (6.3) es la misma que la del Corolario (1.11) con c0 =|y0 − y1| + (M +M1)|x− x0|, c1 = M1; c2 = L y u(x) = |y(x)− z(x)| con locual la desigualdad (6.1) se cumple.

Comentario 6.2. Se observa de la ecuacion (6.1) que la diferencia de las solu-ciones del PVI (1.1), y(x) y z(x) en J , resulta pequena si la funcion f(x, y) y elpunto inicial (x0, y0) varıan continuamente (levemente). Tambien observamosque la solucion z(x) del problema de valor inicial

z′(x) = f(x, z) + g(x, z); z(x1) = y1

no requiere ser unica en J .


y′ = sen(xy); y(0) = 1 (6.4)

en el rectangulo S = (x, y); |x| ≤ 1/2; |y − 1| ≤ 1/2.

Para aplicar el Teorema (2.4), vemos que a = 1/2, b = 1/2, y que

maxx∈S

| sin(xy)| ≤ 1 ≤M

y por el Teorema (1.7) vemos que la funcion sin(xy) satisface la condicion deLipschitz en S y el maxS |x cos(xy)| = 1/2 = L, luego el problema (6.4) tieneuna unica solucion en el intervalo |x| ≤ h ≤ 1/2.

Como una aproximacion del problema (6.4) consideramos el problema

z′ = xz; z(0) = 1,1 (6.5)

la cual tambien tiene una solucion unica z(x) = 1,1e(x2/2) en el intervalo |x| ≤

1/2. Por la formula de Taylor encontramos que

|g(x, y)| = | sin xy − xy| ≤ 1

6|xy|3 ≤ 1

6(1/2)3(3/2)3 =

9

128=M1


Haciendo uso del Teorema (6.1) para los PVIs anteriores obtenemos unacota de error superior para la diferencia entre las soluciones y(x) y z(x)

|y(x)− z(x)| ≤ (0,1 +9

64exp(|x|/2)− 9

64, ∀|x| ≤ 1/2.

Para enfatizar la dependencia del punto inicial (x0, y0) escribiremos y(x, x0, y0)para denotar la solucion y(x) del PVI (1.1).

Teorema 6.4. Supongamos que se satisfacen las siguientes sentencias:

i) f(x, y) es continua y acotada por M en un dominio D que contienea (x0, y0).

ii)∂f(x, y)

∂yexiste, es continua y es acotada por L en D.

iii) La solucion y(x, x0, y0) del PVI (1.1) existe en un intervalo Jconteniendo al punto x0.

Entonces se tiene que y(x; x0, y0) es diferenciable con respecto a y0

y z(x) =∂y(x; x0, y0)

∂y0es solucion del problema de valor inicial

z′ =∂f

∂y(x, y(x; x0, y0))z (6.6)

z(x0) = 1 (6.7)

La ecuacion (6.6) es llamada la ecuacion variacional correspondiente a lasolucion y(x; x0, y0).

Prueba. Sea (x0, y1) ∈ D tal que la solucion y(x, x0, y1) del PVI

y′ = f(x, y); y(x0) = y1

existe en el intervalo J1. Entonces para todo x ∈ J2 = J ∩J1, el Teorema (6.4)implica que

|y(x, x0, y0)− y(x, x0, y1)| ≤ |y0 − y1|eL|y0−y1|

es decir |y(x, x0, y0)− y(x, x0, y1)| → 0, cuando |y0 − y1| → 0.

Ahora para cada x ∈ J2 se cumple que

y(x, x0, y0)− y(x, x0, y1)− z(x)(y0 − y1)


=

∫ x

x0

[f(t, y(t, x0, y0))− f(t, y(t, x0, y − 1))− ∂f

∂y(t, y(t, x0, y0))z(t)(y0 − y1)]dt

=

∫ x

x0

∂f

∂y(t, y(t, x0, y0))[y(t, x0, y0)− y(t, x0, y1)− z(t)(y0 − y1)]dt

+

∫ x

x0

δy(t, x0, y0), y(t, x0, y1)dt,

donde δy(t, x0, y0), y(t, x0, y1) → 0, cuando |y(x, x0, y0) − y(x, x0, y1)| → 0,es decir cuando |y0 − y1| → 0.

De aqui encontramos que

|y(x, x0, y0)− y(x, x0, y11)− z(x)(y0 − y1)|

≤ L|∫ x

x0

|y(t, x0, y0)− y(t, x0, y1)− z(t)(y0 − y1)|dt|+ o(|y0 − y1|).

Ahora aplicamos el Corolario (1.11) y obtenemos

|y(x, x0, y0)− y(x, x0, y1)− z(x)(y0 − y1)| ≤ o(|y0 − y1|)exp(L|x− x0|).

Luego

|y(x, x0, y0)− y(x, x0, y1)− z(x)(y0 − y1)| → 0 cuando |y0 − y1| → 0.

con lo cual se completa la prueba.

A continuacion mostraremos que las condiciones del Teorema (6.4) sonsuficientes para que la solucion y(x, x0, y0) sea diferenciable con respecto a x0.

Teorema 6.5. Supongamos que se satisfacen las hipotesis del Teorema(6.4). Entonces la solucion y(x, x0, y0) es diferenciable con respecto a x0y z(x) = ∂y(x, x0, y0)/∂x0 es la solucion de la ecuacion variacional (6.6)satisfaciendo la condicion inicial

z(x0) = −f(x0, y0). (6.8)

Prueba. La prueba es similar a la del Teorema (6.4)

Notar que la ecuacion variacional (6.6) puede ser obtenida directamentediferenciando la relacion

y′(x, x0, y0) = f(x, y(x, x0, y0))


con relacion a y0 ( o a x0 ); ademas como y(x0, x0, y0) = y0, diferenciando conrespecto a y0 obtenemos la condicion inicial (6.7). Para obtener la condicioninicial (6.8) empezamos con la ecuacion integral

y(x, x0, y0) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t, x0, y0))dt

y diferenciando con respecto a x0 obtenemos

∂y(x, x0, y0)

∂x0|x=x0

= −f(x0, y0).

Para finalizar, consideraremos el problema

y′ = f(x, y, λ); y(x0) = y0 (6.9)

donde λ es un parametro real.

La prueba del siguiente teorema es muy similar a la de los resultados an-teriores.

Teorema 6.6. Supongamos que se cumple lo siguiente:

i) f(x, y, λ) es continua y acotada por M en un dominio D ⊂ R3 quecontiene al punto (x0, y0, λ0).

ii) ∂f(x, y, λ)/∂y existe, ∂f(x, y, λ)/∂λ es continua y acotada por L yL1 respectivamente en D.

Entonces se cumple:

1. Existen numeros positivos h y ǫ tal que dado cualquier numero λen el intervalo |λ − λ0| ≤ ǫ, existe una unica solucion y(x, λ) delproblema de valor inicial (6.9) en el intervalo |x− x0| ≤ h.

2. Para todo λ1, λ2 del intervalo |λ−λ0| ≤ ǫ y x en el intervalo |x−x0| ≤h se cumple la desigualdad

|y(x, λ1)− y(x, λ2) ≤L1|λ1 − λ2|

L(exp(L|x− x0|)− 1) (6.10)

3. La solucion y(x, λ) es diferenciable con respecto a λ, y z(x, λ) =∂y(x, λ)/∂λ es la solucion del problema de valor inicial

z′(x, λ) =∂f

∂y(x, y(x, λ), λ)z(x, λ) +

∂f

∂λ(x, y(x, λ), λ) (6.11)

z(x0, λ) = 0 (6.12)


Si λ es tal que |λ− λ0| es suficientemente pequeno entonces se dice que setiene una aproximacion de primer orden de la solucion y(x, λ) dada por

y(x, λ) ≃ y(x, λ0)+(λ−λ0)[∂y

∂λ(x, λ)]x=λ0

= y(x, λ0)+(λ−λ0)z(x, λ0). (6.13)


y′ = λy2 + 1; y(0) = 0 (λ ≥ 0) (6.14)

para el cual la solucion y(x, λ) =1√λtan

√λx existe en (−π/(2

√λ), π/(2

√λ)).

Si en (6.14) consideramos λ = 0 entonces y(x, 0) = x; desde que∂f

∂y= 2λy

y∂f

∂λ= y2, entonces el problema de valor inicial correspondiente a (6.11) y

(6.12) es

z′(x, 0) = x2; z(0, 0) = 0

cuya solucion es z(x, 0) = x3/3. Luego para λ cercano a cero, (6.13) nosda la aproximacion

y(x, λ) =1√λtan(

√λx) ≃ x+ λ

x3

3.

Capıtulo 7

Sistemas de ecuacionesdiferenciales

Hasta el momento el estudio se ha realizado con relacion al problema (1.1),el cual contiene una ecuacion diferencial con una incognita que toma valor es-calar. En este capıtulo extenderemos los resultados obtenidos para el problemade valor inicial (1.1) a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Elanalisis lo haremos fundamentalmente sobre los sistemas bidimensionales deprimer orden, ya que dicho abordaje nos servira de soporte para el estudio delos Sistemas bidimensionales autonomos.

Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente

u′1 = g1(x, u1, u2)u′2 = g2(x, u1, u2)

(7.1)

donde u1 y u2 son las funciones incognitas que dependen de la variable inde-pendiente x, y supongamos que g1, g2 son funciones continuas en un dominioE de R3.

Definicion 7.1. Una solucion de (7.1) en un intervalo J , es un conjuntode dos funciones u1, u2 tales que

i) Existen u′1(x) y u′2(x) para todo x del intervalo J .

ii) Para todo x ∈ J , los puntos (x, u1(x), u2(x)) ∈ E

iii) u′i(x) = gi(x, u1(x), u2(x)) para todo x ∈ J ; i = 1, 2.

Ejemplo 7.2. El sistema diferencial simultaneo de primer orden u′1(x) =1; u′2(x) = 2x tiene por solucion u1(x) = x y u2(x) = x2

Con relacion al sistema (7.1) podemos dar condiciones iniciales

u1(x0) = u01; u2(x0) = u02 (7.2)

61


donde x0 es un valor especıfico de x en J , y u01 y u02 son numeros tales que(x0, u

01, u

02) ∈ E.

El sistema diferencial (7.1) junto con la condicion inicial (7.2) constituyenun problema de valor inicial.

Ejemplo 7.3. El sistema diferencial simultaneo de primer orden

u′1(x) = u1u′2(x) = u21u1(0) = 1u2(0) = 3/2

(7.3)

tiene por solucion al par de funciones

u1(x) = ex, u2(x) = 1 +1

2e2x

Los sistemas diferenciales (7.1)-(7.2) se originan en biologıa y aplicacionesfısicas y frecuentemente describen sistemas muy complejos.

Es importante observar que los sistemas diferenciales de primer orden seoriginan tambien a partir de ecuaciones de orden susperior con relacion auna sola variable, como lo ilustraremos en los ejemplos que presentamos acontinuacion.

Ejemplo 7.4. Convertir la ecuacion diferencial

an(x)dnu

dxn+ an−1(x)

dn−1u

dxn−1+ · · ·+ a0u = 0

en un sistema de n ecuaciones de primer orden.

Solucion.

Sean u1(x) = y, u2(x) = dy/dx, . . . , un(x) = dn−1y/dxn−1, entonces

du1/dx = u2, du2/dx = u3, . . . , dun−1/dxn−1 = un,

y

dun/dx = −an−1(x)un + an−1(x)un−2 + · · ·+ a0u1an(x)

Ejemplo 7.5. Convertir el PVI

d3y

dt3+ (

dy

dt)2 + 3y = et; y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0

en un problema de valor inicial en las variables y, dy/dt, d2y/dt2.


Solucion.

Sean u1(t) = y, u2(t) = dy/dt y u3(t) = d2y/dt2. Entonces

du1dt

= u2;du2dt

= u3;du3dt

= et − u22 − 3u1

Ademas las funciones u1, u2, u3 satisfacen las condiciones iniciales u1(0) =1, u2(0) = 0, u3(0) = 0.

Estudiaremos lo relativo a la existencia y unicidad para el PVI (7.1)-(7.2),desde la perspectiva de una notacion vectorial; en tal perspectiva denotaremoscon

u(x) = (u1(x), u2(x)); y g(x, u) = (g1(x, u), g2(x, u))

y convenimos que las derivaciones e integraciones son ejecutadas puntualmenteen cada componente, es decir

u′(x) = (u′1(x), u′2(x));

∫ β

α

u(x)dx = (

∫ β

α

u1(x)dx,

∫ β

α

u2(x)dx).

Con esta notacion el problema de valor inicial (7.1)-(7.2) puede escribirse como

u′ = g(x, u); u(x0) = u0 (7.4)

lo cual es exactamente igual, en forma, a la expresion de (1.1), con la diferenciaque ahora u y u′ son funciones definidas en J tomando sus valores en R2, yg(x, u) es una funcion definida en E ⊆ R3 con valores en R2 y u0 = (u01, u

02).

Se dice que la funcion g(x, u) := (g1(x, u), g2(x, u2)) es continua en E sicada una de sus funciones componentes g1 y g2 son continuas en E

Se dice que la funcion g(x, u) es Lipschitz continua uniformemente en Esi existe una constante positiva L tal que

‖ g(x, u)− g(x, v) ‖≤ L ‖ u− v ‖ (7.5)

para todo (x, u); (x, v) ∈ E

Teorema 7.6. Sea E un dominio convexo y para todo (x, u) ∈ E lasderivadas parciales ∂g/∂u1, ∂g/∂u2 existen y ‖ ∂g/∂u ‖≤ L. Entonces lafuncion g(x, u) satisface la condicion de Lipschitz (7.5) en E con constantede Lipschitz L.


Prueba. Sean (x, u) y (x, v) puntos fijados en E. Por la convexidad de E lospuntos (x, v + t(u − v)) ∈ E; ∀t ∈ [0, 1]. Luego la funcion de valor vectorialG(t) = g(x, v + t(u− v)), para 0 ≤ t ≤ 1 esta bien definida. Ademas

G′(t) = (u1 − v1)∂g

∂u1(x, v + t(u− v)) + (u2 − v2)

∂g

∂u2(x, v + t(u− v))

de donde

‖ G′(t) ‖≤2

∑

i=1

| ∂gi∂u1

(x, v+ t(u−v))||u1−v1|+2

∑

i=1

| ∂gi∂u2

(x, v+ t(u−v))||u2−v2|

≤ L[|u1 − v1|+ |u2 − v2|]= L ‖ u− v ‖

Ahora de la relacion

g(x, u)− g(x, v) = G(1)−G(0) =

∫ 1

0

G′(t)dt

tenemos que

‖ g(x, u)− g(x, v) ‖≤∫ 1

0

‖ G′(t) ‖ dt ≤ L ‖ u− v ‖

Procediendo con los mismos argumentos que en la Proposicion (1.5) severifica que si g(x, u) es continua en el dominio E, entonces cualquier solucionde (7.4) es solucion de la ecuacion integral

u(x) = u0 +

∫ x

x0

g(t, u(t))dt (7.6)

y recıprocamente.

Para encontrar una solucion de la ecuacion integral (7.6) se usa el meto-do de Picard de aproximaciones sucesivas en forma analoga al caso escalar.Ası si u0(x) cualquier funcion continua, la cual suponemos es una aproxima-cion inicial de la solucion, entonces definimos aproximaciones sucesivamentepor

um+1(x) = u0 +

∫ x

x0

g(t, um(t))dt, m = 0, 1, . . . (7.7)

y como en el caso escalar si la sucesion (um(x)) converge uniformemente auna funcion contınua u(x) en algun intervalo J que contiene a x0 y para todox ∈ J los puntos (x, u(x)) ∈ E, entonces la funcion u(x) sera una solucion dela ecuacion integral (7.6).


Ejemplo 7.7. Para el PVI,

u′1 = x+ u2

u′2 = x+ u1 (7.8)

u1(0) = 1; u2(0) = −1

encontrar la solucion haciendo uso del metodo de Picard

Solucion.

Empezamos considerando u0(x) = (1,−1), y siguiendo el esquema iterativo dePicard tenemos

u1(x) = (1,−1) +

∫ x

0

g(t, u0(t))dt = (1,−1) +

∫ x

0

g(t, u0(t))

u1(x) = (1,−1) +

∫ x

0

(t− 1, t+ 1)dt

u1(x) = (1− x+x2

2,−1 + x+

x2

2)

u2(x) = (1,−1) +

∫ x

0

(t− 1 + t+t2

2, t + 1− t+

t2

2)dt

= (1− x+2x2

2+x3

3!,−1 + x+

x3

3!)

u3(x) = (1− x+2x2

2+x3

3!+x4

4!,−1 + x+

x3

3!+x4

4!)

u4(x) = (1− x+2x2

2+x3

3!+x4

4!+x5

5!,−1 + x+

x3

3!+x4

4!+x5

5!)

= (−(1 + x) + (2 +2x2

2!+x3

3!+x4

4!+x5

5!,−(1 + x) + (2x+

2x3

3!+x5

5!)

. . .

Luego observamos que la sucesion (um(x)) existe para todo x ∈ R y convergepara

u(x) = (−(1 + x) + ex + e−x,−(1 + x) + ex − e−x)

la cual es la solucion del PVI (7.8).

A continuacion enunciaremos algunos resultados analogos del caso escalarrespecto a la existencia local y global.


Teorema 7.8. Si se cumplen las siguientes condiciones:

i) g(x, u) es continua en Ω = (x, u); |x−x0| ≤ a; ‖ u−u0 ‖≤ b; por lotanto existe una constanteM > 0 tal que ‖ g(x, u) ‖≤M ; ∀(x, u) ∈Ω.

ii) g(x, u) satisface una condicion de Lipschitz uniformemente en Ω.

iii) u0(x) es continua en |x− x0| ≤ a; y ‖ u0(x)− u0 ‖≤ b.

Entonces la sucesion (um(x)) generada por el esquema de Picard conver-ge a la unica solucion del problema (7.4). Esta solucion es valida en elintervalo Jh : |x − x0| ≤ h = mına, b/M. Ademas para todo x ∈ Jh secumple la siguiente estimativa de error

‖ u(x)− um(x) ‖≤ NeLh mın1, (Lh)m

m!;m = 0, 1, . . .

donde

‖ u1(x)− u0(x) ‖≤ N

Teorema 7.9. [Existencia Global] Supongamos que se cumplen lassiguientes sentencias: (i) g(x, u) es continua en ∆ = (x, u)/|x − x0| ≤a; ‖ u ‖<∞. (ii) g(x, u) satisface la condicion de Lipschitz uniforme-mente en ∆. (iii) u0(x) es continua en |x− x0| ≤ aEntonces la sucesion (um(x)) generada por el esquema iterativo de Picardexiste en todo el intervalo |x−x0| ≤ a y converge a la unica solucion u(x)del problema (7.4).

Corolario 7.10. Sea g(x, u) continua en Rn+1 y que satisfaga una con-dicion de Lipschitz uniformemente en cada ∆a = (x, u); |x| ≤ a; ‖ u ‖<∞, con cosntante de Lipschitz La. Entonces el problema (7.4) tiene unaunica solucion la cual existe para todo x.

Teorema 7.11. [teorema de existencia de Peano] Sea g(x, u) conti-nua y acotada en ∆. Entonces entonces el problema (7.4) tiene al menosuna solucion en |x− x0| ≤ a.


Definicion 7.12. Sea g(x, u) continua en un dominio E. Una funcion u(x)definida en J es llamada solucion ǫ-aproximada de la ecuacion diferencialu′ = g(x, u) si

i) u(x) es continua para todo x ∈ J .

ii) Para todo x ∈ J los puntos (x, u(x)) ∈ E.

iii) u(x) tiene derivadas continua por secciones en J , excepto en unnumero finito de puntos, digamos x1, x2, . . . , xk.

iv) ‖ u′(x)− g(x, u(x)) ‖≤ ǫ; ∀x ∈ J ; x 6= xi; i = 1, 2, . . . , k.

Teorema 7.13. Sea g(x, u) continua en Ω, y por lo tanto existe una cons-tante M > 0 tal que ‖ g(x, u) ‖≤M para todo (x, u) ∈ Ω. Entonces paracada ǫ > 0 existe una solucion ǫ-aproximada u(x) del sistema diferencial

u′ = g(x, u); enJh; tal que u(x0) = u0.

Teorema 7.14. [Teorema de existencia de Cauchy-Peano] Si lashipotesis del Teorema (7.13) son satisfechas, entonces el problema (7.4)tiene al menos una solucion en Jh.

7.1. Sistemas lineales

En esta seccion respecto al sistema (7.1), consideraremos a g1 y g2 funcioneslineales, es decir

gi(x, u) = ai1(x)u1 + ai2(x)u2 + bi(x); i = 1, 2.

Denotando u(x) =

(

u1u2

)

a la matriz incognita; A(x) =

(

a11(x) a12(x)a21(x) a22(x)

)

;

y b(x) =

(

b1b2

)

vemos que el sistema (7.1) puede ser expresado por

(

u′1u′2

)

=

(

a11(x) a12(x)a21(x) a22(x)

)(

u1u2

)

+

(

b1b2

)

es decir el sistema (7.1) se puede escribir en la forma

u′ = A(x)u+ b(x) (7.9)


La existencia y unicidad del sistema diferencial (7.9) junto con la condicioninicial

u(x0) = u0 (7.10)

en un intervalo J que contenga a x0 se sigue del Corolario (7.10), bajo elsupuesto que las funciones aij(x) y bi(x);1 ≤ i, j ≤ 2 sean continuas en J .

El Principio de Superposicion1 se verifica para el sistema diferencial (7.1)y es reformulado del siguiente modo:

Si u(x) es solucion del sistema diferencial u′ = A(x)u + b1(x) y v(x) esuna solucion de v′(x) = A(x)v + b2(x), entonces φ(x) = c1u(x) + c2v(x)es una solucion del sistema diferencial φ′ = A(x)φ+ c1b

1(x) + c2b2(x).

En particular; si b1(x) = b2(x) = 0 es decir si u(x), v(x) son solucionesdel sistema diferencial homogeneo

u′ = A(x)u (7.11)

entonces c1u(x)+c2v(x) es tambien una solucion. Observamos que el con-junto de soluciones del sistema diferencial (7.11) constituye un espaciovectorial. Ademas si b1(x) = b2(x), c1 = 1; c2 = −1 y u(x) es una so-lucion de (7.9), entonces v(x) tambien es solucion de (7.9) si y solo siu(x)−v(x) es solucion de (7.11). Luego la solucion general de (7.9) es ob-tenida adicionando a una solucion particular de (7.9) la solucion generalcorrespondiente al sistema homogeneo (7.11).

7.2. Independencia lineal

A continuacion hacemos referencia a un concepto del algebra lineal, el cualesta intimamente ligado a las soluciones del sistema de ecuaciones diferencialeshomogeneo (7.11). Este concepto es el de independencia lineal.

Definicion 7.15. Las funciones vector-valuadas u1(x), . . . , um(x) defini-das en un intervalo J son llamadas linealmente independientes en Jsi la relacion c1u

1(x) + · · · + cmum(x) = 0 para todo x ∈ J implica que

c1 = . . . cm = 0.

1Principio de Superposicion. Si y1(x) y y2(x) son soluciones de y′+p(x)y = qi(x), i =1, 2, respectivamente, entonces c1y1(x) + c2y2(x) es una solucion de la ecuacion diferencialy′ + p(x)y = c1q1(x) + c2q2(x), donde c1 y c2 son constantes.


En oposicion a la definicion dada tenemos

Definicion 7.16. Las funciones u1(x), . . . , um(x) son linealmente de-

pendientes si existen constantes c1, . . . , cm no todas nulas tales quec1u

1(x) + · · ·+ cmum(x) = 0 para todo x en J .

Observar que si u1(x), . . . , um(x) son funciones linealmente dependientesen J , entonces existe ck 6= 0 tal que

uk(x) = −c1cku1(x)− · · · − ck−1

ckuk−1(x)− ck+1

ckuk+1(x) + · · ·+ cm

ckum(x).

es decir al menos uk(x) puede ser expresada como combinacion lineal de lasm − 1 funciones restantes. Por otro lado si una de las m funciones, digamosuk(x) puede ser representada como combinacion lineal de las m− 1 restantesentonces es claro que dichas m funciones son linealmente dependientes. Co-mo consecuencia de esto podemos inferir que si dos funciones son linealmentedependientes en J , entonces cada una de ellas es el multiplo de la otra; yen el caso de que dos funciones sean linealmente independientes es imposibleexpresar una como multiplo escalar de la otra.

Ejemplo 7.17. i) Las funciones 1, x, . . . , xm−1 son linealmente indepen-dientes en cada intervalo J , pues si c1+c2x+· · ·+cm−1x

m−1 = 0, entoncesc1 = c2 = · · · = cm−1 = 0. (Verificar!)

ii) Las funciones u1(x) =

(

ex

ex

)

y u2(x) =

(

e2x

3e2x

)

son linealmente

independientes en cada intervalo J ; pues si

c1

(

ex

ex

)

+ c2

(

e2x

3e2x

)

=

(

00

)

esto equivale a c1ex+c2e

2x = 0 y c1ex+3c2e

2x = 0, lo cual solo es posiblesi c1 = c2 = 0.

Definicion 7.18. Para n funciones u1(x), . . . ,un(x) se defineW (u1, . . . ,un)(x) como el determinante

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u11(x) . . . un1(x)u12(x) . . . un2(x). . . . . . . . .u1n(x) . . . unn(x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

llamado Wronskiano de dichas funciones. Por comodidad denotaremosal Wronskiano de las n funciones por W (x).


Teorema 7.19. Si el Wronskiano W (x) de las n funciones vector-valuadas u1(x), . . . ,un(x), es diferente de cero para al menos un x ∈ J ,entonces estas n funciones son linealmente independientes en J .

Prueba. Supongamos que u1(x), . . . ,un(x) son funciones linealmente depen-dientes en J , entonces existen n constantes c1, . . . , cn no todas nulas tales que∑n

i=1 ciui = 0, para todo x en J . Esto es equivalente a decir que el sistema

homogeneo de ecuaciones∑n

i=1 uikci = 0; 1 ≤ k ≤ n; x ∈ J tiene solucion

no trivial. Sabemos que este sistema homogeneo para x ∈ J tiene solucion notrivial si y solo si W (x) = 0. Pero el W (x) 6= 0 en al menos un x de J , enconsecuencia u1(x), . . . ,un(x) no pueden ser linealmente dependientes y porlo tanto se prueba el teorema.

Observacion 7.20. En general la recıproca de este teorema no es valida;ası tenemos que las funciones

u1(x) =

(

x1

)

; u2(x) =

(

x2

x

)

son linealmente independientes, pero W (u1,u2)(x) = 0 en cualquier intervaloJ .

La dependencia lineal de u1 y u2 implica que W (u1,u2) = 0; en J .

La recıproca del Teorema (7.19) se cumple si las funciones u1(x), . . . ,un(x)son soluciones del sistema (7.11) en J.

Teorema 7.21. Sean u1(x), . . . ,un(x) soluciones linealmente indepen-dientes de (7.11) en J , entonces W (x) 6= 0 para todo x ∈ J .

Prueba. Sea x0 ∈ J en el cual W (x0) = 0, entonces por el resultado2, setiene que existen constantes c1, . . . , cn constantes no todas nulas tales que∑n

i=1 ciui(x0) = 0. Como u(x) =

∑ni=1 ciu

i(x) es una solucion de (7.11), yu(x0) = 0, de la unicidad de las soluciones se sigue que u(x) =

∑ni=1 ciu

i(x) = 0en J ; sin embargo las funciones u1(x), . . . , un(x) son linealmente independientesen J con lo cual debemos tener c1 = · · · = cn = 0. Esta contradiccion completala prueba.

2Teorema. El sistema Au = b tiene una unica solucion si y solo si detA 6= 0. Alternati-vamente si el sistema homegeneo tiene solo la solucion trivial u = 0, entonces detA 6= 0.


Combinando los resultados de los Teoremas (7.19) y (7.21) encontramosque las soluciones del sistema (7.11) son linealmente independientes en J siy solo si existe al menos un punto x0 ∈ J tal que W (x0) 6= 0, es decir losvectores u1(x0), . . . , u

n(x0) son linealmente independientes, luego las solucionesu1(x), . . . , un(x) el sistema (7.11) que satisfacen las condiciones iniciales

ui(x0) = ei, i = 1, . . . , n (7.12)

son linealmente independientes en J . Con lo cual se prueba la existencia de nsoluciones linealmente independientes del sistema (7.11) en J .

Ahora sea u(x) cualquier solucion del sistema (7.11) en J tal que u(x0) =u0. Entonces por la existencia y unicidad de las soluciones del sistema (7.11)-(7.10), es inmediato que u(x) =

∑

i=1 u0iu

i(x), donde ui(x) es la solucion delproblema (7.11)-(7.12).Luego cada solucion de (7.11) puede expresarse comouna combinacion lineal de n soluciones linealmente independientes de (7.11)-(7.12). En conclusion hemos encontrado que el espacio vectorial de todas lassoluciones de (7.11) es de dimension n.

Teorema 7.22. [Formula de Abel] Sean u1(x), . . . ,un(x) solucionesdel sistema (7.11) en J y x0 ∈ J . Entonces para todo x ∈ J se tiene

W (x) = W (x0)exp(

∫ x

x0

TrA(t)dt) (7.13)

Antes de realizar la demostracion fijaremos algunas notaciones.

Una matriz A(x) = (aij(x)) donde los aij(x) 1 ≤ i, j ≤ n son funcionescontınuas en un intervalo J es llamada una funcion matriz-valuada.

Denotamos con C(m)n×n(J) al espacio de las funciones matriz-valuadas defini-

das en J donde cada aij ∈ C(m)(J). Por la definicion de determinante se tiene

que para una matriz dada A(x), detA(x) ∈ C(m)n×n. Por lo tanto considerando

que se define A′(x) = (a′ij(x)) tenemos

(det(A(x))′ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a′11(x) . . . a′1n(x)a21(x) . . . a2n(x). . . . . . . . .

an1(x) . . . ann(x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11(x) . . . a1n(x)a′21(x) . . . a′2n(x). . . . . . . . .

an1(x) . . . ann(x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ (7.14)

· · ·+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

an1(x) . . . a1n(x)a21(x) . . . a2n(x)+ . . . . . . . . .a′n1(x) . . . a′nnx)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


Prueba. Por el resultado (7.14), se tiene que la derivada del Wronskiano puedeexpresarse como

W ′(x) =

n∑

i=1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u11(x) . . . un1 (x). . . . . . . . .

u1i−1(x) . . . uni−1(x)u′1i (x) . . . u′ni (x)u1i+1(x) . . . uni+1(x). . . . . . . . .u1n(x) . . . unn(x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(7.15)

En el i-esimo determinante de (7.15) usamos el sistema diferencial (7.11)para reemplazar u′ji (x) por

∑nk=1 aik(x)u

jk(x), y multiplicando la primera fila

por ai1(x), la segunda fila por ai2(x) y ası sucesivamente, a excepcion de lai-esima fila, y sustrayendo su suma de la i-esima fila obtenemos

W ′(x) =

n∑

i=1

aii(x)W (x) = (TrA(x))W (x) (7.16)

integrando esta igualdad de x0 a x obtemos (7.13).

Ejemplo 7.23. Para la ecuacion diferencial

u′ =

0 1

− 2

(x2 + 2x− 1)

2(x+ 1)

(x2 + 2x− 1)

u; x 6= −1±√2.

Es facil verificar que

u1(x) =

(

x+ 11

)

; u2(x) =

(

x2 + 12x

)

son dos soluciones linealmente independientes. Ademas

W (u1, u2)(x) =

∣

∣

∣

∣

x+ 1 x2 + 11 2x

∣

∣

∣

∣

= x2 + 2x+ 1

y

exp(

∫ x

x0

TrA(t)dt) = exp(

∫ x

x0

2(t+ 1)

(t2 + 2t− 1)dt =

x2 + 2x+ 1

x20 + 2x0 − 1; x0 6= −1±

√2

Resumiendo observamos que la formula de Abel nos dice que el WronskianoW (x) o es identicamente cero o nunca es cero en J .

1.

Capıtulo 8

Teorıa cualitativa de ecuacionesdiferenciales ordinarias

En este capıtulo consideramos la ecuacion

du

dt= f(t,u) (8.1)

donde

u =

u1(t)...

un(t)

y

f(t,u) =

f1(t, u1, . . . , un)...

fn(t, u1, . . . , un)

es una funcion no lineal de u1, u2, . . . , un. A diferencia de lo visto en capıtulosanteriores, para la ecuacion (8.1) no existen metodos para resolverla, esto paraun lector que recien se inicia en estos menesteres podrıa ser muy desalentador;sin embargo existen muchas aplicaciones en las cuales no se requiere encontrarlas soluciones explıcitamente; siendo si importante conocer las propiedades delas mismas; ası por ejemplo si u1(t) y u2(t) representan las poblaciones de dosespecies en cada instante de tiempo t, las cuales compiten entre si por una can-tidad de alimento de su microcosmo, o medio ambiente para las cuales la tasade crecimiento de u1(t) y u2(t) es gobernada por la ecuacion (8.1) para n = 2,nuestro interes no estara centrado en hallar el valor de u1(t) y u2(t) en cadainstante de tiempo t, sino estara focalizado en las propiedades cualitativas deu1(t) y u2(t).

Concretamente estaremos interesados en responder las siguientes pregun-

73


tas:

1. ¿Existen valores λ1 y λ2 en el cual las dos especies coexisten juntasen un estado estacionario? Es decir, ¿existen numeros λ1, λ2 tales queu1(t) = λ1 y u2(t) = λ2 es una solucion de (8.1)? Si tales valores λ1, λ2existen, son llamados puntos de equilibrio de (8.1).

2. Suponiendo que las dos especies estan coexistiendo en equilibrio, y adi-cionamos unos cuantos miembros de la especie 1 al microcosmo. ¿u1(t) yu2(t) permaneceran cerca de sus valores de equilibrio para todo tiempofuturo? ¿O quizas los miembros adicionales otorga a la especie 1 una granventaja que les permita aniquilar a la especie 2?

3. Supongamos que u1 y u2 toman valores arbitrarios en t = 0. ¿Que ocurrecuando t→ ∞ ? ¿Sera que una especie finalmente resulta victoriosa o lalucha por la supervivencia finalizara en un empate?

En forma mas general estamos interesados en determinar las siguientespropiedades de las soluciones de (8.1):

1. ¿Existen valores de equilibrio

u0 =

u01...u0n

para el cual u(t) ≡ u0 es una solucion de (8.1)?

2. Si φ(t) es una solucion de (8.1) y si ψ(t) es otra solucion con ψ(0) muycercano a φ(0), es decir ψj(0) muy cercano a φj(0), j = 1, . . . , n ¿ψ(t)permanecera cercana a φ(t) para todo tiempo futuro? o ¿ψ(t) diver-gera de φ(t) cuando t se aproxima al infinito? Esta pregunta es conocidafrecuentemente como el problema de estabilidad . Dicho sea de paso setrata del problema mas fundamental de la Teorıa cualitativa de las ecua-ciones diferenciales.

3. ¿Que sucede con las soluciones u(t) de (8.1) cuando t→ ∞? ¿ Todas lassoluciones se aproximan a valores de equilibrio? Si ellas no se aproximana valores de equilibrio, ellas se aproximan a una solucion periodica?

Es importante remarcar que es posible dar respuesta a todas estas preguntassin necesidad de conocer explıcitamente la solucion de la ecuacion (8.1).

Ası la primera pregunta puede ser respondida inmediatamente.


Basta observar quedu

dtes identicamente cero si u(t) = u0. Luego u0 es un

valor de equilibrio si y solo si

u(t,u0) ≡ 0 (8.2)

Ejemplo 8.1. Encontrar todos los valores de equilibrio del sistema de ecua-ciones diferenciales

du1dt

= 1− u2,du2dt

= u31 + u2

Solucion.

u0 =

(

u01u02

)

es un punto de equilibrio si y solo si 1−u02 = 0 y (u01)3+u02 = 0, lo cual implica

que u02 = 1 y u01 = −1. Por lo tanto

(

−11

)

es el unico punto de equilibrio

del sistema.

Ejemplo 8.2. Hallar todas las soluciones de equilibrio del sistema

dx

dt= (x− 1)(y − 1),

dy

dt= (x+ 1)(y + 1)

Solucion.(

x0y0

)

es un valor de equilibrio de este sistema si y solo si (x0 − 1)(y0 − 1) = 0 y(x0 + 1)(y0 + 1) = 0. La primera ecuacion se cumple si x0 = 1 o y0 = 1,mientras que la segunda ecuacion es satisfecha si x0 = −1 o y0 = −1, luegox = 1, y = −1 y x = −1, y = 1 son las soluciones de equilibrio de este sistema.

El problema de la estabilidad es de la maxima importancia en aplicacionesfısicas, ya que jamas podemos medir condiciones iniciales de manera exacta,ni menos repetir una medida exactamente igual que otra.A modo de ilustracion consideremos una partıcula de masa m, sujeta a unacuerda inelastica de longitud l de masa despreciable. Supondremos que la cuer-da siempre esta tensa y el sistema vibra libremente en un plano vertical. Estaconfiguracion se conoce regularmente como un pendulo simple. La ecuacion delpendulo simple es

d2y

dt2+g

lsen y = 0 (8.3)

donde y es el angulo que forma la cuerda con el eje vertical AO, ver la figuraque sigue


Transformamos la ecuacion del pendulo (8.3) en un sistema diferencial; hace-mos para tal fin u1 = y, u2 = du1/dt, con lo cual se obtiene

du1dt

= u2;du2dt

= −glsen u1 (8.4)

El sistema de ecuaciones (8.4) tiene soluciones de equilibrio u1 = 0 , u2 = 0 yu1 = π , u2 = 0 [Si el pendulo es suspendido en posicion vertical y = π convelocidad nula, entonces recuperara su posicion vertical para todo tiempo fu-turo]. Estas dos soluciones de equilibrio tienen propiedades muy diferentes. Siperturbamos levemente el pendulo de su posicion de equilibrio u1 = 0, u2 = 0 osi lo desplazamos ligeramente o le imprimimos una pequena velocidad entoncesse efectuaran pequenas oscilaciones alrededor de u1 = 0, u2 = 0. Por otro ladosi perturbamos ligeramente al pendulo de su posicion de equilibrio u1 = π,u2 = 0 entonces ejecutaremos oscilaciones muy grandes alrededor de u1 = 0,o rotaremos alrededor o rotaremos ad infinitum. Luego pequenas perturbacio-nes causan grandes desviaciones del pendulo desde su posicion de equilibriou1 = π, u2 = 0. Intuitivamente diremos que el punto de equilibrio de (8.4)(0, 0) es estable, mientras que el punto de equilibrio (π, 0) de (8.4) es inestable.

La estabilidad, por lo general, es un asunto muy difıcil de resolver por causade las dificultades que se presentan para resolver explıcitamente

u′ = f(t,u)

el unico caso manejable es cuando f(t,u) no depende explıcitamente de t,sino solo de u, es decir cuando es de la forma f(u). Tales ecuaciones diferen-ciales son llamadas autonomas.

Hasta el capıtulo 6 nos hemos concentrado en estudiar el problema deexistencia y unicidad de soluciones para problemas de valor inicial escalaresdel tipo (1.1). Ası se estudio el sistema de ecuaciones diferenciales de primerorden de la forma

u′1 = g1(x, u1, u2)u′2 = g2(x, u1, u2)

(8.5)


A continuacion estudiaremos sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo (8.5)los cuales dependen solo de las variables u1 y u2, ya que en muchos fenomenosdel mundo real se presenta tal situacion.

8.1. Sistemas autonomos

Definicion 8.3. El sistema diferencial (8.5) es llamado autonomo si lafuncion g(x, u) es independiente de la variable x.

De acuerdo a esta definicion un sistema bidimensional autonomo es de laforma

u′1 = g1(u1, u2)u′2 = g2(u1, u2)

(8.6)

En lo que sigue supondremos que las funciones g1 y g2 junto con sus pri-meras derivadas parciales son continuas en algun dominio D del plano u1u2.Luego para todo (u01, u

02) ∈ D el sistema diferencial (8.6) junto con u1(x0) = u01,

u2(x0) = u02 tiene una unica solucion en algun intervalo J que contiene a x0.

¿Porque estudiar sistemas autonomos bidimen-

sionales?

El interes por estudiar sistemas autonomos bidimensionales de la forma(8.6) radica en dos aspectos fundamentales:

1. Estos sistemas aparecen en una gran cantidad de procesos dinamicos queson gobernados por sistemas autonomos bidimensionales, sobre todo enciencias aplicadas como economıa, biologıa, e ingenierıa principalmente.

2. Los sistemas bidimensionales autonomos tienen la ventaja de que el com-portamiento cualitativo de sus soluciones puede ser ilustrado por mediode la geometrıa en el plano u1u2.

Teorema 8.4. Si u(x) = (u1(x), u2(x)) es una solucion del sistema dife-rencial (8.6) en el intervalo (α, β), entonces para cualquier constante c lafuncion v(x) = (u1(x+ c), u2(x+ c)) tambien es una solucion de (8.6) enel intervalo (α− c, β − c).


Prueba. Como v′(x) = (u′1(x + c), u′2(x + c)) = u′(x + c), y u′(x + c) =g(u(x+c)), si α < x+c < β, lo cual equivale a que v′(x) = g(u(x+c)) = g(v(x));para x ∈ (α − c, β − c), es decir v(x) es solucion de (8.6) en el intervalo(α− c, β − c).

Observacion 8.5. El teorema anterior no se verifica para sistemas bidimen-sionales no-autonomos.

En efecto, una solucion para el sistema

u′1 = u1, u′2 = xu1

esta dada por u1(x) = ex y u2(x) = xex − ex, pero es obvio que

v(x) = (u1(x+ c), u2(x+ c))

no es solucion del sistema propuesto, ya que basta observar que

u′2(x+ c) = (x+ c)ex+c 6= xu1(x+ c)

a menos que c = 0.

En el plano u1u2 cualquier solucion del sistema diferencial (8.6) puede serconsiderada como una curva parametrica dada por (u1(x), u2(x)), con parame-tro x, sobre el dominio D que contiene el dato inicial (u01, u

02).

Definicion 8.6. La curva parametrica (u1(x), u2(x)) es llamada una tra-

yectoria, orbita o un camino de (8.6), y el plano u1u2 es llamado planode fase.

Luego por el Teorema (8.4), para cualquier constante c, tanto (u1(x), u2(x))para x ∈ (α, β) como (u1(x+ c), u2(x+ c)) para x ∈ (α− c, β − c) representanla misma trayectoria.

Para trayectorias de sistemas diferenciales del tipo (8.6) el siguiente teore-ma es de mucha utilidad.

Teorema 8.7. A traves del punto (u01, u02) ∈ D pasa una y solo una

trayectoria del sistema diferencial (8.6).

Prueba. Supongamos que existan dos trayectorias distintas (u1(x), u2(x)) y(v1(x), v2(x)) que pasan a traves de (u01, u

02) ∈ D, es decir u1(x0) = u01 = v1(x1)

y u2(x0) = u02 = v2(x1) donde x0 6= x1, esto es correcto por la unicidad de


los problemas de valor inicial. Por el Teorema (8.4) u11(x) = u1(x− x0 + x1) ,u12(x) = u2(x− x0 + x1) es tambien solucion de (8.6). Observar que

u11(x1) = u1(x0) = u01 = v1(x1)

y

u12(x1) = u2(x0) = u02 = v2(x1).

Por la unicidad de los problemas de valor inicial encontramos que

u11(x) ≡ v1(x) y u12(x) ≡ v2(x).

Luego (u1(x), u2(x)) y (v1(x), v2(x)) representan la misma trayectoria con di-ferentes parametrizaciones.

Ejemplo 8.8. Para el sistema diferencial u′1 = u2; u′2 = −u1, existen unnumero infinito de soluciones u1(x) = sen(x+ c); u2(x) = cos(x+ c); con0 ≤ c < 2π, −∞ < x <∞. Sin embargo ellas representan la misma trayectoriaque es la circunferencia u21 + u22 = 1.

En consecuencia es importante observar que una trayectoria es una curvaen D que es representada parametricamente por mas de una solucion. Luego,u(x) = (u1(x), u2(x)) y v(x) = (u1(x+ c), u2(x+ c)); con c 6= 0 son solucionesdistintas de (8.6), pero que representan la misma curva parametricamente.

Definicion 8.9. Todo punto (u01, u02) ∈ D en el cual g1 y g2 se anulan

simultaneamente es llamado un punto crıtico del sistema diferencial(8.6).

Un punto crıtico tambien es llamado punto de equilibrio, punto estacionario,punto de resto, o punto singular.

Observacion 8.10. Si (u01, u02) es un punto crıtico de (8.6), entonces clara-

mente u1(x) = u01 y u2(x) = u02 es una solucion de (8.6), y por el Teorema(8.4) ninguna trayectoria puede pasar atraves del punto (u01, u

02).

Definicion 8.11. Un punto crıtico (u01, u02) es llamado aislado si no existe

ningun otro punto crıtico en alguna vecindad de (u01, u02).

En lo que sigue, cada vez que tratemos acerca de un punto crıtico, nos estare-mos refiriendo a un punto crıtico aislado.


Ejemplo 8.12. Para el sistema diferencial

u′1 = a11u1 + a12u2u′2 = a21u1 + a22u2; a11a22 − a21a12 6= 0

(8.7)

existe solo un punto crıtico (0, 0) en D = R2

Ejemplo 8.13. Para el sistema de pendulo no amortiguado simple

u′1 = u2; u′2 = − g

Lsen u1

existen un numero infinito de puntos crıticos de la forma (nπ, 0) paran = 0;±1,±2, . . . en D = R2

Observacion 8.14. Sin perdida de generalidad podemos suponer que(0, 0) es un punto crıtico del sistema (8.6), ya que si (u01, u

02) fuera un

punto crıtico de (8.6), entonces la sustitucion v1 = u1−u01, y v2 = u2−u02transforma a (8.6) en un sistema equivalente con (0, 0) como su puntocrıtico.

Comentario 8.15. Una tecnica efectiva de estudiar el sistema (8.6) en lavecindad de (0, 0) es aproximar mediante un sistema lineal de la forma (8.7)y esperar que una buena aproximacion a (8.7) nos provea de soluciones lascuales en si mismas sean buenas aproximaciones al sistema (8.6). Por ejemplosi el sistema (8.6) puede escribirse como

u′1 = a11u1 + a12u2 + h1(u1, u2)u′2 = a21u1 + a22u2 + h2(u1, u2)

(8.8)

con h1(0, 0) = h2(0, 0) = 0 y se cumplen los lımites siguientes

lımu1,u2→0

h1(u1, u2)

(u21 + u22)1/2

= lımu1,u2→0

h2(u1, u2)

(u21 + u22)1/2

= 0

entonces por los resultados anteriores se obtiene inmediatamente el siguienteteorema.

Teorema 8.16. (i) Si la solucion cero del sistema (8.7) es asintoticamen-te estable, entonces la solucion cero del sistema (8.8) es asintoticamenteestable.(ii) Si la solucion cero del sistema (8.7) es inestable, entonces la solucioncero del sistema (8.8) tambien es inestable.(iii) Si la solucion cero del sistema (8.7) es estable, entonces la solucioncero del sistema (8.8) puede ser asintoticamente estable, estable o inesta-ble.


Observar que si las funciones g1(u1, u2) , g2(u1, u2) poseen segundas deri-vadas parciales continuas en la vecindad del punto crıtico (0, 0), entonces porla formula de Taylor el sistema diferencial (8.6) puede ser siempre escrito enla forma (8.8) con

a11 =∂g1∂u1

(0, 0); a12 =∂g1∂u2

(0, 0); a21 =∂g2∂u1

(0, 0); a22 =∂g2∂u2

(0, 0).

La imagen de todas las trayectorias de un sistema se llama retrato de fasesdel sistema o mapa de fases del sistema diferencial. Como las soluciones delsistema (8.6) pueden determinarse explıcitamente entonces es posible dar unadescripcion completa de su retrato de fases. Sin embargo como hemos visto an-teriormente, la naturaleza de las soluciones de (8.7) depende de los autovaloresde la matriz

A =

(

a11 a12a21 a22

)

es decir, las raıces de la ecuacion

det(A− λI) = 0

λ2 − (a11 + a22)λ+ a11a22 − a21a12 = 0 (8.9)

El retrato de fases de (8.6) depende casi totalmente de las raıces λ1 y λ2 de(8.9); por tal motivo se amerita el estudio de los diversos casos por separado.

8.1.1. Primer caso: λ1, λ2 ∈ R; λ1 6= λ2; con igual signo

Si v1 y v2 son los correspondientes autovectores de A, entonces la soluciongeneral de (8.6) puede ser escrita como

(

u1(x)u2(x)

)

= c1

(

v11v12

)

eλ1x + c2

(

v21v22

)

eλ2x (8.10)

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

Escogemos por comodidad (en este caso siempre es posible hacer esto) queλ1 > λ2 y que λ2 < λ1 < 0 entonces las soluciones de (8.6) tienden a (0, 0)cuando x→ ∞, por lo tanto el punto crıtico (0, 0) de (8.6) es asintoticamenteestable. En el caso c1 = 0 y c2 6= 0 se tiene u1 = c2v

21e

λ2x y u2 = c2v22e

λ2x dedonde tenemos u2 = (v22/v

21)u1; en este caso la trayectoria es una recta con

pendiente v22/v21. De manera analoga si c1 6= 0 y c2 = 0, la trayectoria es la

recta u2 = (v12/v11)u1. Para obtener otras trayectorias suponemos que c1 y c2

son ambas diferentes de cero. Entonces como


u2(x)

u1(x)=c1v

12e

λ1x + c2v22e

λ2x

c1v11e

λ1x + c2v21e

λ2x=c1v

12e

λ1x + c2v22e

(λ2−λ1)x

c1v11e

λ1x + c2v21e

(λ2−λ1)x(8.11)

lo cual tiende a v12/v11 cuando x → ∞, todas las trayectorias con pendiente

v12/v11 tienden a (0, 0). En forma analoga cuando x → −∞ todas las trayec-torias resultan asimptoticas a la recta con pendiente v22/v

21. Esta situacion es

ilustrada en la siguiente figura para los dos valores distintos de la pendientev12/v

11 y v22/v

21. Aquı el punto crıtico (0, 0) es llamado nodo estable.

Si λ1 > λ2 > 0 entonces todas las soluciones no triviales tienden a infinitocuando x→ ∞. Por lo tanto el punto crıtico (0, 0) es inestable. Las trayectoriasson las mismas que en el caso en que λ2 < λ1 < 0, con la diferencia quela direccion del movimiento es en sentido contrario como se muestra en lasiguiente figura


Observamos que cuando x → −∞ las trayectorias tienden a (0, 0) con lapendiente v22/v

21 y cuando x → ∞ las trayecorias resultan asimptoticas a la

recta de pendiente v12/v11. Aquı el punto crıtico es llamado un nodo inestable.

8.1.2. λ1 y λ2 son reales y de signos opuestos.

En este caso la solucion de (8.6) tiene la misma forma que la de (8.10).Sea λ1 > 0 > λ2. Si c1 = 0 y c2 6= 0, entonces se tiene que (como en el caso1.) que u2 = (v22/v

21)u1, y cuando x → ∞ entonces u1(x) y u2(x) tienden a

cero. Si c1 6= 0 y c2 = 0 entonces u2 = (v12/v11)u1, y u1(x) y u2(x) tienden a ∞

cuando x → ∞, y se aproximan a cero cuando x → −∞. Si tanto c1 como c2son diferentes de cero, de (8.11) se obtiene que u2/u1 tiende a v12/v

11 cuando

x→ ∞. Luego todas las trayectorias son asimptoticas a la recta con pendientev12/v

11 cuando x→ ∞.

Analogamente, cuando x → −∞ todas las trayectorias son asimptoticas ala recta con pendiente v22/v

21. Tambien es obvio que u1(x) y u2(x) tienden al

infinito cuando x→ ±∞. Este tipo de punto crıtico es llamadado punto silla.Claramente el punto silla mostrado en esta figura es un punto crıtico inestabledel sistema.

8.1.3. λ1 = λ2 = λ

En este caso haciendo uso de un resultado1, la solucion del sistema (8.6) esdada por

(

u1(x)u2(x)

)

= c1

(

1 + (a11 − λ)xa21x

)

eλx + c2

(

a12x1 + (a22 − λ)x

)

eλx (8.12)

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

1


Si λ < 0, entonces u1(x) y u2(x) tienden a cero cuando x → ∞, y luegoel punto crıtico (0, 0) de (8.7) es asimptoticamente estable. Ademas de(8.12) se tiene que

u2u1

=c2 + [a21c1 + (a22 − λ)c2]x

c1 + [a12c2 + (a11 − λ)c1]x(8.13)

Luego, en particular, si a12 = a21 = 0, a11 = a22 6= 0, entonces la ecuacion(8.9) da λ = a11 = a22

y la ecuacion (8.13) se reduce a u2/u1 = c2/c1. Luego todas las trayecto-rias son lineaqs rectas con pendiente c2/c1. El retrato de fase es ilustradoen este caso por la siguiente figura

En este caso el origen es llamado un nodo estelar estable propio. En elcaso general cuando x → ±∞ (8.13) tiende a

a21c1 + (a22 − λ)c2a12c2 + (a11 − λ)c1

.

Como (a11−λ)(a22−λ) = a12a21 este radio es el mismo que a21/(a11−λ).Luego cuando x→ ±∞ todas las trayectorias son asimptoticas a la rectau2 = (a21/(a11 − λ))u1. Aqui el origen (0, 0) es llamado nodo estelarinestable impropio, como se muestra en la siguiente figura


Si λ > 0, todas las soluciones tienden a ∞ cuando x → ∞ y luego elpunto crıtico de (8.7) es inestable. Las trayectorias son las mismas quepara λ < 0 con la diferencia que la direccion del movimiento es inversa.Esto se muestra en las figuras que siguen

8.1.4. λ1, λ2 son complejos conjugados

Sean λ1 = µ + iν y λ2 = µ − iν, donde podemos suponer ν > 0. Siv = v1 + iv2 es el autevector de A correspondiente al autovalor λ1 = µ + iν,entonces la solucion de (8.7) puede ser escrita como

u(x) = e(µ+iν)x(v1 + iv2) = eµx(cos νx+ i sen νx)(v1 + iv2)

= eµx[v1 cos νx− v2 sen νx] + ieµx[v1 sen νx+ v2 cos νx]

Luego por2, tenemos que

u1(x) = eµx[v1 cos νx− v2 sen νx], y u2(x) = eµx[v1 sen νx+ v2 cos νx]

2i


son dos soluciones linealmente independientes de (8.7) real valuadas, y cadasolucion u(x) de (8.7) es de la forma u(x) = c1u

1(x) + c2u2(x). Esta expresion

se puede reescribir como

u1(x) = r1eµx cos(νx− δ1); u2(x) = r2e

µx cos(νx− δ2) (8.14)

donde r1 ≥ 0, r2 ≥ 0 y δ1, δ2 son algunas constantes.

Si µ = 0, entonces u1(x) = r1cos(νx − δ1) y u2(x) = r2cos(νx − δ2) sonperiodicas con periodo 2π/ν. La funcion u1(x) varıa entre −r1 y r1, mientrasque u2(x) varıa entre −r2 y r1. Luego cada trayectoria que comienza en elpunto (u∗1, u

∗2) donde x = x∗ volvera al mismo punto cuando x = x ∗ +2π/ν.

Esto no dice que las trayectorias son curvas cerradas, y el retrato de fase de(8.7) tiene la forma descrita en la siguiente figura,

En este caso el punto crıtico (0, 0) es estable, pero no es asimptoticamenteestable, y se le llama centro.

Si µ < 0, entonces por (8.14), el factor eµx hace que las curvas cerradassimples de la figura anterior se conviertan en espirales como la que mostramosen la figura que sigue

Esto ocurre porque el punto (u1(2π/ν), u2(2π/ν)) = exp(2πµ

ν)(u1(0), u2(0))

esta mas cerca del origen (0, 0) que (u1(0), u2(0)). En este caso el punto crıtico


(0, 0) es asimptoticamente estable, y es llamado un foco estable.

Si µ > 0, entonces todas las trayectorias de (8.7) se alejan del origen cuandox→ ∞, conforme se muestra en la siguiente figura

En este caso el punto crıtico (0, 0) es inestable y es llamado un foco inestable.

Todo lo analizado respecto a la estabilidad de los sistemas lo expresamosen forma resumida en el siguiente teorema.

Teorema 8.17. Sean λ1, λ2 los autovalores de la matriz A con relacion alsistema diferencial (8.7). Entonces el comportamiento de sus trayectoriasen la vecindad de (0, 0) es el siguiente:

i) Nodo estable: Si λ1 y λ2 son reales, distintos y negativos.

ii) Nodo inestable: Si λ1 y λ2 son reales, distintos y positivos.

iii) Punto silla(inestable): Si λ1 y λ2 son reales, distintos y de signosopuestos.

iv) Nodo estable: Si λ1 y λ2 son reales, iguales y negativos.

v) Nodo inestable: Si λ1 y λ2 son reales, iguales y positivos.

vi) Centro estable: Si λ1 y λ2 son imaginarios puros.

vii) Foco estable: Si λ1 y λ2 son complejos conjugados, con parte realnegativa.

viii) Foco inestable: Si λ1 y λ2 son complejos conjufados, con parte realpositiva.


Ejemplo 8.18. i) Para la ecuacion diferencial x′′+x = 0 se conoce que lassoluciones estan dadas por c1 cosx+ c2 sen x, donde c1 y c2 son escalares.Para c1 = 1 y c2 = 0 se tiene que cosx es solucion y para c1 = 0 yc2 = 1 resulta que sen x es solucion de esta ecuacion diferencial. Con estaforma de resolver esta ecuacion diferencial no hay informacion acercade las propiedades de las soluciones. En el siguiente inciso veremos quecon la transformacion de esta ecuacion en una forma equivalente de unsistema diferencial podemos tener mayor informacion cualitativa acercade la naturaleza de las soluciones.

ii) La ecuacion diferencial anterior se puede expresar en forma de un sistemadiferencial como

x′ = y, y′ = −xo en su forma matricial

(

x′(t)y′(t)

)

=

(

0 1−1 0

)(

x(t)y(t)

)

es decir

X′(t) = AX(t)

donde X(t) =

(

x(t)y(t)

)

y A =

(

0 1−1 0

)

.

Se observa que la solucion que cumple X(0) =

(

00

)

es X(t) ≡(

00

)

, y

la que satisface X(0) =

(

01

)

es X(t) =

(

cos tsen t

)

Estas soluciones describen en el espacio la recta y la helice de la figura

Sus proyecciones sobre el plano XY de estas dos soluciones son el punto yla circunferencia que vemos en la figura siguiente,


Observamos que el punto crıtico es la proyeccion de la solucion constantesobre el plano XY .

En la practica no se conocen las soluciones del sistema (8.6), muchas ve-ces para dibujar su mapa de fases se recurre a las propias funciones g1 y g2,recordemos que se ha supuesto que g1 y g2 son contınuas en un dominioD de R2

Eliminando la variable t del sistema x′ = g1(x, y), y′ = g2(x, y) obtenemosla ecuacion diferencial de las orbitas [si es posible por el Teorema de la funcioninversa, ya que dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) ]

dy

dx=g1(x, y)

g2(x, y)(8.15)

Las curvas integrales de (8.15) seran las orbitas de (8.6).

Como se ha eliminado t, al dibujar las orbitas solo a partir de (8.15), estascareceran de sentido de direccion u orientacion; para ello usaremos un campoque servira para determinar la orientacion de las orbitas.

Para la ecuacion de este ejemplo se tiene que

dy

dx= −x

y

cuyas soluciones son x2 + y2 = CEn algunas oportunidades no es posible resolver la ecuacion (8.15) tan

facilmente como en este caso, para lo cual se apela al campo de direcciones V,el cual es dado en cada punto del plano por

V(x, y) =

(

g1(x, y)g2(x, y)

)

el cual coincide con

(

x′

y′

)

, vector tangente a la orbita en el punto (x, y).

Por lo tanto, las orbitas seran curvas tangentes a los vectores del campo V, elcual como se observa solo se anula en los puntos crıticos. El recurso del campovectorial nos permite tener una idea aproximada del mapa de fases, aun quefallen todas las otras tecnicas.


x′ = x, y′ = y2

se observa directamente que el unico punto crıtico es el origen (0, 0), el campo

V es dado por V(x, y) =

(

xy2

)


Podemos ver algunos vectores del cam-po V en el dibujo que mostramos a laizquierda, en donde se puede observar ladireccion de los vectores de este campo encada punto (x, y). En este caso es posibleobtener la solucion mediante los metodosconocidos, la cual es

x = Ce−1/y

pero si no hubiera sido posible obtenerla solucion explıcitamente, entonces sola-mente con el campo vectorial es posibleaproximar el mapa de fases, es decir cada

orbita nos da los valores que toman x e y de la solucion de la que es proyeccion;sin embargo esta ganancia de informacion, no nos dice en que instante detiempo t toman tales valores. Usando el campo vectorial mostramos el mapade fases correspondiente al sistema diferencial que estamos analizando.

Ejemplo 8.20. Analizar estabilidad para el sistema diferencial

u′1 = 1− u1u2, u′2 = u1 − u32. (8.16)

Para obtener los puntos crıticos hacemos

1− u1u2 = 0, y u1 − u32 = 0

de donde obtenemos que (1, 1) y (−1,−1) son los unicos puntos crıticos de(8.16).

Para el punto crıtico (1, 1): en el sistema (8.16) sustituimos las ecuacionesv1 = u1 − 1 y v2 = u2 − 1 obteniendo el nuevo sistema

v′1 = 1− (v1 + 1)(v2 + 1) = −v1 − v2 − v1v2v′2 = (v1 + 1)− (v2 + 1)3 = v1 − 3v2 − 3v22 − v32

(8.17)


el cual hace el rol del sistema diferencial (8.8). En el sistema (8.17) las funcionesh1(v1, v2) = −v1v2, h2(v1, v2) = −3v22 − v32 son tales que

lımv1,v2→0

h1(v1, v2)

(v1 + v2)1/2= 0 = lım

v1,v2→0

h2(v1, v2)

(v1 + v2)1/2

Correspondiendo a (8.17), el sistema lineal asociado es

v′1 = −v1 − v2v′2 = v1 − 3v2.

(8.18)

Como la matriz(

−1 −11 −3

)

tiene como autovalores λ1 = λ2 = −2, por lo tanto la solucion cero del sistemadiferencial (8.18) es asimptoticamente estable. Luego por el Teorema (8.16) lasolucion cero del sistema diferencial (8.17) es asimptoticamente estable. Portanto el punto crıtico (1, 1) del sistema (8.16) es asimptoticamente estable.Ademas por el Teorema (8.17) la solucion cero del sistema diferencial (8.18)es un nodo estable. En consecuencia por el Teorema (8.17) la solucion nula de(8.17) es un nodo estable. Luego el punto crıtico (1, 1) de (8.16) es un nodoestable.

Analogamente para el punto (−1,−1) usamos la sustitucion v1 = u1 + 1,v2 = u2 + 1, obteniendo el nuevo sistema

v′1 = 1− (v1 − 1)(v2 − 1) = v1 + v2 − v1v2v′2 = (v1 − 1)− (v2 − 1)3 = v1 − 3v2 + 3v22 − v32

(8.19)

El nuevo sistema lineal asociado a (8.19) es

v′1 = v1 + v2v′2 = v1 − 3v2

(8.20)

Como para la matriz(

1 11 −3

)

los autovalores son λ1 = −1 +√5 > 0 y λ2 = −1 −

√5 < 0, la solucion nula

de (8.20) es un punto de silla inestable. Luego para el sistema no lineal (8.19)la solucion cero es un punto silla inestable. En consecuencia el punto crıtico(−1,−1) del sistema diferencial (8.16) es un punto silla inestable.

Observacion 8.21. Para los sistemas no lineales

u′1 = −u2 − u21u′2 = u1

(8.21)

u′1 = −u2 − u31u′2 = u1

(8.22)


el correspondiente sistema homogeneo es

u′1 = −u2u′2 = u1

(8.23)

Se nota claramente que para (8.23) el punto crıtico (0, 0) es un centro. Esconocido que el punto crıtico (0, 0) de (8.21) es un centro, mientras que elmismo punto para (8.22) es un foco.

Observacion 8.22. Si el sistema no lineal general (8.6) no contiene terminoslineales, entonces es posible obtener un numero infinito de puntos crıticos, yla naturaleza de estos puntos depende de la no linealidad en (8.6), siendo porlo tanto imposible clasificar estos puntos crıticos en esta situacion.


x′ = 3x− 2y, y′ = 2x− 2y

los puntos crıticos se obtienen haciendo

3x− 2y = 0, y 2x− 2y = 0

de donde se ve que la matriz de coeficientes A =

(

3 −22 −2

)

tiene como

autovalores los valores que toma λ en la ecuacion

det(A− λI) = 0

es decir

det(

(

3 −22 −2

)

− λ

(

1 00 1

)

) = 0

det(

(

3− λ −22 −2− λ

)

) = 0

(3− λ)(−2− λ)− 2(−2) = 0

λ2 − λ− 2 = 0

(λ− 2)(λ+ 1) = 0

de donde λ1 = −1 y λ2 = 2 son los autovalores. Luego de acuerdo al Teorema(8.17) (iii), las trayectorias se desplazan alrededor del punto crıtico (0, 0) elcual es un punto silla.

Para bosquejar el mapa de fases hacemos uso del campo

V(x, y) =

(

3x− 2y2x− 2y

)

.


El campo V es vertical [es decir x′ = 0] si y = 3/2x, y es horizontal [es deciry′ = 0] si y = x. Notemos que sobre el eje X el campo V se transforma en

V (x, 0) =

(

3x2x

)

= x

(

32

)

y sobre el eje Y el campo V resulta V(0, y) =(

−2y−2y

)

= −2y

(

11

)

, lo cual permite bosquejar el mapa de fases como se

muestra en la figura que continua.

y=x

y = (3/2)x

Ejemplo 8.24. Bosquejar el mapa de fases del sistema diferencial

x′ = 2x− y, y′ = 2x− 2

Analisis.

Resolviendo el sistema 2x− y = 0, 2x− 2 = 0 se obtiene el punto crıtico(1, 2). Usando las ecuaciones de traslacion x = X +1, y y = Y +2 se tiene queel nuevo sistema diferencial en el sistema XY es

X ′ = 2X − Y, Y ′ = 2X

para el cual (0, 0) es su punto crıtico y cuya matriz asociada es

A =

(

2 −12 0

)

luego los autovalores son λ1 = 1 −√3i y λ2 = 1 +

√3i es decir (0, 0) se trata

de un nodo inestable; es decir el punto crıtico se trata de un foco inestable.Afinando el bosquejo de las trayectorias vemos que el campo V es vertical(es decir x′ = 0) si y = 2x y es horizontal (es decir y′ = 0) si x = 1. Ademas

V(x, 2) = 2(x−1)

(

11

)

y a lo largo de la recta y = 3−x el campo es V(x, 3−

x) = (x − 1)

(

32

)

. Observar que el mapa mostrado es el correspondiente al

sistema X′ = AX que es el trasladado al punto crıtico.


Observacion 8.25. A pesar de su simplicidad, el auxilio con los mapas defases no es de mucha utilidad para los sistemas lineales ya que podemos hallarsu solucion directamente. Su importancia radica en que podemos deducir laforma de las orbitas en las cercanıa de los puntos crıticos de los sistemas nolineales.

Ejemplo 8.26. Para el sistema diferencial lineal

u′1 =−32u1 +

12u2

u′2 = u1 − u2(8.24)

Vemos que al resolver el sistema lineal

−32u1 +

12u2 = 0

u1 − u2 = 0

obtenemos el punto crıtico (0, 0), y al resolver la ecuacion

det(

(

−32

12

1 −1

)

− λ

(

1 00 1

)

) = 0

es decir λ2 + (5/2)λ+ 1 = 0, se obtienen los autovalores de la matriz

A =

(

−32

12

1 −1

)

λ1 = −1/2, λ2 = −2


es decir los autovalores son numeros reales con el mismo signo, por tanto porel Teorema (8.17)(i) podemos afirmar que el punto crıtico (0, 0) es un nodoestable. En el siguiente grafico se muestra el mapa de fases y el campo dedirecciones o de vectores tangentes a cada una de las orbitas.

Comentario 8.27. Respecto al ejemplo anterior al calcular los correspon-dientes vectores propios a cada uno de los autovalores λ1 = −1/2 y λ2 = −2tenemos que a partir de la relacion

(A − λI)v = 0

para λ1 = −1/2 se obtiene v1 = (1, 2)T y para λ2 = −2 obtenemos v2 =(−1, 1)T

Con los pares −1/2, (1, 2)T y −2, (−1, 1)T obtenemos las soluciones lineal-

mente independientes u1(t) =

(

12

)

e−t/2 y u2(t) =

(

−11

)

e−2t y la solucion

general del sistema (8.24) es dada por

u(t) = c1

(

12

)

e−t/2 + c2

(

−11

)

e−2t (8.25)

Cuando t→ ∞ todas las orbitas (curvas solucion) entran al origen. Cuando tes suficientemente grande el termino e−1/2t domina al termino e−2t por tal mo-tivo todas las orbitas se dirigen al origen en la direccion del autovector (1, 2)T ,y cuando t → −∞ el termino e−2t domina a e−1/2t por tal motivo las orbitasse alejan en la direccion del autovector (−1, 1)T .Si escogemos una orbita especıfica como solucion, entonces nos estamos refi-riendo a la solucion de un PVI, ası por ejemplo si queremos obtener la soluciondel PVI

u′1 =−32u1 +

12u2

u′2 = u1 − u2u1(0) = 1u2(0) = 4

(8.26)


es decir la condicion inicial es u(0) = (1, 4)T . Entonces hallando los valores delos parametros c1 y c2 se tiene que la solucion del PVI (8.26) es dada para losvalores de los parametros c1 = 5/3 y c2 = 2/3 es decir

u(t) =5

3(1, 2)Te−1/2t +

2

3(−1, 1)T e−2t

es decir

u(t) =

(

53e−t/2 − 2

3e−2t

103e−t/2 + 2

3e−2t

)

.

Ejemplo 8.28. Si un sistema diferencial bidimensional homogeneo tuvieracomo su punto crıtico al (0, 0) y como autovalores a λ1 = −2 y λ2 = 3 con susrespectivos vectores propios v1 = (3, 2)T y v2 = (−1, 5)T , entonces de acuerdoal Teorema (8.17) el punto crıtico se trata de un punto silla. Entonces existendos orbitas opuestas: las correspondiente al autovalor −2 se aproxima al origenen las direcciones de±(3, 2)T , y las que corresponden al autovalor 3 se alejan delorigen en las direcciones de ±(−1, 5)T . Vemos que la estructura de las orbitaconfiguran un mapa de fases tıpico de un punto silla. Este comportamientodinamico es mostrado en la figura que sigue

8.2. Como dibujar un mapa de fases

Despues de haber analizado diversos casos, principalmente sistemas dife-renciales lineales, [ya que para los no lineales basta con la aproximacion linealen la vecindad de los puntos crıticos aislados] en los cuales hemos hecho usode los autovalores de la matriz de coeficientes del sistema diferencial ası comodel campo vectorial tangente del mismo sistema y de los correspondientes vec-tores propios, en esta oportunidad trataremos de uniformizar todas aquellasposibilidades para hacer el diagrama de fases o el mapa de fases de un siste-ma diferencial.Por regla general para bosquejar el mapa de fases de un sistemadiferencial se necesita conocer los autovalores y los autovectores correspondien-tes. Las flechas de las orbitas se aproximan al origen si el autovalor es negativoy se alejan del mismo cuando el autovalor es positivo y cuando se tienen dos


autovalores hacer un analisis sobre los terminos que dominan cuando T → ∞ ot→ −∞. Autovalores reales con el mismo signo dan nodos y autovalores realescon signos opuestos dan puntos silla. Si los autovalores son complejos imagi-narios puros entonces las orbitas se acercan al origen y si ellos son complejosentonces dichas orbitas son espirales. Estas espirales se enrrollan si los autova-lores tienen parte real negativa y se desenrrollan si tienen parte real positiva.La direccion de los ciclos o espirales puede ser determinada directamente delcampo de direcciones; frecuentemente basta para esto conocer un solo vectordel campo de direcciones.Otra ayuda importante para obtener el mapa de faseses dibujar el conjunto de puntos donde el campo vectorial es vertical (alli lasorbitas tienen una tangente vertical), y donde el campo de vectores es horizon-tal (alli las orbitas tienen una tangente horizontal). Estos conjuntos de puntosson encontardos haciendo x′ = ax+ by = 0, y′ = cx+ dy = 0.

Capıtulo 9

Nociones de estabilidad

A. Lyapunov

La Teorıa de Estabilidad es la que se encarga de estu-diar la dependencia de las soluciones de una ecuaciondiferencial ordinaria en relacion a sus datos inicia-les sobre intervalos semiinfinitos, en otras palabrasesta teorıa estudia la continuidad de las solucionesen algun intervalo [α,∞). Los iniciadores de estateorıa fueron Lagrange y Dirichlet, pero el mayor au-ge fue alcanzado con los estudios de Poincare y Lia-punov, los cuales impulsaron notablemente la teorıageometrica de las ecuaciones diferenciales.

En estos momentos ya estamos en condiciones de analizar el problema(1.1) en un contexto mas general, por tal motivo nos referiremos al sistemadiferencial

x′ = f(t, x)x(t0) = x0

(9.1)

donde f es una funcion continua definida en J × D con valores en Rn, J =(α,∞) , α ≥ −∞ y D es un conjunto conexo de Rn. Denotaremos conx(t, t0, x0) a la solucion de (9.1).

Definicion 9.1. Se dice que la solucion x(t, t0, x0) del sistema diferencial (9.1)es estable en el instante t0 si para cada ǫ > 0 existe un δ = δ(ǫ, t0) tal que secumple

|x(t, t0, x0)− x(t, t0, x1)| < ǫ, ∀t ≥ t0 y x1 ∈ Bδ(x0)

En caso de que la solucion no sea estable en t0, entonces se dice quex(t, t0, x0) es inestable en t0.

Definicion 9.2. La solucion x(t, t0, x0) es asintoticamente estable si es establey existe ρ > 0 tal que

lımt→∞

|x(t, t0, x0)− x(t, t0, x1)| = 0, ∀t ≥ t0 y x1 ∈ Bρ(x0)

99


Observacion 9.3. Sin perdida de generalidad supondremos de aqui en ade-lante que f(t, 0) = 0

Ya que si se desea hacer el estudio de estabilidad para una solucion ϕ(t) de(9.1), esto se puede resucir al estudio de la estabilidad de la msolucion trivialde un sistema equivalente a (9.1). En efecto, hagamos y(t) = x(t)−ϕ(t), dondex(t) es una solucion arbitraria de (9.1). Luego

y′(t) = f(t, x(t))− f(t, ϕ(t)) = f(t, y(t) + ϕ(t))− f(t, ϕ(t)).

Haciendo g(t, y) = f(t, y + ϕ(t))− f(t, ϕ(t)) y considerando el sistema

y′ = g(t, y)

obtenemos g(t, 0) = 0.

Si x(t, t0, x0) = 0, entonces la interpretacion geometrica de la estabilidadnos dice que las soluciones de (9.1) permanecen en un tubo de radio ε > 0para datos iniciales suficientemente pequenos, como se ilustra a continuacion.

En terminos graficos la inestabilidad nos dice que existe ε0 > 0, tal quepara cualquier δ > 0 es posible escoger un T > t0 y un vector x1 con |x1| < δpara los cuales se cumple que

|x(T, t0, x1)| ≥ 0

como se ve en la figura

Bibliografıa

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[11] Sotomayor, J. Licoes de equacoes diferenciais ordinarias. LivrosTecnicos e Cientıficos.Editora S.A. Sao Paulo,(1979).

101

Indice alfabetico

Aproximaciones sucesivas, 13

Aproximacion numerica, 13

Campo de direcciones, 10Concepto de solucion, 3Condicion de Lipschitz, 6Constante de Lipschitz, 7Curva solucion, 9

Dependencia continua, 53Desigualdad tipo Gronwall, 7Desigualdades diferenciales, 10

Eclipse lunar, 2Ecuacion variacional, 56Ecuaciones autonomas, 10, 76Ecuaciones Diferenciales, 7Estabilidad, 35Estado de un sistema, 1Estado estacionario, 74Existencia Global, 19Existencia local, 19Existencia y unicidad de soluciones, 2Explosion de soluciones, 2

Inecuaciones diferenciales, 45

Metodo de Cauchy-Euler, 26Metodo del Punto Fijo, 13Modelaje de sistemas del mundo real,

9Modelos, 9Movimiento planetario, 2

Newton-Leibnitz, 2No existencia de soluciones, 2

Pendulo simple, 75

Problema de Cauchy, 9Problema de estabilidad, 74Propiedades cualitativas, 15Puntos de equilibrio, 74

Significado geometrico, 9Sistemas de EDOs, 61Solucion, 7Solucion ǫ-aproximada, 26Solucion general, 8Soluciones maximales, 50Soluciones minimales, 50

Teorıa cualitativa, 73Teorema

de existenciade Cauchy-Peano, 29de Peano, 24de solucion ǫ-aproximada, 27global, 20local, 16

de extension de soluciones, 31de unicidadde Krasnoselki-Krein, 40de Lipschitz, 35de Nagumo, 39de Osgood, 38de Peano, 36de Van Kampen, 42

Teorema del valor medio, 2

Unicidad de soluciones, 35

102

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