La dinámica de reservas y flujos
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La dinámica de reservas y flujos Charles Nicholson Department of Applied Economics and Management, Cornell University
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La dinámica de reservas y flujos
Charles Nicholson
Department of Applied Economics and Management, Cornell University
La relación entre reservas y flujos Para comprender la dinámica de un sistema, es
importante relacionar los comportamientos de las reservas y flujos en el sistema, por ejemplo:
Dado los flujos hacia la reserva, ¿cuál es el comportamiento en tiempo del valor de la reserva?
Dado el comportamiento en tiempo de la reserva, ¿cuál debería haber sido la tasa neta promedio de cambio?
Se pueden contestar estas preguntas con cálculo…
Lectura: Aracil y Gordillo, capítulo 3
La relación entre reservas y flujos El cambio en la reserva = ingresos – egresos
= “el flujo neto” El valor de la reserva integra los flujos El flujo neto es el derivado de la reserva Podemos derivar expresiones apropriadas,
pero también podemos utilizar una alternativa para desarrollar nuestra intuición:
“Integración gráfica”
Integración gráfica
Dado una gráfica de comportamiento de flujos en tiempo, siempre se puede inferir el comportamiento de la reserva
Dado este comportamiento, se puede inferir el patrón de flujos netos hacia (o desde) la reserva
Integración gráfica: un ejemplo Una reserva con valor inicial, St0 = 100
Con una unidad de “unidades” El flujo inicial = 0 unidades/mes Incrementa a 20 unidades/mes en t=10 Disminuye a 0 unidades/mes en t=20 ¿Cuál es el comportamiento de la reserva?
Integración gráfica: un ejemplo
Flujos
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30Time (Month)
Ingreso : Current Units/MonthEgreso : Current Units/Month
Flujo neto,
unidades/mes
La reserva,
unidades
Reserva
400
300
200
100
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30Time (Month)
Reserva : Current Units
Integración gráfica: un ejemplo Considerar una sola reserva Un ingreso, un egreso El egreso = 50 El ingreso es variable Dibujar el valor de la reserva en tiempo
Sugerencia: Dibujar el valor de ingreso neto en tiempo primero
Integración gráfica: Ejercicio
0
25
50
75
100
0 5 10 15 20
Periodo
Flu
jos
(u
nid
ad
es
/pe
rio
do
)
Ingreso Egreso
-50
-25
0
25
50
0 5 10 15 20
Periodo
Flu
jo n
eto
(u
nid
ad
es
/pe
rio
do
)Integración gráfica: EjercicioS incrementa con una
tasa decreciente
S no cambia
S disminuye, tasa que incrementa
S disminuye, tasa que disminuye
Integración gráfica
0
50
100
150
200
0 5 10 15 20
Periodo
Re
se
rva
(u
nid
ad
es
)
Encadenamiento de reservas y flujos El sistema de retroalimentación más sencillo
tiene un sendero de retroalimentación positivo del primer orden “Primer orden” significa “una reserva”
Ejemplo: población¿Cuál tipo de comportamiento en tiempo?Población
Tasa neta denacimientos
+
Tasa f raccional denacimientos
+R
Encadenamiento de reservas y flujos Una formulación general
Resultará en crecimiento exponencial si ES>0, TFC>0
Estado delsistemaTasa neta de
ingresoTasa f raccional de
crecimiento
+
+R
El poder de crecimiento exponencial Un acertijo francés antiguo:
Tiene un estanque donde crece una flor de loto
Su tamaño se dobla cada día
Si creciera sin restricciones, cubriría el estanque en 30 d, así eliminando el resto de vida que contiene
Lo observa pero no parece ser un problema significativo como para preocuparse
Se decide podar la flor cuando cubre la mitad del estanque
¿En cuál día lo podaría?
El poder de crecimiento exponencialSe decide podar la flor cuando cubre la mitad del
estanque
¿En cuál día lo podaría?
¡El día 29!
Se doblaría el día siguiente y cubriría el estanque, así que se tiene sólo un día para podarlo
Sin embargo, ninguna cantidad real puede crecer para siempre. Al aproximar sus límites, los redondeles positivos se debilitan y los negativos se fortalecen.
Disminución exponencial
Una estructura similar a la de crecimiento exponencial
Una perspectiva: “ingreso neto < 0”
TNN=Pob*TFN-Pob/LP
TNN=Pob(TFN-(1/LP))
TNN<0 if TFN<(1/LP)PoblaciónTasa neta denacimientos
Tasa f raccional denacimientos
Longevidadpromedio
-
++
Disminución exponencial
Si el ingreso neto<0, se lo podría considerar un egreso neto
TNM=Pob/LP-Pob*TFN
TNM=Pob(1/LP)-TFN)
TNM>0 if (1/LP)>TFN
Población
Tasa f raccional denacimientos
Longevidadpromedio
Tasa neta demuertes
+
-
+
Crecimiento y disminución exponenciales La misma estructura sencilla puede generar
cualquier comportamiento, sólo depende de los valores de los parámetros
“La estructura causa el comportamiento” Los valores de los parámetros también influyen
Sistemas lineales de primer orden Un modelo poblacional con tasas de
nacimiento y muerte Similar a lo que acabamos de revisar
Incorporar una “capacidad de carga poblacional” Esto es un recurso limitante
Modelo poblacional básico
PoblaciónTasa de
nacimientosTasa demuertes
Tasa fraccional denacimientos
Tasa fraccional demuertes
+
++ +
R B
Incorporar capacidad de carga y su relación con la población
TFN es ahora una función de la propor-ción de la población a la capacidad de carga, no una constante
Añadir un redondel de retroalimentación de balanceo
PoblaciónTasa de
nacimientosTasa demuertes
Tasa fraccional denacimientos
Tasa fraccional demuertes
Relación PoblaciónCapacidad
Capacidadde carga
(constante)
-
-
+
++ +
+
R B
B
Incorporar el efecto en FDR (la tasa fraccional de muertes)
TFM es ahora una función de la proporción de la población a la capacidad de carga, no una constante
Añadir redondel de balanceo
PoblaciónTasa de
nacimientosTasa demuertes
Tasa fraccional denacimientos
Tasa fraccional demuertes
Relación PoblaciónCapacidad
Capacidadde carga
(constante)
-
-
+
+
++ +
+
R B
BB
¿Cuál comportamiento tendrá este sistema? En comparación con el modelo poblacional
básico, hay 2 redondeles más de balanceo ¿Se observerá crecimiento exponencial? Suponer:
Una población inicial de 10 Una capacidad de carga = 100 Una FBR para poblaciones cerca de 0 = 0.05 Una FDR para poblaciones cerca de 0 =
(1/AL)=(1/80)=0.0125
Población
100
75
50
25
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200Time (Month)
Población : Prueba Persona
Comportamiento poblacional
Crecimiento inicial exponencial
Crecimiento con rendimiento decreciente
Equilíbrio dinámico
¿Por qué la población final < capacidad de carga?
Población final < capacidad de carga Las tasas de nacimiento y muerte se
balancean antes de alcanzar la máxima capacidad
Este resultado depende de las funciones no lineales que especificamos TFN = f(Relación poblacion con capacidad de
carga) TFM = g(Relación poblacion con capacidad de
carga)
Tasas de nacimiento y muerte
Tasas de nacimientos y de muertes
4
3
2
1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200Time (Month)
Tasa de nacimientos : Prueba Persona/MonthTasa de muertes : Prueba Persona/MonthTasa neta de nacimientos : Prueba Persona/Month
¿Qué pasaría con una capacidad de carga no fija? ¿Qué pasaría si la capacidad de carga
podría ser agotada por la población? ¿Cuál sería el comportamiento? Ejemplo: el modelo de agricultura maya
El modelo de agricultura maya Poblacion
EmigracionNacimientos
Tasa f raccional denacimientos Tasa f raccional de
emigracionDemanda de
alimentos
Deficit dealimentos
Producccion deAlimentos
SuperficieAgricola
Fertilidad delsuelo
++
+
+
-
++
+
++
-
R
B
B
R
no se incluye estarelacion
Capacidad de carga
Tasa neta
El modelo de agricultura maya Poblacion
EmigracionNacimientos
Tasa f raccional denacimientos Tasa f raccional de
emigracionDemanda de
alimentos
Deficit dealimentos
Producccion deAlimentos
SuperficieAgricola
Fertilidad delsuelo
++
+
+
-
++
+
++
-
R
B
B
R
no se incluye estarelacion Este redondel de
retroalimentación finalmente domina
Ejercicio
