KG-Vecto-Topo-TQKy

.

Topological Vector Spaces

TRAN QUAN KY

Department of Mathematics

Hue University’s College of Education

E-mail address: quankysp (at) gmail

Hue, June 2007

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Tập lồi, tập cân, tập hút trong không gian vectơ 4

2. Không gian vectơ tôpô 5

3. Cơ sở lân cận 7

4. Tính chất tách 12

5. Không gian mêtric hóa 15

6. Họ nửa chuẩn và tính chất lồi địa phương 18

7. Bài tập 28

Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

♥ Topological Vector Spaces

Lời mở đầuMột cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ sao cho

tôpô tương thích với cấu trúc đại số là cho trước một chuẩn. Tuy nhiên, lớp

các không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề cụ thể của giải

tích, bởi vì nhiều không gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô tự nhiên

trên nó không thể cho được bởi chuẩn nào. Tài liệu này khảo sát lớp không

gian đó, chúng tổng quát hơn các không gian định chuẩn và gọi là các không

gian vectơ tôpô.

Mở đầu, tài liệu trình bày một số kết quả cần thiết về tập lồi, tập cân và

tập hút, là công cụ quan trọng trong việc khảo sát tôpô trong không gian

vectơ tôpô. Phần nội dung chính của tài liệu là khảo sát cơ sở lân cận và tính

chất tách của không gian vectơ tôpô, không gian mêtric hóa được, không

gian chuẩn hóa được và không gian lồi địa phương.

Các vấn đề đã được chúng tôi giải quyết tương đối trọn vẹn là cơ sở lân

cận, điều kiện cần và đủ để một không gian là mêtric hóa được, điều kiện

cần và đủ để một không gian là chuẩn hóa được, tính chất tách của không

gian vectơ tôpô, mối liên hệ giữa họ nửa chuẩn và tính chất lồi địa phương.

Các vấn đề lý thuyết với mức trừu tượng cao được chúng tôi minh họa rõ qua

nhiều ví dụ trong tài liệu.

Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chúng tôi chưa trình bày ở

đây các vấn đề: không gian thương, không gian hữu hạn chiều, tập bị chặn

và tập compact, ánh xạ tuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trên không gian

vectơ tôpô,...

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng tài liệu này không thể tránh

khỏi thiếu sót cả về nội dung lẫn trình bày. Chúng tôi rất mong có sự góp ý

của bạn đọc.

Xin chân thành cảm ơn.

Huế, 06/2007

Quan Ky, Hue Univ... of Education ♥ 3


1 Tập lồi, tập cân, tập hút trong không gian vectơ

Trong mục này, ta luôn dùng kí hiệu X để chỉ một không gian vectơ trên

trườngK.

Định nghĩa 1.1. Cho A ⊂ X. Khi đó

(a) A được gọi là tập lồi nếu với mỗi t ∈ [0,1],

tA+ (1− t)A ⊂ A.

(b) A được gọi là tập cân nếu với mỗi α ∈ K mà |α| ≤ 1 thì αA ⊂ A.

(c) A được gọi là tập hút nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại t > 0 sao cho nếu |s| > tthì x ∈ sA.

(d) A được gọi là tập tuyệt đối lồi nếu A vừa là tập lồi vừa là tập cân.

Nhận xét 1.2. Trong R2, ta có thể tìm thấy các tập lồi mà không cân và tập

cân mà không lồi (?).

Định lý 1.3. Cho A,B ⊂ X, x ∈ X và α ∈K. Khi đó

(a) Nếu A là tập lồi thì αA, x+A là các tập lồi. Hơn nữa, nếu B là tập lồi

thì A+B là tập lồi.

(b) Nếu A là tập cân thì αA là tập cân. Hơn nữa, nếu B là tập cân thì A+B

là tập cân.

(c) Nếu A là tập hút thì 0 ∈ A. Hơn nữa, nếu (rn)n là dãy số không bị chặn

thì

X =∞⋃n=1

rnA.

(d) Nếu A là tập cân thì với mọi α ∈ K mà |α| = 1 thì αA = A, với mọi

α,β ∈K mà |α| ≤ |β| thì αA ⊂ βA.

Chứng minh. Phép chứng minh của (a) và (b) là tầm thường. Ở đây ta chỉ

trình bày chứng minh của (c) và (d).

(c) Lấy tuỳ ý x ∈ X. Vì A là tập hút nên tồn tại t > 0 sao cho với mọi s ∈K



mà |s| > t thì x ∈ sA. Vì (rn)n không bị chặn nên có n0 để |rn0 | > t. Ta có

x ∈ rn0V . Từ đó ta được X ⊂∞⋃n=1

rnV . Ta cũng suy ra 0 ∈ A. Bao hàm thức

ngược lại là hiển nhiên.

(d) Giả sử A là tập cân và |α| = 1. Khi đó |α| = |α−1| = 1 ≤ 1 nên αA ⊂ A và

α−1A ⊂ A. Do đó αA ⊂ A và A ⊂ αA. Vậy αA = A.

Bây giờ giả sử A là tập cân và |α| ≤ β. Nếu β = 0 thì α = β = 0 nên hiển

nhiên αA = βA. Nếu β , 0 thì∣∣∣∣∣αβ

∣∣∣∣∣ ≤ 1 nênαβA ⊂ A, tức là αA ⊂ βA.

Định lý 1.4. Giả sử (Ai)i∈I là một họ khác rỗng các tập con của X và

A =⋂i∈IAi. Khi đó

(a) Nếu Ai là tập lồi với mọi i ∈ I thì A là tập lồi.

(b) Nếu Ai là tập cân với mọi i ∈ I thì A là tập cân.

Chứng minh.

(a) Lấy tùy ý x,y ∈ A và t ∈ [0,1]. Khi đó với mỗi i ∈ I, x,y ∈ Ai và do Ailồi nên tx+ (1− t)y ∈ Ai. Suy ra tx+ (1− t)y ∈ A. Vậy A là một tập lồi.

(b) Lấy tùy ý α ∈K, |α| ≤ 1. Vì mỗi Ai là cân nên αAi ⊂ Ai và do đó

αA =⋂i∈IαAi ⊂

⋂i∈IAi = A.

Vậy A là một tập cân.

2 Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 2.1. Cho X là một không gian vectơ và τ là một tôpô trên X.

(X,τ) được gọi là một không gian vectơ tôpô nếu các điều kiện sau được

thỏa mãn:

(i) (X,τ) là một không gian T1,

(ii) Phép cộng hai vectơ: X ×X −→ X, (x,y) 7−→ x+ y và phép nhân vectơ

với vô hướng: K ×X −→ X, (α,x) 7−→ αx là liên tục.

Nhắc lại rằng, phép cộng hai vectơ liên tục nghĩa là với mỗi cặp (x,y) ∈X ×X và V là một lân cận tuỳ ý của x+ y thì tồn tại các lân cận V1 của x và



V2 của y sao cho V1+V2 ⊂ V . Phép nhân vectơ với vô hướng liên tục nghĩa

là với mỗi x ∈ X, α ∈ K và V là lân cận tuỳ ý của αx, tồn tại r > 0 và lân

cận U của x sao cho với mọi β ∈ K mà |β −α| < r thì βU ⊂ V .

Nhận xét 2.2. Một tôpô trên X thỏa điều kiện (ii) được gọi là tương thích

với cấu trúc đại số của X. Như vậy, (X,τ) là không gian vectơ tôpô nếu τ

là tương thích với cấu trúc đại số của X và τ thỏa tiên đề tách T1. Thật ra,

ở nhiều tài liệu, trong định nghĩa về không gian vectơ tôpô, người ta không

đòi hỏi (X,τ) là không gian T1. Tuy nhiên, để nhận được các kết quả quan

trọng và thú vị, người ta đều cần đến giả thiết đó. Vì vậy, chúng tôi đưa nó

vào như một tiên đề. Cách trình bày đó là theo quan điểm của Rudin.

Nhận xét 2.3. Cho (X,τ) là một không gian vectơ tôpô.

1. Lấy tuỳ ý a ∈ X, λ ∈ K \ {0}. Khi đó ta có các ánh xạ Ta : X → X và

Mλ : X→ X được xác định như sau:

Ta(x) = a+ x, Mλ(x) = λx, x ∈ X.

Ta và Mλ lần lượt được gọi là phép tịnh tiến (theo vectơ a) và phép vị tự

(theo tỷ số λ). Ta vàMλ là các phép đồng phôi từ X lên X. Thật vậy, dễ thấy

rằng Ta và Mλ là các song ánh, có ánh xạ ngược lần lượt là T−a và M1/λ. Từ

tiên đề thứ 2 trong định nghĩa của không gian vectơ tôpô ta suy ra 4 ánh xạ

trên là các ánh xạ liên tục. Vậy Ta và Mλ là các phép đồng phôi từ X lên X.

Vì điều này, ta nói rằng τ là bất biến đối với phép tịnh tiến và phép vị tự.

2. Từ 1 ta suy ra rằng:

(i) Với mỗi a ∈ X, V là một lân cận của 0 khi và chỉ khi V +a là một lân cận

của a.

(ii) Với mỗi α ∈K \ {0}, V là một lân cận của 0 khi và chỉ khi αV cũng là

một lân cận của 0.

Như vậy, cấu trúc tôpô của một không gian vectơ tôpô được hoàn toàn xác

định bởi tập hợp tất cả các lân cận của 0, hay gọn hơn, là một cơ sở lân cận

của 0. Khi biết một cơ sở lân cận của 0 thì một cơ sở lân cận của phần tử

a ∈ X sẽ nhận được bằng phép tịnh tiến theo a. Chính vì thế, trong tiểu luận



này, nếu không nói gì thêm, cụm từ "cơ sở lân cận của không gian vectơ tôpô

X" sẽ được dùng để chỉ cơ sở lân cận của 0 ∈ X.

Định nghĩa 2.4. Cho X là một không gian vectơ tôpô. Tập hợp A ⊂ X được

gọi là tập bị chặn nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại t > 0 sao cho A ⊂ sVvới mọi s ∈K mà |s| > t.

Định nghĩa 2.5. Cho X là một không gian vectơ tôpô với B là cơ sở lân cận.

Khi đó B được gọi là cân nếu mỗi phần tử của nó là cân và được gọi là lồi

nếu mỗi phần tử của nó là lồi. Hơn nữa, nếu mỗi phần tử của B là lồi và cân

thì ta nói B là cơ sở lân cận lồi cân.

Định nghĩa 2.6. Cho (X,τ) là một không gian vectơ tôpô .

(a) X được gọi là lồi địa phương nếu tồn tại một cơ sở lân cận lồi.

(b) X được gọi là bị chặn địa phương nếu 0 ∈ X có một lân cận bị chặn.

(c) X được gọi là compact địa phương nếu 0 ∈ X có một lân cận mà bao

đóng của nó là compact.

(d) X được gọi là mêtric hóa được nếu τ được sinh ra bởi một metric nào đó

xác định trên X.

(e) X được gọi là một F - không gian nếu τ được sinh ra bởi một mêtric bất

biến qua phép tịnh tiến và đầy đủ.

(f) X được gọi là một không gian Frechet nếu X là một F - không gian và

lồi địa phương.

(g) X được gọi là chuẩn hoá được nếu tồn tại một chuẩn trên X sao cho τ

trùng với tôpô sinh bởi chuẩn.

Ví dụ 1. Trước hết, mọi không gian định chuẩn (X, ||.||) là không gian vectơ

tôpô. Thật vậy, không gian định chuẩn rõ ràng là không gian T1 và từ tính

chất của chuẩn suy ra các phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ với vô

hướng là liên tục với tôpô xác định bởi chuẩn. Họ hình cầu mở {B(0, 1n) |n ∈

N} là một cơ sở lân cận tại 0. Mỗi hình cầu mở đó là tập lồi. Do đó mỗi

không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương.



Ví dụ 2. Với mỗi p ∈ (0,1), xét

lp = {x = (xn)n ∈R∞ |∞∑n=1

|xn|p < +∞}.

Khi đó lp là không gian vectơ thực. Ta trang bị cho lp mêtric d xác định bởi

d(x,y) =∞∑n=1

|xn − yn|p, x = (xn)n, y = (yn)n ∈ lp.

Với tôpô sinh bởi mêtric này, lp là không gian vectơ tôpô nhưng không phải

là một không gian lồi địa phương. Do đó lp là không gian mêtric hóa được

nhưng không phải là không gian chuẩn hóa được (xem chi tiết trong [KH2],

trang 16).

3 Cơ sở lân cận

Định lý 3.1. Cho X là một không gian vectơ tôpô. Khi đó

(a) Mỗi lân cận của 0 là một tập hút.

(b) Mỗi lân cận của 0 chứa một lân cận mở, cân của 0.

(c) Mỗi lân cận V của 0 chứa một lân cận mở, cân W của 0 thoả mãn

W +W ⊂ V .(d) Mỗi lân cận lồi của 0 chứa một lân cận mở, cân, lồi của 0.

Chứng minh.

(a) Lấy tuỳ ý x ∈ X. Khi đó ánh xạ f (λ) = λx liên tục tại λ = 0 nên với lân

cận V cho trước của 0, tồn tại r > 0 sao cho nếu |λ| < r thì λx ∈ V , tức là

nếu |s| > 1r

thìxs∈ V , suy ra x ∈ sV . Vậy V là tập hút.

(b) Giả sử V là một lân cận của 0. Khi đó tồn tại r > 0 và một lân cận mở U

của 0 sao cho αU ⊂ V với mọi α ∈Kmà |α| < r. ĐặtW =⋃|α|<r

αU . Rõ ràng

W là một lân cận mở của 0, W ⊂ V . Hơn nữa, với mỗi λ ∈ K và |λ| ≤ 1 ta

có

λW = λ( ⋃|α|<r

αU)=

⋃|α|<r(αλ)U ⊂

⋃|α|<r

αU =W,



nên W là tập cân. Đây chính là lân cận cân và mở của 0 chứa trong V .

(c) Giả sử V là một lân cận của 0. Khi đó vì 0 = 0+0 và phép cộng hai vectơ

là liên tục nên tồn tại các lân cận của 0 là V1 và V2 sao cho V1 + V2 ⊂ V .

Đặt U = V1 ∩V2 thì U cũng là lân cận của 0. Theo (b) thì U chứa lân cận

mở, cân W của 0. Do đó ta có

W +W ⊂U +U ⊂ V1 +V2 ⊂ V .

VậyW chính là lân cận mở, cân của 0 chứa trong V và thỏa mãnW+W ⊂ V .

(d) Giả sử V là một lân cận lồi của 0. ĐặtU =⋂|α|=1

αV . Dễ thấyU là một tập

lồi. Theo (b), V chứa lân cận cân W của 0. Với |α| = 1, do W = αW ⊂ αUnênW ⊂ V . VậyU là một lân cận của 0. Ta sẽ chứng minhU là một tập cân.

Thật vậy, với mọi λ ∈Kmà |λ| ≤ 1 ta có λ = rµ với 0 ≤ r ≤ 1 và |µ| = 1. Để

ý rằng, vì αV là tập lồi chứa 0 nên r(αV ) ⊂ αV , từ đó ta có

λU = r(µU) =⋂|α|=1

r(µα)V =⋂|α|=1

rαV ⊂⋂|α|=1

αV =U.

Vậy U là một lân cận cân, lồi của 0 chứa trong V . Với định lý 4.4 ta sẽ thấy

intU là một lân cận mở, cân, lồi của 0.

Từ định lý trên ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 3.2. Cho X là một không gian vectơ tôpô . Tập A ⊂ X là tập bị chặn

khi và chỉ khi với mỗi lân cận V của 0, tồn tại t > 0 sao cho A ⊂ tV .

Chứng minh.

(⇒) Hiển nhiên, do định nghĩa của tập bị chặn trong không gian vectơ tôpô.

(⇐) Lấy tùy ý V là một lân cận của 0. Từ định lý 3.1 ta suy ra V chứa lân

cận cân U của 0. Theo giả thiết, tồn tại t > 0 sao cho A ⊂ sU với mọi s ∈Kmà |s| > t. Vì U là tập cân nên nếu |s| > t thì tU ⊂ sU , do đó ta có

A ⊂ tU ⊂ sU ⊂ sV .

Vậy A là tập bị chặn.



Hệ quả 3.3. Cho X là một không gian vectơ tôpô . Khi đó

(a) X có một cơ sở lân cận mở, cân.

(b) Nếu X là không gian lồi địa phương thì X có một cơ sở lân cận mở, lồi,

cân.

Chứng minh.

(a) Ta biết rằng họ tất cả các lân cận của 0 là một cơ sở lân cận của X. Theo

định lý 3.1 thì mỗi lân cận của 0 lại chứa một lân cận mở, cân của 0. Vì vậy,

họ tất cả các lân cận mở, cân của 0 là một cơ sở lân cận của X.

(b) Nếu X là một không gian lồi địa phương thì X có một cơ sở lân cận lồi.

Theo định lý (3.1) thì mỗi lân cận lồi của 0 lại chứa một lân cận mở, lồi, cân

của 0. Vì vậy, họ tất cả các lân cận mở, lồi, cân của 0 là một cơ sở lân cận

của X.

Hệ quả 3.4. Cho X là một không gian vectơ tôpô và V là một lân cận của

0. Khi đó tồn tại lân cận mở, cân U của 0 sao cho

U +U +U +U ⊂ V .

Chứng minh. Vì V là lân cận của 0 nên theo định lý (3.1) tồn tại lân cận cân

W của 0 sao cho W +W ⊂ V . Cũng do W là lân cận của 0 nên tồn tại lân

cận mở, cân U của 0 sao cho U +U ⊂W . Do đó

U +U +U +U ⊂W +W ⊂ V .

Vậy ta có lân cận U phải tìm.

Để ý rằng trong chứng minh trên, vì 0 ∈ U nên từ bao hàm thức U +U +

U +U ⊂ V ta suy ra U +U +U ⊂ V . Từ đó ta thấy rằng, có thể mở rộng hệ

quả trên như sau:

Hệ quả 3.5. Cho X là một không gian vectơ tôpô và V là một lân cận của

0. Khi đó với mỗi n ∈N, tồn tại lân cận mở, cân U của 0 sao chon∑i=1

U ⊂ V .



Bây giờ, giả sử B là một họ khác rỗng gồm các tập con của X chứa 0.

Vấn đề đặt ra là B phải thỏa mãn những điều kiện gì để xác định một tôpô τ

trên X sao cho (X,τ) là không gian vectơ tôpô. Định lý sau đây sẽ giải quyết

vấn đề đó. Đồng thời, định lý cũng sẽ đưa ra một phương pháp để trang bị

tôpô cho một không gian vectơ.

Định lý 3.6. Trong mỗi không gian vectơ tôpô X tồn tại một cơ sở lân cận Bcủa 0 sao cho:

(a) Với mỗi x , 0, tồn tại V ∈ B sao cho x < V ;

(b) Mỗi V ∈ B là tập cân, hút;

(c) Với mỗi V ∈ B, tồn tại W ∈ B sao cho W +W ⊂ V ;

(d) Với mỗi cặp V1,V2 ∈ B, tồn tại V ∈ B sao cho V ⊂ V1∩V2.Ngược lại, nếu X là một không gian vectơ và B là họ khác rỗng các tập

con của X thỏa mãn các điều kiện (a) - (d) thì tồn tại duy nhất tôpô τ trên

X sao cho (X,τ) là không gian vectơ tôpô và B là cơ sở lân cận của 0 ∈ X.

Chứng minh. Chiều thuận là hiển nhiên, sau đây ta sẽ chứng minh chiều

ngược lại.

Với mỗi x ∈ X, gọi B(x) = {x+V |V ∈ B}. Để chứng minh họ B(x) thỏa

mãn các tiên đề về cơ sở lân cận của một tôpô ta chỉ cần chứng minh tại

x = 0. Hơn nữa, ta chỉ cần chứng minh với mọi V0 ∈ B, tồn tại W0 ∈ B sao

cho với mỗi y ∈W0, có Vy ∈ B(y) để Vy ⊂ V0.Thật vậy, vì V0 ∈ B nên theo (c), tồn tại W0 ∈ B sao cho W0 +W0 ⊂ V0.

Lúc đó với mỗi y ∈W0, tồn tại Vy = y +W0 ∈ B(y) để Vy ⊂W0 +W0 ⊂ V0.Vậy tồn tại tôpô τ trên X sao cho B(x) là cơ sở lân cận tại mỗi x ∈ X. Do

cách xác định B(x), x ∈ X, ta suy ra τ bất biến đối với phép tịnh tiến. Nói

cách khác, phép tịnh tiến là một phép đồng phôi của không gian tôpô (X,τ).

Từ (a) ta suy ra (X,τ) là một không gian T1. Công việc còn lại là chứng

minh phép cộng vectơ và nhân vectơ với vô hướng là liên tục.

Lấy tùy ý x,y ∈ X và V ∈ B. Theo (c), tồn tạiW ∈ B sao choW+W ⊂ V .



Khi đó x+W là một lân cận của x, y +W là một lân cận của y và

(x+W ) + (y +W ) = x+ y +W +W ⊂ x+ y +V .

Từ đó suy ra phép cộng vectơ là liên tục.

Lấy tùy ý x ∈ X, α ∈ K và V ∈ B. Theo (c), tồn tại W ⊂ B sao cho

W +W ⊂W . Vì W là tập hút nên tồn tại t > 0 sao cho x ∈ tW . Với β ∈K,

y ∈ X sao cho

|β −α| < 1t, y ∈

(|α|+ 1

t

)−1W + x,

chú ý đến tính cân của W , ta có

βy−αx = β(y−x)+(β−α)x ∈(|α|+ 1

t

)(|α|+ 1

t

)−1W+1t.tW =W+W ⊂ V .

Từ đó suy ra phép nhân vectơ với vô hướng là liên tục. Vậy (X,τ) là một

không gian vectơ tôpô.

Nhận xét 3.7. Trong [HT] và [HP] để chứng minh chiều ngược lại, tác giả

đã thêm điều kiện họ B thỏa mãn:

(e) Nếu V ∈ B thì αV ∈ B với mọi α , 0.

Điều kiện đó sẽ được sử dụng để suy ra(|α|+ 1

t

)−1W là một lân cận của 0.

Tuy nhiên, chúng tôi vẫn suy ra được kết quả trên mà không cần đến điều

kiện (e). Thật vậy, giả sử V ∈ B. Theo (c), tồn tạiW ∈ B sao choW+W ⊂ V .

Vì 2W ⊂W +W nên suy raW ⊂ 12V . Do đó 12V là một lân cận của 0. Bằng

quy nạp, 12nV là lân cận của 0 với mỗi n ∈N va do V là cân nên αV cũng

là lân cận của 0 với mọi α , 0.

Ví dụ 3. Kí hiệu R∞ là tập tất cả các dãy số thực x = (xn)n. Khi đó R∞ là

không gian vectơ thực với các phép toán đại số:

x+ y = (xn + yn)n, và αx = (αxn)n,

với mọi x = (xn)n, y = (yn)n ∈R∞ và α ∈R.

Với mỗi bộm số k1, k2, ..., km ∈N và số r > 0, ta gọi V (k1, k2, ..., km;r) là

tập hợp tất cả các dãy x = (xn)n ∈R∞ sao cho |xki | < r với mọi i = 1,2, ...,m.



Khi đó họ tất cả các tập V (k1, k2, ..., km;r) (với mọi giá trị có thể có của

k1, k2, ..., km và r) thỏa mãn các điều kiện nêu trong định lý 3.6 nên là cơ sở

lân cận tại 0 của một tôpô trên R∞ sao cho với tôpô đó, R∞ là một không

gian vectơ tôpô. Hơn nữa, ta có thể kiểm tra rằng mỗi phần tử của họ đó là

lồi nên R∞ là một không gian lồi địa phương.

Định lý 3.8. Giả sử V là một lân cận của 0 trong không gian vectơ tôpô X.

(a) Nếu 0 < r1 < r2 < ... và rn→∞ khi n→∞ thì

X =∞⋃n=1

rnV .

(b) Nếu δ1 > δ2 > ... và δn→ 0 khi n→∞, và nếu V là bị chặn thì họ

{δnV : n ∈N}

là cơ sở lân cận của X.

Chứng minh.

(a) Vì V là tập hút nên theo định lý 1.3 ta có ngay điều phải chứng minh.

(c) Trước hết dễ thấy mỗi phần tử của họ này là một lân cận của 0. Lấy U là

một lân cận tuỳ ý của 0. Vì V bị chặn nên tồn tại t > 0 sao cho V ⊂ sU với

mọi s ∈K mà |s| > t. Theo giả thiết, dãy số dương( 1δn

)n

tăng và tiến ra +∞

nên có n0 để1δn0

> t. Khi đó V ⊂ 1δn0

U , hay là δn0V ⊂ U . Từ đó suy ra họ

{δnV : n = 1,2,3, ...} là cơ sở lân cận của X.

4 Tính chất tách

Định lý 4.1. Giả sử A và B là các tập con của không gian vectơ tôpô X,

trong đó A là tập compact, B là tập đóng và A∩ B = ∅. Khi đó tồn tại lân

cận mở V của 0 sao cho

(A+V )∩ (B+V ) = ∅.



Chứng minh. Nếu A = ∅ thì với lân cận V tuỳ ý, ta có A + V = ∅ nên kết

luận của định lý là hiển nhiên. Vì vậy, ta giả sử A , ∅. Lấy tuỳ ý x ∈ A. Khi

đó x < B và vì B đóng nên X \B là một lân cận của x. Theo hệ quả 3.4, tồn

tại lân cận cân và mở Vx của 0 sao cho

x+Vx +Vx +Vx ⊂ X \B,

Từ tính cân của Vx ta suy ra

(x+Vx +Vx)∩ (Vx +B) = ∅. (1)

Dễ thấy họ (x+Vx)x∈A là một phủ mở của A và vì A là compact nên tồn tại

x1,x2, ...,xn ∈ A sao cho

A ⊂ (x1 +Vx1)∪ (x2 +Vx2)∪ ...∪ (xn +Vxn).

Đặt V = Vx1 ∩Vx2 ∩ ...∩Vxn thì V là một lân cận mở của 0 và

A+V ⊂n⋃i=1

(xi +Vxi +V ) ⊂n⋃i=1

(xi +Vxi +Vxi ). (2)

Với mỗi i = 1,2, ...,n, từ (1) ta có

(xi +Vxi +Vxi )∩ (B+V ) ⊂ (xi +Vxi +Vxi )∩ (B+Vxi ) = ∅,

nên (xi +Vxi +Vxi )∩ (B+V ) = ∅. Kết hợp với (2) ta suy ra

(A+V )∩ (B+V ) = ∅.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 4.2. Mỗi không gian vectơ tôpô là một không gian T3 (hay không

gian chính quy).

Chứng minh. Giả sử X là không gian vectơ tôpô . Lấy tuỳ ý x ∈ X và F ⊂ Xsao cho F là tập đóng và x < F. Khi đó A = {x} là một tập compact và B = F

là một tập đóng nên theo định lý 4.1, tồn tại lân cận mở V của 0 sao cho

(x+V )∩ (F+V ) = ∅. Như vậy, tồn tại x+V là một lân cận mở của x, F+B

là một tập mở chứa F và chúng rời nhau. Hơn nữa, kết hợp với việc X là một

không gian T1, ta suy ra X là một không gian T3.



Từ hệ quả trên ta suy ra không gian vectơ tôpô X cũng là một không gian

Hausdorff. Thực ra, ta có thể chứng minh được không gian vectơ tôpô là một

không gian hoàn toàn chính quy ([RU], Exercise 16, p.21).

Hệ quả 4.3. Giả sử B là cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô X.

Khi đó với mỗi V ∈ B , tồn tại U ∈ B sao cho U ⊂ V .

Chứng minh. Với mỗi V ∈ B, vì X là không gian T3 nên tồn tại lân cận W

của 0 sao cho W ⊂ V . Mặt khác, vì B là cơ sở lân cận nên tồn tại U ∈ B sao

cho U ⊂W . Do đó U ⊂W ⊂ V .

Mối liên hệ giữa cấu trúc tôpô và cấu trúc tuyến tính trong không gian

vectơ tôpô được thể hiện trong định lý sau:

Định lý 4.4. Cho X là không gian vectơ tôpô, A, B, C, E, Y là các tập con

của X. Khi đó

(a) A =⋂V∈Γ(A+V ), với Γ là họ tất cả các lân cận của 0.

(b) A+B ⊂ A+B.

(c) Nếu A compact thì A bị chặn.

(d) Nếu Y là không gian con của X thì Y cũng vậy.

(e) Nếu C là tập lồi thì C,C◦ cũng vậy.

(f) Nếu B là tập cân thì B là tập cân và nếu 0 ∈ B◦ thì B◦ cũng là tập cân.

(g) Nếu E là tập bị chặn thì E cũng vậy.

Chứng minh.

(a) Trước hết ta để ý rằng V ∈ Γ khi và chỉ khi −V ∈ Γ . Vì thế ta có

x ∈ A⇔ (x+V )∩A , ∅, ∀ V ∈ Γ

⇔ x ∈ A−V , ∀ V ∈ Γ

⇔ x ∈ A+V , ∀ V ∈ Γ .

Từ đó suy ra

A =⋂V∈Γ(A+V ).



(b) Lấy tuỳ ý a ∈ A, b ∈ B và V là một lân cận của a + b. Ta cần chứng

minh V ∩ (A+B) , ∅. Thật vậy, do tính chất liên tục của phép toán cộng hai

vectơ nên tồn tại lân cận V1 của a và lân cận V2 của b sao cho V1 +V2 ⊂ V .

Vì a ∈ A và b ∈ B nên tồn tại x ∈ V1 ∩ A và y ∈ V2 ∩ B. Khi đó ta có

x+ y ∈ V ∩ (A+B) nên V ∩ (A+B) , ∅. Vì vậy, a+ b ∈ A+B.

(c) Lấy tùy ý V là một lân cận của 0. Khi đó V chứa một lân cận mở, cân

W . Theo định lý (3.8) ta có

A ⊂∞⋃n=1

nW.

Vì A là compact nên tồn tại các số nguyên dương n1 < n2 < ... < nk sao cho

A ⊂ n1W ∪n2W ∪ ...∪nkW.

Mặt khác, vì W là tập cân nên

n1W ⊂ n2W ⊂ ... ⊂ nkW.

Từ đó ta suy ra A ⊂ nkW . Theo hệ quả (3.2), A là một tập bị chặn.

(d) Lấy tuỳ ý α,β ∈K, ta cần chứng minh αY + βY ⊂ Y . Trước hết, ta thấy

αY = αY . Điều đó là hiển nhiên nếu α = 0. Nếu α , 0 thì do αY là một tập

đóng và chứa αY nên αY ⊂ αY . Mặt khác, do Mα liên tục nên

αY =Mα(Y ) ⊂Mα(Y ) = αY .

Vậy ta luôn có αY = αY . Tương tự ta cũng có βY = βY . Bây giờ, áp dụng

(b) ta có

αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y .

Bao hàm thức cuối cùng có được do Y là không gian con của X. Vậy Y cũng

là không gian con của X.

(e) Phép chứng minh C là tập lồi tương tự (c).Ở đây ta chỉ chứng minh C◦ là

tập lồi. Trước hết vì C◦ ⊂ C và C là tập lồi nên với mỗi t ∈ [0,1] tuỳ ý ta có

tC◦ + (1− t)C◦ ⊂ tC + (1− t)C ⊂ C,



tức là

tC◦ + (1− t)C◦ ⊂ C. (3)

Để ý rằng tC◦ và (1− t)C◦ là các tập mở nên tổng của chúng cũng mở và do

(3) nên tổng đó bị chứa trong C◦. Vậy C◦ là một tập lồi.

(f) Phép chứng minh B là tập cân tương tự (c). Bây giờ giả sử 0 ∈ B◦, ta sẽ

chứng minh B◦ là tập cân. Lấy tuỳ ý α ∈ K mà |α| ≤ 1. Nếu α = 0 thì vì

0 ∈ B◦ nên hiển nhiên là αB◦ = B◦. Nếu α , 0 thì αB◦ chứa trong αB và

do B là tập cân nên αB ⊂ B. Do đó αB◦ ⊂ B. Mặt khác, vì Mα là một phép

đồng phôi nên αB◦ là tập mở. Từ đó ta có αB◦ ⊂ B◦. Điều này chứng tỏ B◦

là một tập cân.

(g) Lấy tuỳ ý V là một lân cận của 0. Do X là không gian T3 nên tồn tại

lân cận W của 0 sao cho W ⊂ V . Vì E là bị chặn nên tồn tại t > 0 sao cho

E ⊂ tW . Do đó E ⊂ tW = tW ⊂ tV . Vậy E là một tập bị chặn.

5 Không gian mêtric hóa được

Định lý 5.1. Cho X là một không gian vectơ tôpô. Lúc đó X có một cơ sở

lân cận đếm được khi và chỉ khi X mêtric hóa được.

Chứng minh.

(⇒) Giả sử X có cơ sở lân cận đếm được. Theo định lý (3.1), X có một cơ

sở lân cận mở, cân {Vn |n ∈N} sao cho với mỗi n ∈N,

Vn+1 +Vn+1 ⊂ Vn.

GọiN là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn củaN. Với mỗi M ∈ N , ta đặt

VM =∑k∈M

Vk và pM =∑k∈M

12k.

Ta thấy VM là một lân cận của 0, 0 < pM < 1. Ngoài ra, nếu pM <12n

thì với

mỗi k ∈M ta phải có k > n, do đó VM ⊂ Vn.



Xét hàm số f : X→R xác định như sau:

f (x) =

1 nếu x <

⋃M∈N

VM

infx∈VM

pM nếu x ∈⋃

M∈NVM

Từ định nghĩa trên suy ra 0 ≤ f (x) ≤ 1 với mọi x ∈ X. Ta sẽ chứng minh

f (x) = 0⇔ x = 0. (4)

Với mỗi n ∈N, đặt Mn = {n} thì Mn ∈ N . Vì 0 ∈ VMnnên f (0) ≤ 1

2n. Do

đó f (0) = 0. Giả sử x ∈ X, x , 0. Nếu x < Vn với mọi n ∈N thì f (x) = 1.

Trong trường hợp ngược lại, do X là không gian Hausdorff nên tồn tại Vnsao cho x < Vn. Lúc đó x < Vk với mọi k ≥ n, ta suy ra f (x) >

12n

. Tóm lại,

f (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.

Với mỗi M ∈ N , do mỗi tập VM là cân nên với mọi x ∈ X, ta có x ∈ VMkhi và chỉ khi −x ∈ VM , từ đó suy ra

f (x) = f (−x). (5)

Tiếp theo ta chứng minh với mọi x,y ∈ X,

f (x+ y) ≤ f (x) + f (y). (6)

Điều đó hiển nhiên đúng nếu f (x)+f (y) ≥ 1. Xét trường hợp f (x)+f (y) < 1.

Khi đó tồn tại ε > 0 sao cho

f (x) + f (y) + 2ε < 1.

Vì f (x) < 1 và f (y) < 1 nên tồn tại H,K ∈ N sao cho x ∈ VH , y ∈ VK và

pH < f (x) + ε, pK < f (y) + ε.

Viết tất cả các phần tử của H và K thành một dãy không giảm các số tự

nhiên. Trong dãy đó, nếu có hai số liên tiếp bằng nhau thì thay hai số đó

bằng số tự nhiên nhỏ hơn hai số đó 1 đơn vị. Tiếp tục quá trình đó cho đến



khi dãy thu được là một dãy tăng thực sự. Gọi M là tập tất cả các phần tử

của dãy. Ta có

x+ y ∈ VH +VK ⊂ VM và pM = pH + pK < f (x) + f (y) + 2ε < 1,

nên f (x+ y) < f (x) + f (y) + 2ε. Vì điều đó đúng với ε > 0 bé tùy ý nên ta

suy ra f (x+ y) ≤ f (x) + f (y).Với mọi x,y ∈ X, ta đặt d(x,y) = f (x− y). Ta có hàm số d : X ×X→R.

Từ (4), (5), (6) và định nghĩa của d, ta thấy ngay d là một mêtric trên X.

Với mỗi n ∈N, gọi Bn là hình cầu mở tâm 0 bán kính12n

trong không

gian mêtric (X,d), tức là

Bn = {x ∈ X |d(x,0) = f (x) <12n}.

Ta sẽ chứng minh tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô ban đầu trên X bằng

cách chứng tỏ với mỗi n ∈N,

Bn ⊂ Vn ⊂ Bn−1. (7)

Lấy tùy ý x ∈ Bn. Khi đó f (x) <12n

nên tồn tại M ∈ N sao cho x ∈ VM và

pM <12n

. Theo nhận xét của phần đầu chứng minh ta suy ra x ∈ VM ⊂ Vn.

Vậy

Bn ⊂ Vn. (8)

Bây giờ lấy tùy ý x ∈ Vn = VMn. Khi đó

f (x) ≤ pMn=12n<12n−1

,

nên x ∈ Bn−1. Vậy

Vn ⊂ Bn−1. (9)

Từ (8) và (9) ta nhận được (7). Vậy X là một không gian mêtric hóa.

(⇐) Giả sửX là một không gian mêtric hóa được, trong đó tôpô ban đầu trên

X được sinh bởi mêtric d. Khi đó rõ ràng họ hình cầu mở {B(0, 1n) |n ∈N}

là một cơ sở lân cận đếm được của không gian vectơ tôpô X.



Nhận xét 5.2. Ta nói thêm về tính chất của mêtric d trong định lý trên. Các

tính chất này được chứng minh dễ dàng dựa vào định nghĩa của d và tính cân

của mỗi VM , M ∈ N .1. Với mọi x ∈ X và mọi λ ∈K sao cho |λ| ≤ 1, ta có d(λx,0) ≤ d(x,0).2. Với mọi x,y,z ∈ X, d(x+ z,y + z) = d(x,y).

Vì vậy, ta nói d là bất biến đối với phép tịnh tiến.

3. Với mọi r ∈ (0,1], ta có B(0, r) =⋃pM<r

VM .

Vì mỗi tập VM là cân nên B(0, r) cũng là tập cân. Ngoài ra, với r > 1,

B(0, r) = B′(0,1) = X cũng là tập cân. Vậy mọi hình cầu mở tâm 0 đều là

tập cân.

Định lý 5.3. Cho X là một không gian bị chặn địa phương. Lúc đó X là

không gian mêtric hóa được.

Chứng minh. Vì X là không gian bị chặn địa phương nên 0 ∈ X có lân

cận V bị chặn. Vì thế theo định lý 3.8, X có cơ sở lân cận đếm được là

{1nV : n ∈N}. Theo định lý 5.1, X là không gian mêtric hóa được.

6 Họ nửa chuẩn và tính chất lồi địa phương

Các không gian vectơ tôpô tùy ý có thể có những tính chất khác hẳn

những tính chất quen thuộc của không gian Euclide hoặc không gian định

chuẩn. Một lớp quan trọng các không gian tổng quát hơn không gian định

chuẩn nhưng vẫn bảo toàn nhiều tính chất của không gian định chuẩn là các

không gian lồi địa phương.

Định nghĩa 6.1. Cho X là một không gian vectơ trên trườngK. Một hàm số

p : X→R được gọi là một nửa chuẩn trên X nếu

(a) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y),(b) p(αx) = |α|p(x), với mọi x,y ∈ X và mọi α ∈K.

Tính chất (a) của nửa chuẩn p được gọi là dưới cộng tính.



Một họ P các nửa chuẩn trên X được gọi là họ tách tập X nếu với mỗi

x ∈ X, tồn tại p ∈ P sao cho p(x) , 0.

Định lý 6.2. Giả sử p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X. Khi đó

(a) p(0) = 0,

(b) |p(x)− p(y)| ≤ p(x− y),(c) p(x) ≥ 0, với mọi x,y ∈ X.(d) p là một chuẩn trên X nếu p(x) , 0 với mọi x , 0.

Chứng minh.

(a) Vì p(αx) = |α|p(x), với mọi x ∈ X và mọi α ∈K nên với α = 0 ta nhận

được p(0) = 0.

(b) Từ tính dưới cộng tính của p ta có

p(x) = p(x− y + y) ≤ p(x− y) + p(y)

cho nên

p(x)− p(y) ≤ p(x− y).

Thay đổi vai trò của x và y cho nhau ta được

p(y)− p(x) ≤ p(y − x).

Vì p(x− y) = p(y − x) nên ta suy ra

|p(x)− p(y)| ≤ p(x− y).

(c) Thay y = 0 trong (b) ta được p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X.(d) Dễ dàng suy ra từ định nghĩa nửa chuẩn và các tính chất (a), (c).

Định nghĩa 6.3. Cho A là một tập lồi, cân, hút trong không gian vectơ X.

Với mỗi x ∈ X, tồn tại t > 0 sao cho t−1x ∈ A, tức {t > 0 | t−1x ∈ A} là một

tập hợp khác rỗng và bị chặn dưới nên tồn tại infimum. Đặt

pA(x) = inf{t > 0 | t−1x ∈ A}, x ∈ X.

Khi đó pA là một hàm số giá trị thực xác định trên X, gọi là phiếm hàm

Minkowski của A.



Nhận xét 6.4. Cho A là một tập lồi, cân, hút trong không gian vectơ X.

1. Giả sử x ∈ X và t > pA(x). Khi đó t−1x ∈ A.

Thật vậy, vì t > pA(x) nên tồn tại s ∈ [pA(x), t) sao cho s−1x ∈ A. Vì

0 ≤ t−1s < 1 và A là tập cân nên t−1x = (t−1s)(s−1x) ∈ A.

2. Giả sử x < A. Khi đó pA(x) ≥ 1.Thật vậy, nếu pA(x) < 1 thì từ nhận xét 1 ta suy ra x ∈ A, mâu thuẫn với

giả thiết.

3. Ta luôn có

{x ∈ X |pA(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X |pA(x) ≤ 1}.

Thật vậy, bao hàm thức {x ∈ X |pA(x) < 1} ⊂ A được suy ra từ nhận xét

2, bao hàm thức A ⊂ {x ∈ X |pA(x) ≤ 1} là dễ thấy.

Định lý 6.5. Cho p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X. Đặt

A = {x ∈ X |p(x) < 1} và B = {x ∈ X |p(x) ≤ 1}.

Khi đó A, B là các tập lồi, cân, hút và pA = pB = p, trong đó pA, pB lần lượt

là phiếm hàm Minkowski của A và B.

Chứng minh. Từ tính chất của p ta có ngay A là tập cân. Lấy tùy ý x ∈ X và

t > p(x). Khi đó với mọi s, |s| > t ta có

p(s−1x) = |s|−1p(x) ≤ t−1p(x) < 1,

nên s−1x ∈ A, hay x ∈ sA. Vậy A là một tập hút.

Lấy tùy ý x,y ∈ A và t ∈ [0,1], ta có

p(tx+ (1− t)y) ≤ tp(x) + (1− t)p(y) < 1.

Vậy A là một tập lồi. Tóm lại, A là một tập lồi, cân, hút. Lập luận tương tự

ta cũng có B là tập lồi, cân, hút.

Với mỗi x ∈ X, để ý rằng với t > 0,

t−1x ∈ A⇔ p(t−1x) < 1⇔ t > p(x).



t−1x ∈ B⇔ p(t−1x) ≤ 1⇔ t ≥ p(x).

Do đó

{t > 0 | t−1x ∈ A} = (p(x),+∞),

{t > 0 | t−1x ∈ B} = [p(x),+∞) nếu p(x) > 0

và

{t > 0 | t−1x ∈ B} = (0,+∞) nếu p(x) = 0.

Từ đó suy ra pA(x) = pB(x) = p(x). Vậy pA = pB = p.

Nhận xét 6.6. Giả sử p là nửa chuẩn trên không gian vectơ X và r > 0. Từ

định lý trên ta suy ra các tập

A′ = {x ∈ X |p(x) < r} và B′ = {x ∈ X |p(x) ≤ r}

là các tập lồi, cân, hút.

Định lý 6.7. Cho V là một tập lồi, cân, hút trong không gian vectơ tôpô X.

Khi đó pV là một nửa chuẩn trên X.

Chứng minh. Trước hết, do V cân nên với mọi α ∈K, α , 0 và mọi x ∈ Xta có

pV (αx) = inf{t > 0 : t−1αx ∈ V }

= inf{t > 0 : t−1|α|x ∈ V }

= |α| inf{ t|α|> 0 :

( t|α|

)−1x ∈ V }

= |α| inf{s > 0 : s−1x ∈ V }

= |α|pV (x),

tức là pV (αx) = |α|pV (x). Điều đó hiển nhiên đúng với α = 0. Vậy

pV (αx) = |α|pV (x)

với mọi α ∈K.

Lấy tùy ý x,y ∈ X, ta sẽ chứng minh

pV (x+ y) ≤ pV (x) + pV (y).



Lấy ε > 0 bé tùy ý. Đặt t = pV (x) + ε, s = pV (y) + ε. Theo nhận xét 6.4 thì

t−1x,s−1y ∈ V . Vì V là tập lồi và

x+ ys+ t

=ts+ t(t−1x) +

ss+ t(s−1y)

là tổ hợp lồi của hai phần tử trong V nên x+ys+t ∈ V . Do đó

pV (x+ y) ≤ t+ s = pV (x) + pV (y) + 2ε.

Vì điều đó đúng với ε > 0 tùy ý nên ta suy ra pV (x + y) ≤ pV (x) + pV (y).Vậy pV là một nửa chuẩn trên X.

Định lý 6.8. Giả sử B là một cơ sở lân cận lồi, cân trong không gian vectơ

tôpô X. Với mỗi V ∈B , gọi pV là phiếm hàm Minkowski của V . Khi đó

P = {pV |V ∈B } là một họ tách các nửa chuẩn liên tục trên X.

Chứng minh. Vì mỗi phần tử của B là một tập lồi, cân, hút nên theo định lý

6.7, P là một họ nửa chuẩn. Ta lần lượt chứng minh họ này là tách và mỗi

phần tử của nó là liên tục.

Giả sử x ∈ X và x , 0. Vì X là một không gian T1 và B là cơ sở lân cận

tại 0 nên tồn tại V ∈ B sao cho x < V . Theo nhận xét 6.4 thì pV (x) ≥ 1. Vậy

P là họ nửa chuẩn tách.

Lấy tùy ý pV ∈ P và ε > 0. Khi đó với mọi x,y ∈ X sao cho x− y ∈ εV ,

ta có ε−1(x− y) ∈ V nên

|pV (x)− pV (y)| ≤ pV (x− y) ≤ ε.

Suy ra pV là liên tục. Vậy P là họ nửa chuẩn liên tục.

Tiếp tục nhận xét 6.4 ta có nhận xét sau.

Nhận xét 6.9. Cho A là một tập lồi, cân, hút trong không gian vectơ X. Khi

đó IntA = {x ∈ X |pA(x) < 1} và A = {x ∈ X |pA(x) ≤ 1}. Ta chứng minh

IntA = {x ∈ X |pA(x) < 1}. Thật vậy, từ nhận xét 6.4 và định lý trên ta có

ngay {x ∈ X |pA(x) < 1} ⊂ IntA. Ngược lại, lấy tùy ý x ∈ IntA. Vì IntA là

tập mở và phép nhân vectơ với vô hướng là liên tục nên tồn tại r > 0 và lân



cận U của x sao cho với mọi α ∈ K mà |α − 1| < r thì αU ⊂ A. Từ đó suy

ra có 0 < t < 1 (chẳng hạn t = 11+r/2) để t−1x ∈ A. Do đó pA(x) ≤ t < 1. Vậy

IntA ⊂ {x ∈ X |pA(x) < 1}. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Từ hệ quả 3.3 và định lý 6.8 ta rút ra hệ quả sau.

Hệ quả 6.10. Trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương, tồn tại họ nửa

chuẩn tách và liên tục.

Định lý 6.11. Giả sử P là một họ tách các nửa chuẩn trên một không gian

vectơ X. Với mỗi p ∈ P và mỗi n ∈N, đặt

V (p,n) = {x ∈ X |p(x) < 1n}.

Gọi B là họ tất cả các giao hữu hạn của các tập có dạng V (n,p). Khi đó Blà cơ sở lân cận lồi, cân tại 0 cho một tôpô trên X. Với tôpô đó, X trở thành

một không gian lồi địa phương thỏa mãn:

(a) Mỗi p ∈ P là liên tục,

(b) Tập E ⊂ X là bị chặn khi và chỉ khi mỗi p ∈ P là bị chặn trên E.

Chứng minh. Dễ thấy họ B thỏa mãn các điều kiện trong định lý 3.6 nên tồn

tại duy nhất tôpô τ trên X sao cho (X,τ) là không gian vectơ tôpô và B là cơ

sở lân cận của 0 ∈ X.

Giả sử p ∈ P và (α,β) là một khoảng mở bất kỳ chứa 0. Khi đó tồn tại

n ∈N sao cho (−1n ,1n) ⊂ (α,β). Rõ ràng V (p,n) là một lân cận của 0 ∈ X

và p(V (p,n)) ⊂ (−1n ,1n). Do đó p liên tục tại 0 ∈ X. Từ (b) của định lý 6.2 ta

suy ra p là liên tục trên X.

Giả sử E ⊂ X là một tập bị chặn. Lấy tùy ý p ∈ P . Vì V (p,1) là một lân

cận của 0 nên tồn tại k > 0 sao cho E ⊂ kV (p,1). Lúc đó p(x) < k với mọi

x ∈ E. Suy ra p bị chặn trên E.

Đảo lại, giả sử mỗi p ∈ P bị chặn trên E ⊂ X. Lấy U là một lân cận của

0. Khi đó tồn tại p1,p2, ...,pm ∈ P và n1,n2, ...,nm ∈N sao chom⋂i=1

V (pi,ni) ⊂U.



Với mỗi i = 1,2, ...,m, có Mi > 0 sao cho pi(x) ≤ Mi với mọi x ∈ E. Lấy

n ∈ N sao cho n > Mini với mọi i = 1,2, ...m. Khi đó với mỗi x ∈ E,

pi(x) ≤ Mi <nni

nên x ∈ nV (pi,ni). Do đó x ∈m⋂i=1nV (pi,ni) ⊂ nU. Vậy

E ⊂ nU. Điều đó chứng tỏ E là tập bị chặn.

Nhận xét 6.12. Cho (X,τ) là một không gian lồi địa phương và B là một cơ

sở lân cận lồi, cân. Theo định lý 6.8, B xác định một họ P là họ tách các nửa

chuẩn liên tục trên X. Theo định lý 6.11, họ P cảm sinh một tôpô trên X,

gọi là τ′. Vấn đề đặt ra là hai tôpô đó có trùng nhau không?

Trước hết, vì mỗi p ∈ P là liên tục đối với τ nên V (p,n) = p−1(−1n ,

1n

)∈

τ, với mọi p ∈ P và n ∈N. Hơn nữa, với V ∈ B, có p = pV ∈ P và

V (p,1) = {x ∈ X |pV (x) < 1} ⊂ V .

Từ đó suy ra τ = τ′.

Nhận xét 6.13. Giả sử X là một không gian vectơ, P = {pn |n ∈ N} là họ

tách, đếm được các nửa chuẩn trên X. Theo định lý 6.11, P cảm sinh một

tôpô τ và (X,τ) là không gian vectơ tôpô. Vì họ P là đếm được nên τ có một

cơ sở lân cận tại 0 là đếm được. Do đó theo định lý 5.1, (X,τ) là mêtric hóa

được. Trong trường hợp này, mêtric bất biến với phép tịnh tiến cảm sinh ra

τ có thể được xác định một cách trực tiếp thông qua họ P như sau:

d(x,y) = maxn∈N

cnpn(x− y)1 + pn(x− y)

,

trong đó (cn)n là một dãy số dương hội tụ về 0.

Gọi τ′ là tôpô cảm sinh bởi d. Ta sẽ chứng minh τ = τ′.Muốn vậy, ta chú

ý rằng, họ hình cầu mở {B(0, r) |r > 0} là một cơ sở lân cận tại 0 của (X,τ′).

Mặt khác, họ tất cả các giao hữu hạn của các tập V (pi, ri) = {x ∈ X |pi(x) <ri}, (với ri > 0, i ∈N) là một cơ sở lân cận tại 0 của (X,τ).

Lấy tùy ý r > 0. Vì cn→ 0 nên chỉ có hữu hạn cn > r, với chỉ số n đó

cnpn(x)1 + pn(x)

< r⇔ pn(x) <r

cn − r.



Với các chỉ số n khác thì cn ≤ r nên

cnpn(x)1 + pn(x)

< r.

Vậy B(0, r) là giao hữu hạn các tập có dạng

{x ∈ X |pn(x) <r

cn − r}.

Vì mỗi pn là liên tục đối với τ nên mỗi tập có dạng trên là mở đối với τ và

suy ra B(0, r) là mở đối với τ. Hơn nữa, từ nhận xét 6.6 ta suy ra B(0, r) là

lồi và cân.

Bây giờ, lấy W =m⋂k=1

V (pik , rik). Ta chỉ cần xét với rik < 1 với mọi k =

1,2, ...,m. Lấy r > 0 sao cho 2r < min{ci1ri1 , ..., cimrim} và x ∈ B(0, r). Khi

đócikpik(x)

1 + pik(x)< r <

cikrik2,

suy ra pik(x) <rik2− rik

< rik với mọi k = 1, ...,m. Do đó B(0, r) ⊂ W. Vậy

họ hình cầu {B(0, r) |r > 0} là một cơ sở lân cận tại 0 của (X,τ). Ta suy ra

τ = τ′. Nói cách khác, τ được sinh bởi mêtric d.

Tiếp theo, trên X ta lại xét các mêtric bất biến với phép tịnh tiến sau đây:

d1(x,y) =∞∑n=1

2−npn(x− y)1 + pn(x− y)

, x,y ∈ X.

d2(x,y) =∞∑n=1

2−nmin{pn(x− y),1}, x,y ∈ X.

Ta có thể chứng minh được rằng d1, d2 và d là các mêtric tương đương tôpô

trên X nên τ cũng là tôpô sinh ra bởi d1, d2.

Ví dụ 4. Ta trở lại với không gian vectơ R∞ trong ví dụ 2. Với mỗi n ∈N,

xác định hàm sốpn : R

∞ → R

(xn)n 7→ |xn|.



Dễ thấy rằng họ P = {pn |n ∈N} là họ tách, đếm được các nửa chuẩn trên

R∞. Do đó P xác định một tôpô τ sao cho (R∞,τ) là không gian lồi địa

phương. Cơ sở lân cận tại 0 của τ là tất cả các tập có dạng

m⋂i=1

{x ∈R∞ : pki(x) < rki },

trong đó ki ∈N, rki > 0 với mọi i = 1, ...,m. Đặt r = min{rki , i = 1, ...,m} ta

được một tập có dạng đó nhưng nhỏ hơn là

m⋂i=1

{x ∈R∞ : pki(x) < r}.

Đó chính là V (k1, k2, ..., km;r) mà ta đã đề cập trong ví dụ 3. Vậy họ tất cả

các tập V (k1, k2, ..., km;r) (với mọi giá trị có thể có của k1, k2, ..., km và r)

sẽ là cơ sở lân cận tại 0 của τ.

Ví dụ 5. Gọi C(R) là tập tất cả các hàm số thực liên tục trên R. Khi đó C(R)

là một không gian vectơ với các phép toán thông thường là cộng hai hàm số

và nhân một số thực với một hàm số. Với mỗi n ∈N, xác định hàm số

pn : C(R) → R

f 7→ max[−n,n]

|f (x)|.

Dễ thấy rằng họ P = {pn |n ∈N} là họ tách, đếm được các nửa chuẩn trên

C(R). Do đó P xác định một tôpô τ sao cho (C(R),τ) là không gian lồi địa

phương. Hơn nữa, (C(R),τ) là không gian mêtric hóa được với τ được sinh

ra bởi mêtric

d(f ,g) = maxn∈N

cnpn(f − g)1 + pn(f − g)

,

trong đó (cn)n là một dãy số dương hội tụ về 0. Có thể kiểm tra được rằng

(C(R),d) là không gian đủ và do đó C(R) là một không gian Frechet.

Ví dụ 6. Giả sử a,b ∈ R và a < b. Với mỗi n ∈ N, kí hiệu Cn[a,b] là không

gian vectơ các hàm số khả vi liên tục tới cấp n trên [a,b] với các phép toán

thông thường. Kí hiệu C∞[a,b] =∞⋂n=1

Cn[a,b] là không gian vectơ các hàm số khả



vi vô hạn trên [a,b]. Ta biết rằng mỗi Cn[a,b] là một không gian Banach với

chuẩn

||f ||n = sup{|f (k)(x)| : a ≤ x ≤ b,0 ≤ k ≤ n}, f ∈ Cn[a,b].

Họ P = {||.||n |n ∈N} là họ tách, đếm được các nửa chuẩn trên C∞[a,b]. Do

đó P xác định một tôpô τ sao cho (C∞[a,b],τ) là không gian lồi địa phương.

Hơn nữa, (C∞[a,b],τ) là không gian mêtric hóa được với τ được sinh ra bởi

mêtric

d(f ,g) = maxn∈N

cn||f − g||n1+ ||f − g||n

,

trong đó (cn)n là một dãy số dương hội tụ về 0.

Giả sử (fi)i là một dãy Cauchy trong (C∞[a,b],d), tức là d(fi, fj)→ 0 khi

i, j→∞. Khi đó, với mỗi n ∈N, ||fi−fj ||n→ 0 khi i, j→∞ nên (fi)i là dãy

Cauchy trong (Cn[a,b], ||.||n). Do đó tồn tại f0,n ∈ Cn[a,b] sao cho ||fi−f0,n||n→ 0khi i→∞. Ta sẽ chứng minh f0,n = f0,m với mọi n,m ∈N. Thật vậy , không

mất tính tổng quát, giả sử m < n. Khi đó f0,n ∈ Cm[a,b] và

||fi − f0,n||m ≤ ||fi − f0,n||n→ 0, i→∞,

nên f0,n = f0,m. Vậy hàm f0 = f0,n không phụ thuộc vào n và f0 ∈ C∞[a,b]. Vì

với mỗi n ∈N, ||fi−f0||n→ 0 khi i→∞, nên ta dễ dàng suy ra d(fi, f0)→ 0.Vậy (C∞[a,b],d) là một không gian đủ.

Tóm lại, C∞[a,b] là một không gian Frechet.

Định lý 6.14. Một không gian vectơ tôpô X là chuẩn hóa được khi và chỉ khi

điểm 0 ∈ X có một lân cận lồi, bị chặn.

Chứng minh.

(⇒) Giả sử X là chuẩn hóa được và tôpô trên X được sinh ra bởi chuẩn ||.||.Lúc đó hình cầu mở

B(0,1) = {x ∈ X | ||x|| < 1}

là một lân cận lồi và bị chặn của 0 ∈ X.



(⇐) Giả sử điểm 0 ∈ X có một lân cận lồi, bị chặn. Khi đó theo định lý 3.1,

điểm 0 ∈ X có một lân cận mở, lồi, cân, hút và bị chặn V . Gọi pV là phiếm

hàm Minkowski của V . Theo định lý 6.7, pV là một nửa chuẩn. Để chứng

minh pV là một chuẩn trên X ta chỉ cần chứng tỏ rằng pV (x) , 0 với mọi

x , 0. Thật vậy, theo định lý 3.8, họ {1nV |n ∈N} là một cơ sở lân cận tại

0. Vì x , 0 và X là không gian T1 nên tồn tại n ∈N sao cho x <1nV . Theo

nhận xét 6.4, pV (x) =1npV (nx) ≥

1n. Vậy pV (x) , 0 với mọi x , 0. Đặt

||x|| = pV (x), x ∈ X,

thì ||.|| là một chuẩn trên X.

Gọi τ là tôpô trong không gian vectơ tôpô X và τ′ là tôpô cảm sinh bởi

||.||. Khi đó họ {1nV |n ∈N} là một cơ sở lân cận của không gian vectơ tôpô

(X,τ), họ {B(0, 1n) |n ∈N} là một cơ sở lân cận của không gian vectơ tôpô

(X,τ′). Mặt khác, vì V là một tập mở nên theo nhận xét 6.4, ta có

B(0,1n) = {x ∈ X : ||x|| < 1

n} = {1

nx ∈ X : ||x|| < 1} = 1

nV .

Từ đó suy ra τ = τ′. Vậy X là một không gian chuẩn hóa được.

Từ định lý (6.14) và định lý (3.1) ta dễ dàng nhận được kết quả sau.

Định lý 6.15 (Kolmogorov). Cho X là một không gian vectơ tôpô lồi địa

phương. Khi đó X chuẩn hóa được nếu và chỉ nếu X là bị chặn địa phương.

Ví dụ 7. Rõ ràng mọi không gian định chuẩn là không gian chuẩn hóa được.

Trở lại với không gian vectơ tôpô C(R) trong ví dụ 5. Ta sẽ chứng minh rằng

C(R) không phải là không gian chuẩn hóa được.

Thật vậy, giả sử có chuẩn ||.|| trên C(R) sao cho tôpô sinh bởi chuẩn trùng

với tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn P = {pn |n ∈N}. Kí hiệu

B(0,1) = {f ∈ C(R) : ||f || < 1},

thì tồn tại pn1 ,pn2 , ...,pnk ∈ P , (n1 < n2 < ... < nk) và r > 0 sao cho

V = {f ∈ C(R) : pni(f ) < r, i = 1, ..., k} ⊂ B(0,1).



Lấy f0 ∈ C(R) sao cho f0(x) = 0 với mọi x ∈ [−nk,nk] và tồn tại x > nk để

f0(x) , 0. Lúc đó ||f0|| > 0 và pni(f0) = 0 với mọi i = 1, ..., k. Từ đó suy ra

mf0 ∈ V ⊂ B(0,1) với mọi m ∈N. Do đó m||f0|| < 1 với mọi m ∈N. Điều

đó là vô lý vì ||f0|| > 0. Vậy C(R) không phải là không gian chuẩn hóa được.

Nhận xét 6.16. Về mối liên hệ giữa không gian lồi địa phương và họ nửa

chuẩn, ta thấy: Trong mỗi không gian lồi địa phương tồn tại một họ tách các

nửa chuẩn liên tục. Ngược lại, một họ tách P các nửa chuẩn trên một không

gian vectơ X sẽ xác định một tôpô lồi địa phương trên X sao cho mỗi p ∈ Plà liên tục.

Khi giải quyết các vấn đề cụ thể của giải tích, ta thấy rằng trên nhiều

không gian vectơ, tôpô tự nhiên không thể cho bởi bất kỳ một chuẩn nào.

Một phương pháp thường dùng để trang bị tôpô trên các không gian đó là

cho một họ nửa chuẩn tách.

Định lý 6.17. Cho X là một không gian Frechet. Khi đó mỗi tập lồi, cân,

đóng, hút là một lân cận của 0 ∈ X.

Chứng minh. Giả sử V là một tập lồi, cân, đóng, hút. Theo định lý 1.3 ta có

X =∞⋃n=1

nV . Vì X là một không gian Frechet nên X thuộc phạm trù 2 và do

đó tồn tại n0 ∈N sao cho int(n0V ) , ∅. Vì V là tập đóng và Mn0 là phép

đồng phôi nên suy ra int(n0V ) =int(n0V ) , ∅. Dễ thấy int(n0V )−int(n0V )

là một tập mở chứa 0 và do V lồi nên n0V + n0V = 2n0V , do V cân nên

n0V = −n0V , ta suy ra

0 ∈ int(n0V )− int(n0V ) ⊂ n0V −n0V = n0V +n0V = 2n0V .

Vậy n0V là một lân cận của 0 và do M 12n0

là phép đồng phôi nên V là lân

cận của 0.

7 Bài tập

1. Với mỗi cặp (x,y) ∈R2, ta đặt

d1(x,y) = |x− y|, d2(x,y) = |φ(x)−φ(y)|,



trong đó φ(x) =x1+ |x|

. Chứng minh rằng d1 và d2 là các mêtric tương

đương tôpô trên R, mặc dù d1 là đầy đủ và d2 là không đầy đủ.

2. Chứng minh rằng các mêtric được nhắc đến trong nhận xét 6.13 là tương

đương tôpô.

3. Chứng minh rằng không gian C(R) trong ví dụ 5 là một không gian

Frechet.

4. Chứng minh rằng không gian vectơ tôpô là một không gian hoàn toàn

chính quy.

5. Cho X = C[0,1] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên [0,1]. Với

mỗi t ∈ [0,1], ta đặt pt(x) = |x(t)|, x ∈ X. Gọi P = {pt : t ∈ [0,1]}. Ngoài ra,

trên X, ta định nghĩa

d(x,y) =

1∫0

|xt − yt|1+ |x(t)− y(t)

dt, x,y ∈ X.

a) Chứng minh rằng P là một họ tách các nửa chuẩn trên X.

b) Chứng minh rằng d là một mêtric trên X.

c) Gọi τ là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn P và τd là tôpô sinh bởi mêtric d.

Chứng minh rằng nếu (xn)n hội tụ về x0 theo τ thì (xn)n cũng hội tụ về x0theo τd.

d) Chứng minh rằng ánh xạ id : (X,τ)→ (X,τd) và ánh xạ id : (X,τd)→(X,τ) là các ánh xạ không liên tục.

e) Chứng minh (X,τ) không có cơ sở lân cận đếm được. Từ đó suy ra τ

và τd không trùng nhau.

f) Điều ngược lại trong (c) có đúng không?

6. Cho X = C[0,1] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên [0,1]. Trên

X ta xác định mêtric

d(x,y) = sup[0,1]

|x(t)− y(t)|1+ |x(t)− y(t)

, x,y ∈ X.



Tập X với tôpô này có phải là không gian vectơ tôpô không?

♥ Ghi chú về tài liệu tham khảo ♥

Các kết quả ở mục 1 được trích từ [KL], [HP] và [HT]. Các định nghĩa trong

mục 2 được trích từ [RU]. Các kết quả ở mục 3 và 4 được trích từ [RU] và

[HT]. Các kết quả ở mục 5 trích từ [KH1]. Các kết quả ở mục 6 được chúng

tôi phát triển từ [RU] và [HT].



Tài liệu tham khảo[ĐH] Nguyễn Định & Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB. Giáo

dục, 2000.

[KL] Phan Huy Khải & Đỗ Văn Lưu, Giải tích lồi, NXB. Khoa học - kĩ

thuật, 2000.

[KH1] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích

hàm, tập 2, NXB. Giáo dục, 2001.

[KH2] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải, Bài tập giải tích hàm, NXB. Đại

học quốc gia Hà Nội, 2001.

[HP] Huỳnh Thế Phùng, Giải tích lồi, Giáo trình Cao học, 2006.

[HT] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại, tập 3, NXB. Giáo dục, 1978.

[K-F] A.N.Kolmogorov & S.V. Fomine, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích

hàm, tập 1 (bản dịch tiếng Việt của Võ Tiếp & Trần Phúc Chương), NXB.

Giáo dục, 1982.

[RO] A.P. Robertson & W.Robertson, Topological Vector Spaces, Cam-

bridge Press, 1964.

[RU] Walter Rudin, Funtional Analysis, Mc Graw - Hill. Inc, NewYork,

1976.


KG-Vecto-Topo-TQKy

Documents

Transcript of KG-Vecto-Topo-TQKy