Graficas de Control y Conceptos Estadisticos

8/17/2019 Graficas de Control y Conceptos Estadisticos

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4.1.- GRAFICAS DE CONTROL Y CONCEPTOS ESTADISTICOS

Un proceso de control es aquel cuyo comportamiento con respecto a variaciones esestable en el tiempo.

Las graficas de control se utilizan en la industria como técnica de diagnósticos parasupervisar procesos de producción e identificar inestabilidad y circunstancias anormales.

Una gráfica de control es una comparación gráfica de los datos de desempeño deproceso con los “límites de control estadístico” calculados, dibujados como rectas limitantesobre la gráfica. Los datos de desempeño de proceso por lo general consisten en grupos demediciones que vienen de la secuencia normal de producción y preservan el orden de losdatos.

Las graficas de control constituyen un mecanismo para detectar situaciones donde lascausas asignables pueden estar afectando de manera adversa la calidad de un producto.Cuando una grafica indica una situación fuera de control, se puede iniciar una investigaciópara identificar causas y tomar medidas correctivas.

Nos permiten determinar cuándo deben emprenderse acciones para ajustar unproceso que ha sido afectado por una causa especial. Nos dicen cuando dejar que unproceso trabaje por sí mismo, y no malinterpretar las variaciones debidas a causas comunes.Las causas especiales se deben contrarrestar con acciones correctivas. Las causascomunes son el centro de atención de las actividades permanentes para mejorar el proceso.

Las variaciones del proceso se pueden rastrear por dos tipos de cusas1) Común o (aleatoria), que es inherente al proceso2) Especial (o atribuible), que causa una variación excesiva.

El objetivo de una gráfica control no es lograr un estado de control estadístico como un

fin, sino reducir la variación.Un elemento básico de las gráficas de control es que las muestras del proceso de interés

se han seleccionado a lo largo de una secuencia de puntos en el tiempo. Dependiendo de laetapa del proceso bajo investigación, se seleccionara la estadística mas adecuada.

Además de los puntos trazados la grafica tiene una línea central y dos limites de control.


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Si todos los puntos de la grafica se encuentran entre los dos limites de control seconsidera que el proceso esta controlado. Una señal fuera de control aparece cuando unpunto trazado cae fuera de los límites, lo cual se atribuye a alguna causa asignable yentonces comienza la búsqueda de tales causas.

Establecer una gráfica de control requiere los siguientes pasos:1) Elegir la característica que debe graficarse.2) Elegir el tipo de gráfica de control3) Decidir la línea central que deben usarse y la base para calcular los límites. La líneacentral puede ser el promedio de los datos históricos o puede ser el promedio deseado.4) Seleccionar el subgrupo racional. Cada punto en una gráfica de control representa unsubgrupo que consiste en varias unidades de producto.5) Proporcionar un sistema de recolección de datos si la gráfica de control ha de servir comouna herramienta cotidiana en la planta.6) Calcular los límites de control y proporcionar instrucciones específicas sobre lainterpretación de los resultados y las acciones que debe tomar cada persona en producción.7) Graficar los datos e interpretar los resultados.

Ejemplo de gráfica de control generalizada para promedios

( )


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Para finalizar este tema en el siguiente diagrama se muestra la clasificación de lasgraficas de control para atributos y variables:

4.2 GRAFICOS DEL CONTROL PARA ATRIBUTOS

Muchas características de la calidad no pueden representarse convenientemente convalores numéricos. En tales casos, cada artículo inspeccionado por lo general se clasificacomo conforme o disconforme respecto de las especificaciones para esas características dela calidad. A las características de la calidad de este tipo se les llamaatributos .

El término atributos se utiliza en literatura sobre control de calidad para describir dosituaciones:

1. Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no).2. Una sola pieza puede tener uno o mas defectos y el numero de estos es determinado.

En el primer caso, una grafica de control esta basada en la distribución binomial; en elúltimo, la distribución de Poisson es la base para la grafica.


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Se presentan dos cartas de control de atributos:1. Gráfica de control para la fracción disconforme o gráficap 2. Gráfica de control de disconformidades o gráficac

Graficap.- Se clasifica la unidad de observación en una de dos categorías alternas, porejemplo pasa o no pasa, cumple con las especificaciones y no cumple con lasespecificaciones; Se puede rastrear la producción de unidades defectuosas en lamuestra de observación.Grafica C .- Cuando una observación consiste en la cantidad de defectos por unidad deobservación, se rastrean la cantidad de los defectos.

Grafica p para fracción de defectos.Cuando un proceso esta en control, la probabilidad de que cualquier pieza sea

defectuosa es p (p es la proporción a largo plazo de piezas defectuosas para un proceso encontrol) y que diferentes piezas son independientes entre si, con respecto a sus condiciones.

Considérese una muestra de n piezas obtenida en un tiempo en particular, y sea X elnumero de defectuosas y p ̂ = X/ n . como X tiene una distribución binomial, E(X) =np y V(X)= np (1-p ), por lo cual

E(p ̂ ) =p V(p ̂ ) = _ p (1-p )_nDel mismo modo, si np ≥10 y n (1-p ) ≥ 10, p ̂ tiene aproximadamente una distribución

normal. En el caso de quep conocida (o una grafica basada en un valor fijo), los limites decontrol son

_________ _________LCL =p - 3 √ _ p (1-p ) UCL =p + 3 √ _ p (1-p )_

n n

Si cada muestra esta formada porn piezas, el numero de piezas defectuosas de lai -esima muestra es xi / n , entonces p ̂ 1, p ̂ 2, p ̂ 3, . . . se trazan en la grafica de control.

Por lo general, el valor dep puede estimarse de los datos. Supóngase que se disponede k muestras de lo que se piensa es un proceso de control, y sea

k= ∑ p ̂ i

i =1____k


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La estimación se utiliza en lugar de , en los limites de control antes citados.La graficap para la fracción de piezas defectuosas tiene su línea central en la altura

y limites de control

_________ _________LCL = - 3√ _ p (1- ) UCL = + 3√ _ p (1- )_n n

si LCL es negativo, es sustituido por 0.

Ejemplo:Se selecciona una muestra de 100 tazas de una figura especial de loza, durante cada

uno de 25 días sucesivos, y cada una se examina para ver si tiene defectos. Los númerosresultantes de tazas no aceptables y sus correspondientes proporciones muestrales son lossiguientes:

día (i ) XI p^ I1 7 0,072 4 0,043 3 0,034 6 0,065 4 0,046 9 0,097 6 0,06

8 7 0,079 5 0,0510 3 0,0311 7 0,0712 8 0,0813 4 0,0414 6 0,0615 2 0,0216 9 0,0917 7 0,07

18 6 0,0619 7 0,0720 11 0,1121 6 0,0622 7 0,0723 4 0,0424 8 0,0825 6 0,06


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Supóngase que el proceso estuvo en control durante este periodo, establezca límites decontrol y construya una graficap . se tiene que ∑ p ̂ i = 1.52, dando:

= 1.52/25=.068 y __________________

LCL = 0.0608 - 3√ (0.0608) (0.9392)/100 = 0.0608 - 0.0717 = -0.0109

__________________UCL = 0.0608 + 3√ (0.0608) (0.9392)/100 = 0.0608 + 0.0717 = 0.1325

Por lo tanto el LCL se iguala a 0. la grafica de control muestra que todos los puntos estándentro de los limites de control. Esto es congruente con la suposición de un proceso encontrol.

p^ i

-0,0075

0,0125

0,0325

0,0525

0,0725

0,0925

0,1125

0,1325

0 5 10 15 20 25 30

Grafica p

Grafica c para el numero de defectosAhora se considerara las situaciones en las cuales la observación en cada punto en el tiempoes el número de defectos en una unidad. La unidad puede estar formada por una sola piezao un grupo de piezas. Se supone que el tamaño del grupo es el mismo en cada punto deltiempo.La grafica de control para el numero de piezas defectuosas esta basada en la distribución deprobabilidad de Poisson. Si Y es una variable aleatoria de Poisson con parámetroθ,entonces

__


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E(Y) =θ σY = √ θ

Del mismo modo Y tiene aproximadamente una distribución normal cuandoθ es grande(θ≥10 será suficiente para la mayoría de los casos). Si Y1, Y2, …, Yn son variablesindependientes de Poissson con parámetros

θ1, θ2,… si θn. θ1=… = θn = θ (la distribución del numero de defectos por pieza es la mismapara cada pieza), entonces el parámetro de Poisson es =n θ.Numero de defectos en una unidad

__ __LCL = - 3√ UCL = + 3√

Con xi igual al numero total de defectos en la i-esima unidad (i= 1, 2, 3, …), se trazan puntoscon alturas x1, x2, x3, … en la grafica.Por lo general, el valor de debe estimarse de los datos. Como E(X

i) = , es natural utilizar la

estimación ^ = x testada (con base en x1, x2, xk).La grafica c para el numero de defectos en una unidad tiene su línea central a una altura y

___LCL = – 3√

___UCL = + 3√

Si LCL es negativo, se sustituye por 0.

Ejemplo.Una empresa fabrica paneles metálicos, a veces aparecen fallas en el acabado de estospaneles, por lo cual la compañía desea establecer una grafica de control para encontrar elnúmero de fallas. Los números de fallas de cada uno de 24 paneles a los que se les hizo elmuestreo a intervalos regulares de tiempo son los siguientes:

7 10 9 12 13 6 13 7 5 11 8 1013 9 21 10 6 8 3 12 7 11 14 10

Con Σxi = 2.35 y ^ = = 235/24 = 9.79Los límites de control son

__________LCL = 9.79 – 3√ 9.79 = 0.40

___________UCL = 9.79 + 3√ 9.79 = 19.18


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El punto correspondiente al decimoquinto panel se encuentra arriba del UCL, tras unainvestigación se encontró que la pasta empleada en ese panel tenia una viscosidad baja, aleliminar esta observación del conjunto de datos resulta = 214/23 = 9.30 y los nuevoslimites de control

__________LCL = 9.30 – 3√ 9.30 = 0.15 ___________

UCL = 9.30 + 3√ 9.30 = 18.45

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

Grafica c


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4.3 GRÁFICAS y R

Las cartas de control y R se usan ampliamente para monitorear la media y la variabilidad.El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la gráfica d

control para medias, o gráfica . La variabilidad de proceso puede monitorizar con unagráfica de control para el rango, llamada gráfica R. Generalmente, se llevan gráficas y Rseparadas para cada característica de la calidad de interés.

Las gráficas y R se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y control deprocesos en línea más importantes y útiles.

Los pasos para crear las gráficas se irán detallando paso a paso con un ejemplo decontenido de plomo en agua.

Creando una gráfica R en Excel

Toma de muestras

Periódicamente se toma una pequeña muestra (por ejemplo, de cinco unidades) del proceso,y se calculará el promedio (X) y el rango (R) de cada una. Debe recolectarse un total de amenos 50 medias individuales (esto es, diez muestras de cinco cada una) antes de calcularlos límites de control. Éstos se establecen a +3o para los promedios y rangos muestrales.Los valores de y R se grafican por separado contra sus límites a +3o.Por ejemplo:Se ha obtenido una gráfica del contenido de plomo en partes por billón de 5 muestras deagua registradas diariamente por un periodo de 5 días, que se muestra a continuación:

1 1 2 2 0 1 1

2 1 10 0 1


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0 0 0 1 0 0

10 0 211 0 12 2 2 1 11 1 1 1 12 1 0 1 0 1 12 10 11 1 1 1 11 0 220 10 0 10 12 21 10 1222 0 10 2 0 2 0 2

2 2 102 1 2 2 2 1 2 0 1 2 112

0 10 1 0

Estos datos servirán para el desarrollo de las gráficas X y R. Éstos deberán ser introducidosen una hoja de Excel como se muestra en el cuadro.

Cálculo del rango R de las muestras

A continuación, deberán calcularse los rangos promedios de las muestras. El rango es ladiferencia del valor mayor de la muestra menos el valor menor de la muestra, esto es, demanera muy abstracta, R = M – m, donde M es el mayor y m es el menor.

Aplicando este conocimiento a nuestro ejemplo, se calculan los valores de los rangosmuestrales de la siguiente forma:

M=13 y m=2: entonces 13 – 2 =11

M=15 y m=0: entonces 15 – 0 =15M= 4 y m=2: entonces 4 –2 = 2M=15 y m=3: entonces 15 – 3 =12M=10 y m=0: entonces 10 – 0 =10

Y así sucesivamente con todos los valores de la gráfica.

Cálculo de la R promedio (Línea Central)

1 1 2 112 0 1 1 1

2 2 1 12 10 0 10


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Enseguida, se calculará el valor de R , que es el promedio de los rangos muestrales. Esto seobtiene sumando las Ri obtenidas en todas las muestras y dividiéndolo entre el número deobservaciones realizadas.

En el ejemplo se tiene que n = 30 porque cada uno de los 30 días se hizo 1 muestra; la sumade los rangos deberá dividirse, entonces, entre 30. Esto puede calcularse con la función de

Excel PROMEDIO seleccionando la columna de datos correspondiente a Ri. Se recomiendcrear un apartado en el diseño de la hoja de Excel que se esté utilizando donde se guardenestos valores, ya que se necesitarán para cálculos posteriores.

Hasta ahora, la tabla debe estar como sigue:

El valor de R = 9.167, que es valor delLímiteCentral para la Gráfica R, y es la líneacentral de nuestras observacionesindividuales.

* Añádase este valor al listado de valoresimportantes.

Cálculo de Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales

1 1 2 112 0 1 1 1

2 2 1 12 10 0 10 1 0 0 0 1 0 0 1

10 0 2 11 0 12 2 2 1 11 1 11

1 1 12 1 0 1 0 1 12 10 1 1 1 1 1 1 121 0 2 20 10 0 10 12 1221 10 12 22 0 10 102 0 2 0 2

2 2 10 2 1 2 2 2 1 112 0 1 2 11 12

0 10 1 0 1


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Como ya se ha explicado, los límites superior e inferior nos ayudan a deducir si nuestrográfico se encuentra dentro o fuera de control. Por esto es necesario ubicar su lugar en elhistograma ( que se hará posteriormente) con ayuda de las siguientes fórmulas abreviadas:

Limite de control superior = R D4 Limite de Control Inferior = R D3

Donde D3 y D4 son constantes aplicadas en nuestro ejemplo, y que se encuentran en lasiguiente tabla:

Número de

observaciones en

una muestra A2 D3 D4

Factor para laestimación de R:d2=R/s

2 1.880 0 3.268 1.1283 1.023 0 2.574 1.6934 0.729 0 2.282 2.0595 0.577 0 2.114 2.3266 0.483 0 2.004 2.5347 0.419 0.076 1.924 2.7048 0.373 0.136 1.864 2.8479 0.337 0.184 1.816 2.9710 0.308 0.223 1.777 3.07811 0.285 0.256 1.744 3.17312 0.266 0.284 1.717 3.25813 0.249 0.308 1.692 3.33614 0.235 0.329 1.671 3.40715 0.223 0.348 1.652 3.472

La selección de las constantes D dependerán del número de observaciones en nuestra

muestra; como nuestro ejemplo consta de 5 observaciones, D3=0 y D4=2.114.Así, se sustituye el valor seleccionado en la fórmula y se obtiene que

Limite de control superior = R D4 Limite de control superior = (2.114) ( 9.167) = 19.38*Limite de Control Inferior = R D3 Limite de control superior = (0)(9.167) = 0*

* Estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue una columna del mismonúmero de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido, es decir, 1 columnade 30 filas con el valor 19.38 (en cada una de las filas) y otra columna de 30 filas con el valo0. Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creación del gráfico. Si lo deseahaga lo mismo con el valor del límite central de R.

Crear el Gráfico R

En Excel, con ningún valor seleccionado y las columnas ya creadas, siga los siguientespasos:


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1) Dé clic en el Asistente para Gráficos, elija el tipo de gráfico de líneas y Siguiente>.2) Dé clic en la pestaña “Serie” y elimine todas las gráficas hechas por Excel, si las hay

dando clic en Quitar.3) Dé clic en Agregar4) Como ‘Rótulos de los ejes de categorías (X)’, dé clic en el icono y proponga lo

valores de los días del 1 al 30. Dé ENTER. Éstos son los valores x.

5) Como ‘Valores’ proponga todos los valores de Ri de la tabla y dé ENTER. Éstos solos valores y.6) Para los límites dé clic en Agregar, dé los mismos valores de X pero como Y propong

a los valores obtenidos como Límite Superior, en este caso, la columna con el valor19.38.

7) Repita la operación pero con el valor de Límite Inferior =0 y dé clic en Siguiente>.8) Cambie las opciones del gráfico como lo desee y dé clic en Finalizar.9) Se ha creado el gráfico R de las muestras. Si lo desea, cambie el formato del tipo de

Gráfico de los límites dando clic derecho sobre ellos y eligiendo la opción ‘Tipo dgráfico’.

Gráfico R

0

5

1015

2025

0 5 10 15 20 25 30

Creando una gráfica X en Excel

En base a la primera tabla de datos, se realizará ahora un gráfico X, que es muy parecida ala anterior; la diferencia radica en que en lugar de tomar R como valores de Y, se toma elvalor del promedio de X.

Cálculo de los promedios de las muestras (Línea Central)

En la tabla de datos se agrega una columna y se realiza el cálculo de los promedios, que esla suma de los elementos de la primera muestram entre el número de elementos, esto es,

= (m 1 + m2 + ... + m n)/ n. En Excel puede utilizarse la fórmula (=PROMEDIO(m 1:m n)),adecuado a cada ejercicio en particular.Aplicándolo al ejemplo, se tiene que el valor de n=5 porque son 5 muestras en totalobteniendo los valores de :


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= (13+8+2+5+8)/5 = 7.2= (0+6+1+9+15)/5 = 6.2= (4+2+4+3+4)/5 = 3.4

= (3+15+8+3+5)/5 = 6.8= (5+10+5+4+0)/5 = 4.8= (9+5+13+7+7)/5 = 8.2

Y así sucesivamente con todos los demás datos de la tabla.

Cálculo del promedio de promedios ( )

Como su nombre lo indica, el promedio de promedios se calcula sacando el promedio delos resultados obtenidos de .El valor de será posteriormente utilizado en las fórmulas de cálculo de los límites superior inferior de la gráfica, así que es importante conservar en la mente dicho valor.Por esto se recomienda que una vez calculado, se enmarque o copie este valor en la mismahoja de Excel pero en un espacio especial para facilitar la resolución de dichas fórmulas.

Ya calculados todos los promedios en la tabla, se calcula el valor de con la fórmula deExcel PROMEDIO, seleccionando la columna obtenida de valores. Hasta ahora, se tiene lasiguiente tabla:

1 1 2 .22 0 1 1 .2

2 . 1 . 10 0 . 1 .2


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El valor de es de 5.59, que es el valordel Límite Central para la Gráfica X.

* Añádase este valor al listado devalores importantes.

Cálculo de Límites Superior e Inferior de X

Los límites se calculan con las siguientes fórmulas abreviadas:

Límite de control superior = R A X 2+ Límite de control inferior = R A X 2− Donde = Gran promedio = promedio de los promedios muestrales

R = Promedio de los rangos muestralesA2 = Constante

El valor de la constante puede consultarse en la tabla previamente dada, en el punto “Cálculode Límites Superior e Inferior de los Rangos Muestrales”, que es igual a 0.577 para nuestro

1 1 2 .22 0 1 1 .2

2 . 1 .

10 0 . 1 .2 0 0 0 . 1 0 0 .

10 0 2 .11 0 .12 2 2 .1 11 1 .21 1 12 .1 0 1 0 2.

1 12 10 1 .21 .1 1 1 1 .1 0 2 .220 10 0 10 12 .21 10 12 .22 0 10 .2 0 .22 0 2 .2 2 10 .2 1 2 2.

2 2 1 .2 0 1 2 11 .22 .2

0 10 1 0 .


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ejemplo de 5 observaciones. Como los valores de y R han sido calculados a lo largo deeste ejemplo, sólo se sustituyen en las fórmulas de la siguiente forma:

Límite de Control superior = R A X 2+ Límite de Control superior = (5.59) + (0.577)(9.17) = 10.88*

Límite de control inferior = R A X 2− Límite de control inferior = (5.59) - (0.577 (9.17) = 0.30*

* De la forma anterior, estos valores se usarán en la elaboración del gráfico. Agregue unacolumna del mismo número de filas de muestras (en este caso, 30) por cada valor obtenido,es decir, 1 columna de 30 filas con el valor 10.88(en cada una de las filas) y otra columna de30 filas con el valor 0.30. Esto es para crear una línea indicativa de los límites en la creacióndel gráfico. Si lo desea, haga lo mismo con el valor del límite central de X.

Crear el gráfico

Como ya se ha dicho, la diferencia de los gráficos es en la selección de los valores de Y.Realice la gráfica como se indica en ‘Crear el gráfico R’, pero cambie los valores de Y por lovalores de X promedio de las muestras. De igual forma agregue series que permitan apreciarlos límites superior e inferior de la gráfica.

El resultado será el histograma siguiente.

Gráfico X

0

2

4

6

8

1012

0 5 10 15 20 25 30

Interpretación de las Gráficas

Se colocan las gráficas para y R una encima de la otra de manera que el promedio y elrango para cualquier subgrupo se encuentren en la misma línea vertical. Observe si algunade ellas o ambas indican una falta de control para ese subgrupo.


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Las fuera de los límites de control son seña de un cambio general que afecta a todas laspiezas posteriores al primer subgrupo fuera de los límites. El registro que se guarda durantela recolección de datos, la operación del proceso y la experiencia del trabajador debenestudiarse para descubrir la variable que pudo haber causado que saliera de los límites decontrol. Las causas comunes son un cambio en el material, el personal, la preparación de lamáquina, el desgaste de las herramientas, la temperatura o la vibración.

Las R fuera de los límites de control indican que la uniformidad de proceso ha cambiado. Lacausas comunes son un cambio en el personal, un aumento en la variabilidad del material odesgaste excesivo en la maquinaria del proceso.

Una sola R fuera de control puede ser causada por un cambio en el proceso ocurridomientras se tomaba la muestra del subgrupo.

Se buscan patrones poco usuales o no aleatorios. Nelson (1984, 1985) proporciona ochopruebas para detectar esos patrones en las graficas de control usando límites de control a3σ :

Prueba 1. Un punto fuera de la zona A.Prueba 2. Nueve puntos seguidos en la zona C.Prueba 3. Seis puntos seguidos con aumento o disminución estables.Prueba 4.Catorce puntos seguidos alternando arriba y abajo.Prueba 5. Dos de cada tres puntos seguidos en la zona A o más allá.Prueba 6. Cuatro de cada cinco puntos seguidos en la zona B o más allá.Prueba 7. Quince puntos seguidos en la zona C (arriba y debajo de la recta central).Prueba 8. Ocho puntos seguidos a ambos lados de la recta central.

4.4 ANALISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESOLa capacidad del proceso es la forma en que se compara la variabilidad inherente de unproceso con las especificaciones o requerimientos del producto.

Las técnicas estadísticas pueden ser útiles en el ciclo de un producto, incluyendo lasactividades de desarrollo previas a la manufacturas, para cuantificar la variabilidad deproceso, para analizar esta variabilidad respecto de los requerimientos o especificaciones delproducto y para ayudar al personal de desarrollo y manufactura a eliminar o reducir en granmedida esta variabilidad. A esta actividad general se le llama análisis de capacidad delproceso.

Evidentemente, la variabilidad del proceso es una medida de la uniformidad de la salida. Ha2 formas de conceptualizar esta variabilidad:

1. La variabilidad natural o inherente en un tiempo especificado; es decir, la variabilida“instantánea”.

2. La variabilidad con el tiempo

El análisis de capacidad del proceso se define como el estudio de ingeniería para estimar lacapacidad del proceso. La estimación de la capacidad del proceso puede estar en lacondición de una distribución de probabilidad que tenga una forma, centro (media) y


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dispersión (desviación estándar) especificados. De manera alternativa, la capacidad delproceso puede expresarse como un porcentaje fuera de las especificaciones. Sin embargo,las especificaciones son necesarias para realizar el análisis de capacidad del proceso.

El análisis de capacidad del proceso es una parte vital de un programa integral demejoramiento de calidad. Entre los usos principales de los datos de un análisis de capacidad

del proceso se encuentran los siguientes:1. Predecir el grado de variabilidad que exhibirán los procesos. Esta información decapacidad proporcionará información importante para establecer límites deespecificación realistas.

2. Seleccionar, entre procesos que compiten, el proceso más adecuado para que lastolerancias se cumplan.

3. Planear la interrelación entre procesos secuenciales. La cuantificación de lascapacidades respectivas del proceso con frecuencia señala el camino para encontraruna solución.

4. Proporcionar una base cuantitativa para establecer un programa de verificación decontrol periódico del proceso y reajustes.

5. Asignar máquinas a los tipos de trabajos para los cuales son más adecuadas.6. Probar las teorías de las causas de defectos durante los programas de mejoramiento

de calidad.7. Servir como base para la especificación de los requerimientos de calidad para las

máquinas compradas.

Por tanto, el análisis de capacidad de proceso es una técnica que tiene aplicación en muchossegmentos del ciclo del producto, incluyendo el diseño de producto y procesos, la fuente deproveedores, la planeación de la producción o la manufactura, y la propia manufactura.

La fórmula para la capacidad del proceso que más se usa es:

Capacidad del proceso = +3 (un total de 6σ )

Donde σ = la desviación estándar del proceso cuando se encuentra en estado de controlestadístico, es decir si la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos.

Si el proceso está centrado en la especificación nominal y sigue una distribución deprobabilidad normal, 99.73% de la producción caerá a menos de 3σ de la especificaciónnominal. Sólo el 0.27% de la salida del proceso quedará fuera de los límites de tolerancianatural. Es necesario recordar dos puntos:

1. El valor 0.27% fuera de las tolerancias naturales suena pequeño, pero corresponde a2700 partes de millón disconformes.

2. Si la distribución de salida del proceso no es normal, entonces el porcentaje de lasalida quedará fuera de +3σ puede diferir considerablemente de 0.27%.

Una razón importante para cuantificar la capacidad del proceso es poder calcular lacapacidad del proceso de mantener las tolerancias del producto. Para procesos que seencuentran un estado de control estadístico, una comparación de la variación entre 6σ y loslímites de tolerancia permite un cálculo rápido de porcentaje de unidades defectuosas,mediante la teoría estadística.


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Quienes planean intentan seleccionar procesos que tengan 6σ de la habilidad del procesodentro de la amplitud de tolerancia. Una medida de esta relación es la tasa de capacidad:

Cp = Tasa de capacidad = =

Donde LES= Límite de especificación superiorLEI = Límite de especificación inferior

Un proceso que cumple bien con los límites de especificación (rango de especificación =+3σ ) tiene un Cp de 1.0. Lo crítico de muchas aplicaciones y la realidad de que el promediodel proceso no permanecerá en el punto medio del rango de especificación sugiere que Cp debe ser al menos 1.33.

Tabla de los Índices del estudio de la capacidad del proceso:

ICP Decisión

1.33


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21/36

Hay dos diagramas de control de atributos para las no conformidades:La primera (la gráficap ) se refiere a la fracción defectiva por no cumplir con lasespecificaciones.La segunda (la gráficanp ) se refiere al control del número de artículos no conformes.

Gráficos np

Fundamentos teóricos

BASADOS: en el número de elementos en una muestra o subgrupo que son juzgados comodisconformes en base a una definición operacional.

SE LLAMAN ASÍ PORQUE: El número de elementos disconformes en una muestra sesuponen como la proporción de elementos disconformes,p , conforme al tamaño de lamuestra, n , así que son llamados gráficosnp .

Calculando los límites de control para gráficosnp

Se deberá estimar la probabilidad,p , de que el proceso produzca un elemento disconforme.Para obtener una buena estimación, se necesita evaluaral menos de 20 a 25 muestras osubgrupos y contar el número de elementos disconformes en cada uno.La mejorestimación para p será p - , la media proporcional de elementos disconformes.

Las fórmulas para calcular los límites de control, la media proporcional y la línea central delgráfico son las siguientes:

* p- = Numero total de elementos disconformes en todos los gruposNúmero total de elementos en todos los grupos

* Línea central =np - , donde n = el tamaño del subgrupo común _________

* UCL =np - + 3√ np - (1 – p -) ___________

* LCL =np - - 3√ np - (1 – p -)

A continuación, se verá un ejemplo para comprender con más detalle el funcionamiento delas fórmulas y el desarrollo de los histogramasnp .

Creando un gráficonp

Para realizar un gráfico de este tipo, se siguen principalmente 4 pasos básicos:1) Captura de datos en Excel2) Cálculo de la proporción disconforme


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3) Sustitución en las fórmulas4) Creación del gráfico en Excel

Los datos se capturan primeramente en Excel, creando las columnas necesarias. Esimportante aclarar que los gráficosnp se utilizan cuando el tamaño de las muestras es elmismo cada vez que se toman; de ahí que el tamaño de la muestra, n, es constante.

Para aplicar estos conocimientos se utilizará el siguiente ejemplo.Una manufacturera de esponjas de gasa toma una muestra de 600 esponjas diariamente, lasinspecciona y registra el número de esponjas defectuosas. En total hay 9 muestras deesponjas, representados en la siguiente tabla:

=21/600=22/600=20/600.....y asísucesivamente.

La proporción disconforme es el resultado de la división de los elementos disconformes entrel tamaño de la muestra, en este caso, 600.

A continuación, se sustituyen los valores en las fórmulas para calcular los valores de loslímites. Así, se tiene que

p- = Numero total de elementos disconformes en todos los gruposNúmero total de elementos en todos los grupos

p- = 208 (suma de la columna ‘Elementos disconformes’)9(600) ( suma de los elementos muestreados)

p- = 0.0385

Línea central =np - , donde n = el tamaño del subgrupo común Línea central = (600)(0.0385) = 23.1*

_________UCL =np - + 3√ np - (1 – p -) UCL = 23.1 + 3√ 23.1 (1 –0.0385) = 37.8* =

___________

NUMERO DE ESPONJAS DE GASA DISCONFORMES EN 32MUESTRAS DE TAMAÑO n =32

Día Elementosdisconformes nProporción

disconformep- = (x/n)

1 21 600 0.0352 22 600 0.0373 20 600 0.0364 21 600 0.0355 23 600 0.0386 39 600 0.0657 18 600 0.0308 24 600 0.0409 20 600 0.033


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LCL =np - - 3√ np - (1 – p -)LCL = 23.1 - 3√ 23.1 (1 – 0.0385) = 8.96 *

* Estos valores se usarán en la creación del gráficonp . Para realizar el histograma, siga lospasos del subtema “4.3 GRÁFICAS X Y R”, en la sección ‘Crear el gráfico R’. Los pasos sobásicamente los mismos, sólo basta sustituir el valor de los elementos disconformes en lugar

de los valores de R como eje x, y los valores de los límites nuevos.La gráfica resultante es

Gráficos p

Fundamentos teóricos

BASADOS: En la distribución binomial y requiere que se cumplan las tres primerassuposiciones del gráficonp . Al contrario delnp , los gráficosp pueden ser usados paratamaños de muestra iguales o diferentes .SE LLAMAN ASÍ PORQUE: Emplean laproporción de elementos disconformes en las

muestras en lugar de el número de disconformidades . Calculando los límites de control para gráficosp

Las finalidades principales de conocer los límites de control de la gráficap, son:- Poner a la atención de la dirección cualesquiera cambios en el grado promedio de

calidad.- Descubrir los puntos altos fuera de control que requieren actuar

Gráfico np para esponjas de gasas n=600

01020304050

1 2 3 4 5 6 7 8 9Número muestral

C u e n

t a m u e s

t r a

l


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- Descubrir los puntos bajos fuera de control que indiquen normas menos estrictas parainspección o causas erráticas de mejoramiento de calidad

Las fórmulas que nos permiten encontrar los valores de los límites cuando el tamaño de lamuestra es igual son:

_________ _________*LCL =p - 3√ _ p (1-p ) *UCL =p + 3√ _ p (1-p )_n n

_________*Sp = √ _ p (1-p ) (conocido como Error estándar de la proporción)

n

Cuando el tamaño de la muestra es diferente, lan se encuentra con la fórmula

n - = Número total de elementos en consideraciónNúmero total de subgrupos

A continuación se aplicarán estas fórmulas en el desarrollo del gráficop .

Creando un gráficop

En base al ejemplo anterior de las muestras de gasas, se creará un nuevo gráfico siguiendolos pasos para un gráficop .Para este tipo de gráfico de disconformidad, la diferencia radica que en lugar de tomar elnúmero de elementos disconformes como Y, se utiliza la proporción disconforme de la tablaen cada observación.Los límites se obtienen con las fórmulas correspondientes, obteniendoLCL = -0.015 Sp = 0.0078UCL = 0.062De este modo, la gráfica obtenida es

Gráfico p para esponjas de gasas n=600

00.020.04

0.060.08

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Muestras

P r o p o

r c i ó n


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Hay algunos casos en los que el tamaño de las muestras es distinto cada vez. En esos casosse utiliza la fórmula den - (mencionada anteriormente) para sacar un promedio del tamañomuestral, y posteriormente se hace la sustitución en las fórmulas.

4.6 PROCEDIMIENTOS ESPECIALES PARA EL CONTROL DE PROCESOS

Algunos temas especiales relativos a los gráficos

Gráficos De Control Con Tamaño De Subgrupo VariableSiempre que sea posible es conveniente tener un tamaño de subgrupo constante. Si

esto no puede hacerse, los límites en los gráficos X y R deben ser variables.

Una vez que se ha estimado σ´, estos límites para diversos tamaños de muestra puedenobtenerse utilizando los factores y fórmulas. En donde los datos utilizados para estimarσ´

incluyen subgrupos de diversos tamaños.

Gráficos R O Gráficosσ Donde Los Gráficos X No Son ApropiadosEn algunos casos los subgrupos pueden ser comparables en su dispersión aunque no

sean comparables en sus medias. Si se analizan muestras que tienen contenido químicoalgo diferente, los promedios de los subgrupos no son comparables. Sin embargo, ladispersión de los subgrupos refleja la capacidad de un analista y un procedimiento analítico


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para reproducir resultados por medio de varias determinaciones similares. El gráfico dcontrol de R oσ proporciona una base para juzgar si esta dispersión parece estar influida porun sistema de causas constantes.

Gráficos X Yσ Con Subgrupos GrandesAlgunas veces sucede que se dispone de datos sobre medias y desviaciones estándar de

alguna variable medida, procedentes de diferentes fuentes. Puede ser conveniente aplicaruna prueba de homogeneidad a estas cifras para ver si hay una clara evidencia de que las_diferentes fuentes representan diferentes sistemas de causas. Los gráficos de control de X yσ constituyen un procedimiento simple de prueba para este propósito

Límites De Precaución En Los Gráficos De ControlAlgunos autores sobre control estadístico de calidad son partidarios del uso de dos

conjuntos de límites en los gráficos X. Los límites externos, llamados algunas veceslímitesde acción son los límites convencionales casi siempre en 3-sigma o –si se utilizan límites deprobabilidad 0.002—en 3.09-sigma. Los límites internos se recomiendalímites deprecaución y se encuentran casi siempre en 2-sigma o –si se utilizan límites de probabilidad

0.05 – en 1.96-sigmaProblemas Que Acarrea Una Mala Interpretación De La Relación Entre Los Límites DGráfico De Control Y Los Límites De La Especificación

Siempre que se introduce un gráfico de control de X en operaciones de producción,aparece una fuente de confusión. Cuando las especificaciones se aplican a valoresindividuales, los límites de la especificación tienden a confundirse con los límites del gráfide control. Esta confusión existe en muchas mentes del personal de taller, inspectores, eincluso ingenieros directores, lo cual conduce a una diversidad de problemas.

Representación De Los Totales Del SubgrupoUn sistema utilizado en muchas plantas consiste en representar en el gráfico de control lasuma de n observaciones de cada subgrupo en lugar de su media. Si se representan los

totales, los valores que aparecen en el gráfico no son comparables con los límites deespecificación; de ahí que, en este punto, la probabilidad de confusión queda muy reducida.Este tipo de gráfico no es si no un gráfico X convencional, con la escala aumentada nveces. Los valores de los límites y de la línea central, son los valores_ del gráfico Xmultiplicados por n. Cualquier conclusión que se saque del gráfico X, puede hacersetambién a partir de los gráficos de los totales.

Algunos procedimientos especiales relacionados.

Gráficos Para Las Mediciones IndividualesCuando el personal del taller no entiende los gráficos de medias una forma de evitar

interpretaciones erróneas consiste en no representar las medias, sino las medicionesindividuales. En estos se dibujan correctamente los límites de la especificación que debeaplicarse a las mediciones individuales.

Este tipo_ de gráfico puede ser mejor que nada, pero es mucho menos satisfactorio queun gráfico X convencional, basado en un tamaño de subgrupo de 4 o 5. En general este tipo


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de gráfico es inferior a los gráficos de control convencionales porque no ofrecen unapanorámica clara de los cambios que tienen lugar en el proceso, ni siquiera una pruebarápida de la existencia de causas atribuibles de variación.

Combinación Del Gráfico De Mediciones Individuales Y El Gráfico De MedianasSi se desean representar las mediciones individuales, se sugiere que se construya un

gráfico que refleje también la tendencia central de los subgrupos. Un gráfico así podría seindependiente. O bien, el gráfico de control de la tendencia central podría superponerse agráfico de mediciones individuales.

El esquema más conveniente para esta superposición de gráficos, consiste en combinarun gráfico de mediciones individuales con un gráfico de medianas. La conveniencia de estúltimo es mayor cuando el subgrupo contenga un número de mediciones impar : 3,5 o 7.

En cualquier de estos gráficos combinados, los valores individuales pueden examinarsecon respecto a los límites de tolerancia respetados en el gráfico; lo mismo pude hacerse conlas medianas en relación a sus límites de control.

Gráficos De Control De Medianas Entre Subgrupos, Empleando Medianas De DatoEstadísticos De Conjuntos De Subgrupos

Enoch B. Ferrell, de Bell Telephone Laboratories ha propuesto el empleo del centro de laamplitud como medida de la tendencia central de cada subgrupo. Asimismo, ha propuestoque la estimación de la tendencia central de una población se base en la mediana de loscentros de las amplitudes de un conjunto de subgrupos y que la estimación de la dispersiónde la población se base en la mediana de las amplitudes del mismo conjunto de subgrupos.

Una ventaja que representa el empleo de la mediana como medida de la tendencia

central de un subgrupo es que puede encontrarse rápidamente sin tener que efectuarninguna operación aritmética para subgrupos de tamaño impar, 3, 5, etc.

Prueba general de homogeneidad

El Gráfico De Control Como Prueba De Homogeneidad

Es imposible hacer demasiado énfasis sobre la importancia de mantener un registro delorden de producción siempre que se lleven a cabo medidas de cualquier calidad de productomanufacturado. Lo ideal es planear las medidas teniendo esto en mente. Prácticamente no

puede ser posible. Esto es cierto cuado un comprador desea aplicar el análisis de gráficos decontrol al embarque de un producto respecto al cual no conoce el orden de producción.

Aquí los gráficos de control son simplemente una prueba de homogeneidad. Estahomogeneidad puede haberse obtenido por un sistema de causas constantes durante laproducción.

El análisis con gráficos de control puede también aplicarse a los datos que ya se tienendisponibles y que no se obtuvieron teniendo en mente el gráfico de control, siempre que haya


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alguna base racional para establecer los subgrupos. Aquí los gráficos de control también sonuna prueba general de homogeneidad.

Límites de probabilidad para gráficos de control para variables

Límites De Probabilidad En Los Gráficos XSi se supone que los valores X , cuando todas las muestras se toman de la mismapoblación, siguen una distribución normal, puede encontrarse el múltiplo deσX correspondiente a unas probabilidades estipuladas, cuando la población es normal , losvalores de X están normalmente distribuidos y cuando proceden de poblaciones que no sonnormales, se distribuyen según una forma aproximadamente normal, para un tamaño demuestra igual o mayor que 4.

Límites De Probabilidad En Los Gráficos R Yσ La distribución de los valores de X que es normal o aproximadamente normal, es

simétrica. Por tanto, en un gráfico X, los límites de probabilidad, al igual que los límites 3-sigma, son equidistantes de la línea central del gráfico. Por el contrario, como lasdistribuciones de R y deσ no son simétricas, aunque la población sea normal hay quedisponer de factores independientes para los límites de control superior e interior, para quelas probabilidades de las desviaciones extremas sean iguales.

Diferentes Puntos De Vista En La Descripción De Los Límites En Los Gráficos De ContrPor Variables

Para describir los límites de los gráficos de control de X, R yσ se utilizan dos puntos devista.

Uno de ellos, es que la fijación de los límites debe basarse en el valor numérico de unaprobabilidad, que debería ser aquella que, sin que se produzca ningún cambio en lapoblación, un punto cayera dentro de los límites de control. Los partidarios de esta teoríanormalmente han adoptado como = valor de esta probabilidad en los gráficos X, 0.998.Esto ha conducido a unos límites de X , de±3.09σX .

La segunda postura considera que, aún cuando la probabilidad asociada a los límites sepudiera conocer exactamente, este valor solo es de interés en casos accidentales. Loimportante es que exista u criterio definido para el establecimiento de los límites y que dichcriterio constituya una guía adecuada para las acciones que deberán basarse en los gráficosde control.

Aspectos Especiales De Los Límites De Probabilidad En Los Gráficos De Control De R Y Dσ

Aunque en los gráficos X , los límites de probabilidad son, al igual que los límites 3-sigma, equidistantes respecto a la línea central , en los gráficos R no lo son.Un punto en el que los defensores de los límites de probabilidad han puesto mayor énfasises que, para los tamaños de subgrupo usuales de 5 elementos o menos, el límite inferior 3-sigma en estos gráficos es cero. Por lo contrario para un tamaño de subgrupo de tres omayor, le corresponderá un límite de control inferior mayor que cero.


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V. GRÀFICOS DE CONTROL PARA MEDIAS MÒVILES

El Uso De Los Límites De Control Para Medias Móviles

La media móvil es particularmente apropiada en los procesos químicos de fabricacióncontinua cuando se aplican a características de calidad de materias primas y productos enprocesos. El efecto nivelador de la media móvil con frecuencia tiene un efecto sobre las cifraque es similar al efecto que sobre el producto tendría una mezcla que se llevara a cabo en elresto del proceso de producción.

En la introducción de las técnicas de Shewhart en las fábricas químicas, puede serdeseable no perturbar la costumbre de representar medias móviles y agregar gráficos paraamplitudes móviles. Sin embargo, es apropiado aplicar límites de control para utilizar estográficos de medias móviles y agregar gráficos para amplitudes móviles. El cálculo de estolímites y la interpretación de estos gráficos son similares a los gráficos convencionales de X

y R, pero difiere en ciertos aspectos.Combinación De Un Gráfico De Mediciones Individuales Y Un Gráfico De AmplitudMóvil

En algunos procesos, es normal tener solo algunas mediciones aisladas y más o menosespaciadas en el tiempo.

Bajo tales circunstancias, tal vez se quiera representar los valores X en lugar desuavizar las fluctuaciones de un día a otro, mediante la representación de medias móviles.Aunque en un caso así, la X móvil no se emplea, es preciso utilizar en cambio, la amplitudmóvil como medida de la dispersión del proceso. El “A.S.T.M. Manual on Quality Control

Materials” recomienda un tamaño de subgrupo de dos para el gráfico de amplitud móvil erelación a uno para valores individuales.

VI. Gráfico x con una tendencia lineal

Gráfico X Para Medias De Universo Que Presentan Una Tendencia Con Una DesviaciónEstándar Constante

En ciertas operaciones de maquinado, las herramientas se desgastan en una formauniforme alo largo de su periodo de uso. Este desgaste puede ser uno de los factores queinfluyen en el valor medio de cierta dimensión del producto fabricado y puede seresponsable de una tendencia en este promedio.

La línea central y los límites de control para el gráfico X , en este caso, deben serpendientes y no horizontales. La pendiente de la línea central o la media del universo, yσ’,estimada a partir de R, se determinan de las mediciones mismas. Una vez que se conocen,es posible determinar el ajuste inicial y la longitud de la corrida que juntas darán el periodmáximo entre los ajustes de maquinaria consistentes con las tolerancias especificadas.


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VII. Inspección volante mediante el gráfico p

Adaptación Especial Del GráficoP Para Una Inspección Volante

Para mantener el mismo nivel de sensibilidad con respecto a los cambios que tienen lugar

en el proceso, el gráfico de control de la fabricación rechazada necesita un tamaño demuestra sustancialmente mayor que el gráfico X. Si el gráficop ha de ser un instrumentoefectivo en el control de un proceso en el que se tiene que mantener un elevado nivel decalidad, en la determinación del tamaño de la muestra existen dos aspectos que requierenuna adaptación especial de dicho gráfico. Primero hay que esperar que en la muestraaparezcan varios elementos rechazados.

Segundo, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, tanto más probable es que, durantela extracción de la misma, se produzca un cambio. El resultado sería una mayor probabilidadde que los cambios que tuvieran lugar entre la toma de dos muestras no se detectaran.

En casos en que sea necesario hacer uso de la inspección por atributos, e interesedetectar pequeños cambios en el proceso, las circunstancias pueden requerir el empleo demuestras pequeñas. Aquí, la única manera en que un gráficop o un gráfico connp puedenutilizarse de manera provechosa es crear un nivel de mal calidad falso, mediante laaplicación de normas de aceptación, que sean mucho más rigurosas que las impuestas porlas especificaciones. Esto es, puede establecerse una definición especialmente severa de un“defectuoso”, que solo se emplee para efectos de control de proceso a través del gráfico decontrol. De esta forma, un tamaño de muestra pequeño no es obstáculo para el uso de ungráfico de control basado en una inspección por atributos.

VII. Combinación del control del proceso y la aceptación del producto

Límite De Rechazo Para Valores Medios En Los Gráficos XUno de los posibles métodos de representación de la relación entre los valores X y los

límites de especificación que se aplican a los elementos individuales, es el empleo de límitede rechazo para los valores medios. Suponiendo queσ’ es conocida y constante, y queprácticamente todo el producto caerá dentro de los límites X’± 3σ’, es fácil calcular losvalores extremos de X’ que permitirán que prácticamente todo el producto caiga dentro delos límite de la especificación. Los límites de rechazo para los valore medios son unos límitedel gráfico de control que resultarían apropiados si X’ estuviera presente en cada uno deestos valores calculados.

Límites De Control ModificadosUna etapa más avanzada en el empleo de los límites de rechazo y de los límites decontrol en los gráficos X, la constituye la sustitución de los límites de control por los límitede rechazo. En este caso, los límites de rechazo reciben el nombre de límites de controlmodificados. Su principal aplicación es en el control de dimensiones. La puesta en prácticde estos límites solo resulta interesante cuando el campo de variación del proceso (estimadomuchas veces en 6σ) es considerablemente menor que la diferencia entre los dos límite de laespecificación (S-I).S = Límite superior de la especificación


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I = Límite inferior de la especificación

4.7 GRÁFICAS DE CONTROL PARA SUMA ACUMULATIVA

La gráfica de suma acumulada es una gráfica cronológica de la suma acumulada de lasdesviaciones de una muestra estadística que se alejan de un valor de referencia. La gráficaCUSUM incorpora directamente toda la información contenida en la secuencia de los valoremuestrales graficando las sumas acumuladas de las desviaciones que presentan los valoresmuestrales respecto al valor objetivo. Por ejemplo, suponer que se colectan muestras detamaña n >1, y que x j es el promedio de la j -ésima muestra. Entonces, si 0 µ es el objetivopara la media del proceso, la gráfica de control de suma acumulada se construye graficandola cantidad:

∑=

−=1

0 )μ(

Contra la muestra i . A C i se le llama la suma acumulada hasta la i -ésima muestra,incluyéndola.

Se observa que si el proceso se mantiene bajo control en el valor objetivo0 µ , la sumaacumulada definida en la ecuación anterior es una fluctuación aleatoria con media cero. Sinembargo, si la media experimenta un corrimiento ascendente a un valor1 µ > 0 µ , por ejemplo,entonces se desarrollará una alineación ascendente o positiva en la suma acumuladaC i .Recíprocamente, si la media experimenta un corrimiento descendente a un valor1 µ < 0 µ ,entonces se desarrollará una desalineación descendente o negativa enC i . Por lo tanto, si sedesarrolla una tendencia en los puntos graficados, sea ascendente o descendente, éstadeberá considerarse como evidencia de que la media del proceso se ha corrido y deberárealizarse la búsqueda de alguna causa.

La gráfica CUSUM no es una gráfica de control, ya que carece de los límites de controestadístico. Hay dos formas de representar CUSUMS, La CUSUM tabular (o algorítmica) y ela forma máscara V de la CUSUM.

Estas gráficas de control se diseñaron para identificar cambios pequeños, pero sostenidos,en el nivel de un proceso, con mucha mayor rapidez que las gráficas X normales. Debido aque da una alerta temprana de cambios de procesos, es consistente con el principioadministrativo de hacerlo bien la primera vez, y no permitir la producción de artículos codefecto.

La gráfica de suma acumulada abarca todos los datos anteriores, al graficar sumasacumuladas de las desviaciones de los valores de la muestra respecto a un valor meta; esdecir:

St =∑( xi - x0 )


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Donde xi es el promedio del i-esimo subgrupo, x0 es el valor normal, o de referencia, y Stla suma acumulada cuando se efectúa la i-ésima observación. Nótese que cuando n=1 , xies el valor de la I-ésima observación.

La gráfica de suma acumulada tiene un aspecto muy distinto al de las gráficas X y Rnormales. En lugar de un eje central y límites horizontales de control, se forma una

“mascarilla” que consiste en un puntero de lugar y dos límites de control angulados.La mascarilla se coloca en la gráfica de tal manera que la punta, P, quede en el último puntograficado. La distancia d y el ánguloθ son los parámetros de diseño de la mascarilla.

Si no hay puntos anteriores fuera de los límites de control, se supone que el proceso estábajo control. Si, por ejemplo, hay un desplazamiento en el promedio del proceso sobre evalor de referencia, cada nuevo valor que se añade a la suma acumulada hará que Staumente y ocasionará una tendencia hacia arriba, en la gráfica. Finalmente, un punto puedequedar fuera del límite superior de control, lo cual indica que el proceso se ha salido decontrol. Si el promedio se desplaza hacia abajo, sucede lo contrario.


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Ejemplo de Grafica CUSUM

Prepare una grafica CUSUM bilateral para X para los datos de la siguiente tabla

Numero Promedio Recorrido - ( )∑ − 0 X X delsubgrupo R

1 199.2 11 -1.3 -1.32 198 14 -2.5 -3.83 198.6 10 -1.9 -5.74 201 18 0.5 -5.25 197.6 11 -2.9 -8.1

6 198.8 7 -1.7 -9.87 196.6 2 -3.9 -13.78 201.6 10 1.1 -12.69 199.8 12 -0.7 -13.3

10 200.6 17 0.1 -13.2

11 198.8 9 -1.7 -14.912 198.4 10 -2.1 -1713 202.6 9 2.1 -14.914 200.2 7 -0.3 -15.215 197.8 16 -2.7 -17.9

16 199 9 -1.5 -19.417 202.4 8 1.9 -17.518 198.8 16 -1.7 -19.219 197.8 6 -2.7 -21.920 198.8 8 -1.7 -23.6

21 199.2 14 -1.3 -24.922 204.2 7 3.7 -21.223 200.2 20 -0.3 -21.524 199.6 13 -0.9 -22.425 201.2 13 0.7 -21.7

Σ 277

Suponga que las especificaciones para este articulo son 190.5 y 210.5 utilice el valor nominade 200.5 como normal y un grado de riesgo de 0.027 correspondiente a limites 3- Sigmasen una grafica de control de Shewhart. La magnitud del desplazamiento, D, que se deberíade tratar casi con certidumbre es de 7.8 ms. Utilice un factor de escala y =5

X

X 0 X

0 X


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RESPUESTASFormulas

( )

2

= D

n E d

σ

α y

D2

tan =θ

Datos

( )

5

)5(326.2

5

8.7

5.200

215.13

0027.0

2

0

===

===

==

n

porquend

y

D

X

E α

α

Procedimiento

08.1125

277 == R

( )( ) 13.25326.208.11

2

===nd

R

n

σ

unidadesd 985.08.713.2

215.13

2

=

=

( )( ) ( ) '1 573778.0tan

10

8.7

52

8.7tan °==== −θ

En dondeΕ (α) = factor que es función de la probabilidad aceptable de error Tipo I para losdiversos valores deα que se dan a continuación.Ε (0.0027) corresponde a la probabilidad delerror Tipo I (α) relacionada con los límites 3-sigmas normales de Shewhart.


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1/2 α (prueba 0.00135 0.005 0.01 0.025 0.05

unilateral)α (prueba 0.0027 0.01 0.02 0.05 0.1

bilateral)Ε(α) 13.215 10.597 9.21 7.378 5.991

σ R

d =2 σ

σ Rd =3 σ

σ RMS c =2 σ s

c =4

Tabla C Factores para estimar σσσσ a partir de , R s ó RMS σ y

Rσ a partir de R Número de

observaciones Factor Factor Factor Factoren subgrupo 2d 3d 2c 4c

n

2 1.128 0.8525 0.5642 0.79793 1.693 0.8884 0.7236 0.88624 2.059 0.8798 0.7979 0.92135 2.326 0.8641 0.8407 0.94

6 2.534 0.848 0.8686 0.95157 2.704 0.8332 0.8882 0.95948 2.847 0.8198 0.9027 0.9659 2.97 0.8078 0.9139 0.969310 3.078 0.7971 0.9227 0.9727

11 3.173 0.7873 0.93 0.975412 3.258 0.7785 0.9359 0.977613 3.336 0.7704 0.941 0.979414 3.407 0.763 0.9453 0.98115 3.472 0.7562 0.949 0.9823

16 3.532 0.7499 0.9523 0.983517 3.588 0.7441 0.9551 0.984518 3.64 0.7386 0.9576 0.985419 3.689 0.7335 0.9599 0.986220 3.735 0.7287 0.9619 0.9869

21 3.778 0.7242 0.9638 0.987622 3.819 0.7199 0.9655 0.988223 3.858 0.7159 0.967 0.988724 3.895 0.7121 0.9684 0.989225 3.931 0.7084 0.9696 0.9896

30 4.086 0.6926 0.9748 0.991435 4.213 0.6799 0.9784 0.992740 4.322 0.6692 0.9811 0.9936


36/36

45 4.415 0.6601 0.9832 0.994350 4.498 0.6521 0.9849 0.9949

55 4.572 0.6452 0.9863 0.995460 4.639 0.6389 0.9874 0.995865 4.699 0.6337 0.9884 0.996170 4.755 0.6283 0.9892 0.996475 4.806 0.6236 0.99 0.9966

80 4.854 0.6194 0.9906 0.996885 4.898 0.6154 0.9912 0.99790 4.939 0.6118 0.9916 0.997295 4.978 0.6084 0.9921 0.9973100 5.015 0.6052 0.9925 0.9975

Graficas de Control y Conceptos Estadisticos

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