Basado en Bertsimas, TsitsiklisLa Geometra de la Programacin LinealBasado en Bertsimas, TsitsiklisIntroduction to Linear OptimizationChap. 2IN3701 Modelamiento y OptimizacinNelson Devia C.Introduccin Se dice que un conjunto S en Rnes un poliedro si puede serrepresentado como un conjunto finito de inecuacioneslineales: Donde A es una matriz de mX n, b es un vector en Rmy m es la cantidadde inecuaciones.} / { b Ax R x Sn = La regin factible de todo Problema de Programacin Lineal(PPL) puede ser descrita por restricciones de desigualdad dela forma y, por lo tanto, es un poliedro. Notar que un poliedro, equivalentemente, se puede definir:} / { b Ax R x Sn =2b Ax Ejemplo: Poliedro en R Consideremos las siguientes desigualdades:En este caso tenemos,178 4111 xxx||

| =||

| =8 4 En este caso tenemos, Grficamente:33 , 1 = = m n|||

\ =|||

\ =1711 b y A-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x1Ejemplo: Poliedro en R De la primera desigualdad tenemos que: De la segunda desigualdad tenemos que: De la tercera desigualdad tenemos que: Luego el poliedro representado con estas desigualdades es el 21 x11 x71 x Luego el poliedro representado con estas desigualdades es el siguiente:4-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x1Ejemplo: Poliedro en R2 Consideremos las siguientes desigualdades:5132 12 11 + x xx xx||||||

||||

\|||||||

| 5131 11 10 121xx En este caso tenemos 5005212 1 xxx x5 , 2 = = m n|||

\|

\|||

\001 00 12xEjemplo: Poliedro en R2 Grficamente:654x252 1 x x12 1 + x x31 x6-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x143210-1-202 x01 xEjemplo: Poliedro en R3 Consideremos las siguientes desigualdades:00021xxx|||||

|||||

||||||

|0001 0 00 1 00 0 121xx En este caso tenemos 7103 2 13 + +x x xx4 , 3 = = m n|||

\|

\|||

\ 101 1 11 0 03x Grficamente:Ejemplo: Poliedro en R302 x01 x1 + + x x x03 xx3813 2 1 + + x x xx1x2Casos Particulares Hiperplano Es un poliedro determinado por una nica restriccin deigualdad. Semiespacio} ' / { b x a R xn= 9 Semiespacio Es un poliedro determinado por una nica restriccin de desigualdad. Notar que todo semiespacio est limitado por el hiperplanocorrespondiente.} ' / { b x a R xn Casos Particulares Ejemplo: Hiperplano: Semiespacio:} 6 3 2 / {2 12= + x x R x} 6 3 2 / {2 12 + x x R x6x210-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x16543210-1-2HiperplanoSemiespacioConjuntos Convexos Un conjunto es convexo si, para cualquier par de puntos enl, la recta que los une est contenida en el conjunto. Ej: Conjuntos Convexos:11 Ej: Conjuntos No Convexos:Conjuntos Convexos Un conjunto es convexo si, para cualquier par de puntos enl, la recta que los une est contenida en el conjunto. Formalmente: Un conjunto S es convexo si:[ ] ( ) S y x z S y x + = 1 , 1 , 0 , ,12 Se dice que z es una combinacin lineal convexa de x e y.[ ] ( ) S y x z S y x + = 1 , 1 , 0 , ,yxzPuntos Extremos, Vrtices y Soluciones Bsicas Factibles Punto Extremo: Un punto extremo es aquel que no puede ser expresado comouna combinacin lineal convexa de otros dos puntos delpoliedro. Formalmente: x es un punto extremo de P si no existen:13 Formalmente: x es un punto extremo de P si no existen: A es un punto extremo B no es un punto extremo C no es un punto extremo[ ] ( )z y x x P z y + = 1 , 1 , 0 }, /{ ,BCAPuntos Extremos, Vrtices y Soluciones Bsicas Factibles Vrtice Un punto x es un vrtice de un poliedro P, si existe una rectaque intersecte a P slo en el punto x. Formalmente: x es un vrtice de P si:x y P y y c x c c < , ' ' /14 A es un vrtice B no es un vrtice C no es un vrticex y P y y c x c c < , ' ' /BCAcPuntos Extremos, Vrtices y Soluciones Bsicas Factibles Solucin Bsica: Un punto x es una solucin bsica de un poliedro P en Rnsicorresponde a la interseccin de n restricciones linealmenteindependientes. Solucin Bsica Factible:15 Solucin Bsica Factible: Una solucin bsica se dice factible si satisface todas lasrestricciones. A es una solucin bsica B es una solucin bsica factibleBAPuntos Extremos, Vrtices y Soluciones Bsicas Factibles Sea P un poliedro no vaco y x un punto de P, son equivalentes:x es un punto x es un vrtice16x es un punto extremox es un vrticex es una solucin bsica factibleRestricciones Activas Restriccin Activa: Se dice que una restriccin es activaen un punto x* si se cumple con igualdad en ese punto. Ej: La restriccin es activa en x* si Conjunto Activo: Es el conjunto de todas las restriccionesi ib x a = * 'i ib x a '17 Conjunto Activo: Es el conjunto de todas las restriccionesactivas en el punto x*.{ }i ib x a i I = = * ' /Teorema Sea x* en Rne I el conjunto activo de x*, entonces losiguiente es equivalente: Existen n restricciones l.i. que pasan por x* (pertenecen a I). Los coeficientes de las restricciones activas determinan vectores18 Los coeficientes de las restricciones activas determinan vectores(filas en la matriz) que generan el espacio Rn. El sistema de ecuaciones de todas las restricciones activas tieneuna solucin nica.Poliedro en Forma Estndar Un poliedro en forma estndar es aquel que puede serrepresentado: Slo con restricciones de igualdad Slo con variables no negativas Es decir:{ } 0 , / = = x b Ax R x Pn19 Es decir: Donde A es una matriz de mx n y b es un vector en Rm Notar que todo poliedro puede ser escrito en forma estndar Agregando variables de holgura Reemplazando variables negativas y libres{ } 0 , / = = x b Ax R x PPoliedro en Forma Estndar Ejemplo: Sea P el siguiente poliedro: Agregamos las variables de holgura (positivas):R xxxx x xx x x + +3213 2 13 2 10010 2 96 5 3 220 Agregamos las variables de holgura (positivas): Reemplazamos las variables no positivas:06 5 3 244 3 2 1= + +xx x x x010 2 955 3 2 1= + xx x x x0'11'1 =xx x0 ,' '3'33' '3'3= x xx x xPoliedro en Forma Estndar Ejemplo: Sea P el siguiente poliedro: Obtenemos el poliedro en forma estndar P:R xxxx x xx x x + +3213 2 13 2 10010 2 96 5 3 221 Obtenemos el poliedro en forma estndar P: O, equivalentemente:0 , , , , ,10 2 2 96 5 5 3 25 4' '3'3 2'15' '3'3 2'14' '3'3 2'1= + += + + + x x x x x xx x x x xx x x x x0 , , , , ,10 2 96 5 3 25 4' '3'3 2'1' '3'3 3'1 15 3 2 14 3 2 1 = == + = + +x x x x x xx x xx xx x x xx x x xPoliedro en Forma Estndar Notar que un poliedro en forma estndar tiene n variables(incluidas las variables de holgura) y (n+m) restricciones(incluyendo las restricciones de no negatividad). Ejemplo: = + + 7 3 x x x22 Ejemplo: En este caso se tiene n=5 y m=3.)`= + = + = + +=0 , , , , ,31 57 35 4 3 2 15 2 14 2 13 2 1x x x x xx x xx x xx x xPSoluciones Bsicas Sin prdida de generalidad se asume que las m restriccionesson linealmente independientes, lo que implica que Recordemos que para que un punto sea solucin bsica debeser la interseccin de n restricciones l.i. (n restriccionesn m 23ser la interseccin de n restricciones l.i. (n restriccionesactivas) Como ya se tienen mrestricciones de igualdad , faltan(n-m) restricciones activas, que se logran escogiendo (n-m)variables y fijndolas en 0, haciendo que las correspondientesrestricciones sean activas.) ( b Ax =0 ixSoluciones Bsicas Consideremos m columnas linealmente independientes de lamatriz A.A =123 n12m24 Como cada columna est asociada a una variable, estamosescogiendo tambin mvariables. Estas mvariables se conocen como variables bsicas. La matriz formada por estas m columnas se conoce comomatriz bsica (AB).B(1).. B(2)..B(m)m{ } ) ( ),..., 2 ( ), 1 ( m B B B AB=Soluciones Bsicas Consideremos m columnas linealmente independientes de lamatriz A.A =123 n12m25 Una vez escogidas estas m variables, las (n-m) restantes sefijan en 0, es decir: Finalmente, se resuelve el sistema de mecuacionespara las variablesB iA i x = 0B(1).. B(2)..B(m)mb Ax =B iA i x /Soluciones Bsicas Ejemplo:)` + + 0 ,412 12 12 1x xx xx x)`= + += + + 0 , , ,414 3 2 14 2 13 2 1x x x xx x xx x xForma Estndar6x226-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x16543210-1-2x1=0x4=0x2=0x3=0Soluciones Bsicas Matricialmente:6x2|||

\|=||||||

\||||

\|411 0 1 10 1 1 14321xxxx Elegimos arbitrariamente lasprimeras 2 columnas (asociadas ax1y x2) que son l.i. Luego asignamos a todas las demsvariables el valor 0, es decir x3=0y x4=0. (Grficamente estamos enel punto (1.5, 2.5))27-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x16543210-1-2x1=0x4=0x2=0x3=0y x4=0. (Grficamente estamos enel punto (1.5, 2.5)) Finalmente, resolvemos el sistema: Y obtenemos la solucin bsica412 12 1= += + x xx x( ) 0 , 0 , 5 . 2 , 5 . 1 = xSoluciones Bsicas Matricialmente:6x2|||

\|=||||||

\||||

\|411 0 1 10 1 1 14321xxxx Si, en cambio, elegimos lascolumnas 2 y 4 (asociadas a x2yx4) que son l.i. Luego asignamos a todas las demsvariables el valor 0, es decir x1=0y x3=0. (Grficamente estamos enel punto (0, 1))28-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x16543210-1-2x1=0x4=0x2=0x3=0y x3=0. (Grficamente estamos enel punto (0, 1)) Finalmente, resolvemos el sistema: Y obtenemos la solucin bsica414 22= +=x xx( ) 3 , 0 , 1 , 0 = xSoluciones Bsicas En resumen:6x2x4=0 Esto puede hacerse escogiendocualquier par de columnas l.i. de lamatriz A.Sol. Bsica asociada a la base {x1,x2}( ) 0 , 0 , 5 . 2 , 5 . 1 = xSol. Bsica asociada a la base {x2,x3}( ) 0 , 3 , 4 , 0 = x)`= + += + + 0 , , ,414 3 2 14 2 13 2 1x x x xx x xx x x29-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x16543210-1-2x1=0x4=0x2=0x3=0( ) 0 , 0 , 5 . 2 , 5 . 1 = xSol. Bsica asociada a la base {x1,x4}( ) 5 , 0 , 0 , 1 = xSol. Bsica asociada a la base {x2,x4}( ) 3 , 0 , 1 , 0 = x( ) 0 , 3 , 4 , 0 = xSol. Bsica asociada a la base {x3,x4}( ) 4 , 1 , 0 , 0 = xSol. Bsica asociada a la base {x1,x3}( ) 0 , 5 , 0 , 4 = xSoluciones Bsicas Una base est asociada a una nica solucin bsica, mientrasque una solucin bsica puede ser representada por ms deuna base. Si se da este ltimo caso, decimos que la solucin bsica es30 Si se da este ltimo caso, decimos que la solucin bsica esdegenerada.Degenerancia Una solucin bsica x se dice degenerada si hay ms de nrestricciones activas en x.x1=0x4=0x5=031 En este caso, el punto A es una solucin bsica degenerada ypuede representarse con las bases:x3=0x2=0A{ }{ }{ }5 2 1 34 2 1 23 2 1 1, ,, ,, ,x x x Bx x x Bx x x B===Degenerancia Una solucin bsica x se dice degenerada si ms de (n-m)componentes de x son cero.x1=0x4=0x5=032 En este caso, el punto A es una solucin bsica degeneradaporque tiene 5 variables, 3 restricciones* y ms de 2variables nulas: * Como estamos en R2, las restriccionesno se cuentan dentro de las m restricciones del tipo x3=0x2=0A0 0 , 05 4 3= = = x y x x0 ,2 1 x xb Ax =Basado en Bertsimas, TsitsiklisLa Geometra de la Programacin LinealBasado en Bertsimas, TsitsiklisIntroduction to Linear OptimizationChap. 2IN3701 Modelamiento y OptimizacinNelson Devia C.