Clase3 programacion lineal optimizacion

Paul Bosch

Modelamientode costos �jos

Un problemade localizaci�ondeinstalaciones

Programaci�onde Trabajos

Modelos de Programaci�on Lineal

Clase 3

PAUL BOSCH

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

Paul Bosch

Modelamiento de costos �jos

Representemos con el ��ndice j = 1; 2; : : : ; n un conjunto de

actividades y supongamos que el costo asociado a cada

actividad tiene un costo �jo dj y se incurre en �el cuando la

actividad j se realiza a cualquier nivel positivo xj , y no

depende del nivel de la actividad.

Costo de Actividad j =

�0 , si xj = 0

dj + cjxj , si xj > 0

Paul Bosch

Representemos con el ��ndice j = 1; 2; : : : ; n un conjunto de

actividades y supongamos que el costo asociado a cada

actividad tiene un costo �jo dj y se incurre en �el cuando la

actividad j se realiza a cualquier nivel positivo xj , y no

depende del nivel de la actividad.

Costo de Actividad j =

�0 , si xj = 0

dj + cjxj , si xj > 0

Paul Bosch

Ejemplo

Por ejemplo, si xj es la cantidad de madera que se transporta

desde el bosque a un aserradero, entonces dj representa el

costo de construir el camino desde el bosque al aserradero. El

costo cj es el costo variable de transportar la madera hasta el

aserradero, una vez que el camino ha sido construido. Este

costo si depende del nivel de la actividad.

El problema de encontrar una soluci�on que minimice el costo

total se denomina el Problema Lineal de Costo Fijo. La

funci�on objetivo en este caso es:

min z =

Paul Bosch

Ejemplo

Por ejemplo, si xj es la cantidad de madera que se transporta

desde el bosque a un aserradero, entonces dj representa el

costo de construir el camino desde el bosque al aserradero. El

costo cj es el costo variable de transportar la madera hasta el

aserradero, una vez que el camino ha sido construido. Este

costo si depende del nivel de la actividad.

El problema de encontrar una soluci�on que minimice el costo

total se denomina el Problema Lineal de Costo Fijo. La

funci�on objetivo en este caso es:

min z =

Paul Bosch

Debido a la estructura de la funci�on objetivo, no es posible

resolver el problema con algoritmos como el Simplex. Estos

problemas se pueden formular como problemas enteros mixtos.

Para este caso, se de�ne la variable:

�0 , si xj = 0

1 , si xj > 0

Paul Bosch

Las siguientes restricciones incorporan al modelo la relaci�on

entre ambas variables:

xj � Myj ; 8j = 1; 2; : : : ; n

xj � 0 ; 8j = 1; 2; : : : ; n

yj 2 f0; 1g ; 8j = 1; 2; : : : ; n

donde M es un n�umero positivo su�cientemente grande.

Claramente, de la primera restricci�on se tiene que cuando

yj = 0, la variable xj = 0. Por otro lado, cuando xj es positiva,

la variable yj debe ser igual a 1.

Paul Bosch

De esta forma, la nueva funci�on objetivo es:

min z =

djyj +

Costos con esta estructura surgen en situaciones que incluyen,

entre otras:

Construcci�on de caminos

Sistemas de distribuci�on de aguas, petr�oleo o gas a trav�es

de una red de ca~ner��as, oleoductos o gasoductos que se

deben construir

Localizaci�on de instalaciones

Paul Bosch

De esta forma, la nueva funci�on objetivo es:

min z =

djyj +

Costos con esta estructura surgen en situaciones que incluyen,

entre otras:

Construcci�on de caminos

Sistemas de distribuci�on de aguas, petr�oleo o gas a trav�es

de una red de ca~ner��as, oleoductos o gasoductos que se

deben construir

Localizaci�on de instalaciones

Paul Bosch

Un problema de localizaci�on de instalaciones

Una empresa debe instalar bodegas para atender los

requerimientos de despachos de productos hacia sus clientes.

Se analizan un conjunto N = f1; : : : ; ng de localizaciones

posibles para instalar B bodegas . Si se instala y opera una

bodega en el local j 2 N cuya capacidad de almacenamiento

es uj , se incurre en un costo �jo fj .

Paul Bosch

Una empresa debe instalar bodegas para atender los

requerimientos de despachos de productos hacia sus clientes.

Se analizan un conjunto N = f1; : : : ; ng de localizaciones

posibles para instalar B bodegas . Si se instala y opera una

bodega en el local j 2 N cuya capacidad de almacenamiento

es uj , se incurre en un costo �jo fj .

Paul Bosch

Por otro lado, se conoce para cada uno de los clientes

i 2 M = f1; : : : ;mg que demandan di unidades de producto,

cu�al es el costo unitario cij de transportar desde una bodega

�ubicada en el lugar j hasta el cliente i .

Se desea determinar d�onde conviene instalar las bodegas, de

manera de minimizar los costos totales que incluyen, los costos

�jos por bodega instalada m�as los costos de transporte de

productos a los clientes.

Paul Bosch

Por otro lado, se conoce para cada uno de los clientes

i 2 M = f1; : : : ;mg que demandan di unidades de producto,

cu�al es el costo unitario cij de transportar desde una bodega

�ubicada en el lugar j hasta el cliente i .

Se desea determinar d�onde conviene instalar las bodegas, de

manera de minimizar los costos totales que incluyen, los costos

�jos por bodega instalada m�as los costos de transporte de

productos a los clientes.

Paul Bosch

Un problema de localizaci�on de instalaciones.

Variables de decisi�on

Se desea decidir d�onde instalar las bodegas y c�omo efectuar el

despacho del producto a cada cliente.

Para esto se de�nen las siguientes variables:

�1 si se localiza una bodega en la �ubicaci�on j

0 en caso contrario

yijcantidad de producto a ser transportado desde la

bodega j al cliente i

Paul Bosch

Variables de decisi�on

Se desea decidir d�onde instalar las bodegas y c�omo efectuar el

despacho del producto a cada cliente.

Para esto se de�nen las siguientes variables:

�1 si se localiza una bodega en la �ubicaci�on j

0 en caso contrario

yijcantidad de producto a ser transportado desde la

bodega j al cliente i

Paul Bosch

Restricciones

Satisfacci�on de la demanda:

A cada cliente debe enviarse la cantidad de productos que

demanda:

yij = di , para todo i = 1; 2; : : : ;m

Paul Bosch

Restricciones

Capacidad de las Bodegas:

La cantidad total de producto enviado a los clientes, desde

cada bodega no puede exceder la capacidad de esta:

yij � ujxj , para todo j = 1; 2; : : : ; n

Paul Bosch

Restricciones

Notemos que si xj = 0, es decir, en la ubicaci�on j-�esima no se

instala ninguna bodega, entonces dado que las variables yij son

no negativas por representar cantidad de producto (esto lo

veremos inmediatamente) entonces cada una de ellas es cero,

es decir

y1j = y2j = � � � = ymj = 0

Esto debe ser as�� ya que si no existe una bodega en la localidad

j , no se puede enviar productos desde ella.

Paul Bosch

Restricciones

N�umero de Bodegas:

Se pueden instalar a lo sumo B bodegas (B � n):

xj � B

Paul Bosch

Restricciones

Naturaleza de las variables:

yij � 0 , para todo i = 1; 2; : : : ;m y j = 1; 2; : : : ; n

xj 2 f0; 1g , para todo j = 1; 2; : : : ; n

Paul Bosch

Funci�on Objetivo

Se desea minimizar el costo total, es decir, el costo de

instalaci�on de las bodegas m�as el costo de despacho de los

productos

min z =

fjxj +

cijyij

Paul Bosch

Programaci�on de Trabajos

Consideremos un taller que necesita efectuar n trabajos en m

m�aquinas. Cada trabajo debe ser procesado por cada una de

las m m�aquinas y el orden de las m�aquinas para cada trabajo

est�a preestablecido. Cada m�aquina puede procesar un trabajo a

la vez, y cada trabajo debe ser completamente procesado,

antes de procesar otro en la misma m�aquina. se desea

determinar una secuencia para procesar todos los trabajos de

manera que la suma de los tiempos totales de procesamiento

de todos los trabajos sea m��nima.

Paul Bosch

Asumamos, para simpli�car el problema, que el orden de

procesamiento es igual para todos los trabajos, es decir, cada

trabajo debe ser procesado primero por la m�aquina 1, a

continuaci�on por la m�aquina 2, ..., etc.

Denotemos por k = 1; 2; : : : ;m el ��ndice asociado a las

m�aquinas y j = 1; 2; : : : ; n el ��ndice asociado a los trabajo:

skj representa el tiempo de trabajo de la m�aquina k

cuando realiza el trabajo j

De�namos la variable de decisi�on:

tkj instante en que la m�aquina k inicia el procesamiento

del trabajo j

Paul Bosch

del trabajo j

Paul Bosch

del trabajo j

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Restricci�on de orden de trabajo

El procesamiento en la m�aquina (k + 1) del trabajo j no puede

comenzar antes que se complete el proceso en la m�aquina k :

tk+1;j � tkj + skj ; k = 1; 2; : : : ;m � 1 ; j = 1; 2; : : : ; n

Paul Bosch

Restricci�on de procesos

Cada m�aquina puede procesar un trabajo a la vez; si el trabajo

p es realizado en la m�aquina k antes que el trabajo q, entonces

se tiene que:

tkq � tkp + skp

pero si el trabajo q es realizado en la m�aquina k antes que el

trabajo p, entonces se tiene que:

tkp � tkq + skq

Esto es, una de estas dos restricciones debe cumplirse para el

par de trabajos p y q en la m�aquina k .

Paul Bosch

Cada m�aquina puede procesar un trabajo a la vez; si el trabajo

p es realizado en la m�aquina k antes que el trabajo q, entonces

se tiene que:

tkq � tkp + skp

pero si el trabajo q es realizado en la m�aquina k antes que el

trabajo p, entonces se tiene que:

tkp � tkq + skq

Esto es, una de estas dos restricciones debe cumplirse para el

par de trabajos p y q en la m�aquina k .

Paul Bosch

Para representar esta relaci�on disyuntiva entre estas dos

restricciones se de�ne la siguiente variable binaria:

xkpq =

1 si el trabajo p es procesado en la m�aquina k

antes que el trabajo q

0 en caso contrario

y se consideran las siguientes restricciones:

Mxkpq + tkp � tkq � skq

M (1� xkpq) + tkq � tkp � skp

para todo k = 1; 2; : : : ;m ; p; q = 1; 2; : : : ; n, y donde M es un

n�umero su�cientemente grande.

Paul Bosch

Para representar esta relaci�on disyuntiva entre estas dos

restricciones se de�ne la siguiente variable binaria:

xkpq =

1 si el trabajo p es procesado en la m�aquina k

antes que el trabajo q

0 en caso contrario

y se consideran las siguientes restricciones:

Mxkpq + tkp � tkq � skq

M (1� xkpq) + tkq � tkp � skp

para todo k = 1; 2; : : : ;m ; p; q = 1; 2; : : : ; n, y donde M es un

n�umero su�cientemente grande.

Paul Bosch

Restricci�on Naturaleza de las variables

Tenemos dos tipos de variables, una continua y la otra binaria:

tkj � 0 ; k = 1; 2; : : : ;m ; j = 1; 2; : : : ; n

xkpq 2 f0; 1g ; k = 1; 2; : : : ;m ; p; q = 1; 2; : : : ; n

Paul Bosch

Funcin Objetivo

Se desea minimizar la suma de los tiempos totales de

procesamiento de todos los trabajos:

min z =

Notemos que tmj representa el instante de tiempo en que se

comienza a realizar el trabajo j por la �ultima m�aquina m.

Este problema, en la pr�actica, es mucho m�as complejo cuando

consideramos los tiempos de preparaci�on de las m�aquinas,

relaciones m�as so�sticadas producto del proceso de fabricaci�on,

fechas de entrega de los trabajos, etc.

Paul Bosch

Funcin Objetivo

Se desea minimizar la suma de los tiempos totales de

procesamiento de todos los trabajos:

min z =

Notemos que tmj representa el instante de tiempo en que se

comienza a realizar el trabajo j por la �ultima m�aquina m.

Este problema, en la pr�actica, es mucho m�as complejo cuando

consideramos los tiempos de preparaci�on de las m�aquinas,

relaciones m�as so�sticadas producto del proceso de fabricaci�on,

fechas de entrega de los trabajos, etc.

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