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1/5

G r i t h s P r o b l e m 2 2 2 : E v o l u t i o n o f a f r e e G a u s s i a n w a v e p a c k e t

C o n s i d e r a f r e e p a r t i c l e w h i c h i s d e s c r i b e d a t t = 0 b y t h e n o r m a l i z e d G a u s s i a n w a v e f u n c t i o n

1

( x 0 ) =

2 a

1 = 4

e

; a x

2

P r e l u d e : N o t e t h a t h x i = 0 s i n c e t h e i n t e g r a n d i n

h x i =

Z

1

; 1

d x ( x 0 )

2

x

i s a n o d d f u n c t i o n o f x g i v e n t h e f o r m o f ( x 0 ) . W e c a n a l s o c a l c u l a t e h x

2

i

t = 0

:

h x

2

i

t = 0

=

2 a

1 = 2

Z

1

; 1

d x e

; 2 a x

2

x

2

=

1

4 a

( 1 . 2 )

W e h a v e u s e d t h e i n t e g r a l

Z

1

; 1

d x e

; b x

2

x

2

=

p

2 b

3 = 2

( 1 . 3 )

w h i c h c a n b e o b t a i n e d e i t h e r b y u s i n g t h e M a t h e m a t i c a c o m m a n d

I n t e g r a t e E x p - b x ^ 2 ] x ^ 2 , { x , - I n f i n i t y , I n f i n i t y } , A s s u m p t i o n s - >

R e b ] > 0 ]

o r d i e r e n t i a t i n g E q u a t i o n ( 1 . 1 ) w i t h r e s p e c t t o b

W e a l s o n o t e t h a t h p i

t = 0

= 0 s i n c e t h e w a v e f u n c t i o n i s r e a l . ( H o w d o y o u a r g u e t h i s ? ) .

W e c a n a l s o c o m p u t e h p

2

i

t = 0

:

h p

2

i

t = 0

=

Z

1

; 1

d x

( x t = 0 )

; i h

@

@ x

2

( x t = 0 ) = ; h

2

Z

1

; 1

d x

( x t = 0 )

@

2

( x t = 0 )

@ x

2

= h

2

Z

1

; 1

d x

@

@ x

@

@ x

w e h a v e i n t e g r a t e d b y p a r t s ! ( 1 . 4 )

= h

2

2 a

1 = 2

Z

1

; 1

d x e

; a x

2

( ; 2 a x ) e

; a x

2

( ; 2 a x ) ( 1 . 5 )

= 4 a

2

h

2

2 a

1 = 2

Z

1

; 1

d x e

; 2 a x

2

x

2

s a m e i n t e g r a l a s i n h x

2

i ( 1 . 6 )

= h

2

a ( 1 . 7 )

C h e c k t h a t t h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e i s s a t i s e d a s a n e q u a l i t y . S u c h a G a u s s i a n w a v e - (

f u n c t i o n i s r e f e r r e d t o a s a m i n i m u m u n c e r t a i n t y w a v e p a c k e t

1

O n e o f t h e i n t e g r a l s n e e d e d i n t h i s p r o b l e m a n d e l s e w h e r e i s t h e s t a n d a r d G a u s s i a n i n t e g r a l

Z

1

= 1

d x e

b x

2

=

q

b

( 1 . 1 )

S e t t i n g b = 2 a e n a b l e s u s t o d o t h e n o r m a l i z a t i o n i n t e g r a l a n d o b t a i n t h e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t g i v e n .

1

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2/5

W e w i s h t o n d t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e G a u s s i a n w a v e f u n c t i o n .

H o w d o e s o n e d o t h i s ? R e m e m b e r t h e r e c i p e i n q u a n t u m m e c h a n i c s . W e e x p a n d t h e

g i v e n w a v e f u n c t i o n i n t e r m s o f t h e e n e r g y e i g e n f u n c t i o n s ( t h e y f o r m a c o m p l e t e s e t i f y o u

w i s h t o s o u n d h i g h - f a l u t i n ' ) o f t h e g i v e n H a m i l t o n i a n a n d w e k n o w h o w a n i n d i v i d u a l e n e r g y

e i g e n f u n c t i o n s e v o l v e s i n t i m e . ( D o y o u ? ) W e t h e n r e c o n s t r u c t t h e w a v e f u n c t i o n a t a l a t e r

t i m e t b y s u p e r p o s i n g t h e e i g e n f u n c t i o n s w i t h t h e c o e c i e n t s c h a n g e d b y a p p r o p r i a t e p h a s e

f a c t o r s .

F o r a f r e e p a r t i c l e H = p

2

= ( 2 m ) a n d t h e e n e r g y e i g e n f u n c t i o n s a r e e

i k x

w i t h e n e r g y (

e i g e n v a l u e E

k

= h

2

k

2

= ( 2 m ) . N o t e t h a t t h i s w a v e f u n c t i o n i s a l s o a n e i g e n f u n c t i o n o f t h e

m o m e n t u m o p e r a t o r w i t h e i g e n v a l u e h k . ( C h e c k t h i s ! ) T h e e x p a n s i o n o f ( x 0 ) i n t e r m s o f

e x p ( i k x ) i s e q u i v a l e n t t o F o u r i e r t r a n s f o r m i n g ( x 0 )

I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o n d ( k 0 ) t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f ( x 0 ) :

( x 0 ) =

Z

1

; 1

d k

p

2

( k 0 ) e

i k x

( 1 . 8 )

P e r f o r m i n g t h e i n t e g r a l

2

( k ) ( k 0 ) =

Z

1

; 1

d x

p

2

( x 0 ) e

; i k x

( 1 . 1 0 )

=

2 a

1 = 4

Z

1

; 1

d x

p

2

e

; i k x

e

; a x

2

=

1

2 a

1 = 4

e

;

k

2

4 a

( 1 . 1 1 )

N o t e t h e u s e f u l r e s u l t t h a t t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f a G a u s s i a n i s a G a u s s i a n w i t h t h e w i d t h s (

i n v e r s e l y r e l a t e d t o e a c h o t h e r .

S o t h e i n i t i a l w a v e f u n c t i o n i s a s u p e r p o s i t i o n o f d i e r e n t p l a n e w a v e s w i t h d i e r e n t c o e -

c i e n t s ( u s u a l l y c a l l e d a m p l i t u d e s ) . N o t e t h a t e x p i k x f o r e a c h r e a l k a n e n e r g y e i g e n f u n c t i o n

w i t h e i g e n v a l u e E

k

=

h

2

k

2

2 m

. T h e r e f o r e , w e k n o w t h a t e x p ( i k x ) e v o l v e s i n t i m e w i t h a t i m e

d e p e n d e n c e g i v e n b y e

; i E

k

t = h

. S o t h e t i m e - e v o l v e d s t a t e , ( x t ) , i s g i v e n b y Y o u s h o u l d

2

G i v e n t h e s t a n d a r d G a u s s i a n i n t e g r a l o n e c a n d o t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l :

Z

1

1

d x e

b x

2

c x

=

Z

1

1

d x e

b x

2

c x

c

2

4 b

+

c

2

4 b

c o m p l e t i n g s q u a r e s

= e

c

2

4 b

Z

1

1

d x e

b ( x

c

2 b

2

= e

c

2

4 b

Z

1

1

d y e

b y

2

( 1 . 9 )

w h e r e i n t h e l a s t e q u a l i t y w e h a v e d e n e d a n e w i n t e g r a t i o n v a r i a b l e y = x ;

c

2 b

. T h e l a s t G a u s s i a n i n t e g r a l

i s t h e o n e w e h a v e e n c o u n t e r e d b e f o r e y i e l d i n g

Z

1

1

d x e

b x

2

c x

=

q

b

e

c

2

4 b

W e a p p l y t h i s n a i v e l y t o t h e c a s e c = i k a n d b = a t o o b t a i n t h e r e s u l t q u o t e d .

2

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3/5

b e a b l e t o w r i t e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n d o w n g i v e n E q u a t i o n ( 1 . 8 ) w i t h o u t a n y p r e l i m i n a r i e s ]

( x t ) =

Z

1

; 1

d k

p

2

( k ) e

i k x

e

; i E

k

t = h

( 1 . 1 2 )

=

1

2 a

1 = 4

Z

1

; 1

d k

p

2

e

;

k

2

4 a

e

; i E

k

t = h

e

i k x

( 1 . 1 3 )

w h e r e w e k n o w E

k

= h

2

k

2

= ( 2 m ) a n d t h i s i n t e g r a l h a s t o b e d o n e .

L e t u s a s s u m e t h a t t h i s i n t e g r a l h a s b e e n d o n e ( b y y o u r f a i r y g o d m o t h e r , s e e t h e A p p e n d i x

a t t h e e n d o f t h i s h a n d o u t ) a n d d i s c u s s t h e p h y s i c s . T h e r e s u l t i s

( x t ) =

2 a

1 = 4

1

p

1 + ( 2 i a h t = m )

e x p ;

a x

2

( 1 + ( 2 i a h t = m ) )

( 1 . 1 4 )

W e n e e d t o n d h x

2

i

t

h x i a g a i n v a n i s h e s b y s y m m e t r y ( e v e n n n e s s o f t h e p r o b a b i l i t y

d e n s i t y , i . e . , s y m m e t r y u n d e r x ! ; x . ) W e r s t n o t e t h a t t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y i s g i v e n

b y

( x t )

2

=

r

2 a

1

p

1 + ( 2 h a t = m )

2

e

; 2 a x

2

= ( 1 + ( 2 h a t = m )

2

)

=

r

2

w e

; 2 w

2

x

2

( 1 . 1 5 )

i n t h e n o t a t i o n o f t h e t e x t :

w

p

a

p

1 + ( 2 h a t = m )

2

T h i s m e a n s t h a t w e h a v e

h x

2

i

t

=

r

2

w

Z

1

; 1

d x e

; 2 w

2

x

2

x

2

=

1

4 w

2

=

1 + ( 2 h a t = m )

2

4 a

( 1 . 1 6 )

i . e . , t h e w i d t h i n c r e a s e s q u a d r a t i c a l l y a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e i n c r e a s i n g u n c e r t a i n t y i n

p o s i t i o n o f t h e w a v e p a c k e t i s a r e s u l t o f t h e i n i t i a l u n c e r t a i n t y i n m o m e n t u m ( a n d h e n c e , (

v e l o c i t y ) c a u s i n g p r o g r e s s i v e l y l a r g e r u n c e r t a i n t y i n p o s i t i o n .

T o u n d e r s t a n d t h i s r e s u l t w e r e s o r t t o m o d e s t a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s . W e n o t e t h a t

s i n c e < x >

t

= 0 w e c a n i d e n t i f y < x

2

>

t

w i t h t h e s q u a r e o f t h e w i d t h

2

t

. T h e i n i t i a l w i d t h

s q u a r e d i s g i v e n b y

2

0

= 1 = ( 4 a ) . S o t h e w i d t h ( s q u a r e d ) a t t i m e t i s g i v e n b y ( c h a s i n g t h e

f a c t o r s o f a a n d r e p l a c i n g t h e m b y

1

4

2

0

)

2

t

=

2

0

+

h

2

t

2

4 m

2

2

0

( 1 . 1 7 )

T h i s c a n b e u n d e r s t o o d b y u s i n g t h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e . W e s h o w e d t h a t t h e u n c e r t a i n t y

i n t h e p o s i t i o n a n d m o m e n t u m s a t i s e d t h e m i n i m u m u n c e r t a i n t y r e l a t i o n a t t = 0 . T h e r e f o r e

2

p

( t = 0 ) =

h

2

4

2

0

. U s i n g t h i s w e h a v e

2

t

=

2

0

+

2

p

( t = 0 ) t

2

m

2

( 1 . 1 8 )

3

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4/5

S i n c e

p

( 0 ) = m c a n b e v i e w e d a s t h e u n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y t h e s e c o n d t e r m i s j u s t t h e m e a n

s q u a r e d u n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y t i m e s t

2

( v e l o c i t y t i m e s t i m e i s t h e d i s t a n c e ! ) S o i f i n i t i a l l y

y o u l o c a l i z e t h e w a v e p a c k e t i n s p a c e w e l l ( m a k e i t n a r r o w ) t h e u n c e r t a i n t y i n m o m e n t u m i s (

l a r g e ( a n d t h e n c e t h e u n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y ) a n d s o t h e u n c e r t a i n t y i n p o s i t i o n g r o w s f a s t e r

a s t i m e e v o l v e s .

O n e a s p e c t o f t h i s t h a t m i g h t p u z z l e y o u i s t h a t w h a t e n t e r s i s t h e i n i t i a l m o m e n t u m

u n c e r t a i n t y , n o t u n c e r t a i n t y i n m o m e n t u m a t a l a t e r t i m e , i . e . ,

2

t

=

2

0

+

2

p

( t = 0 ) t

2

m

2

( 1 . 1 9 )

S i n c e e x p e c t a t i o n v a l u e s b e h a v e l i k e c l a s s i c a l q u a n t i t i e s ( E h r e n f e s t ' s t h e o r e m ) a n d c l a s s i c a l l y

t h e m o m e n t u m i s a c o n s t a n t i n t i m e ( r a t e o f c h a n g e o f m o m e n t u m i s t h e f o r c e w h i c h i s z e r o

f o r a f r e e p a r t i c l e ) q u a n t u m m e c h a n i c a l l y h p i

t

a n d h p

2

i

t

a r e i n d e p e n d e n t o f t i m e . W h a t e v e r

w e o b t a i n e d a t t = 0 w i l l r e m a i n u n c h a n g e d a s a f u n c t i o n o f t i m e ! A l t e r n a t i v e l y , w e n o t e

t h a t e a c h m o m e n t u m c o m p o n e n t ( o r k - c o m p o n e n t b y t h e d e B r o g l i e r e l a t i o n ) ( k ) e

i k x

o n l y

c h a n g e s b y a p h a s e f a c t o r d u e t o t i m e e v o l u t i o n a n d s o e x p e c t a t i o n v a l u e s a r e u n c h a n g e d . I f

y o u a r e n o t c o n v i n c e d y o u c a n c a l c u l a t e h p

2

i

t

u s i n g t h e w a v e f u n c t i o n a t t i m e t . T h i s i s a t a d

t e d i o u s a n d I a m l a z y .

C o n s i d e r a m a c r o s c o p i c m a s s o f 1 0 g = 0 0 1 k g w h i c h i s l o c a l i z e d t o a w i d t h o f t h e s i z e o f

a n u c l e u s , i . e . , t h e i n i t i a l p o s i t i o n w i d t h

0

= 1 0

; 1 5

m w i t h a G a u s s i a n w a v e f u n c t i o n o f v e r y

n a r r o w w i d t h . T h e n

p

( 0 ) = m i s g i v e n b y

p

( 0 )

m

=

h

2 m

0

5 1 0

; 2 3

m = s

a n d s o i t w i l l t a k e 6 1 0

7

y e a r s b e f o r e i t s p r e a d s t o a s i z e o f 1 c m ! A m a c r o s c o p i c p a r t i c l e

c a n b e t r e a t e d c l a s s i c a l l y f o r a l o o o o n g t i m e .

A p p e n d i x

W e n e e d t o d o t h e i n t e g r a l

( x t ) =

1

2 a

1 = 4

Z

1

; 1

d k

p

2

e

;

k

2

4 a

e

; i h k

2

t = ( 2 m )

e

i k x

( 1 . 2 0 )

T h e e x p o n e n t i a l h a s a n a r g u m e n t ( a p a r t f r o m i k x ) g i v e n b y

;

k

2

4 a

1 +

2 i a h t

m

= ; b k

2

w h e r e b =

1 +

2 i a h t

m

4 a

T h u s t h e i n t e g r a l t o b e d o n e i s

1

2 a

1 = 4

Z

1

; 1

d k

p

2

e

; b k

2

e

i k x

a n d t h i s c a n b e d o n e i n t h e u s u a l w a y i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t b i s c o m p l e x s i n c e t h e i n t e g r a l

i s w e l l - d e n e d . W e o b t a i n u p o n u s i n g

Z

1

; 1

d k

p

2

e

; b k

2

e

i k x

=

r

1

2 b

e

;

x

2

4 b

( 1 . 2 1 )

4

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5/5

a n d t h e d e n i t i o n o f b t h e f o l l o w i n g r e s u l t :

( x t ) =

1

2 a

1 = 4

r

1

2 b

e

;

x

2

4 b

( 1 . 2 2 )

=

2 a

1 = 4

1

p

1 + ( 2 i a h t = m )

e x p ;

a x

2

( 1 + ( 2 i a h t = m ) )

( 1 . 2 3 )

5