7/27/2019 g222.pdf
1/5
G r i t h s P r o b l e m 2 2 2 : E v o l u t i o n o f a f r e e G a u s s i a n w a v e p a c k e t
C o n s i d e r a f r e e p a r t i c l e w h i c h i s d e s c r i b e d a t t = 0 b y t h e n o r m a l i z e d G a u s s i a n w a v e f u n c t i o n
1
( x 0 ) =
2 a
1 = 4
e
; a x
2
P r e l u d e : N o t e t h a t h x i = 0 s i n c e t h e i n t e g r a n d i n
h x i =
Z
1
; 1
d x ( x 0 )
2
x
i s a n o d d f u n c t i o n o f x g i v e n t h e f o r m o f ( x 0 ) . W e c a n a l s o c a l c u l a t e h x
2
i
t = 0
:
h x
2
i
t = 0
=
2 a
1 = 2
Z
1
; 1
d x e
; 2 a x
2
x
2
=
1
4 a
( 1 . 2 )
W e h a v e u s e d t h e i n t e g r a l
Z
1
; 1
d x e
; b x
2
x
2
=
p
2 b
3 = 2
( 1 . 3 )
w h i c h c a n b e o b t a i n e d e i t h e r b y u s i n g t h e M a t h e m a t i c a c o m m a n d
I n t e g r a t e E x p - b x ^ 2 ] x ^ 2 , { x , - I n f i n i t y , I n f i n i t y } , A s s u m p t i o n s - >
R e b ] > 0 ]
o r d i e r e n t i a t i n g E q u a t i o n ( 1 . 1 ) w i t h r e s p e c t t o b
W e a l s o n o t e t h a t h p i
t = 0
= 0 s i n c e t h e w a v e f u n c t i o n i s r e a l . ( H o w d o y o u a r g u e t h i s ? ) .
W e c a n a l s o c o m p u t e h p
2
i
t = 0
:
h p
2
i
t = 0
=
Z
1
; 1
d x
( x t = 0 )
; i h
@
@ x
2
( x t = 0 ) = ; h
2
Z
1
; 1
d x
( x t = 0 )
@
2
( x t = 0 )
@ x
2
= h
2
Z
1
; 1
d x
@
@ x
@
@ x
w e h a v e i n t e g r a t e d b y p a r t s ! ( 1 . 4 )
= h
2
2 a
1 = 2
Z
1
; 1
d x e
; a x
2
( ; 2 a x ) e
; a x
2
( ; 2 a x ) ( 1 . 5 )
= 4 a
2
h
2
2 a
1 = 2
Z
1
; 1
d x e
; 2 a x
2
x
2
s a m e i n t e g r a l a s i n h x
2
i ( 1 . 6 )
= h
2
a ( 1 . 7 )
C h e c k t h a t t h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e i s s a t i s e d a s a n e q u a l i t y . S u c h a G a u s s i a n w a v e - (
f u n c t i o n i s r e f e r r e d t o a s a m i n i m u m u n c e r t a i n t y w a v e p a c k e t
1
O n e o f t h e i n t e g r a l s n e e d e d i n t h i s p r o b l e m a n d e l s e w h e r e i s t h e s t a n d a r d G a u s s i a n i n t e g r a l
Z
1
= 1
d x e
b x
2
=
q
b
( 1 . 1 )
S e t t i n g b = 2 a e n a b l e s u s t o d o t h e n o r m a l i z a t i o n i n t e g r a l a n d o b t a i n t h e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t g i v e n .
1
7/27/2019 g222.pdf
2/5
W e w i s h t o n d t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e G a u s s i a n w a v e f u n c t i o n .
H o w d o e s o n e d o t h i s ? R e m e m b e r t h e r e c i p e i n q u a n t u m m e c h a n i c s . W e e x p a n d t h e
g i v e n w a v e f u n c t i o n i n t e r m s o f t h e e n e r g y e i g e n f u n c t i o n s ( t h e y f o r m a c o m p l e t e s e t i f y o u
w i s h t o s o u n d h i g h - f a l u t i n ' ) o f t h e g i v e n H a m i l t o n i a n a n d w e k n o w h o w a n i n d i v i d u a l e n e r g y
e i g e n f u n c t i o n s e v o l v e s i n t i m e . ( D o y o u ? ) W e t h e n r e c o n s t r u c t t h e w a v e f u n c t i o n a t a l a t e r
t i m e t b y s u p e r p o s i n g t h e e i g e n f u n c t i o n s w i t h t h e c o e c i e n t s c h a n g e d b y a p p r o p r i a t e p h a s e
f a c t o r s .
F o r a f r e e p a r t i c l e H = p
2
= ( 2 m ) a n d t h e e n e r g y e i g e n f u n c t i o n s a r e e
i k x
w i t h e n e r g y (
e i g e n v a l u e E
k
= h
2
k
2
= ( 2 m ) . N o t e t h a t t h i s w a v e f u n c t i o n i s a l s o a n e i g e n f u n c t i o n o f t h e
m o m e n t u m o p e r a t o r w i t h e i g e n v a l u e h k . ( C h e c k t h i s ! ) T h e e x p a n s i o n o f ( x 0 ) i n t e r m s o f
e x p ( i k x ) i s e q u i v a l e n t t o F o u r i e r t r a n s f o r m i n g ( x 0 )
I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o n d ( k 0 ) t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f ( x 0 ) :
( x 0 ) =
Z
1
; 1
d k
p
2
( k 0 ) e
i k x
( 1 . 8 )
P e r f o r m i n g t h e i n t e g r a l
2
( k ) ( k 0 ) =
Z
1
; 1
d x
p
2
( x 0 ) e
; i k x
( 1 . 1 0 )
=
2 a
1 = 4
Z
1
; 1
d x
p
2
e
; i k x
e
; a x
2
=
1
2 a
1 = 4
e
;
k
2
4 a
( 1 . 1 1 )
N o t e t h e u s e f u l r e s u l t t h a t t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f a G a u s s i a n i s a G a u s s i a n w i t h t h e w i d t h s (
i n v e r s e l y r e l a t e d t o e a c h o t h e r .
S o t h e i n i t i a l w a v e f u n c t i o n i s a s u p e r p o s i t i o n o f d i e r e n t p l a n e w a v e s w i t h d i e r e n t c o e -
c i e n t s ( u s u a l l y c a l l e d a m p l i t u d e s ) . N o t e t h a t e x p i k x f o r e a c h r e a l k a n e n e r g y e i g e n f u n c t i o n
w i t h e i g e n v a l u e E
k
=
h
2
k
2
2 m
. T h e r e f o r e , w e k n o w t h a t e x p ( i k x ) e v o l v e s i n t i m e w i t h a t i m e
d e p e n d e n c e g i v e n b y e
; i E
k
t = h
. S o t h e t i m e - e v o l v e d s t a t e , ( x t ) , i s g i v e n b y Y o u s h o u l d
2
G i v e n t h e s t a n d a r d G a u s s i a n i n t e g r a l o n e c a n d o t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l :
Z
1
1
d x e
b x
2
c x
=
Z
1
1
d x e
b x
2
c x
c
2
4 b
+
c
2
4 b
c o m p l e t i n g s q u a r e s
= e
c
2
4 b
Z
1
1
d x e
b ( x
c
2 b
2
= e
c
2
4 b
Z
1
1
d y e
b y
2
( 1 . 9 )
w h e r e i n t h e l a s t e q u a l i t y w e h a v e d e n e d a n e w i n t e g r a t i o n v a r i a b l e y = x ;
c
2 b
. T h e l a s t G a u s s i a n i n t e g r a l
i s t h e o n e w e h a v e e n c o u n t e r e d b e f o r e y i e l d i n g
Z
1
1
d x e
b x
2
c x
=
q
b
e
c
2
4 b
W e a p p l y t h i s n a i v e l y t o t h e c a s e c = i k a n d b = a t o o b t a i n t h e r e s u l t q u o t e d .
2
7/27/2019 g222.pdf
3/5
b e a b l e t o w r i t e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n d o w n g i v e n E q u a t i o n ( 1 . 8 ) w i t h o u t a n y p r e l i m i n a r i e s ]
( x t ) =
Z
1
; 1
d k
p
2
( k ) e
i k x
e
; i E
k
t = h
( 1 . 1 2 )
=
1
2 a
1 = 4
Z
1
; 1
d k
p
2
e
;
k
2
4 a
e
; i E
k
t = h
e
i k x
( 1 . 1 3 )
w h e r e w e k n o w E
k
= h
2
k
2
= ( 2 m ) a n d t h i s i n t e g r a l h a s t o b e d o n e .
L e t u s a s s u m e t h a t t h i s i n t e g r a l h a s b e e n d o n e ( b y y o u r f a i r y g o d m o t h e r , s e e t h e A p p e n d i x
a t t h e e n d o f t h i s h a n d o u t ) a n d d i s c u s s t h e p h y s i c s . T h e r e s u l t i s
( x t ) =
2 a
1 = 4
1
p
1 + ( 2 i a h t = m )
e x p ;
a x
2
( 1 + ( 2 i a h t = m ) )
( 1 . 1 4 )
W e n e e d t o n d h x
2
i
t
h x i a g a i n v a n i s h e s b y s y m m e t r y ( e v e n n n e s s o f t h e p r o b a b i l i t y
d e n s i t y , i . e . , s y m m e t r y u n d e r x ! ; x . ) W e r s t n o t e t h a t t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y i s g i v e n
b y
( x t )
2
=
r
2 a
1
p
1 + ( 2 h a t = m )
2
e
; 2 a x
2
= ( 1 + ( 2 h a t = m )
2
)
=
r
2
w e
; 2 w
2
x
2
( 1 . 1 5 )
i n t h e n o t a t i o n o f t h e t e x t :
w
p
a
p
1 + ( 2 h a t = m )
2
T h i s m e a n s t h a t w e h a v e
h x
2
i
t
=
r
2
w
Z
1
; 1
d x e
; 2 w
2
x
2
x
2
=
1
4 w
2
=
1 + ( 2 h a t = m )
2
4 a
( 1 . 1 6 )
i . e . , t h e w i d t h i n c r e a s e s q u a d r a t i c a l l y a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e i n c r e a s i n g u n c e r t a i n t y i n
p o s i t i o n o f t h e w a v e p a c k e t i s a r e s u l t o f t h e i n i t i a l u n c e r t a i n t y i n m o m e n t u m ( a n d h e n c e , (
v e l o c i t y ) c a u s i n g p r o g r e s s i v e l y l a r g e r u n c e r t a i n t y i n p o s i t i o n .
T o u n d e r s t a n d t h i s r e s u l t w e r e s o r t t o m o d e s t a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s . W e n o t e t h a t
s i n c e < x >
t
= 0 w e c a n i d e n t i f y < x
2
>
t
w i t h t h e s q u a r e o f t h e w i d t h
2
t
. T h e i n i t i a l w i d t h
s q u a r e d i s g i v e n b y
2
0
= 1 = ( 4 a ) . S o t h e w i d t h ( s q u a r e d ) a t t i m e t i s g i v e n b y ( c h a s i n g t h e
f a c t o r s o f a a n d r e p l a c i n g t h e m b y
1
4
2
0
)
2
t
=
2
0
+
h
2
t
2
4 m
2
2
0
( 1 . 1 7 )
T h i s c a n b e u n d e r s t o o d b y u s i n g t h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e . W e s h o w e d t h a t t h e u n c e r t a i n t y
i n t h e p o s i t i o n a n d m o m e n t u m s a t i s e d t h e m i n i m u m u n c e r t a i n t y r e l a t i o n a t t = 0 . T h e r e f o r e
2
p
( t = 0 ) =
h
2
4
2
0
. U s i n g t h i s w e h a v e
2
t
=
2
0
+
2
p
( t = 0 ) t
2
m
2
( 1 . 1 8 )
3
7/27/2019 g222.pdf
4/5
S i n c e
p
( 0 ) = m c a n b e v i e w e d a s t h e u n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y t h e s e c o n d t e r m i s j u s t t h e m e a n
s q u a r e d u n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y t i m e s t
2
( v e l o c i t y t i m e s t i m e i s t h e d i s t a n c e ! ) S o i f i n i t i a l l y
y o u l o c a l i z e t h e w a v e p a c k e t i n s p a c e w e l l ( m a k e i t n a r r o w ) t h e u n c e r t a i n t y i n m o m e n t u m i s (
l a r g e ( a n d t h e n c e t h e u n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y ) a n d s o t h e u n c e r t a i n t y i n p o s i t i o n g r o w s f a s t e r
a s t i m e e v o l v e s .
O n e a s p e c t o f t h i s t h a t m i g h t p u z z l e y o u i s t h a t w h a t e n t e r s i s t h e i n i t i a l m o m e n t u m
u n c e r t a i n t y , n o t u n c e r t a i n t y i n m o m e n t u m a t a l a t e r t i m e , i . e . ,
2
t
=
2
0
+
2
p
( t = 0 ) t
2
m
2
( 1 . 1 9 )
S i n c e e x p e c t a t i o n v a l u e s b e h a v e l i k e c l a s s i c a l q u a n t i t i e s ( E h r e n f e s t ' s t h e o r e m ) a n d c l a s s i c a l l y
t h e m o m e n t u m i s a c o n s t a n t i n t i m e ( r a t e o f c h a n g e o f m o m e n t u m i s t h e f o r c e w h i c h i s z e r o
f o r a f r e e p a r t i c l e ) q u a n t u m m e c h a n i c a l l y h p i
t
a n d h p
2
i
t
a r e i n d e p e n d e n t o f t i m e . W h a t e v e r
w e o b t a i n e d a t t = 0 w i l l r e m a i n u n c h a n g e d a s a f u n c t i o n o f t i m e ! A l t e r n a t i v e l y , w e n o t e
t h a t e a c h m o m e n t u m c o m p o n e n t ( o r k - c o m p o n e n t b y t h e d e B r o g l i e r e l a t i o n ) ( k ) e
i k x
o n l y
c h a n g e s b y a p h a s e f a c t o r d u e t o t i m e e v o l u t i o n a n d s o e x p e c t a t i o n v a l u e s a r e u n c h a n g e d . I f
y o u a r e n o t c o n v i n c e d y o u c a n c a l c u l a t e h p
2
i
t
u s i n g t h e w a v e f u n c t i o n a t t i m e t . T h i s i s a t a d
t e d i o u s a n d I a m l a z y .
C o n s i d e r a m a c r o s c o p i c m a s s o f 1 0 g = 0 0 1 k g w h i c h i s l o c a l i z e d t o a w i d t h o f t h e s i z e o f
a n u c l e u s , i . e . , t h e i n i t i a l p o s i t i o n w i d t h
0
= 1 0
; 1 5
m w i t h a G a u s s i a n w a v e f u n c t i o n o f v e r y
n a r r o w w i d t h . T h e n
p
( 0 ) = m i s g i v e n b y
p
( 0 )
m
=
h
2 m
0
5 1 0
; 2 3
m = s
a n d s o i t w i l l t a k e 6 1 0
7
y e a r s b e f o r e i t s p r e a d s t o a s i z e o f 1 c m ! A m a c r o s c o p i c p a r t i c l e
c a n b e t r e a t e d c l a s s i c a l l y f o r a l o o o o n g t i m e .
A p p e n d i x
W e n e e d t o d o t h e i n t e g r a l
( x t ) =
1
2 a
1 = 4
Z
1
; 1
d k
p
2
e
;
k
2
4 a
e
; i h k
2
t = ( 2 m )
e
i k x
( 1 . 2 0 )
T h e e x p o n e n t i a l h a s a n a r g u m e n t ( a p a r t f r o m i k x ) g i v e n b y
;
k
2
4 a
1 +
2 i a h t
m
= ; b k
2
w h e r e b =
1 +
2 i a h t
m
4 a
T h u s t h e i n t e g r a l t o b e d o n e i s
1
2 a
1 = 4
Z
1
; 1
d k
p
2
e
; b k
2
e
i k x
a n d t h i s c a n b e d o n e i n t h e u s u a l w a y i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t b i s c o m p l e x s i n c e t h e i n t e g r a l
i s w e l l - d e n e d . W e o b t a i n u p o n u s i n g
Z
1
; 1
d k
p
2
e
; b k
2
e
i k x
=
r
1
2 b
e
;
x
2
4 b
( 1 . 2 1 )
4
7/27/2019 g222.pdf
5/5
a n d t h e d e n i t i o n o f b t h e f o l l o w i n g r e s u l t :
( x t ) =
1
2 a
1 = 4
r
1
2 b
e
;
x
2
4 b
( 1 . 2 2 )
=
2 a
1 = 4
1
p
1 + ( 2 i a h t = m )
e x p ;
a x
2
( 1 + ( 2 i a h t = m ) )
( 1 . 2 3 )
5
Top Related