Fep Ingenieria Economica

8/18/2019 Fep Ingenieria Economica

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Ingeniería Económica

IntroducciónMatemáticas financieras

Prof. Alejandro Concha A.INGENIERÍA ECONÓMICA 1


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Orígenes de la Ingeniería Económica

• Pionero: Arthur M. Wellington, ingeniero civilnorteamericano de finales del siglo diecinueve;

incorporó el rol del análisis económico enproyectos de ingeniería;

area de interés: construcción de ferrocarriles.

Escribió el texto:"Economic Theory of the Location of Railways"

(1878; enlarged ed., 1887)

• “..hacer con un dólar lo que cualquier persona sin conocimiento puede hacer gastando dos..”



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• En 1930, Eugene Grant publicó su libro “Principles of Engineering Economy”. Esto marcó

un hito en el desarrollo de la disciplina, tal comohoy se reconoce.

• Grant se enfocó en desarrollar un punto de vista

económico en la ingeniería, señalando que:“…este punto de vista implica darse cuenta de que resulta definitivo que cierto número de principios rigen los aspectos económicos de una

decisión de ingeniería, al igual que sus aspectos físicos.”


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Ingeniería Económica

Ingeniería Económica es un conjunto de técnicasmatemáticas que simplifican las comparaciones

económicas de alternativas disponibles para llevar acabo un propósito definido.

=> Formular, estimar y evaluar los resultadoseconómicos.



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Principios de la Ingeniería Económica

1. Desarrollar Alternativas;2. Centrar atención en las Diferencias;

3. Usar un Punto de Vista Consistente;

4. Usar Unidad de Medida Común;5. Considerar Todos los Criterios Relevantes;

6. Hacer Explícita la Incertidumbre;

7. Reconsiderar las Decisiones



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1. Desarrollar Alternativas;

• Una situación decisiva implica elegir entredos o más opciones.

• Esto tiene impacto en la calidad de ladecision.• La creatividad y la innovación son esenciales

en este proceso.

• Una alternativa base es no realizar cambioalguno en la operación en curso (no hacernada).



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2. Centrarse en las diferencias;

• Sólo las diferencias entre los resultadosfuturos de las alternativas son importantes.

• Los resultados comunes a las alternativasdeben ignorarse en la comparación.



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3. Utilizar un punto de vista consistente;

• Es normal que se utilice el punto de vista dequien toma la decision.

• Sin embargo, es importante que primero sedefina el punto de vista para una decision enparticular y después se utiliceconsistentemente en la descripción, análisis ycomparación de las alternativas.



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4. Utilizar una unidad de medida común;

• Es deseable que los resultados futuros de lasalternativas sean mensurables. Para las

consecuencias económicas, se utiliza launidad monetaria.

• Pero también debe tratarse de transformarotros resultados (que podrían parecer noeconómicos) a la unidad monetaria.



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5. Considerar todos los criterios relevantes;

• Normalmente, el decisor elegirá la alternativaque sirva major a los intereses de largo plazo

de los inversionistas o propietarios de unaorganización.

• El criterio principal se relaciona con losintereses financieros de largo plazos de lospropietarios, de manera que el capitalasignado alcance el mayor rendimientomonetario.



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5. Considerar todos los criterios relevantes;

• Sin embargo, podrían existir otros objetivosorganizacionales que se deseara alcanzar, los

cuales también deberían considerarse en lacomparación de alternativas.



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6. Hacer explícita la incertidumbre;

• La magnitud y el impacto de los resultadosfuturos de cualquier curso de acción son

inciertos.• Aún cuando no se hagan cambios en la

operaciones actuals.

• Por lo tanto, la incertidumbre debeincorporarse dentro de los análisis ycomparaciones.



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7. Revisar las decisiones;

• El aprendizaje a partir de la experiencia y laadaptación con base en ella son procesosesenciales y distinguen a una buenaorganización.

• Por lo que es importante contrastar losresultados estimados con los resultadosreales que se dan a future (evaluación ex-

post) • Solamente estas evaluaciones develarán las

vulnerabilidades de los proyectos deingeniería.



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La diversidad de elementos utilizados en un proyecto,

implica necesariamente medirlos en una unidad demedida común, la unidad monetaria.

Debido al fenómeno inflacionario (o deflacionario)

que afecta a todas las economías, la unidadmonetaria presenta un gran problema:

Su patrón de referencia va cambiando día a día,

debido a la variación de los precios de los bienes.(1 peso hoy es distinto a 1 peso de mañana)Por lo que tenemos prácticamente infinitas unidadesmonetarias.

LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS



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Para analizar los cambios que experimentan los

precios de los bienes en una economía se utilizan losíndices de precio.

Un índice de precio es un número cuya magnitudvaría proporcionalmente al precio de los bienes querepresenta.




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Ejemplo:

Indice de Precios al Consumidor (IPC)

¿Qué precios considera?.

Los precios de los bienes que consume unconsumidor representativo de la población.

Otros ejemplos:

Deflactor del PIB… (mencionar ejemplos adicionales)




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Si tomamos como referencia el peso de hoy $0 cualserá la equivalencia a un peso de otro momento $t

1 $0 = 1$t * IptIP0

donde:

$0: unidad monetaria de 0 (hoy)$t: unidad monetaria de momento t

IP0: Indice de precio del momento 0IPt: Indice de precio del momento t




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Cuando el valor de una variable es nominal seentiende como un monto “aparente”, que parecieraser la misma unidad de medida, pero que no es lamisma.

Cuando el valor de una variable es real es algo “verdadero”, dado que estamos empleando unamisma unidad de medida, y por lo tanto, esos valores

son comparables.




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Ejemplo:

Considere la siguiente tabla, que muestra losaranceles de la carrera de Ingeniería Civil...

Fuente: Documentos oficiales UdeC



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LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS(Pesos de Marzo de cada año)



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Preguntas:

¿Qué ha pasado con el monto de los aranceles através del tiempo?



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Algunos datos de IPC:



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Preguntas:

Calcule la variación mensual de IPC para un mescualquiera.

Variación relativa enero 2016

Variación relativa febrero 2016

Variación acumulada enero y febrero 2016



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Preguntas:

Calcule la variación anual de IPC:

• Usando IPC

• Utilizando las variaciones mensuales de IPC.



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LAS VARIACIONES RELATIVASSi T1 representa la variación relativa del IPC de 1mes, y ésta es constante todos los meses,entonces la tasa de variación de 1 año es:

T12 = (1 + T1)12 – 1

Si se conociera una tasa, por ejemplo, trimestralde variación (T3), la tasa anual de variaciónequivalente será:

T12 = (1 + T3)4 – 1

en donde el exponente es el número detrimestres en el año.



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TASAS MEDIAS DE VARIACIÓNSuponga tasas de variación mensuales, perodiferentes: T1(1), T1(2)…T1(n)

Se puede calcular una tasa media de variaciónmensual (TM1) como:

TM1 =[(1+T1(1)(1+T1(2))…(1+T1(n))]1/n

-1TM1 es una tasa media geométrica.

Una tasa anual equivalente se obtendría como:

T12 = (1+TM1)12 -1



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RELACIONES DINERO-TIEMPO Y SUS EQUIVALENCIAS

Un mismo monto de dinero tiene mayor “valor” hoypara un inversionista que 1 año o más tiempo. Esto,por la capacidad de generar más riqueza.

Preferencias:

¿Qué prefiere Ud?

¿$0 1.000.000 ahora? o

¿$0 1.000.000 dentro de 2 años más?

¿Porqué?



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El capital en la forma de dinero que se requiere paramáquinas, materiales, contratar personal, energía, etc.se clasifica en:

•Capital propio

•Capital de deuda o prestado

Ambos tienen un costo.Para el capital propio, se tiene un costo de oportunidad

Para el capital prestado, se tiene que pagar un interéspor ello.



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El interés es el incremento o variación que experimenta eldinero en el tiempo.

El interés es la diferencia entre una cantidad final de dineroy la cantidad inicial.

Esta diferencia puede ser “ganada” o “pagada”,dependiendo si la persona está invirtiendo capital propio opidiendo prestado un monto de dinero.

interésTasa de interés (%) = x100

monto inicial




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Interés y Tasa de interés



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Interés Simple e Interés Compuesto

Para varios períodos de tiempo, las definiciones de interéssimple e interés compuesto se tornan importantes.

En el esquema de interés simple , el interés total que seobtiene o cobra es una proporción lineal de la cantidadinicial (principal), la tasa de interés y el número deperíodos de interés. Se considera de la siguiente forma:

Interés I = P*n*s

I = F – P, por lo que s = (F - P)/P*n



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Interés Simple

Ejemplo:

Si le prestan $1.000 hoy y al cabo de 3 años debodevolver $1.300

¿Cuánto es el interés?

¿Cuál es la tasa de interés simple?



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Interés Simple

Ejemplo:

Si me prestan $1.000 hoy y al cabo de 3 años debodevolver $1.300

¿Cuánto es el interés? F - P = $300

¿Cuál es la tasa de interés simple?

[300/1.000]/3*100 = 10% anual.



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Interés Compuesto

El interés es compuesto cuando el interés calculado paracualquier período se basa en la cantidad principal que resta más los intereses acumulados hasta el comienzo de ese período.

Ejemplo:

Si me prestan $1.000 hoy a una tasa de interéscompuesta de 10% anual.

¿Cuánto devolveré al cabo de 3 años?



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Préstamo con 10% anual de interés compuesto



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Comparación entre interés simple y compuesto


$1.000

$1.300

$1.331

0 31 2


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Interés Compuesto

En el ámbito financiero, sinembargo, lo más común es el

enfoque de interés compuesto, porlo que en adelante nos centraremosen este esquema.



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Interés Efectivo e Interés Nominal

En la literatura (traducción de libros de lenguainglesa) aparece el concepto de interés nominalcuando hay más de una capitalización por período deanálisis.

Ej.: Cuando expresamos i = 5% anual, se entiende

que es lo efectivo que ocurrirá cada año con lacapitalización del dinero.

Sin embargo, en muchas ocasiones la capitalización

(la agregación o pago de intereses al principal)ocurre en períodos que son menores al año.



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Interés Efectivo e Interés Corriente

Como estamos en Chile, interés nominal se entiendecuando se trabaja en moneda nominal. Por lo queutilizaremos la denominación de “interés corriente” lo

que tiene relación a la capitalización en períodosmenores a 1 año.

La tasa de interés corriente se calcula como:

ic = iM x M donde:

iM : tasa de interés efectiva por período decapitalización (por ejemplo mensual)

M : Número de períodos de capitalización en 1 año



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Para calcular la tasa efectiva en 1 año, se utiliza laexpresión:

i = (1 + iM )M - 1

Donde:i Tasa de interés efectiva anualiC Tasa de interés corriente anualiM Tasa de interés efectiva en un período de

capitalizaciónM Número de períodos de capitalización en 1 año



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Ejemplo:

Supongamos que nos ofrecen depósitos a plazo con

una tasa de interés de 1% en 90 días.

¿Cuál será la tasa corriente anual?

¿Cuál será la tasa efectiva anual si renuevo eldepósito hasta completar 1 año?

¿Qué pasa si, considerando la misma tasa corrientecalculada anteriormente, los períodos decapitalización son de 30 días? ¿cuál será la tasaefectiva?



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En resumen, las distintas tasas de interés quedistinguiremos en nuestro caso son:

- Tasa de interés simple (s)- Tasa de interés compuesto (i)- Tasa de interés corriente (ic )

- Tasa de interés efectivo (i)

Pero, además, debe considerarse que cada una deestas tasas puede corresponder a casos “reales” ycasos “nominales”. Eso depende de la naturaleza dela unidad monetaria que se está considerando.



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Representación de Proyecto de inversion

Los proyectos o alternativas de inversión serepresentan en una escala de tiempo para suanálisis:

Componentes:• Escala de tiempo• Períodos elementales (en general 1 año)

• Momentos numerados (Generalmente 0 esreferencia)

• Flujos de caja o efectivo



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Esquema con flujos de caja:

Estos flujos pueden ser positivos (ingresos) onegativos (egresos). Se indican como un vector.


Representación de Proyecto de inversion


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Factores de equivalencia

Situación 1:


¿Qué significado tiene?


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Situación 1:

Significa que hoy día recibimos en préstamo $ 2.000,

otorgado a una tasa efectiva (compuesta) de 10%anual,¿cuanto sería monto a devolver al cabo de 5 años?

P: Cantidad Presente.

F: Cantidad Futura.



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Si se calcula, período a período, agregando losintereses en cada caso, tendremos:

Fin de año 1:F1 = P + P i = P(1+i)

Fin de año 2:

F2= F1 (1+i) = P(1+i)(1+i) = P (1+i)2

Fin de año 3:F3 = F2 (1+i) = P (1+i)

2 (1+i) = P (1+i)3

.............

Generalizando: Fn = P (1+i)n


F d i l i


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Así tenemos un primer factor de equivalencia, que serepresenta como:

(F/P, i, n) cuya expresión es (1+i)n

donde se lee: “Una cantidad futura F a partir de una cantidadpresente P, dada una tasa efectiva por período i y

para n períodos de tiempo”



F t d i l i


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En el ejemplo, F= $2.000*(F/P,10%,5) = $3.221

Es decir, F= 2.000*(1+0,1)5

= $3.221

Por lo tanto, P=$2.000 ahora es equivalente a unacantidad futura F = $3.221



F t d i l i


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Situación 2 (inversa):

¿Qué cantidad presente P es equivalente a tener una

cantidad de $3.221 al cabo de 5 años?

Queda claro que este cálculo es inverso al anterior,es decir:

P = F5 (1/(1+i)5) = F5(1+i)-

5

En este caso, encontramos otro factor que serepresenta como:

(P/F, i, n) es (1+i)-n



Análisis con Flujos Nominales y Reales


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En Ejemplo anterior, se calculó una Cantidad Futuraen base a un monto Presente conocido.

F = $2.000*(F/P, 10%, 5) = $3.221






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F = $2.000*(F/P, 10%, 5) = $3.221


El interés es $ 3.221 - $ 2.000 = $ 1.221





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F = $2.000*(F/P, 10%, 5) = $3.221

¿El interés es Real o Nominal?





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F = $2.000*(F/P, 10%, 5) = $3.221

¿El interés es Real o Nominal?

Depende en qué moneda están expresados losflujos.





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En Ejemplo anterior, se calculó una Cantidad Futura enbase a un monto Presente conocido.

F = $2.000*(F/P, 10%, 5) = $3.221

Suponga que el monto Presente está expresado en $0

y la tasa de interés es Real.

¿En qué moneda queda expresado F?





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En Ejemplo anterior, se calculó una Cantidad Futura enbase a un monto Presente conocido.

F = $2.000*(F/P, 10%, 5) = $3.221

Suponga que el monto Presente está expresado en $0

y la tasa de interés es Real.

¿En qué moneda queda expresado F?

En la misma moneda de la cantidad presente, esdecir, $0




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Relación entre “tasa de interés real” y “tasade interés nominal”.

La tasa nominal es una tasa que considera el interésreal y además el efecto inflacionario, a través de latasa de inflación.

Por lo tanto, tenemos que, si in es tasa nominal:

in = [(1 + ir) (1 +T)] – 1Donde:in Tasa de interés nominal

ir Tasa de interés realT Tasa de inflaciónTodas las tasas referidas al mismo período.



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Relación entre “tasa de interés real” y “tasade interés nominal”.

Lo que nos lleva a la ecuación:

in = t + ir + ir*t




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Situación 3:


P

0 1 2 3 9 10 añosA? A? A? A? A?


i= 10%



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Presentamos la siguiente igualdad:

P = A(1/(1+i)1) + A(1/(1+i)2) + A(1/(1+i)3) .......

+ A(1/(1+i)10)

Es decir, estamos sumando todos los equivalentes

presentes de cada una de las cuotas anuales.

P/(1+i) = A ( 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + 1/(1+i)4 + .....

+ 1/(1+i)9 )

q




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Restando la segunda igualdad a la primera, yacomodando los términos, queda lo siguiente:

q

P = A(1+i)10 -1

i(1+i)10

Lo que permite entonces calcular A, despejando:

A = P

i(1+i)10

(1+i)10 -1




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Lo que, generalizando esta expresión, se llega a:

q

Este factor (entre paréntesis) se representa por el

símbolo:

i (1+i)n

A = P(1+i)n -1

(A/P, i, n) es

i (1+i)n

(1+i)n -1




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Situación 4 (inversa)

0 1 2 3 9 10 años

A A A A A

P?

(P/A, i, n) es (1+i)n -1

i (1+i)n




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Situación 5:

0 1 2 3 9 10 años

A A A A A

F?




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Situación 5:

El factor correspondiente es:

(1+i)n -1

i(F/A, i, n) es




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Situación 6 (inversa):

La situación inversa a lo anterior, es decir, encontraruna serie de pagos iguales equivalente a un montofuturo, se resuelve con el uso del factor siguiente:

i

(1+i)n -1

(A/F, i, n) es


Factores de equivalencia con gradientes


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Existen 2 situaciones que se dan con ciertafrecuencia:

Gradiente Aritmético: Corresponde a aquellasituación en que un flujo inicial se repite peroadicionando un monto constante respecto al flujo

del período anterior.

Esto nos da una serie de flujos cuyo monto vaincrementándose (o disminuyendo) en formaproporcional al número de períodos de tiempo quetranscurre.


Factores de equivalencia con gradiente


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Gradiente Geométrico: Corresponde a aquellasituación en que un flujo inicial cambia en una

proporción constante respecto al flujo del períodoanterior.

Esto nos da una serie de flujos cuyo monto va

incrementándose (o disminuyendo) a una tasaconstante.


Factores con gradiente aritmético


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0 1 2 3 9 10

años

A A+G A+2G

A+(n-2)GA+(n-1)G

Esta serie se puede descomponer en dos elementos:- Una serie de flujos uniformes A.

- Una serie de gradientes G, cuyo primer flujo seencuentra al final del año 2.




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0 1 2 3 9 10 años

G 2G

(n-2)G(n-1)G

0 1 2 3 9 10 años

A A A A A




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El equivalente futuro (F) de la serie de gradientespuede calcularse como:

Esta serie se transforma fácilmente en una serie

uniforme mediante A = F (A/F,i,n)


F = nG

i-

i

G(F/A,i,n)



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Esto nos da otro factor

(A/G, i, n) =1 n

i (1+i)n-1-

La serie original se transforma finalmente en unaserie de flujos uniforme equivalente, sumando ambascomponentes A+A 1


Factores con gradiente GeométricoA (1+g)n-2

A1(1+g)n-1


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0 1 2 3 n-1 n años


0 1 2 3 n-1 n años

A1(1+g) A1(1+g)

2

A1

A1(1+g)

A1

A1(1-g)

A1(1-g)2

A1

(1-g)n-2

A1(1-g)n-1



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En cuanto a la serie con gradiente geométrico g, setiene:

Donde “i” es la tasa de interés efectiva y “g” esla tasa de variación anual de los flujos (tasa de

gradiente).


i=gPg =

1+g1+i-

A 1

1

i - g

n



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Cuando “i” y “g” son iguales, esta expresión sereduce a:


(P/A,g,i,n)

Pg =

A 1n

(1 + i) g=i

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