INTRODUCCIÓN

Capítulo 14: “When is a problem?”: Questions from history

and classroom practice in algebraPor John Mason

Capítulo 16: Reflections on mathematical modeling and

the redefinition of algebraic thinking

Por Kathleen Heid

CAPÍTULO 14: “¿CUÁNDO ALGO ES UN

PROBLEMA?”: PREGUNTAS DE LA HISTORIA

Y PRÁCTICA EN EL SALÓN DE CLASES AL

ESTUDIAR ÁLGEBRA

INTRODUCCIÓN

• Definición de problema según el Diccionario de Inglés Oxford:

• “a thing thrown or put forward, hence a question propounded for solution”

Traducción: Es como algo que se arroja o que se presenta, es decir, una

pregunta cuya respuesta se debe de proponer.

Y según la real academia española:

Es el planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe

obtenerse a través de métodos científicos.

INTRODUCCIÓN

• Definiciones del problema y puntos de vista según:

Diofanto de Alejandría

François Viète (su clasificación de problemas más adelante)

Christiansen y Walther

Brookes

Louis Charbonneau y Jacques Lefebvre

DIOFANTO DE ALEJANDRÍA

Problema de la colección de problemas de Diofanto.

Descomponer un número (entero) dado en dos partes (enteras) cuya diferencia sea

dada.

Es decir:

Determinar x e y, dados a y d en las ecuaciones:

x + y = a ;

x – y = d

Un ejercicio interesante de realizar a partir de este problema es averiguar qué

condiciones deben cumplir a y d para que las soluciones x e y sean enteras

CLASIFICACIÓN DE LOS

PROBLEMAS SEGÚN VIÈTE

Clasificación de los problemas

Zetetics:

Buscar(Según Polya eran problemas por

encontrar/descubrir)

Poristics:

Deducción(Según Polya eran problemas por

demostrar)

Exegetics:

Exposición, interpretación.

VIÈTE

Resolución de un problema

algebraico utilizando la geometría

y viceversa

¡François Viète lo intentó!

Trató de encontrar el “zetetics”

entre el álgebra y la geometría

Construcción geométrica que

ayudó a resolver una ecuación

cuadrática

𝑥2 − 1

OTRO EJEMPLO

Resolución de un problema

algebraico utilizando la geometría y

viceversa

𝒙 + 𝒚 = 𝟒

𝒙 − 𝒚 = 𝟐

𝒚 = −𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝒙 − 𝟐

Solución: x=3, y=1

PRÁCTICA EN EL SALÓN DE CLASES

• Alan Bell tiene experiencia en construir tareas para los alumnos.

• Alan Bell ve al algebra en las matemáticas como:

Conjunto de herramientas conceptuales

Forma de pensar

• Observaciones del problema de Bobby el pescado

EL GRAN PROBLEMA DE

BOBBY EL PESCADO

Alan Bell les puso este problema a sus alumnos:

Bobby el pescado irá a una fiesta, pero mientras va nadando ve desde lejos a Augusta, la Sra. Pulpo. Bobby le había prometido a Augusta que iba a hacerla de niñero y cuidar a sus bebés pulpos cuando ella saliera. La Sra. Pulpo en ese momento al parecer debe salir, pero Bobby no quiere cuidar los bebés ya que ¡quiere ir a la fiesta!

El puede nadar 21 metros antes de que Augusta lo acorrale. ¿Logrará llegar a la fiesta de los pescados?

ALGEBRA EN EL PLAN DE ESTUDIOS

• Alan Bell sugiere prestar atención a:

Expresar relaciones

Manipular tales relaciones

Trabajar con funciones y fórmulas

• Papel desempeñado por la expresión simbólica puede ser expresado

en relación de 4 aspectos identificados.

ÁLGEBRA EN EL PLAN DE ESTUDIOS

Aspecto1: Ser capaz y estar dispuesto a

trabajar con expresiones

(algebraicas) simbólicas.

Aspecto 2: Leer y escribir en notación

algebraica

Aspecto 3: Aprender a manipular símbolos correctamente y

fluidamente

Aspecto 4: Desarrollar estrategias de saber-

cómo

PROBLEMAS QUE SURGEN AL NO TENER UN

BUEN DOMINIO DEL ÁLGEBRA

𝟑𝟐 = 𝟔 𝟒 𝒏 + 𝒚 = 𝟒𝒏 + 𝒚 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒙 + 𝟖

𝒙 + 𝟐=𝟖

𝟐

O el problema más común

𝒙 = 𝒚

𝒙𝟐 = 𝒙𝒚

𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐

𝒙 + 𝒚 𝒙 − 𝒚 = 𝒚 𝒙 − 𝒚

𝒙 + 𝒚 = 𝒚

𝒚 + 𝒚 = 𝟐𝒚 = 𝒚

𝟐 = 𝟏

COMENTARIOS SOBRE LA PRÁCTICA

EN EL SALÓN DE CLASES

• Estudiantes dominen técnicas para abordar problemas desafiantes

• Tratar a los alumnos como computadoras que deben ser programadas

CAPÍTULO 16: REFLEXIONES SOBRE EL

MODELADO MATEMÁTICO Y LA

REDEFINICIÓN DEL PENSAMIENTO

ALGEBRAICO

INTRODUCCIÓN

• M. Kathleen Heid, comentario del capítulo Mathematical Narratives,

Modeling, and Algebra de Nemirovsky.

• ¿qué es una narrativa?

• Definición de narrativa matemática

• Característica principal “sensemaking”

¿QUÉ SE PUEDE APRENDER

SOBRE EL PENSAMIENTO

DE LOS ESTUDIANTES

HACIA LAS NARRATIVAS

MATEMÁTICAS?

Ejemplo de Nemirovsky:

Planteamiento del problema que Nemirovsky le dio a un niño de 4º grado de primaria.

Suposición: Mientras más alta esté la gráfica, es mayor el crecimiento.

¿QUÉ SE PUEDE APRENDER

SOBRE EL PENSAMIENTO

DE LOS ESTUDIANTES

HACIA LAS NARRATIVAS

MATEMÁTICAS?

Ejemplo de Nemirovsky:

Respuesta de niño de 4º grado

que nos muestra su razonamiento

hacia cierto problema, lo cual

merece ser analizado.

Respuesta: Crece desde el suelo

¿CÓMO ES QUE LOS ESTUDIANTES UTILIZAN

EL CONOCIMIENTO DE TENDENCIAS

GENERALES?

• Estudios recientes de Heid y Zbiek

Respuestas de los estudiantes se enfocan en examinar y analizar

otras representaciones.

¿CÓMO ES QUE LOS ESTUDIANTES UTILIZAN

EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN LA

CONSTRUCCIÓN DE SUS NARRATIVAS

Importancia de las narrativas

EL USO DE LA COMPUTADORA EN CONSTRUCCIONES MATEMÁTICAS DE LOS

ESTUDIANTES

Nos permite:

• Observar patrones

• Ver conexiones

• Trabajar con imágenes dinámicas

• Explorar datos

CONCLUSIÓN

De acuerdo a lo expuesto, podemos llegar a un acuerdo:

• Pregunta matemática

• Ejercicio matemático

• Problema matemático

• Problema para una persona, ejercicio para otra persona