Dsp 2554 4

4

The z-transform

การแปลงแซด การแปลงแซด รศ.ดร. พรีะพล ยวุภษูิตานนท์

ภาควชิา วศิวกรรมอเิล็กทรอนกิส์

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-1

เป้าหมาย

• นศ รูจกัความหมายของการแปลง แซด

• นศ เขาใจประโยชนและการนําการแปลงแซด ไปใชงาน



CESdSP DSP4-2

ทาํไมต้องแปลงแซด ?

• เราใชการแปลง DTFT เพือ่ชวยในการวเิคราะหสญัญาณไมตอเนื่องทางเวลาโดยใช

• และยิง่มปีระโยชน ในการวเิคราะหในเชงิความถี ่

• แต DTFT เป็นการแปลงทีใ่ชกบัสญัญาณ steady–state

{ }je ω

( )jH e ω

• แต DTFT เป็นการแปลงทีใ่ชกบัสญัญาณ steady–state (เชน cos และ sin ) แตใชกบัสญัญาณทีส่าํคญับางอยางไมได เชน u(n) หรือ nu(n)

• การแปลงแซด (Z-transform) ใหคาํตอบได



CESdSP DSP4-3

การแปลงแซด (z-Transform)

• สาํหรบั สญัญาณ x(n) จะมกีารแปลงแซดเป็น

• z หมายถงึ “ตวัแปรเชงิซอน” ซึง่เราจะใหเป็น

( ) [ ( )] ( ) n

n

X z Z x n x n z∞

−

=−∞

= ∑≜

jω=

• ซึง่มคีวามหมายถงึ “ขนาด” และ “เฟส”

•

jz z e ω=

z

Re

Im

ω



CESdSP DSP4-4

การแปลงแซด (z-transform) (ต่อ)

หาก “ขนาด” มคีา่ เทา่ หนึ�ง ( ) จะได ้1z = jz e ω=

เราจะได ้วา่ การแปลง z กลายเป็นการแปลงฟูเรยีร์

ω ω∞

−∑

การแปลงฟรูิเยรเ์ป็นกรณีพิเศษ ของการแปลงแซด

( ) ( ) ( )j

j j n

z en

X z X e x n eωω ω

∞−

==−∞

= = ∑



CESdSP DSP4-5

ตวัอยา่ง

วธิทีาํ

10.8 0.7

0.6n-1 0 21

( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n =

h(n)

( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n↑

=

1 2( ) 0.8 0.7 0.6H z z z z− −= + + +



CESdSP DSP4-6

คูณสมบตักิารแปลงแซดที�สาํคัญ

• การเลือ่น

• การประสาน

[ ( )] ( )mZ x n m z X z−− =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n h k x n k Y z H z X z∞

= − ⇒ =∑

• การคณู x(n) ดวย n ( )

[ ( )]dX z

Z nx n zdz

= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

y n h k x n k Y z H z X z=−∞

= − ⇒ =∑



CESdSP DSP4-7

บริเวณการลู่เข้า (Region Of Convergence )

( ) ( )nx n u nα=•พจิารณา ไดก้ารแปลง z

( ) ( ) n n nX z x n z zα∞ ∞

− −= =∑ ∑

( ) ( )nx n u nα=

0

( )0

11

0

( ) ( )

1

1

n n

n

n

X z x n z z

zz

α

αα

=−∞ =

∞−

−=

= =

= =−

∑ ∑

∑ 1 1zα − < z α>หรอื



CESdSP DSP4-8

บริเวณการลู่เข้า (ต่อ)

ลองด ู ( ) ( 1)nx n u nα= − − −

( )

( ) ( )

1 11( )

1

nn n

n n

n n

X z z zα α− −

− −

=−∞ =−∞

∞ ∞

= − = −∑ ∑

( ) ( 1)nx n u nα= − − −

0

( ) ( )1 11

1 0

1

11 1

11

1

n n

n n

z zz

z

α αα

α

∞ ∞− −

−= =

−

= − = − = −−

=−

∑ ∑

ต่าง x(n) คาํตอบเหมือนกนั อะไรคอืความแตกต่าง?

1 1,zα − < z α<หรอื



CESdSP DSP4-9

บริเวณการลูเ่ข้า ROC คือ บริเวณสเีทา เป็นบริเวณที�ทําให้สมการเป็นจริง

Im Im

( ) ( )nx n u nα= ( ) ( 1)nx n u nα= − − −

1

1( )

1X z

zα −=−

ROC

ReReαα

ROC

ROC อยูน่อกวงกลมรศัม ี α ROC อยูใ่นวงกลมรศัม ี α

โพล



CESdSP DSP4-10



จงหาผลการแปลง Z และ บรเิวณการลู่เขา้ของ( ) ( ) ( 1)n nx n u n u nα β= − − −

1 1

0 0

( ) ( )

1 1

n n n

n n

X z z zα β∞ ∞

− − − +

= =

= −

= −

∑ ∑

1 1

1 1

1 1z zα β− −= −− −

เทอม แรก ROC คอื บรเิวณ z α>

เทอม สอง ROC คอื บรเิวณ z β<



CESdSP DSP4-11

บรเิวณการลู่เขา้ ROCเป็นบรเิวณที�เกดิจากการ interceptionของROC ทั Rงสอง

Im Im

β α< α β<

( ) ( ) ( 1)n nx n u n u nα β= − − −

ReReα

ROC

ROC ไมม่คีา่, ดงันั Rนไม่มี X(z) ROC อยูร่ะหวา่งวงกลม

β α β



CESdSP DSP4-12

ความเป็นคอซัล (Causality) สญัญาณที�เป็นคอซลั(causal) คอืสญัญาณที�มคีา่ในชว่ง 0n ≥

( ) ( )nx n u nα= ( ) ( 1)nx n u nα= − − −

สญัญาณที�เป็น คอซลัตรงกนัข้าม (anti-causal) มคีา่ในชว่ง 0n <

หรอืดจูาก ROC กไ็ด้

0 0

คอซลั คอซลัตรงกนัข้าม



CESdSP DSP4-13

ROC อยู่นอกวงกลม=คอซัล ROC อยู่ในวงกลม=คอซัลตรงกันข้าม

• คอซลั • คอซลัตรงกนัขาม

Im ImROC

( ) ( )nx n u nα= ( ) ( 1)nx n u nα= − − −

ReReαα

ROC

ROC อยูน่อกวงกลมรศัม ี α ROC อยูใ่นวงกลมรศัม ี α

โพล



CESdSP DSP4-14

การแปลง z ผกผนั (Inversion of the z-Transform)

• เพือ่แปลงกลบัจาก โดเมนแซดไปเป็นโดเมนเวลา

• พจิารณา

1( ) [ ( )]x n Z X z−≡

2 ... Na a z a z a z+ + + +

• จดัอยูในรูป

20 1 2

20 1 2

...( )

...

NN

MM

a a z a z a zX z

b b z b z b z

+ + + +=

+ + + +

20 1 2

1 2

...( )

( )( )...( )

NN

M

a a z a z a zX z

z p z p z p

+ + + +=

− − −



CESdSP DSP4-15

โพลสามกรณี

• โพลเป็นจาํนวนจรงิไมซํา้คา

• โพลเป็นจาํนวนเชงิซอนไมซํา้คา

• โพลเป็นจาํนวนซํา้คา

• ใชวธิ ีPartial Fraction Expansion (PFE)



CESdSP DSP4-16

1.โพลเป็นจาํนวนจริงไม่ซํ 'าค่า



2 2

2

4 4( )

0.25 ( 0.5)( 0.5)

z zY z

z z z= =

− − +

221 24

( )( 0.5)( 0.5) 0.5 0.5

z Cz C zY z

z z z z= = +

− + − +

1 2( ) 4

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

Y z z C C

z z z z z= = +

− + − +



CESdSP DSP4-17

หา C1 และ C2

• หา C1

1

4 4(0.5)2

0.5 1

zC

z =

= = =+

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C z

z z z z=

− − −= +

− + − +

• หา C2

0.50.5 1zz =+

20.5

4 4( 0.5)2

0.5 1z

zC

z =−

−= = =

− −

1 2

0.5

4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z

z z C z C z

z z z z=−

+ + += +

− + − +



CESdSP DSP4-18

( ) 2 2

0.5 0.5

Y z

z z z= +

− +

2 2( )

0.5 0.5

z zY z

z z= +

− +0.5 0.5z z− +

( ) 2(0.5) ( ) 2( 0.5) ( )n ny n u n u n= + −

ไดผ้ลการแปลงผกผนัแซดเป็น



CESdSP DSP4-19

1

1( )

1

z transformna u n

az

−

−⇔

−

Table of Z-transform pairs



CESdSP DSP4-20

2.โพลเป็นจาํนวนเชิงซ้อนไม่ซํ 'าค่า

2( )

1

zY z

z=

+


วธิทีาํ1 2( )

C z C zzY z = = +

Y(z) แสดงโดย

1 22

( )1

C z C zzY z

z z j z j= = +

+ − +

1 2

2 2

( )

1 1j j

C z C zY z

z e z eπ π

−= +

− −2

0

cos sin2 2

j

j j

j

eπ

π π

= +

= +

=



CESdSP DSP4-21

หา C1 2 2 2

1 222

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )

11 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z e

zz e z e

π π ππ

π π−

− − −− = = +

+− −

2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )j j j

z e C z e C z eπ π π

− − −= +

=0

2

2 2 21 2

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j j

z e

z e C z e C z e

z e z e z e z eπ

π π π π− −

=

− − −= +

− − − −

2

21

2 2 2

1 1 10.5

2( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e eπ

π

π π π

−

− −

=

= = = =

− −



CESdSP DSP4-22

2 2 21 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

j j jz e C z e C z e

π π π

π π π π

− − −− − −

= +

หา C2 2 2 2

1 222

2 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )

11 1

j j jj

j j

z z e C z z e C z z eY z z e

zz e z e

π π ππ

π π

− − −−

−

− − −− = = +

+− −

22 2 2 2( 1 )( 1 ) 1 1j

j j j j

z ez e z e z e z eπ

π π π π

−

− −

=

= +− − − −

2

22

2 2 2

1 1 10.5

2( 1 ) ( )j

j

j j j

z e

C ej

z e e eπ

π

π π π

−

−

=

= = = =−

− −



CESdSP DSP4-23

แทนค่า C1 และ C2 1 2

2 2

( )

1 1j j

C z C zY z

z e z eπ π

−= +

− −

2 20.5 0.5( )

j j

j j

e z e zY z

π π

π π

−

−= +

− −2 21 1j j

z e z e−

− −จาก ตารางที� 4.1 ขอ้ 14 หน้า 46

*2 cos( )

*n Cz C z

C p n p Cz p z p

∠ + ∠ ⇐ +− −



CESdSP DSP4-24

2 2

2 2

0.5 0.5( )

1 1

j j

j j

e z e zY z

z e z e

π π

π π

−

−= +

− −

0.52

π∠ −

12

π∠

2

2 2

2 2

0.5 0.5( ) 2 0.5 1 cos( )

2 21 1

cos( )2 2

j jn

j j

e z e zy n n

z e z e

n

π π

π π

π π

π π

−

−= − ⇐ +

− −

= −



CESdSP DSP4-25

3.โพลเป็นจาํนวนซํ 'าค่า 2

2( )

( 0.5)( 1)

zY z

z z=

− −ตวัอยา่ง

วธิทีาํ 21 2 3

2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z C z C z C zY z

z z z z z= = + +

− − − − −2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1Y z

z z z z z= = + +

− − − − −

หา C1 2 ( 0.5)z z −

( 0.5)z −1

2

0.5

( 0.5)

( 1)z

C z z

z=

−=

− ( 0.5)z −2 ( 0.5)C z z −

+ 3

2

( 0.5)

( 1)

C z z

z

−+

− 1z −

1 2 20.5

0.52

( 1) (0.5 1)z

zC

z=

= = =− −EEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-26

2 2( 1)z z −2( 0.5) ( 1)z z− −

21

1

( 1)

z

C z z

=

−=

22 ( 1)

( 0.5)

C z z

z

−+

− 2( 1)z −

23 ( 1)C z z −

+

2

1

1

12

( 0.5) (1 0.5)z

z

zC

z=

−

= = =− −

หา C2

หา C3 2 ( 1)z z − ( 1)( 1) C z zC z z −− ( 1)C z z −หา C3 2 ( 1)z z − 21

1

( 1)( 1)

( 0.5)( 1) ( 0.5)z

C z zC z z

z z z=

−−= +

− − −3 ( 1)

1

C z z

z

−+

− ( 1)z −

แทน z=1 ตรงๆเลย ไมไ่ด ้(เพราะอะไร?) และ สงัเกต การตดิคา่ C1 ไว้ต้องแทน C2=2 ลงไปก่อน



CESdSP DSP4-27

21

3

1

2

( 1) 2( 0.5)

( 0.5)( 1)

2( 0.5) ( 1)

z

z C z zC

z z

z z C z

=

− − − −=

− −

− − − −

21

3

1

( 1) (2)

( 0.5)( 1) ( 0.5) 1z

C z zz zC z

z z z z=

−= + +

− − − −

13

11 1

( 1) (2)

( 0.5)( 1) ( 0.5) 1 zz z

C zzC

z z z z == =

−= − −

− − − −จดัสมการใหมเ่พื�อหา C3

ใช ้การหา

21

1

2( 0.5) ( 1)

( 0.5)( 1)

( 1)

z

z z C z

z z

z

=

− − − −=

− −

− − −= 1( 1)

( 0.5) ( 1)

C z

z z

−

− −1

1 02

(1 0.5)

z=

− −= = −

−

สลบัเทอม 2 กบั3

แทนคา่ z=1ในขั RนตอนนีR เทอม C1 จะหายไปเองเมื�อ z=1



CESdSP DSP4-28

2

2 2

2 2 2( )

( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1

z z z zY z

z z z z z= = + −

− − − − −

แทนคา่ลงไป

( ) 2(0.5) 2 2ny n n= + −



CESdSP DSP4-29

ประโยชน์ของ z-Transform

• ชวยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบตวัอยา่ง

1 0

( ) ( ) ( )N M

l ml m

y n a y n l b x n m= =

+ − = −∑ ∑

วธิทีาํ( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n= − +

วธิทีาํ1( ) 0.9 ( ) ( )Y z z Y z X z−= +

1

( ) 1( )

( ) 1 0.9

Y zH z

X z z −= =−

( ) (0.9) ( )nh n u n=EEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP DSP4-30

2. ช่วยหาผลการประสาน



( ) (0.5) ( )nh n u n=1

( ) ( )3

n

x n u n =

( ) ( ) ( )y n h n x n= ∗

( ) ( ) ( )Y z H z X z=เราทราบว่าวธิทีาํ ( ) ( ) ( )Y z H z X z=เราทราบว่า( ) , 0.5

0.5

zH z z

z= >

−

0

1

10

1( ) ( )

3

1 1 1,

1 13 313 3

nn n

n n

n

n

X z x n z z

zz z

z z

∞ ∞− −

=−∞ =

∞−

−=

= =

= = = > − −

∑ ∑

∑



CESdSP DSP4-31

( )10.53

z zY z

z z= ⋅

− −หา inverse z-transform

21 2( )

1 1( 0.5)( 0.5)( ) ( )3 3

z C z C zY z

zz z z= = +

−− − −( 0.5)( ) ( )3 3

z z z− − −

1 23, 2C C= = −3 2

( )1( 0.5) ( )3

z zY z

z z= −

− −

1( ) 3(0.5) ( ) 2 ( )

3

nny n u n u n = −

แปลงกลบั



CESdSP DSP4-32

3.ช่วยหาเอาท์พุทของ difference equation

ตวัอยา่ง การหมนุของดาวเทยีมแสดงไดด้ว้ย

( ) ( 1) 0.5 ( 2) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)y n y n y n x n x n− − + − = + −

( )y n = ตําแหน่งมุม(angular position) ( )x n = ทอรก์ (Torque) จากตวัขบั( )x n = ทอรก์ (Torque) จากตวัขบั

ใหห้า y(n) ที� x(n) เป็น ( )nδ

วธิทีาํ แปลง z

1 2 1( ) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )Y z z Y z z Y z X z z X z− − −− + = +



CESdSP DSP4-33

1

1 2

0.5 0.5( ) ( )

1 0.5

zY z X z

z z

−

− −

+=

− +

ได ้Transfer function 1

1 2

0.5 0.5( )

1 0.5

zH z

z z

−

− −

+=

− +ขยายออกเป็น

/ 4 / 4

1.25 1.25

( ) 0.5( 1)

( 0.707 )( 0.707 )

0.79 0.79

j j

j j

Y z z

z z e z e

e e

π π−

−

+=

− −

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com


DSP4-34

1.25 1.25

/ 4 / 4

0.79 0.79

0.707 0.707

j j

j j

e e

z e z eπ π

−

−= +− −

1.25 1.25

/ 4 / 4

0.79 0.79( )

0.707 0.707

j j

j j

e z e zY z

z e z eπ π

−

−= +− −

เมื�อ คณูกลบัดว้ย z

( ) 1.58(0.707) cos( / 4 1.25), 0ny n n nπ= − ≥

ตําแหน่งมุม y(n) หาไดจ้ากการแปลง z ผกผนั

Transfer function

ขอ้กาํหนด 1 เราเรยีก H(z) วา่เป็น ฟงักช์นัถ่ายโอน (Transfer function) โดยที�

( ) ( ) ,n

n

H z h n z

∞−

=−∞

= ∑

y(n) เอาทพ์ทุของระบบ มกีารแปลง z



DSP4-35

y h x( ) ( ) ( ) : ROC =ROC ROCY z H z X z= ∩y(n) เอาทพ์ทุของระบบ มกีารแปลง z

หรอืROC ของ h(n) จะตอ้ง overlap กบั ROC ของ x(n) จงึจะม ีY(z)

1 1

( ) ( ) ( )N M

k lk l

y n a y n k b y n l= =

+ − = −∑ ∑

จากระบบ LTI ที�มสีมการความแตกต่างเป็น

1 1

( ) ( ) ( )N M

k lk l

k l

Y z a z Y z b z X z− −

= =

+ =∑ ∑หรอืเขยีนเป็น H(z)

1

1

( ) ( )( )

( ) ( )1

Ml

ll

Nk

kk

b zY z B z

H zX z A za z

−

=

−

=

= =+

∑

∑≜

( )

( 1)0 1

0

( 1)

M M M M

N N N

bb z z b z

b− −

− −

+ + +

=+ + +

⋯

⋯



DSP4-36

( )( 1)1

N N NNz z a z a− −

=+ + +⋯

1 20

1 2

( )( ) ( )

( )( ) ( )N M M

N

z z z z z zb z

z p z p z p− − − −

=− − −

⋯

⋯

เราได้ zk= ซโีร ่ pk =โพล

( )

( )1

0

1

( )

M

lN M

N

k

z zH z b z

z p

−−

=−

∏

∏

ถา้ ROC ครอบคลุม unit circle จะหาผลตอบสนองความถี�ของระบบได ้

( )

( )( ) 1

0

1

( )

j

Mj

lj j N M

Nj

kz e

e zH e b e

e pω

ω

ω ω

ω

−

=

−=

−

∏

∏Transfer function

หาผลตอบสนองความถี�จากการแปลง z

1 z e=

1

0

1

( )j j

Mj

j jN

e z e zH e b

e p e p

ω ωω

ω ω

− −=

− −

⋯

⋯

Magnitude response

[ ] ( ) ( ) ( )1 1

( ) 0M N

j j jk k

constant linearnonlinear

H e or N M e z e pω ω ωπ ω∠ = + − + ∠ − − ∠ − ∑ ∑��

Phase response



CESdSP DSP4-37

แสดงเวคเตอร์จากโพลและซีโร่ไปยัง unit circle

ω Re(z)

Im(z)

pk

jke pω −

เวคเตอรจ์ากโพลไป unit circle:

เวคเตอรจ์ากซโีร่ไป unit circle:

ω Re(z)

Unit circle zl

jle zω −



CESdSP DSP4-38

1

Pole−Zero Plot 20

Mag

nitu

de (d

B)



( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n= − +

สาํหรบัสญัญาณ y(n)

1

1( )

1 0.9H z

z −=−

0.9z >

ผลตอบสนองความถี�โพลซโีร ่พล๊อต

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

0.90

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100

−50

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (d

egre

es)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

0

10

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (d

B)



CESdSP DSP4-39

สรุป

• หาผลลพัทการแปลงแซดไดในบางกรณีทีใ่ชการแปลง DTFT ไมได

• สมการการแปลงแซดใหความหมายมากกวาหนึ่งสญัญาณโดเมนเวลา โดยแตกตางกนัตาม ROCสญัญาณโดเมนเวลา โดยแตกตางกนัตาม ROC

• การแปลงแซดชวยหาผลลพัธสมการผลตางได

• การแปลงแซดชวยหาผลตอบสนองความถีไ่ด



CESdSP DSP4-40

Dsp 2554 4

Education

Transcript of Dsp 2554 4