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3. L’échantillonnage des signaux
C’est une nécessité pour le traitement numérique :On ne sait traiter que des données quantifiées
Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique ») à partir des échantillons ?
Les conditions de Nyquist/Shannon
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
quelques diapos d’illustration (mouvement stroboscopique)
2image sous échantillonnée : ‘moiré’ image haute définition
illustration d’un échantillonnage insuffisamment dense en numérisation d’image
http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem
3
Représentation correcte du signal échantillonné(cohérence avec les formalismes mathématiques)
C’est une suite d’impulsions de Dirac modulées en amplitude
ATTENTION : Ne pas confondre avec la sortie d’un bloqueur d’ordre 0 (interprétation erronée courante en traitement d’images !)
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1.5
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0
1.5
.
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3.1 Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences
- Conditions pour que l’information contenue dans le signal ne soit pas perdue :
Théorème de Nyquist Shannon
- Méthode de reconstruction du signal à temps continu : Interpolation idéale à partir des échantillons
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T période fixe d’échantillonnage
dtTnttxTnx ).()().(
Formalisation de l’opération d’échantillonnage en utilisant les impulsions de Dirac
).().()( TntTnxtyn
produit de x(t) et de s(t)
n
Tntts ).()(
)().()( tstxty
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1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
s(t)
x(t)
y(t)x(t)
t
t
t
T
T
suite régulière d’impulsions de Dirac (‘peigne de Diracs’))(ts
6
n
Tntts ).()(
D’après la définition de l’impulsion de Dirac, la transformée S() de s(t) est une fonction périodique de la fréquence : harmoniques de même amplitude aux fréquences multiples de 2/T
k T
kS
..2)(
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
s(t)
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
S()
2/T
T
dtT
tkt
T
kS
T
T)
...2exp()()
..2(
2/
2/
s(t) : séquence périodique d’impulsions de Dirac (‘peigne’) ;
7
).().()( TntTnxtyn
produit de x(t) et de s(t) n
Tntts ).()( )().()( tstxty
dans le domaine temporel
dans le domaine des fréquences, le produit se traduit par une convolution
dSXY )()()(
k T
kS
..2)(
transformée de Fourier
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dans le domaine temporel : produit de x(t) par le peigne d’impulsions de Dirac s(t)
dans le domaine des fréquences : convolution de leurs transforméesde Fourier X() et de S()
la convolution de X() par une impulsion (-) décalée de est X(-)
la convolution par le peigne d’impulsions de Dirac (somme d’impulsions décalées) est la somme des répliques décalées : la T.F. du signal échantillonné est la périodisation de la T.F. X() du signal x(t)
X()
(-)
X(-)
X(-)
S()
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La transformée de Fourier du produit est une convolution
dSXY )()()(
dT
kXY
k
..2)()(
on remplace S() par son expression
dT
kXY
k
..2)()(
d’après la définition de l’impulsion de Dirac
k T
kXY
..2)(
La transformée de Fourier d’un signal échantillonné est la sommedes répliques décalées de la transformée de Fourier du signal à temps continu
k T
kS
..2)(
Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences
X(-)
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128 96 64 32 0 32 64 96 1280
2
4
6
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
1.5
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
0.2
0.4
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5
0
1.5
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5
0.5
1.5
.
temps fréquence
impulsions d’échantillonnage T.F. de l’opérateur d’échantillonnage
T.F. périodique du signal échantillonnésignal échantillonné
signal à temps continu T.F. du signal à temps continu
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analyse de l’échantillonnage effet stroboscopique
comment observer un mouvement rapide périodique :en ne visualisant qu’une image sur N
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fréquence faibleFréquence de la rotation
24 fois plus petite que la fréquence
d’échantillonnage
0 1 2 24 Hz.
tempsfréquence
0 1 s
15
fréquence moitiéFréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence
d’échantillonnage
0 1 2 12.
tempsfréquence
Le sens de rotation n’apparaît plus
0 1 s24 Hz
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un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage
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Fréquence de la rotation légèrement pluspetite que la fréquence d’échantillonnage :
le mouvement apparaît inversé
0 1 2-1
.
temps
fréquence
0 1 s
24 Hz
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Au lieu de la fréquence ,
on observe la fréquence - ech
qui est négative
- ech
voir l’effet stroboscopiquecinema télévision
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référencesEffet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870)Cinématographe : Edison, Lumière (1890)Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948)
Consultez les différents sites qui leur sont consacrés !
http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasingUne illustration sonore du repliement
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Jules Janssen, astronome, 1874Le revolver photographique
Etienne Jules Marey, 1881
Louis Aimée Augustin LE PRINCE 1888
Eadweard J. Muybridge, 1878
Roundhay Garden Scene
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Reconstitution idéale du signal à temps continu
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
2
4
6
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
0.2
0.4
.
éliminer les répliques par filtrage passe bas
condition : elles ne doivent pas se chevaucher
X()=0 pour ||> fréquence d’échantillonnage (signaux réels)
plus généralement largeur du support inférieure à la fréquenced’échantillonnage (signaux complexes)
Théorème de Nyquist Shannon (whittaker, kotelnikov)
remarque : phénomène de Gibbs si le filtrage crée une discontinuité dans la T.F du signal
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La fréquence d’échantillonnage est insuffisanteles répliques de X() se chevauchent
X()
Y()
l’augmentation de la fréquence d’échantillonnage va supprimerce chevauchement des répliques et permettre la reconstructiondu signal à temps continu
Y()
ech
ech
transformée de Fourierdu signal échantillonné
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128 96 64 32 0 32 64 96 1280
2
4
6
.
128 96 64 32 0 32 64 96 1280
0.2
0.4
.
réalisation du filtre passe bas dans le domaine temporel
sa réponse impulsionnelle est la transformée de Fourier inversedu créneau
t
tdtjth
.
.sin)..exp(.1
2
1)(
(cas où la période ‘échantillonnage vaut 1)
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Réponse impulsionnelle du filtre : transformée inverse du créneau
ech
ech
Tt
Ttth
/.
)/.sin()(
n
echechech
echech nTxTTnt
TTnttx )(.
/)..(
/).(sin)(
16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 160.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
reconstitution du signalà temps continu
le résultat du filtrage est une somme de fonctions h(t) décalées de nTech
et modulées en amplitude par les valeurs des échantillons x(nTech)
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n
echechech
echech nTxTTnt
TTnttx )(.
/)..(
/).(sin)(
Aux instants d’échantillonnage nTech
toutes les composantes de la somme sont nulles sauf une qui a pour valeur celle de l’échantillon x(nTech)
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
reconstitution du signalà temps continu
27
En pratique
bloqueur d’ordre zéro, interpolation linéaireinterpolation plus élaborée (splines, courbes de Bézier, etc ...)
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
Inconvénients : Coût, convergence lente
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Echantillonnage d’un signal sinusoïdal
difficulté à interpréter l’allure temporelle d’un signal échantillonné « complexe » sauf parfois dans le domaine des basses fréquences (variations très lentes)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501
0
1
.
Ceci est une sinusoïde de fréquence 0.97(les conditions de Shannon sont vérifiées)
on y voit plutôt le battement avec la fréquenced’échantillonnage et guère la forme originale
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.93
0
.
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Quantification (p. ex. complément à 2), précision
128 bits (jeux video) permettent de mesurer (en angströms =10-10 m) le diamètre de l’univers visible (13,7×109 années-lumière (1,3×1026 m) )
écart type de l’erreur de quantification pour une précision q : 0.29xq
100
101
110
111
000
001
010
011
offset qerreur de quantificationaprès soustraction del’offset
valeurs quantifiées
30
codage en virgule fixe
entiers ? fractionnaires ?
multiplication de 2 nombres de N bits : résultats sur 2.N bits
On n’en conserve que N
poids fort : fractionnaires (entre -1 et +1)
poids faibles : entiers
x
xx
,,
,
,,
,
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codage en « double » IEEE
64 bits
mantisse m 53 bits (avec signe) exposant E 11 bits
x=m*2E
permet d’éviter les débordements au détriment de la précision
attention à l’addition de deux nombres d’ordres de grandeur très différents et à la soustraction de deux nombres très proches
précision 10-15 dynamique 10 300