Definición:

Definición:“Modelling is the is the process of designinga model of a real system and Simulation is the activity of conductingexperiments with this model for thepurpose of either understanding the behavior of the system and/or evaluating various strategies for theoperation of the system.” - Introduction to Simulation Using SIMAN (2nd Edition)

Nos Permite:• Modelar complejos sistemas en forma detallada• Describir el comportamiento del sistema• Construir teorías o hipótesis acerca del

comportamiento observado • Usar el modelo para predecir el comportamiento

futuro, -> efectos que producirán cambios en el sistema estudiado

• Analizar problemas propuestos

Ventajas de la Simulación:

La mayor fortaleza de la simulaciónes poder responder a preguntas del tipo “qué pasaría si…”

Ventajas de la Simulación:• Puede ser usada para estudiar sistemas existentes sin interrumpir las operaciones en curso

• Los sistemas propuestos pueden ser testeados entes de comprometer recursos.

• Permiten identificar cuellos de botellas.

• Permiten profundizar el conocimiento de cuáles son las variables más importantes para el rendimiento del sistema.

Desventajas de la Simulación

• La construcción de modelos es tanto un arte como una ciencia. La calidad del análisis depende de la calidad del modelo como de la habilidad del modelador

• Los resultados de la simulación son a veces difíciles de interpretar.

• El análisis de la simulación puede ser a veces muy consumidor de tiempo y caro. No debe ser usado cuando hay métodos analíticos que den resultados más rápidos y más exactos.

Por lo tanto…• Entenderemos por "modelamiento y simulación" a

las actividades asociadas con la construcción de modelos de sistemas del mundo real, y su simulación en un computador.

• Los modelos son útiles para predecir y/o estudiar el comportamiento de un sistema real, que puede servir para corroborar algunas hipótesis.

• Los modelos tienen un rango de validez. – Ejs. Newton vs. Einstein

El sistema Real y el modelo• El "sistema real" es la parte del mundo real de

nuestro interés.

• El sistema real es una fuente de datos conductuales, registro de cómo se comporta un sistema.

• Un modelo es básicamente un conjunto de instrucciones para generar datos conductuales

• Los modelos son expresados en forma de ecuaciones diferenciales, notación teórica de autómatas o en formalismo de eventos discretos.

¿ Cómo se sabe si un modelo es bueno?• Comparar los resultados que arroja con los del

sistema real que se quiere estudiar. • “Cuan bien el modelo representa al sistema real"• Sistema no existe aún (es modelo de algo que se

quiere construir) – Los resultados que arroje reflejen de alguna manera lo que

se quiere estudiar acerca del sistema que se está modelando.

– No existe ninguna manera de saber cuál es el mejor modelo para un sistema.

• Es posible comparar dos modelos y decidir cuál de ellos es mejor bajo algún punto de vista particular

Etapas en la descripción del modelo• La comunicación o descripción del modelo seguirá

por lo general los siguientes pasos:

1. Descripción informal del modelo y los supuestos que se hicieron para su construcción. Esta descripción se hace generalmente en lenguaje natural.

2. Descripción formal de la estructura del modelo, generalmente en forma matemática o con algún lenguaje de descripción no ambiguo.

3. Presentación del programa que realiza la simulación.4. Presentación de los experimentos y los resultados.5. Conclusiones sobre el rango de aplicabilidad del modelo y su

validez.6. Relaciones del modelo actual con otros.

Descripción Informal• En la descripción informal se describen los

componentes del modelo, las variables descriptivas y las interacciones entre los componentes. – Componentes: partes del sistema que generan datos de

interés. – Las variables descriptivas proveen información sobre el

estado de los componentes en un momento dado. – Dos tipos: variables de estado (que cambian durante la

simulación) y parámetros (que se mantienen constantes en una misma simulación, pero que pueden variar de una simulación a otra).

– Las interacciones entre componentes son las reglas que describen cómo las distintas partes del modelo se afectan entre sí, determinando el comportamiento del modelo a través del tiempo.

¿ Cómo empezar a modelar ?

• No existen reglas que puedan ser dadas para la elección de los componentes, variables descriptivas o interacciones. Su elección es parte del arte del modelamiento.

• Lo único que se puede decir es que las componentes y sus variables deben reflejar la parte del sistema real que se quiere estudiar.

• Se puede empezar por preguntar: ¿cuál es la información que se quiere obtener de la simulación?, y luego ver ¿qué parte del sistema real la origina? para finalmente ver ¿qué otras partes la afectan?

Ejemplo 1 – CPU tiempo compartidoEl computador sirve a cada usuario por turnos. Cuando un usuario tiene su turno, transmite sus datos al CPU y espera una respuesta. Cuando recibe su respuesta, empieza a preparar los datos para la próxima entrega. El interés del modelo es estudiar qué tan rápido un usuario completa el desarrollo de su programa.

Descripción (1)• Componentes

– CPU, USUARIO1, USUARIO2, ..., USUARIO5.

• Variables descriptivas

– Componente CPU tiene • variable QUIEN·AHORA - con rango {1,2,3,4,5}; QUIEN·AHORA = i indica

que USUARIOi está siendo atendido por el CPU.

– USUARIOi (i = 1,2,3,4,5) • variable ESTADO - con rango [0,1]; ESTADO = s indica que un usuario ha

progresado una fracción de tiempo s en completar su programa (cero significa empezando, 1/2 es la mitad, 1 significa que terminó).

Descripción (2)• PARÁMETROS

– ai - con rango [0,1]. Tasa de trabajo que USUARIOi adelanta en cada pasada

• Interacción entre componentes– La CPU sirve a cada usuario por turnos, con una tasa fija. De

este modo, QUIEN·AHORA sigue el ciclo 1,2,3,4,5,1,2,...– Cuando USUARIOi tiene su turno (es decir, cuando

QUIEN·AHORA toma el valor de i), el usuario completa una fracción ai del trabajo que le falta, es decir, si su ESTADO es s, éste se convierte en s + ai(1 - s).

• Supuestos– El tiempo de servicio dado a un usuario se asume fijo. – El progreso del USERi en la terminación de su programa, sigue

una tasa exponencial, determinada por su parámetro individual ai.

Ejemplo 2 - Dinámica de las relaciones Gobierno-pueblo

• En un país hay un gobierno y la gente. • El gobierno es dirigido por un PARTIDO en el poder,

que puede ser LIBERAL o CONSERVADOR, lo que determina la POLITICA interna, siendo ésta PERMISIVA o COERCITIVA.

• La gente reacciona a las acciones del gobierno, y en un momento determinado, estará en un estado de CONTIENDA·CIVIL que puede ser ALTO o BAJO.

• Se quiere analizar diferentes maneras de cómo la gente reacciona a los cambios en las políticas del gobierno, y cómo, en respuesta, el gobierno determina su política en respuesta al comportamiento del pueblo.

Esquema modelo gobierno-pueblo


– GOBIERNO, PUEBLO.


– Componente GOBIERNO • Variable PARTIDO - con rango {CONSERVADOR, LIBERAL}; indica la

tendencia política (ideología) del GOBIERNO.

• Variable POLITICA - con rango {PERMISIVA, COERCITIVA}; indica el tipo de política que el GOBIERNO está siguiendo.

– Componente PUEBLO – Variable CONTIENDA·CIVIL - con rango {BAJA, ALTA}; indica el estado

general de malestar del PUEBLO.

Descripción (2)• Interacción entre componentes

– Una política gubernamental COERCITIVA es invariablemente seguida en el siguiente año por un ALTO grado de CONTIENDA·CIVIL.

– Por el contrario, un gobierno PERMISIVO siempre es capaz de producir y/o mantener un BAJO nivel de malestar civil durante un año.

– Un PARTIDO permanece en el poder tanto como la CONTIENDA·CIVIL sea BAJA, siendo reemplazado al término de un año si el malestar se vuelve ALTO.

– Una vez en el poder, un gobierno CONSERVADOR nunca cambia su POLITICA, ni tampoco cambia la POLITICA de su predecesor cuando recién asume el poder.

– Un gobierno LIBERAL reacciona a un ALTO grado de CONTIENDA·CIVIL mediante una legislación PERMISIVA, pero un año después de que la quietud ha regresado, invariablemente toma una actitud COERCITIVA.

Ejemplo 3 - Sistema CiudadEl siguiente ejemplo modela la interacción entre la industria, la población y la contaminación de una ciudad.

Descripcion (1)• Componentes

– POBLACION, CONTAMINACION, INDUSTRIA.


– Componente POBLACION• Variable DENSIDAD·POBLACION - con rango en los números reales

positivos; DENSIDAD·POBLACION = x indica que actualmente hay x personas por metro cuadrado habitando la ciudad o país.

– Componente CONTAMINACION• Variable NIVEL·CONTAMINACION - con rango en los números reales

positivos; NIVEL·CONTAMINACION = y indica que el actual nivel de contaminación del ambiente es y unidades de alguna escala no especificada.

– Componente INDUSTRIA• Variable CAPITAL·INDUSTRIAL - con rango en los números reales positivos;

CAPITAL·INDUSTRIAL = z indica que el mundo industrial total está actualmente valorado en z dólares.


– La tasa de crecimiento de DENSIDAD·POBLACION se incrementa linealmente con el incremento en DENSIDAD·POBLACION y CAPITAL·INDUSTRIAL. Ésta decrece linealmente con el incremento en NIVEL·CONTAMINACION.

– La tasa de crecimiento del NIVEL·CONTAMINACION se incrementa linealmente con el incremento en DENSIDAD·POBLACION y CAPITAL·INDUSTRIAL.

– La tasa de crecimiento de CAPITAL·INDUSTRIAL se incrementa linealmente con el incremento del CAPITAL·INDUSTRIAL y se decrementa linealmente con el incremento del NIVEL·CONTAMINACION.

Ejemplo 4 - Transporte de pasajeros

• Este ejemplo modela el transporte en bus de pasajeros entre dos estaciones.

• Los pasajeros pueden abordar el bus en cualquier estación y permanecer en el bus tantas paradas como deseen, ya que en el modelo real, actualmente no se tiene control sobre el tiquete de los pasajeros una vez que ellos entran en el bus.

• La compañía de buses está interesada en invertir en personal o equipo para resolver este problema, y debido a esto ha iniciado la construcción del modelo.


– PUERTA·ENTRADA·1, PUERTA·ENTRADA·2, ESTACION·1, ESTACION·2, BUS.


– Componente PUERTA·ENTRADA·i (i = 1, 2)• Variable #·LLEGANDO·i - con rango en los enteros positivos;

#·LLEGANDO·i= Xi indica que Xi personas están entrando a la estación en este momento.

– Componente ESTACION·i (i = 1, 2)• Variable #·ESPERANDO·i - con rango en los enteros positivos;

#·ESPERANDO·i = Qi indica que Qi personas están actualmente esperando en ESTACION·i por el BUS.

Descripción (2)– Componente BUS

• Variable #·EN·BUS - con rango en los enteros positivos; #·EN·BUS = Qb indica que hay Qb pasajeros actualmente en el BUS.

• Variable TIEMPO·DE·VIAJE - variable aleatoria con rango en los reales positivos. TIEMPO·DE·VIAJE = s significa que el BUS toma s unidades de tiempo para ir de la estación actual a la siguiente.

• Variable PASAJEROS·QUE·BAJAN - variable aleatoria con rango en los enteros positivos; PASAJEROS·QUE·BAJAN = n significa que n pasajeros dejarán el BUS en la estación.

• Parametros– CAPACIDAD - con rango en los enteros positivos; especifica el máximo

número de pasajeros que el BUS puede transportar.– Pi (i = 1, 2) - probabilidad de que un pasajero abandone el BUS en la

ESTACION·i.– MEDIA (SIGMA) - con rango en los reales positivos; promedio y

desviación estándar de TIEMPO·DE·VIAJE entre estaciones. – K.on (K.off) - con rango en los reales positivos; El tiempo que le toma a

cada pasajero entrar (bajar) del BUS.


– El BUS viaja de ESTACION·i a ESTACION·j. El tiempo de llegada a la ESTACION·j es determinado por muestras de TIEMPO·DE·VIAJE (normalmente distribuido, con parámetros MEDIA y SIGMA).

– Al llegar a la ESTACION·j el BUS:• (a) Deja a los pasajeros que desean bajarse (este número es

una muestra de PASAJEROS·QUE·BAJAN)• (b) Recoge pasajeros en la ESTACION·j hasta que la

ESTACION·j esté vacía (#·ESPERANDO·j = 0) o el BUS esté lleno (#·EN·BUS = CAPACIDAD).

Categorías de modelos• Clasificación según el tiempo de ocurrencia de los eventos

– continuo si el tiempo es especificado como un flujo continuo. – discreto el tiempo transcurre a saltos. Los ejemplos

• Clasificación según rango de las variables descriptivas del modelo. – estado discreto si las variables sólo pueden contener un conjunto

discreto de valores. – estado continuo si el conjunto de valores puede ser representado por

un número real o intervalos de ellos. – mixto si el modelo contiene variables de rango continuo y discreto,

Clasificación (2)

– Los modelos de tiempo continuo pueden ser divididos a su vez en • Modelos de ecuaciones diferenciales son modelo de tiempo

continuo y estados continuos, en el cual los cambios de estado son continuos, por lo que las derivadas con respecto al tiempo son controladas por ecuaciones diferenciales.

• Modelos de eventos discretos, aunque en el sistema real el tiempo

transcurra de forma continua, los cambios de estado ocurren como saltos discontinuos. Los saltos son gatillados por eventos y éstos ocurren en forma arbitraria, separados unos de otros, por lo que un número finito de eventos puede ocurrir en un lapso de tiempo finito.

Clasificación (3)• Clasificación según si incorporan variables de tipo aleatorio en la

descripción del modelo. – En un modelo determinísticos no aparecen estas variables, – En un modelo estocástico o probabilístico hay al menos una variable cuyo

valor se calcula de forma aleatoria.

• Clasificación según la manera en que el sistema real interactúa con su entorno. – Si el sistema real está aislado del entorno, entonces se dice que es

autónomo. – Si recibe influencias del entorno, se dice que es no autónomo o

dependiente del medio. En este caso el modelo tiene variables de entrada (INPUT) las cuales no son controladas por el modelo, pero tiene que responder a ellas.

Especificación formal de modelos

• La especificación formal debe dar instrucciones claras para la ejecución del modelo (simulación)

• Un concepto fundamental el de “estado del modelo”

• Un estado de un modelo es descrito por el valor que tienen en cierto momento las variables de estado

Variables de Estado• Los componentes de un modelo son descritos por un

conjunto de variables descriptivas. • Las reglas que especifican la interacción entre

componentes, determinan la manera en la cual estas variables descriptivas cambian con el tiempo.

• Para que una computadora sea capaz de simular el modelo, debe "conocer" estas reglas de interacción.

• En muchos modelos es posible designar un pequeño subconjunto de todas las variables descriptivas de tal forma que es suficiente conocer el valor actual de este subconjunto de variables para calcular los valores futuros de todas las variables descriptivas.

• A este subconjunto de variables las llamaremos "variables de estado".

Descripción formal de Variables de Estado

• Considere un modelo con las variables descriptivas a1, a2, a3, ..., an.

• Decimos que los valores de estas variables son y1, y2, y3, ..., yn en un instante de tiempo t, si a1 toma el valor y1, a2 toma el valor y2, ..., an toma el valor yn en el instante t.

• Se considera un modelo "bien definido" si las reglas de interacción entre componentes determinan, para cada instante futuro t' (t' > t), un único conjunto de valores y'1, y'2, y'3, ..., y'n dados los valores y1, y2, y3, ..., yn en el instante t.

• De este modo, dados los valores y1, y2, ..., yn en un tiempo t, el computador puede calcular los valores y'1, y'2, ..., y'n para cualquier tiempo t' (con t' > t).

Ejemplo : Un supermercado simplificadoLos clientes que entran a un supermercado tienen nombres sacados del conjunto {a, b, ..., z}. Un cliente que entra, pasa al AREA·COMPRAS, donde selecciona sus adquisiciones. Cuando termina se va a la caja, donde espera en COLA. Después de pagar al cajero, el cliente se va por la SALIDA.

Observemos que una cola en la caja puede representarse como x1, x2, ..., xn, con xi {a, b, c, ..., z}. Es decir, una cola específica es un elemento de {a, b, c, ..., z}*.

Descripción COMPONENTES: ENTRADA, AREA-COMPRAS, CAJA, SALIDA

VARIABLES DESCRIPTIVAS:ENTRADA

HOLA - con rango {0,a,b,c,..., z}; HOLA = 0 significa que no hay clientes en la entrada. HOLA = x significa que el cliente x está en la ENTRADA.

AREA-COMPRAST-COMPRAS - con rango en los reales positivos; una variable aleatoria que indica el tiempo que demora un cliente en hacer sus adquisiciones en el AREA-COMPRAS

LISTA-CLIENTES - con rango ({a,b,...,z} x R+)*. (x1, 1), (x2, 2), ..., (xn, n) significa que el cliente xi saldrá del AREA·COMPRAS en i unidades de tiempo a partir de ahora.

CAJACOLA - con rango {a, b, c, ..., z}*. COLA = x1, x2, ..., xn indica que x1 está primero en la cola, x2 es segundo, etc.

T·SERVICIO - con rango R+. Variable aleatoria que da el tiempo en el que será procesado el cliente que está primero en la cola.

SERVICIO·RESTANTE - con rango R+. SERVICIO·RESTANTE = s significa que el cliente que está siendo atendido, dejará la CAJA en s unidades de tiempo a partir de ahora.

OCUPADO - con rango {SI, NO}; indica si la CAJA está atendiendo o no un cliente.

SALIDACHAO - con rango {0, a, b, c, ..., z}; CHAO = 0 indica que no hay clientes en la salida. CHAO = x significa que el cliente x está saliendo.

Variables Descriptivas

INTERACCION ENTRE COMPONENTES1. Cuando un cliente x llega a la ENTRADA en t, su presencia es indicada

por HOLA = x. Entra al área de compras (HOLA se pone en 0) y después de muestrear T·COMPRAS, obtiene un tiempo de adquisiciones . Por tanto, (x, ) es puesto en la lista LISTA·CLIENTES.

2. A medida que el reloj avanza, (x, ) se decrementa hasta (x, 0). En ese instante, el cliente x deja el AREA·COMPRAS, y se pone al final de la COLA en la caja. A medida que los clientes son procesados, avanzan hacia el frente de la COLA. Cuando es el primero, se muestrea T·SERVICIO para obtener un tiempo y se asigna a SERVICIO·RESTANTE.

3. El cliente x espera en la cabeza de la COLA hasta que SERVICIO·RESTANTE se hace 0. En ese momento se va de la CAJA (y del supermercado). Su paso por la SALIDA (que toma tiempo 0) se señala por CHAO = x.

Esquema de un clienteEsquema de un cliente

Esquema en un instante tEsquema en un instante tEjemplo: En un instante dado t, la situación puede ser la siguiente

Esquema en un instante t+8Esquema en un instante t+8En el instante t + 8 la situación podría ser la siguiente (por ejemplo):

Instantes de OcurrenciaEl ejemplo anterior clarifica las ideas de simulación de eventos discretos. En lugar de avanzar el tiempo del modelo como t, t+1, t+2, ..., si en un momento determinado el tiempo del modelo es t, podemos avanzar el tiempo al próximo instante de ocurrencia.

Supongamos, para empezar, que no hay llegada de clientes (un modelo autónomo). Esto puede ocurrir cuando el supermercado ha cerrado la ENTRADA. Entonces, sea t el instante actual, t' el próximo instante de ocurrencia.

t' = t + min {1, 2, ..., n, }

Es decir, t' será el instante actual más el mínimo de los tiempos que quedan para que se produzca un evento. Los 1, 2, ..., n y son relojes decrecientes (timers): cuando su valor se hace 0, ocurre un evento.

Ejercicio en Clases

• Grupos de trabajo tradicionales• Trabajar hasta el break• Hacer la especificación informal del modelo:– Componentes– Variables– Parámetros– Especificación informal de las interacciones

Temas – 1 Puerto

• Se quiere simular un puerto para saber cuantos espigones construir

• Los barcos llegan a puerto y si hay un espigón libre se colocan ahí y comienzan a ser atendido

• Si no, anclan en un área de espera hasta que se desocupe uno

Temas – 2 Sistema Ecológico

• En un parque nacional hay zorros, conejos y zanahorias• Los zorros se comen a los conejos a razón de x conejos

por día por zorro, por lo que si faltan conejos disminuye la población de zorros

• Los conejos comen zanahorias a razón de y zanahorias por día por conejo, por lo que si faltan disminuye la población de conejos

• Las zanahorias se reproducen a razón de un z% por cada día

• Se requiere simular para ver si es necesario “controlar” la población de zorros o conejos del parque

Tema 3- Marcos de aluminio• Una empresa subsidiaria fabrica lingotes de aluminio• Los lingotes se compran y se almacenan, un pedido toma 2 semanas

en llegar• Del almacenamiento pasan a la línea de producción del tipo de

marco que se necesite (dependiendo de la demanda en el mercado) la producción toma 1 semana

• Luego se vende, pero con “compromiso” de palabra del cliente de reciclar (devolver a la fabrica) los productos cuando sean descartados. Los productos tienen una vida media de 5 años. Se sabe que solo una fracción de ellos son reciclados

• Se quiere simular la situación para ver cómo programar las compras de lingotes dependiendo de la demanda y la porción de productos descartados que realmente se recicle

Tema 4- Alumnos en la facultad• Los alumnos entran a primer año a razón de x por

año• Del primer año, el a1% de los alumnos pasa a

segundo, el b1% abandona y el c1% se queda repitiendo

• Del i-esimo año, el ai% de los alumnos pasa a segundo, el bi% abandona y el ci% se queda repitiendo, la carrera dura 5 años

• Se quiere saber cuantos alumnos hay por año para planificar las salas que se necesitan

Simulación de Sistemas dinámicos

• Evolucionan a través del tiempo • Las variables de estado en un instante de

tiempo t van a influenciar los valores en el instante t+Δt

• Muchos sistemas de la naturaleza se pueden modelar con sistemas dinámicos

• Ej. El sistema de una ciudad: ¿ otros ?

Elementos de Modelado de sistemas dinámicos: stocks y flujos

• Stocks y flujos son los elementos básicos para el modelado de sistemas dinámicos

• Los stocks pueden ser cuantificados o infinitos • En los flujos representamos cuánto de un stock va a otro• Stocks finitos se representan como cuadrados, los infinitos por rombos• Las flechas conectoras gruesas representan la dirección del flujo de

magnitudes. Las flechas delgadas representan flujo de información. • Ejemplo: modelado de un stock de dinero que crece al aplicarle interés

Stock infinito(dinero del banco)

Elemento de flujo(regula el flujo)

Stock cuantificado(nos interesa este número)

También el aumento de población se puede modelar en forma parecida

• Cuando esto sucede se dice que los modelos tienen la misma estructura y tiene el mismo patrón de comportamiento cuando son simulados a través del tiempo.

• Aunque en este caso también debería incluirse los fallecimientos

Refinamiento del Modelo• Podemos incluir distintos grupos etarios

• ¿Hay error de modelamiento aquí ?

¿ Cómo comenzamos a modelar ?• Por los stocks: son las variables claves del modelo• Representan lugares donde hay acumulación o almacenamiento

• Otra manera de pensar en ellos: ¿qué variables del modelo conservan sus valores si los flujos se vuelven cero ?

Sumar stocks y verificar unidades• Es importante que seamos coherentes con las

variables del modelo• Especialmente importante es la variable tiempo de un

paso en la simulación • Esta debe mantenerse a lo largo del modelo

La Tasas• Representan la tasa a la que fluye un flujo• Muchas veces son los parámetros del modelo• Estos se modifican de una simulación a otra para ver

“Qué pasa si…”• Permiten una mejor “visión” del modelo

Un estanque que se vacía • El nivel depende de la velocidad de vaciamiento

– Nivel(t+1) = nivel(t) – velocidad(t)

• La velocidad depende del nivel– Velocidad(t) = nivel(t)*k

Un cuerpo sometido a roce dinámico• La posicion depende de la velocidad

– X(t+1) = x(t) + vel(t)

• La velocidad se reduce en un cierto porcentaje k dependiendo de la velocidad que lleva en ese momento – V(t+1) = v(t)*k

Agreguemos mayor detalle a la fabricación

• Productos descartados = Productos en Uso */Vida media de los productos (% de productos descartados en el lapso de tiempo)

• Producción = Lingotes en fabrica/Tiempo de fabricación • Transporte = Lingotes en inventario/Tiempo en inventario

El Reciclado• Los productos descartados son el potencial reciclado• De estos, una fracción (0.25) se recicla el resto se

descarta definitivamente

Población• Averiguar tasas de natalidad y mortalidad de Chile y ver

cuantos años para llegar a los 20 millones a las actuales tasas (distribuir tasa de mortalidad entre los diferentes grupos)

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