COURS 6 – OPTIMISATION ET DECISION … · Programmation lineaire multiobjectif´ Applications...

COURS 6 – OPTIMISATION ET DECISION

MULTICRITERE

Master IAD – DMDC – PATRICE PERNY

LIP6 – Universite Paris 6

Programmation lineaire multiobjectifApplications

PLAN

1 Programmation lineaire multiobjectif (PLMO)Goal programmingUtilisation de normes de Tchebycheff en PLMO

2 Applications :Exercice et mise en oeuvre (illustration sous Excel)Un cas d’etude

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Le Goal ProgrammingUtilisation de normes de Tchebycheff en PLMO

I) Le goal programming

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UN PROBLEME DE MEDIA PLANNING

Campagne de publicite qui cible les populations suivantes :

• H. rev sup (HRS) • H. rev mod (HRM) • F. rev sup (FRS)

On envisage de diffuser la pub ds 2 types de programmes TV :

• Foot • Melo

Les impacts (millions/h) et les couts (millions $/h) sont lessuivants :

HRS HRM FRS Coutsfoot 7 10 5 100melo 3 5 4 60

Maximiser l’impact pour un budget maxi de 600 millions $

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PREMIERE MODELISATION

VARIABLES DE DECISION :

x : tps diff foot (h)y : tps diff melo (h)

max 7 x + 3 ymax 10 x + 5 ymax 5 x + 4 y

s.c 100 x + 60 y ≤ 600

x ≥ 0 y ≥ 0

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AUTRE APPROCHE : SPECIFICATION DE BUTS

On cible les objectifs suivants :

au moins b1 millions de HRSau moins b2 millions de HRMau moins b3 millions de FRS

7x + 3y ≥ b1

10x + 5y ≥ b2

5x + 4y ≥ b3

100x + 60y ≤ 600

x ≥ 0 y ≥ 0

min 100x + 60y

s.c 7x + 3y ≥ b1

10x + 5y ≥ b2

5x + 4y ≥ b3

x ≥ 0 y ≥ 0

Mais il n’y a pas necessairement de solution !Ex : (3,4) si (b1 = 30, b2 = 50, b3 = 30),mais pas de sol. si : (b1 = 40, b2 = 60, b3 = 35)

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DEUXIEME MODELISATION

Si pas de sol. avec la 1ere mod. (obj. trop ambtieux)Introduction de variables d’ecart + penalisations

ei ecart au but bi

pi penalite unitaire qd le but bi est manque

min p1e1 + p2e2 + p3e3

7x + 3y + e1 = b110x + 5y + e2 = b2

5x + 4y + e3 = b3100x + 60y ≤ 600

x ≥ 0 y ≥ 0 e1 ≥ 0 e2 ≥ 0 e3 ≥ 0

C’est une formulation de type Goal programming.7 / 36



CAS GENERAL

Soit x = (x1, . . . , xn) vect. var. decisionSoit un critere lineaire fi(x) =

∑nj=1 aijxj

En pratique on peut rencontrer different types de buts :

1 – Buts de type borne inf

n∑j=1

aijxj ≥ bi

ajouter variable ei ≥ 0contrainte →

∑nj=1 aijxj + ei ≥ bi

ajouter un terme piei a l’objectif (pi > 0 si min)

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2 – Buts de type borne sup

n∑j=1

aijxj ≤ bi

ajouter variable ei ≥ 0contrainte →

∑nj=1 aijxj − ei ≤ bi

ajouter un terme piei a l’objectif (pi > 0 si min)

3 – Buts exactsn∑

j=1

aijxj = bi

ajouter deux variables e+i et e−i ≥ 0

contrainte →∑n

j=1 aijxj − e+i + e−i = bi

ajouter un terme p+i e+

i + p−i e−i a l’objectif

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INTERPRETATION DES VARIABLES e+i ET e−i

Dans le cas de deux variables e+i et e−i , l’ecart ei = e+

i − e−irepresente l’ecart a la contrainte.

ei peut toujours s’ecrire comme diff. de 2 var ≥ 0

e+i =

|ei |+ ei

2e−i =

|ei | − ei

2EXEMPLES : 2 = 2− 0 − 2 = 0− 2

si e−i = 0 alors e+i = fi(x)− bi ecart au dessus du but

si e+i = 0 alors e−i = bi − fi(x) ecart en deca du but

Objectif : Min∑n

i=1 p+i e+

i +∑n

i=1 p−i e−i

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GOAL PROGRAMMING PREEMPTIF

Supposons que l’on ait des priorites sur les objectifs :dans l’exemple HRS >> HRM >> FRS

On va faire une agregation lexicographique des criteres

1 on optimise le premier objectif (seul coeff non nul p−1 = 1)2 si e−1 > 0 a l’optimum STOP (solution optimale)

sinon on ajoute la contrainte e−1 = 0 et on minimise lesecond objectif (seul coeff non nul p−2 = 1)

3 si e−2 > 0 a l’optimum STOP (solution optimale)sinon on ajoute la contrainte e−2 = 0 et on minimise letroisieme objectif (seul coeff non nul p−3 = 1)...

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APPLICATION NUMERIQUE

1 resolution d’un PL sous Excel2 probleme du MP (modelisation monocritere)3 probleme du MP (variable d’ecart)

tester avec pi egauxtester avec pi differentescas lexicographique

4 probleme du MP (variable d’ecarts decomposees)

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II) Utilisation de normes de Tchebycheff en PLMO

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PROBLEME STANDARD (1)

min ct1x

min ct2x

. . .

min ctnx

s.c. Ax ≥ b, x ≥ 0

A matrice (m, n), x , b ∈ Rn, ci ∈ Rn

Ens. des alternatives : polyhedre convexeCriteres : fi(x) = ct

i .x

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REFORMULATION DU PROBLEME STANDARD 1

min maxi=1,...,n

{ct

i x − y0i

yNi − y0

i

}+ ε

n∑i=1

cti x − y0

i

yNi − y0

i

s.c. Ax ≥ b, x ≥ 0

Ens. des alternatives : polyhedre convexe Ax ≥ bCritere : Tchebycheff pondere augmente (non-lineaire)

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Introduction d’une variable auxiliaire :

min z

s.c. z ≥ct

i x − y0i

yNi − y0

i+ ε

n∑i=1

cti x − y0

i

yNi − y0

i

Ax ≥ b, x ≥ 0

Ens. des alternatives : polyhedre convexe (contraintes lineaires)Critere : lineaire

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PROBLEME STANDARD 2

max ct1x

max ct2x

. . .

max ctnx

s.c. Ax ≤ b, x ≥ 0

A matrice (m, n), x , b ∈ Rn, ci ∈ Rn

Ens. des alternatives : polyhedre convexe Ax ≤ bCriteres : fi(x) = ct

i .x

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min maxi=1,...,n

{y0

i − cti x

y0i − yN

i

}+ ε

n∑i=1

y0i − ct

i xy0

i − yNi

s.c. Ax ≤ b, x ≥ 0

Ens. des alternatives : polyhedre convexe Ax ≤ bCritere : Tchebycheff pondere augmente (non-lineaire)

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Introduction d’une variable auxiliaire :

min z

s.c. z ≥y0

i − cti x

y0i − yN

i+ ε

n∑i=1

y0i − ct

i xy0

i − yNi

Ax ≤ b, x ≥ 0

Ens. des alternatives : polyhedre convexe (contraintes lineaires)Critere : lineaire

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Exercice et mise en oeuvreUn cas d’etude

III) Mise en oeuvre

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EXERCICE ET MISE EN OEUVRE

resolution graphique d’un PL multicritere (exercice)resolution d’un PL multicritere sous Excel

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EXERCICE (EXTRAIT DE L’EXAMEN DMDC 2005)

On considere le probleme d’optimisation multicritere suivant :

max x + y

min 2y − x

s.c

3x + 2y ≥ 6x − 2y ≤ 22x − y ≤ 103x − 10y ≥ −70

x ≥ 0, y ≥ 0

1. Representer graphiquement le polyhedre X des solutionsrealisables dans l’espace des variables (x , y) (on prendra soinde determiner les coordonnees des sommets de X ).

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QUESTIONS 2-3

2. Dans un premier temps, on envisage d’optimiser unecombinaison lineaire des deux fonctions objectifs avec lescoefficients λ et 1− λ respectivement. Discuter la solutionoptimale en fonction de λ (on utilisera une resolutiongraphique). Selon vous, la solution obtenue pour λ = 0.5 estelle un bon compromis entre les criteres ?

3. Calculer l’image de chaque sommet du polyedre X dansl’espace des criteres puis representer graphiquement l’imagede X dans l’espace des criteres et l’ensemble des solutionsnon-dominees.

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QUESTIONS 4-5

4. Determiner les coordonnees du point ideal I et du point nadirN dans l’espace des criteres (attention un critere est amaximiser et l’autre a minimiser).

5. En vous basant sur les points I et N, determiner(graphiquement) le meilleur compromis realisable (au sensd’une norme de Tchebycheff ponderee et augmentee) entre lescriteres et precisez ses coordonnees (x0, y0) dans l’espace dessolutions.

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QUESTIONS 6-7

6. Dans l’hypothese ou la solution (x0, y0) ne satisferait pas ledecideur sur le premier critere, montrer comment integrer cettenouvelle information dans la recherche d’une nouvelle solutionet determiner le point (x1, y1) obtenu comme nouveau meilleurcompromis.

7. Dans l’hypothese ou la solution (x0, y0) ne satisferait pas ledecideur sur le second critere, montrer comment integrer cettenouvelle information dans la recherche d’une nouvelle solutionet determiner le point (x2, y2) obtenu comme nouveau meilleurcompromis.

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IV) Un cas d’etude

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SELECTION DE CONTREMESURES POUR LE TRAITEMENT

D’ALIMENTS CONTAMINES

Etude Institut de Protection et de Surete Nucleaire (IPSN).

3 zones area 1, area 2, area 33 type d’aliments contamines (Milk, Meat, Vegetables)

Foodstuffs Area 1 Area 2 Area 3Milk 6.85 31.5 145.2Meat 350 1750 4250Vegetables 22.5 75 150

TAB.: Contaminated quantities (in tons)

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CONTREMESURES ELEMENTAIRES

Foodstuffs CountermeasuresName Description

Milk None No ActionDecont. Decontamination by addition of a preservativeButter Transformation to butter

Meat None No ActionDecont. Decontamination by treating animals’ feed

Vegetables None No ActionDestr. DestructionPreserv. Preservation until radioactive decay

TAB.: Elementary countermeasures

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EFFICACITE DES CONTREMESURES ELEMENTAIRES (1)

AREA 1

Foodstuffs Counter- Averted dosemeasures Infant Child Adult

Milk None 0 0 0Decont. 0 400 11Butter 0 630 36

Meat None 0 0 0Decont. 0.1 30 39

Vegetables None 0 0 0Destr. 0 80 6Preserv. 0 40 1

TAB.: Averted collective doses in Area 1 (ManSv)

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AREA 2



Meat None 0 0 0Decont. 0.1 20 48



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AREA 3



Meat None 0 0 0Decont. 0 10 8



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SPECIFICITES DU PROBLEME

Un strategie est une combinaison de strategieselementaires dans chacune des zones pour chaque typed’alimentL’ensemble des alternatives est continu et definiimplicitement par les contraintes materiellesplusieurs criteres sont a prendre en compte (cout, impactsur les differents type de population, acceptabilite descontremesures)

Le modele : PLMO

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MODELISATION DU PROBLEME

Variables de decisionxijk : quantite de produit i traitee par la contremesure jdans la zone k (en tonnes).

Donnees

dijklm : reduction de dose par unite de population l (infants,children, adults), dans la zone m, consecutive autraitement du produit i par la contremesure j dans la zonek (expressed in ManSv/t).cijk : cout de traitement par unite de produit i traite par lacontremesure j dans la zone k (Euros/t).

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CONSTRUCTION DES CRITERES

Min le cout de traitement global :

min z1 =X

i

Xj

Xk

cijk xijk

Max la reduction de dose pour la population l :

max zl =X

i

Xj

Xk

Xm

dijklm

!xijk (l = 2, 3, 4)

avec l = 2 nourrissons, l = 3 enfants, l = 4 adultes.

Max l’acceptabilite moyenne des contremesures :

max z5 =

Pi

Pj

Pk aijk xijkP

i

Pj

Pk xijk

CommeP

i

Pj

Pk xijk est une constante on peut l’oublier.

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CONTRAINTES DURES

constraintes de coherencepour le produit i et la zone k , la quantite traitee ne depassepas la quantite totale contaminee∑

j

xijk ≤ qik ∀i ,∀k

capacite totale de traitement par contremesure j∑i

∑k

xijk ≤ pj ∀j

constraintes de non-negativite

xijk ≥ 0 ∀i ,∀j ,∀k

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CONTRAINTES SOUPLES

contraintes sur les valeurs des criteres :

cout maximal acceptablereduction minimale de doses...

contraintes sur les variables de decision :

quantites minimales a traiterrepartition des interventions...

Mise en oeuvre avec le solveur EXCEL

min s(z, z) = maxr=1,...,5

{λr (zr − zr )} − ε

5∑r=1

λr zr

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