Mécanique du contact - frottement - usure

I - Introduction

II - Contact ponctuel

III - Eléments de la théorie de Hertz -1881: Contact ponctuel et linéique

II.1 Cinématique du contact ponctuelII.2 Efforts transmis au contact - loi de CoulombII.3 Conclusion : critères de dimensionnement

III.1 Hypothèses

IV - Contact surfacique : Surface de contact? Modélisation de la répartition de pression ?

V – Frottement, usure, lubrification : Notions de tribologie, Mécanismes et conséquences

III.1 HypothèsesIII.2 Modélisation des déformations, zone de contactIII.3 Répartition de pressionIII.4 Contact sphérique : géométrie du contact, pression, critère de dimensionnement

III.5 Contact linéique : géométrie du contact, pression, critère de dimensionnement

III.6 Tableau récapitulatifIII.7 Quelques applications

I - Introduction

Exemple 1: liaison pivot (articulation) Exemple 2 : frein à disque

Pb: Quelles dimensions donner à l'articulation?Quels matériaux choisir?...

Pb: Quelles dimensions donner aux surfaces de freinage?Quels matériaux choisir?Quelle est la force nécessaireau freinage?...

Exemple 3: liaison pivot par éléments roulants

Pb: Quelle est la rigidité de la liaison ainsi réalisée?Est-ce une liaison pivot ou une pivot glissant? Quelles sont les conséquences sur la durée de vie de la liaison?...

II - Contact ponctuel

II.1 Cinématique du contact ponctuel

Mouvement relatif de S1 par rapport à S2

et rΩ 1 2/

r

VM 1 2/

M : point de contact entre S1 et S2

π : plan tangent au contact : normale au contact

rn

S1rΩ 1 2/

rn

M

π

S2

r

VM 1 2/

V

V

VM

x

y

z

x

y

M

xyz

xyz

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0/

/

/

/

/

/:

ΩΩΩ

Condition nécessaire au maintien du contact

ry

rz

rx

r

VM 1 2/ : Vitesse de glissement en M de S1 / S2Contenue dans le plan tangent

: Taux de rotation de S1 / S2rΩ 1 2/

r r rΩ Ω Ω1 2 1 2 1 2/ / /= +P R

Mπ

S1rΩ 1 2/

rn

rΩ 1 2/P

rx

1 2 1 2 1 2/ / /

Projection suivant Taux de rotationde pivotement

(Spin)

rn Projection sur

Taux de rotationde roulement

π

M

S2

r

VM 1 2/rΩ 1 2/R

ry

rz

x

Mπ

S1

r

V

rΩ 1 2/

rn

rΩ 1 2/P

r r r r r rΩ Ω1 2 1 2 1 2/ / /

,P RM

o o et V o≠ ≠ ≠

Conclusion:

Si

S1pivote, roule et glissepar rapport à S2

r r r r r rΩ Ω1 2 1 2 1 2/ / /

,P RM

o o et V o≠ ≠ = Si

S1pivote et roule sans glisser

rx

S2

r

VM 1 2/rΩ 1 2/R

S1pivote et roule sans glisser par rapport à S2

r r r r r rΩ Ω1 2 1 2 1 2/ / /

,P RM

o o et V o= ≠ = Si

S1roule sans glisser et sans pivoterpar rapport à S2

etc...

ry

rz

II.2 Efforts transmis au contact de S2 sur S1

Hypothèses: Pas de frottement Solides indéformables

F

NMxyz

Mxyz

2 1

2 1

0

0

0

0

0

→

:

/M

S1

rn

rx Mxyz

2 1 /

Mais en réalité

• Les solides sont déformableszone de contact...

• Il y a du frottement

π

S2N 2 1/r

y

rz

x

Cas réel : frottement et solides déformables

Zone de contact S

F2→1 Mxyz:

Tx2/ 1

Ty2 /1

N2 /1

Mx2/ 1

M y2/ 1

M z2/ 1

M xyz

avecT t dSx x

S2 1/ = ∫

T t dSy y2 1/ = ∫

rn p

S2

S1

S2

dS

tx

ty

N p dS

S2 1/ = ∫

M y p dSxS

2 1/ = ∫

Mz2 /1 = (ytx + xt y )dS

S∫

T t dSy yS

2 1/ = ∫

M x p dSyS

2 1/ = ∫

p, tx, ty (en N/mm2 )

ry

rz

rx

r

VM 1 2/

S2

rn

rx

rT2 1/

r rV oM 1 2/

≠ rr

rTV

Vf NM

M2 1

1 2

1 22 1/

/

//= −

rT2 1/

r

N 2 1/Tan f( )ϕ =

Loi de Coulomb:

si glissement

S2ry

rz

r rV oM 1 2/

= rT f N2 1 2 1/ /≤

avec f coefficient de frottement entre S1 et S2f ne dépend que des matériaux en contact

T2 1/

si non glissement

II.2 Conclusion:

Deux solides S1 et S2 : géométrie, matériaux ( f , E, ν), ...

Des efforts à transmettre

...

Objectifs de la mécanique du contact

Données :

Résultats :

Quelle est la zone de contact ?

Quelle est la répartition de pression? pmax ?

Quel est lerapprochement global des deux solides?

Quelle est la puissance dissipée au contact ?

...

du contact Résultats :

III - Eléments de la théorie de Hertz -1881

III.1 Hypothèses

Solides massifs

déformations négligeables en dehors de la zone de contact

Déformations élastiques

réversiblesréversibles

Pas de frottement

pas d’effort tangentiel

Pas de mouvement relatif des deux solides r r r rV etM1 2 1 20 0/ /= =Ω

rx

π

S1

rn rnrn

S1

rn

N 1 2/

A'

B'

S1

rn rn

M

rn

π

S1

rn

Avantchargement

A

III.2 Modélisation des déformations, zone de contact

M

Après chargement

rx

rx1

ry r

z

S2

rz

Avant chargement

S2

rz

S2

rz

B'ry

rz

S2

rz

Avant chargement

S2

rz

S2

rz

B

rx

ry

M

ry1

-a

a-b

b

Rapprochement des deux solides: δδδδ

Zone de contact, elliptique,dans π : a , b , φφφφ

A A'B B' δ = −AB A B' '

φ

III.3 Répartition de pression

rx1

rz rz

Avant chargement

rz

rxM

ry

-a

a-b

b

φ

Zone de contact Répartition de pression suivant un ellipsoïde

-a a

-b

pmax

rx1

Mry1r

y

ry1

b

pN

abpi moyenmax

/= =3

2

3

2

1 2

π

III.4 Contact sphérique (φ =0) : géométrie du contact, pression, dimensionnement

Géométrie du contact

( )aR

EN=

3

4

1 3

1 21 3

*

/

//

Rapprochement des deux solides

( )δ =

9

16

11 3

1 22 3

REN

*2

/

//

R1

rx

M

N 1 2/S1 matériauE N mm1

21( / ),υ

S2 matériau

Pression maximale

pN

amax

/=

3

21 22π

R2

rxM

a

ry

-a

a

-a

avecR R R= + −( / / )1 11 2

1

E* =

1− υ1

2

E1

+1− υ2

2

E2

−1

S2 matériau

E N mm22

2( / ),υrz

Critère de dimensionnement

p padmmax <

padm = Pression admissible

par le matériau

acier 200000 0,3 600 à 700

padmN/mm2

EN/mm2

υ

alu 80000 0,35 350

fonte 100000 0,3 500

bronze 130000 0,35 100

téflon 130000 0,35 10

(statique)

121)/1/1( −−= RRR

R2

R1

Remarques:

Concavité inverse

Attention au signe!

III.5 Contact linéique: géométrie du contact, pression, dimensionnement

R1

rx

Mrx

N 1 2/ S1 matériau E N mm1

21( / ),υ Géométrie du contact

a =4R

π E*

1/ 2N1/ 2

l

1 / 2

Rapprochement des deux solides

??? à déterminer expérimentalement

rx

M

a

ry

-a

a-a

R2

rz S2 matériau

ry

rz

R2

l

l

E N mm22

2( / ),υ

Pression maximale

pN

almax

/=

2 1 2

π

Critère de dimensionnement

p padmmax <

Remarque sur le rapprochement des deux solides

Cas d'un roulement à rouleaux : un rouleau chargé

bague intérieure S1

ContactsN 1 2/

rapprochement des solides S1 et S2

( )δ = K N1 20 9

/,

bagueextérieure S2rouleau S3

Contactslinéiques

K coefficient qui dépend de la géométrie et des matériaux

III.6 Tableau récapitulatif des résultats de la théorie de Hertz(extrait de Systèmes mécaniques, Dunod) ki

Eii=

−1 2υπ

III.7 Quelques applications

Problème 1:

On souhaite comparer 4 contacts ponctuels différentsa) contact entre deux sphères de rayon Rb) contact entre une sphère de rayon R et un planc) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique

concave de rayon 4Rd) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique

concave de rayon 4/3 Rconcave de rayon 4/3 R

Les deux solides sont en acier, l'effort presseur est de 1000 N et le rayon R a pour valeur 25 mm.Quel rapport existe-t-il entre les valeurs des différentes pressionsmaximum au niveau du contact?

Problème 2:

On considère une pompe hydrauliquea) Effectuer le schéma cinématique minimal de l'appareilb) Déterminer en fonction de la pression de refoulement P et de

l'angle d'inclinaison γ du plateau, l'expression de l'effort au contact du piston et du plateauc) Calculer la pression maximale au contact. Est-elle admissible ?

Données: P=100 bar, rayon du piston r = 5 mm, rayon de la partie sphérique au contact R=17,5 mm, les matériaux en contact sont en acier (E=200000 MPa et ν=0,3), inclinaison du plateau γ = 18°

IV - Contact surfacique : Modélisation de la répartition de pression?

Surface de contact?

Aspérités

Quelle est la surface réelle de contact ? La surface réelle est différente de la surface théorique

Quelle répartition de pression ?

exemple : Articulation, clavette, frein...

QUEL MODELE CHOISIR ?

a. Pression uniforme b. Pression fonction de la déformation

p M p( ) = =0 constante p M K M( ) ( )= δ α

Critère à respecter Pression conventionnelle de matagep pmatagemax ≤

Pressions conventionnelles de matage utilisées couramment en bureau d’études: