CHAPITRE 03 CORRECTION DES SYSTEMES ECHANTILLONNES … · CHAPITRE 03 CORRECTION DES SYSTEMES...

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Université Ferhat Abbas - Sétif Faculté de Technologie Département d’Electrotechnique

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CHAPITRE 03

CORRECTION DES SYSTEMES ECHANTILLONNES ASSERVIS

1. PRINCIPES GÉNÉRAUX

1.1 Rappel du cahier des charges d’un asservissement

Les systèmes échantillonnés comme les systèmes à temps continu, doivent en général satisfaire à un

cahier des charges qui impose, en boucle fermée, un certain nombre de performances (qui d’ailleurs sont

les mêmes qu’en temps continu) : précision, rapidité, marge de stabilité et limitation du dépassement.

Figure 3.01 Schéma général d’un système échantillonné asservi. Considérons un système constitué d’une chaîne directe et d’une chaîne de retour. La plupart du temps, on ne

choisit ni les lois de fonctionnement des systèmes A(ɀ) et B(ɀ), ni, bien sûr, leurs fonctions de transfert qui, en

général, sont des données imposées par la conception même du système asservi en cours d’élaboration.

1.2 Rôle du correcteur

Si l’on s’en tenait là, nous ne pourrions malheureusement que prédire et constater les performances (ou

les contre-performances) de la boucle d’asservissement sans pouvoir agir sur celles-ci. Il y a peu de

chance, alors, que le cahier des charges soit respecté. L’idée consiste, ici encore, à introduire dans la

chaîne directe, en amont du système A(ɀ), un dispositif supplémentaire de fonction de transfert C(ɀ),

appelé correcteur numérique et dont le rôle essentiel doit consister à modifier les performances du

système initial (figure 3.2).

Cela revient à dire que nous transformons les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle

fermée de manière à imposer à l’ensemble de fonctionner selon le cahier des charges voulu.

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Figure 3.2 Schéma général d’un système échantillonné asservi et corrigé.

Si Gi(ɀ) et H i(ɀ) sont les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée du système

initial et Gc(ɀ) et Hc(ɀ) les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée du système

corrigé, on aura :

012ɀ4 5 62ɀ4B2ɀ4, 712ɀ4 562ɀ4

1 8 62ɀ4B2ɀ4

et 092ɀ4 5 62ɀ4B2ɀ4C2ɀ4, 792ɀ4 562ɀ4C2ɀ4

1 8 62ɀ4B2ɀ4C2ɀ4

Tout l’art de la correction des systèmes échantillonnés consiste à choisir la bonne fonction de transfert

C2ɀ4 pour ce correcteur numérique de manière à régler chaque performance sur sa valeur requise, sans

perturber, bien sûr, le fonctionnement du système.

1.3 Correction numérique d’un système à temps continu

Très souvent, on choisit, pour des questions de souplesse et de précision, de corriger numériquement un

système à temps continu. Le schéma de la boucle d’asservissement correspondante est représenté sur la

figure 3.3. Un bloqueur doit, bien entendu, être intercalé entre le correcteur numérique et le système à

commander.

Dans ce cas, les techniques de recherche d’un équivalent de la boucle d’asservissement étudiées

au chapitre précédent pourront s’appliquer, que ce soit un équivalent à temps continu ou à temps discret.

1.4 Problèmes spécifiques liés aux correcteurs numériques

Dans le cas des systèmes à temps continus, il a été relativement facile d’identifier les trois actions correctives

simples : action proportionnelle, action dérivée et action intégrale.


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Les formes diverses et variées des équations de récurrence des systèmes posent parfois problème

lorsqu’il s’agit de conclure à des résultats généraux.

Certes, on peut toujours présupposer un principe d’équivalence entre les actions correctives élémentaires

en temps continu et la forme correspondante en ɀ :

Action proportionnelle: :2;4 = < ↔ :2ɀ4 = <

Action intégrale: :2;4 = 1; ↔ :2ɀ4 = 11 − ɀ?@

Action dérivée ∶ :2;4 = ; ↔ :2ɀ4 = 1 − ɀ?@

2. TENTATIVES D’ACTIONS CORRECTIVES SIMPLES

2.1 Amélioration de la précision

a) Correcteur à action intégrale

on peut choisir un correcteur de fonction de transfert égale à :

:2ɀ4 = <21 − ɀ?@4B

On choisira n = 1 si le cahier des charges impose uniquement une condition de nullité de l’erreur de

position et n = 2 si l’erreur de vitesse doit être nulle également.

b) Conséquence sur les autres performances

Analysons au travers d’un exemple simple, l’influence de l’introduction d’un intégrateur sur le

comportement global d’un asservissement. Soit un système à temps discret de fonction de transfert en

boucle ouverte 02ɀ4 placé dans une boucle à retour unitaire, avec :

02ɀ4 = 21 − 0,5ɀ?@ = 2ɀɀ − 0,5

Soit, en boucle fermée : H2ɀ4 2ɀ3ɀ − 0,5

Ce qui correspond à l’équation de récurrence : sk = 0,17sk−1 + 0,67ek.

Ce système est stable en boucle fermée puisque l’unique pôle de la fonction de transfert en boucle

fermée est inférieur à 1.

EFGH: ;@ = 0,53 = 0,17 < 1

Considérons les suites d’échantillons d’entrée (échelon unité) et de sortie (tableau 3.01) et

représentons-les graphiquement (figure 3.04).


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Tableau 3.1 SIMULATION DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.

Figure 3.04 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée.

L’erreur de position a pour valeur :

KL 5 limɀ→@

11 8 02ɀ4 5 lim

ɀ→@

1

1 8 2ɀɀ > 0,5

51 > 0,5

1 > 0,5 8 25 0,2 5 20%

Introduisons un intégrateur dans la chaîne directe. On a, à présent :

02ɀ4 5<

1 > ɀ?@ ∙2ɀ

ɀ > 0,55

2ɀP

2ɀ > 0,542ɀ > 14 avec < 5 1 dans un premier temps.

soit, en boucle fermée: 72ɀ4 52ɀP

2ɀ > 0,542ɀ > 14 8 2ɀP 52ɀP

3ɀP > 1,5ɀ 8 0,5

ou encore: 72ɀ4 52

3 > 1,5ɀ?@ 8 0,5ɀ?P

ce qui correspond à l’équation de récurrence :

sk = 0,5sk−1 − 0,17sk−2 + 0,67ek

Les pôles de cette fonction de transfert (les racines de l’équation 3ɀP > 1,5ɀ 8 0,5 5 0) se calculent

aisément et on peut vérifier que leurs modules sont inférieurs à 1. La condition de stabilité est donc

toujours vérifiée.

En effet: ∆5 RP > 4TU 5 21,54P > 6 5 >3,75

;@/P 51,5 V WX3,75

6 ⇒ |;@| 5 |;P| 5 0,41

Toutefois, les modules de ces pôles sont plus proches de 1 que l’unique pôle du système non corrigé (qui

était égal à 0,17). On peut donc en déduire que la marge de stabilité est légèrement diminuée par l’ajout

du correcteur (elle reste néanmoins très confortable).


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Construisons un tableau avec les suites d’échantillons d’entrée (échelon unité) et de sortie (tableau 3.02)

et représentons-les graphiquement (figure 3.05).


On note la présence d’un faible dépassement (environ 6 %) ce qui corrobore la légère perte de marge de

stabilité et une rapidité accrue puisque le temps de montée correspond à l’échantillon k = 1, soit tm = Te.

Figure 3.05 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée après correction

2.2 Compensation de la perte de stabilité par placement des pôles

Reprenons le système que nous venons d’étudier en ajoutant un gain K dans la chaîne directe en plus de

l’intégrateur. On a donc maintenant :

02ɀ4 5<

1 > ɀ?@ ∙2ɀ

ɀ > 0,55

2<ɀP

2ɀ > 0,542ɀ > 14 T[\U < ] 1

soit, en boucle fermée ∶ 72ɀ4 52<ɀP

21 8 2<4ɀP > 1,5ɀ 8 0,5

Cette fois, on a ∶ ∆5 RP > 4TU 5 21,54P221 8 2<4 5 0,25 > 4<

Pour augmenter la marge de stabilité, on doit chercher à réduire le module des pôles. Le discriminant

restant négatif tant que K > 0,0625, nous pouvons partir du principe que les pôles resteront complexes

conjugués :

;@/P 51,5 V WX4< > 0,25

221 8 2<4

soit: |;@| 5 |;P| 5X21,54P 8 4< > 0,25

221 8 2<45

1

X221 8 2<4

Il suffit de choisir une valeur de K qui correspond à une valeur souhaitée pour le module de chaque pôle,

par exemple : |;@| 5 |;P| 5 0,25 ;F^_ < 5 3,5


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On a alors ∶ 72ɀ4 57

8 > 1,5ɀ?@ 8 0,5ɀ?P

ce qui correspond à l’équation de récurrence :

sk = 0,1875sk−1 − 0,0625sk−2 + 0,875ek


On note bien la présence d’un amortissement plus prononcé, ce qui correspond bien à une augmentation

de la marge de stabilité.

Remarque : on peut corriger la stabilité d’un système à l’aide d’un amplificateur de gain K > 1.

Attention, il ne s’agit pas d’un cas général.

Figure 3.06 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée

après correction.

2.3 Action dérivée

Un correcteur numérique à action dérivée possède une fonction de transfert C(ɀ) égale à :

:2ɀ4 5 <21 > ɀ?@4 avec < a 0

Analysons, au travers d’un exemple simple, l’influence d’un tel correcteur. Soit A(ɀ) un système

échantillonné placé dans une boucle de régulation à retour unitaire et précédé d’un correcteur à action

dérivée, avec : 62ɀ4 5 @2ɀ?b,@4

La fonction de transfert en boucle fermée du système non corrigé est :

712ɀ4 562ɀ4

1 8 62ɀ4 51

ɀ 8 0,9

L’unique pôle de cette fonction de transfert est :

;@ 5 >0,9


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Ce pôle possède bien un module inférieur à 1 mais sa valeur est proche de la limite d’instabilité ; le

système est donc stable en boucle fermée mais mériterait sans doute d’être corrigé pour disposer d’une

marge de sécurité plus confortable. L’équation de récurrence en boucle fermée étant :

sk = −0,9sk−1 + ek−1

on peut calculer et représenter graphiquement la suite des échantillons de sortie lorsque l’entrée est un

échelon unité pour constater qu’effectivement, le système est stable, mais peu stable si l’on en croit le

régime oscillatoire très peu amorti. De plus, il est très peu précis.


Figure 3.07 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée avant correction.

En présence du correcteur à action dérivée, on a :

02ɀ4 5 :2ɀ462ɀ4 5<21 > ɀ?@4

2ɀ > 0,145

<2ɀ > 14ɀ2ɀ > 0,14

La fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé est donc :

72ɀ4 502ɀ4

1 8 02ɀ4 5<2ɀ > 14

ɀ2ɀ > 0,14<2ɀ > 145

<2ɀ > 14ɀP 8 2< > 0,14ɀ > <

L’équation de récurrence correspondante est :

sk = (0,1 − K) sk−1 + Ksk−2 + Kek−1 − Kek−2

Calculons les pôles de cette fonction de transfert.

Cette fois, on a ∶ ∆5 RP > 4TU 5 2< > 0,14P 8 4<

Ce discriminant étant toujours positif, on a :

;@/P 5>2< > 0,14 V X2< > 0,14P 8 4<

2


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soit: |;@| 50,1 > < 8 X2< > 0,14P 8 4<

2

et: |;P| 5< > 0,1 8 X2< > 0,14P 8 4<

2

On peut représenter, sur un même graphique, les variations de | p1| et de | p2| en fonction de K (fig. 3.8).

Pour que le système soit stable, il faut que les deux pôles aient un module inférieur à 1.

Figure 3.08 Variations des modules des pôles en fonction du gain K.

On en déduit donc : K < 0,55

Choisissons par exemple K = 0,4 puis calculons et traçons la suite d’échantillons en sortie du système

lorsque celui-ci est soumis à un échelon unité (tableau 3.05 et figure 3.09). Dans ce cas, on a :

sk = −0,3sk−1 + 0,4sk−2 + 0,4ek−1 − 0,4ek−2


Figure 3.09 Représentation temporelle du comportement du système en boucle fermée après correction.

Le système est effectivement plus stable puisqu’il converge vers une valeur finie beaucoup plus vite, ce

qui est conforme au calcul des nouveaux pôles.


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Soit : | p1| = 0,5

et : | p2| = 0,8

Toutefois, ce type de correction est inacceptable puisque l’erreur de position atteint à présent 100 %.

3. SYNTHÈSE D’UN CORRECTEUR NUMÉRIQUE PAR MÉTHODE

POLYNOMIALE

3.1 Principe

Les méthodes polynomiales figurent parmi les méthodes de synthèse de correcteurs numériques les plus

utilisées. Elles sont en effet très souples et relativement simples à mettre en œuvre. Considérons un

système échantillonné de fonction de transfert A(ɀ) placé dans une boucle à retour unitaire en cascade

avec un correcteur C(ɀ) que l’on cherche à déterminer pour conférer au système complet, en boucle

fermée, des performances dictées par un cahier des charges : précision, amortissement, rapidité, marge

de stabilité.

Figure 3.10 Boucle d’asservissement échantillonné avec correcteur.

D’une manière générale, l’objectif de l’action corrective consiste à rechercher C(ɀ) pour que cette boucle

d’asservissement de fonction de transfert en boucle ouverte G(ɀ) possède les caractéristiques attendues.

Figure 3.11 Boucle d’asservissement équivalente.

La technique de la synthèse par méthode polynomiale consiste à corriger le système de sorte que G(ɀ)

corresponde à un système du second ordre, de fonction de transfert :

02ɀ4 5<c1 8 \?PdefghUFijBklX1 > mPn

ɀP > 2ɀ\?defghUFijBklX1 > mP 8 \?Pdefgh

Dans ces conditions, la fonction de transfert en boucle fermée H(z) est aussi une fonction du second

ordre :


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72ɀ4 = <op q1 + \?Pdrsefrsgh − 2\?drsefrsghUFijBopklX1 − mopP tɀP − 2ɀ\?drsefrsghUFijBopklX1 − mopP + \?Pdrsefrsgh

Nous savons que les performances en boucle fermée, pour un tel système, se traduisent par des

conditions sur jBop pour la rapidité et sur mop pour la marge de stabilité et, bien évidemment, pour

l’amortissement.

En effet: Hu ≈ 3j9b

et ∶ mop ≈ ∆w°100

En ce qui concerne la précision, il suffit que G(ɀ) possède un pôle égal à 1 pour que l’erreur de position

soit nulle. Toutes ces considérations nous permettent donc de déterminer les fonctions H(ɀ) et G(ɀ)

idéales, du second ordre, qui possèdent les performances requises. Pour que notre boucle

d’asservissement initiale (figure 3.10) possède elle-même ces performances, il suffit d’avoir :

02ɀ4 = :2ɀ462ɀ4

et donc, de placer dans la chaîne directe, le correcteur de fonction de transfert :

:2ɀ4 = 02ɀ462ɀ4

4.2 Exemple

Considérons le système échantillonné à une période Te =0,2 s de fonction de transfert :

62ɀ4 = ɀ + 0,3ɀ − 0,8

On souhaite placer ce système dans une boucle à retour unitaire et on veut que le système possède, en

boucle fermée, les performances suivantes : KL = 0, tm =0,8s et mop= 0,45 (marge de phase d’un système

continu équivalent égale à 45◦ et dépassement de l’ordre de 20 %). Construisons la fonction G(ɀ) a

priori : elle possède obligatoirement un pôle égal à 1 pour garantir une erreur de position nulle.

on a donc: 02ɀ4 = T2ɀ − 142ɀ − R4

dyoù: 72ɀ4 = T2ɀ − 142ɀ − R4 + T = TɀP − 21 + R4ɀ + T + R

Or nous devons, avoir, pour garantir les performances exigées :


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72ɀ4 = <op q1 + \?Pdrsefrsgh − 2\?drsefrsghUFijBopklX1 − mopP tɀP − 2ɀ\?drsefrsghUFijBopklX1 − mopP + \?Pdrsefrsgh

avec: mop = 0,45 et jBop = 3Hu = 3,75rad/s

dyoù: 72ɀ4 = 0,39<opɀP − 1,12ɀ + 0,51

Identifions les deux fonctions de transfert en boucle fermée :

{1 + R = 1,12T + R = 0,51 ⇒ {R = 0,12

T = 0,39

Le gain statique en boucle fermée est bien sûr égal à 1 puisque l’erreur de position est nulle.

On a alors: 02ɀ4 = 0,392ɀ − 142ɀ − 0,124

dyoù: :2ɀ4 = 02ɀ462ɀ4 = 0,392ɀ − 0,842ɀ − 142ɀ − 0,1242ɀ + 0,34

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