Systemes b
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Transcript of Systemes b
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Caracterisations des signaux et syste`mes
Point de vue denotationnel
Point de vue structurel
Point de vue comportemental
plan denoplan denoplan deno
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Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :
plan structplan structplan struct
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Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :
x : T Dxou` :
plan structplan structplan struct
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Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :
x : T Dxou` :
T est soit le temps continu R soit le temps logique N (Z ?)
plan structplan structplan struct
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Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :
x : T Dxou` :
T est soit le temps continu R soit le temps logique N (Z ?) Dx est le type du signal, R, N , Bool
plan structplan structplan struct
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Point de vue denotationnelUn signal est une application du temps dans un domaine :
x : T Dxou` :
T est soit le temps continu R soit le temps logique N (Z ?) Dx est le type du signal, R, N , Bool
Un syste`me est un transformateur de signaux :
Par exemple
S : (T Dx) (T Dy)
plan structplan structplan struct
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Point de vue structurelSyste`me de premier ordre (deuxie`me ordre, . . .) :
plan compplan compplan comp
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Point de vue structurelSyste`me de premier ordre (deuxie`me ordre, . . .) :
differentiel recurrent, automate, programme objetX(0)
X = F (X,U)
Y = G(X,U)
X(0)
Xn+1 = F (Xn, Un+1)
Yn = G(Xn, Un)
Ordre du syste`me : dimension du vecteur X
remarque : pas intrinse`que
plan compplan compplan comp
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Point de vue structurelSyste`me de premier ordre (deuxie`me ordre, . . .) :
differentiel recurrent, automate, programme objetX(0)
X = F (X,U)
Y = G(X,U)
X(0)
Xn+1 = F (Xn, Un+1)
Yn = G(Xn, Un)
Ordre du syste`me : dimension du vecteur X
remarque : pas intrinse`que
Syste`me detat fini :
Automate, machine detat fini
plan compplan compplan comp
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Point de vue comportemental
plan planplan planplan plan
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Point de vue comportementalSyste`me lineaire :
plan planplan planplan plan
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Point de vue comportementalSyste`me lineaire :
S(x+ y) = S(x) + S(y)
remarques :
Ne concerne que les signaux dont le domaine se pre`te a` la linearite
Quid de linitialisation ?
plan planplan planplan plan
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Point de vue comportementalSyste`me lineaire :
S(x+ y) = S(x) + S(y)
remarques :
Ne concerne que les signaux dont le domaine se pre`te a` la linearite
Quid de linitialisation ?
Syste`me stationnaire :
plan planplan planplan plan
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Point de vue comportementalSyste`me lineaire :
S(x+ y) = S(x) + S(y)
remarques :
Ne concerne que les signaux dont le domaine se pre`te a` la linearite
Quid de linitialisation ?
Syste`me stationnaire :
Qui commute avec un retard :
S(x(t )) = (Sx)(t )
Les syste`mes lineaires stationnaires forment une classe importante historiquement etpratiquement.
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :
Ly(s) = LS(s)Lx(s)
Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :
Ly(s) = LS(s)Lx(s)
Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :
Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :
Ly(s) = LS(s)Lx(s)
Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :
Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :
LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :
Ly(s) = LS(s)Lx(s)
Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :
Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :
LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)Lx1(s) + LS(s)Lx2(s)
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :
Ly(s) = LS(s)Lx(s)
Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :
Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :
LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)Lx1(s) + LS(s)Lx2(s)
Stationnaires : parce que loperateur retard est un produit qui commute :
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsRepresentables en transformee de Laplace :
Ly(s) = LS(s)Lx(s)
Ces syste`mes sont lineaires, stationnaires :
Lineaires : a` cause de la linearite de la transformee de Laplace :
LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)(Lx1(s) + Lx2(s))LS(s)L(x1 + x2)(s) = LS(s)Lx1(s) + LS(s)Lx2(s)
Stationnaires : parce que loperateur retard est un produit qui commute :
LS(s)esLx(s) = esLS(s)Lx(s)
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnelsForme generale : N(s)
D(s)avec degre N degre D.
Y (s) =n
0 aisin1
0 bisi + sn
X(s)
(n10
bisi + sn)Y (s) =
n0
aisiX(s)
snY (s) =n0
aisiX(s)
n10
bisiY (s)
Y (s) =n0
aisinX(s)
n10
bisinY (s)
Y (s) = anX(s) +n10
sin(aiX(s) biY (s))
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnels
Y (s) = anX(s) +n10
sin(aiX(s) biY (s))
Posons :
U0(s) = s1(a0X(s) b0Y (s)). . .
Ui+1(s) = s1(ai+1X(s) bi+1Y (s) + Ui(s)). . .
Y (s) = anX(s) + Un(s)
Il est facile de verifier algebriquement que ces deux expressions sont egales.
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnels
U0(s) = s1(a0X(s) b0Y (s)). . .
Ui+1(s) = s1(ai+1X(s) bi+1Y (s) + Ui(s)). . .
Y (s) = anX(s) + Un(s)
Conclusion : pour simuler un syste`me rationnel dordre n, il suffit dutiliser nintegrateurs.
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnels
Exemple :
a2s2 + a1s+ a0
s2 + b1s+ b01y
1s
1s
b0 b1
a2a1a0
1x
u0 u1
plan planplan planplan plan
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Syste`mes rationnels
1y
1s
1s
b0 b1
a2a1a0
1x
u0 u1
U0(s) = s1(a0X(s) b0Y (s))U1(s) = s1(a1X(s) b1Y (s) + U0(s))Y (s) = a2X(s) + U1(s)
Y (s) = a2X(s) + s1(a1X(s) b1Y (s) + s1(a0X(s) b0Y (s)))Y (s) = a2X(s) + s1a1X(s) + s2a0X(s) s1b1Y (s) s2b0Y (s)
s2Y (s) = a2s2X(s) + a1sX(s) + a0X(s) b1sY (s) b0Y (s)
plan planplan planplan plan
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