第11章 不確実性と情報

事前と事後

意思決定の時点と状況が判明する時点に差があるケース

情報の非対称性

一部の人々は知っているが他の人々は知らないというケース

期待効用理論

s (< ∞)個の状態が生起しうるくじ＝確率のリスト

L=(π1,π2,… ,πs)状態１が確率π1，状態2が確率π2，…，状態sが確率πsで生じることを表す

くじの上での選好≿

L≿L’⇔ LはL’より厳密に望ましいか，無差別

くじ上の選好反射性，完全性，推移性，独立性，連続性を満たすとする

↓

期待効用定理任意のL=(π1,π2,… ,πs), L’=(π1’,π2’,… ,πs’)に対して

となる実数 が存在する．

→ujは状態jの効用，期待効用は効用の確率平均

期待効用

U(x)=π1u(x1)+π2u(x2)+・・・+πsu(xs )

危険回避の測度

金銭くじ結果が金銭表示（状態に金額が対応）

効用関数 u(x) < ∞危険回避度

2状態：確率π1,π2で生起，結果はx1,x2くじL=(π1,π2)の期待効用

x*⇔Uを確実に得るために必要な金額金額の期待値

危険回避的

u’’(x) < 0, 危険中立的

u’’(x) = 0, 危険愛好的

u’’(x) > 0,

＝

危険回避的

危険中立的

危険愛好的

リスク・プレミアム

定義：

この金額を支払っても確実に所得が得られ

る方を好む

別の観点から見る

無差別曲線

全微分

限界代替率

MRS=限界代替率逓減の法則が成立

（確実線）

点B：確実線と，点Aを通り傾きが−π1/π2 である直線との交点

MRSB= π1/π2無差別曲線は点Bにおいて，直線ABと接する確実線上では限界代替率は確率の比に等しい

直線ABの方程式

点Bの座標リスク・プレミアム

中古車市場の分析

仮定：レモン（低品質）とプラム（高品質）

情報の非対称性売り手は自分の車の品質を知っている

買い手は車の品質を知らない

レモンが100台，プラムが100台売り手：レモンは50万円，プラムは100万円買い手：レモンは60万円，プラムは120万円レモンの原理

逆選択

需要曲線と供給曲線供給曲線

売り手：レモンは50万円，プラムは100万円階段状の供給曲線

需要曲線

買い手：レモンは60万円，プラムは120万円レモンに対する需要曲線：

60万円で水平のDL曲線

レモンに対する需要曲線：

120万円で水平のDP曲線

確率：πP =1/2, πL =1/2 と予想する平均的な中古車に対する需要曲線：

平均的に支払っていい価格

90万円で水平のD0曲線

12

60 12

120 90× + × =

供給曲線 需要曲線

100

50

100 200

120

90

60

DP

D0

DL

市場均衡

情報の非対称性買い手と売り手の間の情報格差

市場均衡は E0か？ → No!E0では，レモンのみが売られている

買い手は90万円払おうとはしない．需要曲線はD1になる

市場均衡は E1レモンのみ：（60万円，100台）

余剰が最大化されている（社会的に望ましい）のは，レモン：（60万円，100台），プラム：（120万円，100台）

市場の失敗

100

50

100 200

120

90

60

DP

D0

DL

E0

E1

E2

保険市場の分析

仮定：事故発生時に保険金１円支払われる証書：p円事故に備えて何単位（枚）の証書を購入すべきか

購入枚数：z状態１＝事故が起きない状態， 確率π1，所得ω

状態２＝事故が起きる状態， 確率π2 ，所得ωｰｌ

u'>0，u''<0

個人の意思決定

期待効用最大化の条件を満たすz=z*では

そのときの(x1,x2)は点E

個人は保険z*を価格pで購入状態１における所得： x1=ω−pz*状態２における所得： x2=ω−l−pz*+z*事故が発生したとき，pz*の支払いに対して ( 1-p)z*を獲得両者の比率(1-p)/pが予算制約線の傾き

個人の意思決定（再論）

保険料pのときz単位購入する効用最大化問題

max U(x1,x2) =π1u(x1)+π2(x2)s.t. x1=ω-pz

x2=ω-l-(pz-z)予算制約式は

この制約下の最適点では MRS=(1-p)/p最適点の座標

E=( x1*, x2*)=(ω-pz*, ω-l+(1-p) z*)

x pp

xp

l2 11 1

= −−

+ −ω

公正な保険保険会社にとって期待利潤がゼロになる保険

保険会社が特定個人にのみ保険を販売保険料pのときその個人がz単位購入する保険会社の期待利潤は， π1pz+π2( pz-z)公正な保険の価格は，

(π1+π2)pz=π2z ∴ p=π2予算制約式は

x2=-(π1/π2 ) x1+(ω/π2)-l∴π1x1+π2x2=ω-π2l

この制約下の最適点では MRS=π1/π2→ この点は45゜線（確実線）上に位置確実線と予算制約線との交点＝最適点の座標

E=(ω-π2 l, ω-π2 l)

ω

ω-l

ω-pz

ω-l-pz+z

π2 −1π2

p −1p

45°

保険市場の均衡

2種類の経済主体（事故に遭う確率に差）高リスク者，低リスク者

事故確率：π2H, π2

L， π2H > π2

Lと仮定

無事故確率：π1H =1-π2

H, π1L =1-π2

L

初期状況：(x1 , x2) = (ω, ω-l )効用関数：u(x)，仮定：u’> 0，u’’ < 0（危険回避者）保険会社は1社のみ両者に同一の価格pで保険を販売

期待効用最大化の1階の条件高リスク者

低リスク者

最適保険購入量：zH, zL （図のEH, EL点）π2

H > π2Lよりπ1

H/π2H<π1

L/π2Lだから

u’’ < 0を考慮すると， zH > zL

保険会社は低リスク者から正の期待利潤を得て，それで高リスク者による期待損失を埋める

隠された情報(情報の非対称性)リスクが完全にカバーされる公正な保険高リスク者にはp=π2

Hで，低リスク者にはp=π2Lで保険を

販売する → 図のFH, FL点

実現不可能：隠された情報→両者を区別できない

隠された情報の作用高リスク者の割合：α(0<α<1)公正な保険では p=απ2

H + (1-α) π2L

高リスク者は過大保険，低リスク者は過小保険

保険会社は負の期待利潤→保険料の引き上げ

→低リスク者は保険購入量減→さらに赤字が拡大

高リスク者のみが保険を購入する均衡 p=π2H

高リスク者は保険購入，完全にリスクをカバー

低リスク者は保険を全く購入しない

保険市場の均衡（II）

一括均衡と分離均衡

平均期待利潤

一括均衡の非存在

分離均衡の存在可能性

分離均衡の非存在

分離均衡の存在

隠された情報(情報の非対称性1)

公正な保険リスクが完全にカバーされる

実現不可能：隠された情報→タイプを区別できない

隠された情報の作用高リスク者は過大保険，低リスク者は過小保険

保険会社は負の期待利潤→保険料の引き上げ

→低リスク者は保険購入量減→さらに赤字が拡大

高リスク者のみが保険を購入する

高リスク者は保険購入，完全にリスクをカバー

低リスク者は保険を全く購入しない

↓↓

逆選択情報の非対称性が被保険者と保険会社の間に存在 →隠された情報

被保険者に十分な保険を提供することが困難→不確実性下の市場の失敗

低リスク者は保険購入せず，高リスク者のみが残る

保険会社は赤字，保険が販売できない

グレシャムの法則，レモンの原理

隠された行動(情報の非対称性2)

保険購入そのものが事故確率を変化させる

保険会社が認識できない→隠された行動

注意を払って費用を減少させるインセンティブなし

↓↓

モラル・ハザード（道徳的危険）

シグナリング

情報を持つ側が観察可能な他の特質をシグナルとして相手に送信→情報の非対称性を緩和

疾病・生命保険：自己申告（既往歴，食生活，喫煙）

中古車：走行距離・事故歴・修理歴

労働者：学歴・職歴・資格

スクリーニング

一定の品質を保証するための方法

疾病・生命保険：被保険者の健康診断

中古車：車検

労働者：入社試験・資格試験

自己選択：情報を持たない側が相手に複数の契約を提示し，その中から相手に選択させる（保険会社による保険の提示）

不確実性 計算問題 (1)

40％の確率で400万円、60％の確率で900万円が当たるくじがあるとする。

消費者の効用関数が であるとして、

以下の問いに答えよ。

(1) この消費者は危険回避的か、危険中立的か、危険愛好的か。

(2) 期待収入、期待効用を求めよ。(3) リスク・プレミアムはいくらか。

u = x

(1)u x '=

−12

12 u x ' '= − <

−14

032

よって、危険回避的

(2) 期待収入＝0.4×4,000,000＋0.6×9,000,000

＝1,600,000＋5,400,000＝7,000,000

期待効用＝0.4× ＋0.6×

＝2600

これより、

よって、危険回避的である。

4 000 000, , 9 000 000, ,

7 000 000 2600, , >

(3) ＝2600 より、x＝6,760,000．

7,000,000ー6,760,000＝240,000

よって、リスク・プレミアムは24万円。

x

計算問題 (2)

ある消費者が8000万円の資産を持っているとする。火事に遭うと7000万円の損害を被るとし、火事に遭う確率を20％とする。消費者の効用関数が であるとして、以下の問いに答えよ。

(1) この消費者は危険回避的か、危険中立的か、危険愛好的か。

(2) 期待資産額、期待効用を求めよ。(3) リスク・プレミアムはいくらか。(4) 公正保険を仮定し、保険購入額を計算せよ。

u x=13

(1)u x '=

−13

23 u x ' '= − <

−29

053

よって、危険回避的

(2) 期待収入＝0.2×1000＋0.8×8000

＝200＋6400＝6600 (万円)

期待効用＝0.2× ＋0.8×

＝180×

これより、

であるから、ここからも危険回避的であることがわかる。

1000000013 80000000

13

66000000 180 10 66000000 5832000013

13> × ⇔ >

1013

(3) ＝18× より、x＝58320000．

6600－5832＝768

よって、リスク・プレミアムは768万円。

(4) 公正保険の価格は火事に遭う確率に等しくなるから、1/5 である。均衡においては、

ω－0.2z＝ω－l＋0.8z

が成り立つので、z＝7000、pz＝1400.

1400万円の保険料で、7000万円の保険金が入る証書を購入する。

x13 10

13