B.M.A.G. Piette and W.J. Zakrzewski- Nontopological structures in the baby-Skyrme model

8/3/2019 B.M.A.G. Piette and W.J. Zakrzewski- Nontopological structures in the baby-Skyrme model

http://slidepdf.com/reader/full/bmag-piette-and-wj-zakrzewski-nontopological-structures-in-the-baby-skyrme 1/4

N o n t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e s i n t h e b a b y - S k y r m e

m o d e l

B . M . A . G . P i e t t e

,

W . J . Z a k r z e w s k i

y

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s

U n i v e r s i t y o f D u r h a m

D u r h a m D H 1 3 L E , U K

O c t o b e r 6 , 1 9 9 7

A b s t r a c t

W e r e p o r t o u r o b s e r v a t i o n s t h a t t h e b a b y - S k y r m e m o d e l i n 2 + 1

d i m e n s i o n s p o s s e s s e s n o n - t o p o l o g i c a l s t a t i o n a r y s o l u t i o n s w h i c h w e c a l l

p s e d o - b r e a t h e r s . W e d i s c u s s t h e i r p r o p e r t i e s a n d p r e s e n t o u r r e s u l t s o n

t h e i r i n t e r a c t i o n w i t h t h e t o p o l o g i c a l s k y r m i o n s .

1 I n t r o d u c t i o n .

T h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l b a b y - S k y r m e e l d t h e o r y m o d e l i s d e s c r i b e d b y t h e

L a g r a n g i a n d e n s i t y

L = F

1

2

@

~

@

~

k

2

4

( @

~

@

~

) ( @

~

@

~

)

2

( 1 ~n

~

)

: ( 1 )

H e r e

~

(

1

;

2

;

3

) d e n o t e s a t r i p l e t o f s c a l a r r e a l e l d s w h i c h s a t i s f y t h e

c o n s t r a i n t

~

2

= 1 ; ( @

@

= @

t

@

t

@

i

@

i

) . A s m e n t i o n e d i n [ 1 ] - [ 2 ] t h e r s t t e r m i n

( 1 ) i s t h e f a m i l i a r L a g r a n g i a n d e n s i t y o f t h e p u r e S

2

m o d e l . T h e s e c o n d t e r m ,

f o u r t h o r d e r i n d e r i v a t i v e s , i s t h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l a n a l o g u e o f t h e S k y r m e -

t e r m o f t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l S k y r m e - m o d e l [ 3 ] . T h e l a s t t e r m i s o f t e n r e f e r r e d

t o a s a p o t e n t i a l t e r m . T h e l a s t t w o t e r m s i n t h e L a g r a n g i a n ( 1 ) a r e a d d e d t o

g u a r a n t e e t h e s t a b i l i t y o f t h e s k y r m i o n [ 4 ] .

T h i s m o d e l h a s s t a t i c s o l u t i o n s w h i c h d e s c r i b e t o p o l o g i c a l l y s t a b l e e l d c o n -

g u r a t i o n s c a l l e d s k y r m i o n s [ 5 ] . S u c h s o l u t i o n s h a v e b e e n s t u d i e d i n d e t a i l ; r e -

s u l t s c a n b e f o u n d i n [ 5 ] a n d [ 1 ] . H o w e v e r , t h i s m o d e l a l s o h a s m a n y o t h e r

e - m a i l a d d r e s s : B . M . A . G . P i e t t e @ d u r h a m . a c . u k

y

e - m a i l a d d r e s s : W . J . Z a k r z e w s k i @ d u r h a m . a c . u k

1



i n t e r e s t i n g s o l u t i o n s . I n p a r t i c u l a r , i t h a s p l a n e w a v e l i k e s o l u t i o n s . M o r e o v e r ,

a n y s o l u t i o n o f t h e S i n e - G o r d o n m o d e l i s a l s o a s o l u t i o n o f t h e b a b y - S k y r m e

m o d e l . T o s e e t h i s o b s e r v e t h a t i f w e p a r a m e t r i s e

~

a s

~

= ( s i n f c o s ; s i n f s i n ; c o s f ) ; ( 2 )

a n d t h e n a s s u m e t h a t i s c o n s t a n t t h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r t h e e l d f r e d u c e s

t o

@

@

f +

2

s i n ( f ) = 0 ; ( 3 )

w h i c h , o f c o u r s e , i s t h e s i n e - G o r d o n e q u a t i o n . T h u s a l l s o l u t i o n s o f t h i s e q u a t i o n ,

k i n k s , b r e a t h e r s e t c a r e a u t o m a t i c a l l y s o l u t i o n s o f t h e b a b y - S k y r m e m o d e l .

H o w e v e r , a s w e h a v e s h o w n i n [ 6 ] a l l s u c h s o l u t i o n s a r e u n s t a b l e . A n y s m a l l

p e r t u r b a t i o n d e s t r o y s t h e m . F o r a n y o f t h e s e s o l u t i o n s w e h a v e f o u n d t h a t a s

s o o n a s s o m e r e g i o n o f t h e w a v e i s p e r t u r b e d , t h e w a v e c o l l a p s e s a r o u n d t h i s

p o i n t , e m i t t i n g r a d i a t i o n . T h e c o l l a p s e f r o n t t h e n p r o p a g a t e s r a p i d l y a l o n g t h e

s o l i t o n i c w a v e d e s t r o y i n g i t c o m p l e t e l y .

W h i l e p e r f o r m i n g s i m u l a t i o n s w i t h l a r g e a m p l i t u d e b r e a t h e r w a v e s w e h a v e

o b s e r v e d t h e f o r m a t i o n o f a r a d i a l l y s y m m e t r i c b r e a t h e r - l i k e s o l i t o n . A s t h i s

s o l u t i o n s e e m e d v e r y s i m i l a r t o t h e p u l s o n s o b s e r v e d b y [ 7 ] w e h a v e d e c i d e d t o

l o o k a t i t i n m o r e d e t a i l .

2 P s e u d o - b r e a t h e r s

L o o k i n g a t t h e t i m e e v o l u t i o n o f t h e e l d c o n g u r a t i o n s s e e n i n o u r s i m u l a t i o n s

h a s l e a d u s t o m a k e t h e f o l l o w i n g a n s a t z f o r o u r p s e u d o - b r e a t h e r e l d s :

~

= ( s i n f ( r ; t ) ; 0 ; c o s f ( r ; t ) ) : ( 4 )

T h e n , s i m p l e c a l c u l a t i o n s s h o w t h a t t h e e q u a t i o n o f m o t i o n r e d u c e s t o t h e r a d i a l

s i n e - G o r d o n e q u a t i o n :

f

t t

f

r r

f

r

r

+

2

s i n ( f ) = 0 : ( 5 )

T h i s e q u a t i o n h a s a l r e a d y b e e n s t u d i e d i n [ 7 ] , w h e r e i t w a s s h o w n t h a t i t h a d

t i m e d e p e n d e n t s o l u t i o n s s i m i l a r t o a b r e a t h e r , b u t w h i c h r a d i a t e t h e i r e n e r g y

a n d s l o w l y d i e o u t . T h e a u t h o r s o f [ 7 ] c a l l e d s u c h c o n g u r a t i o n s p u l s o n s .

I n [ 8 ] w e h a v e a l s o s h o w n t h a t t h e r e e x i s t s t a b l e t i m e d e p e n d e n t s o l u t i o n s

o f ( 5 ) . R a d i a l e l d c o n g u r a t i o n s o f ( 5 ) r a d i a t e r e l a t i v e l y q u i c k l y w h e n t h e i r

a m p l i t u d e o f o s c i l l a t i o n i s r e l a t i v e l y s m a l l , i e w h e n t h e v a l u e o f f n e v e r b e c o m e s

l a r g e r t h a n = 2 a t t h e o r i g i n ( t h e s e a r e t h e p u l s o n s s t u d i e d i n [ 7 ] . ) H o w e v e r ,

w h e n t h e a m p l i t u d e o f o s c i l l a t i o n i s l a r g e r t h a n = 2 t h e g e n e r a l e l d c o n g u -

r a t i o n r a d i a t e s i t s e n e r g y v e r y s l o w l y a s y m p t o t i c a l l y r e d u c i n g t h e a m p l i t u d e o f

o s c i l l a t i o n t o a v a l u e a l i t t l e l a r g e r t h a n = 2 a n d s e t t l e s a t a p s e u d o - b r e a t h e r

w i t h a p e r i o d o f o s c i l l a t i o n T 2 0 : 5 ( w h e n

2

= 0 : 1 ) . B y t r i a l a n d e r r o r w e

h a v e f o u n d t h a t

2



f ( r ; 0 ) = 4 a t a n ( C e x p

2

r

K

a t a n (

r

K

)

) ( 6 )

a n d

@ f

@ t

( r ; 0 ) = 0 w i t h K = 1 0 a n d C = t a n ( = 8 ) i s a g o o d i n i t i a l c o n d i t i o n

w h i c h l e a d s t o t h i s m e t a s t a b l e p s e u d o - b r e a t h e r s o l u t i o n .

W e h a v e c h e c k e d t h a t t h i s p s e u d o - b r e a t h e r s o l u t i o n i s s t a b l e w h e n e n b e d d e d

i n t o t h e S

2

m o d e l .

I t s e n e r g y i s g i v e n b y

E

P B

3 : 9 7

w h i c h s h o w s t h a t i t i s a p p r o x i m a t e l y 2 : 5 h e a v i e r t h a n t h e b a b y - s k y r m i o n . M o r e -

o v e r , i t s t o p o l o g i c a l c h a r g e d e n s i t y i s i d e n t i c a l l y z e r o t h u s i t h a s e n o u g h e n e r g y

t o d e c a y i n t o a s k y r m i o n a n t i - s k y r m i o n p a i r . H o w e v e r , w e h a v e n o t s e e n s u c h a

d e c a y i n o u r s i m u l a t i o n s .

A s o u r p s e u d o - b r e a t h e r c a n o n l y b e d e t e r m i n e d n u m e r i c a l l y , i n p r a c t i c e w e

h a v e t o u s e t h e e l d c o n g u r a t i o n s w h i c h w e h a v e f o u n d i n o u r n u m e r i c a l s i m -

u l a t i o n s . T h e e x c e s s o f e n e r g y o v e r t h e n a l c o n g u r a t i o n c a n t h e n b e s e e n

a s a n e x c i t a t i o n e n e r g y w h i c h i s s l o w l y r a d i a t e d a w a y . T h e s c a t t e r i n g p r o p e r -

t i e s o f p s e u d o - b r e a t h e r s a r e q u i t e i n t e r e s t i n g . W h e n t h e p s e u d o - b r e a t h e r s a r e

e m b e d d e d i n t o t h e b a b y - s k y r m i o n m o d e l t h e e l d c o n g u r a t i o n s h a v e a n e x -

t r a d e g r e e o f f r e e d o m c o r r e s p o n d i n g t o t h e i r o r i e n t a t i o n i n t h e

1

;

2

p l a n e .

W h e n t w o p s e u d o - b r e a t h e r s a r e s e t a t r e s t n e a r e a c h o t h e r , t h e f o r c e b e t w e e n

t h e m d e p e n d s o n t h e i r r e l a t i v e o r i e n t a t i o n : w h e n t h e y a r e p a r a l l e l t o e a c h o t h e r

a n d o s c i l l a t e i n p h a s e , t h e y a t t r a c t e a c h o t h e r , o v e r l a p a n d f o r m a n e w s t r u c -

t u r e w h i c h a p p e a r s t o b e a n e x i t e d p s e u d o - b r e a t h e r . T h i s p s e u d o - b r e a t h e r t h e n

s l o w l y r a d i a t e s a w a y i t s e n e r g y . T h e n o n - t o p o l o g i c a l n a t u r e o f p s e u d o - b r e a t h e r s

a l l o w s t h e m t o m e r g e a n d f o r m a n e w s t r u c t u r e o f t h e s a m e t y p e .

I f t h e t w o p s e u d o - b r e a t h e r s a r e a n t i p a r a l l e l , i e i f t h e y o s c i l l a t e c o m p l e t e l y

o u t o f p h a s e , t h e n t h e f o r c e b e t w e e n t h e m i s r e p u l s i v e . W h e n t h e t w o p s e u d o -

b r e a t h e r s h a v e a d i e r e n t o r i e n t a t i o n t h e y s l o w l y r o t a t e t h e m s e l v e s u n t i l t h e y

b e c o m e p a r a l l e l ; t h e n t h e y m o v e t o w a r d s e a c h o t h e r a n d f o r m a n e x i t e d p s e u d o -

b r e a t h e r s t r u c t u r e .

W h e n t w o p s e u d o - b r e a t h e r s a r e s e n t t o w a r d s e a c h o t h e r w i t h s o m e k i n e t i c

e n e r g y , t h e s c a t t e r i n g i s m o r e c o m p l i c a t e d . D e p e n d i n g o n t h e i n i t i a l s p e e d o r

t h e s c a t t e r i n g i m p a c t p a r a m e t e r , t h e y e i t h e r m e r g e i n t o a s i n g l e p s e u d o - b r e a t h e r

o r t h e y u n d e r g o a f o r w a r d s c a t t e r i n g . T h e d e t a i l s o f t h e s e s c a t t e r i n g p r o p e r t i e s

a r e g i v e n i n [ 8 ] .

W h e n a s k y r m i o n a n d a p s e u d o - b r e a t h e r a r e p u t a t r e s t n e x t t o e a c h o t h e r

t h e o v e r a l l i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e m m a k e s t h e s k y r m i o n s l o w l y m o v e a w a y

f r o m t h e p s e u d o - b r e a t h e r w h i l e t h e p s e u d o - b r e a t h e r l o o s e s s o m e o f i t s e n e r g y

f a s t e r t h a n w h e n i t i s p l a c e d t h e r e b y i t s e l f .

T o s c a t t e r a s k y r m i o n w i t h a p s e u d o - b r e a t h e r w e h a v e p l a c e d t h e p s e u d o -

b r e a t h e r s o l i t o n a t r e s t , a n d w e h a v e s e n t t h e s k y r m i o n t o w a r d s i t . W e h a v e

p e r f o r m e d t h i s s c a t t e r i n g f o r d i e r e n t o r i e n t a t i o n s o f t h e p s e u d o - b r e a t h e r , f o r

d i e r e n t v a l u e s o f t h e i m p a c t p a r a m e t e r a n d f o r d i e r e n t s p e e d s .

3



T h e r e s u l t s o f o u r s i m u l a t i o n s a r e r e p o r t e d i n [ 6 ] . W e h a v e f o u n d t h a t t h e

a m o u n t o f e n e r g y l o s t b y t h e p s e u d o - b r e a t h e r d u r i n g t h e s c a t t e r i n g i s l a r g e r

w h e n t h e o v e r l a p b e t w e e n t h e s k y r m i o n a n d t h e p s e u d o - b r e a t h e r , b o t h i n t i m e

a n d s p a c e , i s g r e a t e r . I n s o m e c a s e s t h e p s e u d o - b r e a t h e r i s c o m p l e t e l y d e s t r o y e d

b y t h e c o l l i s i o n . T h e o s c i l l a t i o n o f t h e p s e u d o - b r e a t h e r m a k e s t h e i n t e r a c t i o n

t i m e d e p e n d e n t a n d , a s a r e s u l t , t h e p a t t e r n o f s c a t t e r i n g a n g l e s o b s e r v e d i n t h e

s i m u l a t i o n i s q u i t e c o m p l i c a t e d .

3 C o n c l u s i o n s

W e h a v e s h o w n t h a t t h e b a b y - S k y r m e m o d e l , i n a d d i t i o n t o s k y r m i o n s h a s

o t h e r s o l u t i o n s w h i c h a r e n o n t o p o l o g i c a l i n n a t u r e a n d p e r i o d i c i n t i m e . T h e s e

n e w s o l u t i o n s h a v e i n t e r e s t i n g s c a t t e r i n g p r o p e r t i e s w i t h e a c h o t h e r a n d w i t h

s k y r m i o n s . T h e y a r e s t a b l e b u t c a n b e d e s t r o y e d i f p e r t u r b e d t o o m u c h .

4 A c k n o w l e d g m e n t s

W e w o u l d l i k e t o t h a n k A . K u d r y a v t s e v f o r u s e f u l d i s c u s s i o n s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] B . M . A . G . P i e t t e , B . J . S c h r o e r s a n d W . J . Z a k r z e w s k i , N u c l . P h y s . B 4 3 9

( 1 9 9 5 ) 2 0 5

[ 2 ] B . M . A . G . P i e t t e , H . J . W . M u l l e r - K i r s t e n , D . H . T c h r a k i a n a n d W . J . Z a -

k r z e w s k i , P h y s . L e t t . B 3 2 0 ( 1 9 9 4 ) 2 9 4

[ 3 ] T . H . R . S k y r m e , P r o c . R o y . S o c . A 2 6 0 ( 1 9 6 1 ) 1 2 5 ; G . S . A d k i n s , C . R . N a p p i

a n d E . W i t t e n , N u c l . P h y s . B 2 2 8 ( 1 9 8 3 ) 5 5 2

[ 4 ] R . A . L e e s e , M . P e y r a r d a n d W . J . Z a k r z e w s k i , N o n l i n e a r i t y 3 ( 1 9 9 0 ) 7 7 3

[ 5 ] B . M . A . G . P i e t t e , B . J . S c h r o e r s a n d W . J . Z a k r z e w s k i , Z . P h y s . C 6 5 ( 1 9 9 5 )

1 6 5

[ 6 ] A . K u d r y a v t s e v , B . P i e t t e , W . J . Z a k r z e w s k i , D u r h a m U n i v . p r e p r i n t D T P -

9 6 / 1 7 .

[ 7 ] P . L . C h r i s t i a n s e n a n d P . L o m d a h l , P h y s i c a 2 D ( 1 9 8 1 ) 4 8 2

[ 8 ] B . P i e t t e a n d W . J . Z a k r z e w s k i , D u r h a m U n i v . p r e p r i n t D T P - 9 7 / 1 5

4

B.M.A.G. Piette and W.J. Zakrzewski- Nontopological structures in the baby-Skyrme model

Documents

Transcript of B.M.A.G. Piette and W.J. Zakrzewski- Nontopological structures in the baby-Skyrme model