bab2-slide1

Fungsi Variabel Kompleks Pemetaan/Transformasi/Mappings Limit Fungsi

Fungsi Analitik(Bagian Pertama)

Supama

Jurusan Matematika, FMIPA UGMYogyakarta 55281, INDONESIA

Email:[email protected], [email protected]

(Pertemuan Minggu IV)


Outline

1 Fungsi Variabel Kompleks

2 Pemetaan/Transformasi/Mappings

3 Limit Fungsi


Fungsi Variabel Kompleks

Di dalam kuliah kalkulus telah disampaikan pengertianfungsi. Misalkan A, dan B himpunan tak kosong. Relasi fdari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x ∈ A terdapatdengan tunggal y ∈ B sehingga y = f (x).Diberikan himpunan A ⊂ C. Fungsi f yang didefinisikanpada A adalah suatu aturan yang memasangkan setiapz ∈ A dengan w ∈ C. Dalam hal ini, bilangan kompleks wdisebut nilai fungsi f di titik z, dan ditulis f (z). Jadi,

w = f (z)

Fungsi f dari A ⊂ C ke C dinotasikan

f : A→ C



Diberikan fungsi kompleks f : A ⊂ C → CHimpunan A disebut domain definisi (daerah definisi).Di dalam fungsi variabel kompleks, perlu dibedakan antarapengertian domain dan domain definisi. Domain definisisuatu fungsi belum tentu merupakan domain.Apabila domain definisi suatu fungsi f tidak disebutkansecara eksplisit, maka disepakati bahwa sebagai domaindefinisi adalah himpunan terbesar di dalam C sehinggafungsi f terdefinisikan pada himpunan tersebut.Sebagai contoh, apabila f (z) = 1

z−1 , maka domain definisif adalah {z ∈ C : z 6= 1}.Selanjutnya, domain definisi fungsi f dinotasikan denganDf .



Diberikan fungsi f dan z ∈ Df dengan z = x + iy . Misalkannilai f di z adalah w , yaitu

f (z) = w

Apabila w = u + iv , maka dapat dituliskan

f (x + iy) = u + iv

Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa u dan vmasing-masing ditentukan oleh pasangan variabel real(x , y). Atau dengan kata lain

u = u(x , y) dan v = v(x , y)

Jadi,

f (z) = u(x , y) + iv(x , y) (1)



Dari persamaan (1) dapat dilihat adanya keterkaitan antarafungsi variabel kompleks dan fungsi 2 variabel real (x , y).Secara sama, tentunya f (z) dapat pula dikaitkan dengan fungsi2 perubah real (r , θ), yaitu

f (z) = f (r(cos θ + i sin θ)) = u(r , θ) + iv(r , θ) (2)

Example

Jika f (z) = z + z + i |z|, maka f (z) = 2x + i√

x2 + y2. Jadi,u(x , y) = 2x dan v(x , y) =

√x2 + y2

Example

Tentukan u(r , θ) dan v(r , θ) jika diketahui f (z) = z2−1z .



Berbeda halnya dengan fungsi variabel real yang bernilaitunggal, maka fungsi variabel kompleks dapat bernilaitidak tunggal. Tentunya hal ini mudah dipahami, mengingatf (z) = z

14 bernilai empat untuk setiap 0 6= z ∈ C.

Jika n ∈ N dan c0, c1, c2, . . . , cn masing-masing konstantakompleks dengan c0 6= 0, maka

Pn(z) = c0zn + c1zn−1 + . . .+ cn−1z + cn

disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n.Hasil bagi dua fungsi suku banyak disebut fungsi pecahrasional.


Pemetaan/Transformasi/Mappings

Seringkali fungsi variabel real dan bernilai real disajikandengan suatu grafik pada suatu bidang datar.Hal ini tidak dapat dilakukan untuk fungsi variabelkompleks dengan rumus w = f (z), mengingat w dan zkeduanya berada di dalam bidang datar (bukan garis).Pada dasarnya, fungsi f dengan rumus w = f (z) dapatdigambarkan dengan cara memasangkan setiap z = (x , y)di dalam domain definisinya dengan suatu titikf (z) = (u, v).Untuk lebih mempermudah penyajian, pada umumnyadiperlukan 2 bidang kompleks, yang pertama disebutbidang-z dan yang kedua dinamakan bidang-w, meskipununtuk fungsi-fungsi yang cukup sederhana dapatdigunakan satu bidang kompleks saja.


Beberapa Contoh

ExampleDiketahui f (z) = z + z̄ + izz̄. Gambarkan f (L) jika(a) L = {z : |z| = 1}.(b) L = {z : |z| = 2}.

ExampleGambarkan bayangan bidang kompleks Z oleh pemataanf (z) = |z|2 + i(z + z).


Limit Fungsi

Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df dan z0 titiklimit Df . Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk zmendekati z0, ditulis

limz→z0

f (z) = L

jika untuk setiap z yang cukup dekat dengan z0 tetapiz 6= z0 berakibat f (z) cukup dekat dengan L.Dalam bahasa matematika, limz→z0 f (z) = L jika untuksetiap bilangan real ε > 0 terdapat bilangan δ > 0sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan 0 < |z − z0| < δberakibat

|f (z)− L| < ε


Limit Fungsi

Apabila z0 = x0 + iy0, maka dengan mengingat pengertiannilai mutlak, definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagaiberikut: limz→z0 f (z) = L jika untuk setiap bilangan realε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiapz = x + iy ∈ Df dengan 0 <

√(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ

berakibat|f (z)− L| < ε

Sifat-sifat limit diberikan dalam beberapa teorema berikut.

Theorem

Jika limz→z0 f (z) ada, maka nilainya tunggal.

Sebagai akibat langsung Teorema di atas, jika nilailimz→z0 f (z) tidak tunggal, maka limz→z0 f (z) tidak ada.


Limit Fungsi

Seperti telah diterangkan dalam kuliah Kalkulus, dalamhitung limit fungsi real hanya ada satu limit kiri dan satulimit kanan. Hal ini mudah dimengerti, karena persekitarantitik x0 hanyalah berupa suatu penggal garis (selang).Akibatnya, apabila limx→x0 f (x) tidak ada (dan bukan limitsemu), maka untuk menunjukkannya cukup mudah dansederhana, yaitu dengan cara menunjukkan limit kiri tidaksama dengan limit kanan, yang artinya nilai limx→x0 f (x)tidak tunggal.Sementara, di dalam bidang kompleks persekitaran suatutitik z0 tidak lagi berupa penggal garis, tetapi berupa suatulingkaran. Akibatnya, konsep limit kiri dan limit kananmenjadi tidak sesederhana konsep tersebut di dalamkalkulus fungsi real.


Limit Fungsi

Berangkat dari konsep limit satu arah, kontraposisiTeorema ketunggalan limit dapat diklarifikasi denganmenggunakan pengertian limit fungsi sepanjang suatukurva.Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df , z0 titik limitDf , dan kurva K yang melalui z0. Limit f (z) untuk zmendekati z0 di sepanjang kurva K dikatakan samadengan L, ditulis

limz→z0, z∈K

f (z) = L

jika untuk setiap bilangan real ε > 0 terdapat bilanganδ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ K dengan 0 < |z − z0| < δberakibat

|f (z)− L| < ε


Limit Fungsi

Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi tersebut danTeorema sebelumnya diperoleh pernyataan sebagaiberikut.

TheoremJika limz→z0 f (z) ada, maka untuk setiap pasang kurvaK1,K2 ⊂ Df yang melalui z0, limz→z0, z∈K1 f (z) danlimz→z0, z∈K2 f (z) keduanya ada dan

limz→z0, z∈K1

f (z) = limz→z0, z∈K2

f (z)


Limit Fungsi

Sebagai akibat langsung, diperoleh:

CorollaryJika ada kurva K1,K2 ⊂ Df yang melalui z0 sehingga

limz→z0, z∈K1

f (z) 6= limz→z0, z∈K2

f (z)

maka limz→z0 f (z) tidak ada.


Contoh

Example

Jika f (z) = 2xyx2+2y2 + i (y

2−1)(x+1)(x2−2)(y+2 , maka tunjukkan bahwa

limz→0 f (z) tidak ada.

Bukti: Jika K1 dan K2 masing-masing adalah kurva denganpersamaan y = 0 dan y = x , maka berturut-turut diperoleh:

i. limz→0, z∈K1 f (z) = limx→0−(x+1)2(x−2) = 1

4 .

ii. limz→0, z∈K2 f (z) = limx→0( 2x2

x2+2x2 ) + ( (x2−1)(x+1)

(x−2)(x+2) = 14) =

23 + i 1

4 .Selanjutnya, dari (i) dan (ii), terbukti bahwa limz→0 f (z) tidakada.


Limit Fungsi

Teorema berikut ini menerangkan hubungan antara limit fungsikompleks dengan limit fungsi real dua perubah.

Theorem

Jika diketahui f (z) = u(x , y) + iv(x , y), z0 = x0 + iy0, danL = A + iB, maka

limz→z0

f (z) = L (3)

jika dan hanya jika

lim(x ,y)→(x0,y0)

u(x , y) = A dan lim(x ,y)→(x0,y0)

v(x , y) = B (4)

.


Contoh

Example

Tentukan limz→1+i(z2 + 1z ).

Penyelesaian: Terlebih dahulu dituliskan

z2 +1z

= (x2 − y2 +x

x2 + y2 ) + i(2xy − yx2 + y2 )

Selanjutnya, karena

lim(x ,y)→(1,1)

(x2 − y2 +x

x2 + y2 ) =12, dan

lim(x ,y)→(1,1)

(2xy − yx2 + y2 ) =

32

makalim

z→1+i(z2 +

1z

) =12

+ i(32

). �


Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut

LemmaJika limz→z0 f (z) ada, maka terdapat r > 0 sehingga f (z)terbatas pada N(z0, r) ∩ Df − {z0}.

TheoremJika limz→z0 f (z) dan limz→z0 g(z) keduanya ada dan c ∈ C,maka

i. limz→z0{f (z) + g(z)} ada, dan

limz→z0{f (z) + g(z)} = lim

z→z0f (z) + lim

z→z0g(z)

ii. limz→z0 cf (z) ada, dan

limz→z0

cf (z) = c limz→z0

f (z)


Limit Fungsi, Sifat-sifat lebih lanjut

iii. limz→z0 f (z)g(z) ada, dan

limz→z0

f (z)g(z) = limz→z0

f (z) limz→z0

g(z)

iv. limz→z0f (z)g(z) ada, dan

limz→z0

f (z)

g(z)=

limz→z0 f (z)

limz→z0 g(z), asal lim

z→z0g(z) 6= 0

Theorem

Jika Pn(z) = c0zn + c1zn−1 + c2zn−2 + . . .+ cn, maka

limz→z0

Pn(z) = Pn(z0)

bab2-slide1

Documents

Transcript of bab2-slide1