Aritmetica III Bim

ARITMETICA

III BIM.

TRILCE PRIMARIA

LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616

ARITMETICA

Í n d i c e

Pág.

å Sistema de númeración decimal: descomposición 7

å Sistema de numeración no decimal.................13

å Cambio de Sistema de numeración..................19

å Repaso de Sistema de numeración..................25

å Propiedades de los números............................29

å Criterios de divisivilidad...................................37

å Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo43

å Problemas con m.c.m y m.c.d.............49

COLEGIO TRILCE Página 2

ARITMETICA

CONCEPTOS BÁSICOS

N um eral: Es la figura osím bo lo que representa o dala idea de l núm ero.

N úm ero: Es una idea de cantidad , la cual nos perm ite cuantificar los ob jetos;es un ente abstracto.

* Sistema de numeración

Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y

expresar correctamente los números.

Tenemos diversos Sistemas de Numeración, entre los cuales destaca el

Sistema de Numeración de Decimal o decuplo

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. Así por

ejemplo:


1 < > 1 un idad10 un idades < > 1 decena

10 decenas < > 1 centena. . .

ARITMETICA

Características del sistema Decimal

a. Símbolos utilizados en el sistema decimal.

cifras

9;8;7;6;5;4;3;2;1;0

b. De la combinación de estas cifras se pueden formar todos los números que

conocemos:

Ejemplo:

- Con 0; 1; 2 se pueden formar: 0; 1; 2; 10; 20; 11; 12; 210; . . .

- Con 3; 4; 0 se pueden formar: ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; . . .

Descomposición polinómica de un Numeral del Sistema Decimal

"Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores

relativos de sus cifras".

Ejemplo: 3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8

= ___ × 103 + ___ + 102 + ___ × 101 + 8

Observa: Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como

exponente la cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de

ella.3 278

3 × 103

32 78

2 × 102

327 8

7 × 101

3278

8 × 10 0

Forma general

. . . bcba = . . . + d × 10 + c × 10 + b × 10 + a13 2

Casos especiales* mmmm = m × 103 + m × 102 + m × 101 + m

= 1000m + 100m + 10m + m = 1111m

* Para un numeral capicúa:

aba = a × 102 + b × 101 + a= 100a + 10b + a = 101a + 10b

abcba = a × 104 + b × 103 + c × 102 + b × 101 + a

= 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10

= _______ × a + _______ × b + _______ × c


ARITMETICA

c. En el sistema decimal:

- Mínimo valor no significativo : 0

- Mínimo valor significativo : 1

- Máximo valor : 9

Orden: Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de

derecha a izquierda.

Ejemplo:

U

4

1 er

D

3

2do

C

2

3 er

U M

1

4 to

1 o rden o un idades . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

2 orden o decenas

er

do

er

to

. . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

3 o rden o centenas . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

4 orden o un idades de m illa r . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _

Lugar: Es la ubicación de la cifra según como se lee, de izquierda a

derecha.Ejemplo:

U

4

1er

D

3

2do

C

2

3er

U M

1

4 to

1 Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _

2

er

do

er

to

Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _

3 Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _

4 Lugar = _ _ _ _ _ _ _ _

Valores de una cifra

Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores.

a. Valor absoluto (V.A.): Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en

cualquier orden que se encuentre.

7 5 1 4V.R .( 4) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

V.R .( 1) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

V.R .( 5) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

V.R .( 7) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

V.A .(7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _

V.A .(5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _

V.A .(1 ) = _ _ _ _ _ _ _ _

V.A .(4 ) = _ _ _ _ _ _ _ _


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b. Valor Relativo (V.R.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra

(unidades, decenas, centenas, . . .)

¡ LISTOS A TRABAJAR ¡

1. Escribe el valor relativo (V.R.) o el valor absoluto (V.A.) según corresponda.

a. 34 271 V.R.(2) = _____________

b. 67 192 V.A.(6) = _____________

c. 5 314 218 V.R.(4) = _____________

d. 27 235 V.A.(7) = _____________

e. 851 231 V.R.(8) = _____________

f. 567 421 V.A.(5) = _____________

2. Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en:

42 399 981 301

3. Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en:

29 433 167

4. Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las

siguientes cifras, solo puedes utilizar una vez cada cifra.

1; 2; 4; 7; 9

5. ¿Cuál debe ser el valor de "x" en: 2323xxx2x332x ?

6. Si se cumple que: a22 es el triple de a7 . Calcular el valor de "a".

7. Hallar el valor de "a" y "b" tal que: b123 es el doble de a1a .

8. Hallar el valor de "b", si se cumple que: b78 es el resultado de invertir el

orden de las cifras a 87b y disminuirlo en 99 unidades.

9. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al

restarle el mismo número pero con las cifras invertidas de como resultado

72. Dar como respuesta la suma de sus cifras.


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10. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por

la cifra "a", el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades.

Hallar el valor de "a".

DEMUESTRA LO APRENDIDO


restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado

63. Además se sabe que la suma de las dos cifras es 9. Dar como respuesta

el producto de las cifras del número perdido.

8. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al

mismo número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos

números de cuatro cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del

número original.

9. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha,

aumentándose el número en 4752 unidades. Calcular el número original.

10. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al

invertir el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades. Dar como

respuesta el producto de las cifras del número pedido.


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DESAFÍO

Un número está compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las

unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el

producto de las cifras de dicho número.

Para este segundo tem a, queridos alum nos,estud ia rem os otros sistem as de num eración ;

para lo cual, generalizarem os algunos conceptos dados en el tem a anterio r.

1. Base de un Sistema de Numeración:

Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar

una unidad de un orden inmediato superior.

Así; por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7,

necesito grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad

de orden inmediato superior.

Al agrupar de 7 en 7, se han formado cuatro

grupos y han quedado sin agrupar seis

unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7)

Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3.

La agrupación es:

2 grupos de 3 × 3 = 2 × 32

2 grupos de 1 × 3 = 2 × 31

2 unidades sueltas = 2o también: 222(3).


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Condiciones de la base:

a) La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor

que 1.

b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la

menor base es 2 (Sistema Binario).

2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración:

2.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza "n" cifras: el

cero y (n - 1) cifras significativas.0

cero

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; ( n - 1);

cifras significativas

Ejemplo:

- 1023(5) Todas las cifras son menores que la base 5,

entonces, el número 10 está correctamente

escrito.

- 222222(3) Todas las cifras son menores que la base 3.

- 86577(8) Todas las cifras no son menores que la base 8,

la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es

menor que 8, entonces el número no está

correctamente representado.

Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente:

En la base "b":


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- Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior

cualquiera.

- Las cifras pueden ser:Significativas = {1; 2; 3; 4; ...; (b - 1))

Cifra m áxim a

No significativa o auxiliar: 0 (cero)

Conclusión: Cifra < Base

Principales Sistemas de Numeración

Base Sistem as de N um eración C ifras diferentes que utiliza

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B inario o dual

Ternario

Cuaternario

Q u inario

Senario

H eptanario

O ctanario

N o nario

D enario o decim al

U ndecim al

D uodecim al

0 ; 1

0; 1; 2

0; 1; 2 ; 3

0; 1; 2 ; 3; 4

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8; 9

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8; 9;

0; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6; 7 ; 8; 9; ;

Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta:

= 10; = 11; = 12; etc.

Como consecuencia del cuadro anterior, existen infinitos sistemas de

numeración.

3. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración

abcd (n) = a × n3 + b × n2 + c × n + d

Ejemplos:

• 1234(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194


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• (9) = a × 92 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a

• (a) = 3 × a2 + 4 × a + 0 = 3a2 + 4a


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ARITMETICA

DESAFÍO

Un número consta de 2 cifras, cuya suma es 11. Si intercambiamos el

orden de sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número

original. Hallar dicho número.

a. 47 b. 29 c. 65 d. 83 e. 56

Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro

sistema de numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma

cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como cambio de

base.

Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10

"Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica,

efectuando para ello las operaciones indicadas".

Descomposición polinómica: )n(abc = a × n2 + b × n + c

Ejemplos:

• 2734241123

816

2)4(

• 71769798879

63648

2)9(

• b8a65a8b8aaba

b8a64

2)8(

También se puede utilizar el "método de Ruffini", así:


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En el sistem a decim a l

4

1 2

+

4

6

3

+

24

27

×

×1

En el sistem a decim al

9

1

8

7

+

72

79

6

+

711

717

×

×

Caso II: De base 10 a una base diferente de 10

Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número

dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea

convertir; si el cociente es mayor que "n", se dividirá nuevamente y así en

forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor

que "n". Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las

divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número

expresado en base "n".

Ejemplo:

• Convertir 25 a base 8:25 8

1 3 25 = 31 ( 8 )

• Convertir 100 a base 3:100 3

1 33 3

0 11 3 2 3 3 0 1

100 = 10201 (3)

• Convertir 216 a base 6:


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216 6

0 36 6

0 6 6

0 1

216 = 1000 ( 6 )

Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10

Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir,

primero llevamos el número de base diferente de 10, por descomposición

polinómica, al sistema decimal; y, luego este número, por divisiones

sucesivas, lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10.

Ejemplos:

1. Convertir: 543(6)

a base 4

a. Descomposición polinómica: 20736465543

24180

2)6(

b. Divisiones sucesivas:207 4

3 51 4

3 12 4

0 3

Luego: 543 = 207 = 3033 (4 )(6)

2. Convertir: 2134(5) a base nueve

a. Descomposición polinómica: 29445351522134

1525

2

250

3)5(

b. Divisiones sucesivas:

294 9

6 32 9

5 3

Luego: 2134 = 294 = 356( 5) (9)

PROPIEDAD: "En un numeral que representa la misma cantidad de unidades

simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que


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donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y

viceversa, a menor representación mayor base".

N = RATÓN = PAVO(x ) (y)

+

+

Ejemplo:N u m era l m en o r

134 = 251 = 2012( 7 ) (4)

N u m era l m ayo r

M ayo r b ase M en o r b ase

¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡

1. Convertir al sistema decimal:

a. 1101(2) b. 320(4) c. 1032(5)

d. 2031(4) e. 132(9)

2. Convertir:

a. 123 al sistema binario. b. 871 al sistema ternario.

c. 2031 al sistema quinario. d. 952 al sistema undecimal.

e. 642 al sistema de base 15.

3. Convetir:

a. 1002(3) al sistema quinario. b. 432(7) a base 4.

c. 2134(5) al sistema nonario. d. 1023(4) a base 6.

e. 123(4) al sistema octanario.

4. Hallar "a + b + c" si: 1230(5) = )7(abc

a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12


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5. Convertir: )4()2a)(1a)(1a(

al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8



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LISTOS … A TRABAJAR

1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que:

A: es el mayor número de tres cifras.B: es el mayor número impar de dos cifras diferentes.C: es el mayor número de tres cifras diferentes.

a. 2063 b. 2073 c. 2083 d. 2093 e. 3113

2. ¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden.

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras:

I. La primera es el doble de la tercera.II. La segunda es el triple de la primera.

Dar como respuesta la suma de sus cifras.


ARITMETICA

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

4. Si el numeral )a3)(5a)(1b(b)1a( es capicúa. Hallar la cifra de tercer orden.

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "a + b"

I. )5()2a)(a2( II. )9(

)5b(3b

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

6. ¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

7. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿cuál es la suma de sus cifras?

a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13

8. Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve, convertirlo al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

9. Hallar: a + b + c.

Si: )9()8( 256)2c)(1b)(2a(

a. 8 b. 9 c. 10 d. 12 e. 13

10. Si se cumple: )2()3( abcde201 ;

hallar: a + b + c + d + e + n

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7



ARITMETICA

1. Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que:

A: Es el menor número de tres cifras diferentes.

B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes.

C: Es el menor número de tres cifras.

a. 280 b. 290 c. 300 d. 310 e. 320

2. ¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la

cifra de mayor orden.

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para

sus cifras:

I. La primera es el triple de la tercera.

II. La segunda es el doble de la primera.

a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11

4. Si el numeral )x6)(1x)(3y)(2x( es capicúa. Hallar la cifra de segundo orden.

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "x + y".

I. )7(

)1x(3x

)x2(

II. )8(

)3y)(2y(2y

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

6. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras?

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

7. Si: (n - 1)(n3)(n + 3) = aba(7); calcular: "a + b + n".

a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11

8. Hallar: a + b + c + d + n; si se cumple: )n()3( abcd102


ARITMETICA

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

9. Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema

octanario.

a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14

10. Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al

sistema nonario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16

DESAFÍO

Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al

sistema cuaternario se obtiene: abcd . Hallar: a + b + c + d

a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

1. MÚLTIPLOS

Un número entero "A" es múltiplo de otro entero "B", si "A" contiene a "B"

una cantidad exacta de veces.

Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6.

Veamos:

Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6, entonces: 72 =

6(12)

72 es múltiplo de 6.

Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11.

Veamos:


ARITMETICA

Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces 143 =

11(13)

143 es múltiplo de 11.

Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4.

Solución:

1 × 4; 2 × 4; 3 × 4; 4 × 4; 5 × 4; 6 × 4; 7 × 4; 8 × 4; 9 × 4; 10 × 4

luego: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40.

2. DIVISOR DE UN NÚMERO

Es el número que está contenido en el primero una cantidad exacta de

veces, también se le conoce como submúltiplos.

Ejemplo 1:

* 4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces.

* 8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces.

Ejemplo 2: Halla los divisores de 24.

Solución:

D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13?

Solución:D(45) = {1; 2; 3; 5; 9; 15; 45} í tiene 6 divisores

D(13) = {1; 13} í tiene 2 divisores

Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13.

Observación:En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además del 0, así por ejemplo:

* Los múltiplos de 15 son:


ARITMETICA

15 = 15k

15(1) ; 15(2) ; 15(3) ; 15(4) ; . . . . .

15 (0) = cero

15( -1) ; 15( -2) ; 15( -3 ) ; 15( -4) ; . . . .

º

donde "k" es un entero cualquiera.

De todo esto podemos afirmar lo siguiente:

i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos.

ii. El CERO es múltiplo de todos los números.

A B

m últip lo de

divisib le por

factor de

divisor de

I I . E jm .:

12

m últip lo de

divisib le por

factor de

divisor de

3

I . A = B

se lee: "A" es m ú ltip lo de "B"

º

En resum en:

3. NÚMEROS PRIMOS

Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen

unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número.

Ejemplos:

Número PrimoDivisores

2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


ARITMETICA

4. NÚMEROS COMPUESTOSSon aquellos números que tienen más de dos divisores.

Número Compuesto Divisores

4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100

(Criba de Eratóstenes)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Entonces: Los números primos menores que 100 son:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Propiedades

1. El "uno" no es un número primo. sólo tiene un divisor, es

considerado como número simple.

2. Los números primos son infinitos.

3. El "dos" es el único número primo par.


ARITMETICA

4. El "dos" y el "tres" son los únicos números consecutivos y a la vez

primos absolutos

5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)

Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único

divisor común a la unidad.

• Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI?

veamos:

Divisores

6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

9 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números

Entonces: ______________ son números ______________.


veamos:

Divisores

21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que: __________, es el único divisor común a dichos números.

Entonces: ______________ son números ______________.


veamos:

Divisores

8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.

Entonces: ______________ no son números ______________.



ARITMETICA

veamos:

Divisores

10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.

Entonces: ______________ no son números ______________.

Propiedades

1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI.

2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números

PESI.

6. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC)

Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus

divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos.

• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18.

Veam os: 18

Entonces: 18 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120.Veam os: 120

Entonces: 120 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observan en su

descomposición canónica.


ARITMETICA

7. CANTIDAD DE DIVISORES (CD) Sea "N" un número compuesto cuya descomposición canónica es:

N = a . b . cm n p donde:

a; b y c

m ; n y p

:

:

facto res prim os abso lu tos

exponentes enteros positivos

Entonces: la cantidad de divisores de "N" será:

CD (N ) = (m + 1) (n + 1) (p + 1)

• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180.

Veam os: 180

Luego:

F ina lm ente:

180 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

CD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

( 180)

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480.El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480.


ARITMETICA

Veam os: 480

Luego:

F ina lm ente:

480 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

CD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(480)

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

¡LISTOS… A TRABAJAR ¡

1. a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25?b. ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52?

2. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado?

3. Hallar "a + b"; si:a = mayor número primo menor que 70b = menor número primo mayor que 20

4. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras?

5. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras?

6. Indicar verdadero "V" o falso "F", según convenga:

a. 35 = 5 ( )

b. 8 = 16 ( )

c. 111 = 37 ( )

d. 53 = 7 ( )

e. 26 = 13 ( )

7. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras?


ARITMETICA

8. Si el número 2a5 es múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener "a"?

9. Hallar la suma de las partes alícuotas de 12.

10. Si: A = {x/x N, "x" es divisor de 14} y

B = {x/x N, "x" es divisor de 8}

hallar:

a. A B b. A B c. A - B


1. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20?

2. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23?

3. ¿Qué grupo de números son PESI?

a. 8; 25; 32 b. 9; 27; 35 c. 18; 30; 43

4. Hallar la descomposición canónica en cada caso:

a. 220 b. 280 c. 390 d.600

5. Hallar la cantidad de divisores de:

a. 340 b. 420

6. ¿Cuántos números de dos cifras son 5?

7. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7?

8. Si el siguiente número: x453 es divisible por 7, calcular el valor de "x".

9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3?

10. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7.

DESAFÍO

Hallar la cantidad de divisores de: 32 ×××× 75


ARITMETICA


ARITMETICA

DESAFÍO

DESAFIO

En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que

se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se

has aplaudido al terminar el juego?

a. 30 b.33 c.36 d.39 e.43


ARITMETICA

E l m étodo de obtenció n de l m áxim o com ún d ivisor

por d ivisiones sucesivas, aparece ya descrito en e l

siglo I V (a .C.) en la obra "E lem entos", del m atem ático

griego Euclides. En dicha obra tam bién se propon ía un

m étodo parta obtener el m ín im o com ún m últip lo.

¿Sabías qué?

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d)

I. DEFINICIÓN

Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números

enteros positivos.

Ejemplo: Sean los números 8 y 12.

D = { 1 ; 2 ; 4 ; 8}8

D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}12

Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

II. Método para hallar el m.c.d.

PO R D ESCO M PO SI C I Ó N S I M U LTÁN EA

Se extrae de los núm eros todos los

facto res com unes hasta obtener

núm eros P ES I , luego el m .c.d . de

d ichos núm eros es el p roducto de

lo s facto res extraídos.

E jem plo :8

4

2

-

-

-

12

6

3

2

2

m .c.d . = 2 × 2 = 4


ARITMETICA

PO R D ESCO M PO SI C I Ó N CAN Ó N I CA

A los núm eros se les descom po ne

canón icam ente, luego e l m .c.d . de

d ichos núm eros es e l p roducto de

todos sus d ivisores prim os com unes

elevados a su m enor exponente.

E jem plo :8

4

2

1

2

2

2

entonces e l m .c.d .(8; 12) = 2 = 42

12

6

3

1

2

2

3

luego: 8 = 23

12 = 22 × = 3


1. Completa el siguiente cuadro:Núm ero Divisores

36

24

40

DivisoresNúm ero

27

18

30

Ahora completa el siguiente cuadro:Núm ero

18 y 24

30 y 40

18 y 27

24 y 36

Divisores com unes m .c.d.

2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso:

a. 49 y 63

-

m .c.d . =

b. 48 y 72

-

m .c.d . =

c. 90 y 120

-

m .c.d . =


ARITMETICA

3. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 52 y 78 b. 56 y 72 c. 84 y 96

4. Hallar el m.c.d. si:

A = 22 × 34 × 5

B = 22 × 15m.c.d.(A;B) =


1. Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 45 y 95 b. 75 y 125 c. 24; 36 y 68

d. 30; 60 y 90 e. 20; 36 y 40 f. 18 y 15

2. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 64 y 96 b. 160 y 180 c. 30; 60 y 72

d. 48; 52 y 72 e. 50; 300 y 600 f. 48 y 36

3. Hallar el mc.d. de A, B y C; si:

A = 33 × 54 × 8

B = 12 × 27C = 25 × 36

DESAFÍO

• Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió?

• ¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor?


ARITMETICA

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)

I. DEFINICIÓN

Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números

enteros positivos diferentes de "0".

Ejemplo: Sean los números 4 y 6.4 = 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 . . .º

6 = 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 . . .º

Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

II. Métodos para hallar el m.c.m.

PO R D ESCO M PO SI C I Ó N SI M U LTÁN EA

Se extraen de los núm eros todos los

facto res com unes y no co m unes hasta

obtener la un idad en cada núm ero;

luego, el m c.m . de d icho s núm eros es

el p roducto de los factores extraídos.

E jem plo :4

2

1

1

-

-

-

-

6

3

3

1

2

2

3

m .c.m .(4; 6) = 2 × 2 × 3 = 12

PO R D ESCO M PO SI C I Ó N C AN Ó N I C A

A los núm eros se les descom po ne

canón icam ente; luego, e l m .c.m . de

d ichos núm eros es el producto de

todos los diviso res p rim os com unes

y no com unes e levado s a su m ayor

exponente.

E jem plo :4

2

1

2

2

entonces e l m .c.m . = 2 × 32

6

3

1

2

3

luego : 4 = 2 2

6 = 2 × 3


ARITMETICA


1. Completa el siguiente cuadro:Núm ero Múltiplos (10 prim eros)

8

10

12

Múltiplos (10 prim eros)Núm ero

15

16

20

Ahora completa el siguiente cuadro:Núm ero

8 y 12

10 y 15

8 y 20

16 y 20

Múltiplos com unes m .c.m .

2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 30 y 45

-

m .c.m . =

b. 12; 15 y 20

-

m .c.m . =

c. 42; 36 y 48

-

m .c.m . =

3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 45; 75 y 90 b. 12; 14 y 16 c. 9 y 15

4. Hallar el m.c.m. de A y B; si:

A = 23 × 32 × 53

B = 26 × 3 × 52


ARITMETICA


1. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 35 y 63 b. 12 y 60 c. 15 y 25

d. 24 y 36 e. 9 y 15 e. 120; 148 y 200

2. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 85 y 30 b. 36 y 99 c. 96 y 100

d. 24 y 30 e. 200; 300 y 400 e. 160; 180 y 360

3. Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si:

P = 32 × 53 × 72

Q = 2 × 33 × 52 × 7R = 32 × 7

DESAFÍO

• Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede?

• ¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?


ARITMETICA

Para poder reso lver p rob lem as sobre el m .c.m . y el

m .c.d . debes tener en cuenta las sigu ien tes ind icaciones:

¿Sabías qué?

1º D ebes leer e l prob lem a las veces que sean necesar ias.

2º Se debe recoger los datos del p roblem a.

3º I dentificar lo que se so licita.

4º P lantear estrateg ias al p rob lem a.

5º Com probar las estrateg ias y eleg ir una de ellas.

¡ LISTOS .,.. A TRABAJAR ¡

1. Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. La primera cada 8

días; la segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días. ¿Cada cuántos días

se hallan los buques de los tres compañías simultáneamente en este

puerto?

2. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días; 5

días y 10 días, respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el

14 de julio, ¿cuál será la próxima fecha en que volverán a salir juntos?


DATOS SOLUCION

DATOS SOLUCION

ARITMETICA

3. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede

dividir en trozos de 24 cm; 27 cm; ó 45 cm de longitud sin que sobre ni

falte nada?

4. Dos ciclistas dan vueltas en una pista; el primero cada 48 segundos y el

segundo cada 64 segundos. Si salen juntos, ¿al cabo de cuánto tiempo

pasarán por el sitio de partida?

5. Tres perros salen juntos en una carrera. El primero tarda 20 segundos en

dar la vuelta a la pista, el segundo tarda 33 segundos y el tercero, 36

segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la

línea de salida, si salen juntos?


DATOS SOLUCION

DATOS SOLUCION

SOLUCIONDATOS

ARITMETICA

6. Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en

pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de

cada pedazo?

7. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir

exactamente 3 cintas de 120 cm; 180 cm y 240 cm?

8. Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál

será la longitud de cada trozo resultante?


DATOS SOLUCION

DATOS SOLUCION

DATOS SOLUCION

ARITMETICA

9. Se tienen que envasar 120 kg; 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de

modo que los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible.

¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo?

10. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612; 2040 y 8976?


DATOS SOLUCION

SOLUCIONDATOS

ARITMETICA

DEMUESTRA LO APRENDIDO1. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12; 24

y 60 panes simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada

uno reciba la misma cantidad?

2. Se tiene tres cubos de 84 cm3; 270 cm3 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor

volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de

ellos?

3. ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir

simultáneamente entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña

reciba una cantidad exacta?

4. En una competencia automovilística de circuito cerrado, tres automóviles

arrancan juntos. Si tardan 10; 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa.

¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por la línea de partida?

5. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir

exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 16000 metros?

6. Un tren sale cada 5 horas, otro tren sale cada 3 horas, si han salido al

mismo tiempo, a las 9 de la mañana. ¿Cuánto volverán a coincidir?

7. Una puerta se abre cada 20 segundos, otra cada 12 segundos y una tercera

cada 30 segundos, si se abren simultáneamente a las 12 del día. ¿A qué

hora vuelven a abrirse simultáneamente?

8. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla

de 30 cm, 40 cm ó de 50 cm?

9. Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes

iguales, 174 soles y 730 soles.


ARITMETICA

10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de ellos?

DESAFÍOHallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, de tal manera que en

cada caso sobren 4 soles.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

1. En: ;273abc hallar el V.A.(c) + V.R.(a) - V.A.(b)

2. Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden

en:

956 783

3. Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en:

9 128 751

4. Si se cumple que: )a2(15 es el cuadruple de )a3(3 . Calcular el valor de "a".


restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado

27. Si se sabe que la suma de las dos cifras es 13.

TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN

6. Convertir: 15042(6) a base ternaria.

7. Si: )b()a()65( 23;2b4;ab3 están correctamente escritos,

hallar: "a + b + c"


ARITMETICA

8. Hallar: )b()a()65( 23;2b4;ab3

9. Hallar: (a + b + c); si se cumple: bca)1a)(1a( )3(

10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la

base nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria).

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

11. Si: A = cantidad de divisores de 80.

B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras.

hallar: "A + B"

12. Si: A = 27 × 12 × 5 _____________

B = 16 × 24 _____________

C = 32 × 18 _____________hallar: CD(A) + CD(B) + CD(C)

13. Si el siguiente número b7843 es divisible por 9. Calcular el valor de b2.

14. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la

suma de los elementos en: M N.

15. Se tienen los siguientes conjuntos:

A = {x/x es múltiplo de 4; x N};

B = {x/x N; "x" es múltiplo de 7}

hallar cuántos elementos tiene A B, si todos son de 2 cifras.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

16. Restas al año de tu nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo

componen. ¿El resultado obtenido es múltiplo de 9? ¿Por qué?

17. Hallar "a + b", si: 195by17a3ºº .


ARITMETICA

18. Hallar la suma de valores de "a", si: º2nnma2 .

19. Calcular la suma entre el mayor y el menor valor que puede tomar "x" en: º321x4

20. Hallar la suma de valores de "a", si: º42a29 .


Aritmetica III Bim

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