See discussions, stats, and author profiles for this publication at: http://www.researchgate.net/publication/234136880ANALIZA NUMERICABOOK DECEMBER 2012DOWNLOADS599VIEWS4051 AUTHOR:Daniel StanicaUniversity of Bucharest14 PUBLICATIONS 2 CITATIONS SEE PROFILEAvailable from: Daniel StanicaRetrieved on: 09 July 2015ANALIZANUMERICADanielSTANICABucuresti,2012(Inmemoriatataluimeu,Constantin.)Referent i stiint ici:Prof. dr. GavriilPaltineanuConf. Dr. GheorgheGrigoreTehnoredactare-DanielStanicaCuprinsPrefat a xi1 Preliminariideanalizafunct ionala 12 Sistemedeecuat iiliniare 92.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.1 Normematriceale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Descompunereavalorilorsingulare . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Stabilitateasistemelordeecuat iiliniare . . . . . . . . . . . . 262.2 Metodedirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 MetodaluiGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1.1 MetodaluiGausscupivotarepart iala. . . . . . . . 362.2.1.2 MetodaluiGausscupivotaretotala . . . . . . . . . 382.2.2 MetodaGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.3 DescompunereaLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.4 DescompunereaCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.5 DescompunereaQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.6 Metodadirect iilorconjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.7 Metodagradientuluiconjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3 Metodeiterativestat ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.1 Denirea siconvergent ametodelorstat ionare . . . . . . . . . 742.3.2 MetodaluiJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.2.1 MetodaJacobi pentrumatricediagonal dominantepelinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.2.2 Metoda lui Jacobi pentrumatrice diagonal domi-nantepecoloane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3.3 MetodaGauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.3.1 Metoda Gauss-Seidel pentru matrice simetrice si po-zitivdenite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3.3.2 MetodaGauss-Seidelsimetrica . . . . . . . . . . . . 842.3.4 MetodaJacobirelaxata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.4.1 Metodarelaxariisimultane . . . . . . . . . . . . . . 892.3.5 MetodaGauss-Seidelrelaxata(metodarelaxariisucesive) . . 902.3.5.1 Metodarelaxariisuccesivesimetrica(SSOR) . . . . 97vvi CUPRINS2.3.6 MetodaRichardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.4 Metodeiterativenestat ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.4.1 Metodaceleimairapidecoborari . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.4.2 Metodaiterat iilorCebasev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.4.3 Metodagradientuluiconjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.4.4 Metodaecuat ieinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4.5 Metodareziduuluinormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.4.6 Metodareziduuluiconjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.4.7 Metodaorthomin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.4.8 Metodareziduuluiminimgeneralizat. . . . . . . . . . . . . . 1282.4.9 Metodareziduuluiminim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.4.10 MetodaLanczossimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.4.11 MetodaLanczosnesimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.4.12 Metodagradient ilorbiconjugat i. . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.4.13 Metodareziduuluicvasi-minim . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.4.14 Metodagradientuluiconjugatpatratic . . . . . . . . . . . . . 1572.4.15 Metodagradientuluibiconjugatstabilizat . . . . . . . . . . . 1612.4.16 Metodareziduuluicvasi-minimfaratranspunere . . . . . . . 1632.4.17 Metodareduceriidimensiuniiinduse . . . . . . . . . . . . . . 1662.5 Precondit ionareasistemelordeecuat iiliniare . . . . . . . . . . . . . 1712.5.1 Precondit ionarediagonala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722.5.2 Precondit ionareapolinomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722.5.3 Precondit ionareaSSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.6 Metodepentruaproximareainverseiuneimatrice . . . . . . . . . . . 1782.6.1 MetodaGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782.6.2 MetodabazatapedescompunereaLU . . . . . . . . . . . . . 1792.6.3 MetodaluiRitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.6.4 MetodaLeverrier-Fadeev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.6.5 MetodaluiSchultz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852.7 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863 Problemaliniaraacelormaimicipatrate 1913.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.2 Pseudoinversauneimatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.2.1 MetodaluiGreville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.2.2 MetodaFadeev-Decell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.2.3 AlgoritmdetipGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063.2.4 AlgoritmulluiGh. Grigore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103.2.5 Ometodadirecta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.2.6 Metodeiterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.2.7 Metodepentrudeterminarearanguluiuneimatrice . . . . . . 2233.3 MetodaQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.4 Metodagradientuluiconjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.5 Metodaiterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2303.6 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232CUPRINS vii4 Valoriproprii 2354.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.2 Metodarotat iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.3 Metodaputerii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.4 MetodaGivens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2474.5 MetodaLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.6 MetodaQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524.7 Metodaproiect iilorortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.8 MetodaArnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.9 MetodaLanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.10 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675 Ecuat iisisistemeneliniare 2695.1 Ecuat iineliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.1.1 Ecuat iialgebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705.1.2 Metodabisect iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725.1.3 Metodafalseipozit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755.1.4 Metodacoardei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2775.1.5 Metodasecantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2795.1.6 MetodaluiNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2825.1.7 Metodacontract iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2855.1.8 Metodeiterativedetipinterpolator . . . . . . . . . . . . . . 2895.1.8.1 Metodeiterativecuinterpolareinversa . . . . . . . 2905.1.8.2 Metodeiterativecuinterpolaredirecta . . . . . . . 2965.1.9 MetodaluiAitkendeaccelerareaconvergent ei . . . . . . . . 3015.2 Sistemeneliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.2.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.2.2 Metodacontract iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3065.2.3 MetodaGauss-Seidelneliniara . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.2.4 Funct iistrictmonotone silipschitziene. . . . . . . . . . . . . 3115.2.5 MetodaluiNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.2.6 MetodaluiNewtonsimplicata. . . . . . . . . . . . . . . . . 3235.2.7 MetodaluiBroyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275.2.8 MetodaNewtoninexacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3305.2.9 MetodaNewton-Kralovcudiferent enite . . . . . . . . . . . 3365.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3426 Interpolare 3456.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3456.2 InterpolareapolinomialaLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476.2.1 FormulaluiLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3486.2.2 FormulaluiNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3526.2.3 Evaluareaeroriideaproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 3576.2.4 InterpolareacunoduriCebasev. . . . . . . . . . . . . . . . . 3626.2.5 Formuledeinterpolarecupuncteechidistante. . . . . . . . . 363viii CUPRINS6.3 InterpolareapolinomialaHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746.3.1 FormulaluiHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776.3.2 FormulaluiNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.3.3 PolinomuldeinterpolareFejer-Hermite . . . . . . . . . . . . 3856.3.4 Evaluareaeroriideaproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866.4 Interpolareapolinomialatrigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 3886.5 Interpolareacufunct iispline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3966.5.1 Interpolareacufunct iisplineliniare . . . . . . . . . . . . . . 3966.5.2 Interpolareacufunct iisplinecubice . . . . . . . . . . . . . . 3986.6 Aproximareafunct iilorprinpolinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046.6.1 Apoximareauniformaafunct iilorcuajutorulpolinoamelor . 4056.6.2 Ceamaibunaaproximareuniforma . . . . . . . . . . . . . . 4186.6.3 Aproximare nsensul celormai mici patrate. Polinoameor-togonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4286.6.3.1 PolinoameleLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 4366.6.3.2 PolinoameleCebasevdeprimultip. . . . . . . . . . 4386.6.3.3 PolinoameleCebasevdealdoileatip . . . . . . . . . 4416.6.3.4 PolinoameleJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4446.6.3.5 PolinoameleLaguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . 4456.6.3.6 PolinoameleHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4476.7 Convergent aprocesuluideinterpolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 4496.8 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4607 Derivarenumerica 4637.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4637.2 Aproximareaderivateideordinul1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4667.3 Aproximareaderivatelordeordinsuperior . . . . . . . . . . . . . . . 4727.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4788 Integrarenumerica 4798.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4798.2 Formuledecuadraturadetipinterpolator . . . . . . . . . . . . . . . 4838.3 FormuleledecuadraturaNewton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4858.3.1 Formule nchise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4858.3.1.1 Formuladecuadraturaatrapezului . . . . . . . . . 4958.3.1.2 FormuladecuadraturaSimpson . . . . . . . . . . . 4968.3.1.3 FormuladecuadraturaNewton . . . . . . . . . . . . 4988.3.1.4 FormuladecuadraturaBoole. . . . . . . . . . . . . 5008.3.2 Formuledeschise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5018.3.2.1 Formuladecuadraturaadreptunghiului . . . . . . . 5088.3.2.2 FormuladecuadraturaNewton-Cotesdeschisapen-trun = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5108.3.2.3 FormuladecuadraturaMilne. . . . . . . . . . . . . 5118.3.2.4 FormuladecuadraturaNewton-Cotesdeschisapen-trun = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513CUPRINS ix8.4 FormuladecuadraturaHermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5158.5 FormuladecuadraturaEuler-MacLaurin. . . . . . . . . . . . . . . . 5178.6 Formuledecuadraturaobt inuteprinintegrareafunct iilorspline. . . 5228.7 FormuledecuadraturadetipGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5238.7.1 FormuladecuadraturaGauss-Legendre . . . . . . . . . . . . 5288.7.2 FormuladecuadraturaGauss-Cebasevdeprimultip . . . . . 5308.7.3 FormuladecuadraturaGauss-Cebasevdealdoileatip . . . . 5328.7.4 FormuladecuadraturaGauss-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 5338.7.5 FormuladecuadraturaGauss-Laguerre . . . . . . . . . . . . 5348.7.6 FormuladecuadraturaGauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . 5368.8 Formuledecuadraturacupuncteprestabilite . . . . . . . . . . . . . 5378.8.1 FormuladecuadraturaRadau . . . . . . . . . . . . . . . . . 5398.8.2 FormuladecuadraturaLobatto. . . . . . . . . . . . . . . . . 5418.9 Convergent aformulelordecuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5438.10 MetodaluiRomberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5488.11 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5559 Ecuat iidiferent iale 5579.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5579.2 MetodedetipRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5589.2.1 Consistent a,stabilitateconvergent a . . . . . . . . . . . . . . 5589.2.2 Construct iametodelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5659.2.3 MetodaEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5709.2.4 MetodaEulerameliorata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.2.5 MetodaHeun(Euler-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5739.2.6 MetodaRunge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5749.3 MetodedetipAdams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5799.3.1 Consistent a,stabilitate,convergent a . . . . . . . . . . . . . . 5799.3.2 Construct iametodelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5879.3.3 MetodaAdams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5899.3.4 MetodaAdams-Moulton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5929.3.5 Metodapredictor-corector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5949.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595Bibliograe 597Index 606x CUPRINSPrefat aAnaliza numerica este o ramura importanta a analizei matematice, care se ocupade construirea si fundamentarea teoretica a unor metode (algoritmi) de solut ionare,maialesprinaproximat ii,aproblemeloraparute naplicat iistiint ice. Eas-adez-voltatnstransalegaturacuprogresul tehnicii decalcul. Mai exact, necesitateaanalizei numerice, acalculului aproximativnesent a, aaparut deoarece calcululanalitic nu dadea rezultate mult umitoare. Astfel, aproximarea numerica devine unadintrecelemai folositemetodedearezolvaoproblemacomplexa, obt iunutaprinmodelarea matematica a unor fenomene din diverse domenii ale stiint ei. Construct iaunor metode si algoritmi specici au fost si raman preocuparile multor matematicienicare si-aulegatnumeledeuneledintreacestemetode.Prezentamonograesi propuneodescriereteoreticadetaliataaprincipalelorcapitolealeanalizei numerice. Numarul foartemareal metodelor numericene-adeterminatsaneoprimdoarlaaceleapecareleconsideramfundamentale. Nuaminclus nlucrareadefat ametodenumericepentrurezolvareaecuat iilorcuderivatepart iale,urmandcatratareaacestorasaserealizeze ntr-unvolumseparat. Imple-mentarea ncalculatoareleelectroniceaalgoritmilorobt inut itrebuiesat inaseamasi de precizia de calcul a acestora. O analiza a erorilor la implementare este necesarapentruomai mareacuratet eamodelelorteoretice, atunci candsuntpuse nprac-tica. Exista numeroase studii consacrate acestui fenomen, dintre care citam lucrarile[17], [66], [95], [96], [144]. Deoareceprincipalul obiectival acestei monograi esteacela de a fundamenta teoretic metodele numerice, nu am mai cuprins aici o analizaateorieierorilor.Toate rezultatele teoretice ce t inde construct ia unor metode numerice suntdemonstrate detaliat, astfelncat cititorul saaibalandemanaunsingur volumpentruunstudiuamanunt it. S-aurmarit, nacelasi timp, construct iaatataunormetodegenerale, catsi aunoraparticulare, dedusedincelegeneralesau, mai rar,independente. Ampreferatotratareunitaraametodelorspeciceunuicapitol,culegaturi si comparat iintreacestea. Majoritatearezultatelor teoreticeprezentateeste nsot itadeexempleconcrete. Fiecarecapitolse ncheieasadarcucatevareco-mandari bibliograce si o scurta lista de exercit ii. Unele dintre metodele prezentatereprezintacontribut iialeautorului,publicate nrevistedespecialitate.Cu except ia primului capitol, celelalte opt capitole ale cart ii cuprind, ecare, cateunsubdomeniual analizei numerice. Capitolele nusunt independente deoarece,nconstruct iaunor metodedintr-unanumit subdomeniu, sunt necesarerezultatexixii PREFAT Aapart inandaltorsubdomenii.Primul capitol seconcentreazaasupraprincipalelorelementedeanalizafunct i-onalanecesare lucrarii. Expunereaeste concisa, rezultatele indprezentate farademonstrat ie,darcutrimiteribibliograceprecise.Capitolul al doilea trateaza diverse metode de rezolvare directa sau aproximativaasistemelordeecuat iiliniare. Pentruclaritateaexpuneriisuntoferiteelementedeteoriamatricelor, utilenunumai acestui capitol, catsi celorurmatoare. Instabili-tatea solut iei unor sisteme de ecuat ii liniare la perturbari ale datelor init iale este unfenomen de o amploare considerabila, care nu se poate neglija n aplicat iile practice.Deaceea,amconsideratnecesarsaintroducemnot iuneadenumardecondit ionareal unei matricecaindomasuraacceptabilaainstabilitat ii unei matrice, astfelncatsacunoastemaprioridacarezolvareaunui anumitsistempuneproblemedeacuratet easolut iei. Metodelederezolvareexpusesempartndouamari cate-gorii: directesi iterative. Metodeledirecte, avandlabaza, ngeneral, metodededescompunerematricealasuntdescriseunitar,ecaremetodadeducandu-sedinceaprecedenta. Oatent ie deosebitaeste acordatametodelor direct iilor conjugatesigradientului conjugat(metodecefactrecereadelametodeledirecte, lametodeleiterative). Din punct de vedere teoretic, aceste metode sunt directe, dar, n practica,sefolosesccametodeiterative. Sistemeledeecuat ii liniaredemari dimensiuni auimpusutilizareametodeloriterativedeaproximareasolut iei.Inacest caz, chiardacanumarul de operat ii este mai mare, acuratet easolut iei este mai buna. Larandullor,metodeleiterativesuntstat ionare sinestat ionare. Expunereametodelorstat ionareafostganditaplecanddelaometodagenerala, dincaretoatecelelaltedecurgcaindcazuriparticulare. Metodelenestat ionareaucapatat, nultimiiani,oimportant adeosebita,datadecapacitateaacestoradeasolut ionaecientsistemede ecuat ii liniare de ordinul sutelor de mii sau chiar milioanelor de ecuat ii. Ele suntnstransalegaturacumetodeledeoptimizaresimajoritateaaulabazaideiledez-voltate la metoda gradientului conjugat. Ca si n cazul metodelor stat ionare, am pusnevident a conexiuni ntre metode,urmarindnu neaparatoevolut ie cronologica,ciunacalitativa. Atatunelemetode nansamblullor,catsiaspecteleteoreticespeci-ce sunt prezentate pentru prima oarantr-o lucrare de specialitate n limba romana.Mai mult, metoda reducerii dimensiunii induse (metoda recenta, cu un real potent ialde dezvoltare) nu a fost identicata n monograile de specialitate actuale, publicatela noi saun strainatate. Un aspect important n atenuarea instabilitat ii unui sistemde ecuat ii liniare si, uneori, n reducerea numarului de operat ii este precondit ionareasistemelor. De aceea, am descris principalele tehnici de precondit ionare, dand exem-ple sugestive privind rolul acestora. Capitolul secund se ncheie cu prezentarea unormetodedirectesauiterativepentrudeterminareainverseiuneimatrice.Capitolul al treileaestededicatproblemei liniareacelormai mici patrate. Labaza solut ionarii directe a acestei probleme se aa not iunea de pseudoinversa a uneimatrice. T inand seama de important a acestei not iuni si avand n vedere ca n litera-turadespecialitatedint aranoastrapseudoinversaestetratatasumar, amrealizatoexpunere ndetaliuaconstruct ieisiaproprietat iloracesteia.Inafarametodelorclasice, amprezentatunalgoritmpentrudeterminareapseudoinversei, ceapart inematematicianuluiromanGheorgheGrigore. Deasemenea,suntcuprinse nlucrarePREFAT A xiiisidouametodedirectepublicatedejadecatreautor(asevedea[130],[131]). Unadintre cele doua metode, teoretic directa, a dat rezultate bune n aplicarea ca metodaiterativa. Ca si n cazul sistemelor de ecuat ii liniare cu matrice patratica inversabila,n cadrul problemei celor mai mici patrate de mari dimensiuni,se dovedeste ecientunalgoritmdetipgradient conjugat. Capitolul al treileacont inesi altemetodeiterativedesolut ionareaacesteiprobleme.In capitolul al patrulea se trateaza aproximarea valorilor proprii ale unei matrice.Imposibilitateaunormetodedirecteconducelaoclasalargademetodeiterative.Suntdatetrei tehnici principale, legatedetransformari saudescompuneri alema-triceiinit iale sideproiect iipeanumitesubspat ii. Oatent iedeosebitaesteacordatauneimetodegenerale,numitemetodaproiect iilorortogonale,careincludealgoritmidevenit iclasici ncazulmatricelordemaridimensiuni.Capitolulalcincileacont inemetodenumericepentruaproximareasolut iilorsis-temelordeecuat ii neliniare. Domeniul vastal acestormetodene-adeterminatsane oprimnumai lastudiul celor cuadevarat fundamentale.Incadrul rezolvariiecuat iilorneliniarereale, plecanddelametodeintuitiveavandinterpretari geome-triceconcludente, ajungemsadescoperimmetodegenerale, bazatepeinterpolare,capabilesaconducalafamilii largi demetodeparticulare. Serealizeazaastfel unstudiualconvergent eilocalesialordinelordeconvergent a.Incadrulsistemelordeecuat iineliniare,folosireanot iuniidecontract iestalabazaconstruct ieimajoritat iimetodelor. Deasemenea, caometodafundamentala nceeaceprivesteaplicabi-litateasivitezadeconvergent a, estestudiatametodaluiNewton. Seprezintamaimultecriteriideconvergent a,ovariantasimplicataaacesteimetode simetodaluiBroyden, ca metoda intermediaran raport cu acestea. Ca metode pentru sisteme deecuat iineliniaredemaridimensiuniamdescrismetodaNewtoninexacta simetodaNewton-Kralov cu diferent e nite. Putem face si observat ia ca unele dintre metodelepentruecuat ii neliniarerealeauextinderi naturale ncadrul sistemelordeecuat iineliniare.Metodele de interpolare descrisencapitolul al saseleaaulabazaotehnicagenerala, construitasi publicatadeautor(asevedea[132]). Astfel, suntprezen-tatentr-uncadruunitar interpolareapolinomialasi interpolareatrigonometrica.Demonstrat iaexistent eisiunicitat iipolinoamelordeinterpolare(algebricesautri-gonometrice),construct ia unor formule clasice de reprezentare (ca,de exemplu,for-mula lui Lagrange, a lui Newton sau a lui Hermite) sunt inedite, bazate pe o tehnicamatricealacesepoateextindesilaaltetipurideinterpolare,chiarsi nmaimultedimensiuni. Evaluareaerorii de aproximare aunei funct ii cuunpolinomde in-terpolareestedescrisafolosindtehnicanucleului Peano, cepermiteevaluari sincazul ncarefunct ianuestesucientderegulata. Oaltamodalitatedeinterpolareprezentataesteceacufunct ii spline,ncarefunct iilesplineliniaresi cubicesuntceledereferint a. Datoritasimplitat ii reprezentarii si usurint ei calculelorcupoli-noame (algebrice sau trigonometrice), problema aproximarii funct iilor cu polinoameastat natent iaunorrenumit imatematicieni. Oparteconsistentaacapitoluluialsaseleaestededicataceleimaibuneaproximaripolinomiale. PelangateoremeledetipWeierstrasssi Jackson, carearataputereadeaproximareapolinoamelor, suntdeterminateefectivsi polinoamedeceamai bunaaproximare, relativelanormaxiv PREFAT Auniforma sau n sensul celor mai mici patrate. Aproximarea n sensul celor mai micipatrateconducecatrenot iuneadepolinoameortogonale, pentrucaresuntprezen-tate construct ii si proprietat i detaliate. Capitolul sencheie prin studiul convergent eiprocesuluideinterpolare(polinomiala, trigonometricasauspline), prezentandatatrezultatepozitive,cat sirezultatenegative.Incapitolul al saptelea, rezervatformulelordederivarenumerica, amurmaritconstruct iaunorformuleinterpolatoarecugradmaximdeexactitate. Suntdeter-minate atat formule pentru aproximarea derivatei de ordinul ntai,unde se arata caformulele interpolatoare sunt printre cele mai bune, cat si formule pentru aproxima-rea derivatelor de ordin superior. Metoda generala de construct ie este exemplicataprinnumeroasecazuriparticulare, obt inandu-seopaletalargadeformulespecicederivariinumerice.Aproximareaintegralelordenitefaceobiectulcapitoluluialoptulea. Evaluareaerorii de aproximare, ca si n cazul interpolarii sau al derivarii numerice, se realizeazacuajutorul nucleului Peano(oabordaremodernaceconducelaunmodunitardeatratadiferiteformuledeintegrarenumerica). Suntredateatatformuleceauuncaracter interpolator, cat si formulecarenurezultaprininterpolare. Unstudiuamanunt itestededicatformulelordecuadraturaNewton-Cotes, nchise sideschise,stabilind semnul constant al nucleului Peano asociat si deducand formulele clasice decuadratura. Construct ia unor formule cu grad maxim de exactitate, numite formulede tip Gauss,este realizata cu ajutorul polinoamelor ortogonale. Tot n acest cadruse prezinta si construct ia unor formule cu puncte prestabilite. Este descrisa n acestfel ogamalargadeformule, unelevalabilesincazul integralelor improprii. Catehnici speciale de construct ie, sunt descrise formulele de cuadratura Hermite, Euler-MacLaurinsi formulelededuseprinintegrareafunct iilorsplinecubice. Oatent iedeosebita este acordata metodei lui Romberg, ca metoda de accelerare a convergent einconstruct iaformulelordecuadratura, sicaprincipalametodaneintepolatoare.Ultimul capitolul, al noualea, estededicataproximarii solut iilorecuatiilordife-rent ialecucondit iilalimita(problemaCauchy). Casi ncapitoleleanterioare,ampornit delaconstruct iaunei metodegenerale, prezentandcriterii deconsistent a,stabilitate siconvergent a. Metodageneralapermitededucereaunorcazuriparticu-larefolositecupredilect ie npractica. Suntdescrisedouatipuridemetode: detipRunge-Kutta sidetipAdams. Studiulteoreticalambelormetodeesteprezentat ndetaliu,deoarecenusemairegaseste naltemonograiromanestidespecialitateoanalizariguroasaacriteriilorspecicemetodelordetipAdams.Asadar, lucrareaseadreseazatuturorcelorinteresat i deoabordareriguroasa,cusufcientedetalii teoretice, ametodeloranalizei numerice. Esteutiladeopotrivacercetatorilor n domeniu, specialistilor din diverse ramuri ale stiintei, care utilizeazaanalizanumerica, doctoranzilorsi student ilor, pentruunbagaj catmai ampludecunostint e nanalizanumerica.Nu nultimulrand,trebuiesamult umescsincer,aratandu-mi ntreagarecunos-tint arefernt ilorpentrugrijadeosebitacucareaucititmanuscrisul,pentrusfaturilesiobservat iilepertinente.